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% The Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von linearen
% partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
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% Title: Randwertaufgaben bei Systemen von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung
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% Author: Wallie Abraham Hurwitz                                          %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMEN VON LINEAREN PARTIELLEN ***
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%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%%                                                                  %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%% indentfirst: Indent first word of each sectional unit. Optional. %%
%%                                                                  %%
%% soul:     Gesperrt text. Optional.                               %%
%% booktabs: Table package. Optional.                               %%
%% multirow: Table entries spanning multiple rows. Required.        %%
%% footmisc: Extended footnote capabilities. Required.              %%
%%                                                                  %%
%% nicefrac: Diagonal fractions. Optional.                          %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%% Compilation Flags:                                               %%
%%                                                                  %%
%%   The following behavior may be controlled by boolean flags.     %%
%%                                                                  %%
%%   ForPrinting (false by default):                                %%
%%   Compile a screen-optimized PDF file. Set to true for print-    %%
%%   optimized file (two-sided layout, black hyperlinks).           %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 109                                                   %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% 2007-May-07 rwst. Compiled with pdflatex:                        %%
%%         [pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5)]     %%
%%                                                                  %%
%% 2010-July-28 adhere. Compiled with pdflatex:                     %%
%%         [pdfeTeX, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)]         %%
%%                                                                  %%
%%    pdflatex x3                                                   %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% August 2010: pglatex.                                            %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 33330-t.tex ..... THREE times                         %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\listfiles
\documentclass[12pt,leqno]{book}[2005/09/16]
\usepackage[utf8]{inputenc}[2006/05/05]
\usepackage[german]{babel}[2005/11/23]

\usepackage{amsmath}[2000/07/18]
\usepackage{amssymb}[2002/01/22]


\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals
\usepackage{alltt}[1997/06/16]

\IfFileExists{indentfirst.sty}{%
  \usepackage{indentfirst}[1995/11/23]
}{}

\IfFileExists{soul.sty}{%
  \usepackage{soul}[2003/11/17]
  \sodef{\so}{}{0.15em}{0.5em plus 0.5em}{0.5em plus 0.5em}%
}{%
  %% else change gesperrt to italics, which are not used elsewhere
  \newcommand\so[1]{\textit{#1}}%
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  \usepackage{booktabs}[2005/04/14]
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\usepackage{multirow}
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\IfFileExists{nicefrac.sty}{%
  \usepackage{nicefrac}[1998/08/04]
}{%
  \newcommand{\nicefrac}[2]{#1/#2}
}

\usepackage{fancyhdr}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true (default)           false
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
%
% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned
% book. This behavior has been retained.
\newboolean{ForPrinting}

%% UNCOMMENT the next line for a PRINT-OPTIMIZED VERSION of the text %%
%\setboolean{ForPrinting}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Anmerkungen der Korrekturleser}
\newcommand{\TransNoteCommon}{%
  Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell
  University Library: Historical Mathematics Monographs Collection
  zur Verfügung gestellt.
  \bigskip

  Kleinere typographische Korrekturen und Änderungen der Formatierung
  wurden stillschweigend vorgenommen.
  \bigskip
}

\newcommand{\TransNoteText}{%
  \TransNoteCommon

  Diese PDF-Datei wurde für die Anzeige auf einem Bildschirm
  optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Druck angepasst
  werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des
  LaTeX-Quelltextes.
}
%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNote}{Transcriber's Note}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    \TransNoteCommon

    Diese PDF-Datei wurde für den Druck optimiert, kann bei Bedarf
    aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Anweisungen dazu
    finden Sie am Anfang des LaTeX-Quelltextes.
  }
}{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \setlength{\paperwidth}{8.5in}%
  \setlength{\paperheight}{11in}%
  \usepackage[body={6.25in,8in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
}{% else, if ForPrinting=false
  \setlength{\paperwidth}{6.5in}%
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  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
  \raggedbottom
  \usepackage[body={6.25in,8in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
}

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperfootnotes=false,
  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Randwertaufgaben bei Systemen von Linearen Partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung},
  pdfauthor={Wallie Abraham Hurwitz},
  pdfkeywords={Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               Cornell University Library Historical Mathematical Monographs Collection},
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  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{11}{13}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}

%% No hrule in page header
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\DeclareMathSizes{12}{11}{8}{6}

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\newcommand{\DPtypo}[2]{#2}

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\DeclareUnicodeCharacter{00B1}{\pm}
\DeclareUnicodeCharacter{00B7}{\cdot}
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% Adjust footnote markers
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\renewcommand\@makefnmark%
  {\mbox{\,\upshape\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}

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  {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\;}#1}
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\newcommand{\Chaptername}[1]{\centering\bfseries\large #1.\\\fivestar}

\AtBeginDocument{\renewcommand{\contentsname}{%
    \protect\Chaptername{Inhaltsverzeichnis}\protect\vspace{-48pt}%
    \thispagestyle{empty}%
  }
}

\newcommand{\HalfTitle}{%
  \huge\bfseries\sffamily
  \settowidth{\TmpLen}{Differentialgleichungen erster Ordnung.}
  \makebox[\TmpLen][c]{Randwertaufgaben}\\
  \makebox[\TmpLen][s]{\loosen bei Systemen von linearen partiellen}\\
  \makebox[\TmpLen][s]{Differentialgleichungen erster Ordnung.}
  \normalfont%
}

%[** TN: Project-specific logic to format headings, print (or not) ToC entries]
\newcommand{\Chapter}[2]{%
  \pagestyle{fancy}
  \ifthenelse{\equal{#1}{}}{%
    \cleardoublepage\vspace*{3cm}
    \section*{\Chaptername{#2}}
    \ifthenelse{\equal{#2}{Einleitung}}{%
      \addtocontents{toc}{\null\hfill{\scriptsize Seite}}%
      \addcontentsline{toc}{section}{#2}
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    \ifthenelse{\equal{#1}{Erstes Kapitel.}}{%
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      \pagebreak[0]\fivestar\vspace{0pt plus 36pt}\pagebreak[3]\par%
    }
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      \normalsize#2}
    \addtocontents{toc}{%
      \protect\subsubsection*{\protect\centering\protect\sffamily\protect\footnotesize #1 #2}%
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  }%
}


\newcommand{\Section}[1]{%
  \subsection*{\centering\normalsize\bfseries§~\sffamily#1}
  \addcontentsline{toc}{section}{\protect\small§~#1}
}

\newcommand{\Paragraph}[1]{\par\textbf{#1}\ }

\newcommand{\Anmerkungen}{%
  \cleardoublepage
  \section*{\centering\bfseries\Large Anmerkungen der Korrekturleser.\\
    \fivestar}
}

%% thoughtbreak
%\newcommand{\fivestar}[1][2cm]{{\centering\rule{2cm}{0.5pt}\par}}
\newcommand{\fivestar}[1][2cm]{{\begin{center}\rule{2cm}{0.5pt}\end{center}}}

%% page number in middle of header
\fancyhf{}
\fancyhead[C]{---\ \thepage\ ---}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}

%% array are less spread out
\setlength{\arraycolsep}{1.4pt}

%% abbreviations for math operators
\DeclareMathOperator{\bigL}{\;\raisebox{-0.5ex}{\LARGE\textit{L}}\;}
\DeclareMathOperator{\OmegaRegion}{\scriptstyle\varOmega}
\newcommand{\area}[2]{\sideset{_{\scriptscriptstyle{#1}}}{_{\scriptscriptstyle{#2}}}\OmegaRegion}
\def\dint{\displaystyle\int}

\begin{document}

\pagestyle{empty}
\pagenumbering{Alph}

%%%% PG BOILERPLATE %%%%
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{PG Titelblatt}{Titelblatt}

\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von linearen
partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Randwertaufgaben bei Systemen von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung

Author: Wallie Abraham Hurwitz

Release Date: August 2, 2010 [EBook #33330]
Most recently updated: June 11, 2021

Language: German

Character set encoding: UTF-8     

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMEN VON LINEAREN PARTIELLEN ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}

\clearpage


%%%% Credits %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Andrew D. Hwang, Ralf Stephan, Joshua Hutchinson
and the Online Distributed Proofreading Team at
http://www.pgdp.net (This file was produced from images
from the Cornell University Library: Historical Mathematics
Monographs collection.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\begin{minipage}{0.85\textwidth}
\small
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Anmerkungen zur Transkription}{Anmerkungen zur Transkription}
\subsection*{\centering\normalfont\scshape%
\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}%

\raggedright
\TransNoteText
\end{minipage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\mainmatter
\pagenumbering{arabic}
\pagestyle{empty}

%-----File: 001.png---------------------------------------
%-----File: 002.png---------------------------------------
%-----File: 003.png---------------------------------------
%\thispagestyle{empty}
{\centering
%[** TN: \HalfTitle macro prints the following text]
% Randwertaufgaben
% bei Systemen von linearen partiellen
% Differentialgleichungen erster Ordnung.
\HalfTitle

\rule{\textwidth}{0.4pt}\vspace*{-\baselineskip}\vspace*{4pt}
\rule{\textwidth}{1.6pt}\vspace*{-\baselineskip}\vspace*{2pt}
\rule{\textwidth}{0.4pt}
\vfill
\hfill\Large\bfseries\sffamily Wallie Abraham Hurwitz.}
%-----File: 004.png---------------------------------------
%-----File: 005.png---------------------------------------
\cleardoublepage
\thispagestyle{empty}
{\centering
\HalfTitle
\setlength{\TmpLen}{12pt}

\vfill
\fivestar
\vfill

\Large\textbf{Inaugural-Dissertation}\\[\TmpLen]
\footnotesize zur\\[\TmpLen]
\large Erlangung der Doktorwürde\\[\TmpLen]
\footnotesize der\\[\TmpLen]
\normalsize hohen philosophischen Fakultät der Georg-August-Universität\\[\TmpLen]
zu \so{Göttingen}\\[\TmpLen]
\footnotesize vorgelegt von\\[\TmpLen]
\large\textbf{Wallie Abraham Hurwitz}\\[0.5\TmpLen]
\footnotesize aus Joplin, Missouri, V.~St.~A.
\vfill
\fivestar[4cm]
\vfill
\normalsize Göttingen 1910.\\[\TmpLen]
\footnotesize Druck der Dieterichschen Universitäts-Buchdruckerei \\
(W. Fr.~\so{Kaestner}).\par
}
%-----File: 006.png---------------------------------------
\cleardoublepage
{\centering
\null\vfill
Tag der mündlichen Prüfung: 13. Juli 1910.\\[0.5\baselineskip]
Referent: Herr Geh. Reg.-Rat Prof. Dr. \so{Hilbert}.
\vfill}
\clearpage
%-----File: 007.png---------------------------------------
{\centering
\null\vfill
\textbf{\LARGE Meinen lieben Eltern.}
\vfill}
%-----File: 008.png---------------------------------------
%-----File: 009.png---------------------------------------
\tableofcontents

%% Inhaltsverzeichnis.
%%
%%                                                Seite
%%
%% Einleitung                                       7
%%
%% Erstes Kapitel. Die Normalformen der Gleichungssysteme.
%%
%% § 1. Die charakteristische Differentialform      9
%% § 2. Die Normalformen der Gleichungssysteme     15
%%
%% Zweites Kapitel. Das elliptische System.
%%
%% § 3. Hilfsmittel zur Theorie des elliptischen Systems  31
%% § 4. Lösung der Randwertaufgabe für das elliptische System  53
%%
%% Drittes Kapitel. Das hyperbolische System.
%%
%% § 5. Lösung der Randwertaufgabe für das hyperbolische System 62
%%
%% Viertes Kapitel. Das parabolische System.
%%
%% § 6. Hilfsmittel zur Theorie des parabolischen Systems  68
%% § 7. Lösung der Randwertaufgabe für das parabolische System 88
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%-----File: 011.png---------------------------------------


\Chapter{}{Einleitung}

Bei Untersuchungen allgemeinen Charakters über lineare partielle
Differentialgleichungen sind zwei Problemstellungen von besonderer
Wichtigkeit. Die \so{Anfangswertaufgabe} oder das
\so{Cauchysche Problem} versucht, eine Lösung durch Angabe
ihrer Werte und der Werte gewisser Ableitungen auf einer Kurve
zu bestimmen; dabei werden alle vorkommenden Funktionen in
einer \so{kleinen} Nachbarschaft der Kurve, sowie die Kurve selbst
und die vorgeschriebenen Werte in einer \so{kleinen} Nachbarschaft
eines Punktes als analytisch vorausgesetzt; und die Lösung wird
als analytische Funktion in einer eventuell noch \so{kleinern}
Nachbarschaft
gesucht: das Problem ist hervorragend als analytisches
Problem im \so{kleinen} zu bezeichnen\footnote{
  Die Einschränkung auf ein kleines Gebiet ist manchmal teilweise durch
  das Prinzip der analytischen Fortsetzung oder andere Methoden zu
  beseitigen;
  doch tritt hier sogleich die Notwendigkeit von Eindeutigkeitstheoremen
  und damit
  verwandten Sätzen ein, welche das Problem aus dem wirklichen Rahmen des
  Cauchyschen Problems ausschließen.}.
Dagegen fordert die
\so{Randwertaufgabe} oder das \so{Dirichletsche Problem} von
den gegebenen und gesuchten Funktionen nur Stetigkeit und die
Existenz und Stetigkeit einer geringen Anzahl von Ableitungen,
schreibt die Werte \so{auf einem ganzen vorgegebenen Kurvenstück}
vor, und sucht die Lösung \so{in einem ganzen vorgegebenen
Gebiet}; das Problem ist ein nicht-analytisches
Problem \so{im großen}. Um die Zulassung einer größeren Nachbarschaft
auszugleichen, muß sich eine Randwertaufgabe in der
Regel begnügen, weniger Anforderungen als die Anfangswertaufgabe
beim Vorschreiben der Werte längs der Kurve zu machen.

Für einzelne Gleichungen, sowie für Gleichungssysteme läßt
sich das Cauchysche Problem durch die Majorantenmethode erledigen;
dagegen geschieht gewöhnlich die Lösung des Dirichletschen
Problems erst durch Überlegungen von schwierigerem Charakter.
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Diese Ueberlegungen sind bis jetzt, wie Sommerfeld in
seinem Bericht über \so{Randwertaufgaben bei partiellen
Differentialgleichungen} besonders erwähnt\footnote{
Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften Bd.~2, S.~506.},
nur für einzelne
Differentialgleichungen durchgeführt, und zwar meistenteils
für Gleichungen zweiter Ordnung; noch nicht aber für Gleichungssysteme.
In den letzten Jahren haben die Betrachtungen für
Gleichungen zweiter Ordnung in den verschiedenen Fällen, welche
notwendig vorkommen, durch die Methode der Integralgleichungen
eine einheitliche Gestalt angenommen.

Die Anregung zu solchen Problemstellungen ist von der Physik
ausgegangen; aus den Theorien des Potentials, der schwingenden
Saite und der Wärmeleitung sind die Hilfsmittel entstanden, welche
zur Lösung von Randwertaufgaben bei allgemeinern
\so{Differentialgleichungen
zweiter Ordnung} beigetragen haben. Von
rein mathematischem Standpunkt aus erscheint es gewissermaßen
näher liegend, zunächst Systeme von \so{Differentialgleichungen
erster Ordnung} zu studieren. Für gewöhnliche
Differentialgleichungen hat \so{B\^ocher} von diesem Gesichtspunkte
aus die Theorie von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen
erster Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen untersucht\footnote{
  Transactions of the American Mathematical Society, Bd.~3 (1902),
  S.~196--215.}.
Die
vorliegende Arbeit, welche auf Anregung von Herrn Geheimrat
Hilbert entstand, soll für partielle Differentialgleichungen einen
ersten Schritt in derselben Richtung machen, indem für Systeme
erster Ordnung mit zwei unbekannten Funktionen und zwei unabhängigen
Variablen die Randwertaufgabe gelöst wird. Als naturgemäße
Methode bietet sich auch hier die Methode der Integralgleichungen
dar und wird mit Erfolg angewandt.

Im ersten Kapitel wird eine Klassifikation solcher Systeme
gemacht und eine Reduktion auf Normalformen erreicht. Nach
Aussonderung gewisser, von unserm Standpunkte aus trivialer
Fälle bleiben drei Hauptformen zu untersuchen, welche den Gegenstand
des zweiten, dritten und vierten Kapitels bilden. Es ist
nicht beabsichtigt worden, die Schwierigkeiten dadurch zu erhöhen,
daß möglichst große Allgemeinheit den in Betracht kommenden
Funktionen erteilt wird; sondern der Zweck ist vielmehr gewesen,
unter genauer Angabe der Voraussetzungen hinreichende Bedingungen
für die Lösung des Problems zu geben.
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\Chapter{Erstes Kapitel.}
{Die Normalformen der Gleichungssysteme.}

\Section{1. Die charakteristische Differentialform.}

Bei Untersuchungen über einzelne partielle Differentialgleichungen
im allgemeinen und die linearen Gleichungen insbesondere
ist stets der Begriff der sogenannten charakteristischen Kurven
von großer Bedeutung. Diesen Begriff wollen wir zunächst in
diesem Paragraphen auf Systeme von linearen partiellen
Differentialgleichungen
erster Ordnung ausdehnen und einige Folgen daraus
herleiten. Da es sich hier nur um formale Fragen handelt, wollen
wir einfach annehmen, alle vorkommenden Funktionen seien analytisch.

\Paragraph{I.} Wir betrachten das System von Differentialgleichungen:
\[
\tag*{1)}
  \lambda_p (u) \equiv
  \sum_{q=1}^n a_{pq}\frac{\partial u_q}{\partial x}
+ \sum_{q=1}^n b_{pq}\frac{\partial u_q}{\partial y}
+ \sum_{q=1}^n c_{pq} u_q
= 0 \quad [q = 1, 2\dots n]
\]
Hierbei sind $a_{pq}$, $b_{pq}$, $c_{pq}$ gegebene, in einem
vorgeschriebenen Bereich
der $xy$-Ebene reguläre Funktionen von $x$, $y$.

Es sei gegeben ein vorläufig willkürliches System von Funktionen
\[
  u_1(x,y),\ u_2(x,y),\dotsc u_n(x,y).
\]
Geometrisch entspricht jeder Funktion $u_q(x, y)$ eine Fläche im
$xy$-Raume, deren Gleichung
\[
  z = u_q(x,y)
\]
ist. Es sei ferner eine willkürliche Kurvenschar in der $xy$-Ebene
derart gegeben, daß durch jeden Punkt des Bereiches eine und
nur eine Kurve der Schar hindurchgeht. Damit ist jedem Punkte
$(x, y)$ eine Richtung --- die Tangentialrichtung durch den Punkt ---
zugeordnet,
die durch das Verhältnis $dx: dy$ bestimmt ist. Dem
%-----File: 014.png---------------------------------------
Punkte $(x, y)$ entspricht auch auf jeder der $n$-Flächen ein Punkt
$(x, y, u_q)$, und der Richtung $dx: dy$ eine Richtung $dx:dy: du_q$,
wobei
die neuen Größen $u_q$, $du_q$ durch die Gleichungen
\[
  u_q = u_q(x,y),\ du_q
= \frac{\partial u_q(x,y)}{\partial x}\,dx
+ \frac{\partial u_q(x,y)}{\partial y}\,dy
\]
definiert sind. Es fragt sich nun, ob die bis jetzt willkürlichen
Flächen $z = u_q (x, y)$ von solcher Beschaffenheit sein kommen, daß
sie die Richtungen $dx: dy: du_q$ (die an jeder Stelle als gegeben
gedacht sind) enthalten und gleichzeitig den Gleichungen 1) genügen.
Zur Bestimmung der $2n$ Größen
$\dfrac{\partial u_q}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u_q}{\partial y}$
haben wir die
$2n$ Gleichungen:

\[
\tag*{2)}
\begin{array}{lc lc rl l}
  dx \dfrac{\partial u_1}{\partial x}
+ dy \dfrac{\partial u_1}{\partial y}
&& &&
& -du_1 & = 0
\\
&
& dx \dfrac{\partial u_2}{\partial x}
+ dy \dfrac{\partial u_2}{\partial y}
&&
& -du_2 & = 0
\\  \hdotsfor[6]{7}  \\
&& &
& dx \dfrac{\partial u_n}{\partial x}
+ dy \dfrac{\partial u_n}{\partial y}
& \multicolumn{2}{l}{-du_n = 0}
\\[10pt]
  a_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial x}
+ b_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial y}
& +
& a_{12} \dfrac{\partial u_2}{\partial x}
+ b_{12} \dfrac{\partial u_2}{\partial y}
& + \dotsb +
& a_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial x}
+ b_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial y}
& -\displaystyle\sum_{q=1}^n c_{1q} u_q  &  = 0
\\[10pt]
  a_{21} \dfrac{\partial u_1}{\partial x}
+ b_{21} \dfrac{\partial u_1}{\partial y}
& +
& a_{22} \dfrac{\partial u_2}{\partial x}
+ b_{22} \dfrac{\partial u_2}{\partial y}
& + \dotsb +
& a_{2n} \dfrac{\partial u_n}{\partial x}
+ b_{2n} \dfrac{\partial u_n}{\partial y}
& -\displaystyle\sum_{q=1}^n c_{2q} u_q  &  = 0
\\  \hdotsfor[6]{7}  \\
  a_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial x}
+ b_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial y}
& +
& a_{n2} \dfrac{\partial u_2}{\partial x}
+ b_{n2} \dfrac{\partial u_2}{\partial y}
& + \dotsb +
& a_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial x}
+ b_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial y}
& -\displaystyle\sum_{q=1}^n c_{nq} u_q  &  = 0.
\end{array}
\]

Durch diese Gleichungen lassen sich die Größen
$\dfrac{\partial u_q}{\partial x}$, $\dfrac{\partial u_q}{\partial y}$
im allgemeinen
bestimmen, und zwar nur in dem Falle eventuell nicht,
daß die Determinante~$\delta$ des Gleichungssystems~2) verschwindet:
\[
\arraycolsep=3pt
\tag*{3)}
  \delta \equiv\left|
\begin{array}{ccccccc}
  dx & dy & 0  & 0  & \dots & 0  & 0  \\
  0  & 0  & dx & dy & \dots & 0  & 0  \\
\hdotsfor[6]{7}  \\
  0  & 0  & 0  & 0  & \dots & dx & dy  \\
  a_{11} & b_{11} & a_{12} & b_{12} & \dots & a_{1n} & b_{1n}  \\
  a_{21} & b_{21} & a_{22} & b_{22} & \dots & a_{2n} & b_{2n}  \\
\hdotsfor[6]{7}  \\
  a_{n1} & b_{n1} & a_{n2} & b_{n2} & \dots & a_{nn} & b_{nn}
\end{array}\right|
= 0
\]
%-----File: 015.png---------------------------------------
Diese Determinante nennen wir die \so{charakteristische Differentialform}
des Gleichungssystems~1). Sie ist ein homogenes
Polynom $n$-ter Ordnung in den Differentialen $dx$, $dy$.\ Kurven,
die der Bedingung~3) genügen, nennen wir \so{charakteristische
Kurven} oder kurzweg \so{Charakteristiken} des Systems~1).

Daß die Gleichungen~2) eventuell doch gelöst werden können,
selbst wenn $\delta = 0$, hat kein Interesse für uns; in der Tat werden
wir die Methode, mittels welcher die Bedingung~3) hergeleitet
wurde, nicht weiter berücksichtigen, sondern für die folgenden
Entwicklungen nur die Form $\delta$ selbst betrachten.

\Paragraph{II.} Zum Zwecke der Klassifikationen von Gleichungssystemen
ist es notwendig, gewisse Arten von Transformationen auszuführen.
Es ist offenbar wichtig, zu wissen, ob die charakteristische
Differentialform
des transformierten Systems gleich der durch dieselbe
Transformation veränderten charakteristischen Differentialform des
ursprünglichen Systems ist; \dh, ob die charakteristische
Differentialform
die Invarianteneigenschaft besitzt. Diese Frage wollen
wir untersuchen, und zwar zunächst für Transformationen der unabhängigen
Variablen.

Erstens ziehen wir in Betracht nicht die Gleichungen selbst,
sondern das System von Lineardifferentialausdrücken:

\[
\tag*{1)}
\left\{
\begin{array}{l}
  \lambda_1(u) \equiv
  a_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial x} + \dotsb
+ a_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial x}
+ b_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial y} + \dotsb
+ b_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial y}
+ c_{11}u_1 + \dotsb + c_{1n}u_n
\\  \hdotsfor[6]{1}  \\
  \lambda_n(u) \equiv
  a_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial x} + \dotsb
+ a_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial x}
+ b_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial y} + \dotsb
+ b_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial y}
+ c_{n1}u_1 + \dotsb + c_{1n}u_n
\end{array}\right.
\]

Es sei eine Transformation der unabhängigen Variablen gegeben:
\[
\tag*{4)}%[** TN: No equation number in original]
  X = X(x,y),\quad Y = Y(x,y),
\]
deren Funktionaldeterminante nicht verschwindet:
\[
  J \equiv\left|
\begin{array}{cc}
  \dfrac{\partial X}{\partial x} & \dfrac{\partial Y}{\partial x}
  \\[10pt]
  \dfrac{\partial X}{\partial y} & \dfrac{\partial Y}{\partial y}
\end{array}\right|
\neq 0.
\]
Aus 4) haben wir für die Transformation der Ableitungen und
Differentiale:
%-----File: 016.png---------------------------------------
\[
\tag*{6)}
\left\{\
\begin{array}{l}
\left.
\begin{array}{l}
  \dfrac{\partial u_q}{\partial x}
 =\dfrac{\partial u_q}{\partial X} \dfrac{\partial X}{\partial x}
+ \dfrac{\partial u_q}{\partial Y} \dfrac{\partial Y}{\partial y}
\\[10pt]
  \dfrac{\partial u_q}{\partial y}
 =\dfrac{\partial u_q}{\partial X} \dfrac{\partial X}{\partial y}
+ \dfrac{\partial u_q}{\partial Y} \dfrac{\partial Y}{\partial y}
\end{array}\ \right\}
  \;[q = 1, 2, \dotsc n]
\\[30pt]
  dX
 =dx \dfrac{\partial X}{\partial x}
+ dy \dfrac{\partial X}{\partial y}
\\[10pt]
  dY
 =dx \dfrac{\partial Y}{\partial x}
+ dy \dfrac{\partial Y}{\partial y}.
\end{array}\right.
\]

Die Formen~1) gehen in die neuen Formen über:

\[
\tag*{7)}
\left\{
\begin{array}{l}
  \varLambda_1(u)
= A_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial X} + \dotsb
+ A_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial X}
+ B_{11} \dfrac{\partial u_1}{\partial Y} + \dotsb
+ B_{1n} \dfrac{\partial u_n}{\partial Y}
+ C_{11} u_1 + \dotsb + C_{1n} u_n
\\  \hdotsfor[6]{1}  \\
  \varLambda_n(u)
= A_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial X} + \dotsb
+ A_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial X}
+ B_{n1} \dfrac{\partial u_1}{\partial Y} + \dotsb
+ B_{nn} \dfrac{\partial u_n}{\partial Y}
+ C_{n1} u_1 + \dotsb + C_{nn} u_n.
\end{array}\right.
\]
Da die Größen $c$ in $\delta$ gar nicht vorkommen, so brauchen wir die
transformierten Ausdrücke nur für $a$, $b$ auszurechnen; diese sind
\begin{align*}
\tag*{8)}
   A_{pq}
&= a_{pq} \frac{\partial X}{\partial x}
 + b_{pq} \frac{\partial X}{\partial y}
\\
   B_{pq}
&= a_{pq} \frac{\partial Y}{\partial x}
 + b_{pq} \frac{\partial Y}{\partial y}.
\end{align*}
Wir sehen, daß\ $a_{pq}$, $b_{pq}$ kogredient mit $dx$, $dy$ transformiert
werden.
Aus den Formeln 6),~8) und dem Multiplikationssatz für Determinanten
haben wir sogleich:
\[
  \varDelta =\left|
\begin{array}{ccccc}
  dX     & dY     & \dots & 0      & 0       \\
\hdotsfor[6]{5}                              \\
  0      & 0      & \dots & dX     & dY      \\
  A_{11} & B_{11} & \dots & A_{1n} & B_{1n}  \\
\hdotsfor[6]{5}                              \\
  A_{n1} & B_{n1} & \dots & A_{nn} & B_{nn}
\end{array}\right|
\]
%-----File: 017.png---------------------------------------
\begin{gather*}
=\left|\begin{array}{ccccc}
  dx \dfrac{\partial X}{\partial x}
+ dy \dfrac{\partial X}{\partial y}
&
  dx \dfrac{\partial Y}{\partial x}
+ dy \dfrac{\partial Y}{\partial y}
& \dots & 0 & 0
\\  \hdotsfor[6]{5}  \\
  0 & 0 & \dots
&
  dx \dfrac{\partial X}{\partial x}
+ dy \dfrac{\partial X}{\partial y}
&
  dx \dfrac{\partial Y}{\partial x}
+ dy \dfrac{\partial Y}{\partial y}
\\[15pt]
  a_{11} \dfrac{\partial X}{\partial x}
+ b_{11} \dfrac{\partial X}{\partial y}
&
  a_{11} \dfrac{\partial Y}{\partial x}
+ b_{11} \dfrac{\partial Y}{\partial y}
& \dots &
  a_{1n} \dfrac{\partial X}{\partial x}
+ b_{1n} \dfrac{\partial X}{\partial y}
&
  a_{1n} \dfrac{\partial Y}{\partial x}
+ b_{1n} \dfrac{\partial Y}{\partial y}
\\  \hdotsfor[6]{5}  \\
  a_{n1} \dfrac{\partial X}{\partial x}
+ b_{n1} \dfrac{\partial X}{\partial y}
&
  a_{n1} \dfrac{\partial Y}{\partial x}
+ b_{n1} \dfrac{\partial Y}{\partial y}
& \dots &
  a_{nn} \dfrac{\partial X}{\partial x}
+ b_{nn} \dfrac{\partial X}{\partial y}
&
  a_{nn} \dfrac{\partial Y}{\partial x}
+ b_{nn} \dfrac{\partial Y}{\partial y}
\end{array}\right|
\displaybreak[1]\\[20pt]
=\left|\begin{array}{ccccc}
  \dfrac{\partial X}{\partial x}
& \dfrac{\partial X}{\partial y}
& \dots & 0 & 0
\\[10pt]
  \dfrac{\partial Y}{\partial x}
& \dfrac{\partial Y}{\partial y}
& \dots & 0 & 0
\\  \hdotsfor[6]{5}  \\
  0 & 0 & \dots
& \dfrac{\partial X}{\partial x}
& \dfrac{\partial X}{\partial y}
\\[10pt]
  0 & 0 & \dots
& \dfrac{\partial Y}{\partial x}
& \dfrac{\partial Y}{\partial y}
\end{array}\right|
\;\cdot\;
\left|\begin{array}{ccccc}
  dx & dy & \dots & 0  & 0
\\  \hdotsfor[6]{5}  \\
  0  & 0  & \dots & dx & dy
\\
  a_{11} & b_{11} & \dots & a_{1n} & b_{1n}
\\  \hdotsfor[6]{5}  \\
  a_{n1} & b_{n1} & \dots & a_{nn} & b_{nn}
\end{array}\right|
\end{gather*}
\dh
\[
\tag*{9)}
  \varDelta = J^n \delta
\]
oder, mit Worten ausgesprochen:

\so{Die charakteristische Differentialform ändert
sich bei der Transformation 4) nur um einen Faktor,
die $n$-te Potenz der Funktionaldeterminante.}

\Paragraph{III.} Es sei jetzt eine lineare Transformation der Funktionen
$u_1$, $u_2,\dotsc u_n$ gegeben:
\[
\tag*{10)}
  u_p = \sum_{q=1}^n \alpha_{pq} U_q, \qquad\qquad [p= 1, 2,\dotsc n]
\]
wo die $\alpha_{pq}$ Funktionen von $x$, $y$ sind, deren Determinante
nicht
verschwindet:
\[
\tag*{11)}
  J =
\left|\begin{array}{ccc}
  \alpha_{11} & \dots & \alpha_{1n}
\\  \hdotsfor[6]{3}  \\
  \alpha_{n1} & \dots & \alpha_{nn}
\end{array}\right| \neq 0.
\]
Für die Transformation der Ableitungen von $u_p$ haben wir:
\[
\tag*{12)}
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u_p}{\partial x} &=
  \sum_{q=1}^n \alpha_{pq} \frac{\partial U_q}{\partial x}
+ \sum_{q=1}^n \frac{\partial \alpha_{pq}}{\partial x} U_q
\\
  \frac{\partial u_p}{\partial y} &=
  \sum_{q=1}^n \alpha_{pq} \frac{\partial U_q}{\partial y}
+ \sum_{q=1}^n \frac{\partial \alpha_{pq}}{\partial y} U_q
\end{aligned}
\right.
\]
%-----File: 018.png---------------------------------------
Wir bekommen durch die Transformation neue Lineardifferentialformen~7),
wo jetzt\footnote{
  Die aus 12) entstehenden Glieder, die $U_q$ enthalten, setzen sich
  mit den
  andern vorkommenden Gliedern in $U_q$ zusammen, kommen daher hier
  nicht in
  Betracht.}:
\[
\tag*{13)}
\left\{
\begin{aligned}
  A_{pq} &= \sum_{r=1}^n a_{pr} \alpha_{rq}  \\
  B_{pq} &= \sum_{r=1}^n b_{pr} \alpha_{rq}
\end{aligned}
\right.
\]
Hier sind $a_{pq}$, sowie auch $b_{pq}$ kontragredient mit $u_p$
transformiert.
Für die neue charakteristische Differentialform haben wir:
\[
  \varDelta =
\left|\begin{array}{ccccc}
  dx     & dy     & \dots & 0      & 0       \\
\hdotsfor[6]{5}                              \\
  0      & 0      & \dots & dx     & dy      \\
  A_{11} & B_{11} & \dots & A_{1n} & B_{1n}  \\
\hdotsfor[6]{5}                              \\
  A_{n1} & B_{n1} & \dots & A_{nn} & B_{nn}
\end{array}\right|
\]
Die Koeffizienten der einzelnen Produkte $dx^p\; dy^{n-p}$ in $\delta$
sind
gewisse $n$-reihige Determinanten $d$ aus der Matrix der Koeffizienten
$a$, $b$ des Systems~1); die Koeffizienten der entsprechenden Glieder
in $\varDelta$ sind die entsprechenden transformierten Determinanten $D$;
$dx$, $dy$ sind unverändert. Für jede solche Determinante gilt aber,
wenn wir mit $h_{pq}$ irgend eine der beiden Größen $a_{pq}$, $b_{pq}$,
mit $H_{pq}$
die entsprechende transformierte Größe bezeichnen:
\begin{gather*}
  D =
\left|\begin{array}{ccc}
  H_{11} & \dots & H_{1n}  \\
\hdotsfor[6]{3}            \\
  H_{n1} & \dots & H_{nn}
\end{array}\right| =
\left|\begin{array}{ccc}
  \sum\limits_{r=1}^n h_{1r} \alpha_{r1} & \dots &
  \sum\limits_{r=1}^n h_{1r} \alpha_{rn}  \\
\hdotsfor[6]{3}            \\
  \sum\limits_{r=1}^n h_{nr} \alpha_{r1} & \dots &
  \sum\limits_{r=1}^n h_{nr} \alpha_{rn}
\end{array}\right|
\\
=
\left|\begin{array}{ccc}
  h_{11} & \dots & h_{1n}  \\
\hdotsfor[6]{3}            \\
  h_{n1} & \dots & h_{nn}
\end{array}\right| \;\cdot\;
\left|\begin{array}{ccc}
  \alpha_{11} & \dots & \alpha_{n1}  \\
\hdotsfor[6]{3}                      \\
  \alpha_{1n} & \dots & \alpha_{nn}
\end{array}\right| = Jd.
\end{gather*}
Da dies für jeden Koeffizienten in $\delta$ gilt, so ist
\[
  \varDelta = J\delta,
\]
also

\so{Die charakteristische Differentialform ändert
sich unter der Transformation~10) nur um einen Faktor,
die Determinante der Transformation.}
%-----File: 019.png---------------------------------------

\Paragraph{IV.} Wir wollen schließlich untersuchen, was aus der Form~$\delta$
wird, wenn wir das System~1) mittels linearer Zusammensetzung
verändern. Wir schreiben also:
\[
\tag*{15)}
\varLambda_p(u) = \sum_{q=1}^n \alpha_{pq}\lambda_q(u),
\qquad\rlap{$[p = 1, 2,\dotsc n]$}
\]
wo $\alpha_{pq}$ Funktionen von $x$, $y$ sind, deren Determinante nicht
verschwindet:
\[
\tag*{16)}
  J =
\left|\begin{array}{ccc}
  \alpha_{11} & \dots & \alpha_{1n}  \\
\hdotsfor[6]{3}  \\
  \alpha_{n1} & \dots & \alpha_{nn}
\end{array}\right| \neq 0.
\]
Wir bekommen das neue System~7), wo aber jetzt:
\[
\tag*{17)}
\left\{
\begin{aligned}
  A_{pq} &= \sum_{r=1}^n \alpha_{pr} a_{rq}  \\
  B_{pq} &= \sum_{r=1}^n \alpha_{pr} b_{rq}.
\end{aligned}
\right.
\]
Hier sind sowohl $a_{pq}$ als auch $b_{pq}$ kogredient mit $\lambda_q(u)$
transformiert.
Wir sehen genau wie vorhin, daß
\[
\tag*{18)}
  \varDelta = J\delta.
\]

\so{Die charakteristische Differentialform ändert
sich unter der Transformation~15) nur um einen Faktor,
die Determinante der Transformation.}

\Paragraph{V.} Schließlich können wir das Wesentliche der vorigen Sätze
in folgender Aussage über die Gleichung $\delta = 0$ zusammenfassen:

\so{Bei beliebigen, nicht singulären Transformationen
der unabhängigen Variablen, linearen, nicht singulären
Transformationen der unbekannten Funktionen
und linearen, nicht singulären Zusammensetzungen
der einzelnen Gleichungen des Systems, bleibt die
Gleichung der Charakteristiken des Systems invariant.}


\Section{2. Die Normalformen der Gleichungssysteme.}

Von jetzt ab beschränken wir uns auf Systeme von zwei
Gleichungen mit zwei unbekannten Funktionen. Wir wollen in
diesem Paragraphen aus der Beschaffenheit der charakteristischen
Differentialform und anderen damit verbundenen Begriffen eine
Klassifikation der Systeme herausziehen, und die einzelnen Klassen
auf Normalformen reduzieren. Es wird hier beständig das Zeichen
$\mathfrak{L}(u, v)$ gebraucht, um irgend eine lineare Funktion von $u$,~$v$ zu
bezeichnen, deren Koeffizienten Funktionen von $x$, $y$ sind; der Gebrauch
%-----File: 020.png---------------------------------------
des Symbols $\mathfrak{L}(u, v)$, um gleichzeitig mehrere verschiedene
lineare Funktionen zu bezeichnen, wird keine Ungenauigkeit hervorrufen.

