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% Project Gutenberg's Theorie der Abelschen Functionen, by Friedrich Schottky
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
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% Author: Friedrich Schottky                                              %
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% Release Date: August 2, 2010 [EBook #33317]                             %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABELSCHEN FUNCTIONEN ***
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\def\ebook{33317}
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%% Packages and substitutions:                                      %%
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%% book:     Required.                                              %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
%% fontenc,                                                         %%
%% cmap:     Text searchability with accented characters. Required. %%
%% babel:    German language hyphenation. Required.                 %%
%%                                                                  %%
%% mathptmx, type1cm: Set document font to Times. Optional.         %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%%                                                                  %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% indentfirst: Indent first word of each sectional unit. Optional. %%
%% soul:     Spaced text. Optional.                                 %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Optional.   %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%        A lot of equations, but no table of contents, no index    %%
%%        and only one illustration on the title page.              %%
%%                                                                  %%
%% Compilation Flags:                                               %%
%%                                                                  %%
%%   The following behavior may be controlled by boolean flags.     %%
%%                                                                  %%
%%   ForPrinting (true by default):                                 %%
%%   Compile a print-optimized PDF file. Set to false for screen-   %%
%%   optimized file (one-sided layout).                             %%
%%                                                                  %%
%%   Berichtigung (false by default):                               %%
%%   Compile the original list of errata at the end of the book.    %%
%%   These corrections are already incorporated in the main text.   %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% April 2008: quikquak                                             %%
%%        pdftex on GNU/Linux (openSuse10.3), MikTeX on WinXP.      %%
%%                                                                  %%
%% July 2010: adhere (Andrew D. Hwang)                              %%
%%        texlive2007, GNU/Linux                                    %%
%%                                                                  %%
%% PDF page size: US Letter                                         %%
%% Images: 1 jpg, 1 eps                                             %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 195                                                   %%
%% pdflatex x2                                                      %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% August 2010: pglatex.                                            %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 33317-t.tex ..... TWO times                           %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listfiles
\documentclass[12pt,leqno]{book}[2004/08/06]
    % strongly recommended

\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05]
    % necessary
\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]
    % necessary

\usepackage{cmap}[2004/06/16]
    % recommended for pdftex, makes umlauts and ligatures searcheable
    % not used for latex, here it gives a warning which can be ignored

\usepackage[german]{babel}[2005/11/23]
    % strongly recommended for german hyphenation

\IfFileExists{mathptmx.sty}{%
  \usepackage{mathptmx}[2005/04/12]
  % recommended, uses times as standard font and matching math fonts
  \usepackage{type1cm}[2002/09/05]
  % recommended to scale PS-fonts,
  % otherwise you'll get a bunch of warnings about changed font sizes
}{}

\usepackage{amsmath}[2000/07/18]
    % necessary, is automatically loaded by \documentclass{amsbook}
\usepackage{amssymb}[2002/01/22]
    % necessary

\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals
\usepackage{alltt}[1997/06/16]

\IfFileExists{indentfirst.sty}{%
  \usepackage{indentfirst}[1995/11/23]
}{}

\IfFileExists{soul.sty}{%
  \usepackage{soul}[2003/11/17]
  \sodef{\so}{}{0.15em}{0.5em plus 0.5em}{0.5em plus 0.5em}%
}{%
  %% else change gesperrt to italics, which are not used elsewhere
  \newcommand\so[1]{\textit{#1}}%
}

\usepackage{fancyhdr}

\IfFileExists{graphicx.sty}{%
  \usepackage{graphicx}[1999/02/16]
    % there's only one graphic on the titlepage
}{%
  \newcommand{\includegraphics}[1]{}
  \newcommand{\scalebox}[2]{}
  % in case that graphicx is not available, the graphic is ignored
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true (default)           false
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
%
% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned
% book. This behavior has been retained.
\newboolean{ForPrinting}

%% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %%
\setboolean{ForPrinting}{true}

\newboolean{Berichtigung}
%% UNCOMMENT next line to print the Berichtigungen at the end of the book %%
%\setboolean{Berichtigung}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Anmerkungen der Korrekturleser}

\newcommand{\TransNoteAdd}{%
  Diese PDF-Datei wurde für die Anzeige auf einem Bildschirm
  optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Druck angepasst
  werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des
  LaTeX-Quelltextes.
}
%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNoteAdd}{%
    Diese PDF-Datei wurde für den Druck optimiert, kann bei Bedarf
    aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Anweisungen dazu
    finden Sie am Anfang des LaTeX-Quelltextes.
  }
}{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \setlength{\paperwidth}{8.5in}%
  \setlength{\paperheight}{11in}%
  \usepackage[body={6in,8in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
}{% else, if ForPrinting=false
  \setlength{\paperwidth}{6.25in}%
  \setlength{\paperheight}{9in}%
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
  \raggedbottom
  \usepackage[body={6in,8in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
}

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperref,
  hyperfootnotes=false,
  pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Abriss einer Theorie der Abelschen Functionen von drei Variabeln},
  pdfauthor={Friedrich Schottky},
  pdfkeywords={quikquak, Joshua Hutchinson,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               Cornell University Library Historical Mathematical Monographs Collection},
  pdfstartview=Fit,    % default value
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  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
  pdfdisplaydoctitle,
  pdfpagelabels=true,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=0,
  colorlinks=true,
  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{11}{13}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}