\Paragraph{I.} Wir betrachten das System:
\[
\tag*{1)}
\left\{\
\begin{aligned}
  \lambda_1 &\equiv
  a_{11} \frac{\partial u}{\partial x}
+ b_{11} \frac{\partial u}{\partial y}
+ a_{12} \frac{\partial v}{\partial x}
+ b_{12} \frac{\partial v}{\partial y} = \mathfrak{L}(u,v)
\\
  \lambda_2 &\equiv
  a_{21} \frac{\partial u}{\partial x}
+ b_{21} \frac{\partial u}{\partial y}
+ a_{22} \frac{\partial v}{\partial x}
+ b_{22} \frac{\partial v}{\partial y} = \mathfrak{L}(u,v).
\end{aligned}
\right.
\]

Die charakteristische Differentialform ist:
\[
\tag*{2)}
  \delta \equiv
\left|\begin{array}{cccc}
  dx     & dy     & 0      & 0       \\
  0      & 0      & dx     & dy      \\
  a_{11} & b_{11} & a_{12} & b_{12}  \\
  a_{21} & b_{21} & a_{22} & b_{22}
\end{array}\right|
\]
oder
\[
\tag*{3)}
  -\delta = p\,dx^2 + 2q\,dx\,dy + r\,dy^2,
\]
wo
\[
\tag*{4)}
\left\{\
\begin{array}{rc}
  p = &
\begin{vmatrix}  b_{11} & b_{12}  \\  b_{21} & b_{22}  \end{vmatrix}
\phantom{.}
\\[1em]
 2q = &
-\begin{vmatrix}  a_{11} & b_{12}  \\  a_{21} & b_{22}  \end{vmatrix}
-\begin{vmatrix}  b_{11} & a_{12}  \\  b_{21} & a_{22}  \end{vmatrix}
\\[1em]
  r = &
\begin{vmatrix}  a_{11} & a_{12}  \\  a_{21} & a_{22}  \end{vmatrix}.
\end{array}
\right.
\]

Setzen wir $\delta = 0$, so haben wir eine quadratische Gleichung
für das Verhältnis $dx : dy$. Die weitere Diskussion beruht hauptsächlich
auf dem Charakter der Wurzeln dieser Gleichung.

Ist in einem Punkte~$P$\ $pr-q^2>0$, so gibt es \so{keine} reellen
Wurzeln der Gleichung $\delta = 0$; es existieren \so{keine} (reellen)
Charakteristiken durch~$P$. Wir sagen, der Punkt~$P$ ist ein
\so{elliptischer Punkt} des Systems~1), oder auch, 1)~ist ein
\so{elliptisches System} in~$P$.

Ist in einem Punkte~$P$\ $pr-q^2<0$, so gibt es in diesem
Punkte \so{zwei} reelle Wurzeln der Gleichung $\delta=0$; wir haben
also \so{zwei} Richtungen, die von den charakteristischen Kurven
durch~$P$ angenommen werden können. Wir sagen, $P$~ist ein
\so{hyperbolischer Punkt} von~1), oder 1)~ist ein \so{hyperbolisches
System} in~$P$.

Ist $pr-q^2=0$, aber wenigstens eine der Größen $p$,~$q$,~$r$ von
Null verschieden in einem Punkte~$P$, so gibt es in $P$ \so{eine} (doppelte)
%-----File: 021.png---------------------------------------
Wurzel der Gleichung $\delta = 0$; nur \so{eine} charakteristische
Richtung durch $P$ existiert. Wir nennen $P$ einen \so{parabolischen
Punkt} von~1), und~1) ein \so{parabolisches System} in~$P$.

Ist schließlich $p = q = r = 0$ in $P$, so verschwindet jeder
Koeffizient von $\delta$ in $P$, daher ist \so{jede} Richtung durch
$P$ eine
charakteristische Richtung. In diesem Falle heißt $P$ ein \so{singulärer
Punkt} von~1) und wir nennen~1) ein \so{singuläres System}
in~$P$.

\Paragraph{II.} Wir wollen auch die Möglichkeit untersuchen, daß die
Unterdeterminanten von $\delta$ verschwinden. Wir sehen von vorn
herein, daß nicht alle zweireihigen Unterdeterminanten verschwinden,
denn wäre dem so, so hätten wir \ua\ $dx = 0$, $dy = 0$,
wodurch keine Richtung bestimmt ist. Setzen wir alle dreireihigen
Unterdeterminanten gleich Null, vereinfachen die Resultate und
entfernen die überflüssigen Gleichungen, so bleiben folgende übrig:
\begin{align*}
  b_{11} dx - a_{11} dy &= 0  \\
  b_{12} dx - a_{12} dy &= 0 \displaybreak[1] \\
  b_{21} dx - a_{21} dy &= 0  \\
  b_{22} dx - a_{22} dy &= 0  \displaybreak[1] \\
  a_{12} b_{22} - a_{22} b_{12} &= 0  \\
  a_{11} b_{21} - a_{21} b_{11} &= 0.
\end{align*}
Die letzten beiden Gleichungen, zusammen mit der Bedingung für
die Möglichkeit der ersten vier, besagen, daß jede zweireihige
Determinante aus der Matrix
\[
\tag*{5)}
  M =
\left\|\begin{array}{cccc}
  a_{11} & a_{12} & a_{21} & a_{22}  \\
  b_{11} & b_{12} & b_{21} & b_{22}
\end{array}\right\|
\]
(die nicht mit der Matrix der Koeffizienten von~1) in ihrer vorkommenden
Reihenfolge zu verwechseln ist) verschwinden muß.
Einen Punkt~$P$, für welchen alle zweireihigen Determinanten von~5)
verschwinden, nennen wir einen \so{ausgezeichneten Punkt}
von~1), und~1) ein \so{ausgezeichnetes System} in $P$.

Schreiben wir in diesem Falle
\[
%[** TN: Removed \quad before comma]
  a_{pq} = \alpha\varrho_{pq},\quad b_{pq} = \beta\varrho_{pq},
\]
so ist
\[
  -\delta = (\varrho_{11}\varrho_{22} - \varrho_{12}\varrho_{21})
  (\beta \,dx - \alpha \,dy)^2,
\]
so daß ein ausgezeichneter Punkt nie elliptisch oder hyperbolisch,
sondern nur parabolisch oder singulär sein kann.

\Paragraph{III.} Man sieht sofort, daß die Kriterien in I.~und~II.\ invariant
bleiben unter den in \S~1 besprochenen Transformationen, \dh:
%-----File: 022.png---------------------------------------

\so{Die Eigenschaft eines Systems~1), in einem Punkte
elliptisch, hyperbolisch, gewöhnlich-parabolisch,
ausgezeichnet-parabolisch, gewöhnlich-singulär
oder ausgezeichnet-singulär zu sein, bleibt unverändert
unter den betrachteten Transformationen.}

Jetzt werden wir ausschließlich Systeme betrachten, die denselben
Charakter in jedem Punkte eines ganzen Bereiches besitzen,
und wir wollen beweisen, daß es Normalformen für jeden Charakter
gibt, so daß jedes System eines Charakters durch Transformationen
der drei betrachteten Arten auf die entsprechende Normalform
reduziert werden kann. Wir nennen kurz Transformationen der
unabhängigen Variablen, lineare Zusammensetzungen der Gleichungen
und lineare Transformationen der unbekannten Funktionen
der Reihe nach Transformationen 1., 2.\ und 3.~Art.

\Paragraph{IV.} Nehmen wir zunächst den elliptischen Fall. Es sei also
$pr-q^2 > 0$ in jedem Punkt eines Gebietes. Dann hat die Gleichung
$\delta = 0$ zwei konjugiert komplexe Wurzeln, und wir haben
die Differentialgleichungen
\[
%[** TN: Removed \quad before comma in next three displayed equations]
  \mu\,dx + \nu\,dy = 0,\quad
  \overline{\mu}\,dx + \overline{\nu}\,dy = 0.
\]
Deren Lösungen sind auch konjugiert komplex; sie mögen etwa
\[
  \xi(x,y) = \alpha,\quad \overline{\xi}(x,y) = \beta
\]
heißen, wo $\alpha$, $\beta$ Konstante bedeuten. Schreiben wir
\[
  X = \xi + \overline{\xi},\quad Y = i(\xi - \overline{\xi}),
\]
so haben wir eine reelle Transformation 1.~Art, deren
Funktionaldeterminante
nicht verschwindet; denn wäre die Funktionaldeterminante
gleich Null, so wäre auch
\[
\arraycolsep=2pt
  4(q^2 - pr) =
\left|\begin{array}{cc}
\mu & \nu \\ \overline{\mu} & \overline{\nu}
\end{array}\right|^2 = 0.
\]
Durch diese Transformation erhalten wir eine neue Form für das
System~1), deren Koeffizienten wir aber wieder mit denselben
Buchstaben bezeichnen, da kein Irrtum dadurch entstehen kann.
Durch die Transformation nimmt die Gleichung der Charakteristiken
die einfache Form
\[
  dX^2 + dY^2 = 0
\]
an; nach \S~1,~V ist diese Gleichung wieder die Charakteristikengleichung.
In der neuen Form muß diese Gleichung mit
\[
  p\,dX^2 + 2q\,dX\,dY+ r\,dY^2 = 0
\]
übereinstimmen; daraus folgt:
%-----File: 023.png---------------------------------------
\[
\begin{array}{cccl}
\left|\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}
\end{array}\right|
&=&
\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
&\neq 0  \\[1em]
\left|\begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22}
\end{array}\right|
&+&
\left|\begin{array}{cc} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
&= 0.
\end{array}
\]

Wegen der ersten dieser Bedingungen ist es möglich, eine
solche Transformation 2.~Art auszuführen, daß $\dfrac{\partial u}{\partial
x}$, $\dfrac{\partial v}{\partial x}$ mittels der
andern Größen linear ausgedrückt werden; wir gebrauchen nach
der Transformation wieder dieselben Buchstaben wie vorher. Die
letztgenannten Bedingungen bleiben erhalten; ferner ist jetzt
\[
  a_{11} = 1,\; a_{12} = 0,\; a_{21} = 0,\; a_{22} = 1;
\]
die Bedingungen nehmen daher die Gestalt an:
\begin{gather*}
  b_{11} b_{22} - b_{12} b_{21} = 1,  \\
  b_{22} + b_{11} = 0.
\end{gather*}

Die Gleichungen~1) selbst haben also die Form:
\[
\left\{\
\begin{aligned}
  \lambda_1 \equiv
         \frac{\partial u}{\partial X}
+ b_{11} \frac{\partial u}{\partial Y}
+ b_{12} \frac{\partial v}{\partial Y} = \mathfrak{L}(u,v)
\\
  \lambda_2 \equiv
         \frac{\partial v}{\partial X}
+ b_{21} \frac{\partial u}{\partial Y}
- b_{11} \frac{\partial v}{\partial Y} = \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\ \right\},\quad
  b_{11}^2 + b_{12} b_{21} + 1 = 0.
\]
Es sind sicher $b_{12} \neq 0$, $b_{21} \neq 0$, denn wäre $b_{12} = 0$
oder $b_{21} = 0$,
so hätten wir den Widerspruch $b_{11}^2 + 1 = 0$. Wir dürfen also die
Transformation 2.~Art:
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \varLambda_1 &= \phantom{-b_{11}} \lambda_1  \\
  \varLambda_2 &=          -b_{11}  \lambda_1 - b_{12} \lambda_2
\end{aligned}
\right.
\]
ausführen; dadurch bekommen wir:
\[
\left\{
\begin{aligned}
          \frac{\partial u}{\partial X}
+ b_{11} \frac{\partial u}{\partial Y}
+ b_{12} \frac{\partial v}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v)
\\
  -b_{11} \frac{\partial u}{\partial X}
- b_{12} \frac{\partial v}{\partial X}
+ \phantom{b_{12}} \frac{\partial u}{\partial Y} &=\mathfrak{L}(u,v).
\end{aligned}
\right.
\]

Machen wir schließlich die Transformation 3.~Art:
\[
\left\{\
\begin{aligned}
  U &= \phantom{b_{11}} u  \\
  V &=           b_{11}  u + b_{12} v,
\end{aligned}
\ \right.
\]
so gelangen wir zu der Form:
\[
\left\{\
\begin{aligned}
  \frac{\partial U}{\partial X}
+ \frac{\partial V}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v)
\\
  \frac{\partial U}{\partial Y}
- \frac{\partial V}{\partial X} &= \mathfrak{L}(u,v).
\end{aligned}
\ \right.
\]
%-----File: 024.png---------------------------------------
Wir können also sagen:

\so{Ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet
elliptisch ist, läßt sich durch Transformationen der
drei genannten Arten auf die Normalform}
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} = \mathfrak{L}(u,v)
\\
  \frac{\partial u}{\partial y}
- \frac{\partial v}{\partial x} = \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right.
\]
\so{bringen.}

\Paragraph{V.} Im hyperbolischen Falle ist $pr -q^2 <0$ in einem ganzen
Gebiet. Die Gleichung $\delta = 0$ hat zwei reelle, verschiedene Wurzeln;
die Charakteristiken sind durch Gleichungen
\[
  \mu\,dx + \nu\,dy = 0,\quad \pi\,dx + \varkappa\,dy = 0
\]
gegeben, deren Lösungen etwa
\[
  X(x,y) = \alpha,\quad Y(x,y) = \beta
\]
sein mögen. Wir wenden die Transformation 1.~Art
\[
  x = X(x,y),\quad y = Y(x,y)
\]
an. Dadurch wird die Gleichung der Charakteristiken
\[
  dX\,dY = 0,
\]
sodaß die Koeffizienten von 1) den Bedingungen genügen müssen:
\[
\begin{array}{cccl}
\left|\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}
\end{array}\right|
&=&
\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
&= 0  \\[1em]
\left|\begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22}
\end{array}\right|
&+&
\left|\begin{array}{cc} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22}
\end{array}\right|
&\neq 0.
\end{array}
\]
Die letzte Bedingung sagt aus, daß die Summe zweier Determinanten
von Null verschieden ist; dann ist wenigstens eine dieser
Determinanten von Null verschieden; wir nehmen an, ohne Einschränkung
der Allgemeinheit, daß
\[
\left|\begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22}
\end{array}\right| \neq 0.
\]

Dann läßt sich eine solche Transformation 2.~Art angeben,
daß das System nach $\dfrac{\partial u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial
v}{\partial y}$ aufgelöst wird; daher nehmen wir
sogleich an, daß
\[
  a_{11} = 1,\quad b_{12} = 0,\quad a_{21} = 0,\quad b_{22} = 1;
\]
die andern Bedingungen werden:
%-----File: 025.png---------------------------------------
\begin{gather*}
  b_{11} = 0,\quad a_{22} = 0,  \\
  1 - a_{12}b_{21} \neq 0,
\end{gather*}
und die Gleichungen schreiben sich
\[
\left.
\begin{aligned}
         \frac{\partial u}{\partial X}
+ a_{12} \frac{\partial v}{\partial X} &= \mathfrak{L}(u,v)
\\
           b_{21}  \frac{\partial u}{\partial Y}
+ \phantom{a_{12}} \frac{\partial v}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right\},\quad 1 - a_{12}b_{21} \neq 0.
\]
Führen wir schließlich die nicht singuläre Transformation 3.~Art
\[
\left\{
\begin{aligned}
  U &= \phantom{b_{21}} u +          a_{12}  v  \\
  V &=          b_{21}  u + \phantom{a_{12}} v
\end{aligned}
\right.
\]
aus, so nehmen die Gleichungen die Gestalt an:
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial U}{\partial X} &= \mathfrak{L}(U,V)  \\
  \frac{\partial V}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(U,V) ,
\end{aligned}
\right.
\]
also:

\so{Ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet
hyperbolisch ist, läßt sich durch Transformationen
der drei genannten Arten auf die Normalform}
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right.
\]
\so{bringen.}

\Paragraph{VI.} Für den parabolischen Fall ist $pr - q^2 = 0$, eine der
Größen $p, q, r \neq 0$. Die Gleichung $\delta = 0$ hat eine (doppelte)
reelle Wurzel; die Charakteristiken sind durch eine Gleichung
ersten Grades:
\[
  \mu\,dx + \nu\,dy = 0
\]
gegeben, die etwa die Lösung
\[
  X(x, y) = \alpha
\]
besitzt. Wir wählen $Y(x,y)$, eine willkürliche, von der Funktion
$X(x,y)$ unabhängige Funktion, und machen die Transformation
1.~Art:
\[
  X= X(x,y),\quad Y= Y(x,y).
\]
Die Gleichung der Charakteristiken wird dadurch
\[
  dX^2 = 0.
\]
%-----File: 026.png---------------------------------------
Es müssen also für die Koeffizienten von 1) die Bedingungen erfüllt
sein:
\begin{gather*}
\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}
\end{array}\right|=
\left|\begin{array}{cc} a_{11} & b_{12} \\ a_{21} & b_{22}
\end{array}\right|+
\left|\begin{array}{cc} b_{11} & a_{12} \\ b_{21} & a_{22}
\end{array}\right| = 0, \\
\left|\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}
\end{array}\right|\neq 0.
\end{gather*}
Durch geeignete Wahl einer Transformation 2.~Art können wir
nach $\dfrac{\partial u}{\partial y}$, $\dfrac{\partial v}{\partial y}$
auflösen, so daß wir schreiben dürfen:
\[
  b_{11} = 1,\quad b_{12} = 0,\quad b_{21} = 0,\quad b_{22} = 1,
\]
wobei die andern Bedingungen folgende Form annehmen:
\begin{gather*}
  a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} = 0,  \\
  a_{11} + a_{22} = 0.
\end{gather*}
Das System wird dann:
\[
\left.
\begin{aligned}
  \lambda_1 \equiv
         \frac{\partial u}{\partial Y}
+ a_{11} \frac{\partial u}{\partial X}
+ a_{12} \frac{\partial v}{\partial X} = \mathfrak{L}(u,v)
\\
  \lambda_2 \equiv
         \frac{\partial v}{\partial Y}
+ a_{21} \frac{\partial u}{\partial X}
- a_{11} \frac{\partial v}{\partial X} = \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right\},\quad  a_{11}^2 + a_{12} a_{21} = 0.
\]

A) In der Nähe eines gewöhnlich-parabolischen Punktes ist
mindestens eine zweireihige Determinante aus der Matrix
\[
\arraycolsep=2pt
  M =
\left\|\begin{array}{cccc}
  a_{11} & a_{12} & a_{21} & -a_{11} \\
  1 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right\|
\]
von Null verschieden; \dh\ es dürfen nicht gleichzeitig $a_{11}$,
$a_{12}$, $a_{21}$
verschwinden; oder, mit Rücksicht auf die obige Bedingung, entweder
$a_{12}$ oder $a_{21}$ ist von Null verschieden. Enthält das Gebiet
keine ausgezeichneten Punkte, und verschwinden daher $a_{12}$, $a_{21}$
nie
gleichzeitig, so ist es möglich, das Gebiet auf solche Weise einzuteilen,
daß in jedem Teilgebiet entweder $a_{12}$ oder $a_{21}$ nicht
verschwindet\footnote{
  Diese Einteilung des Gebiets ist notwendig. Z.~B.\ hat das System
\[
\left\{
\begin{aligned}
             \frac{\partial u}{\partial y} +
   x(1-x)\>\,\frac{\partial u}{\partial x} -
\phantom{x}(1-x)^2 \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v)
\\
            \frac{\partial v}{\partial y} +
\phantom{(1-x)}x^2 \frac{\partial u}{\partial x} -
 x (1-x)\>\,\frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right.
\]
  keine ausgezeichneten Punkte, jedoch ist es unmöglich, das System in
  einem ganzen
  Gebiet, welches Teile der Geraden $x = 0$, $x = 1$ enthält, durch
  nicht singuläre
  Transformationen auf die Normalform zu bringen.}.

Ist $a_{12} \neq 0$ in einem ganzen Gebiet, so führen wir die
Transformation
2.~Art
%-----File: 027.png---------------------------------------
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \varLambda_1 &= \phantom{a_{11}} \lambda_1  \\
  \varLambda_2 &=          a_{11}  \lambda_1 + a_{12} \lambda_2
\end{aligned}
\right.
\]
aus; wir bekommen:
\[
\left\{
\begin{aligned}
         \frac{\partial u}{\partial Y}
+ a_{11} \frac{\partial u}{\partial X}
+ a_{12} \frac{\partial v}{\partial X} &= \mathfrak{L}(u,v)
\\
  a_{11} \frac{\partial u}{\partial Y}
+ a_{12} \frac{\partial v}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v);
\end{aligned}
\right.
\]
und schließlich liefert die Transformation 3.~Art
\[
\left\{
\begin{aligned}
  U &=          a_{11}  u + a_{12} v  \\
  V &= \phantom{a_{11}} u
\end{aligned}
\right.
\]
die Form
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial U}{\partial X}
+ \frac{\partial V}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(U,V)
\\
  \frac{\partial U}{\partial Y}
  \phantom{ {} + \frac{\partial U}{\partial X}} &= \mathfrak{L}(U,V).
\end{aligned}
\right.
\]

Wäre dagegen $a_{21} \neq 0$ so hätten wir die Transformation
2.~Art
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \varLambda_1 &= \phantom{a_{21} \lambda_1 - a_{11}} \lambda_2  \\
  \varLambda_2 &=          a_{21} \lambda_1 - a_{11}  \lambda_2
\end{aligned}
\right.
\]
und die Transformation 3.~Art
\[
\left\{
\begin{aligned}
  U &=          a_{21} u - a_{11}  v  \\
  V &= \phantom{a_{21} u - a_{11}} v
\end{aligned}
\right.
\]
anwenden können und wären zu derselben Form gekommen.

B) In dem Falle, daß jeder Punkt eines Gebietes ausgezeichnet-parabolisch
ist, reduziert sich unser System auf die Form:
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  \frac{\partial v}{\partial Y} &= \mathfrak{L}(u,v);
\end{aligned}
\right.
\]
durch eine Vertauschung der unabhängigen Variablen können wir
die Ableitungen nach $Y$ durch Ableitungen nach $X$ ersetzen.

Wir fassen die Resultate so zusammen:

\so{Ein System~1) welches in einem ganzen Gebiet
gewöhnlich-parabolisch ist, läßt sich durch Transformationen
der drei genannten Arten in jedem einer
endlichen Anzahl von Teilgebieten, welche das gegebene
Gebiet vollständig überdecken, auf die Normalform}
%-----File: 028.png---------------------------------------
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  \frac{\partial u}{\partial y}
\phantom{{} + \frac{\partial v}{\partial y}} &= \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right.
\]
\so{bringen; ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet
ausgezeichnet-parabolisch ist, läßt sich auf die
Normalform}
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right.
\]
\so{bringen.}

\Paragraph{VII.} Für ein singuläres System verschwindet jeder Koeffizient
in $\delta$; jede Richtung $dx: dy$ ist eine charakteristische Richtung.
Wir haben also die Bedingungen
\[
\begin{vmatrix} \,a_{11} & a_{12}\, \\ \,a_{21} & a_{22}\, \end{vmatrix}
=0,\;
\begin{vmatrix} \,b_{11} & b_{12}\, \\ \,b_{21} & b_{22}\, \end{vmatrix}
=0,\;
\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{12}\, \\ \,a_{21} & b_{22}\, \end{vmatrix} +
\begin{vmatrix} \,b_{11} & a_{12}\, \\ \,b_{21} & a_{22}\, \end{vmatrix}
=0.
\]

A) Wir wollen erstens den Fall betrachten, daß jeder Punkt
des Gebietes ein ausgezeichneter Punkt ist. Dann können wir
nach II schreiben
\[
  a_{pq} = \alpha\varrho_{pq},\; b_{pq} = \beta\varrho_{pq},
\]
sodaß unsere Bedingungen sich auf folgende
\[
  \alpha^2 R = 0,\; \alpha\beta R = 0,\; \beta^2 R = 0
\]
reduzieren, wo
\[
  R =
\begin{vmatrix}
  \,\varrho_{11} & \varrho_{12}\, \\
  \,\varrho_{21} & \varrho_{22}\,
\end{vmatrix}.
\]

Es ist entweder $\alpha = \beta = 0$, oder $R = 0$. Im ersten Falle
verschwinden die Koeffizienten in (1). Im zweiten Fall verschwindet
jede zweireihige Determinante aus der Matrix der
Koeffizienten von (1):
\[
  M =
\begin{Vmatrix}
  \,a_{11} & b_{11} & a_{12} & b_{12}\,  \\
  \,a_{21} & b_{21} & a_{22} & b_{22}\,
\end{Vmatrix}.
\]
In beiden Fällen sind die Gleichungen des Systems linear abhängig.
Der Vollständigkeit halber wollen wir auch für diesen trivialen
Fall eine Normalform angeben. Verschwinden alle Koeffizienten
$a$, $b$, so ist die Normalform schon erreicht:
\[
\left\{
\begin{aligned}
  0 &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  0 &= \mathfrak{L}(u,v).
\end{aligned}
\right.
\]
%-----File: 029.png---------------------------------------

Verschwinden nicht alle Koeffizienten, so bekommen wir durch
eine Transformation 2.~Art die Form
\[
\left\{
\begin{aligned}
  0 &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  a_1 \frac{\partial u}{\partial x}
+ b_1 \frac{\partial u}{\partial y}
+ a_2 \frac{\partial v}{\partial x}
+ b_2 \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right\},\quad a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0.
\]
Es ist alsdann leicht, Transformationen 3.\ und 1.~Art zu finden,
die das System in die Form
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  0                             &= \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right.
\]
bringen.

B) Wir betrachten schließlich den Fall, daß jeder Punkt des
Gebietes gewöhnlich-singulär ist; es gelten die am Anfange dieses
Absatzes aufgestellten Bedingungen. Es sei zunächst ein derartiges
Teilgebiet betrachtet (wenn ein solches existiert), daß in
jedem seiner Punkte die Ungleichung
\[
\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{12}\, \\ \,a_{21} & b_{22}\,
\end{vmatrix}\neq 0
\]
gilt; dann können wir durch eine Transformation 2.~Art erreichen,
daß
\[
  a_{11} = 1,\; a_{21} = 0,\; b_{12} =0,\; b_{22} = 1,
\]
wobei die andern Bedingungen dann lauten:
\[
  a_{22} = 0,\; b_{11} = 0,\; 1 - a_{12} b_{21} = 0;
\]
die so erhaltenen Gleichungen:
\[
\left\{\
\begin{aligned}
         \frac{\partial u}{\partial x}
+ a_{12} \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v)  \\[1em]
         \frac{\partial v}{\partial y}
+ b_{21} \frac{\partial u}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\ \right\},\quad a_{12} b_{21} = 1,
\]
lassen sich sofort durch eine Transformation 3.~Art auf die Form
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  \frac{\partial u}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right.
\]
bringen.

Zweitens betrachten wir ein Teilgebiet, wo
\[
\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{11}\, \\ \,a_{21} & b_{21}\, \end{vmatrix}
\neq 0.
\]
%-----File: 030.png---------------------------------------
Wir können dann durch eine Transformation 2.~Art erreichen, daß
\[
  a_{11} = 1,\; a_{21} = 0,\; b_{11} = 0,\; b_{21} = 1,
\]
daher auch
\[
  a_{22} = 0,\; b_{12} = 0,\; b_{22} - a_{12} = 0;
\]
es lauten dann die Gleichungen:
\[
\left\{\
\begin{aligned}
         \frac{\partial u}{\partial x}
+ a_{12} \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v)  \\[1em]
         \frac{\partial u}{\partial \DPtypo{x}{y}}
+ a_{12} \frac{\partial v}{\partial \DPtypo{x}{y}} &= \mathfrak{L}(u,v),
\end{aligned}
\right.
\]
die sich wieder durch eine Transformation 3.~Art auf die oben
gegebene Form reduzieren lassen.

Nehmen wir ein beliebig großes Gebiet, in welchem die Determinanten
\[
\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{12}\, \\ \,a_{21} & b_{22}\,
\end{vmatrix},\quad
\begin{vmatrix} \,a_{11} & b_{11}\, \\ \,a_{21} & b_{21}\, \end{vmatrix}
\]
nie gleichzeitig verschwinden, so können wir es in Teilgebiete zerlegen,
sodaß in jedem Teilgebiet eine dieser Determinanten überall
von Null verschieden ist. Unsere Reduktion ist daher erreicht in
dem gewählten Gebiet. Es bleibt übrig, diejenigen Teilbereiche
zu untersuchen, welche Punkte enthalten, die beiden Determinanten
den Wert Null erteilen. Verschwinden die Determinanten in einem
Punkte, so verschwindet dort auch notwendig im vorliegenden Fall
\[
\begin{vmatrix} \,b_{11} & a_{12}\, \\ \,b_{21} & a_{22}\, \end{vmatrix};
\]
es ist dann sicher in diesem Punkt (und daher in einem kleinen
Gebiet um diesen Punkt)
\[
\begin{vmatrix} \,a_{12} & b_{12}\, \\ \,a_{22} & b_{22}\, \end{vmatrix}
\neq 0,
\]
es sei denn, daß die Gleichungen in diesem Punkt linear abhängig
sind; diese Möglichkeit lassen wir vorläufig bei Seite. Führen
wir eine Transformation 2.~Art aus, so daß
\[
  a_{12} = 1,\; a_{22} = 0,\; b_{12} = 0,\; b_{22} = 1
\]
wird, dann haben wir weiter die Gleichungen wegen
\[
  a_{11} = 0,\; a_{21} = 0,\; b_{11} = 0,\; b_{21} = 0
\]
in der Form
%-----File: 031.png---------------------------------------
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v);
\end{aligned}
\right.
\]
sie lassen sich durch Vertauschung von $u$, $v$ in der vorher gegebenen
Form schreiben.

In einem Gebiete, wo das System~1) gewöhnlich-singulär und
linear abhängig ist, bekommen wir leicht, wie in A), die Form
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  0                             &= \mathfrak{L}(u,v).
\end{aligned}
\right.
\]
Das Resultat lautet also:

\so{Ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet gewöhnlich-singulär,
linear unabhängig ist, läßt sich
durch Transformationen der drei genannten Arten in
jedem einer endlichen Anzahl von Teilgebieten, welche
das gegebene Gebiet vollständig überdecken, auf die
Normalform}
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v) \\
  \frac{\partial u}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right.
\]
\so{bringen; ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet
gewöhnlich-singulär, linear abhängig ist, läßt
sich auf die Form}
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  0                             &= \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right.
\]
\so{bringen; ein System~1), welches in einem ganzen Gebiet
ausgezeichnet-singulär ist, ist notwendig auch
linear abhängig, und läßt sich auf eine der Normalformen}
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  0                             &= \mathfrak{L}(u,v),
\end{aligned}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{aligned}
  0 &= \mathfrak{L}(u,v)  \\
  0 &= \mathfrak{L}(u,v)
\end{aligned}
\right.
\]
\so{bringen.}

%[** TN: Set table on its own page, change punctuation from colon to period.]
\Paragraph{VIII.} Zwecks bequemer Übersicht werden die gefundenen
Normalformen in eine Tabelle zusammengestellt, \hyperref[tabelle]{Seite~\pageref{tabelle}}.
%-----File: 032.png---------------------------------------
\begin{table}[p]
\begin{center}
\phantomsection\label{tabelle}
\begin{tabular}{lcc}
\multicolumn{3}{c}{\so{Tabelle der Normalformen.}}  \\ \midrule\midrule
  {\centering Charakter des Systems. }
& {\centering Normalform. }
& Charakteristiken.  \\ \midrule\midrule
  1. Elliptisch
&
$\left\{
  \begin{array}{ll}
  \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x}
  + \dfrac{\partial v}{\partial y}} &
  \\[-1em]
  \dfrac{\partial u}{\partial x}
  + \dfrac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v)
  \\[1em]
  \dfrac{\partial u}{\partial y}
  - \dfrac{\partial v}{\partial x} &= \mathfrak{L}(u,v)
  \end{array}
\right.$
&
$\left\{
  \begin{aligned}
  & x + iy = \alpha  \\
  & x - iy = \beta
  \end{aligned}
\right.$
\\  \midrule
2. Hyperbolisch
&
$\left\{
  \begin{array}{ll}
  \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x}
  + \dfrac{\partial v}{\partial y}} &
  \\[-1em]
  \dfrac{\partial u}{\partial x}
   &= \mathfrak{L}(u,v)
  \\[1em]
  \dfrac{\partial u}{\partial y}
   &= \mathfrak{L}(u,v)
  \end{array}
\right.$
&
$\left\{
  \begin{aligned}
  & x = \alpha  \\
  & y = \beta
  \end{aligned}
\right.$
\\  \midrule
  $\begin{array}{l}\text{3. Gewöhnlich-}\\
  \qquad\qquad\text{parabolisch}\end{array}$
&
$\left\{
  \begin{array}{ll}
  \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x}
  + \dfrac{\partial v}{\partial y}} &
  \\[-1em]
  \dfrac{\partial u}{\partial x}
  + \dfrac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v)
  \\[1em]
  \dfrac{\partial u}{\partial y}
  &= \mathfrak{L}(u,v)
  \end{array}
\right.$
&
$ \phantom{\left\{ \right.}
  x = \alpha
$
\\  \midrule
  $\begin{array}{l}\text{4. Ausgezeichnet-}\\
  \qquad\qquad\text{parabolisch}\end{array}$
&
$\left\{
  \begin{array}{ll}
  \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x}
  + \dfrac{\partial v}{\partial y}} &
  \\[-1em]
  \dfrac{\partial u}{\partial x}
  &= \mathfrak{L}(u,v)
  \\[1em]
  \dfrac{\partial u}{\partial y}
  &= \mathfrak{L}(u,v)
  \end{array}
\right.$
&
$ \phantom{\left\{ \right.}
  y = \alpha
$
\\  \midrule
  $\begin{array}{ll}\text{5.\ }&\text{Gewöhnlich-}\\
  \multicolumn{2}{l}{\qquad\qquad\text{singulär,}}\\
  &\text{linear unabhängig}\end{array}$
&
$\left\{
  \begin{array}{ll}
  \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x}
  + \dfrac{\partial v}{\partial y}} &
  \\[-1em]
  \dfrac{\partial u}{\partial x}
  &= \mathfrak{L}(u,v)
  \\[1em]
  \dfrac{\partial u}{\partial y}
  &= \mathfrak{L}(u,v)
  \end{array}
\right.$
&
---
\\  \midrule
  $\begin{array}{ll}\text{6.\ }&\text{Gewöhnlich-}\\
  \multicolumn{2}{l}{\qquad\qquad\text{singulär,}}\\
  &\text{linear abhängig}\end{array}$
&
$\left\{
  \begin{array}{ll}
  \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x}
  + \dfrac{\partial v}{\partial y}} &
  \\[-1em]
  \dfrac{\partial u}{\partial x}
  + \dfrac{\partial v}{\partial y} &= \mathfrak{L}(u,v)
  \\[1em]
  0 &= \mathfrak{L}(u,v)
  \end{array}
\right.$
&
---
\\  \midrule
\multirow{2}{*}
{$\begin{array}{ll}\text{7.\ }&\text{Ausgezeichnet-}\\
  \multicolumn{2}{l}{\qquad\qquad\text{singulär,}}\\
  &\text{linear abhängig}\end{array}$}
&
$\left\{
  \begin{array}{ll}
  \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x}
  + \dfrac{\partial v}{\partial y}} &
  \\[-1em]
  \dfrac{\partial u}{\partial x}
  &= \mathfrak{L}(u,v)
  \\[1em]
  0 &= \mathfrak{L}(u,v)
  \end{array}
\right.$
&
---
\\ \cmidrule{2-3}
&
$\left\{
  \begin{array}{ll}
  \hphantom{\dfrac{\partial u}{\partial x}
  + \dfrac{\partial v}{\partial y}} &
  \\[-1em]
  0 &= \mathfrak{L}(u,v)
  \\[1em]
  0 &= \mathfrak{L}(u,v)
  \end{array}
\right.$
&
---
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
%-----File: 033.png---------------------------------------

\Paragraph{IX.} Zum Schluß dieses Paragraphen wollen wir einige Arten
von Systemen aussondern, die für die weitern Betrachtungen trivial
sind, indem sie sich auf Differentialgleichungen erster Ordnung,
Gleichungen, in welchen keine Ableitungen vorkommen, oder gewöhnliche
Differentialgleichungen reduzieren lassen\footnote{
  Die Ausführungen dieses Absatzes sind möglichst kurz gemacht; es ist
  keine Rede davon, strenge Auflösungsmethoden für die betrachteten
  Systeme anzugeben,
  da diese außerhalb des Gebiets der vorliegenden Arbeit fallen.}.