%% No hrule in page header
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\setlength{\headheight}{15pt}

\setlength{\emergencystretch}{1.5em}

\DeclareMathSizes{12}{12}{9}{6}

\newcommand{\DPtypo}[2]{#2}

\makeatletter
\setcounter{secnumdepth}{-1}
    % Make sections unnumbered without need to use the starred form
\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}}
\renewcommand\@makefnmark%
    {\mbox{\,\upshape\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}
\renewcommand\@makefntext[1]%
    {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\ }#1}
\makeatother

\newcounter{ChapNo}

\newcommand{\SetRunningHeads}[1]{%
  \cleardoublepage
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    \fancyhead[R]{\thepage}%
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  {\vfil\centering\rule{2cm}{1pt}\par\vfil\vfil\vfil\vfil}%
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\newcommand{\Chapter}[2][]{%
  \refstepcounter{ChapNo}%
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}

\newcommand{\Label}[1]{\phantomsection\label{#1}}

\newcounter{SectNo}
\newcommand{\Section}[2][]{%
  \refstepcounter{SectNo}%
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\newcommand{\Book}{\bigskip\par\noindent\hangindent\parindent}

\let\epsilon\varepsilon
\let\phi\varphi
\let\kappa\varkappa
\let\rho\varrho
\DeclareMathOperator{\ldot}{.}    % lower dot
\newcommand{\dcdot}{\cdot\cdot\,} % double cdot
\newcommand{\dldot}{\ldot\ldot\,} % double ldot
\newcommand{\Int}[2]{\int\limits_{\makebox[1pt][l]{%
    $\scriptstyle #1$}}^{\makebox[1pt][l]{$\scriptstyle #2$}}}


\hyphenation{Werth-sy-stem Werth-sy-ste-me Werth-sy-ste-men Werth-sy-stems
            Wer-the Func-ti-on Grös-sen-sy-ste-me}
    % Hyphenation definitions to ensure words wrap appropriately


\begin{document}

\pagestyle{empty}
\pagenumbering{Roman}

%%%% PG BOILERPLATE %%%%
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{PG Titelblatt}{Titelblatt}

\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{PGtext}
Project Gutenberg's Theorie der Abelschen Functionen, by Friedrich Schottky

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Theorie der Abelschen Functionen

Author: Friedrich Schottky

Release Date: August 2, 2010 [EBook #33317]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABELSCHEN FUNCTIONEN ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}

\clearpage


%%%% Credits %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Quikquak, Joshua Hutchinson, and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This
file was produced from images from the Cornell University
Library: Historical Mathematics Monographs collection.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\begin{minipage}{0.85\textwidth}
\small
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Anmerkungen zur Transkription}{Anmerkungen zur Transkription}
\subsection*{\centering\normalfont\scshape%
\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}%

\raggedright
  Alle Fehler, die unter "`Berichtigung"' aufgeführt sind, wurden
  korrigiert. Das Original der Seite ist als Kommentar am Ende der
  .tex-Datei angehängt.
  \bigskip

  Auch viele weitere Fehler, größtenteils Druckfehler (z.~B.\ fehlende
  Variablen) wurden korrigiert. Hinweise dazu finden sich an der
  jeweiligen Stelle als Kommentar in der .tex-Datei.
  \bigskip

  Änderungen der Formatierung wurden stillschweigend vorgenommen.
  \bigskip

  Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell
  University Library: Historical Mathematics Monographs Collection
  zur Verfügung gestellt.
  \bigskip

  \TransNoteAdd
\end{minipage}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%-----File: 001.png-----------------------------------------
\frontmatter
\pagenumbering{roman}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\LARGE \textbf{ABRISS EINER THEORIE}}
\vfill

DER
\vfill

{\Huge \textbf{ABELSCHEN FUNCTIONEN}}
\vfill

{\LARGE VON DREI VARIABELN}
\vfill

VON
\vfill

{\LARGE \textbf{\textsc{Dr.\ FRIEDRICH SCHOTTKY,}}}
\bigskip

{\scriptsize PRIVATDOCENT AN DER UNIVERSITÄT ZU BRESLAU.}
\vfill

\scalebox{0.75}{\includegraphics{images/001}}
\vfill

{\large LEIPZIG,}
\bigskip\bigskip

{\large DRUCK UND VERLAG VON B.~G.\ TEUBNER.}
\bigskip\bigskip

{\large 1880.}
\end{center}

%-----File: 002.png-----------------------------------------
\iffalse[** TN: Deleted duplicate title page]
\clearpage
\thispagestyle{empty}
\null

%-----File: 003.png-----------------------------------------
\clearpage
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\LARGE \textbf{ABRISS EINER THEORIE}}
\vfill

DER
\vfill

{\Huge \textbf{ABELSCHEN FUNCTIONEN}}
\vfill

{\LARGE VON DREI VARIABELN}
\vfill

VON
\vfill

{\LARGE \textbf{\textsc{Dr.\ FRIEDRICH SCHOTTKY,}}}
\bigskip

{\scriptsize PRIVATDOCENT AN DER UNIVERSITÄT ZU BRESLAU.}\\
\vfill

\scalebox{0.75}{\includegraphics{images/001}}
\vfill

{\large LEIPZIG,}
\bigskip\bigskip

{\large DRUCK UND VERLAG VON B.~G.\ TEUBNER.}
\bigskip\bigskip

{\large 1880.}
\end{center}
%-----File: 004.png-----------------------------------------
\clearpage
\null
\thispagestyle{empty}
\fi
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\mainmatter
\pagestyle{fancy}