Schreiben wir das allgemeine gewöhnlich-parabolische System:
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} &= A(x,y) u + B(x,y) v  \\
  \frac{\partial u}{\partial y}
\phantom{{}+  \frac{\partial v}{\partial y}} &= C(x,y) u + D(x,y) v.
\end{aligned}
\right.
\]
Ist $D(x,y)$ identisch Null, so läßt sich $u$ aus der zweiten Gleichung
bestimmen; dann kann die erste Gleichung nach $v$ aufgelöst
werden; die allgemeine Lösung ist also durch Auflösen zweier
linearer, gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung zu
erhalten. Es genügt daher, diejenigen gewöhnlich-parabolischen
Systeme zu betrachten, für welche $D(x,y)$ nicht überall verschwindet;
wir können dann ein solches Gebiet wählen, daß $D(x,y)$
nirgends verschwindet.

Das ausgezeichnet-parabolische System lautet:
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x} &= A(x,y) u + B(x,y) v  \\
  \frac{\partial v}{\partial x} &= C(x,y) u + D(x,y) v.
\end{aligned}
\right.
\]
Es kommen hier keine Ableitungen nach $y$ vor; darum kann das
System als gewöhnliches Differentialgleichungssystem gelöst werden,
wobei $x$ als die unabhängige Variable, $y$ als Parameter betrachtet
sind.

Das gewöhnlich-singuläre, linear unabhängige System:
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x} &= A(x,y) u + B(x,y) v  \\
  \frac{\partial u}{\partial y} &= C(x,y) u + D(x,y) v
\end{aligned}
\right.
\]
läßt sich, falls $v$ überhaupt auf den rechten Seiten vorkommt, durch
Elimination von $v$ auf eine einzige lineare partielle
Differentialgleichung
erster Ordnung für $u$ reduzieren; nach Integration dieser
Gleichung ist $v$ durch eine ableitungsfreie Gleichung gegeben. Ist
%-----File: 034.png---------------------------------------
die Elimination unmöglich, \dh\ ist $B(x,y) \equiv D(x,y) \equiv 0$, so
haben wir zwei lineare partielle Differentialgleichungen für $u$, die
dann und nur dann lösbar sind, wenn $\dfrac{\partial A}{\partial y} =
\dfrac{\partial C}{\partial x}$; $v$ bleibt völlig
willkürlich.

Bei dem gewöhnlich-singulären, linear abhängigen System
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial x} &= A(x,y) u + B(x,y) v  \\
  0                             &= C(x,y) u + D(x,y) v
\end{aligned}
\right.
\]
gibt die zweite Gleichung (wenn nicht $C(x,y) \equiv D(x,y) \equiv
0$) eine
ableitungsfreie Relation zwischen $u$, $v$; drücken wir eine dieser
beiden Funktionen durch die andre aus, so wird die erste Gleichung
eine lineare Gleichung erster Ordnung für die andre Funktion.
Ist dagegen $C(x,y) \equiv D(x,y) \equiv 0$, so darf eine der Funktionen
willkürlich gewählt werden; die andre ist dann durch eine lineare
Gleichung erster Ordnung bestimmt.

Für das ausgezeichnet-singuläre System gibt es zwei Formen:
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x} &= A(x,y)u + B(x,y)v  \\
  0                             &= C(x,y)u + D(x,y)v
\end{aligned}
\right\},\qquad
\left\{
\begin{aligned}
  \vphantom{\frac{\partial u}{\partial x}}0 &= A(x,y)u + B(x,y)v  \\
  0 &= C(x,y)u + D(x,y)v
\end{aligned}
\right\}.
\]
Im ersten Falle ist, wenn $D(x,y)$ nicht identisch Null, $v$ durch $u$
ausdrückbar, und wir erhalten eine lineare Gleichung erster Ordnung
für $u$. Ist $D(x,y) \equiv 0$, so ist die einzige Lösung des Systems
$u = 0$, $v = 0$; es sei denn, daß $B(x,y)$ oder $C(x,y) \equiv 0$; ist
$B(x,y) \equiv 0$, so existieren auch die Lösungen $u = 0$, $v =$
willkürliche
Funktion; ist $C(x,y) \equiv 0$, so ist die erste Gleichung bei
willkürlicher Wahl von $v$ für $u$ lösbar. Im zweiten Falle kommen
gar keine Ableitungen vor; die Gleichungen besitzen dann und
nur dann Lösungen, wenn die Determinante
\[
\begin{vmatrix}
  \,A(x,y) & B(x,y)\,  \\
  \,C(x,y) & D(x,y)\,
\end{vmatrix}
\]
verschwindet.

\Paragraph{X.} Nur folgende Formen sind also als Systeme von allgemeinem
Charakter zu bezeichnen:
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} &= A(x,y) u + B(x,y) v
\\
  \frac{\partial u}{\partial y}
- \frac{\partial v}{\partial x} &= C(x,y) u + D(x,y) v ,
\end{aligned}
\right.
\]
%-----File: 035.png---------------------------------------
\begin{align*}
&\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x}
\phantom{{} + \frac{\partial v}{\partial y}} &= A(x,y) u + B(x,y) v
\\
  \frac{\partial v}{\partial y}
\phantom{{} + \frac{\partial v}{\partial y}} &= C(x,y) u + D(x,y) v
\end{aligned}
\right.  \\[1em]
&\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} &= A(x,y) u + B(x,y) v  \\
  \frac{\partial u}{\partial y}
\phantom{{} + \frac{\partial v}{\partial y}} &= C(x,y) u + D(x,y) v
\end{aligned}
\right\}, \; D(x,y) \neq 0.
\end{align*}
Diese werden der Reihe nach in den folgenden drei Kapiteln behandelt
werden.


\Chapter{Zweites Kapitel.}
{Das elliptische System.}
\Section{3. Hilfsmittel zur Theorie des elliptischen Systems.}

In diesem Paragraphen soll eine Reihe von vorbereitenden
Hilfssätzen betrachtet werden, die zur Lösung der Randwertaufgabe
bei dem elliptischen System erforderlich sind. Einige Sätze
aus der Potentialtheorie werden ohne Beweise angegeben; bei
andern, die neu sind, werden diejenigen Teile der Beweise, welche
auf rein potentialtheoretischen Methoden beruhen, ziemlich kurz
angedeutet werden\footnote{
  Für die betreffenden Sätze und Methoden aus der Potentialtheorie
  sei verwiesen
  auf \so{Korn}, Lehrbuch der Potentialtheorie, Bd.~II; \so{Horn},
  Einführung in die
  Theorie der partiellen Differentialgleichungen, \S\S~50--58. Häufig
  fehlen in der
  Literatur strenge Beweise mit genauer Angabe der hinreichenden
  Bedingungen,
  doch sind eventuelle Lücken ohne große Schwierigkeit auszufüllen. Alle
  diese
  Ausführungen hier anzugeben, würde uns viel zu weit führen.}.

\Paragraph{I.} Es sei $\varOmega$ ein geschlossenes, von einer stetig
gekrümmten
doppelpunktslosen Kurve $S$ begrenztes Gebiet der $xy$-Ebene. Von
einer Funktion $f(xy)$, die \so{im Innern und auf dem Rande von
$\varOmega$} stetig resp.\ stetig differenzierbar, \usw\ ist, sagen
wir kurz,
sie sei stetig resp.\ stetig differenzierbar \usw; Eigenschaften,
die allein \so{im Innern von $\varOmega$} stattfinden, werden immer
als solche
genannt. Der Wert einer Funktion $f(xy)$ in einem Punkte auf
$S$, dessen Bogenlänge, von einem festen Punkt auf $S$ gemessen,
%-----File: 036.png---------------------------------------
gleich $s$ ist, wird immer mit $f(s)$ bezeichnet. Es bedeutet dann
auch $\dfrac{\partial f(s)}{\partial x}$ resp.\ $\dfrac{\partial
f(s)}{\partial y}$ \usw\ die Ableitung in der $x$- resp.\ $y$-Richtung
\usw\ im Punkte $s$ auf $S$. Die Buchstaben~$n$, $\nu$ bedeuten
immer die Richtungen der inneren Normalen in den Punkten
$s,\sigma$ von $S$. Bei Funktionen $f(\xi\eta, xy)$ die von zwei Punkten
$(\xi\eta),(xy)$
abhängig sind, gebrauchen wir auch, falls ein Punkt oder die beiden
Punkte auf $S$ liegen, die leicht verständlichen Bezeichnungen
\[
  f(\sigma,xy),\; f(\xi\eta,s),\; f(\sigma,s),\;
  \frac{\partial f(\sigma,xy)}{\partial \xi},\;
  \frac{\partial f(\sigma,s)}{\partial \eta}
\]
\usw\ \  Folgende Abkürzungen werden vielfach benutzt:
\begin{gather*}
  r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)
= \sqrt{(\xi_1 - \xi_2)^2 + (\eta_1 - \eta_2)^2},
\\
  l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)
= -\log \sqrt{(\xi_1 - \xi_2)^2 + (\eta_1 - \eta_2)^2}.
\end{gather*}

Die Greenschen Funktionen erster und zweiter Art der Laplaceschen
Gleichung sind durch die Bedingungen definiert\footnote{
  \so{Hilbert}, Göttinger Nachrichten (1904), S.~237--238.}:
\begin{gather*}
  G(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)
= l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)
+ g(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) ;
\\
  \frac{\partial^2 g}{\partial \xi_1^2}
+ \frac{\partial^2 g}{\partial \eta_1^2} = 0;
\quad
  G(\sigma_1, \xi_2 \eta_2) = 0;
\\
  H(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)
= l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)
+ h(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) ;
\\
  \frac{\partial^2 h}{\partial \xi_1^2}
+ \frac{\partial^2 h}{\partial \eta_1^2} = 0;
\quad
  \frac{\partial H(\sigma_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \nu_1} = 0;
\quad
  \iint\limits_{\varOmega} H(\xi\eta, xy)\,dR = 0;
\end{gather*}
wo $g$, $h$ reguläre Funktionen sind. Bekanntlich ist jede der Funktionen
$G$, $H$ symmetrisch in Bezug auf das Punktepaar $(\xi_1 \eta_1)$,
$(\xi_2 \eta_2)$.

\Paragraph{IIa.} \so{Sind $\varphi(xy)$, $\psi(xy)$ endlich bleibende,
im Innern
von $\varOmega$ stetige Funktionen, so konvergieren die Integrale}
\[
  \iint\limits_{\varOmega} l(\xi\eta, xy) \varphi(xy)\,dR,\quad
  \iint\limits_{\varOmega} \frac{\varphi(xy)}{r(\xi\eta, xy)}\,dR,
\]
\so{und stellen stetige Funktionen dar; und folgende Umkehrung
der Integrationsfolge ist erlaubt:}
\[
  \iint\limits_{\varOmega} \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\varphi(x_1 y_1) \psi(xy)}{r(x_1 y_1, xy)}\,dR\, dR_1
= \iint\limits_{\varOmega} \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\varphi(x_1 y_1) \psi(xy)}{r(x_1 y_1, xy)}\,dR_1\, dR,
\]
%-----File: 037.png---------------------------------------

\Paragraph{IIb.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine endlich bleibende, im Innern
von $\varOmega$ stetige Funktion, so gelten die Differentiationsformeln}
\begin{gather*}
  \frac{\partial}{\partial \xi}
  \iint\limits_{\varOmega}
  l(\xi\eta, xy) \varphi(xy) \,dR
= \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial l(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \varphi(xy) \,dR ,
\\
  \frac{\partial}{\partial \eta}
  \iint\limits_{\varOmega}
  l(\xi\eta, xy) \varphi(xy) \,dR
= \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial l(\xi\eta, xy)}{\partial \eta} \varphi(xy) \,dR.
\end{gather*}

\Paragraph{IIc.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige, im Innern von
$\varOmega$ stetig
differenzierbare Funktion, so konvergieren die Integrale}
\begin{gather*}
  \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial^2 l(\xi\eta, xy)}{\partial x \partial \xi }
  \{ \varphi(xy) - \varphi(\xi\eta) \} \,dR,
\;
  \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial^2 l(\xi\eta, xy)}{\partial x \partial \eta }
  \{ \varphi(xy) - \varphi(\xi\eta) \} \,dR,
\\
  \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial^2 l(\xi\eta, xy)}{\partial y \partial \xi }
  \{ \varphi(xy) - \varphi(\xi\eta) \} \,dR,
\;
  \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial^2 l(\xi\eta, xy)}{\partial y \partial \eta }
  \{ \varphi(xy) - \varphi(\xi\eta) \} \,dR.
\end{gather*}

\Paragraph{IIIa.} \so{Ist $\varphi(\xi_1 \eta_1, xy, \xi_2 \eta_2)$
eine endlich bleibende, bei
getrennten Lagen der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(xy)$, $(\xi_2 \eta_2)$
stetige
Funktion, so ist die Funktion}
\[
  \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)
= \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\varphi(\xi_1 \eta_1, xy, \xi_2 \eta_2)}
       {r(\xi_1 \eta_1, xy) r(xy, \xi_2 \eta_2)} \,dR
\]
\so{eine bei getrennten Lagen der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2
\eta_2)$ stetige
Funktion; bei Annäherung der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$
gilt die Ungleichung:}
\[
  \lvert \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) \rvert
< kl(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2),
\]
\so{wenn}
\[
  r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) < \delta,
\]
\so{wo $k$ eine Konstante bedeutet.}

Es sei $\lvert\varphi\rvert < m$, wo $m$ eine Konstante bedeutet;
wir nehmen
zuerst zwei getrennt liegende Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$,
\[
  \varrho = r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) > 0,
\]
und wollen beweisen, daß wir zu einem gegebenen $\varepsilon > 0$
ein solches
$\delta > 0$ wählen können, daß
\[
  \lvert \varPhi(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
  \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)
- \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) \rvert < \varepsilon,
\]
wenn
\[
  r(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, \xi_1 \eta_1)
  < \delta,\;
  r(\overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2, \xi_1 \eta_1)
  < \delta.
\]
%-----File: 038.png---------------------------------------

Wir wählen zunächst $\delta$ so klein, daß
\[
  \delta < \frac{\varrho}{2},\;
  \frac{32\,\pi m\delta}{\varrho - 2\delta} < \varepsilon\;\footnotemark.
\]
\footnotetext{
  Diese Wahl von $\delta$ ist sicher möglich; denn es ist
\[
  \underset{\delta=0}{L} \frac{32\,\pi m\delta}{\varrho-2\delta} = 0.
\]}%
Wir nennen $\varOmega_1$, $\varOmega_2$ zwei kleine Kreise vom Radius
$\delta$ um $(\xi_1 \eta_1)$,
$(\xi_2 \eta_2)$ als Mittelpunkte oder die in $\varOmega$ liegenden
Teile solcher Kreise,
$\varOmega_0$ den übrigen Teil von $\varOmega$, und schreiben
\[
  \varPhi = \varPhi_1 + \varPhi_2 + \varPhi_0,
\]
wo
\[
  \varPhi_i( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
          \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 )
= \iint\limits_{\varOmega_i}
  \frac{ \varphi( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, xy,
                  \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 ) }
       { r(     \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, xy )
         r( xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2     ) }
 \, dR,\quad [i = 0,1,2],
\]
für beliebige Punkte $(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1)$
in $\varOmega_1$, $(\overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$
in $\varOmega_2$. In $\varOmega_1$ ist
\begin{align*}
& r( xy, \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1 ) \leqq
2\delta,  \\
& r( xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 ) \geqq
\varrho -2\delta;
\end{align*}
wir finden also mit Hilfe von Polarkoordinaten $r[= r(\xi_1 \eta_1, xy)]$,
$\vartheta$ um $(\xi_1 \eta_1)$:
\begin{align*}
  \lvert\varPhi_1( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
                \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 )\rvert
&\leqq \frac{m}{\varrho-2\delta}
  \iint\limits_{\varOmega_1}
  \frac{dR}{r(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1  , xy)}  \\
&\leqq \frac{m}{\varrho-2\delta}
  \int\limits_{\!0}^{\!2\pi} \!\!\! \int\limits_0^{\ 2\delta} dr\,
  d\vartheta
= \frac{4\pi m\delta}{\varrho-2\delta} < \frac{\varepsilon}{8}.
\end{align*}
Ebenso ist
\[
  \lvert\varPhi_2( \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
                \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2 )\rvert
< \frac{\varepsilon}{8};
\]
und diese Ungleichungen gelten auch insbesondere, wenn wir die
Punkte
$(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1)$,
$(\overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$ in den speziellen
Lagen
$(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ wählen.
Es ist daher
\begin{align*}
& \lvert\varPhi_1(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
               \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) -
  \varPhi_1(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert < \frac{\varepsilon}{4},
\\
& \lvert\varPhi_2(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
               \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) -
  \varPhi_2(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert < \frac{\varepsilon}{4}.
\end{align*}

Da aber die Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ nicht in
$\varOmega_0$ enthalten sind,
%-----File: 039.png---------------------------------------
so ist sicher $\varPhi_0$ stetig; die Wahl eines eventuell kleinern
$\delta$ läßt
also erreichen, daß auch
\[
  \lvert \varPhi_0(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
                \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)
       - \varPhi_0(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) \rvert
< \frac{\varepsilon}{2};
\]
daraus folgt, daß
\[
  \lvert \varPhi(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
              \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)
       - \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) \rvert < \varepsilon,
\]
womit der erste Teil des Satzes bewiesen ist.

Es sei jetzt $M$ eine Konstante, die größer ist als die Entfernung
irgend zweier Punkte von $\varOmega$; dann enthält ein Kreis vom
Radius $M$ um irgend einen Punkt von $\varOmega$ den ganzen Bereich
$\varOmega$
im Innern. Zwecks Beweises der zweiten Behauptung unseres
Satzes führen wir wieder Polarkoordinaten ein, und zwar, ausführlich
geschrieben, mittels der Formeln:
\[
\left\{
\begin{aligned}
  x &= \xi_1  + r\cos \vartheta,  \\
  y &= \eta_1 + r\sin \vartheta,
\end{aligned}
\right. \qquad
\left\{
\begin{aligned}
  \xi_2  &= \xi_1  + \varrho\cos \alpha,  \\
  \eta_2 &= \eta_1 + \varrho\sin \alpha,
\end{aligned}
\right.
\]
wobei $r$, $\varrho$ ihre früheren Bedeutungen beibehalten. Wir finden
\begin{align*}
  \lvert\varPhi_1(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert
&\leqq m \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{dR}{r(\xi_1 \eta_1, xy) r(xy, \xi_2 \eta_2)}
\\
&= m \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{dR}
       {r\sqrt{r^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos (\vartheta-\alpha)}}
\\
&< m \int\limits_{\!0}^{2\pi} \!\!\! \int\limits_0^{\ M}
  \frac{dr\, d\vartheta}
       { \sqrt{r^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos (\vartheta-\alpha)}}
\\
&= \begin{aligned}[t]
  m \int\limits_0^{2\pi} \log
      \{ \sqrt{M^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos (\vartheta-\alpha)}
       + M - \varrho\cos (\vartheta-\alpha) \} \,d\vartheta& \\
  - m \int\limits_0^{2\pi} \log
    \{ \varrho(1 - \cos (\vartheta-\alpha)) \} \,d\vartheta&.
\end{aligned}
\end{align*}
Bleiben aber die Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ im Innern
oder auf dem Rande
von $\varOmega$, so ist der Integrand des ersten Integrals stetig; daher
bleibt das Integral für alle Werte von $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$
absolut unter
einem konstanten Wert $k_1$. Ferner ist
\[
  \int\limits_0^{2\pi} \log
  \{ \varrho(1 - \cos (\vartheta-\alpha)) \} \,d\vartheta
= 2\pi \log \varrho - 2\pi \log 2;
\]
so daß
\[
  \lvert\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert
< -2\pi m \log \varrho + k_2.
\]
%-----File: 040.png---------------------------------------
Wählen wir schließlich $\varepsilon$ als eine beliebige positive
Konstante, dann
$\delta$ so klein, daß
\[
  \frac{k_2}{-\log \varrho} < \varepsilon,
\]
wenn
\[
  \varrho < \delta,
\]
so ist
\[
  \lvert\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert
< -(2\pi m + \varepsilon) \log \varrho;
\]
der zweite Teil des Satzes ist bewiesen; es darf ersichtlich $k$
irgend eine positive Konstante größer als $2\pi m$ sein.

\Paragraph{IIIb.} \so{Ist $\varphi(\xi_1 \eta_1, xy, \xi_2 \eta_2)$
eine in $\varOmega$ endlich bleibende,
bei getrennten Lagen der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(xy)$, $(\xi_2
\eta_2)$ stetige
Funktion, so ist folgende Umkehrung der Integrationsfolge
erlaubt:}
\[
  \iint\limits_{\varOmega} \;
  \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{ \varphi(\xi\eta, xy, x_1 y_1) }
       { r(\xi\eta, xy) \,r(xy, x_1 y_1) }\, dR\, dR_1
= \iint\limits_{\varOmega} \;
  \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{ \varphi(\xi\eta, xy, x_1 y_1) }
       { r(\xi\eta, xy) \,r(xy, x_1 y_1) }\, dR_1\, dR.
\]

Wir erweitern die Definition von $\varphi$, indem wir $\varphi = 0$
setzen,
wenn entweder $(xy)$ oder $(x_1 y_1)$ außerhalb $\varOmega$ liegt. Wir
nennen
$\varOmega_0$, $\varOmega_1$, $\omega$ kleine Kreise vom Radius $\delta$
um die variablen Punkte
$(xy)$, $(x_1 y_1)$, resp.\ den festen Punkt $(\xi\eta)$, und $\varOmega'$
ein so großes, $\varOmega$
ganz im Innern enthaltendes Gebiet, daß die kleinste Entfernung
zwischen den Randkurven von $\varOmega$, $\varOmega'$ größer als $2\delta$
ist. Wir
werden den Integranden der Integrale zur Abkürzung mit $F$ bezeichnen,
und schreiben ferner:
\[
  r(\xi\eta, x   y  ) = r_0,  \;
  r(\xi\eta, x_1 y_1) = r_1,  \;
  r( xy,     x_1 y_1) = r_{01}.
\]
Es sei $M'$ die größte Entfernung zweier Punkte von $\varOmega'$. In dem
vierdimensionalen Bereich, welcher durch die Angaben
\[
  (x   y  ) \text{ in } \varOmega' - \omega;  \;
  (x_1 y_1) \text{ in } \varOmega' - \omega;  \;
  r(xy, x_1 y_1) \geqq \delta
\]
bestimmt ist, ist der Integrand regulär, da jede Singularität
ausgeschlossen
ist; wir können also erst nach $xy$, dann nach $x_1 y_1$
integrieren, mit gleichem Resultate; \dh\ wie man leicht sieht:
\[
  \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \;
  \iint\limits_{\,\,\varOmega'-\varOmega_1-\omega'}
  F\, dR\, dR_1
= \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \;
  \iint\limits_{\,\,\varOmega'-\varOmega_0-\omega'}
  F\, dR_1\, dR = I.
\]
Gelingt es uns, zu beweisen, daß
\begin{align*}
   \underset{\delta=0}\bigL I
&= \underset{\delta=0}\bigL
  \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \;
  \iint\limits_{\,\,\varOmega'-\varOmega_1-\omega}
  F\, dR\, dR_1
= \iint\limits_{\varOmega'} \iint\limits_{\varOmega'}  F\, dR\, dR_1
\\
   \underset{\delta=0}\bigL I
&= \underset{\delta=0}\bigL
  \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \;
  \iint\limits_{\,\,\varOmega'-\varOmega_0-\omega}
  F\, dR\, dR_1
= \iint\limits_{\varOmega'} \iint\limits_{\varOmega'}  F\, dR_1\, dR ,
\end{align*}
%-----File: 041.png---------------------------------------
so wird damit unser Satz offenbar bestätigt sein. Wir werden
hier den Beweis der ersten dieser beiden Grenzformeln durchführen;
der Beweis der zweiten würde nicht genau ebenso lauten,
sondern noch einfacher sein\footnote{
  Hätten wir im Nenner des Integranden auch den Faktor $r(\xi\eta,
  x_1 y_1)$, so
  wären die Formeln an dieser Stelle von genau symmetrischer Gestalt. Das
  so
  entstehende Problem für \so{doppelte Doppel}integrale ist dem für
  \so{doppelte
  einfache} Integrale ähnlich, das Verfasser im ersten Teil einer
  andern Arbeit
  betrachtet hat: Annals of Mathematics, Bd.~9 (1908), S.\ 183--187.
}.
Wir schreiben
\[
  I = I' - I'',
\]
wo
\begin{align*}
  I' &=
  \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; \iint\limits_{\varOmega'}
  F\, dR\, dR_1,
\\
  I'' &=
  \iint\limits_{\!\!\varOmega'-\omega} \; \iint\limits_{\varOmega'+\omega}
  F\, dR\, dR_1.
\end{align*}
Bleibt $(x_1 y_1)$ in $\varOmega'-\omega$, $(xy)$ in $\varOmega_1$, so
ist $r_1 \geqq \delta$, $r_{01} \leqq \delta$, $r_0 \geqq r_1 - r_{01}$;
daher ist
\[
\begin{split}
  \left\lvert \,\iint\limits_{\varOmega_1} F\, dR \,\right\rvert \leqq
  m \iint\limits_{\varOmega_1} \frac{dR}{r_{01}(r_1-r_{01})}
= m \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\delta \frac{dr_{01}\,
d\vartheta}{r_1-r_{01}}
\\
= 2\pi m \{ \log r_1 - \log (r_1-\delta) \}.
\end{split}
\]
Bleibt $(x_1 y_1)$ in $\varOmega'-\omega$, $(xy)$ in $\omega$, so ist
$r_1 \geqq \delta$, $r_0 \leqq \delta$, $r_{01} \geqq r_1 - r_0$;
daher ist
\begin{align*}
  \left\lvert \,\iint\limits_{\omega} F\, dR \,\right\rvert
  & \leqq m \iint \frac{dR}{r_0(r_1-r_0)}
  = m \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\delta \frac{dr_0\, d\vartheta}{r_1-r_0}
  \\
  &= 2\pi m \{ \log r_1 - \log (r_1-\delta) \}.
\end{align*}
Wir haben also
\[
  \left| \; \iint\limits_{\varOmega_1+\omega} F\,dR \,\right\rvert \leqq
  4\pi m \{ \log r_1 - \log(r_1-\delta) \}\, dR,
\]
und
\begin{align*}
  \lvert I'' \rvert & \leqq \iint\limits_{\varOmega'-\omega}
  4\pi m \{ \log r_1 - \log(r_1-\delta) \}\, dR_1,
\\
& \leqq 4\pi m \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{M'}
  r_1 \{ \log r_1 - \log(r_1-\delta) \}\, dr_1\, d\vartheta\;\footnotemark
\\
&= 4\pi m·2\pi \left[
    \frac{M'^2}{2} \log M' - \frac{M'^2-\delta^2}{2} \log (M'-\delta)
  + \frac{\delta M'}{2} - \frac{\delta^2}{2} \log \delta
  - \frac{\delta^2}{2} \right]
\end{align*}
\footnotetext{
  Denn jeder Punkt der Randkurve von $\varOmega'$ ist von $(\xi\eta)$
  um höchstens $M'$
  entfernt, und der Integrand ist positiv.}%
%-----File: 042.png---------------------------------------
und daher
\[
  \underset{\delta=0}\bigL I'' = 0,
\]
mithin
\[
  \underset{\delta=0}\bigL I
= \underset{\delta=0}\bigL I'.
\]
Aber
\[
\begin{split}
  \underset{\delta=0}{\bigL} I'
= \underset{\delta=0}{\bigL}
  \iint\limits_{\varOmega'-\omega} \iint\limits_{\varOmega'} F\,dR\,dR_1
  \\
= \iint\limits_{\varOmega'}        \iint\limits_{\varOmega'} F\,dR\,dR_1 ,
\end{split}
\]
nach Definition eines uneigentlichen Integrals; so daß die Formel
bewiesen ist.

\Paragraph{IVa.} \so{Bedeutet $\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$
irgend einen der Ausdrücke}
\begin{align*}
& \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR,
\\
& \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial y}\, dR,
\\
& \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial y} \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR,
\\
& \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial y} \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial y}\, dR,
\end{align*}
\so{wo $\varphi(xy)$ eine stetig differenzierbare Funktion ist,
so gelten die Sätze:}

1. \so{$\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$ ist für getrennt liegende
Punkte $(\xi_1 \eta_1)$,
$(\xi_2 \eta_2)$ stetig und nach den Koordinaten eines innern
Punktes $(\xi_1 \eta_1)$ von $\varOmega$ stetig differenzierbar.}

2.\hfill $\lvert\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)\rvert
< kl(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$,\hfill\break
\so{wenn }
\[
  r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) < \delta.
\]

3. \so{für einen innern Punkt $(\xi_1 \eta_1)$}
\[
  \left\lvert \frac{\partial \varPhi}{\partial \xi_1 } \right\rvert<,\quad
  \left\lvert \frac{\partial \varPhi}{\partial \eta_1} \right\rvert
< \frac{k}{r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)},
\]
\so{wenn}
\[
  r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) < \delta.
\]
%-----File: 043.png---------------------------------------

Wir wollen die Behauptungen im ersten der vier genannten
Fälle bestätigen; die andern lassen sich genau ebenso behandeln.
Schreiben wir
\[
  \varphi(\xi_1 \eta_1, xy, \xi_2 \eta_2)
= \frac{\xi_1 - x}{r(\xi_1 \eta_1, xy)} \varphi(xy)
  \frac{\xi_2 - x}{r(\xi_2 \eta_2, xy)} ,
\]
so ist der Integrand von der in den letzten Absätzen behandelten
Art. Also gilt schon nach IIIa die Stetigkeit für getrennte
Punkte, sowie die Abschätzung~2. Wir haben also noch zu beweisen,
daß, wenn $(\xi_1 \eta_1)$ ein innerer Punkt, $(\xi_2 \eta_2)$ ein von
$(\xi_1 \eta_1)$
verschiedener Punkt von $\varOmega$ ist, die Ableitungen nach~$\xi_1
\eta_1$\quad  A) existieren;
B) stetig sind; C) bei Annäherung der beiden Punkte die
Abschätzung~3 befriedigen. Um die Ableitungen nach $\xi_1 \eta_1$
gleichzeitig
zu behandeln, nennen wir $\zeta_1$ eine beliebige Richtung, die
den Winkel~$\alpha_0$ mit der $\xi_1$-Richtung bildet.

A) Wir schlagen um den Punkt $(\xi_1 \eta_1)$ einen beliebigen, den
Punkt $(\xi_2 \eta_2)$ umschließenden Teilbereich $k$ von $\varOmega$,
dessen Randkurve
wir $C$ nennen. Es ist dann
\begin{align*}
  \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)
&=  \iint\limits_k
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR
%\\
+ \iint\limits_{\varOmega-k}
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR
\\
&= \int\limits_C
  l(\xi_1 \eta_1, s) \varphi(s)
  \frac{\partial l(s, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} dy
\\
&\; - \iint\limits_k
  l(\xi_1 \eta_1, xy) \frac{\partial}{\partial x}
  \left\{ \varphi(xy) \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}
  \right\}\, dR
\\
&\; + \iint\limits_{\varOmega-k}
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x} \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR,
\end{align*}
wie die teilweise Integration ergibt. In dieser Form können wir
die Differentiation direkt ausführen\footnote{
   Bei Differentiation des Integrals über $\varOmega-k$ ist ein
   Grenzübergang notwendig
  wegen der singulären Stelle $(\xi_2 \eta_2)$; doch lassen wir die
  Formeln weg, da
  keine Schwierigkeit auftritt; bei der Differentiation des Integrals
  über $k$ machen
  wir von IIb Gebrauch.}:
%-----File: 044.png---------------------------------------
\begin{align*}
  \frac{\partial \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \zeta_1}
&= \; \int\limits_C
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, s)}{\partial \zeta_1} \varphi(s)
  \frac{\partial l(s, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dy
\\
& \; - \iint\limits_{k}
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial \zeta_1}
  \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \right\} dR
\\
& \; + \iint\limits_{\varOmega-k}
  \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x\, \partial \zeta_1}
  \varphi(xy) \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR.
\end{align*}

B) Wir wollen jetzt beweisen, daß wir zu einem gegebenen
$\varepsilon > 0$ ein solches $\delta > 0$ wählen können, daß
\[
  \left\lvert
  \frac{ \partial \varPhi(\overline{\xi}_1
  \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
                       \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) }
       { \partial \overline{\zeta}_1 }
- \frac{ \partial \varPhi(\xi_1\eta_1, \xi_2 \eta_2) }
       { \partial \zeta_1 }
  \right\rvert < \varepsilon,
\]
wenn
\[
  r(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, \xi_1 \eta_1) <
  \delta, \;
  r(\overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2, \xi_2 \eta_2)
  < \delta.
\]

Es sei $\lvert\varphi\rvert < m$,
$\left\lvert \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} \right\rvert < m$;
wir nehmen das in A) willkürliche
Gebiet $k$ als einen Kreis vom Radius $d$ um $(\xi_1 \eta_1)$ als
Mittelpunkt;
und wir wählen zunächst $\delta$ so klein, daß\footnote{
  Die beiden letzten Ungleichungen lassen sich sicher erfüllen, da deren
  linke Seiten den Grenzwert $0$ bei $\delta = 0$ haben.}
\[
  \delta < d, \quad \delta < \frac{\varrho}{2}, \quad
  32\pi m\delta
  \left[ \frac{1}{\varrho-2\delta} + \log(\varrho+2\delta) \right]
< \varepsilon, \quad
  \frac{32\pi m\delta}{(\varrho - 2\delta)^2} < \varepsilon;
\]

Hier ist wieder
\[
  \varrho = r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) > 0.
\]

Wir schlagen Kreise $\varOmega_1$, $\varOmega_2$ vom Radius $\varrho$
um $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$ als
Mittelpunkte; dabei bedeutet $\varOmega_2$ eventuell nur den in
$\varOmega$ liegenden
Teil eines Kreises; und den außerhalb $\varOmega_1$ liegenden Teil von $k$
nennen wir $k_1$. Wir schreiben
\[
  \frac{\partial \varPhi}{\partial \overline{\zeta}_1}
= \varPsi_0 + \varPsi_1 + \varPsi_2,
\]
wo
\begin{align*}
  \varPsi_0(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
         \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)
&= \; \int\limits_C
  \frac{\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, s)}
       {\partial \overline{\zeta}_1} \varphi(s)
  \frac{\partial l(s, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)}
       {\partial x}\, dy
\\
& \; - \iint\limits_{k-\varOmega_1}
  \frac{\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, xy)}
       {\partial \overline{\zeta}_1}
  \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)}
       {\partial x} \right\} dR
\\
& \; + \iint\limits_{\varOmega-\varOmega_2-k}
  \frac{\partial^2 l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
  xy)}
       {\partial x \,\partial \overline{\zeta}_1}
  \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)}
       {\partial x}\, dR,
\end{align*}
%-----File: 045.png---------------------------------------
\begin{align*}
  \varPsi_1(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
         \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)
&= - \iint\limits_{\varOmega_1}
  \frac{\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, xy)}
       {\partial \overline{\zeta}_1}
  \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)}
       {\partial x} \right\} dR,
\\
  \varPsi_2(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
         \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)
&= \iint\limits_{\varOmega_2}
  \frac{\partial^2 l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
  xy)}
       {\partial x\,\partial \overline{\zeta}_1}
  \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)}
       {\partial x}\, dR;
\end{align*}
durch ähnliches Verfahren wie in IVa bekommen wir für die beiden
letzten Integrale Abschätzungen, die wir hier nur angeben wollen:
\[
\begin{alignedat}{2}
  \lvert\varPsi_1(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
               \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) \rvert
& \leqq 4\pi m\delta
  \left\{ \frac{1}{\varrho-2\delta} + \log(\varrho+2\delta) \right\}
&&< \frac{\varepsilon}{8}
\\
  \lvert\varPsi_2(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
               \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) \rvert
& \leqq \frac{ 4\pi m\delta }{ (\varrho-2\delta)^2 }
&&< \frac{\varepsilon}{8}
\end{alignedat}
\]
Es gelten daher die Formeln:
\begin{align*}
& \lvert \varPsi_1(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
                \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)
       - \varPsi_1(\xi_1\eta_1, \xi_2 \eta_2)
  \rvert < \frac{\varepsilon}{4}
\\
& \lvert \varPsi_2(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
                \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)
       - \varPsi_2(\xi_1\eta_1, \xi_2 \eta_2)
  \rvert < \frac{\varepsilon}{4},
\end{align*}
wenn
\[
  r(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1) <
  \delta, \;
  r(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) <
  \delta ;
\]
da $\varPsi_0(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
           \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$
offenbar stetig ist für die Werte $(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$, so
ist (eventuell bei Wahl eines kleinern $\delta$)
\[
  \lvert \varPsi_0(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
                \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)
       - \varPsi_0(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)
  \rvert < \frac{\varepsilon}{2},
\]
also schließlich
\[
  \left\lvert
  \frac{ \partial \varPhi(\overline{\xi}_1
  \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
                       \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2) }
       { \partial \overline{\zeta}_1 }
- \frac{ \partial \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) }{\partial \zeta_1}
  \right\rvert < \varepsilon ,
\]
was zu beweisen war.

C) Ehe wir das Zusammenfallen der Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2
\eta_2)$ in
Betracht ziehen, wollen wir die Formel für die Ableitung am
Ende von A) umformen. Wir nehmen für $k$ einen kleinen Kreis
vom Radius $\delta$ um $(\xi_1 \eta_1)$; die Ableitung selbst ist von
dem Wert
von $\delta$ unabhängig, muß also unverändert bleiben beim Grenzübergang
$\delta = 0$. In den ersten zwei Gliedern rechts ist der Grenzwert
leicht zu berechnen; denn
\begin{align*}
& \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_C
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, s)}{\partial \zeta_1} \varphi(s)
  \frac{\partial l(s, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dy
= \pi \cos \alpha_0 · \varphi(\xi_1 \eta_1)
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1}
\\
& \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{k}
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial \zeta_1}
  \frac{\partial}{\partial x} \left\{ \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \right\} dR = 0.
\end{align*}
%-----File: 046.png---------------------------------------
Daher muß das Integral über $\varOmega-k$ auch einen Grenzwert
besitzen\footnote{
  Ein solcher Grenzwert bei kreisförmigem Grenzübergang im Fall eines
  nicht konvergenten Doppelintegrals dürfte wohl, nach Analogie der
  einfachen
  Integrale, der \so{Cauchysche Hauptwert} des nicht konvergenten
  Integrals
  genannt werden.}.
Es ist also
\begin{align*}
  \frac{\partial \varPhi}{\partial \zeta_1}
&= \pi \cos\alpha_0 · \varphi(\xi_1 \eta_1)
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1}
\\
&+ \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k}
  \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x\, \partial \zeta_1}
  \varphi(xy)
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}\, dR
\displaybreak[1]\\
&= \pi \cos\alpha_0 · \varphi(\xi_1 \eta_1)
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1}
\\
&+ \varphi(\xi_1 \eta_1)
  \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k}
  \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x \, \partial \zeta_1}
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \, dR
\\
&+ \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x \, \partial \zeta_1}
  \left\{ \varphi(xy) - \varphi(\xi_1 \eta_1) \right\}
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \, dR,
\end{align*}
da letzteres Integral offenbar konvergiert (IIc). Es ist ferner,
wenn wir annehmen, $\varphi$ und seine ersten Ableitungen seien absolut
kleiner als $m$,
\[
  \left\lvert\;
  \pi \cos\alpha_0 · \varphi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)
  \frac{\partial l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1}
  \,\right\rvert < \frac{\pi m}{r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}
\]
\begin{multline*}
  \left\lvert\; \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x \, \partial \zeta_1}
  \left\{ \varphi(xy) - \varphi(\xi_1 \eta_1) \right\}
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x} \,\right\rvert
\\
\leqq m \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{dR}{r(\xi_1 \eta_1, xy) r(xy, \xi_2 \eta_2)}
< k_0 l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2),
\end{multline*}
wenn
\[
  r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) < \delta,
\]
nach IIIa. Da diese beiden Bestandteile von
$\dfrac{\partial \varPhi}{\partial \zeta_1}$ singulär sind wie
$\dfrac{1}{r(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}$ resp.\
$         l(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) $ (welches von noch niederer
Ordnung
ist), so brauchen wir bloß zu beweisen, daß die Funktion
\[
  I = \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k}
  \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x\, \partial \zeta_1} \,
  \frac{\partial l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}
\]
%-----File: 047.png---------------------------------------
nur von der ersten Ordnung singulär ist, bei Annäherung der
Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2 \eta_2)$. Wir dürfen annehmen, das
Gebiet $\varOmega$ sei konvex,
denn sonst könnten wir immer ein konvexes Gebiet innerhalb $\varOmega$
nehmen, welches die nahe liegenden Punkte $(\xi_1 \eta_1)$, $(\xi_2
\eta_2)$ enthält,
und es würde dann das Integral über den übrigen Teil von $\varOmega$
stetig sein, also endlich bleiben bei Annäherung der beiden
Punkte\footnote{
  Uebrigens ist die Einschränkung auf konvexe Gebiete überflüssig, wenn
  wir die später auftretenden Integrale mit Element $d\vartheta$ als
  Kurvenintegrale verstehen
  wollen (vgl.\ \so{Goursat}, Cours d'Analyse, Bd.~I, No.~395). Dann
  wäre aber
  notwendig (etwa im Fall einer Randkurve mit unendlich oft oszillierender
  Tangente)
  eine strengere Untersuchung der unten ausgeführten Integration nach $r$,
  mittels welcher ein Doppelintegral in ein Kurvenintegral mit Element
  $d\vartheta$ übergeführt
  ist; daher scheint sich die angegebene Methode mehr zu empfehlen.}.

Wir bezeichnen mit $M_1$ resp.\ $M_2$ den absolut größten Wert
des Logarithmus der Entfernung zwischen dem Punkte $(\xi_1 \eta_1)$ resp.\
$(\xi_2 \eta_2)$ und einem Punkte der Randkurve $S$ von $\varOmega$. Wir
führen
Polarkoordinaten um den Punkt $(\xi_1 \eta_1)$ ein, mit der in IIIa
gegebenen
Bezeichnungsweise. Dann ergibt eine leichte Rechnung
für den Integranden folgende Identität:
\begin{gather*}
  \frac{\partial^2 l(\xi_1 \eta_1, xy)}{\partial x \, \partial \zeta_1} \,
  \frac{\partial   l(xy, \xi_2 \eta_2)}{\partial x}
= \frac{\cos(2\vartheta-\alpha_0)}{r^2} \,
  \frac{r\cos\vartheta - \varrho\cos\alpha}
       {r^2 - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) + \varrho^2}
\\
=-\frac{\cos(2\vartheta-\alpha_0)\cos\alpha}{\varrho r^2}
+ \frac{\cos(2\vartheta-\alpha_0)
        \cos\alpha \{ r - \varrho\cos(\vartheta-\alpha) \} }
       {\varrho r \{ r^2 + \varrho^2
                   - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) \} }
\\
- \frac{\cos(2\vartheta-\alpha_0) \sin(\vartheta-\alpha)\cos\vartheta}
       {r \{ r^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) \} }.
\end{gather*}
Wir nennen die drei Glieder der Reihe nach $F_1$, $F_2$, $F_3$ und die
entsprechenden Teile des Integrals $I_1$, $I_2$, $I_3$. Wir bemerken, daß
nur $F_1$ bei $r = 0$ von höherer als erster Ordnung singulär ist;
darum dürfen wir für $I_2$ und $I_3$ das Zeichen
\[
  \iint\limits_{\varOmega} \quad \text{statt} \quad
  \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k}
\]
schreiben. Ferner denken wir uns die Gleichung der Randkurve
in der Form $r = r(\vartheta)$ geschrieben. Zunächst ist
\[
  I_1
= \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega-k}
  F_1 r\, dr\, d\vartheta
= \underset{\delta=0}{\bigL}
  \biggl\{ - \frac{\cos\alpha}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi}
            \cos(2\vartheta-\alpha_0)
            \{ \log r(\vartheta) - \log\delta \}
  \biggr\} d\vartheta ;
\]
aber
%-----File: 048.png---------------------------------------
\[
  \int\limits_0^{2\pi}
  \cos (2\vartheta-\alpha_0) \log \delta\, d\vartheta = 0;
\]
also ist
\begin{gather*}
  I_1
=-\frac{\cos\alpha}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi}
  \cos (2\vartheta-\alpha_0) \log r(\vartheta)\, d\vartheta,
\\
  \lvert I_1 \rvert \leqq \frac{1}{\varrho} 2\pi M_1.
\end{gather*}
Es ist
\begin{gather*}
  I_2 = \iint\limits_{\Omega} F_2 r\, dr\, d\vartheta
\\
= \frac{\cos\alpha}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi}
\int\limits_0^{r(\vartheta)}
  \frac{ \cos(2\vartheta-\alpha_0)
         \{ r - \varrho\cos(\vartheta-\alpha) \} }
       { r^2 - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) + \varrho^2 }
  \, dr\, d\vartheta
\\
= \frac{\cos\alpha}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi}
\cos(2\vartheta-\alpha_0)
  \log\sqrt{ \{r(\vartheta)\}^2
           - 2\varrho r(\vartheta) \cos(\vartheta-\alpha)
           + \varrho^2 } \, d\vartheta,
\\
  \lvert I_2 \rvert \leqq \frac{1}{\varrho} 2\pi M_2.
\end{gather*}
Schließlich ist
\begin{gather*}
  I_3 = \iint\limits_{\varOmega} F_3 r\, dr\, d\vartheta
\\
= - \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^{r(\vartheta)}
  \frac{ \cos(2\vartheta-\alpha_0)
         \cos\vartheta \sin(\vartheta-\alpha) }
       { r^2 + \varrho^2 - 2r\varrho\cos(\vartheta-\alpha) }
 \, dr\, d\vartheta
\\
= - \frac{1}{\varrho} \int\limits_0^{2\pi}
  \left[ \operatorname{arctg}
  \frac{ r - \varrho\cos(\vartheta-\alpha) }
       { \varrho\sin(\vartheta-\alpha)     } \right]_0^{r(\vartheta)}
  \cos(2\vartheta-\alpha_0) \cos\vartheta \, d\vartheta;
\end{gather*}
die Wahl des Zweiges des Arcustangens ist unwesentlich; jedenfalls
wird das Argument des Arcustangens zwischen $r = 0$ und $r = r(\vartheta)$
nicht unendlich\footnote{
  Wir lassen außer Betracht die Werte $\vartheta = \alpha$, $\vartheta =
  \alpha + \pi$, für welche
  die obige Integration nach $r$ von vorn herein nicht gilt; es ist
  daselbst der Wert
  von $F_3$ gleich Null.};
also ist
\[
  \left\lvert \left[ \operatorname{arctg}
  \frac{ r - \varrho\cos(\vartheta-\alpha) }
       { \varrho\sin(\vartheta-\alpha)     } \right]_0^{r(\vartheta)}
  \right\rvert < \pi;
\]
%-----File: 049.png---------------------------------------
demnach
\[
  \lvert I_3 \rvert < \frac{2\pi^2}{\varrho}.
\]

Wir haben also
\[
  \lvert I \rvert
\leqq \lvert I_1 \rvert + \lvert I_2 \rvert + \lvert I_3 \rvert
< \frac{2\pi (M_1 + M_2 + \pi)}{\varrho},
\]
was bewiesen werden sollte.

\Paragraph{IVb.} \so{Hat $\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$ dieselbe
Bedeutung wie in
IVa und ist $\varphi(xy)$ eine stetige Funktion, so ist die
Funktion}
\[
  u(\xi\eta) = \iint\limits_{\varOmega} \Phi(\xi\eta, xy) \varphi(xy)
  \, dR
\]
\so{stetig, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbar.}

Abschätzungen für die Differenz zweier Werte von $u$, den
Differenzenquotienten, und die Differenz der Werte einer Ableitung
von $u$ folgen leicht auf übliche Weise aus den in IIIa angegebenen
Abschätzungen für $\varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$. Wir lassen die
keineswegs schwierigen
Rechnungen weg.

\Paragraph{Va.} \so{Ist $f(s)$ eine stetig differenzierbare Funktion,
so existiert eine und nur eine solche stetige im Innern
von $\varOmega$ analytische Lösung der Differentialgleichung}
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = 0,
\]
\so{daß $u(\sigma) = f(\sigma)$; diese lautet:}
\[
  u(\xi\eta) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_S
  \frac{\partial G(\xi\eta, s)}{\partial n} f(s) \, ds.
\]

\Paragraph{Vb.} \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige, im Innern von
$\varOmega$ stetig
differenzierbare Funktion, so existiert eine und nur
eine solche stetig differenzierbare, im Innern von $\varOmega$
zweimal stetig differenzierbare Lösung der Differentialgleichung}
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = \varphi(\xi\eta),
\]
\so{daß $u(\sigma) = 0$: diese lautet:}
\[
  u(\xi\eta) = - \frac{1}{2\pi} \iint\limits_\varOmega
  G(\xi\eta, xy) \varphi(xy) \, dR;
\]
%-----File: 050.png---------------------------------------
\so{und alle Lösungen, für welche $\frac{\partial u(\sigma)}{\partial \nu}
= 0$, sind}
\[
  u(\xi\eta) = - \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega}
  H(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR + k,
\]
\so{wo $k$ eine Konstante.}

\Paragraph{VI.} \so{Für die Greenschen Funktionen $G$, $H$ bestehen
für Punkte $(\xi\eta)$, $(xy)$ von $\varOmega$, die nicht beide am Rande,
folgende Relationen:}
\[
\left\{\
\begin{aligned}
& \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial \xi }
+ \frac{\partial^2 H}{\partial y \, \partial \eta} = 0,
\\
& \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial \eta}
- \frac{\partial^2 H}{\partial y \, \partial \xi } = 0,
\\
& \frac{\partial^2 G}{\partial y \, \partial \xi }
- \frac{\partial^2 H}{\partial x \, \partial \eta} = 0,
\\
& \frac{\partial^2 G}{\partial y \, \partial \eta}
+ \frac{\partial^2 H}{\partial x \, \partial \xi } = 0.
\end{aligned}
\right.
\]

Nehmen wir irgend eine stetig differenzierbare Funktion $\varphi(xy)$,
die nebst ihren ersten Ableitungen auf $S$ verschwindet. Eine auf
$C$ verschwindende Lösung der Gleichung
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2 }
+ \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}
= -2\pi \frac{\partial \varphi(\xi\eta)}{\partial \xi}
\]
ist, nach \so{Vb},
\[
  u(\xi\eta) = \iint\limits_{\varOmega}
  G(\xi\eta, xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} \, dR.
\]
Es ist alsdann das Integral
\[
  \int
  \left( \frac{\partial u(xy)}{\partial y} \, dx
       - \left\{ \frac{\partial u(xy)}{\partial x}
               + 2\pi\varphi(xy) \right\} dy
  \right)
\]
vom Wege unabhängig; definieren wir
\[
  v(\xi\eta) = \int\limits_{(ab)}^{(\xi\eta)}
  \left(  \frac{\partial u}{\partial y} \, \partial x
- \left\{ \frac{\partial u}{\partial x} + 2\pi\varphi \right\} dy
  \right),
\]
so ist
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial \xi }
+ \frac{\partial v}{\partial \eta} = -2\pi\varphi(\xi\eta)
\\
& \frac{\partial u}{\partial \eta}
- \frac{\partial v}{\partial \xi } = 0;
\end{aligned}
\right.
\]
%-----File: 051.png---------------------------------------
daher
\[
  \frac{\partial^2 v}{\partial {\xi}^2}
+ \frac{\partial^2 v}{\partial {\eta}^2}
= -2\pi \frac{\partial \varphi (\xi \eta)}{\partial \eta}.
\]
Ferner ist  $\dfrac{\partial v(s)}{\partial n} = 0$, denn es ist
\[
  \frac{\partial v(s)}{\partial n}
= \frac{\partial v(s)}{\partial y} \frac{dx}{ds}
- \frac{\partial v(s)}{\partial x} \frac{dy}{ds}
= - \frac{d}{ds} u(s) - 2 \pi \frac{dx}{ds} \varphi (s) = 0.
\]
Also muß (nach Vb) $v$ in der Form darstellbar sein:
\[
v(\xi \eta) = \iint\limits_\varOmega  H (\xi\eta, xy)
 \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR + k.
\]
Es müssen daher die Gleichungen gelten:
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial}{\partial \xi}  \iint\limits_\varOmega
  G(\xi\eta,xy)  \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} dR
+
  \frac{\partial}{\partial \eta} \iint\limits_\varOmega
  H(\xi\eta,xy)  \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR
= - 2 \pi \varphi(\xi \eta)
\\
& \frac{\partial}{\partial \eta} \iint\limits_\varOmega
  G(\xi\eta,xy)  \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} dR
-
  \frac{\partial}{\partial \xi}  \iint\limits_\varOmega
  H(\xi\eta,xy)  \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
Durch bekannte Rechnungsmethoden der Potentialtheorie ergeben
sich aber die Formeln:
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial}{\partial \xi}  \iint\limits_\varOmega
  l(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} dR
+
  \frac{\partial}{\partial \eta} \iint\limits_\varOmega
  l(\xi\eta,xy)  \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR
= - 2 \pi \varphi(\xi \eta)
\\
& \frac{\partial}{\partial \eta} \iint\limits_\varOmega
  l(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial x} dR
-
  \frac{\partial}{\partial \xi}  \iint\limits_\varOmega
  l(\xi\eta,xy) \frac{\partial\varphi (xy)}{\partial y} dR = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
Also müssen die stetigen Teile der Greenschen Funktionen die
Gleichungen erfüllen:
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \iint\limits_\varOmega \left\{
    \frac{\partial g(\xi\eta,xy)}{\partial\xi}
    \frac{\partial   \varphi(xy)}{\partial x}
  + \frac{\partial h(\xi\eta,xy)}{\partial\eta}
    \frac{\partial   \varphi(xy)}{\partial y} \right\} d R = 0
\\
& \iint\limits_\varOmega \left\{
    \frac{\partial g(\xi\eta,xy)}{\partial\eta}
    \frac{\partial   \varphi(xy)}{\partial x}
  - \frac{\partial g(\xi\eta,xy)}{\partial\xi}
    \frac{\partial   \varphi(xy)}{\partial y} \right\} d R = 0,
\end{aligned}
\right.
\]
oder, durch teilweise Integration,
%-----File: 052.png---------------------------------------
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \iint\limits_{\varOmega} \left\{
  \frac{\partial^2 g(\xi\eta, xy)}{\partial x \, \partial \xi }
+ \frac{\partial^2 h(\xi\eta, xy)}{\partial y \, \partial \eta}
  \right\} \varphi(xy) \, dR = 0,
\\
& \iint\limits_{\varOmega} \left\{
  \frac{\partial^2 g(\xi\eta, xy)}{\partial x \, \partial \eta}
- \frac{\partial^2 h(\xi\eta, xy)}{\partial y \, \partial \xi }
  \right\} \varphi(xy) \, dR = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
Diese beiden Gleichungen gelten für jede zweimal stetig differenzierbare
Funktion $\varphi(xy)$, welche nebst ihren ersten Ableitungen
auf $S$ verschwindet, und für jeden innern Punkt~$(\xi\eta)$. Wenn für
den Punkt $(\xi\eta)$ und irgend einen Punkt $(\xi_1 \eta_1)$ im Innern
oder auf
dem Rande von $\varOmega$, mit $(\xi\eta)$ zusammenfallend oder von
$(\xi\eta)$ getrennt,
einer der Integranden nicht verschwindet, etwa positiv ist,
so ist er in einer kleinen Nachbarschaft von $(\xi_1 \eta_1)$ auch
positiv.
Dann können wir nach dem Vorgange der Variationsrechnung eine
die obigen Bedingungen erfüllende Funktion $\varphi(xy)$ wählen, die in
dieser Nachbarschaft von $(\xi_1 \eta_1)$ positiv ist, sonst überall Null;
dann wäre aber der Wert des Integrals sicher positiv, also nicht
Null, so daß ein Widerspruch vorliegen würde. Darum gelten
notwendig die Gleichungen:
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial^2 g(\xi\eta, xy)}{\partial x \, \partial \xi }
+ \frac{\partial^2 h(\xi\eta, xy)}{\partial y \, \partial \eta} = 0
\\
& \frac{\partial^2 g(\xi\eta, xy)}{\partial x \, \partial \eta }
- \frac{\partial^2 h(\xi\eta, xy)}{\partial y \, \partial \xi} = 0
\end{aligned}
\right.
\]
für jeden innern Punkt $(\xi\eta)$ und jeden innern oder Randpunkt
$(xy)$; daher auch (wegen der Symmetrie der Greenschen Funktionen)
für zwei Punkte überhaupt, von denen wenigstens einer im Innern
liegt. Da es von vornherein klar ist, daß
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial^2 l(\xi\eta, \xi_1 \eta_1)}
       {\partial \xi_1 \, \partial \xi       }
+ \frac{\partial^2 l(\xi\eta, \xi_1 \eta_1)}
       {\partial \eta_1 \, \partial \eta      } = 0
\\
& \frac{\partial^2 l(\xi\eta, \xi_1 \eta_1)}
       {\partial \xi_1 \, \partial \eta       }
- \frac{\partial^2 l(\xi\eta, \xi_1 \eta_1)}
       {\partial \eta_1 \, \partial \xi       } = 0 ,
\end{aligned}
\right.
\]
so folgen durch Addition unsere ersten beiden Behauptungen. Die
andern lassen sich ebenso beweisen.

\Paragraph{VII.} \so{Sind $u(xy)$, $v(xy)$ stetige, im Innern von
$\varOmega$ stetig
differenzierbare Funktionen, die den Gleichungen}
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} = P(xy)
\\
& \frac{\partial u}{\partial y}
- \frac{\partial v}{\partial x} = Q(xy)
\end{aligned}
\right.
\]
%-----File: 053.png---------------------------------------
\so{genügen, wobei $P(xy)$, $Q(xy)$ auch bei Annäherung an
Punkte von $S$ stetig bleiben, so gelten die Formeln:}
\begin{align*}
  u(\xi\eta) &= \phantom{-} \frac{1}{2\pi} \int\limits_C
  \frac{\partial G(\xi\eta, s )}{\partial n} u(s ) \, ds
+ \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega} \left\{
  \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial x} P(xy)
+ \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} Q(xy) \right\} dR,
\\
  v(\xi\eta) &= - \frac{1}{2\pi} \int\limits_C
  \frac{\partial H(\xi\eta, s )}{\partial s} u(s ) \, ds
+ \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega} \left\{
  \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial x} P(xy)
- \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} Q(xy) \right\} dR.
\end{align*}

Zum Beweise bemerken wir zunächst, daß
\begin{gather*}
  \frac{\partial G}{\partial x} P
+ \frac{\partial G}{\partial y} Q
= \frac{\partial G}{\partial x}
  \left\{ \frac{\partial u}{\partial x}
        + \frac{\partial v}{\partial y} \right\}
+ \frac{\partial G}{\partial y}
  \left\{ \frac{\partial u}{\partial y}
        - \frac{\partial v}{\partial x} \right\}+\\
+ \left\{ \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}
        + \frac{\partial^2 G}{\partial y^2} \right\} u
+ \left\{ \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial y}
        - \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial y} \right\} v
\\
= \frac{\partial }{\partial x}
  \left\{ \frac{\partial G}{\partial x} u
        - \frac{\partial G}{\partial y} v \right\}
+ \frac{\partial }{\partial y}
  \left\{ \frac{\partial G}{\partial y} u
        + \frac{\partial G}{\partial x} v \right\}.
\end{gather*}

Wir beschreiben um den Punkt $(\xi\eta)$ als Mittelpunkt einen
kleinen Kreis vom Radius~$\delta$, und nennen $C$ seine Begrenzung,
$\varOmega_\delta$ das zwischen $S$~und~$C$ gelegene Gebiet. Wir erhalten durch
eine bekannte Umformung mittels des Greenschen Satzes:
\[
  \iint\limits_{\varOmega_\delta}
  \left\{ \frac{\partial G}{\partial x} P
        + \frac{\partial G}{\partial y} Q \right\} dR
= - \int\limits_S
  \left\{ \frac{\partial G}{\partial n} u
        + \frac{\partial G}{\partial s} v \right\} ds
- \int\limits_C
  \left\{ \frac{\partial G}{\partial n} u
        + \frac{\partial G}{\partial s} v \right\} ds.
\]
Auf $S$ verschwindet $\dfrac{\partial G}{\partial s}$, so daß nur ein
Glied in dem Integral
über $S$ stehen bleibt. Die Formel gilt für jeden kleinen Wert
von $\delta$; bei Aenderung von $\delta$ bleibt das Integral über $S$
ungeändert;
ferner ist, wie man leicht zeigt:
\begin{align*}
  \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_C
  \frac{\partial G}{\partial n} \, u(s) \, ds &= -2\pi u(\xi\eta),
\\
  \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_C
  \frac{\partial G}{\partial s} \, u(s) \, ds &= 0;
\end{align*}
schließlich geht das Integral über $\varOmega_\delta$ beim Grenzübergang
$\delta = 0$
über in das Integral über $\varOmega$, da letzteres Integral konvergiert.
Nach diesen Ueberlegungen erhalten wir das Resultat:
\[
  \iint\limits_{\varOmega}
  \left\{ \frac{\partial G}{\partial x} \, P
        + \frac{\partial G}{\partial y} \, Q \right\} dR
= - \int\limits_C
  \frac{\partial G}{\partial n} \, u\, ds + 2\pi u(\xi\eta),
\]
was zu beweisen war. Die zweite Formel wird ebenso bestätigt.
%-----File: 054.png---------------------------------------

\Paragraph{VIIIa.} \so{Ist $f(s)$ eine stetige Funktion, so sind die
Funktionen}
\[
\left\{
\begin{aligned}
  u(\xi\eta) &= \phantom{-} \frac{1}{2\pi} \int\limits_S
  \frac{\partial G(\xi\eta, s)}{\partial n} f(s) \, ds
\\
  v(\xi\eta) &= - \frac{1}{2\pi} \int\limits_S
  \frac{\partial H(\xi\eta, s)}{\partial s} f(s) \, ds
\end{aligned}
\right.
\]
\so{im Innern von $\varOmega$ analytisch und erfüllen die Gleichungen:}
\[
\left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial \xi }
+ \frac{\partial v}{\partial \eta} = 0
\\
& \frac{\partial u}{\partial \eta}
- \frac{\partial v}{\partial \xi } = 0.
\end{aligned}
\right.
\]

\so{Ist $f(s)$ stetig differenzierbar, so sind $u(\xi\eta)$, $v(\xi\eta)$
im
geschlossenen Bereich $\varOmega$ stetig; ist $f(s)$ zweimal stetig
differenzierbar, so sind $u$, $v$ einmal stetig differenzierbar;
außerdem ist $u(\sigma) = f(\sigma)$.}

Die drei letzten Behauptungen, sowie die Analytizität und
die Randbedingung sind aus der Potentialtheorie bekannt\footnote{
  Uebrigens sind die angegebenen Bedingungen viel weiter als für das
  Integral $u$ notwendig ist; da wir $u$, $v$ immer symmetrisch werden
  behandeln
  müssen, so hat es keinen Zweck, Bedingungen anzugeben, die nicht auch
  für $v$
  genügend sind.};
auch
die Differentialgleichungen würden durch leichte Ueberlegungen
aus potentialtheoretischen Sätzen folgen, unter der Annahme, $f(s)$
wäre stetig differenzierbar. Wenn wir bloß die Stetigkeit von
$f(s)$ voraussetzen wollen, so bemerken wir, daß gemäß VI die
Differentialgleichungen unmittelbar erfüllt sind; z.~B.\ ist
\begin{align*}
  \frac{\partial u}{\partial \xi }
+ \frac{\partial v}{\partial \eta}
&= \frac{1}{2\pi} \int\limits_S
  \left\{ \frac{\partial^2 G(\xi\eta, s)}{\partial n \, \partial \xi }
        - \frac{\partial^2 H(\xi\eta, s)}{\partial s \, \partial \eta}
  \right\} f(s) \, ds
\\
&= \frac{1}{2\pi} \int\limits_S
  \left\{ \frac{\partial^2 G}{\partial y \, \partial \xi } \frac{dx}{ds}
        - \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial \xi } \frac{dy}{ds}
        - \frac{\partial^2 H}{\partial x \, \partial \eta} \frac{dx}{ds}
        - \frac{\partial^2 H}{\partial y \, \partial \eta} \frac{dy}{ds}
  \right\} f(s) \, ds
\\
&= \frac{1}{2\pi} \int\limits_S
  \left\{ \left( \frac{\partial^2 G}{\partial y \, \partial \xi }
               - \frac{\partial^2 H}{\partial x \, \partial \eta}
          \right) \frac{dx}{ds} f(s)
        - \left( \frac{\partial^2 G}{\partial x \, \partial \xi }
               + \frac{\partial^2 H}{\partial y \, \partial \eta}
          \right) \frac{dy}{ds} f(s)
  \right\} ds
\\
&= 0,
\end{align*}
und ebenso für die zweite Gleichung.
%-----File: 055.png---------------------------------------

\Paragraph{VIIIb.}\footnote{
  Ohne die Formeln VI wäre VIII auch direkt aus der Potentialtheorie
  beweisbar; doch nur unter mehr Bedingungen für $P$, $Q$. In Bezug
  auf strenge
  Durchführung der Einzelheiten würde diese Einschränkung für die
  Anwendung
  (\S~4, I) erhebliche Schwierigkeiten mit sich ziehen.}
\so{Sind $P(xy)$ $Q(xy)$ stetige, im Innern von $\varOmega$
stetig differenzierbare Funktionen, so sind die Funktionen}
\[
\left\{
\begin{aligned}
  u(\xi\eta) &= \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega}
  \left\{ \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial x} P(xy)
        + \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} Q(xy)
  \right\} dR
\\
  v(\xi\eta) &= \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega}
  \left\{ \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial y} P(xy)
        - \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial x} Q(xy)
  \right\} dR
\end{aligned}
\right.
\]
\so{stetig, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbar und
erfüllen die Gleichungen:}
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial u}{\partial \xi }
+ \frac{\partial v}{\partial \eta} &= P(\xi\eta)
\\
  \frac{\partial u}{\partial \eta}
- \frac{\partial v}{\partial \xi } &= Q(\xi\eta);
\end{aligned}
\right.
\]
\so{außerdem ist}
\[
  u(\sigma) = 0,\quad \iint\limits_\varOmega v(xy) \, dR = 0.
\]