\SetRunningHeads{Abriss einer Theorie der Abel'schen Functionen dreier Variabeln.}
\Chapter{Abriss einer Theorie der \texorpdfstring{\so{Abel}}{Abel}'schen Functionen dreier Variabeln.}

In der vorliegenden Arbeit ist der Versuch gemacht, aus den
Sätzen, welche über die allgemeinen Theta-Functionen beliebig vieler
Variabeln gelten, und unabhängig von der Theorie der algebraischen
Integrale, zu einer Theorie der Abel'schen Functionen dreier Variabeln
zu gelangen. Die Lösung dieser Aufgabe ist von Herrn \so{Weber} in
der Abhandlung: "`Theorie der Abel'schen Functionen vom Geschlecht~3,
Berlin 1876"' begonnen worden, und ich würde ausgehen können
von dem auf S.~37 der angeführten Schrift aufgestellten Additionstheorem.
Indessen sei es gestattet, die Grundeigenschaften der Theta-Functionen,
auf denen dasselbe beruht, hier noch einmal darzustellen,
und zwar mit Anwendung der Methoden und Bezeichnungen von Herrn
\so{Weierstrass}, der mich zu dieser Arbeit angeregt hat. Der Inhalt
der drei ersten Paragraphen rührt von Herrn \so{Weierstrass} her.


\Chapter[Erster Theil.]{Erster Theil.}

\Section{§~1.}


Die allgemeinste Theta-Function von $\rho$ Veränderlichen $(u_1,\, u_2\cdots u_{\rho})$
ist definirt durch eine Reihe von der Form:

\[
\sum_{(n_1,\, n_2\dcdot n_{\rho})}
[e^{\overline{G}(u_1\dcdot u_\rho;\, n_1\dcdot n_{\rho})}],
\]
wo $\overline{G}(u_1\cdots u_{\rho};\, n_1\cdots n_\rho)$ eine ganze Function
zweiten Grades der $2\rho$ Grössen
$(u_1\cdots u_{\rho}$, $n_1\cdots n_{\rho})$
bedeutet, und für $(n_1\cdots n_{\rho})$ alle Systeme ganzer Zahlen zu setzen sind.
Diese Function $\overline{G}$ lässt sich auf die Form bringen\footnote[1]
   {Diese Umformung ist nur dann unmöglich, wenn die Determinante der
   ${\rho}^2$ Grössen $\frac{\partial^2\overline{G}}
   {\partial u_{\alpha} \partial n_{\beta}}
   (\alpha,\beta = 1,\, 2\cdots\rho)$ verschwindet; welchen Fall
   wir ausschliessen.}:
\begin{align*}
& \overline{G}(u_1\cdots u_\rho;\, n_1 \cdots n_\rho)\\
= G(u_1\cdots u_\rho;\, n_1 + & \nu_1 \cdots n_\rho + \nu_\rho)
+ 2\pi i \sum^{\rho}_{\alpha=1}[\mu_{\alpha}(n_{\alpha} + v_{\alpha})] + C,
\end{align*}
%-----File: 006.png-----------------------------------------
wo $G(u_1\cdots u_\rho,\, n_1+\nu_1\cdots n_\rho+\nu_\rho)$
eine homogene Function zweiten Grades
von $u_1\cdots u_\rho$, $n_1+\nu_1 \cdots n_\rho+\nu_\rho$ ist,
und $\mu_1\cdots \mu_\rho$, $\nu_1\cdots \nu_\rho$,
$C$, $2\rho+1$ Constanten bedeuten.\\%**
Die $\dfrac{2\rho(2\rho+1)}{2}$
Coefficienten der homogenen
Function $G$ betrachten wir als unveränderliche Grössen,
$\mu_1\cdots \mu_\rho$, $\nu_1\cdots \nu_\rho$ dagegen als veränderliche
Parameter, und bezeichnen
die Summe
\[
\tag{1}
 \sum[e^{G(u_1\cdots;\, n_1+\nu_1\cdots)
  + 2\pi i\sum\mu_\alpha (n_\alpha + \nu_\alpha)}]
 \text{ durch }
 \Theta (u_1\cdots u_\rho;\, \mu_1,\nu_1\cdots \mu_\rho,\nu_\rho),
\]
oder, abgekürzt, durch
\[
\Theta (u_1\cdots u_\rho;\, \mu,\,\nu).
\]

Dies ist dann, bis auf einen constanten Factor, welcher noch hinzutreten kann,
die allgemeinste $\Theta$-Function. Die nothwendige und hinreichende Bedingung
für die Convergenz der Reihe ist, dass der
reelle Theil von $G(0\cdots 0,\, \nu_1\cdots \nu_\rho)$ für alle reellen
Werthe von $\nu_1\cdots \nu_\rho$ einen negativen Werth habe.