Die Stetigkeit von $u$, $v$ folgt sofort aus IIa, da die von den
regulären Teilen $g$, $h$ von $G$, $H$ herrührenden Bestandteile der
Integrale keine Schwierigkeit verursachen. Um uns über die
Ableitungen Auskunft zu schaffen, wenden wir teilweise Integration
an:
\begin{align*}
  u(\xi\eta) &= \frac{1}{2\pi}
  \int\limits_S G(P\,dy - Q\,dx)
- \iint\limits_{\varOmega}
  G\left( \frac{\partial P}{\partial x}
        + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dR
\\
  v(\xi\eta) &= \frac{1}{2\pi}
  \int\limits_S H(P\,dx + Q\,dy)
- \iint\limits_{\varOmega}
  H\left( \frac{\partial P}{\partial y}
        - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) dR.
\end{align*}
Die Integrale über $S$ dürfen selbstverständlich unter dem Integralzeichen
differenziert werden; dasselbe gilt nach IIb von dem Doppelintegral.
Es existieren also die Ableitungen, sie sind nach IIa
stetig. Um die Differentialgleichungen zu bestätigen, wollen wir
die Ableitungen auf andere Weise ausdrücken. Nehmen wir einen
kleinen Kreis $\varOmega_0$ vom Radius $\delta$ um $(\xi\eta)$ als
Mittelpunkt und nennen
%-----File: 056.png---------------------------------------
seinen Rand $S_0$. Schreiben wir
\[
u = u_0 + \overline{u}_0 + u_1,\quad v = v_0 + \overline{v}_0 + v_1
\]
\begin{alignat*}{3}
  u_0(\xi\eta)
&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega_0}&
  \biggl\{ \frac{\partial l}{\partial x} P
        &+ \frac{\partial l}{\partial y} Q \biggr\}& dR
\displaybreak[1] \\
  \overline{u}_0(\xi\eta)
&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega_0}&
  \biggl\{ \frac{\partial g}{\partial x} P
        &+ \frac{\partial h}{\partial y} Q \biggr\}& dR
\displaybreak[1] \\
  u_1(\xi\eta)
&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega-\varOmega_0}&
  \biggl\{ \frac{\partial G}{\partial x} P
        &+ \frac{\partial H}{\partial y} Q \biggr\}& dR
\displaybreak[1] \\
  v_0(\xi\eta)
&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega_0}&
  \biggl\{ \frac{\partial l}{\partial y} P
        &- \frac{\partial l}{\partial x} Q \biggr\}& dR
\displaybreak[1] \\
  \overline{v}_0(\xi\eta)
&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega_0}&
  \biggl\{ \frac{\partial h}{\partial y} P
        &- \frac{\partial g}{\partial x} Q \biggr\}& dR
\displaybreak[1] \\
  v_1(\xi\eta)
&= \dfrac{1}{2\pi} &\iint\limits_{\varOmega - \varOmega_0}&
  \biggl\{ \frac{\partial H}{\partial y} P
        &- \frac{\partial G}{\partial x} Q \biggr\}& dR,
\end{alignat*}
so können wir $\overline{u}_0$, $u_1$, $\overline{v}_0$, $v_1$
durch Differentiation unter dem Integralzeichen
differenzieren, und erhalten sogleich nach VI
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{\partial \overline{u}_0}{\partial \xi }
+ \frac{\partial \overline{v}_0}{\partial \eta} = 0,
&\quad
  \frac{\partial u_1}{\partial \xi }
+ \frac{\partial v_1}{\partial \eta} = 0
\\
  \frac{\partial \overline{u}_0}{\partial \eta}
- \frac{\partial \overline{v}_0}{\partial \xi } = 0,
&\quad
  \frac{\partial u_1}{\partial \eta}
+ \frac{\partial v_1}{\partial \xi } = 0.
\end{aligned}
\right.
\]
Wir müssen also die für $u$, $v$ angegebenen Differentialgleichungen
für $u_0$, $v_0$ bestätigen. Wir finden nach teilweiser Integration und
Differentiation:
\begin{gather*}
\begin{split}
  \frac{\partial u_0}{\partial \xi }
+ \frac{\partial v_0}{\partial \eta}
& = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{S_0} \left\{
  P \left( \frac{\partial l}{\partial \xi } \, dy
         - \frac{\partial l}{\partial \eta} \, dx \right)
- Q \left( \frac{\partial l}{\partial \xi } \, dx
         + \frac{\partial l}{\partial \eta} \, dy \right) \right\}
\\
& \; - \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega_0} \left\{
  \frac{\partial l}{\partial \xi }
  \left( \frac{\partial P}{\partial x}
       + \frac{\partial Q}{\partial y} \right)
+ \frac{\partial l}{\partial \eta}
  \left( \frac{\partial P}{\partial y}
       - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \right\} dR
\end{split}
\\
= \frac{1}{2\pi} \int\limits_{S_0}
  \left\{ P\frac{\partial l}{\partial n}
        - Q\frac{\partial l}{\partial s} \right\} ds
- \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega_0} \left\{
  \frac{\partial l}{\partial \xi }
  \left( \frac{\partial P}{\partial x}
       + \frac{\partial Q}{\partial y} \right)
+ \frac{\partial l}{\partial \eta}
  \left( \frac{\partial P}{\partial y}
       - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \right\} dR;
\end{gather*}
$n$ bedeutet die nach dem Kreisinnern gerichtete Normale. Es ist
%-----File: 057.png---------------------------------------
\begin{gather*}
  \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_{S_0}
  P \frac{\partial l}{\partial n} \, ds = 2\pi \, P(\xi\eta),
\quad
  \underset{\delta=0}{\bigL} \int\limits_{S_0}
  Q \frac{\partial l}{\partial s} \, ds = 0,
\\
  \underset{\delta=0}{\bigL} \iint\limits_{\varOmega_0}
  \left\{ \frac{\partial l}{\partial \xi }
          \left( \frac{\partial P}{\partial x}
               + \frac{\partial Q}{\partial y} \right)
        + \frac{\partial l}{\partial \eta}
          \left( \frac{\partial P}{\partial y}
               - \frac{\partial Q}{\partial x} \right) \right\} dR = 0,
\end{gather*}
womit die erste Formel bewiesen ist. Die zweite folgt ebenso aus:
\begin{gather*}
\begin{split}
  \frac{\partial u_0}{\partial \eta}
- \frac{\partial v_0}{\partial \xi }
&= \frac{1}{2\pi} \int\limits_{S_0} \left\{
  P \left( \frac{\partial l}{\partial \xi } \, dx
         + \frac{\partial l}{\partial \eta} \, dy \right)
+ Q \left( \frac{\partial l}{\partial \xi } \, dy
         - \frac{\partial l}{\partial \eta} \, dx \right) \right\}
\\
& \; + \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega_0}
 \left\{ \frac{\partial l}{\partial \xi }
         \left( \frac{\partial P}{\partial y}
              - \frac{\partial Q}{\partial x} \right)
       - \frac{\partial l}{\partial \eta}
         \left( \frac{\partial P}{\partial x}
              + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) \right\} dR
\end{split}
\\
= \frac{1}{2\pi} \int\limits_{S_0}
  \left\{ P \frac{\partial l}{\partial s}
        + Q \frac{\partial l}{\partial n} \right\} ds
- \frac{1}{2\pi} \iint\limits_{\varOmega_0}
 \left\{ \frac{\partial l}{\partial \xi }
         \left( \frac{\partial P}{\partial y}
              - \frac{\partial Q}{\partial x} \right)
       - \frac{\partial l}{\partial \eta}
         \left( \frac{\partial P}{\partial x}
              + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) \right\} dR.
\end{gather*}

Die letzten Behauptungen unseres Satzes folgen aus den Tatsachen,
daß die Integrale $u$, $v$ auch am Rande stetig sind, und
daß Integration nach $\xi\eta$ unter dem Integralzeichen erlaubt ist
(IIa); denn aus den Eigenschaften
\[
  G(\sigma, xy) = 0;\quad
  \iint\limits_\varOmega H(xy, x_1 y_1) \, dR = 0
\]
folgen
\begin{align*}
  \frac{\partial G(\sigma, xy)}{\partial x} = 0, \quad
& \frac{\partial G(\sigma, xy)}{\partial y} = 0;
\\
  \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial H(xy, x_1 y_1)}{\partial x} \, dR_1 = 0, \quad
& \iint\limits_{\varOmega}
  \frac{\partial H(xy, x_1 y_1)}{\partial y} \, dR_1 = 0.
\end{align*}


\Section{4. Lösung der Randwertaufgabe für das elliptische System.}

In diesem Paragraphen soll die Aufgabe gelöst werden, ein
Funktionenpaar zu finden, welches einem elliptischen System von
Gleichungen in der Normalform genügt, und außerdem eine lineare
Randbedingung erfüllt. Zunächst betrachten wir eine spezielle
solche Randbedingung, auf welche sich die allgemeine reduzieren
läßt\footnote{
  Die Anregung zu der hier gelösten Aufgabe, die den Ausgangspunkt für
  die ganze Arbeit bildete, ist von Herrn Hilbert gegeben worden;
  die Aufgabe
  wird auch in seiner 6.~Mitteilung über Integralgleichungen, XVII,
  behandelt,
  Göttinger Nachrichten (1910).}.
%-----File: 058.png---------------------------------------

\Paragraph{I.} Es sei $\varOmega$, wie vorhin, ein geschlossenes, von
einer stetig
gekrümmten doppelpunktslosen Kurve $S$ begrenztes Gebiet in der
$xy$-Ebene. Wir suchen ein Funktionenpaar $u(xy)$, $v(xy)$, welches
dem Differentialgleichungssystem
\[
\tag*{1)}
\left\{
\begin{aligned}
& \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} = A(xy) \, u + B(xy) \, v
\\
& \frac{\partial u}{\partial y}
- \frac{\partial v}{\partial x} = C(xy) \, u + D(xy) \, v
\end{aligned}
\right.
\]
genügt und die Randbedingung
\[
\tag*{2)}
  u(s) = f(s)
\]
erfüllt. Dabei sollen $A(xy)$, $B(xy)$, $C(xy)$, $D(xy)$ stetig
differenzierbare
Funktionen\footnote{
  Hier und in andern ähnlichen Fällen beachte man die Erklärung dieser
  Benennungsweise, \S~3, I.}
von $x$, $y$ sein; $f(s)$ soll eine zweimal stetig differenzierbare
Funktion der Bogenlänge $s$ sein. Wir verlangen, daß
die gesuchten Funktionen $u(xy)$, $v(xy)$ stetig, im Innern von
$\varOmega$
stetig differenzierbar seien. Aus diesen Annahmen folgt auch die
Stetigkeit, bei Annäherung an $C$, derjenigen Verbindungen der
ersten Ableitungen, welche auf den linken Seiten von (1) vorkommen.
Wir setzen voraus, daß im Falle $f(s) = 0$ das einzige
Lösungssystem der genannten Art das System
\[
  u(xy) = 0,\quad  v(xy) = 0
\]
ist.

Nach \S~3, VII ergeben unsere Annahmen das System von
Integralgleichungen:
\[
\tag*{3)}
\left\{
\begin{aligned}
& u(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega
    \{ K_{11}(\xi\eta, xy) \, u(xy) + K_{12}(\xi\eta, xy) \, v(xy) \}
    \, dR
\\
& v(\xi\eta) = \mathfrak{v}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega
    \{ K_{21}(\xi\eta, xy) \, u(xy) + K_{22}(\xi\eta, xy) \, v(xy) \}
    \, dR,
\end{aligned}
\right.
\]
wobei
\[
\tag*{4)}
\left\{
\begin{aligned}
& 2\pi \, \mathfrak{u}(\xi\eta) = \phantom{-} \int\limits_S
    \frac{\partial G(\xi\eta, s)}{\partial n} f(s) \, ds
\\
& 2\pi \, \mathfrak{v}(\xi\eta) = - \int\limits_S
    \frac{\partial H(\xi\eta, s)}{\partial s} f(s) \, ds
\end{aligned}
\right.
\]
%-----File: 059.png---------------------------------------
\[
\tag*{4)}
\left\{
\begin{aligned}
  2\pi \, K_{11}(\xi\eta, xy)
&= \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial x} A(xy)
 + \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} C(xy)
\\
  2\pi \, K_{12}(\xi\eta, xy)
&= \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial x} B(xy)
 + \frac{\partial G(\xi\eta, xy)}{\partial y} D(xy)
\\
  2\pi \, K_{21}(\xi\eta, xy)
&= \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial y} A(xy)
 - \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial x} C(xy)
\\
  2\pi \, K_{22}(\xi\eta, xy)
&= \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial y} B(xy)
 - \frac{\partial H(\xi\eta, xy)}{\partial x} D(xy) + 1.
\end{aligned}
\right.
\]
Die Funktionen $\mathfrak{u}(xy)$, $\mathfrak{v}(xy)$ sind stetig
differenzierbare, im Innern
von $\varOmega$ analytische Funktionen (\S~3, VIIIb). Die Funktionen
$K_{ij}(\xi\eta, xy)$ $(i,j = 1,2)$ sind im allgemeinen stetig; bei
gleichzeitiger
Annäherung der Punkte $(\xi\eta)$, $(xy)$ zu einem gemeinsamen
Grenzpunkt haben sie eine Singularität erster Ordnung.

Sind $u$, $v$ stetige, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbare
Funktionen, welche die Integralgleichungen~3) erfüllen, so erfüllen
sie auch nach \S~3, \mbox{VIIIa},~b die Differentialgleichungen~1) und die
Randbedingung~2). Wir haben also den Satz:

\so{Für stetige, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbare
Funktionen $u$, $v$ ist das Differentialgleichungssystem~1)
nebst der Randbedingung~2) mit dem Integralgleichungssystem~3)
äquivalent.}

\Paragraph{II.} Die allgemeinen Sätze über Integralgleichungen vermögen
nur die Stetigkeit einer Lösung zu behaupten; um hier Auskunft
über die Existenz der Ableitungen zu erhalten, bedienen wir uns
des Kunstgriffes der Zusammensetzung des Kernes. Wir setzen
nämlich in die rechten Seiten von 3) die Werte von $u$, $v$ ein, die
eben durch 3) geliefert werden; mit Rücksicht auf \S~3, IIIb finden wir:
\[
\tag*{5)}
\left\{
\begin{aligned}
  u(\xi\eta) &= \mathfrak{U}(xy) + \iint\limits_\varOmega
  \{ \varPhi_{11}(\xi\eta, xy) \, u(xy) + \varPhi_{12}(\xi\eta, xy) \,
  v(xy) \} \, dR
\\
  v(\xi\eta) &= \mathfrak{V}(xy) + \iint\limits_\varOmega
  \{ \varPhi_{21}(\xi\eta, xy) \, u(xy) + \varPhi_{22}(\xi\eta, xy) \,
  v(xy) \} \, dR,
\end{aligned}
\right.
\]
wobei
\[
\tag*{6)}
\left\{
\begin{gathered}
  \mathfrak{U}(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega
  \left\{ K_{11}(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{u}(xy)
        + K_{12}(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{v}(xy) \right\} \, dR
\\
  \mathfrak{V}(\xi\eta) = \mathfrak{v}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega
  \left\{ K_{21}(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{u}(xy)
        + K_{22}(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{v}(xy) \right\} \, dR
\\
\shoveleft{
  \varPhi_{ij}(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) = \iint\limits_\varOmega
  \left\{ K_{i1}(\xi_1 \eta_1, xy) K_{1j}(xy, \xi_2 \eta_2) \right.
}
\\
\shoveright{
  \left. + K_{i2}(\xi_1 \eta_1, xy) K_{2j}(xy, \xi_2 \eta_2) \right\}
  \, dR
}
\\
  [i, j = 1, 2].
\end{gathered}
\right.
\]
%-----File: 060.png---------------------------------------
Die Funktionen $\mathfrak{U}(\xi\eta)$, $\mathfrak{V}(\xi\eta)$ sind
nach \S~3, VIIIb stetig, im Innern
von~$\varOmega$ stetig differenzierbar. Die Funktionen
$\varPhi_{ij}(\xi\eta, xy)\; [i,j = 1,2]$
sind im allgemeinen stetig; bei gleichzeitiger Annäherung der
Punkte $(\xi\eta)$, $(xy)$ gegen einen gemeinsamen Grenzpunkt haben sie
eine logarithmische Singularität (\S~3, IIIa), ferner haben sie genau
die in \S~3, IVa betrachteten Formen, sodaß die Resultate von \S~3,
IVb anwendbar sind.

Ist $u$, $v$ ein stetiges Lösungssystem von 3), so ist es auch ein
stetiges Lösungssystem von 5); dann sind aber die Funktionen
$u$, $v$ im Innern von $\varOmega$ auch stetig differenzierbar (\S~3,
IVb). Wir
haben also bewiesen:

\so{Jedes stetige Lösungssystem von 3) ist ein stetiges,
im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbares Lösungssystem
von 1), 2). Insbesondere existiert außer}
\[
  u_0(xy) = 0,\quad v_0(xy) = 0
\]
\so{kein stetiges Lösungssystem der 3) entsprechenden
homogenen Integralgleichungen:}
\[
\tag*{$3_0$)}
\left\{
\begin{aligned}
  u_0(\xi\eta) &= \iint\limits_\varOmega
  \left\{ K_{11}(\xi\eta, xy) \, u_0(xy)
        + K_{12}(\xi\eta, xy) \, v_0(xy) \right\} \, dR
\\
  v_0(\xi\eta) &= \iint\limits_\varOmega
  \left\{ K_{21}(\xi\eta, xy) \, u_0(xy)
        + K_{22}(\xi\eta, xy) \, v_0(xy) \right\} \, dR.
\end{aligned}
\right.
\]
Was die letzte Behauptung des Satzes betrifft, ist nur zu bemerken,
daß die stetigen Funktionen $u_0(xy)$, $v_0(xy)$ eines Lösungssystems
nach dem ersten Teile des Satzes auch stetige Ableitungen
im Innern von $\varOmega$ hätten, und daher die Differentialgleichungen 1)
mit der Nebenbedingung $u_0(s) = 0$ lösten, was nach Voraussetzung
(vgl.~I) unmöglich ist.

\Paragraph{III.} Wir verfahren jetzt auf bekannte Weise, um unser System
von zwei Integralgleichungen mit zwei unbekannten Funktionen
auf eine einzige Integralgleichung mit einer unbekannten Funktion
zu reduzieren. Zu diesem Zweck nehmen wir ein zweites, zu $\varOmega$
kongruentes, aber beliebig gelegenes Gebiet $\varOmega'$; wir nennen
$(\overline{\xi}\,\overline{\vphantom{\xi}\eta})$
den dem Punkt $(\xi\eta)$ von $\varOmega'$ kongruenten Punkt von
$\varOmega$, $O$ das
aus $\varOmega$, $\varOmega'$ zusammengesetzte Gebiet; und definieren
in $O$
\[
\tag*{7)}
\left\{
\begin{aligned}
  w(\xi\eta) &=
  \left\{
  \begin{aligned}
&  u(\xi\eta) &\text{ für }& (\xi\eta) \text{ in } \varOmega  \\
&  v(\overline{\xi}\,\overline{\vphantom{\xi}\eta}) &\text{ für }&
(\xi\eta) \text{ in } \varOmega'
  \end{aligned}
  \right.
\\
  K(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) &=
  \left\{
  \begin{aligned}
&  K_{11}(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)
&  \text{ für }& (\xi_1 \eta_1) \text{ in } \varOmega  ,\;
                 (\xi_2 \eta_2) \text{ in } \varOmega
\\
&  K_{12}(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2\overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)
&  \text{ für }& (\xi_1 \eta_1) \text{ in } \varOmega  ,\;
                 (\xi_2 \eta_2) \text{ in } \varOmega'
\\
&  K_{21}(\overline{\xi}_1\overline{\vphantom{\xi}\eta}_1, \xi_2 \eta_2)
&  \text{ für }& (\xi_1 \eta_1) \text{ in } \varOmega' ,\;
                 (\xi_2 \eta_2) \text{ in } \varOmega
\\
&  K_{22}(\overline{\xi}_1\overline{\vphantom{\xi}\eta}_1,
         \overline{\xi}_2\overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)
&  \text{ für }& (\xi_1 \eta_1) \text{ in } \varOmega'  ,\;
                 (\xi_2 \eta_2) \text{ in } \varOmega' ,
  \end{aligned}
  \right.
\end{aligned}
\right.
\]
%-----File: 061.png---------------------------------------
mit ähnlich gebildeten Ausdrücken für die Funktionen $\mathfrak{w}$,
$\mathfrak{W}$, $w_0$
und $\varPhi$. Wir bekommen für die Gleichungssysteme $3$), $5$),
$3_0$) und
die Relationen $6$) die neuen Formen:
\begin{align*}
\tag*{$3'$)}
&\quad
  w(\xi\eta) =\; \mathfrak{w}(\xi\eta) + \iint\limits_O
  K(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR
\displaybreak[1] \\
\tag*{$5'$)}
& \quad
  w(\xi\eta) = \mathfrak{W}(\xi\eta) + \iint\limits_O
  \varPhi(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR
\displaybreak[1] \\
\tag*{$6'$)}
& \left\{
\begin{aligned}
& \mathfrak{W}(\xi\eta) =\; \mathfrak{w}(\xi\eta) + \iint\limits_O
  K(\xi\eta, xy) \, \mathfrak{w}(xy) \, dR
\\
& \varPhi(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) = \iint\limits_O
  K(\xi_1 \eta_1, xy) \, K(xy, \xi_2 \eta_2) \, dR
\end{aligned}
\right.
\displaybreak[1] \\
\tag*{$3'_0$)}
&\qquad\qquad
  w_0(\xi\eta) = \iint\limits_O
  K(\xi\eta, xy) \, w_0(xy) \, dR.
\end{align*}

Nach der Theorie der Integralgleichungen sollte eine und nur
eine stetige Lösung von $3'$) existieren, da keine von Null verschiedene
stetige Lösung von $3_0'$) existiert. Doch ist dieser Satz
durch die Fredholmschen Formeln\footnote{
  Acta mathematica, Bd.~27 (1903), S.~365--390.}),
eventuell im erweiterten Sinne
von Hilbert\footnote{
  Göttinger Nachrichten (1904), S.~82.}),
zunächst nur für Kerne bewiesen, deren Singularitäten
von niedrerer\DPnote{** TN: [sic], presumed older form of niedrigerer} als erster Ordnung sind. Wir wollen uns
daher in der Weiterführung dieser Betrachtungen auf die Gleichung~5)
stützen, die einen nur logarithmisch singulären Kern
hat. Wir brauchen die anderen Integralgleichungen:
\begin{align*}
\tag*{$3''_0$)}
  w_{00}(\xi\eta) &= \phantom{-} \iint\limits_O
  K(xy, \xi\eta) \, w_{00}(xy) \, dR
\\
\tag*{$3'_0-$)}
  z_0(\xi\eta) &= - \iint\limits_O
  K(\xi\eta, xy) \, z_0(xy) \, dR
\\
\tag*{$3''_0-$)}
  z_{00}(xy) &= - \iint\limits_O
  K(xy, \xi\eta) \, z_{00}(xy) \, dR
\\
\tag*{$5'_0$)}
  w_0(\xi\eta) &= \phantom{-} \iint\limits_O
  \varPhi(\xi\eta, xy) \, w_0(xy) \, dR
\\
\tag*{$5''_0$)}
  w_{00}(\xi\eta) &= \phantom{-} \iint\limits_O
  \varPhi(xy, \xi\eta) \, w_{00}(xy) \, dR.
\end{align*}

\Paragraph{IV.} Es tritt hier die Schwierigkeit auf, daß die $5'$)
entsprechende
homogene Gleichung $5'_0$) eventuell von Null verschiedene
stetige Lösungen besitzen kann; in diesem Falle besitzt auch
die homogene Gleichung mit transponiertem Kern $5''_0$) von Null
verschiedene stetige Lösungen. Wir zeigen, daß jedenfalls folgender
Satz gilt:
%-----File: 062.png---------------------------------------

\so{Jede stetige Lösung von $5'_0$) ist zugleich eine Lösung
von $3'_0-$); jede stetige Lösung von $5''_0$) ist zugleich eine
Lösung von $3''_0-$).}

Es sei $w_0(\xi\eta)$ irgend welche stetige Lösung von $5'_0$); dann ist,
wie man durch einfache Substitution (und vermöge \S~3, VIIIb)
erkennt,
\[
  w_0(\xi\eta) + \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, w_0(xy) \, dR
\]
eine stetige (\S~3, IIa) Lösung von $3'_0$); nach Voraussetzung kann
sie nur gleich Null sein, womit die erste Behauptung des Satzes
bestätigt ist. Die zweite Behauptung wäre ebenfalls auf dieselbe
Weise bewiesen, wenn wir wüßten, daß die Gleichung $3''_0$) keine
von Null verschiedene stetige Lösung hätte. Zur Vervollständigung
des Beweises ist also nur noch folgender Satz (welcher für Kerne
mit niederen Singularitäten von vorn herein gilt), nötig:

\Paragraph{V.} \so{Da $3'_0$) keine von Null verschiedene stetige
Lösung hat, so hat auch~$3''_0$) keine von Null verschiedene
stetige Lösung.}

Es sei $w_{00}(\xi\eta)$ eine stetige Lösung von $3''_0$), daher auch eine
Lösung von $5''_0$). Da $3'_0$) keine von Null verschiedene stetige
Lösungen hat, so hat die Gleichung
\[
  W(\xi\eta) = w_{00}(\xi\eta) + \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, W(xy)
  \, dR
\]
eine stetige Lösung, die notwendig auch der Gleichung
\[
  W(\xi\eta)
= \{ w_{00}(\xi\eta) + \iint\limits_O K(\xi\eta) \, w_{00}(xy) \,dR \}
+ \iint\limits_O \varPhi(\xi\eta, xy) \, w_{00}(xy) \, dR
\]
genügt. Bekanntlich muß dann die Bedingung erfüllt sein:
\[
  \iint\limits_O w_{00}(xy)
  \{ w_{00}(xy)
   + \iint\limits_O K(xy, x_1 y_1) \, w_{00}(x_1 y_1) \, dR_1 \} \,
   dR = 0,
\]
\dh
\[
  2 \iint\limits_O \{ w_{00}(xy) \}^2 \, dR = 0,
\]
woraus die Behauptung folgt
\[
  w_{00}(\xi\eta) = 0.
\]

\Paragraph{VI.} \so{Ist $w(\xi\eta)$ eine stetige Lösung von $5'$),
so existiert
eine und nur eine stetige Lösung von $3'$); und
zwar ist sie gleich}
\[
  \tfrac{1}{2} \{ \mathfrak{w}(\xi\eta) + w(\xi\eta)
+ \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR \}.
\]
%-----File: 063.png---------------------------------------

In der Tat, schreiben wir
\[
  2W(\xi\eta)
= \mathfrak{w}(\xi\eta) + w(\xi\eta)
+ \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR,
\]
so finden wir
\begin{multline*}
2 \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, W(xy) \, dR
= \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \mathfrak{w}(xy) \, dR
\\
+ \iint\limits_O K(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR
+ \iint\limits_O \varPhi(\xi\eta, xy) \, w(xy) \, dR
\end{multline*}
\begin{align*}
&= \{ \mathfrak{W}(\xi\eta) - \mathfrak{w}(\xi\eta) \}
+ \iint\limits_O K(\xi\eta,xy) \, w(xy) \, dR
+ \{ w(\xi\eta) - \mathfrak{W}(\xi\eta) \}
\\
&=  -2\mathfrak{w}(\xi\eta) + 2W(\xi\eta),
\end{align*}
was zu beweisen war. Daß $3'$) nur eine stetige Lösung besitzt,
ist klar, denn die Differenz zweier Lösungen muß $3'_0$) befriedigen,
also nach Voraussetzung gleich Null sein.

\Paragraph{VII.} Wir haben jetzt alle Hilfsmittel in der Hand, um die
in~III, IV genannten Schwierigkeiten zu beseitigen. Es gilt nämlich
folgender Satz:

\smallskip
\so{Die Gleichung $3'$) besitzt eine und nur eine stetige
Lösung.}

\smallskip
Um den Beweis zu führen, genügt es nach VI, irgend eine
Lösung von~$5'$) zu finden; wir zeigen, daß eine stetige Lösung
von $5'$) sicher vorhanden ist, selbst wenn die homogene Gleichung
$5'_0$) Lösungen besitzt. Es sei $w_{00}(\xi\eta)$ irgend eine stetige
Lösung
von $5''_0$); nach IV ist $w_{00}(\xi\eta)$ eine Lösung
von~$3''_0-$). Hieraus
folgt durch Multiplikation mit $\mathfrak{w}(\xi\eta)$ und Integration:
\[
  \iint\limits_O w_{00}(xy) \, \mathfrak{w}(xy) \, dR
+ \iint\limits_O \iint\limits_O k(x_1 y_1, xy) \, w_{00}(x_1 y_1) \,
\mathfrak{w}(xy)
  \, dR_1 \, dR = 0,
\]
\dh\ nach $6'$)
\[
  \iint\limits_O w_{00}(xy) \, \mathfrak{W}(xy) \, dR = 0.
\]

Diese Gleichung, die für jede Lösung $w_{00}(\xi\eta)$ von $5''_0$) gilt,
gibt genau die bekannte Bedingung an, daß $5'_0$) eine Lösung besitze.
Damit ist der Satz bewiesen. Als Gesamtergebnis haben
wir also das

\Paragraph{VIII.} \so{Existenztheorem: Wenn das System~1) außer
$u(xy) = 0$, $v(xy) = 0$ kein solches stetiges, im Innern
von $\varOmega$ stetig differenzierbares Lösungssystem besitzt,
daß $u(s) = 0$, so gibt es ein und nur ein solches
stetiges, im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbares
Lösungssystem, daß $u(s) = f(s)$.}
%-----File: 064.png---------------------------------------

Dieses Resultat, welches für sich befriedigend ist, werden
wir nachher verallgemeinern, indem wir allgemeine lineare Randbedingungen
zulassen. Es muß\ aber doch hier bemerkt werden,
daß\ das Theorem eventuell keine Auskunft liefert. Zum Beispiel
schon das einfache System:
\begin{equation*}
  \left\{\ %
    \begin{array}{l}
      \dfrac{\partial u}{\partial x} +
      \dfrac{\partial v}{\partial y} = 0\\[1em]
      \dfrac{\partial v}{\partial y} -
      \dfrac{\partial u}{\partial x} = 0
    \end{array}
  \right.
\end{equation*}
hat außer $u=0$, $v=0$ noch die Lösungen $u=0$, $v=\text{Konstante}$;
sodaß wir aus dem Existenztheorem nicht entscheiden
könnten, ob bei gegebenen Randwerten $u(s)=f(s)$ Lösungen existieren
oder nicht. Um diese Frage zu berücksichtigen, schalten
wir hier eine Erweiterung des Theorems VIII ein, welche wir
aber nur für die vorliegenden einfacheren Randwerte aussprechen
und beweisen wollen.

Wenn wir einem gesuchten Lösungssystem die Bedingung
\begin{equation*}
  \iint\limits_{\varOmega} v(x y) \,dx\, dy = 0
\end{equation*}
auferlegen, so fällt derjenige Bestandteil der zweiten Gleichung 3)
weg, der vom Glied $+1$ in der Definition 4) von $K_{22}(\xi \eta,
x y)$ herrührt.
Umgekehrt, erfüllt $v(\xi\eta)$ die so veränderte zweite Gleichung
3), so ist nach \S~3, VIIIb obige Bedingung erfüllt. Wir können
also alle Schlüsse bei diesem neuen Problem ganz ähnlich wie in
dem früheren durchführen, und erhalten auf diese Weise das erweiterte
Existenztheorem:

\so{Wenn das System 1) außer $u(x y)=0$, $v(x y)=0$ kein
solches stetiges, im Innern von $\Omega$ stetig differenzierbares
Lösungssystem besitzt, daß}
\begin{equation*}
  u(s) = 0, \qquad \iint\limits_{\varOmega} v(x y) \,dR = 0,
\end{equation*}
\so{so gibt es ein und nur ein solches stetiges, im Innern
von $\Omega$ stetig differenzierbares Lösungssystem, daß}
\begin{equation*}
  u(s) = f(s), \qquad \iint\limits_{\varOmega} v(x y) \,dR = 0;
\end{equation*}
\so{aus diesem einen Lösungssystem für die Randwertbedingung
$u(s)=f(s)$ entsteht das allgemeine, indem
man dazu das allgemeine Lösungssystem für die Randwertbedingung
$u(s)=0$ addiert.}
%-----File: 065.png---------------------------------------

Wie man leicht sieht, liefert dies Theorem auch in dem genannten
Spezialfall die Existenz einer Lösung.

Wir wollen schließlich das erste Theorem auf eine beliebige
Randwertbedingung ausdehnen.

\Paragraph{IX.} \so{Allgemeines Existenztheorem: Wenn das
System 1) außer $u(xy) = 0$, $v(xy) = 0$ kein solches stetiges,
im Innern von $\varOmega$ stetig differenzierbares Lösungssystem
besitzt, daß $\alpha(s) \, u(s) + \beta(s) \, v(s) = 0$, so gibt es ein
und nur ein solches stetiges, im Innern von $\varOmega$ stetig
differenzierbares Lösungssystem, daß}
\[
  \alpha(s) \, u(s) + \beta(s) \, v(s) = f(s).
\]

Für die neuen Funktionen $\alpha(s)$, $\beta(s)$ stellen wir dieselbe
Bedingung,
wie für $f(s)$: stetige Differenzierbarkeit; außerdem verlangen
wir, daß sie nie gleichzeitig verschwinden. Wir nehmen
zwei sonst beliebige, zweimal stetig differenzierbare Funktionen
$\alpha(xy)$, $\beta(xy)$, welche die Bedingung
\[
  \{ \alpha(xy) \}^2 + \{ \beta(xy) \}^2 > 0
\]
erfüllen und auf $S$ die Werte $\alpha(s)$, $\beta(s)$ annehmen. Die
Transformation
\[
\left\{
\begin{aligned}
  U &= \phantom{-} \alpha u + \beta v  \\
  V &=          -  \beta u + \alpha v
\end{aligned}
\right.
\]
ist alsdann nicht singulär, und hat die Inverse
\[
\left\{
\begin{aligned}
  u &= \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2} \, U
     - \frac{\beta }{\alpha^2 + \beta^2} \, V
\\
  v &= \frac{\beta }{\alpha^2 + \beta^2} \, U
     + \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2} \, V.
\end{aligned}
\right.
\]
Auf 3) angewandt, liefert die Transformation nach der Bezeichnungsweise
von \S~2:
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \lambda_1 &= \phantom{-}
  \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2}
  \left( \frac{\partial U}{\partial x}
       + \frac{\partial V}{\partial y} \right)
+ \frac{\beta }{\alpha^2 + \beta^2}
  \left( \frac{\partial U}{\partial y}
       - \frac{\partial V}{\partial x} \right) = \mathfrak{L}(U,V)
\\
  \lambda_2 &= -
  \frac{\beta }{\alpha^2 + \beta^2}
  \left( \frac{\partial U}{\partial x}
       + \frac{\partial V}{\partial y} \right)
+ \frac{\alpha}{\alpha^2 + \beta^2}
  \left( \frac{\partial U}{\partial y}
       - \frac{\partial V}{\partial x} \right) = \mathfrak{L}(U,V) ;
\end{aligned}
\right.
\]
daraus wird durch die lineare Zusammensetzung
\[
\left\{
\begin{aligned}
  \varLambda_1 &= \alpha \lambda_1 - \beta \lambda_2  \\
  \varLambda_2 &= \beta \lambda_1 + \alpha \lambda_2
\end{aligned}
\right.
\]
%-----File: 066.png---------------------------------------
\[
\tag*{8)}
\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\partial U}{\partial x} + \dfrac{\partial V}{\partial y} =
\mathfrak{L} (U,V) \\[1em]
\dfrac{\partial U}{\partial y} - \dfrac{\partial V}{\partial x} =
\mathfrak{L} (U,V)
\end{array}\right.
\]
ein System von derselben Gestalt wie 3) selbst; auch sind die
Koeffizienten von $U$, $V$ in den Ausdrücken $\mathfrak{L}(U, V)$
einmal stetig
differenzierbar, wie es in der ursprünglichen Form der Fall war.
Gibt es kein solches Lösungssystem
von~1), daß $\alpha(s) u (s)+\beta (s) v (s)=0$,
so gibt es kein solches Lösungssystem von 8), daß $U (s) = 0$, da
das erstere aus dem letzteren durch die gebrauchte Transformation
hervorgehen würde. Es existiert also, nach dem ersten Existenztheorem,
ein solches Lösungssystem von 8), daß $U(s) = f(s)$; die
Transformation liefert alsdann ein solches Lösungssystem von 1),
daß $\alpha (s) u (s)+ \beta (s) v (s) = f(s)$, womit das Theorem
bewiesen ist.


\Chapter{Drittes Kapitel.}
{Das hyperbolische System.}

\Section{5. Lösung der Randwertaufgabe für das hyperbolische System.}

Wir kommen jetzt zur Untersuchung des hyperbolischen Systems,
welches wir wieder in der Normalform annehmen. Die Theorie
verhält sich in diesem Falle besonders einfach; sie entbehrt
vollständig der Schwierigkeiten, die uns schon in dem elliptischen
Falle in Bezug auf Greensche Funktionen und uneigentliche Integrale
begegnet sind, und die sich größtenteils später in dem parabolischen
Fall wiederholen werden. Auch die Resultate, wie von
vorn herein zu erwarten war, sind ganz verschieden von den Resultaten
bei dem elliptischen System. Wir werden Randbedingungen
nicht auf einer geschlossenen Kurve, sondern auf einer
offenen Kurve studieren: ferner geben wir nicht nur \so{eine} Relation
zwischen den beiden unbekannten Funktionen, sondern die
Werte der einzelnen Funktionen selbst, \dh\ \so{zwei} Relationen.
Im elliptischen Fall haben wir das Problem zuerst für eine spezielle
Randbedingung gelöst, ohne Einschränkung auf das Gleichungssystem;
hier werden wir dagegen zunächst nur ein spezielles
%-----File: 067.png---------------------------------------
System von Differentialgleichungen betrachten und nachher die
Theorie des allgemeinen Systems daraus folgern.

\Paragraph{I.} Es möge $\Omega$ ein Rechteck der $xy$-Ebene bedeuten:
\begin{equation*}
a_1 \leqq x \leqq x_2,\quad b_1 \leqq y \leqq b_2 ;
\end{equation*}
zwei diagonal gegenüberliegende Ecken, etwa $(a_1 b_1)$ und $(a_2 b_2)$
seien durch eine stetige Kurve $S$ verbunden, welche von jeder in
$\Omega$ gezogenen horizontalen und vertikalen Geraden in einem und
nur einem Punkt getroffen wird. Die Kurve $S$ darf dann in den
beiden Formen
\begin{equation*}
y=\chi(x),\quad x=\psi(y)
\end{equation*}
dargestellt werden, wobei $\chi(x)$, $\psi(y)$ stetige Funktionen
sind. Das
Gebiet, welches von der Kurve $S$ und den beiden Geraden $x = \xi$,
$y = \eta$ begrenzt ist, nennen wir $\Omega_{\xi\eta}$. Wir suchen ein
Funktionenpaar
$u(xy)$, $v(xy)$, welches dem Differentialgleichungssystem
\begin{equation*}
\tag*{1)}
\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial u}{\partial x} = B(xy)\,v \\[1em]
\dfrac{\partial v}{\partial y} = C(xy)\,u
\end{array}\right.
\end{equation*}
genügt und auf der Kurve $S$ die Bedingungen
\begin{equation*}
\tag*{2)}
\left\{
\begin{array}{l}
u\bigl( \psi(y),y \bigr) = f(y) \\
v\bigl( x,\chi(x) \bigr) = g(x)
\end{array}\right.
\end{equation*}
erfüllt. Dabei sollen $B(xy)$, $C(xy)$, $f(y)$, $g(x)$ stetige Funktionen
sein. Von den gesuchten Funktionen $u(xy)$, $v(xy)$ verlangen wir,
daß sie stetig seien und die stetigen Ableitungen $\dfrac{\partial
u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial v}{\partial y}$ besitzen.

Integrieren wir die erste Gleichung 1) nach $x$ zwischen den
Grenzen $\psi(y)$ und $\xi$, die zweite nach $y$ zwischen den Grenzen
$\chi(x)$
und $\eta$, so bekommen wir unter Berücksichtigung von 2) und mit
kleinen Aenderungen der Bezeichnung:
\begin{equation*}
\tag*{3)}
\left\{
\begin{array}{l}
u(\xi\eta) = f(\eta)+ \dint\limits_{\psi(\eta)}^{\xi} B(x\eta)v(x\eta)
\,dx \\[2em]
v(\xi\eta) = g(\xi) + \dint\limits_{\chi(\xi)}^{\eta} C(\xi y)u(\xi y)
\,dy.
\end{array}\right.
\end{equation*}
Umgekehrt, sind $u(xy)$, $v(xy)$ stetige Lösungen von 3), so sind
auch $\dfrac{\partial u}{\partial x}$, $\dfrac{\partial v}{\partial y}$
stetig, und $u$, $v$ befriedigen 1) und 2).
%-----File: 068.png---------------------------------------

In jeder der Formeln 3) setzen wir in das Integral die andere
Formel ein; wir bekommen auf diese Weise die neuen Formeln:
\begin{align*}
  u(\xi\eta) &= f(\eta)
+ \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi  B(x\eta) g(x) \, dx
+ \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi  B(x\eta)
  \int\limits_{\chi( x  )}^\eta C(x y  ) \, u(xy) \, dy\, dx
\\
  v(\xi\eta) &= g(\xi )
+ \int\limits_{\chi(\xi )}^\eta C(\xi y) \, f(y) \, dy
+ \int\limits_{\chi(\xi )}^\eta C(\xi y)
  \int\limits_{\psi( y  )}^\xi  B( x  y) \, v(xy) \, dx\, dy.
\end{align*}
Diese lassen sich auch in der Form schreiben:
\begin{align*}
\tag*{$4'$)}
  u(\xi\eta)
&= \mathfrak{u}(\xi\eta)
+ \iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} K(\xi\eta, xy) \, u(xy) \, dR
\\
\tag*{$4''$)}
  v(\xi\eta)
&= \mathfrak{v}(\xi\eta)
+ \iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} L(\xi\eta, xy) \, v(xy) \, dR,
\end{align*}
wo
\[
\tag*{5)}
\left\{
\ \begin{aligned}
& \mathfrak{u}(\xi\eta)
= f(\eta) + \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi  B(x \eta) \, g(x) \, dx
\\
& \mathfrak{v}(\xi\eta)
= g(\xi ) + \int\limits_{\chi(\xi )}^\eta C(\xi  y) \, f(y) \, dy
\\
& K(\xi\eta, xy) = - B(x \eta) \, C(xy)\;\footnotemark
\\
& L(\xi\eta, xy) = - C(\xi y) \, B(xy).
\end{aligned}
\right.
\]
\footnotetext{
  Wir schreiben hier das negative Vorzeichen; denn die \so{doppelten}
  Integrationen
  liefern das Negative der \so{Doppel}integrale über
  $\varOmega_{\xi\eta}$. Bei anderer
  Wahl der durch die Kurve $S$ verbundenen Ecken würde das positive
  Vorzeichen
  hier vorkommen.}%
Wir haben also zwei getrennte Integralgleichungen für $u$, $v$.

Es fragt sich jetzt, ob umgekehrt die Formeln 3) aus den
Integralgleichungen $4'$), $4''$) folgen. Wir nehmen an, $u$, $v$
befriedigen
die Gleichungen $4'$), $4''$), setzen
\begin{align*}
  u_0(\xi\eta)
&= u(\xi\eta) - f(\eta)
- \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi  B(x \eta) \, v(x \eta) \, dx
\\
  v_0(\xi\eta)
&= v(\xi\eta) - g(\xi )
- \int\limits_{\chi(\xi )}^\eta C(\xi  y) \, u(\xi  y) \, dy,
\end{align*}
und versuchen zu beweisen, daß $u_0(\xi\eta) = 0$, $v_0(\xi\eta) = 0$. Aus
den eben gegebenen Definitionen von $u_0$, $v_0$ folgt sogleich, daß
%-----File: 069.png---------------------------------------
\begin{align*}
\begin{split}
  \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta)\, v_0(x\eta)\, dx
= \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta)\,   v(x\eta)\, dx
- \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta)\,   g(x)\, dx
\\
- \int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta)
  \int\limits_{\chi(x)}^\eta C(xy)\, u(xy)\, dy\, dx
\end{split}
\displaybreak[1] \\
&= \{-u_0(\xi\eta) + u(\xi\eta) - f(\eta) \}
 + \{ f(\eta) - \mathfrak{u}(\xi\eta) \}
 + \{ \mathfrak{u}(\xi\eta) - u(\xi\eta) \}
\displaybreak[1] \\
&= -\mathfrak{u}_0(\xi\eta);
\end{align*}
wir haben also
\[
  u_0(\xi\eta) = -\int\limits_{\psi(\eta)}^\xi B(x\eta) \, v_0(x\eta)
  \, dx
\]
und ähnlich
\[
  v_0(\xi\eta) = -\int\limits_{\chi(\xi)}^\eta C(\xi y) \, u_0(\xi y)
  \, dy;
\]
setzen wir jede dieser Formeln in die andere ein, so sehen wir, daß
\begin{align*}
\tag*{$4'_0$)}
  u_0(\xi\eta) = -\iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} K(\xi\eta, xy) \,
  u_0(xy) \, dR
\\
\tag*{$4''_0$)}
  v_0(\xi\eta) = -\iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} L(\xi\eta, xy) \,
  v_0(xy) \, dR.
\end{align*}
Wenn diese beiden Gleichungen keine von Null verschiedenen stetigen
Lösungen besitzen, so müssen $u_0(\xi\eta)$ und $v_0(\xi\eta)$
identisch Null sein,
und die Formeln~3) folgen aus $4'$), $4''$). Wir fassen die bis jetzt
erhaltenen Resultate in einen Satz zusammen.

\so{Sind $u(xy)$, $v(xy)$,
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$
stetig und befriedigen das
Gleichungssystem 1) und die Randbedingungen~2), so
ist $u$ eine Lösung der Integralgleichung $4'$), $v$ eine
Lösung der Integralgleichung $4''$). Haben die entsprechenden
homogenen Integralgleichungen $4'_0$), $4''_0$)
keine von Null verschiedenen stetigen Lösungen, und
ist $u$ eine stetige Lösung von $4'$), $v$ eine stetige Lösung
von $4''$), so sind auch
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$
stetig, und $u$, $v$ befriedigen
das Gleichungssystem~1) und die Randbedingungen~2).}

\Paragraph{II.} Das Integrationsgebiet $\varOmega_{\xi\eta}$ in den
Integralgleichungen
$4'$), $4''$) hängt von den Parametern $\xi$, $\eta$ ab; um ein nicht
variables
%-----File: 070.png---------------------------------------
Gebiet zu bekommen, erweitern wir die Definition der Kerne, indem
wir einfach setzen
\[
\left.
\begin{aligned}
  K(\xi\eta, xy) &= 0  \\
  L(\xi\eta, xy) &= 0
\end{aligned}
\right\}
  \text{ für $(xy)$ außerhalb $\varOmega_{\xi\eta}$.}
\]

Die Integralgleichungen nehmen dann die Formen
\[
\begin{aligned}
  u(\xi\eta)
&= \mathfrak{u}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega K(\xi\eta, xy) \,
u(xy) \, dR
\\
  v(\xi\eta)
&= \mathfrak{v}(\xi\eta) + \iint\limits_\varOmega L(\xi\eta, xy) \,
v(xy) \, dR
\end{aligned}
\]
an. Diese sind Gleichungen der von Fredholm behandelten Art,
sodaß wir schließen können:

\so{Haben die homogenen Gleichungen $4'_0$), $4''_0$) keine
von Null verschiedenen stetigen Lösungen, so hat
jede der Gleichungen $4'$), $4''$) eine und nur eine Lösung.}

Nach diesem Satze und dem in I bewiesenen, ist unser Problem
vollständig gelöst, wenn die Gleichungen $4'_0$), $4''_0$) die einzigen
stetigen
Lösungen $u_0 = 0$, $v_0 = 0$ besitzen. Wir zeigen schließlich,
daß dies \so{immer} zutrifft.

\Paragraph{III.} \so{Die Gleichungen $4'_0$), $4''_0$) haben keine
von Null
verschiedenen stetigen Lösungen.}

Es sei
\[
  \lvert K(\xi\eta, xy) \rvert < k,\;
  \lvert u_0(\xi\eta) \rvert < m,
\]
wo $u_0(\xi\eta)$ irgend eine stetige Lösung von $4'_0$) bedeutet. Alsdann
ist für jeden zur linken Seite von $S$ liegenden Punkt $(\xi\eta)$,
\begin{gather*}
  \lvert u_0(\xi\eta) \rvert
\leqq \iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} km\, dR
\leqq \int\limits_\xi^{a_2} \int\limits_{b_1}^\eta dy\, dx
=  km (a_2 - \xi) (\eta - b_1);
\\
  \lvert u_0(\xi\eta) \rvert
\leqq \iint\limits_{\varOmega_{\xi\eta}} k^2 m (a_2 - x) (y - b_1) \, dR
\leqq k^2 m \int\limits_\xi^{a_2} \int\limits_{b_1}^\eta (a_2 - x)
(y - b_1) \, dy\,dx
\\
= k^2 m \frac{(a_2 - \xi)^2}{2!} \frac{(\eta - b_1)^2}{2!};
\end{gather*}
und im allgemeinen
\[
  \lvert u_0(\xi\eta) \rvert
\leqq k^n m \frac{(a_2 - \xi)^n}{n!} \frac{(\eta - b_1)^n}{n!}
\]
für jedes positive, ganzzahlige $n$. Ebenso gilt für Punkte $(\xi\eta)$,
die zur rechten Seite von $S$ liegen:
%-----File: 071.png---------------------------------------
\[
  \lvert u_0(\xi\eta) \rvert
\leqq k^n m \frac{(\xi - a_1)^n}{n!}
            \frac{(b_2 -\eta)^n}{n!};
\]
also für alle Punkte $(\xi\eta)$ von $\varOmega$
\[
  \lvert u_0(\xi\eta) \rvert
\leqq k^n m \frac{(a_2 - a_1)^n}{n!}
            \frac{(b_2 - b_1)^n}{n!}.
\]
Beim Grenzübergang $n = \infty$ wird die rechte Seite dieser Ungleichung
Null; daher muß
\[
  u_0(\xi\eta) = 0
\]
sein. Ein genau ähnlicher Beweis zeigt, daß $v_0(\xi\eta) = 0$.

Wir haben also folgendes Resultat:

\so{Existenztheorem $A$: Das System~1) nebst den
Randbedingungen~2) hat ein und nur ein Lösungssystem
$u$, $v$, wobei $u$, $v$,
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$
stetig sind.}

\Paragraph{IV.} Sind $x = a$, $y = b$ zwei Gerade in $\varOmega$ so
können wir
die Randbedingung~2) durch folgende ersetzen:
\[
\tag*{6)}
\left\{
\begin{aligned}
  u(ay) &= f(y)  \\
  v(xb) &= g(x).
\end{aligned}
\right.
\]

Jeder Schritt wird jetzt ähnlich wie vorhin ausgeführt; wir
bekommen die Integralgleichungen
\begin{align*}
  u(\xi\eta)
&= f(\eta) + \int\limits_a^\xi B(x\eta) \, g(x) \, dx
 + \int\limits_a^\xi \int\limits_b^\eta B(x\eta) \, C(xy) \, u(xy) \,
 dy\, dx
\\
  v(\xi\eta)
&= g(\xi) + \int\limits_b^\eta C(\xi y) \, f(y) \, dy
 + \int\limits_a^\xi \int\limits_b^\eta B(xy) \, C(\xi y) \, v(xy) \,
 dy\, dx,
\end{align*}
welche genau dieselbe Behandlung gestatten wie die früheren\footnote{
  Integralgleichungen von der letzten Form waren schon vor der
  Fredholmschen
  Abhandlung von Volterra untersucht worden; vgl.\ Atti della Reale
  Accademia dei Lincei, Bd.~5 (1896), S.~289--300.}.
Wir haben also das

\so{Existenztheorem $B$: Das System~1) nebst den
Randbedingungen~6) hat ein und nur ein Lösungssystem
$u$, $v$, wobei $u$, $v$,
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$
stetig sind.}

\Paragraph{V.} \so{Allgemeines Existenztheorem $A$: Das System}
%-----File: 072.png---------------------------------------
\[
\tag*{7)}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial x} &= A(xy) \, u + B(xy) \, v  \\
\frac{\partial v}{\partial y} &= C(xy) \, u + D(xy) \, v
\end{aligned}
\right.
\]
\so{nebst den Randbedingungen~2) hat ein und nur ein
Lösungssystem $u$, $v$, wobei $u$, $v$,
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$
stetig sind.}

\so{Allgemeines Existenztheorem $B$. Das System~7)
nebst den Randbedingungen~6) hat ein und nur ein
Lösungssystem $u$, $v$, wobei $u$, $v$,
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$
stetig sind.}

Wir setzen hier voraus, daß $A$, $B$, $C$, $D$ stetig sind. Machen
wir die Transformation
\[
\left\{
\begin{aligned}
 u &= e^{ \int\limits_{\;a_1}^x A(sy) \, ds } U \\
 v &= e^{ \int\limits_{\;b_1}^y D(xs) \, ds } U,
\end{aligned}
\right.
\]
so nehmen die Gleichungen~7) die Form~1) an. Die Form der
Randbedingungen bleibt ungeändert. Die frühere Theorie kann
also unmittelbar angewandt werden.


\Chapter{Viertes Kapitel.}
{Das parabolische System.}

\Section{6. Hilfsmittel zur Theorie des parabolischen Systems.}

Es sollen im gegenwärtigen Paragraphen einige Hilfssätze für
das parabolische System bewiesen werden, die denjenigen in \S~3
für das elliptische System ähnlich sind. Dort haben wir uns auf
die Potentialtheorie gestützt; \dh\ auf die Theorie der Laplaceschen
Gleichung
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0
\]
und der Poissonschen Gleichung
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
+ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \varphi(xy);
\]
hier werden wir ähnlich von der Theorie der Wärmeleitungsgleichung
%-----File: 073.png---------------------------------------
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
- \frac{\partial   u}{\partial x  } = 0
\]
und der entsprechenden nicht homogenen Gleichung
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
- \frac{\partial   u}{\partial x  } = \varphi(xy)
\]
Gebrauch machen.

Bei der ersteren Gleichung bedienen wir uns teilweise der
Resultate von Holmgren\footnote{
  Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd.~3 (1906), No.~12; Bd.~4
  (1908), No.~14, No.~18. Bei Zitaten der Holmgrenschen Arbeit ist
  zu bemerken,
  daß seine Koordinaten $x$, $y$ in unserer Bezeichnung vertauscht sind.};
bei der letztern werden wir die notwendigen
Sätze herleiten\footnote{
  Die Theorie dieser Gleichung ist auch in ziemlich allgemeiner Weise
  untersucht worden; vgl.\ insbesondere \so{Volterra}, Le\c{c}ons sur
  l'int\'egration des
  \'equations aux d\'eriv\'ees partielles profess\'ees \`a Stockholm,
  S.~62--82, und E.~E. \so{Levi},
  Atti della Reale Accademia dei Lincei, Serie~5, Bd.~16, 2 (1907)
  S.~450--456.}.

\Paragraph{I.}  Es soll $\varOmega$ ein Gebiet der $xy$-Ebene bedeuten,
welches von
den Geraden $x = a$, $x = b\; (b > a)$ und zwei Kurven $S_1: y =
\chi_1(x)$,
$S_2: y = \chi_2(x)$ begrenzt ist, wo $\chi_1(x)$, $\chi_2(x)$ für $a
\leqq x \leqq b$ solche
zweimal stetig differenzierbare Funktionen sind, daß stets
\[
  \chi_2(x) > \chi_1(x).
\]
Derjenige Teil des Gebietes $\varOmega$, der durch die Ordinaten $x
= \xi_1$,
$x = \xi_2$ begrenzt ist, werde mit ${}_{\xi_1}\varOmega_{\xi_2}$
bezeichnet. Den Wert einer
Funktion $f(xy)$ in einem Punkte $\bigl(x, \chi_i(x)\bigr)$ der Kurve
$S_i$ werden wir
einfach $f(x\chi_i)$ schreiben $[i = 1, 2]$. Die Bezeichnungen $f(xy,
\xi\chi_1)$,
$f(x\chi_1, \xi\chi_2)$ \usw\ sind ebenso statt
$f\bigl(x, y;         \xi, \chi_1(\xi)\bigr)$,
$f\bigl(x, \chi_1(x); \xi, \chi_2(\xi)\bigr)$
gebraucht.

Von besonderer Wichtigkeit für die gegenwärtige Theorie ist
eine Funktion, die wir mit $t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)$ bezeichnen
und folgendermaßen
definieren:
\[
  t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2) =
\left\{
\begin{aligned}
& \int\limits^{+\tfrac{\eta_2 - \eta_1}{2\sqrt{\xi_2 - \xi_1}}}
      _{-\tfrac{\eta_2 - \eta_1}{2\sqrt{\xi_2 - \xi_1}}}
  e^{-z^2}dz & \quad
& \text{für } \xi_2 > \xi_1
\\
& \phantom{-} \sqrt{\pi}  &
& \text{für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 > \eta_1
\\
& -\sqrt{\pi}  &
& \text{für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 < \eta_1.
\end{aligned}
\right.
\]
Wir finden leicht, daß
%-----File: 074.png---------------------------------------
\begin{align*}
   \frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1}
 =-\frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_2}
&= \left\{
\begin{array}{l}
  \dfrac{\eta_2 - \eta_1}{2(\xi_2 - \xi_1)^{\frac32}}
  \,e^{ -\tfrac{(\eta_2 - \eta_1)^2}{4(\xi_2 - \xi_1)} }
  \text{ für } \xi_2 > \xi_1
\\[1em]
  \qquad 0 \quad\quad\quad \text{ für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 \neq \eta_1
\end{array}
\right.
\\[0.5em]
   \frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_1}
 =-\frac{\partial t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_2}
&= \left\{
\begin{array}{l}
- \dfrac{1}{\sqrt{\xi_2 - \xi_1}}
  \,e^{-\tfrac{(\eta_2 - \eta_1)^2}{4(\xi_2 - \xi_1)} }
  \text{ für } \xi_2 > \xi_1
\\[1em]
  \qquad 0 \quad\quad\quad \text{ für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 \neq \eta_1
\end{array}
\right.
\\[0.5em]
   \frac{\partial^2 t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_1^2}
 = \frac{\partial^2 t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_2^2}
&= \left\{
\begin{array}{l}
 - \dfrac{\eta_2 - \eta_1}{2(\xi_2 - \xi_1)^{\frac32}}
  \,e^{ -\tfrac{(\eta_2 - \eta_1)^2}{4(\xi_2 - \xi_1)} }
  \text{ für } \xi_2 > \xi_1
\\[1em]
  \qquad 0 \quad\quad\quad \text{ für } \xi_2 = \xi_1, \eta_2 \neq
  \eta_1.
\end{array}
\right.
\end{align*}
Wir sehen, daß die Funktion und ihre Ableitungen für alle Werte
der Argumente, für welche $\xi_2 \geqq \xi_1$, stetig sind, ausgenommen
der
Fall $(\xi_1 \eta_1) = (\xi_2 \eta_2)$, wo $t$ endlich bleibt, die
Ableitungen aber
unendlich werden; und es gelten die Identitäten:
\[
\begin{aligned}
  \frac{\partial^2 t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_1^2}
&+ \frac{\partial   t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_1} = 0
\\
  \frac{\partial^2 t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \eta_2^2}
&- \frac{\partial   t(\xi_1 \eta_1, \xi_2 \eta_2)}{\partial \xi_2} = 0.
\end{aligned}
\]

\Paragraph{IIa.} \so{Ist $\varphi(xy)$ stetig, so gelten die Formeln:}
\begin{align*}
  \underset{\overline{\xi}=\xi + }{\bigL}
  \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})}
  \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \,
  \varphi(\overline{\xi}y) \, dy &=  2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta)
\\
  \underset{\overline{\xi}=\xi - }{\bigL}
  \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})}
  \frac{\partial t(\overline{\xi} y, \xi\eta)}{\partial y} \,
  \varphi(\overline{\xi}y) \, dy &= -2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta).
\end{align*}

Wir geben den Beweis im ersten Fall an. Es sei $\lvert \varphi(xy)
\rvert \leqq m$;
notwendig gilt auch nach Definition der Funktion
\[
  t(\xi\eta, xy) \leqq \sqrt{\pi}.
\]
Wir wollen beweisen, daß zu einem gegebenen $\varepsilon > 0$ ein solches
$\delta > 0$ sich wählen läßt, daß
\[
  \lvert I - 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) \rvert < \varepsilon,
\]
wenn
\[
  \lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta;
\]
%-----File: 075.png---------------------------------------
hier bedeutet $I$ das erste der in dem Satz genannten Integrale.
Zu dem Zweck wählen wir zunächst $\delta'$ so klein, daß
\[
  \lvert \varphi(\overline{\xi} y) - \varphi(\xi\eta) \rvert
< \frac{\varepsilon}{8\sqrt{\pi}} ,
\]
wenn
\[
  \lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta', \quad
  \lvert              y - \eta \rvert < \delta'
\]
und schreiben
\[
  \eta_1 = \eta - \delta', \quad \eta_2 = \eta + \delta'.
\]
Wegen der Stetigkeitseigenschaften von $t$ ist es ferner möglich,
$\delta$ so klein zu wählen, daß
\[
\left.
\begin{aligned}
  \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) + \sqrt{\pi} \rvert  \\
  \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_2) - \sqrt{\pi} \rvert  \\
  \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\chi_1) + \sqrt{\pi} \rvert  \\
  \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\chi_2) - \sqrt{\pi} \rvert
\end{aligned}
\right\}
< \frac{\varepsilon}{8m},
\]
wenn
\[
  \lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta ;
\]
daraus folgt weiter, daß
\begin{align*}
  \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\chi_1)
       - t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) \rvert
&< \frac{\varepsilon}{4m}
\\
  \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\chi_2)
       - t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_2) \rvert
&< \frac{\varepsilon}{4m} ;
\end{align*}
außerdem verkleinern wir $\delta$, wenn nötig, so daß
\[
  \delta < \delta'.
\]

Das so erhaltene $\delta$ hat die verlangte Eigenschaft. Um dies
zu sehen, schreiben wir:
\[
  I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4,
\]
wo
\begin{align*}
  I_1 &= \int\limits_{\eta_1}^{\eta_2}
  \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta)}{\partial y}
  \, \varphi(\xi\eta) \, dy
\\
  I_2 &= \int\limits_{\eta_1}^{\eta_2}
  \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y}
  \, \{ \varphi(\overline{\xi} y) - \varphi(\xi\eta) \} \, dy
\\
  I_3 &= \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\eta_1}
  \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y}
  \, \varphi(\overline{\xi} y) \, dy\\
%-----File: 076.png---------------------------------------
  I_4 &= \int\limits_{\eta_2}^{\chi_2(\overline{\xi})}
  \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y}
  \, \varphi(\overline{\xi} y) \, dy.
\end{align*}
Alsdann haben wir, wenn $\lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta$,
\begin{gather*}
  \lvert I_1 - 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) \rvert
= \lvert \varphi(\xi\eta) \rvert
  \left\lvert \,\int\limits_{\eta_1}^{\eta_2}
    \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, dy
  - 2\sqrt{\pi} \,\right\rvert
\displaybreak[1] \\
= \lvert \varphi(\xi\eta) \rvert
  \lvert \{ t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_2) - \sqrt{\pi} \}
       - \{ t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) + \sqrt{\pi} \} \rvert
\displaybreak[1] \\
< m \left\{ \frac{\varepsilon}{8m} + \frac{\varepsilon}{8m} \right\}
= \frac{\varepsilon}{4}
\displaybreak[1] \\
\begin{split}
  \lvert I_2 \rvert &< \int\limits_{\eta_1}^{\eta_2}
  \lvert \varphi(\overline{\xi} y) - \varphi(\xi\eta) \rvert
  \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, dy
\\
&< \frac{\varepsilon}{8\sqrt{\pi}}
  \lvert t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_2)
       - t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1) \rvert
\\
&< \frac{\varepsilon}{8\sqrt{\pi}}
  \{ \sqrt{\pi} + \sqrt{\pi} \} = \frac{\varepsilon}{4}
\\
  \lvert I_3 \rvert &< \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\eta_1}
  \lvert \varphi(\overline{\xi}\eta) \rvert
  \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \, dy
\\
&< m \lvert    t(\xi\eta, \overline{\xi}\eta_1)
             - t  ( \overline{\xi}\eta, \overline{\xi}\chi_1) \rvert
\\
&< m · \frac{\varepsilon}{4m} = \frac{\varepsilon}{4}
\end{split}
\end{gather*}
und ebenso
\[
  \lvert I_4 \rvert < \frac{\varepsilon}{4}.
\]

Daher ist
\[
  \lvert I   - 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) \rvert
< \lvert I_1 - 2\sqrt{\pi} \varphi(\xi\eta) \lvert
+ \lvert I_2 \rvert
+ \lvert I_3 \rvert
+ \lvert I_4 \rvert < \varepsilon ,
\]
was zu beweisen war.

\Paragraph{IIb.}  \so{Ist $f(x)$ stetig differenzierbar, so gelten die
Formeln:}
%-----File: 077.png---------------------------------------
\[
\left.
\begin{aligned}
  \underset{(\overline{\xi\eta}) = (\xi\chi_i)}{\bigL}
  \int\limits_{\overline{\xi}}^b
  \frac{\partial t(\overline{\xi\eta}, x \chi_i)}{\partial y} f(x) \, dx
&= \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial t(\xi\chi_i, x \chi_i)}{\partial y} f(x) \, dx
\\
  \underset{(\overline{\xi\eta}) = (\xi\chi_i)}{\bigL}
  \int\limits_{\overline{\xi}}^b
  \frac{\partial t(\overline{\xi\eta}, x \chi_i)}{\partial x} f(x) \, dx
&= \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial t(\xi\chi_i, x \chi_i)}{\partial x} f(x) \, dx
- (-1)\sqrt{\pi} f(\xi)
\\
  \underset{(\overline{\xi\eta}) = (\xi\chi_i)}{\bigL}
  \int\limits_a^{\overline{\xi}}
  \frac{\partial t( x \chi_i, \overline{\xi\eta})}{\partial y} f(x) \, dx
&= \int\limits_a^\xi
  \frac{\partial t( x \chi_i, \xi\chi_i)}{\partial y} f(x) \, dx
\\
  \underset{(\overline{\xi\eta}) = (\xi\chi_i)}{\bigL}
  \int\limits_a^{\overline{\xi}}
  \frac{\partial t( x \chi_i, \overline{\xi\eta})}{\partial x} f(x) \, dx
&= \int\limits_a^\xi
  \frac{\partial t( x \chi_i, \xi\chi_i)}{\partial x} f(x) \, dx
- (-1)\sqrt{\pi} f(\xi)
\end{aligned}
\right\}
  [i = 1, 2].
\]

Die zwei letzten Formeln sind von \so{Holmgren} bewiesen\footnote{
  Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd.~4 (1908), No.~18,
  S.~8--12.
  Der Beweis gestaltet sich etwas einfacher, wenn wir unsere Funktion
  $t(\xi\eta, xy)$
  zu Hilfe nehmen, die in den Holmgrenschen Arbeiten nicht vorkommt.}; die
beiden ersten lassen sich auf dieselbe Weise herleiten oder folgen
aus den beiden andern bei Benutzung der Substitution $x' = -x$
in den Integralen, zusammen mit den entsprechenden Bezeichnungsänderungen.

\Paragraph{IIIa.}  \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige Funktion, so
konvergieren
die Integrale:}
\[
  \iint\limits_{\area\xi{b}}
  t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR,
\;
  \iint\limits_{\area\xi{b}}
  \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \, \varphi(xy) \, dR,
\;
  \iint\limits_{\area\xi{b}}
  \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \eta} \, \varphi(xy) \, dR;
\]
\so{ferner lassen sie sich als doppelte einfache Integrale
auswerten, wobei zuerst nach $y$, dann nach $x$ integriert
wird, und stellen stetige Funktionen dar.}

Das erste Integral ist ein eigentliches Integral; der Integrand
des dritten Integrals hat nur eine Punktsingularität von weniger
starkem Charakter als die Liniensingularität
$\dfrac{1}{\sqrt{x-\xi}}$, so daß der
Satz noch aufrecht bleibt, wenn wir den Exponentialfaktor durch
1 ersetzen. Wir werden den Beweis nur im zweiten Fall ausführen,
wo die Beschaffenheit des Exponentialfaktors berücksichtigt
werden muß. Zum Beweise wird gezeigt, daß das Doppelintegral
und das doppelte Integral selbst dann konvergieren, wenn wir
den Integranden durch seinen absoluten Wert ersetzen; die weiteren,
%-----File: 078.png---------------------------------------
fast selbstverständlichen\footnote{
  Vgl.\ auch \so{de la Vall\'e-Poussin}, Cours d'Analyse Infinit\'esimale,
  Bd.~2, No.~76, 77.}
Ueberlegungen, die die Gleichheit
der beiden Integrale bestätigen, lassen wir weg.

Den Integranden nennen wir immer zur Abkürzung $F$:
\begin{align*}
  F = \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi}
  \,\varphi(xy);
\end{align*}
es sei für alle in Betracht kommenden Werte der Variablen
\[
  \lvert \varphi(xy)\rvert < m,  \quad
  \chi_1(x) > \mu_1,  \quad
  \chi_2(x) < \mu_2;
\]
ferner setzen wir
\[
  \lvert \log \{ 4(x - \xi)+(\mu_1 - \eta)^2 \} \rvert < C, \quad
  \lvert \log \{ 4(x - \xi)+(\mu_2 - \eta)^2 \} \rvert < C,
\]
für alle $(\xi\eta)$ in $\Omega$; das ist sicher möglich, denn die
Argumente
der Logarithmen können nur dann Null werden, wenn $x = \xi$,
$\eta = \mu_1$ resp.\ $\mu_2$, was für Punkte von $\Omega$ ausgeschlossen
ist.
Schließlich nehmen wir irgend eine Konstante $\lambda$, die zwischen $0$
und $\nicefrac{1}{2}$ liegt, und schreiben
\[
  \lvert (x - \xi)^{\lambda} \log (x - \xi)\rvert < c,  \quad
  (x - \xi)^{\lambda} < c,
\]
was wieder möglich ist wegen der Stetigkeit der genannten Funktionen
für alle $x, \xi$.

Für die Konvergenzschwierigkeiten kommt nur die Nachbarschaft
der Geraden $x = \xi$ in Betracht; es genügt daher zu beweisen,
daß die Integrale
\[
  \iint\limits_{\area{\xi}{\xi + \delta}}
  \lvert F \rvert \,dr,
\quad
  \int\limits_{\xi}^{\xi + \delta} \int\limits_{\chi_1 (x)}^{\chi_2 (x)}
  \lvert F \rvert \,dy\, dx
\]
konvergieren, \dh\ daß die Größe
\[
I(\delta_1 )
= \iint\limits_{\area{\xi + \delta_1}{\xi + \delta}}
  \lvert F \rvert \,dR
= \int\limits_{\xi + \delta_1}^{\xi + \delta} \int\limits_{\chi_1
(x)}^{\chi_2 (x)}
  \lvert F \rvert \,dy\, dx
\]
einen Grenzwert besitzt bei Annäherung von $\delta_1$, an den Wert Null,
oder (da der Integrand positiv ist) sogar nur, daß sie bei diesem
Grenzübergang endlich bleibt. Da
\[
e^{-\tfrac{(y - \eta)^2}{4(x - \xi)}}
=     \frac{1}{e^{ \tfrac{(y - \eta)^2}{4(x - \eta)}}}
\leqq \frac{1}{1 + \dfrac{(y - \eta)^2}{4(x - \eta)}}
= \frac{4(x - \eta)}{4(x - \eta) + (y - \eta)^2} ,
\]
so ist
%-----File: 079.png---------------------------------------
\[
  \left\lvert \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial\xi} \right\rvert
\leqq \frac{ 2\lvert y-\eta \rvert }
           { \sqrt{x-\xi} \{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} } ,
\]
und
\[
  \lvert F \rvert
= \left\lvert \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial\xi}
  \varphi(xy) \right\rvert
\leqq \frac{ 2m \lvert y-\eta \rvert }
           { \sqrt{x-\xi} \{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} }.
\]
Da $(\xi\eta)$ ein Punkt von $\varOmega$ ist, so ist
$\chi_1(\xi) \leqq \eta \leqq \chi_2(\xi)$; wir wählen
$\delta$ so klein, daß
\[
  \chi_1(x) \leqq \eta \leqq \chi_2(x),
\]
wenn
\[
  \xi \leqq x \leqq \xi + \delta.
\]
Wir haben dann
\begin{align*}
  I(\delta_1)
&\leqq
  \int\limits_{\xi+\delta_1}^{\xi+\delta}
  \int\limits_{\chi_1(x)}^{\chi_2(x)}
  \frac{ 2m \lvert y-\eta \rvert }
       { \sqrt{x-\xi} \{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} } \, dy\, dx
\\
&\leqq
  \int\limits_{\xi+\delta_1}^{\xi+\delta}
  \frac{2m}{\sqrt{x-\xi}}
  \int\limits_{\mu_1}^{\mu_2}
  \frac{ \lvert y-\eta \rvert }
       { 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 } \, dy\, dx
\end{align*}
Es ist aber
\begin{align*}
& \int\limits_{\mu_1}^{\mu_2}
  \frac{ \lvert y-\eta \rvert dy }
       { 4(x-\xi) + (y-\eta)^2   }
= \int\limits_{\mu_1}^{\eta}
  \frac{ (\eta - y) \, dy }
       { 4(x-\xi) + (y-\eta)^2   }
+
  \int\limits_{\eta}^{\mu_2}
  \frac{ (y - \eta) \, dy }
       { 4(x-\xi) + (y-\eta)^2   }
\\
&=-\left[\tfrac12 \log\{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} \right]_{\mu_1}^\eta
+  \tfrac12\left[ \log\{ 4(x-\xi) + (y-\eta)^2 \} \right]_\eta^{\mu_2}
\\
&= \tfrac12 \log \{ 4(x-\xi) + (\mu_1-\eta)^2 \}
+  \tfrac12 \log \{ 4(x-\xi) + (\mu_2-\eta)^2 \}
- \log \{ 4(x-\xi) \}
\\
&\leqq \tfrac12 \, C + \tfrac12 \, C + \log 4 + \lvert \log(x-\xi) \rvert
\\
&\leqq \frac{ C + \log 4 + 1) \, c }{ (x-\xi)^\lambda }.
\end{align*}
Daher ist
\begin{align*}
  I(\delta_1) &\leqq 2m (C + \log 4 + 1) \, c
  \int\limits_{\xi+\delta_1}^{\xi+\delta}
  \frac{dx}{ (x-\xi)^{\nicefrac{1}{2} + \lambda}}
\\
&= 2m (C + \log 4 + 1) \, c
  \left[ \frac{ (x-\xi)^{\nicefrac12 - \lambda}}
              { {\nicefrac12} - \lambda }
  \right]_{\xi+\delta_1}^{\xi+\delta}
\\
&= \frac{ 2m (C + \log 4 + 1) \, c }{ {\nicefrac12} - \lambda }
  \left[ \delta^{ {\nicefrac12} - \lambda }
       - \delta^{ {\nicefrac12} - \lambda }_1 \right].
\end{align*}
Wir sehen also, daß $I(\delta_1)$ beim Grenzübergang $\delta_1 = 0$
endlich
bleibt; und zwar ist
%-----File: 080.png---------------------------------------
\[
  \underset{\delta_1 = 0}{\bigL} I(\delta_1) \leqq k\delta^{\nu},
\]
wo $k$, $\nu$ von $\xi$, $\eta$, $\delta$ unabhängige positive Konstante
sind, und $\nu < 1$.