Zwei verschiedene Theta-Functionen lassen sich nun auf folgende
Weise zu einander in Beziehung setzen. Es seien
\[
w_1',\, w_2'\cdots w_\rho';\, \nu_1',\, \nu_2'\cdots \nu_\rho'
\]
$2\rho$ neue unabhängige Grössen; alsdann lässt sich, wenn wir die
linearen Ausdrücke
\[
  \begin{aligned}
  &\frac{\partial}{\partial w_\alpha'}
   G(w_1'\cdots \nu_1'\cdots ) \text{ mit }
   G(w_1'\cdots \nu_1'\cdots )_\alpha, \\
  &\frac{\partial}{\partial \nu_\alpha'}
   G(w_1'\cdots \nu_1'\cdots ) \text{ mit }
   G(w_1'\cdots \nu_1'\cdots )_{\rho+\alpha},
  \end{aligned}
  \quad (\alpha=1,\, 2\cdots \rho)
\]
bezeichnen, $G(u_1+w_1'\cdots n_1+\nu_1+\nu_1'\cdots )$ in dieser Weise entwickeln:
\begin{multline*}
  G(u_1+w_1'\cdots n_1+\nu_1+\nu_1'\cdots ) = G(w_1'\cdots \nu_1'\cdots )   \\
  + \sum_{\alpha=1}^\rho \left[ u_\alpha G(w_1'\dcdot \nu_1'\dcdot )_\alpha \right.
  + \left. (n_\alpha + \nu_\alpha) G(w_1'\dcdot \nu_1'\dcdot )_{\rho + \alpha} \right]
  + G(u_1\dcdot n_1+\nu_1\dcdot);
\end{multline*}
oder, da
\[
  G(w_1'\dcdot \nu_1'\dcdot )
  = \tfrac{1}{2}
    \sum_{\alpha=1}^\rho
     [ w'_\alpha G(w_1'\dcdot \nu_1'\dcdot )_\alpha
     + \nu_\alpha' G(w_1'\dcdot \nu_1'\dcdot )_{\rho + \alpha} ]
\]
ist:
\begin{multline*}
  G(u_1 + w_1'\dcdot n_1 + \nu_1 + \nu_1'\dcdot ) \\
 = \sum_{\alpha=1}^\rho
     \left[ \left( u_\alpha + \tfrac{1}{2}w_\alpha' \right)
            G(w_1'\dcdot \nu_1'\dcdot )_\alpha
          + (n_\alpha + \nu_\alpha + \tfrac{1}{2}\nu_\alpha')
            G(w_1'\dcdot \nu_1'\dcdot )_{\rho+\alpha}
     \right]   \\
   + G(u_1\dcdot n_1 + \nu_1\dcdot ).
\end{multline*}
Daraus folgt, wenn wir $\nu_\alpha'$ mit $-\nu_\alpha'$ vertauschen,
und dann $n_\alpha + \nu_\alpha'$ für $n_\alpha$ setzen:
%-----File: 007.png-----------------------------------------
\begin{align*}
  &G(u_1 + w_1' \dcdot n_1 + \nu_1 \dcdot)
 = G(u_1 \dcdot n_1 + \nu_1 + \nu_1' \dcdot)   \\
 + \sum_{\alpha=1}^{\rho} [
   &(u_{\alpha} + \tfrac{1}{2}w_{\alpha}')
  G(w_1' \dcdot - \nu_1' \dcdot)_{\alpha}
 + (n_{\alpha} + \nu_{\alpha} + \tfrac{1}{2}\nu_{\alpha}')
  G(w_1' \dcdot - \nu_1' \dcdot)_{\rho+\alpha} ].
\end{align*}