Aus dieser Abschätzung wollen wir den zweiten Teil des
Satzes beweisen, welcher behauptet, die durch das Integral definierte
Funktion sei stetig. Nennen wir
\[
\Phi (\xi \eta) = \iint\limits_{\area\xi{b}} F \,dR,
\]
so wollen wir zeigen, daß sich zu einem gegebenen $\varepsilon > 0$ ein
solches $\delta > 0$ wählen läßt, daß
\[
\lvert \Phi (\overline{\xi \eta}) - \Phi (\xi \eta) \rvert < \varepsilon,
\]
wenn
\[
\lvert \overline{\xi} - \xi \rvert < \delta,  \quad
\lvert \overline{\eta} - \eta \rvert < \delta.
\]
Schreiben wir:
\[
\Phi = \Phi_1 + \Phi_2,
\]
wo
\[
\Phi_1 (\xi\eta) = \iint\limits_{\area\xi{\xi + \delta}} F\,dR;\quad
\Phi_2 (\xi\eta) = \iint\limits_{\area{\xi + \delta}{b}} F\,dR,
\]
so ist für jede Wahl von $\delta$ $\Phi_2$ stetig. Wählen wir $\delta$
so klein, daß
\[
\delta < \left( \frac{\varepsilon}{4k} \right)^{\frac{1}{\nu}} ,
\]
und daß außerdem die Bedingung des vorhergehenden Beweises:
\[
\chi_1 (x) \leqq \eta \leqq \chi_2 (x) ,
\]
wenn
\[
\xi \leqq x \leqq \xi + \delta ,
\]
erfüllt ist.

Wir haben dann:
\[
\lvert \Phi_1 (\xi \eta) \rvert \leqq \iint\limits_{\area\xi{\xi +
\delta}}
 \lvert F \rvert \,dR \,\leqq \,k \delta^{\nu} \,\leqq\,
 \frac{\varepsilon}{4} ;
\]
und (da $k$, $\nu$ von $\xi$, $\eta$) unabhängig sind)
\[
\lvert \Phi_1 (\overline{\xi \eta}) \leqq \frac{\varepsilon}{4} ;
\]
also
\[
\lvert \Phi_1 (\overline{\xi \eta}) \rvert - \Phi_1 \lvert (\xi \eta)
\rvert \leqq \frac{\varepsilon}{2}.
\]
Durch Wahl eines eventuell kleinen $\delta$ erreichen wir, daß
%-----File: 081.png---------------------------------------
\[
  \lvert \varPhi_2(\overline{\xi\eta}) - \varPhi_2(\xi\eta) \rvert
< \frac{\varepsilon}{2},
\]
wenn
\[
  \lvert \overline{\xi} - \xi \rvert <  \delta ,\;
  \lvert \overline{\vphantom{\xi}\eta} - \eta \rvert <  \delta ;
\]
dann ist
\[
  \lvert \varPhi(\overline{\xi\eta}) - \varPhi(\xi\eta) \rvert
< \varepsilon,
\]
was zu beweisen war.

\Paragraph{IIIb.}  \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige Funktion, so
gelten die
Differentiationsformeln:}
\begin{align*}
  \frac{\partial }{\partial \xi}
  \iint\limits_{\area\xi{b}}
  t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR
&=
  \iint\limits_{\area\xi{b}}
  \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \, \varphi(xy) \, dR
+ \sqrt{\pi} \int\limits_{\chi_1(\xi)}^\eta \varphi(\xi y) \, dy
- \sqrt{\pi} \int\limits_\eta^{\chi_2(\xi)} \varphi(\xi y) \, dy
\\
\frac{\partial}{\partial \eta}
  \iint\limits_{\area\xi{b}}
  t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR
&=
  \iint\limits_{\area\xi{b}}
  \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \eta} \, \varphi(xy) \, dR
\\
\frac{\partial^2 }{\partial \eta^2}
  \iint\limits_{\area\xi{b}}
  t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR
&=
- \iint\limits_{\area\xi{b}}
  \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \, \varphi(xy) \, dR.
\end{align*}

Wir geben den Beweis nur in dem ersten Fall an. Nennen wir
\[
  \varPhi(\xi\eta)
= \iint\limits_{\area\xi{b}}
  t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR ,
\;
  \varPhi(\overline{\xi}\eta)
= \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b}
  t(\overline{\xi}\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR ,
\]
und nehmen $\overline{\xi} > \xi$, was für den Beweis keine wirkliche
Einschränkung
bedeutet, so haben wir
\begin{gather*}
  \varPhi(\overline{\xi}\eta) - \varPhi(\xi\eta)
= \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b}
  t(\overline{\xi}\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR
-
  \iint\limits_{\area\xi{b}}
  t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR
\\
= \iint\limits_{\area\xi{\overline{\xi}}}
  t(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR
+
  \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b}
  \{ t(\overline{\xi}\eta, xy) - t(\xi\eta, xy) \} \, \varphi(xy) \, dR
\\
= -(\overline{\xi} - \xi) \int\limits_{\chi_1(\xi^*)}^{\chi_2(\xi^*)}
  t(\xi\eta, \xi^* y) \, \varphi(\xi^* y) \, dy
+
  (\overline{\xi} - \xi) \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b}
  \frac{\partial t(\xi_1^*\eta, xy)}{\partial \xi_1^*} \, \varphi(xy)
  \, dR,
\end{gather*}
wo $\xi^*$, $\xi_1^*$ gewisse, zwischen $\xi$ und $\overline{\xi}$
liegende Größen bedeuten.
\[
  \frac{ \varPhi(\overline{\xi}\eta) - \varPhi(\xi\eta) }
       { \overline{\xi} - \xi }
= - \int\limits_{\chi_1(\xi^*)}^{\chi_2(\xi^*)}
  t(\xi\eta, \xi^* y) \, \varphi(\xi^* y) \, dy
+
  \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b}
  \frac{\partial t(\xi_1^*\eta, xy)}{\partial \xi_1^*} \, \varphi(xy)
  \, dR.
\]
%-----File: 082.png---------------------------------------
Das Flächenintegral läßt sich in die zwei Teile:
\[
  \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}{\xi^*}}
  \frac{\partial t(\xi_1^*\eta, xy)}{\partial \xi_1^*} \, \varphi(xy)
  \, dR
+
  \iint\limits_{\area{\xi^*}b}
  \frac{\partial t(\xi_1^*\eta, xy)}{\partial \xi_1^*} \, \varphi(xy)
  \, dR
\]
spalten; der erste Teil nimmt beim Grenzübergang $\overline{\xi} =
\xi$ den
Wert Null an, denn nach IIIa bleibt er absolut kleiner als
$k\lvert \xi^* - \overline{\xi} \rvert^\nu$;
der zweite Teil ist nach IIIa eine stetige Funktion und
hat daher den Grenzwert
\[
  \iint\limits_{\area\xi{b}}
  \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi} \, \varphi(xy) \, dR.
\]
Das Linienintegral ist ein eigentliches Integral; führen wir daher
den Grenzübergang auf rein formale Weise aus, so bekommen
wir unter Berücksichtigung der Definition von $t(\xi\eta, xy)$ in I den
Grenzwert
\[
  \int\limits_{\chi_1(\xi)}^{\chi_2(\xi)}
  t(\xi\eta, \xi y) \, \varphi(\xi y) \, dy
=
- \sqrt{\pi} \int\limits_{\chi_1(\xi)}^\eta \, \varphi(\xi y) \, dy
+ \sqrt{\pi} \int\limits_\eta^{\chi_2(\xi)} \varphi(\xi y) \, dy.
\]
Hiermit ist unsere Formel bewiesen.

\Paragraph{IVa.}  \so{Es existiert eine und nur eine stetige, nach
$y$ stetig differenzierbare, im Innern von $\varOmega$ beliebig
oft stetig differenzierbare Lösung $u(xy)$ der Gleichung}
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
- \frac{\partial   u}{\partial x  } = 0,
\]
\so{welche auf der Geraden $x = a$ die Werte $f_0(y)$ annimmt
und auf der Kurve $S_i$ einer der Bedingungen}
\begin{align*}
& 1)\quad  u(x\chi_i) = f_i(x)
\\
& 2)\quad
  \frac{\partial u(x\chi_i)}{\partial y} + \alpha_i(x) \, u(x\chi_i)
= f_i(x)
\\
\intertext{\so{genügt, wo $\alpha_i(x)$, $f_i(x)$, $f_0(y)$ stetig
differenzierbare, die
Relationen}}
& 1)\quad  f(a) = f_0\bigl(\chi_i(a)\bigr)
\\
\intertext{\so{resp.}}
& 2)\quad
  f_i(a) =          f'_0\bigl(\chi_i(a)\bigr)
         + \alpha_i(a) f_0\bigl(\chi_i(a)\bigr)
\end{align*}
\so{erfüllende Funktionen sind.}

Wir haben hier zur Abkürzung
\[
  \frac{d f_0(y)}{dy} = f'_0(y)
\]
%-----File: 083.png---------------------------------------
gesetzt. Die angegebenen Relationen drücken nur die Bedingung
aus, daß die vorgeschriebenen Werte auch in den Eckpunkten
$(a\chi_1)$, $(a\chi_2)$ stetig sind. Der Satz ist von
\so{Holmgren}\footnote{
  Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik, Bd.~3 (1906), No.~12, S.~1--4;
  Bd.~4 (1908), No.~14, S.~6--8.}
bewiesen
worden. Durch ähnliche Methoden oder durch Einsetzen von $-x$
an Stelle von $x$ bekommen wir den entsprechenden Satz für die
adjungierte Gleichung:

\Paragraph{IVb.}  \so{Es existiert eine und nur eine stetige, nach
$y$ stetig differenzierbare, im Innern von $\varOmega$ beliebig
oft stetig differenzierbare Lösung $u(xy)$ der Gleichung}
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
+ \frac{\partial   u}{\partial x  } = 0,
\]
\so{welche auf der Geraden $x = b$ die Werte $f_0(y)$ annimmt
und auf der Kurve $S_i$ einer der Bedingungen}
\begin{align*}
& 1) \quad  u(x\chi_i) = f_i(x)  \\
& 2) \quad  \frac{\partial u(x\chi_i)}{\partial y}
          + \alpha_i(x) \, u(x\chi_i) = f_i(x)  \\
\intertext{\so{genügt, wo $\alpha_i(x)$, $f_i(x)$, $f_0(y)$ stetig
differenzierbare, die
Relationen}}
& 1) \quad  f_i(b) = f_0\bigl( \chi_i(b) \bigr)  \\
\intertext{\so{resp. }}
& 2) \quad  f_i(b) = f'_0\bigl( \chi_i(b) \bigr)
          + \alpha_i(b) f_0\bigl( \chi_i(b) \bigr)
\end{align*}
\so{erfüllende Funktionen sind.}

Es wird in der Folge ziemlich unbequem sein, die beiden
Arten von Bedingungen 1), 2) gleichzeitig für die beiden Kurven
zu behandeln, da für sie verschiedenartige Formeln nachher eintreten.
Wir wollen also von jetzt ab alle Sätze für den Fall
aussprechen, daß eine Bedingung der Form 1) auf $y = \chi_1(x)$, eine
Bedingung der Form 2) auf $y = \chi_2(x)$ herrscht; dabei werden
beide Arten Bedingungen berücksichtigt werden, sodaß das Verhalten
im allgemeinen Fall vollständig klar angedeutet wird.

\Paragraph{V.}  Es sei $(\xi\eta)$ ein fester Punkt von
$\varOmega$. Suchen wir diejenige
(nach IVa existierende) Lösung der Gleichung
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
- \frac{\partial   u}{\partial x  } = 0,
\]
welche auf der Geraden $x = \xi$ verschwindet und ferner den Bedingungen:
%-----File: 084.png---------------------------------------
\[
\left\{
\begin{aligned}
  u(x\chi_1) &= -\frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y}
\\
  \frac{\partial u(x\chi_2)}{\partial y} + \beta(x) \, u(x\chi_2)
&= -\frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial x}
 - \beta(x) \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial y}
\end{aligned}
\right.
\]
genügt. Diese Funktion bezeichnen wir mit $g(\xi\eta, xy)$ und nennen
\[
  G(\xi\eta, xy)
= \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial y} + g(\xi\eta, xy)
\]
eine \so{Greensche Funktion} der Differentialgleichung. Sie erfüllt
die Randbedingungen:
\[
\left\{
\begin{aligned}
& G(\xi\eta, \xi y) = 0 \quad [y \neq \eta]
\\
& G(\xi\eta, x\chi_1) = 0
\\
& \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial y}
+ \beta(x) \, G(\xi\eta, x\chi_2) = 0.
\end{aligned}
\right.
\]

Auf ähnliche Weise konstruieren wir eine Lösung
\[
  H(\xi\eta, xy)
= - \frac{\partial t(xy, \xi\eta)}{\partial y} + h(\xi\eta, xy)
\]
der Gleichung
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
+ \frac{\partial   u}{\partial x  } = 0,
\]
welche die Bedingungen
\[
\left\{
\begin{aligned}
& H(\xi\eta, \xi y) = 0 \quad [y \neq \eta]
\\
& H(\xi\eta, x\chi_1) = 0
\\
& \frac{\partial H(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial y}
+ \alpha(x) \, H(\xi\eta, x\chi_2) = 0
\end{aligned}
\right.
\]
erfüllt. $G(\xi\eta, xy)$ ist nur für $x \geqq \xi$, $H(\xi\eta, xy)$
nur für $x \leqq \xi$ definiert.

Wir sagen, \so{$G$ und $H$ erfüllen adjungierte Randbedingungen}\footnote{
  Die Bezeichnungsweise ``adjungierte Bedingungen'' rührt im Falle von
  nicht selbst adjungierten gewöhnlichen Differentialgleichungen von
  \so{Birkhoff} her,
  Transactions of the American Mathematical Society, Bd.~10 (1909),
  S.~373, 375.},
wenn
\[
  \beta(x) - \alpha(x) = \frac{d \chi_2(x)}{dx}\;\footnotemark.
\]
\footnotetext{
  Ist eine der Funktionen $\alpha(x)$, $\beta(x)$ stetig differenzierbar
  angenommen,
  so gilt dasselbe für die andre wegen der zweimaligen stetigen
  Differenzierbarkeit
  von $\chi_2(x)$.}
%-----File: 085.png---------------------------------------

Wir werden jetzt den Satz beweisen:

\so{Erfüllen $G(\xi\eta, xy)$, $H(\xi\eta, xy)$ adjungierte
Randbedingungen,
so sind sie gegenseitig symmetrisch:}
\[
  G(\xi\eta, xy) = H(xy, \xi\eta).
\]

Wir nehmen die Funktionen für zwei verschiedene Punkte
$G(\xi_1 \eta_1, xy)$, $H(\xi_2\eta_2, xy)$, wobei $\xi_2 > \xi_1$. Es
gilt die Identität:
\[
  \frac{\partial }{\partial y}
  \left\{ G \frac{\partial H}{\partial y}
        - H \frac{\partial G}{\partial y} \right\}
+ \frac{\partial }{\partial x} \{ GH \}
= G \left\{ \frac{\partial^2 H}{\partial y^2}
          + \frac{\partial   H}{\partial x  } \right\}
- H \left\{ \frac{\partial^2 G}{\partial y^2}
          - \frac{\partial   G}{\partial x  } \right\} = 0.
\]
Integrieren wir über das Gebiet
${}_{\overline{\xi}_1}\varOmega_{\overline{\xi}_2}$,
wo $\overline{\xi}_1$ ein wenig größer als
$\xi_1$, $\overline{\xi}_2$ ein wenig kleiner als $\xi_2$ ist.
Umformung mittels des Greenschen
Satzes liefert die Formel:
\begin{align*}
& \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_2)}^{\chi_2(\overline{\xi}_2)}
  G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y) \,
  H(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_2 y) \, dy
- \int\limits_{\overline{\xi}_1}^{\overline{\xi}_2}
  \left[ GH \, dy - \left\{ G \frac{\partial H}{\partial y}
                       - H \frac{\partial G}{\partial y} \right\} dx
  \right]_{S_2}
\\
-& \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_1)}^{\chi_2(\overline{\xi}_1)}
  G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_1 y) \,
  H(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_1 y) \, dy
+ \int\limits_{\overline{\xi}_1}^{\overline{\xi}_2}
  \left[ GH \, dy - \left\{ G \frac{\partial H}{\partial y}
                       - H \frac{\partial G}{\partial y} \right\} \, dx
  \right]_{S_1} = 0.
\end{align*}
Das dritte und das vierte Integral verschwinden; denn auf $S_1$ ist
$G = H = 0$, und auf $S_2$ ist
\[
  GH \frac{dy}{dx}
- \left\{ G \frac{\partial H}{\partial y}
        - H \frac{\partial G}{\partial y} \right\}
= GH \frac{d\chi_2}{\partial x} + GH\alpha - GH\beta = 0.
\]
Wir haben also einfach
\[
  \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_2)}^{\chi_2(\overline{\xi}_2)}
  G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y) \,
  H(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_2 y) \, dy
=
  \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_1)}^{\chi_2(\overline{\xi}_1)}
  G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_1 y) \,
  H(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_1 y) \, dy.
\]
Die linke Seite dieser Identität läßt sich in der Form
\[
  \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_2)}^{\chi_2(\overline{\xi}_2)}
  G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y) \,
  h(\xi_2 \eta_2, \overline{\xi}_2 y) \, dy
-
  \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi}_2)}^{\chi_2(\overline{\xi}_2)}
  G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y)
  \frac{\partial t(\overline{\xi}_2 y, \xi_2 \eta_2)}{\partial y} \, dy
\]
schreiben; die Funktion $G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y)$ bleibt
beim Grenzübergang
$\overline{\xi}_2 = \xi_2$ stetig; dasselbe gilt für
$h(\xi_2 \eta_2, \xi_2 y)$, welches den Wert
Null annimmt; also verschwindet in der Grenze das erste der
%-----File: 086.png---------------------------------------
beiden Teilintegrale. Der Grenzwert des zweiten läßt sich nach
IIa auswerten und ist gleich $2\sqrt{\pi} \, G(\xi_1\eta_1,\xi_2\eta_2)$.

Ganz ebenso bekommen wir als Grenzwert der rechten Seite
$2\sqrt{\pi} \, H(\xi_2\eta_2,\xi_1\eta_1)$. Diese beiden Größen sind
also einander gleich,
was zu beweisen war.

Wir werden hernach unter $G$ immer diejenige Greensche
Funktion verstehen, für welche
\[
  \beta(x) = \alpha(x) + \frac{d \chi_2(x)}{dx}
\]
bei gegebenen $\alpha(x)$.

\Paragraph{VI.}  \so{Sind $u$, $v$ solche stetige Funktionen mit den im
Innern von $\varOmega$ stetigen Ableitungen
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial u}{\partial y}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$, daß die
Differentialgleichungen}
\[
\left\{
\begin{alignedat}{2}
& \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} &&= \varphi(xy)
\\
& \frac{\partial u}{\partial y} &&= v
\end{alignedat}
\right.
\]
\so{und die Randbedingungen}
\[
\left\{
\begin{aligned}
& u(by) = f_0 (y)
\\
& u(x\chi_1) = f_1 (x)
\\
& v(x\chi_2) + \alpha(x) \, u(x\chi_2) = f_2 (x)
\end{aligned}
\right.
\]
\so{erfüllt sind, wo $f_0 (y)$, $f_1 (x)$, $f_2 (x$), $\alpha(x)$
stetige Funktionen
sind, für welche}
\[
\left\{
\begin{aligned}
& f_1(b) = f_0\bigl( \chi_1(b) \bigr)
\\
& f_2(b) = f'_0\bigl( \chi_2(b) \bigr)
 + \alpha(b) f_0\bigl( \chi_2(b) \bigr),
\end{aligned}
\right.
\]
\so{so sind $u$, $v$ durch die Formeln}
\[
\left\{
\begin{aligned}
  u(\xi\eta)
&= \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\chi_1(b)}^{\chi_2(b)}
  G(\xi\eta, by) \, f_0(y) \, dy
 + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\xi}^b
   \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} \, f_1(x) \, dx
\\
&\; + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\xi}^b
  G(\xi\eta, x\chi_2) \, f_2(x) \, dx
  - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}}
  G(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR
\\
v(\xi\eta) &= \frac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta}
\end{aligned}
\right.
\]
\so{gegeben.}
%-----File: 087.png---------------------------------------

Zum Beweise schreiben wir die Identität
\[
  G\varphi
= G\left( \frac{\partial u}{\partial x}
        + \frac{\partial v}{\partial y} \right)
- \frac{\partial G}{\partial y}
  \left( \frac{\partial u}{\partial y} - v \right)
- u\left( \frac{\partial^2 G}{\partial y^2}
        - \frac{\partial   G}{\partial x  } \right)
= \frac{\partial }{\partial x} \{ Gu \}
+ \frac{\partial u}{\partial y}
  \left\{ Gv - \frac{\partial G}{\partial y} \, u \right\},
\]
integrieren über den Bereich ${}_{\overline{\xi}}\varOmega_b$, wo
$\overline{\xi}$ ein wenig größer als $\xi$ ist
und machen wie vorhin eine Umformung mittels des Greenschen
Satzes. Mit Rücksicht auf die Relation zwischen den Randbedingungen
für $u$, $v$ und $G$ (wie in V), bekommen wir die Formel:
\begin{gather*}
  \iint\limits_{\area{\overline{\xi}}b} G(\xi\eta, xy) \, dR
=
  \int\limits_{\chi_1(b)}^{\chi_2(b)} G(\xi\eta, by) \, f_0(y) \, dy
+ \int\limits_{\overline{\xi}}^b G(\xi\eta, x\chi_2) \, f_2(x) \, dx
\\
- \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})}
  G(\xi\eta, \overline{\xi} y) \, u(\overline{\xi} y) \, dy
+ \int\limits_{\overline{\xi}}^b
  \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} \, f_1(x) \, dx.
\end{gather*}
Beim Grenzübergang $\overline{\xi} = \xi$ ändern die beiden Integrale
nach $x$
entsprechend ihre unteren Grenzen (da sie eigentliche Integrale
sind); dasselbe gilt wegen der Konvergenz des resultierenden Integrals
für das Flächenintegral; das erste Integral nach $y$ bleibt
ungeändert; und das zweite Integral nach $y$ nimmt nach IIa den
Wert
\begin{gather*}
  \underset{\overline{\xi}=\xi}{\bigL}
  \left\{ \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})}
          g(\xi\eta, \overline{\xi} y) \, u(\overline{\xi} y) \, dy
        + \int\limits_{\chi_1(\overline{\xi})}^{\chi_2(\overline{\xi})}
          \frac{\partial t(\xi\eta, \overline{\xi} y)}{\partial y} \,
          u(\overline{\xi} y) \, dy
  \right\}
\\
= 0 + 2\sqrt{\pi} \, u(\xi\eta)
\end{gather*}
an. Sammeln wir die getrennten Grenzwerte, so entsteht genau
die behauptete Darstellung von $u$. Die Darstellung von $v$ ist nur
eine Wiederholung der zweiten Differentialgleichung.

\Paragraph{VIIa.}  \so{Sind $f_0(y)$, $f_1(x)$, $f_2(x)$, $\alpha(x)$
stetig differenzierbare
Funktionen, für welche}
\[
\left\{
\begin{aligned}
& f_1(b) = f_0\bigl( \chi_1(b) \bigr)
\\
& f_2(b) = f'_0\bigl( \chi_2(b) \bigr)
         + \alpha(b) \, f_0\bigl( \chi_2(b) \bigr) ,
\end{aligned}
\right.
\]
\so{so sind die Funktionen}
%-----File: 088.png---------------------------------------
\[
\left\{
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
  u(\xi\eta)
= \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\chi_1(b)}^{\chi_2(b)}
  G(\xi\eta, by) \, f_0(y) \, dy
&+ \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\xi}^b
  \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} \, f_1(x) \, dx
\\
&+ \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_{\xi}^b
  G(\xi\eta, x\chi_2) \, f_2(x) \, dx
\end{aligned}
\\
& v(\xi\eta) = \frac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta}
\end{aligned}
\right.
\]
\so{stetig; ferner besitzen sie im Innern von $\varOmega$ die stetigen
Ableitungen
$\dfrac{\partial u}{\partial \xi }$,
$\dfrac{\partial u}{\partial \eta}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial \eta}$ und erfüllen die
Differentialgleichungen:}
\[
\left\{
\begin{alignedat}{2}
& \frac{\partial u}{\partial \xi }
+ \frac{\partial v}{\partial \eta} && = 0
\\
& \frac{\partial u}{\partial \eta} && = v
\end{alignedat}
\right.
\]
\so{und die Randbedingungen}
\[
\left\{
\begin{aligned}
& u(b\eta) = f_0(\eta)  \\
& u(\xi\chi_1) = f_1(\xi)  \\
& v(\xi\chi_2) + \alpha(\xi) \, u(\xi\chi_2) = f_2(\xi).
\end{aligned}
\right.
\]

Wenn Funktionen $u$, $v$ von der genannten Beschaffenheit existieren,
so müssen sie nach VI (jetzt in dem Fall angewandt, daß
$\varphi(xy) = 0$) durch die gegebenen Formeln dargestellt werden. Es
genügt also, zu zeigen, daß solche Funktionen $u$ existieren. Aber
es existiert sicher nach IVb eine Funktion $u(\xi\eta)$, welche folgende
Eigenschaften besitzt: $u$, $\dfrac{\partial u}{\partial \eta}$ sind
stetig;
$\dfrac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}$,
$\dfrac{\partial   u}{\partial \xi   }$ sind im Innern
von $\varOmega$ stetig, und
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2}
+ \frac{\partial   u}{\partial \xi   } = 0;
\]
schließlich
\[
  u(b\eta) = f_0(\eta); \;
  u(\xi\chi_1) = f_1(\xi); \;
  \frac{\partial u(\xi\chi_2)}{\partial \eta}
+ \alpha(\xi) \, u(\xi\chi_2) = f_2(\xi).
\]
Nennen wir $\dfrac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta} = v(\xi\eta)$,
so übertragen sich diese Eigenschaften
genau auf die Eigenschaften für $u$, $v$ in unserm Satze.
%-----File: 089.png---------------------------------------

\Paragraph{VIIIb.}  \so{Ist $\varphi(xy)$ eine stetige, nach $y$ stetig
differenzierbare
Funktion, so sind die Funktionen}
\[
\left\{
\begin{aligned}
& u(\xi\eta)
= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}}
  G(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR
\\
& v(\xi\eta) = \frac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta}
\end{aligned}
\right.
\]
\so{stetig; ferner besitzen sie im Innern von $\varOmega$ die stetigen
Ableitungen
$\dfrac{\partial u}{\partial \xi }$,
$\dfrac{\partial u}{\partial \eta}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial \eta}$ und erfüllen die
Differentialgleichungen:}
\[
\left\{
\begin{alignedat}{2}
& \frac{\partial u}{\partial \xi }
+ \frac{\partial v}{\partial \eta} &&= \varphi(\xi\eta)
\\
& \frac{\partial u}{\partial \eta} &&= v
\end{alignedat}
\right.
\]
\so{und die Randbedingungen:}
\[
\left\{
\begin{aligned}
& u(b\eta) = 0  \\
& u(\xi\chi_1) = 0  \\
& v(\xi\chi_2) + \alpha(\xi) \, u(\xi\chi_2) = 0.
\end{aligned}
\right.
\]

Schreiben wir
\[
  u = u_1 + u_2, \; v = v_1 + v_2,
\]
wo
\begin{align*}
  u_1(\xi\eta)
&= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}}
  g(\xi\eta, xy) \, \varphi(xy) \, dR, \quad
  v_1(\xi\eta) = \frac{\partial u_1(\xi\eta)}{\partial \eta},
\\
  u_2(\xi\eta)
&= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}}
  \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial y} \, \varphi(xy) \, dR, \quad
  v_2(\xi\eta) = \frac{\partial u_2(\xi\eta)}{\partial \eta},
\end{align*}
so sind alle die genannten Stetigkeitseigenschaften für $u$, $v$ von
vornherein für $u_1$, $v_1$ erfüllt; daher bleibt in dieser Beziehung nur
die Untersuchung für $u_2$, $v_2$ nötig. Bedienen wir uns für $u_2$ der
teilweisen Integration, so wird
\begin{align*}
  u_2(\xi\eta)
= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b
  t(\xi\eta, x\chi_2) \, \varphi(x\chi_2) \, dx
&+
  \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b
  t(\xi\eta, x\chi_1) \, \varphi(x\chi_1) \, dx
\\
&+ \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}}
  t(\xi\eta, xy) \frac{\partial\varphi(xy)}{\partial y} \, dR.
\end{align*}
%-----File: 090.png---------------------------------------
Hieraus folgen alle gewünschten Stetigkeitseigenschaften mit Hilfe
von IIa, IIb, IIIa und IIIb. Ferner sind die so erhaltenen
Formeln für die Ableitungen:
\begin{align*}
  \frac{\partial \mu_2(\xi\eta)}{\partial \xi}
&= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_2)
  \, dx
+ \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \, t(\xi\eta, \xi\chi_2) \, \varphi(\xi\chi_2)
\\
&\quad +\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_1)
  \, dx
- \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \, t(\xi\eta, \xi\chi_1) \, \varphi(\xi\chi_1)
\\
+ &\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}}
  \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi}
  \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR
+
  \tfrac{1}{2} \int\limits_{\chi_1(\xi)}^\eta
  \frac{\partial \varphi(\xi y)}{\partial y} \, dy
-
  \tfrac{1}{2} \int\limits_\eta^{\chi_2(\xi)}
  \frac{\partial \varphi(\xi y)}{\partial y} \, dy
\displaybreak[1] \\
&= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_2)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_2)
  \, dx
+
  \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial t(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_1)
  \, dx
\\
&\quad +\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}}
  \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi}
  \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR + \varphi(\xi\eta),
\\
  \frac{\partial u_2(\xi\eta)}{\partial \eta}  &= v_2(\xi\eta)
= -\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial t(\xi\eta,x\chi_2)}{\partial\eta} \, \varphi(x\chi_2)
  \, dx
\\
+ &\frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial t(\xi\eta,x\chi_1)}{\partial\eta} \, \varphi(x\chi_1)
  \, dx
+
  \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}}
  \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \eta}
  \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR,
\\
  \frac{\partial v_2(\xi\eta)}{\partial \eta}
&=
- \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial^2 t(\xi\eta,x\chi_2)}{\partial \eta^2} \,
  \varphi(x\chi_2) \, dx
+
  \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial^2 t(\xi\eta,x\chi_1)}{\partial \eta^2} \,
  \varphi(x\chi_1) \, dx
\\
&\quad + \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}}
  \frac{\partial^2 t(\xi\eta, xy)}{\partial \eta^2}
  \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR
\\
&= \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial t(\xi\eta,x\chi_2)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_2)
  \, dx
- \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial t(\xi\eta,x\chi_1)}{\partial\xi} \, \varphi(x\chi_1)
  \, dx
\\
&\; - \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \iint\limits_{\area\xi{b}}
  \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial \xi}
  \frac{\partial \varphi(xy)}{\partial y} \, dR.
\end{align*}
Es erfüllen $u_2 v_2$ also die Differentialgleichungen
%-----File: 091.png---------------------------------------
\begin{alignat*}{2}
& \frac{\partial u_2}{\partial\xi}
+ \frac{\partial v_2}{\partial\eta} &&= \varphi(\xi\eta) \\
& \frac{\partial u_2}{\partial\eta} &&= v_2.
\end{alignat*}
Es ist $g(\xi\eta, xy)$ nicht nur eine Lösung von
\[
\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} - \frac{\partial g}{\partial x} = 0
\]
(nach Definition), sondern auch (nach dem Symmetriegesetz in V)
eine Lösung von
\[
\frac{\partial^2 g}{\partial\eta^2} + \frac{\partial g}{\partial\xi} = 0.
\]
Darum ist, wie leicht einzusehen,
\[
\left\{
\begin{alignedat}{2}
& \frac{\partial u_1}{\partial\xi}
+ \frac{\partial v_1}{\partial\eta} &&= 0 \\
& \frac{\partial u_1}{\partial\eta} &&= v_1,
\end{alignedat}
\right.
\]
also schließlich
\[
\left\{
\begin{alignedat}{2}
& \frac{\partial u}{\partial\xi}
+ \frac{\partial v}{\partial\eta} &&= 0 \\
& \frac{\partial u}{\partial\eta} &&= v.
\end{alignedat}
\right.
\]

Es bleiben nur noch die Randbedingungen zu bestätigen. Das
geschieht auch durch Benutzung des Symmetriegesetzes; denn
demzufolge ist
\[
\begin{alignedat}{3}
& \: G(\xi\chi_1, xy)  &&= H(xy, \xi\chi_1) &&= 0
\\
& \frac{\partial G(\xi\chi_2, xy)}{\partial\eta}
+ a(\xi)G(\xi\chi_2, xy)
&& = \frac{\partial H(xy, \xi\chi_2)}{\partial\eta}
+ a(\xi)H(xy, \xi\chi_2) &&= 0;
\end{alignedat}
\]
hieraus und aus den Stetigkeitseigenschaften folgen unmittelbar
die beiden letzten Randbedingungen für $u$, $v$. Um zu sehen, daß
auch $u(b\eta) = 0$, bemerken wir, daß sicher $u_1(b\eta) = 0$, da der
Integrand stetig ist und der Integrationsbereich verschwindet;
andrerseits ist aber auch $u_2(b\eta) = 0$, denn
\begin{gather*}
\lvert u_2(\xi\eta) \rvert \leqq
  \iint\limits_{\area\xi{b}}
\frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial y}\lvert \varphi(xy)\rvert \,dR
\;\leqq\;\int\limits_\xi^b m(\mu_2-\mu_1) - \frac{dx}{\sqrt{x-\xi}}
\\
= 2m(\mu_2-\mu_1)(b-\xi)^{\frac{1}{2}},
\end{gather*}
was beim Grenzübergang $\xi = b$ den Wert Null annimmt.
%-----File: 092.png---------------------------------------


\Section{7. Lösung der Randwertaufgabe für das parabolische System.}

Wir werden hier ein gewöhnlich-parabolisches System von
Gleichungen in der Normalform betrachten und ein Funktionenpaar
finden, welches dem Gleichungssystem und gewissen linearen
Randbedingungen genügt. Wir beschränken uns zunächst, wie
bei dem hyperbolischen Fall, auf ein ganz spezielles System und
verallgemeinern nachher die Resultate. Ferner werden wir die in
\S~6 (vor V) erwähnte vereinfachte Form der Randbedingungen in
unsern Sätzen angeben, was keine wirkliche Einschränkung der
Allgemeinheit bedeutet; übrigens werden die schließlich herauskommenden
Resultate ganz allgemein ausgesprochen.