Wir setzen nun
\[
\tag{2}
 G(w_1' \dcdot - \nu_1' \dcdot)_{\rho+\alpha}
     = 2\pi i \mu_{\alpha}', \quad
 G(w_1' \dcdot - \nu_1' \dcdot)_{\alpha}
     = 2\overline{\eta}_{\alpha}',
\]
und $2\overline{\omega}_{\alpha}'$ für $w_{\alpha}'$\@.
Alsdann ergiebt sich:
\begin{align*}
  G(u_1 + 2\overline{\omega}_1' \dcdot n_1 + \nu_1 \dcdot)
 &= G(u_1 \dcdot n_1 + \nu_1 + \nu_1' \dcdot)   \\
 &+ 2 \pi i \sum_{\alpha=1}^{\rho}
    \left[ \mu_{\alpha}'(n_{\alpha}+ \nu_{\alpha}
                                        + \nu_{\alpha}')\right]\\
 &+ \sum_{\alpha=1}^{\rho} \left[
    2\overline{\eta}_{\alpha}'
            ( u_{\alpha} + \overline{\omega}_{\alpha}' )
          - \pi i \mu_{\alpha}' \nu_{\alpha}' \right].
\end{align*}
Daher:
\begin{align*}
  G(u_1 + 2\overline{\omega}_1' \dcdot n_1 + \nu_1 \dcdot)
      &+ 2 \pi i \sum_{\alpha=1}^{\rho}
           \left[ \mu_{\alpha}(n_{\alpha}+ \nu_{\alpha}) \right]   \\
 = G(u_1 \dcdot n_1 + \nu_1 + \nu_1' \dcdot)
  &+ 2 \pi i \sum_{\alpha=1}^{\rho}
     \left[ (\mu_{\alpha} + \mu_{\alpha}')
            (n_{\alpha}+ \nu_{\alpha}+ \nu_{\alpha}' )\right] \\
  - 2 \pi i \sum_{\alpha=1}^{\rho} \mu_{\alpha} \nu_{\alpha}'
  &+ \sum_{\alpha=1}^{\rho} \left[
 2\overline{\eta}_{\alpha}' (u_{\alpha} + \overline{\omega}_{\alpha}')
              - \pi i \mu_{\alpha}' \nu_{\alpha}' \right].
\end{align*}
Aus dieser Umformung des Exponenten in dem Reihen-Ausdruck der
Function $\Theta (u_1 + 2\overline{\omega}_1' \dcdot; \mu, \nu)$ folgt:
\begin{gather*}
\tag{3}
  e^{- \sum\limits_{\alpha=1}^{\rho} \left[ 2\overline{\eta}_{\alpha}'
    (u_{\alpha} + \overline{\omega}_{\alpha}')
                        - \pi i \mu_{\alpha}' \nu_{\alpha}' \right]}
 \, \Theta (u_1 + 2 \overline{\omega}_1' \dcdot; \mu, \nu)   \\
   = e^{-2 \pi i \sum \mu_{\alpha} \nu_{\alpha}'}
 \, \Theta (u_1 \dcdot;\, \mu + \overline{\mu}',\, \nu + \nu').
%** Added missing $\nu'$: $\pi i \mu_{\alpha}'\  _{\alpha}'
%** \rightarrow            \pi i \mu_{\alpha}'\nu_{\alpha}'$}
\end{gather*}
Wir fassen jetzt $\mu_1' \dcdot \mu_{\rho}'$,
$\nu_1' \dcdot \nu_{\rho}'$ als unabhängige Grössen auf.
Dann ergiebt sich aus dem Gleichungssystem (2), dass die Grössen
$ 2\overline{\omega}_{\alpha}'$, $2\overline{\eta}_{\alpha}'$
lineare homogene Functionen derselben sind:
\[
\tag{4}
\begin{aligned}
 2\overline{\omega}'_\alpha = \sum_{\beta=1}^{\rho}
  [ 2\mu_{\beta}' \omega_{\alpha \beta}
       &+ 2\nu_{\beta}' \omega_{\alpha \beta}' ], \quad
 2\overline{\eta}'_\alpha = \sum_{\beta=1}^{\rho}
  \left[ 2\mu_{\beta}' \eta_{\alpha \beta}
       + 2\nu_{\beta}' \eta_{\alpha \beta}' \right]   \\
  &(\alpha = 1,\, 2 \dcdot \rho).
\end{aligned}
\]
Den Ausdruck
\[
 \sum_{\alpha=1}^{\rho} \left[
    2\overline{\eta}_{\alpha}'
            ( u_{\alpha} + \overline{\omega}_{\alpha}' )
          - \pi i \mu_{\alpha}' \nu_{\alpha}' \right],
\]
welcher eine lineare Function der $\rho$ Variabeln $u$, dagegen eine
quadratische Function der $2\rho$ Grössen $\mu',\, \nu'$ ist, bezeichnen wir durch
$\eta(u_1 \cdots u_{\rho};\, \mu',\, \nu')$; wir erhalten dann:
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\[
\tag{3$'$}
 e^{-\eta(u_1\dcdot;\, \mu',\, \nu')}
 \, \Theta (u_1+2{\overline{\omega}'_1}\dcdot;\, \mu,\, \nu)
= e^{-2\pi i\sum\mu_\alpha \nu'_\alpha}
  \, \Theta (u_1\dcdot;\, \mu + \mu',\,\nu + \nu').
\]

Die $4\rho^2$ Grössen $2\omega_{\alpha\beta}$, $2\omega'_{\alpha\beta}$,
$2\eta_{\alpha\beta}$, $2\eta'_{\alpha\beta}$, welche hier als Coefficienten
eines Systems linearer Functionen definirt sind, sind ganzzahlige
rationale Functionen der\\%**
$\dfrac{2\rho(2\rho+1)}{2}$ Coefficienten von $G$\@. Es
müssen daher zwischen ihnen $\dfrac{2\rho(2\rho-1)}{2}$ Relationen bestehen. Diese
erhalten wir auf folgende Weise.

Es seien $\mu_1\dcdot \mu_\rho$, $\nu_1\cdots \nu_\rho$ und
$\mu_1'\dcdot \mu_\rho'$, $\nu_1'\cdots \nu_\rho'$ zwei Systeme
von je $2\rho$ unabhängigen Grössen, und
\begin{align*}
2\overline{\omega}_\alpha
&= \sum_{\beta=1}^\rho [ 2\mu_\beta \omega_{\alpha\beta}
  + 2\nu_\beta \omega_{\alpha\beta}'],
& 2\overline{\eta}_\alpha &= \sum_{\beta=1}^\rho [ 2\mu_\beta \eta_{\alpha\beta}
  + 2\nu_\beta \eta_{\alpha\beta}'], \\
2\overline{\omega}_\alpha' &= \sum_{\beta=1}^\rho [ 2\mu_\beta'\omega_{\alpha\beta}
  + 2\nu_\beta'\omega_{\alpha\beta}'],
& 2\overline{\eta}_\alpha' &= \sum_{\beta=1}^\rho [ 2\mu_\beta'\eta_{\alpha\beta}
  + 2\nu_\beta'\eta_{\alpha\beta}'].
\end{align*}
Alsdann folgt, da die beiden Gleichungssysteme (2) und (4) gleichzeitig bestehen:
\begin{align*}
G(2\overline{\omega}_1\dcdot  - \nu_1\dcdot )_{\rho+\alpha}
 &= 2\pi i\mu_\alpha, &
G(2\overline{\omega}_1\dcdot  - \nu_1\dcdot )_\alpha
 &= 2\overline{\eta}_\alpha,\\
G(2\overline{\omega}_1'\dcdot  - \nu_1'\dcdot )_{\rho+\alpha}
 &= 2\pi i\mu_\alpha', &
%** added missing overline: $\omega'_1 \rightarrow \overline{\omega}'_1$.
G(2\overline{\omega}_1'\dcdot  - \nu_1'\dcdot )_\alpha
 &= 2\eta_\alpha'.
\end{align*}
Nun ist, nach einem bekannten Satz über die quadratischen Formen:
\[ \begin{split}
  \sum_{\alpha=1}^\rho
    [ 2\overline{\omega}_\alpha'
      G(2\overline{\omega}_1\dcdot -\nu_1\dcdot )_\alpha
    - \nu_\alpha'
      G(2\overline{\omega}_1\dcdot -\nu_1\dcdot )_{\rho+\alpha} ] \\
= \sum_{\alpha=1}^\rho
    [ 2\overline{\omega}_\alpha
      G(2\overline{\omega}_1'\dcdot - \nu_1'\dcdot )_\alpha
    - \nu_\alpha
      G(2\overline{\omega}_1'\dcdot - \nu_1'\dcdot )_{\rho+\alpha}].
\end{split} \]
Folglich:
\[
\tag{5}
 \sum_{\alpha=1}^\rho
    [ 2\overline{\omega}_\alpha' \cdot 2\overline{\eta}_\alpha
    - 2\overline{\omega}_\alpha \cdot 2\overline{\eta}_\alpha' ]
 = 2\pi i\sum_{\alpha=1}^\rho
    [ \mu_\alpha \nu_\alpha' - \mu_\alpha' \nu_\alpha].
\]
Indem wir diese Gleichung specialisiren, erhalten wir:
\begin{align*}
 \sum_{\alpha=1}^{\rho}
   [ 2\omega_{\alpha\beta} \cdot 2\eta_{\alpha\gamma}
   - 2\eta_{\alpha\beta} \cdot 2\omega_{\alpha\gamma} ] &= 0  \\
\tag{6}
  \sum_{\alpha=1}^\rho
    [ 2\omega_{\alpha\beta}' \cdot 2\eta_{\alpha\gamma}'
    - 2\eta_{\alpha\beta}' \cdot 2\omega_{\alpha\gamma}' ] &= 0  \\
  \sum_{\alpha=1}^\rho
    [ 2\omega_{\alpha\beta}' \cdot 2\eta_{\alpha\gamma}
    - 2\eta_{\alpha\beta}' \cdot 2\omega_{\alpha\gamma} ] &=
  \begin{cases}
  2\pi i & \text{wenn $\beta = \gamma$,} \\
  \phantom{00}0 & \text {wenn $\beta \lessgtr \gamma$\@.}
  \end{cases}
\end{align*}

Es sei jetzt $(p_1\cdots p_\rho,\,q_1\cdots q_\rho)$ ein beliebiges
System von $2\rho$ ganzen Zahlen, und
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\begin{gather*}
  2\widetilde{\omega}_\alpha= \sum_{\beta=1}^\rho
  [2p_\beta\omega_{\alpha\beta} + 2q_\beta\omega_{\alpha\beta}], \quad
  2\widetilde{\eta}_\alpha= \sum_{\beta=1}^\rho
  [2p_\beta\eta_{\alpha\beta} + 2q_\alpha\eta_{\alpha\beta}']\\
%** Added missing limits: $\sum \rightarrow \sum_{\beta=1}^\rho$}
  \hfill (\alpha=1,\,2\dcdot\rho).
\end{gather*}
Dann folgt aus der Formel~(3$'$):
\[
  e^{-\eta(u_1\dcdot;\, p,\, q)}
  \, \Theta (u_1+2\widetilde{\omega}_1\dcdot;\, \mu,\, \nu)=
  e^{-2\pi i\sum(\mu_\alpha q_\alpha)}
  \, \Theta (u_1\dcdot;\, \mu+p,\, \nu+q).
\]
Es ist aber, wie unmittelbar aus der analytischen Darstellung der
Theta-Function hervorgeht, für ganze Zahlen $p$, $q$:
\[
\tag{7}
  \, \Theta (u_1\dcdot;\, \mu+p,\, \nu+q)=
  e^{2\pi i\sum p_\alpha\nu_\alpha}
  \, \Theta (u_1\dcdot;\, \mu,\, \nu).
\]
Daher erhalten wir:
\[
\tag{8}
  e^{-\eta(u_1\dcdot;\, p,\, q)}
  \, \Theta (u_1+2\widetilde{\omega}_1\dcdot;\, \mu,\, \nu)=
  e^{2\pi i\sum(p_\alpha\nu_\alpha - q_\alpha\mu_\alpha)}
  \, \Theta (u_1\dcdot;\, \mu,\, \nu).
\]