\Paragraph{I.}  Es möge wie vorhin mit $\varOmega$ ein Gebiet bezeichnet
werden,
welches durch die Ordinaten $x = a$, $x = b\; (b > a)$ und die
Kurven $S_1: y = \chi_1(x)$, $S_2: y = \chi_2(x)$ begrenzt ist, wo
$\chi_1(x)$, $\chi_2(x)$
zweimal stetig differenzierbare Funktionen in der Strecke $a \leqq x
\leqq b$
sind, und $\chi_2(x) > \chi_1(x)$. Wir suchen ein Funktionenpaar $u(xy)$,
$v(xy)$, das dem Differentialgleichungssystem
\[
\tag*{1)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
& \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} = {} & A(xy) \, &u
\\
& \frac{\partial u}{\partial y} &          = {} &v
\end{alignedat}
\right.
\]
genügt und die Randbedingungen
\[
\tag*{2)}
\left\{
\begin{aligned}
& u(by) = f_0(y)  \\
& u(x\chi_1) = f_1(x)  \\
& v(x\chi_2) + \alpha(x) \, u(x\chi_2) = f_2(x)
\end{aligned}
\right.
\]
erfüllt. Dabei soll $A(xy)$ eine stetige, nach $y$ stetig differenzierbare
Funktion sein; $f_0(y)$, $f_1(x)$, $f_2(x)$, $\alpha(x)$ sollen stetig
differenzierbar
sein und unter sich die Relationen
\[
\tag*{3)}
\begin{aligned}
& f_1(b) = f_0\bigl( \chi_1(b) \bigr)  \\
& f_2(b) = f'_0\bigl( \chi_2(b) \bigr)
         + \alpha(b) f_0\bigl( \chi_2(b) \bigr)
\end{aligned}
\]
befriedigen. Von den gesuchten Funktionen $u(xy)$, $v(xy)$ verlangen
wir, daß sie stetig seien und im Innern von $\varOmega$ die stetigen
Ableitungen
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial u}{\partial y}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ besitzen; aus diesen Annahmen folgt, daß
$\dfrac{\partial u}{\partial x}
+\dfrac{\partial v}{\partial y}$ und
$\dfrac{\partial u}{\partial y}$ auch am Rande stetig sind.
%-----File: 093.png---------------------------------------

Nach \S~6, VI müssen die Funktionen $u$, $v$ durch folgende
Formeln gegeben werden:
\[
\tag*{4)}
\left\{
\begin{aligned}
& u(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta)
             + \iint\limits_{\area\xi{b}} K(\xi\eta, xy) \, u(xy) \, dR
\\
& v(\xi\eta) = \frac{\partial u(\xi\eta)}{\partial \eta},
\end{aligned}
\right.
\]
wobei
\[
\tag*{5)}
\left\{
\begin{aligned}
& 2\sqrt{\pi} \mathfrak{u}(\xi\eta)
= \int\limits_{\chi_1(b)}^{\chi_2(b)} G(\xi\eta, by) \, f_0(y) \, dy
+ \int\limits_\xi^b
  \frac{\partial G(\xi\eta, x\chi_1)}{\partial y} \, f_1(x) \, dx
+ \int\limits_\xi^b G(\xi\eta, x\chi_2) \, f_2(x) \, dx
\\
& 2\sqrt{\pi} K(\xi\eta, xy) = - G(\xi\eta, xy) \, A(xy).
\end{aligned}
\right.
\]

Aber nach \S~6, VIIa, VIIb müssen Funktionen $u$, $v$, die die
Gleichungen~4) erfüllen, auch die Gleichungen~1) und die
Randbedingungen~2)
erfüllen; vorausgesetzt nur, daß die Funktion
$\varphi(xy)$ von \S~6, VIIb stetig, nach $y$ stetig differenzierbar ist;
diese Funktion ist hier durch $A(xy)$ $u(xy)$ vertreten. Wir brauchen
also nur, außer Stetigkeit, die stetige Differenzierbarkeit von
$u(\xi\eta)$ nach $\eta$ nachzuweisen. Das geschieht aber ohne weiteres
aus der ersten Gleichung~9); denn schon nach \S~6, VIIa ist
$\mathfrak{u}(\xi\eta)$ nach $\eta$ stetig differenzierbar, und dieselbe
Eigenschaft besitzt
nach Definition von $G$ und \S~6, IIIa, IIIb das Integral über
${}_\xi\varOmega_b$. Wir haben also den Satz:

\so{Sind $u$, $v$ stetige Funktionen, die im Innern von $\varOmega$
die stetigen Ableitungen
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial u}{\partial y}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ besitzen und
die dem Differentialgleichungssystem~1) nebst den
Randbedingungen~2) genügen, so erfüllen $u$, $v$ die Relationen~4);
umgekehrt, erfüllen $u$, $v$ die Relationen~4)
und ist $u$ stetig, so ist auch $v$ stetig, und
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial u}{\partial y}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$
sind im Innern von $\varOmega$ stetig; und $u$, $v$ genügen dem
Differentialgleichungssystem~1) nebst den Randbedingungen~2).}

\Paragraph{II.}   Es kommt also wesentlich darauf an, eine stetige Lösung
$u$ der Integralgleichung
\[
\tag*{$4'$)}
  u(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta)
             + \iint\limits_{\area\xi{b}} K(\xi\eta, xy) \, u(xy) \, dR
\]
%-----File: 094.png---------------------------------------
zu finden. Diese Integralgleichung ist zunächst nicht in der von
Fredholm betrachteten Form; denn der Integrationsbereich
${}_\xi\varOmega_b$
hängt von dem Parameter $\xi$ ab. Es ist aber $K(\xi\eta, xy)$ nur für
$x \geqq \xi$ definiert; ergänzen wir die Definition einfach durch die
Annahme
\[
\tag*{6)}
  K(\xi\eta, xy) = 0 \; \text{ für } \; a \leqq x \leqq \xi
\]
so läßt sich $4'$) auch folgendermaßen schreiben:
\[
\tag*{$4'$)}
  u(\xi\eta) = \mathfrak{u}(\xi\eta) + \iint K(\xi\eta, xy) \, u(xy) \, dR
\]
und ist jetzt genau eine Fredholmsche Integralgleichung.

Wenn der Kern stetig wäre, so dürften wir schließen, daß
die Gleichung $4'$) sicher eine stetige Lösung besitzt, wenn die
entsprechende homogene Integralgleichung:
\[
\tag*{$4'_0$)}
  u_0(\xi\eta) = \iint K(\xi\eta, xy) \, u_0(xy) \, dR
\]
keine von Null verschiedene stetige Lösung besitzt. Im Falle einer
Singularität bei $(xy) = (\xi\eta)$ dürfen wir doch denselben Schluß
ziehen, wenn es eine positive Konstante $\alpha < \tfrac12$ gibt,
für welche
$\lvert x -\xi \rvert^\alpha
 \lvert y - \eta \rvert^\alpha
 \lvert K(\xi\eta, xy) \rvert$ endlich bleibt. Wir werden zeigen,
daß hier tatsächlich dieser Fall vorhanden ist.

Für $x \geqq \xi$ (die einzigen Werte, die besondere Beachtung erfordern)
ist die Singularität von $K(\xi\eta, xy)$ durch
\[
  \frac{\partial t(\xi\eta, xy)}{\partial y}
= \frac{ e^{ -\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} } }
       { \sqrt{x-\xi}                       }
\]
charakterisiert, sodaß wir schreiben können
\[
  \lvert K(\xi\eta, xy) \rvert
< \frac{k}{\sqrt{\chi-\xi}} e^{ -\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} },
\]
wo $k$ eine Konstante bedeutet. Ohne den Exponentialfaktor in
Betracht zu ziehen, ließe sich nur der Wert $\alpha = \tfrac12$ angeben,
welcher nicht hinreichend klein ist. Wir haben aber
\[
  e^{ \tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} }
\geqq 1 + \frac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} \geqq 1,
\]
also
%-----File: 095.png---------------------------------------
\begin{align*}
\Bigl\{ e^{\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}} \Bigr\}^3
& \geqq e^{\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}}
  \geqq 1+ \frac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}
\\
&= \left\{ 1-\frac{\lvert y-\eta \rvert}{2\sqrt{x-\xi}} \right\}^2
  +         \frac{\lvert y-\eta \rvert}{ \sqrt{x-\xi}}
  \geqq     \frac{\lvert y-\eta \rvert}{ \sqrt{x-\xi}}
\end{align*}
und
\[
e^{\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}}
\geqq \lvert y-\eta \rvert^{\frac{1}{3}} (x-\xi)^{-\frac{1}{3}}.
\]
Daher ist ferner
\[
e^{-\tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)}}
\leqq (x-\xi)^{\frac{1}{3}} \lvert y-\eta \rvert^{-\frac{1}{3}}
\]
und
\[
\lvert K(\xi\eta,xy)\rvert < \frac{k}{(x-\xi)^{\frac{1}{2}}}
   (x-\xi)^{ \frac{1}{3}} \lvert y-\eta \rvert^{-\frac{1}{3}}
= k(x-\xi)^{-\frac{1}{3}} \lvert y-\eta \rvert^{-\frac{1}{3}}.
\]

Es ist also
\[
  \lvert x-\xi \rvert^{\frac{1}{3}}
  \lvert y-\eta \rvert^{\frac{1}{3}}
  \lvert K(\xi\eta,xy) \rvert < k,
\]
und $\alpha = \frac{1}{3}$ hat die verlangte Eigenschaft. Wir dürfen
also sagen:

\so{Hat $\left.4'_0\right)$ keine von Null verschiedene stetige Lösung,
so hat $4')$ eine und nur eine stetige Lösung}.

\Paragraph{III.}  Unsere Aufgabe können wir dann als gelöst ansehen,
wenn $4'_0)$ nur die eine stetige Lösung $x_0 = 0$ besitzt. Das ist
aber \so{immer} der Fall, wie wir jetzt beweisen wollen.

\so{Die homogene Integralgleichung}
\[
\tag*{$4'_0$)}
u_0(\xi\eta)
= \iint\limits_{\area\xi{b}} K(\xi\eta, xy) u_0(xy) \,dR
\]
\so{besitzt keine von Null verschiedene stetige Lösung}.

1) Der Beweis wird in drei Teilen gegeben. Als ersten Teil
beweisen wir: Gibt es eine solche positive Funktion von $\xi$ allein,
$m(\xi)$, daß eine stetige Lösung $u_0(\xi\eta)$ von $4'_0)$ die Bedingung
\[
\lvert u_0(\xi\eta) \rvert < m(\xi)
\]
erfüllt, so ist auch
\[
\lvert u_0(\xi\eta) \rvert < c\int\limits_\xi^b m(x) \,dx,
\]
wo $c$ eine Konstante bedeutet. Um dies zu sehen, schreiben wir
$\xi_1(x) > \mu_1$, $\xi_2(x) < \mu_2$,
$\lvert K(\xi\eta,xy) \rvert < \dfrac{k}{\sqrt{x-\xi}}$; wir haben dann
%-----File: 096.png---------------------------------------
\[
 \lvert u_0(\xi\eta) \rvert
\leqq \int\limits_\xi^b \int\limits_{\mu_1}^{\mu_2}
  \frac{km(x)}{\sqrt{x-\xi}} \,dy\, dx
< k(\mu_2 - \mu_1) \int\limits_\xi^b
  \frac{m(x)}{\sqrt{x-\xi}} \,dx.
\]
Wenden wir dieses Verfahren ein zweites Mal an, so finden wir:
\begin{align*}
  \lvert u_0(\xi\eta) \rvert
&\leqq k^2 (\mu_2 - \mu_1)^2 \int_\xi^b \int_s^b
  \frac{m(x)}{\sqrt{s-\xi} \sqrt{x-s}} \,dx\, ds
\\
&= k^2 (\mu_2 - \mu_1)^2 \int_\xi^b \int_\xi^x
  \frac{m(x)}{\sqrt{s-\xi} \sqrt{x-s}} \,ds\, dx\;\footnotemark
\\
&= k^2 (\mu_2 - \mu_1)^2 \pi \int_\xi^b m(x) \,dx,
\end{align*}
in Uebereinstimmung mit unserer Behauptung.\footnotetext{
  In Bezug auf diese Umkehrung der Integrationsfolge sei auf die vorhin
  genannte Arbeit des Verfassers verwiesen, Annals of Mathematics, Bd.~9
  (1908),
  S.~183--187.}%

2) Als zweiten Teil des Beweises zeigen wir: Eine stetige
Lösung von $4'_0$) genügt der Bedingung
\[
  \lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq C \frac{c^n (b-\xi)^n}{n!}
\]
für jede positive ganze Zahl $n$, wo $C$, $c$ Konstanten bedeuten.

Ist $\lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq C$, so ist auch nach dem
vorhergehenden
\[
  \lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq c \int\limits_\xi^b C\, dx
= Cc(b-\xi);
\]
daher ist aber wieder
\[
  \lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq c \int\limits_\xi^b Cc(b-x) \,dx
= Cc^2 \frac{(b-\xi)^2}{2};
\]
und der Beweis ist im allgemeinen durch vollständige Induktion
erbracht.

3) Wir haben nur noch zu bemerken, daß die rechte Seite der
Ungleichung
%-----File: 097.png---------------------------------------
\[
  \lvert u_0(\xi\eta) \rvert \leqq C \frac{c^n (b-\xi)^n}{n!}
\]
beim Grenzübergang $n = \infty$ verschwindet. Daher ist
\[
  u_0(\xi\eta) = 0,
\]
was zu beweisen war.

Als Gesamtergebnis haben wir also das

\Paragraph{IV.}  \so{Existenztheorem: Das System~1) nebst den
Randbedingungen~2) besitzt ein und nur ein System
von Lösungen $u(xy)$, $v(xy)$, wobei $u$, $v$ stetig,
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial u}{\partial y}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$
im Innern von $\Omega$ stetig sein sollen.}

\smallskip
Dieselbe Beweismethode liefert ohne Schwierigkeit, wie schon
bemerkt, die allgemeinere Form:

\so{Existenztheorem: Das System~1) besitzt ein und
nur ein solches System von Lösungen $u$, $v$, daß}
\[
\tag*{$7'$)}
  u(by) = f_0(y),
\]
\so{und daß auf jeder der Kurven $S_1$, $S_2$ eine der Bedingungen}
\[
\tag*{$7''$)}
\begin{aligned}
& 1) \quad u(x\chi_i) = f_i(x)  \\
\text{resp. }\qquad
& 2) \quad v(x\chi_i) + \alpha_i(x) u(x\chi_i) = f_i(x)
\end{aligned}
\]
\so{erfüllt ist, wobei $u$, $v$ stetig,
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial u}{\partial y}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ im Innern von
$\Omega$ stetig sein sollen.}

Hier sind $f_0(y)$, $f_1(x)$, $f_2(x)$, $\alpha_1(x)$, $\alpha_2(x)$
stetig differenzierbare
Funktionen, zwischen denen die Relationen:
\[
\tag*{8)}
\begin{aligned}
& 1) \quad f_i(b) = f_0\bigl( \chi_i(b) \bigr)
\\
\text{resp. }\qquad
& 2) \quad f_i(b) = f'_0\bigl( \chi_i(b) \bigr)
                  + \alpha_i(b) f_0\bigl( \chi_i(b) \bigr)
\end{aligned}
\]
statthaben.

\Paragraph{V.}  Wir wollen jetzt das allgemeinere System
\[
\tag*{9)}
\left\{
\begin{alignedat}{2}
& \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} &&= A(xy) u(xy) + B(xy) v(xy)
\\
& \frac{\partial u}{\partial y} &&= C(xy) u(xy) + D(xy) v(xy)
\end{alignedat}
\right.
\]
betrachten. Wie in \S~2, IX angedeutet, wollen wir annehmen,
daß $D$ in dem ganzen in Betracht gezogenen Gebiet nirgends
%-----File: 098.png---------------------------------------
verschwindet. Unsere Voraussetzungen sind folgende: die Funktionen
\[
\arraycolsep=4pt
\begin{array}{cccccc}
A; & \dfrac{\partial A}{\partial y};& & & &
\\[1.5em]
B; & \dfrac{\partial B}{\partial x},
   & \dfrac{\partial B}{\partial y};
   & \dfrac{\partial^{2} B}{\partial y^{2}};& &
\\[1.5em]
C; & \dfrac{\partial C}{\partial x},
   & \dfrac{\partial C}{\partial y};
   & \dfrac{\partial^{2} C}{\partial y^{2}};& &
\\[1.5em]
D; & \dfrac{\partial D}{\partial x},
   & \dfrac{\partial D}{\partial y};
   & \dfrac{\partial^{2} D}{\partial x\partial y},
   & \dfrac{\partial^{2} D}{\partial y^{2}};
   & \dfrac{\partial^{3} D}{\partial y^{3}};
\end{array}
\]
sollen stetig sein, und $D > 0$. Wir stellen uns die Aufgabe, ein
Lösungssystem von 9) mit den Nebenbedingungen 7) zu finden;
und zeigen, daß dieses Problem sich durch Transformation auf das
frühere reduzieren läßt.

Wir machen zunächst die Transformation der unabhängigen
Variablen
\[
  X = x,\quad Y=\int\sqrt{D}\,dy\;\footnotemark.
\]
\footnotetext{
  Wir schreiben hier immer das unbestimmte Integral als Abkürzung für
  das bestimmte; es soll verstanden werden
  $\displaystyle\int{F\, dy} = \int_{y_{0}}^{y} F(xt) dt$, wo $y_{0}$ eine Konstante
  bedeutet; die vorkommenden Funktionen sollen immer gleich Null gesetzt
  werden für Punkte außerhalb des Bereiches $\Omega$ der Definition,
  sodaß das eben
  geschriebene Integral stets einen Sinn hat.}%
Wir sehen leicht, daß die Funktionen $A$, $B$, $C$, $D$, $u$, $v$ nach
$X$, $Y$ genau so oft differenzierbar sind wie nach $x$, $y$. Jede
Ordinate
$x = x_{0}$ geht in eine Ordinate $X = x_{0}$ über; die Kurven
$S_{1}$, $S_{2}$ gehen in neue Kurven $Y = \Psi_{1}(X)$, $Y = \Psi_{2}(X)$
über, wo
$\Psi_{1}(X)$, $\Psi_{2}(X)$ wieder zweimal stetig differenzierbare
Funktionen
sind, und $\Psi_{2}(X)>\Psi_{1}(X)$\footnote{
  Es wächst nämlich $Y$ mit $y$ bei konstantem $x$.}.
Die Funktionen $f_{0}$, $f_{1}$, $f_{2}$, $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ gehen
in neue Funktionen desselben Charakters über. Schließlich nehmen
die Gleichungen~(9) selbst nach einer linearen Zusammensetzung
die Gestalt
\[
\begin{cases}
\;\dfrac{\partial u}{\partial X} + D_{1} \dfrac{\partial v}{\partial Y}
&= A_{1} u + B_{1} v
\\[1em]
\;\dfrac{\partial u}{\partial Y} &= C_{1} u + D_{1} v
\end{cases}
\]
an, wo
%-----File: 099.png---------------------------------------
\[
\left\{
\ \begin{aligned}
& A_1 = A - \frac{C}{\sqrt{D}} \int \frac{\partial \sqrt{D}}{\partial
x} \,dy
\\
& B_1 = B - \sqrt{D} \int \frac{\partial \sqrt{D}}{\partial x} \,dy
\\
& C_1 = \frac{C}{\sqrt{D}}
\\
& D_1 = \sqrt{D};
\end{aligned}\right.
\]
das System ist also vorläufig nicht mehr in der Normalform. Es
sind jetzt die Funktionen
\[
\arraycolsep=4pt
\begin{array}{cccccc}
A_1; & \dfrac{\partial   A_1}{\partial Y  }; & & & &
\\[1.5em]
B_1; & \dfrac{\partial   B_1}{\partial X  };
     & \dfrac{\partial   B_1}{\partial Y  };
     & \dfrac{\partial^2 B_1}{\partial Y^2};     & &
\\[1.5em]
C_1; & \dfrac{\partial   C_1}{\partial X  };
     & \dfrac{\partial   C_1}{\partial Y  };
     & \dfrac{\partial^2 C_1}{\partial Y^2};     & &
\\[1.5em]
D_1; & \dfrac{\partial   D_1}{\partial X  };
     & \dfrac{\partial   D_1}{\partial Y  };
     & \dfrac{\partial^2 D_1}{\partial X \partial Y};
     & \dfrac{\partial^2 D_1}{\partial Y^2};
     & \dfrac{\partial^3 D_1}{\partial Y^3};
\end{array}
\]
stetig, und
\[
  D_1 > 0.
\]

Wir haben noch eine Transformation der unbekannten Funktionen
vorzunehmen; die Formel wird etwas einfacher aussehen,
wenn wir die Funktionen $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ durch andere, von ihnen
abhängige Funktionen ersetzen; wir schreiben also
\begin{align*}
 \mathfrak{A} &= A_1  \\
 \mathfrak{B} &= \tfrac12 \int \frac{B_1}{D_1} \,dY  \\
 \mathfrak{C} &= \tfrac12 \int C_1 \,dY  \\
 \mathfrak{D} &= \tfrac12 \log D_1.
\end{align*}

Es sind jetzt $\mathfrak{A}$, $\dfrac{\partial \mathfrak{A}}{\partial Y}$
stetig; ferner sind $\mathfrak{B}$, $\mathfrak{C}$, $\mathfrak{D}$
und diejenigen
Ableitungen stetig, die im folgenden Schema dargestellt
sind:
\[
  \frac{\partial   }{\partial X  };          \quad
  \frac{\partial   }{\partial Y  };          \quad
  \frac{\partial^2 }{\partial X \partial Y}; \quad
  \frac{\partial^2 }{\partial Y^2};          \quad
  \frac{\partial^3 }{\partial Y^3};
\]
Die Gleichungen~9) schreiben sich:
%-----File: 100.png---------------------------------------
\[
\left\{
\begin{alignedat}{2}
& \frac{\partial u}{\partial X}
+ e^{2\mathfrak{D}} \frac{\partial v}{\partial Y}
&&= \mathfrak{A} u
+ e^{2\mathfrak{D}} \,\frac{\partial \mathfrak{B}}{\partial Y}\, v
\\
& \frac{\partial u}{\partial Y}
&&= 2\,\frac{\partial \mathfrak{C}}{\partial y}\, u + e^{2\mathfrak{D}} v.
\end{alignedat}
\right.
\]
Wir machen jetzt die Transformation:
\[
\left\{
\begin{aligned}
& u = e^{\mathfrak{B} + \mathfrak{C} + \mathfrak{D}} U
\\
& v = e^{\mathfrak{B} + \mathfrak{C} - \mathfrak{D}}
  \Bigl\{ V
  + \frac{\partial (\mathfrak{B}-\mathfrak{C}+\mathfrak{D})}
         {\partial Y} U \Bigr\}.
\end{aligned}
\right.
\]
Wir bemerken zuerst, daß eine Randbedingung der Form 1)
$\bigl($Gleichungen~$7''$)$\bigr)$
in eine Randbedingung derselben Form übergeht;
dasselbe gilt auch für die Form~2). Wir haben also nur noch
zuzusehen, was aus den Differentialgleichungen selbst wird. Das
System kehrt in die Normalform zurück, nimmt aber jetzt die
einfachere Form
\[
\left\{
\begin{alignedat}{2}
& \frac{\partial U}{\partial X}
+ \frac{\partial V}{\partial Y} &&= \mathfrak{A}_1 U  \\
& \frac{\partial U}{\partial Y} &&= V
\end{alignedat}
\right.
\]
an, wobei
\[
  \mathfrak{A}_1 = \mathfrak{A}
+ \left\{ \frac{\partial}{\partial Y}
  (\mathfrak{B} - \mathfrak{C} + \mathfrak{D}) \right\}^2
- \frac{\partial^2}{\partial Y^2}
  (\mathfrak{B} - \mathfrak{C} + \mathfrak{D})
- \frac{\partial}{\partial X}
  (\mathfrak{B} + \mathfrak{C} + \mathfrak{D}).
\]

Wir haben also endlich genau die Form~(1) erreicht; ferner
sind
\[
  \mathfrak{A}_1, \quad \frac{\partial \mathfrak{A}_1}{\partial Y}
\]
stetig, sodaß die Resultate unseres früheren Theorems unmittelbar
anzuwenden sind. Wir haben also bewiesen:

\so{Allgemeines Existenztheorem~A: Das System~9)
nebst den Randbedingungen~7) besitzt, falls $D > 0$,
ein und nur ein System von Lösungen $u(xy)$, $v(xy)$, wobei
$u$, $v$ stetig,
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial u}{\partial y}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ im Innern von $\Omega$ stetig sein
sollen.}

Durch die Verwandlung von $x$, $y$ in $-x$, $-y$ und entsprechende
Veränderungen in den Bezeichnungen bekommen wir ein zweites
Theorem als Gegenstück zu dem vorigen:

\so{Allgemeines Existenztheorem~B: Das System~9)
nebst den Randbedingungen}
%-----File: 101.png---------------------------------------
\begin{align*}
\tag*{$10'$)}  u(ay) &= f_0(y)  \\
\tag*{$10''$)}       &= 7'')
\end{align*}
\so{besitzt, falls $D<0$, ein und nur ein System von
Lösungen $u(xy)$, $v(xy)$, wobei $u$, $v$ stetig,
$\dfrac{\partial u}{\partial x}$,
$\dfrac{\partial u}{\partial y}$,
$\dfrac{\partial v}{\partial y}$ im
Innern von $\Omega$ stetig sein sollen.}

Jetzt sollen zwischen den gegebenen Funktionen die Relationen:
\[
\tag*{11)}
\begin{aligned}
   & 1) \quad  f_i(a) = f_0\bigl( \chi_i(a) \bigr)
\\
\text{ resp. } \qquad & 2) \quad f_i(a)
= f'_0\bigl( \chi_i(a) \bigr) + \alpha_i(a) f_0\bigl( \chi_i(a) \bigr)
\end{aligned}
\]
statthaben.

\Paragraph{VI.} Zwischen den beiden allgemeinen Existenztheoremen besteht
eine auffallende Verschiedenheit. Ist $D > 0$, so haben wir
die Existenz eines Lösungssystemes nur \so{links} von der Charakteristik,
auf welcher die Werte von $u$ vorgeschrieben sind, bewiesen;
ist $D < 0$, so haben wir die Existenz nur \so{rechts} von der
Charakteristik bewiesen. Es liegt nahe, zu fragen, ob diese Einschränkung
nur ein Zufall der Beweismethode sei, oder ob sie
wesentlich in der Natur der Sache begründet sei.

Aus einem einfachen Fall schließen wir, daß die letztere Antwort
die richtige ist. Die Wärmeleitungsgleichung
\[
  \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = \frac{\partial u}{\partial x}
\]
ist mit dem System
\[
\left\{
\begin{alignedat}{2}
& \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y} &&= 0
\\
& \frac{\partial u}{\partial y} &&= - v
\end{alignedat}
\right.
\]
äquivalent; hier ist $D = -1 < 0$. Bekanntlich ist es möglich,
durch Angabe der Temperatur zu einer gewissen Zeit $x = a$ die
Temperatur zu allen \so{späteren} Zeiten zu bestimmen; diese
Randwertproblemstellung
entspricht dem zweiten allgemeinen Existenztheorem,
von welchem sie als Grenzfall erscheint, wenn die beiden
Kurven $S_1$, $S_2$ ins Unendliche rücken. Dagegen hat Appell\footnote{
  Journal de Math\'ematiques, Serie~4, Bd.~8 (1892), S.~187.}
darauf aufmerksam gemacht, daß nicht jede Temperaturverteilung als
Folge einer \so{früheren} Temperaturverteilung angesehen werden
darf.
%-----File: 102.png---------------------------------------


\Chapter{}{Lebenslauf}

Ich, \so{Wallie Abraham Hurwitz}, jüdischer Religion, amerikanischer
Staatsangehörigkeit, bin geboren am 18.~Februar 1886
zu Fulton, Missouri, V.~St.~A.\ als Sohn des Kaufmanns Harry
Hurwitz und seiner Frau Emma, geb.\ Mayfield. Meinen Elementarunterricht
erhielt ich in den Schulen von Joplin, Missouri. Ich
studierte an der \so{University of Missouri} von 1902 bis 1906,
an \so{Harvard University} von 1906 bis 1908; seit Oktober
1908 bin ich in Göttingen immatrikuliert.

Ich habe Vorlesungen resp.\ Uebungen und Seminare folgender
Herren Professoren und Dozenten besucht:
  \begin{itemize}
  \item[] in Missouri: \so{Ames, Bliss, Hedrick, Ingold, Kellogg.}
  \item[] in Harvard: \so{B\^ocher, Bonton, Byerly, Osgood, Peirce.}
  \item[] in Göttingen: \so{Hilbert, Klein, Landau, Voigt, Zermelo.}
  \end{itemize}

Allen diesen meinen verehrten Lehrern spreche ich meinen
Dank aus. Für ihre vielseitige Anregung in Vorlesungen und im persönlichen
Verkehr sowie für ihre dauernde freundliche Ermutigung
bin ich den Herren Professoren \so{Hedrick} in Missouri, \so{Osgood}
und \so{B\^ocher} in Harvard besonders dankbar. Vor allem danke
ich Herrn Geheimrat \so{Hilbert} für seine Anregung zu dieser
Arbeit.


%%%%
\Anmerkungen

Folgende Änderungen wurden in der Gutenberg-Fassung vorgenommen:

\begin{itemize}
\item \S1 II.: fehlende Gleichungsnummern 4) und 8) hinzugefügt
\item \S1 II(7): $B_{11}$ war $B_{1n}$ und $C_{1n}$ war
$C_{\hphantom{n}1}$
\item \S1 IV(16): $\alpha_{1n}$ war $\alpha_{n1}$
\item \S3 I, Formeln nach `Bezeichnungen:': letzter Nenner
$\partial\eta$ war $\partial n$
\item \S3 IIIb, erste Formel: erster Nenner
$r(\xi\eta, xy) \,r(xy, x_1 y_1)$ war $r(\xi\eta, xy) \,r(xy, x_1 y_2)$
\item \S3 IVa, Formel nach `Schreiben wir:': erster Nenner
$r(\xi_1 \eta_1, xy)$ war $r_1(\xi_1 \eta_1, xy)$
\item \S3 IVa, B), Formel nach `wo': erste Zeile, letzter Zähler
$\partial l(s, \overline{\xi}_2 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$ war
$\partial l(s, \overline{\xi} \overline{\vphantom{\xi}\eta}_2)$;
desgl.\ nächster Zähler
$\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta}_1)$ war
$\partial l(\overline{\xi}_1 \overline{\vphantom{\xi}\eta})$
\item \S5 I(5): Integrand $B(x \eta) \, g(x) \, dx$ war
$B(x y) \, g(x) \, dx$
\item \S5 I, Formel nach `wir haben also': Integrand $B(x\eta) \,
v_0(x\eta)\,dx$ war $B(x\eta) \, v_0(x\eta)\,du$
\item \S6 V, vorletzte Formel: zweiter Integrand
$G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 y)\ldots$ war
$G(\xi_1 \eta_1, \overline{\xi}_2 \eta)\ldots$
\item \S7 II, Formeln nach `Wir haben aber': zweimal war erster Term
$e^{ \tfrac{(y-\eta)^2}{4(x-\xi)} }$ im Original
$e^{ \tfrac{(x-\eta)^2}{4(x-\xi)} }$
\end{itemize}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\cleardoublepage

\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Lizenz}{Lizenz}
\fancyhead[C]{\textsc{LIZENZ}}

\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von
linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMEN VON LINEAREN PARTIELLEN ***

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or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
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Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

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This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
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\end{PGtext}

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% End of the Project Gutenberg EBook of Randwertaufgaben bei Systemen von %
% linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, by Wallie Abraham Hurwitz
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% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK SYSTEMEN VON LINEAREN PARTIELLEN ***
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% ***** This file should be named 33330-t.tex or 33330-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
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% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}
###
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###
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 %&-line parsing enabled.
**33330-t.tex
(./33330-t.tex
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Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
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\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
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Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
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\uproot@=\count90
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LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
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LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
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LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
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LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
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(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
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LaTeX Info: Redefining \so on input line 106.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/booktabs/booktabs.sty
Package: booktabs 2005/04/14 v1.61803 publication quality tables
\heavyrulewidth=\dimen116
\lightrulewidth=\dimen117
\cmidrulewidth=\dimen118
\belowrulesep=\dimen119
\belowbottomsep=\dimen120
\aboverulesep=\dimen121
\abovetopsep=\dimen122
\cmidrulesep=\dimen123
\cmidrulekern=\dimen124
\defaultaddspace=\dimen125
\@cmidla=\count101
\@cmidlb=\count102
\@aboverulesep=\dimen126
\@belowrulesep=\dimen127
\@thisruleclass=\count103
\@lastruleclass=\count104
\@thisrulewidth=\dimen128
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/multirow/multirow.sty
\bigstrutjot=\dimen129
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks26
\footnotemargin=\dimen130
\c@pp@next@reset=\count105
\c@@fnserial=\count106
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/units/nicefrac.sty
Package: nicefrac 1998/08/04 v0.9b Nice fractions
\L@UnitsRaiseDisplaystyle=\skip47
\L@UnitsRaiseTextstyle=\skip48
\L@UnitsRaiseScriptstyle=\skip49
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip50
\f@ncyO@elh=\skip51
\f@ncyO@erh=\skip52
\f@ncyO@olh=\skip53
\f@ncyO@orh=\skip54
\f@ncyO@elf=\skip55
\f@ncyO@erf=\skip56
\f@ncyO@olf=\skip57
\f@ncyO@orf=\skip58
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks27
)
\Gm@cnth=\count107
\Gm@cntv=\count108
\c@Gm@tempcnt=\count109
\Gm@bindingoffset=\dimen131
\Gm@wd@mp=\dimen132
\Gm@odd@mp=\dimen133
\Gm@even@mp=\dimen134
\Gm@dimlist=\toks28
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen135
\Hy@linkcounter=\count110
\Hy@pagecounter=\count111
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count112
\Field@Width=\dimen136
\Fld@charsize=\dimen137
\Choice@toks=\toks29
\Field@toks=\toks30
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count113
\c@Item=\count114
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count115
)
\TmpLen=\skip59
(./33330-t.aux)
\openout1 = `33330-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 323.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 323.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 323.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 323.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 323.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 323.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 323.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 323.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 323.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 323.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 323.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 323.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 323.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 323.
-------------------- Geometry parameters
paper: class default
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 9.03374pt, 451.6875pt, 9.03375pt
v-parts: 4.15848pt, 640.03378pt, 6.23773pt
hmarginratio: 1:1
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: true
includefoot: true
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  469.75499pt
\paperheight 650.43pt
\textwidth  451.6875pt
\textheight 578.15999pt
\oddsidemargin  -63.23625pt
\evensidemargin -63.23624pt
\topmargin  -68.11151pt
\headheight 15.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 98.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count116
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count117
\scratchdimen=\dimen138
\scratchbox=\box28
\nofMPsegments=\count118
\nofMParguments=\count119
\everyMPshowfont=\toks31
\MPscratchCnt=\count120
\MPscratchDim=\dimen139
\MPnumerator=\count121
\everyMPtoPDFconversion=\toks32
)))
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 323.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count122
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 323.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 323.
(./33330-t.out) (./33330-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `33330-t.out'.


Overfull \hbox (117.43259pt too wide) in paragraph at lines 345--345
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Title: Randwertaufgaben bei Systemen von linearen partiel
len Differentialgleichungen erster Ordnung[] 
 []

LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 357.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 357.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] [1

] [2

] [3

] [4

] (./33330-t.toc
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+cmr on input line 5.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/omscmr.fd
File: omscmr.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <10.95> not available
(Font)              Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 5.
)
\tf@toc=\write4
\openout4 = `33330-t.toc'.

[5

] [6

] [7]
LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/cmr/bx/n' in size <12> not available
(Font)              Font shape `OMS/cmsy/b/n' tried instead on input line 572.
[8

] [9] [10] [11] [12] [13]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+euf on input line 1096.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/ueuf.fd
File: ueuf.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) [14] [15]
LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <12> not available
(Font)              Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 1234.

[16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26]
Overfull \vbox (14.49998pt too high) detected at line 2117
 []

[27] [28] [29]
LaTeX Font Info:    Font shape `OMS/cmr/m/n' in size <10> not available
(Font)              Font shape `OMS/cmsy/m/n' tried instead on input line 2326.

[30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45]
[46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61]
[62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77]
[78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93]
[94] [95] [96] [97

] [98

]
Overfull \hbox (36.95096pt too wide) in paragraph at lines 7100--7100
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnun
g, by Wallie Abraham Hurwitz[] 
 []

[99

] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] (./33330-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 germanb.ldf    2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
    soul.sty    2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
booktabs.sty    2005/04/14 v1.61803 publication quality tables
multirow.sty    
footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
nicefrac.sty    1998/08/04 v0.9b Nice fractions
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
supp-pdf.tex
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 33330-t.out
 33330-t.out
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
  omscmr.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
    ueuf.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 5136 strings out of 94074
 67261 string characters out of 1165154
 142958 words of memory out of 1500000
 8120 multiletter control sequences out of 10000+50000
 17727 words of font info for 68 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 27i,22n,43p,235b,488s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbsy10.pfb></usr/share/texm
f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbx12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/typ
e1/bluesky/cm/cmcsc10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex
10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/
texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/
type1/bluesky/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmm
i8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/t
exmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/t
ype1/bluesky/cm/cmr5.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr6.
pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf
-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
bluesky/cm/cmssbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10
.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy6.pfb></usr/share/tex
mf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/typ
e1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmti12
.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt10.pfb></usr/share/te
xmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/eufm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/
type1/bluesky/ams/eufm7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/f
mex8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></usr/sha
re/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msbm10.pfb>
Output written on 33330-t.pdf (109 pages, 510804 bytes).
PDF statistics:
 770 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
 209 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 137 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