Dies ist die charakteristische Gleichung der Function $\Theta (u_1\dcdot
u_\rho;\, \mu,\,\nu)$\@.
Wissen wir von einer Function $F(u_1\dcdot u_\rho)$, dass sie für alle endlichen
Werthsysteme der Variabeln den Charakter einer ganzen rationalen
Function besitzt, und für willkürliche ganze Zahlen $p$, $q$ der
Gleichung~(8) genügt, so ist
\[
  F(u_1\dcdot u_\rho)=\text{Const.}\,
  \, \Theta (u_1\dcdot u_\rho;\, \mu,\,\nu).
\]
Vorausgesetzt ist hierbei, dass die Grössen $2\omega_{\alpha\beta}$,
$2\omega_{\alpha\beta}'$, $2\eta_{\alpha\beta}$, $2\eta_{\alpha\beta}'$
die Gleichungen~(6) befriedigen. Dies ist ein bekannter Satz.


\Section{§~2.}

Bilden wir jetzt ein Product von $r$ Theta-Functionen:
\[
  \, \Theta (u_1\dcdot;\, \mu^{(1)},\, \nu^{(1)})
  \, \Theta (u_1\dcdot;\, \mu^{(2)},\, \nu^{(2)})\cdots
  \, \Theta (u_1\dcdot;\, \mu^{(r)},\, \nu^{(r)})= \Pi(u_1\dcdot u_\rho),
\]
so folgt aus (8), dass dieser Ausdruck der Bedingung
\[
\tag{9}
  e^{-r\eta(u_1\dcdot u_\rho;\, p,\, q)}
  \Pi(u_1+2\widetilde{\omega}_1\dcdot)=
  e^{2\pi i\sum(p_\alpha\nu_\alpha-q_\alpha\mu_\alpha)}
  \Pi(u_1\dcdot u_\rho)
\]
genügt, wo
\[
\nu_\alpha
= \nu_\alpha^{(1)} + \nu_\alpha^{(2)}+ \dcdot + \nu_\alpha^{(r)}, \quad
\mu_\alpha
= \mu_\alpha^{(1)} + \mu_\alpha^{(2)}+ \dcdot + \mu_\alpha^{(r)}
\]
ist. Dieselbe Gleichung gilt offenbar für das Product
\[
  \, \Theta (u_1+v_1^{(1)}\dcdot;\, \mu^{(1)},\, \nu^{(1)})\,
  \, \Theta (u_1+v_1^{(2)}\dcdot;\, \mu^{(2)},\, \nu^{(2)})\cdots\,
  \, \Theta (u_1+v_1^{(r)}\dcdot;\, \mu^{(r)},\, \nu^{(r)}),
\]
wo $v_1^{(1)}\dcdot v_\rho^{(1)}\cdots v_1^{(r)}\dcdot v_\rho^{(r)}$
$r\rho$ Constanten sind, die nur den $\rho$ Bedingungen:
\[
  v_\alpha^{(1)}+v_\alpha^{(2)}+\cdots+v_\alpha^{(r)}=0 \quad
  (\alpha=1,\, 2\dcdot\rho)
\]
zu genügen brauchen. Jede Function, die für alle endlichen Werthe
von $u_1\dcdot u_\rho$ den Charakter einer ganzen rationalen Function besitzt,
und die in der Gleichung~(9) ausgesprochene Bedingung erfüllt, nennen
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wir eine $\Theta $-Function $r^{\text{ter}}$ Ordnung mit der Charakteristik
$(\mu,\,\nu)$\@. Für
diese gilt der folgende Fundamentalsatz:

I. \quad \emph{Alle $\Theta $-Functionen $r^{ter}$ Ordnung, welche dieselbe
  Charakteristik
  haben, lassen sich linear und homogen durch $r^\rho$ unter ihnen
  ausdrücken.}

Es sei $\Pi(u_1\dcdot u_\rho)$ irgend eine solche Function, die der Gleichung
(9) genügt. Wir können aus dieser ein ganzes System von Ausdrücken
bilden, deren jeder dieselbe Gleichung erfüllt. Wir bezeichnen
zu diesem Zweck mit $\mu_1'\dcdot\mu_\rho',\, \nu_1'\dcdot\nu_\rho'$ ein
System von $2\rho$ willkürlichen
Grössen, und setzen:
\[
\tag{10}
\begin{aligned}
  2\overline{\omega}'_\alpha= \sum_{\beta=1}^\rho
  [2\mu'_\beta\omega_{\alpha\beta}+
  2\nu_\beta'\omega_{\alpha\beta}'], \quad 2\overline{\eta}_\alpha'=
  \sum_{\beta=1}^\rho [2\mu_\beta'\eta_{\alpha\beta}+
  2\nu_\beta'\eta_{\alpha\beta}'],\\
  e^{-r\eta(u_1\dcdot;\, \mu',\, \nu')} \Pi(u_1+2\overline{\omega}_1'\cdots)=
  \Pi(u_1\dcdot;\, \mu',\, \nu').\\
\end{aligned}
\]

Wenn für $\mu',\, \nu'$ ganze Zahlen $p,\, q$ gesetzt werden, so ist der
Gleichung~(9) zufolge:
\[
\tag{11}
  \Pi(u_1\dcdot;\, p,\, q)= e^{2\pi i\sum(p_\alpha\nu_\alpha
  - q_\alpha\mu_\alpha)} \Pi(u_1\cdots).
%** Added missing subscript: $\nu \rightarrow \nu_{\alpha}$
\]
Sind jetzt $\mu_1''\dcdot\mu_\rho'',\, \nu_1''\dcdot\nu_\rho''$ $2\rho$
neue Variable und $2\overline{\omega}_\alpha'',\, 2\overline{\eta}_\alpha''$
die entsprechenden linearen Functionen derselben, so folgt aus
Gleichung
(10):
\begin{align*}
  \Pi(u_1+2\overline{\omega}_1''\dcdot;\, \mu',\, \nu')&=
  e^{-r\eta(u_1+2\overline{\omega}_1''\dcdot;\, \mu',\, \nu')}
    \Pi(u_1+2\overline{\omega}_1'+2\overline{\omega}_1''\cdots),\\
  \Pi(u_1+2\overline{\omega}_1'+2\overline{\omega}_1''\cdots)&=
  e^{r\eta(u_1\dcdot;\, \mu'+\mu'',\, \nu'+\nu'')}
    \Pi(u_1\dcdot;\, \mu'+\mu'',\, \nu'+\nu'').
\end{align*}
Nun ist
\begin{align*}
    \eta(u_1\dcdot;\, \mu'+\mu'',\, \nu'+\nu'')&=
  \sum[(2\overline{\eta}_\alpha'+2\overline{\eta}_\alpha'')
  (u_\alpha+\overline{\omega}_\alpha'+\overline{\omega}_\alpha'')\\
  & \qquad \qquad
  -\pi i(\mu_\alpha'+\mu_\alpha'')(\nu_\alpha'+\nu_\alpha'')],\\
  \eta(u_1+2\overline{\omega}_1''\dcdot;\, \mu',\, \nu')&=
  \sum[2\overline{\eta}_\alpha'(u_\alpha+2\overline{\omega}_\alpha''+
  \overline{\omega}_\alpha')- \pi i\mu_\alpha'\nu_\alpha'],\\
  \eta(u_1\dcdot;\, \mu'',\, \nu'')&=
  \sum[2\overline{\eta}_\alpha''(u_\alpha+\overline{\omega}_\alpha'')- \pi
  i\mu_\alpha''\nu_\alpha''].
\end{align*}
Daraus folgt:
\begin{gather*}
  \eta(u_1\dcdot;\, \mu'+\mu'',\, \nu'+\nu'')-
  \eta(u_1+2\overline{\omega}_1''\dcdot;\, \mu',\, \nu')-
  \eta(u_1\dcdot;\, \mu'',\, \nu'')\\
  =\sum[2\overline{\eta}_\alpha''\overline{\omega}_\alpha'-
  2\overline{\eta}_\alpha'\overline{\omega}_\alpha''- \pi
  i(\mu_\alpha'\nu_\alpha''+\mu_\alpha''\nu_\alpha')].
\end{gather*}
Es ist aber nach Formel~(5)
\[
  \sum[2\overline{\eta}_\alpha''\overline{\omega}_\alpha'-
  2\overline{\eta}_\alpha'\overline{\omega}_\alpha'']= \pi
  i\sum[\mu_\alpha''\nu_\alpha'-\mu_\alpha'\nu_\alpha''].
\]
Folglich:
\begin{gather*}
  \eta(u_1\dcdot;\, \mu'+\mu'',\, \nu'+\nu'')-
  \eta(u_1+2\overline{\omega}_1''\dcdot;\, \mu',\, \nu')\\
  =\eta(u_1\dcdot;\, \mu'',\, \nu'')- 2\pi i\sum(\mu_\alpha'\nu_\alpha'').
\end{gather*}
%-----File: 011.png-----------------------------------------
Demnach ergiebt sich:
\[
\tag{12}
\begin{aligned}
 &\phantom{={}}\ e^{-r\eta(u_1 \dcdot;\, \mu'',\, \nu'')}
    \Pi(u_1 + 2\overline{\omega}_1'' \dcdot;\, \mu',\, \nu')   \\
 &= e^{-2\pi ir\sum({\mu'_{\alpha}} {\nu''_{\alpha}})}
    \Pi(u_1 \dcdot;\, \mu'+\mu'',\, \nu'+\nu'').
\end{aligned}
\]

Setzen wir hier für $\mu'$, $\nu'$ ganze Zahlen $p$, $q$,
so ist nach Formel~(11)
\[
  \Pi(u_1 + 2\overline{\omega}_1'' \dcdot;\, p,\, q)
= e^{2\pi i\sum(p_{\alpha}\nu_{\alpha} - q_{\alpha}\mu_{\alpha})}
  \Pi(u_1 + 2\overline{\omega}_1'' \cdots).
%** Added missing subscript: $q_{\alpha}\mu
%**               \rightarrow q_{\alpha}\mu_{\alpha}$
\]
Da aber
\[
  e^{-r\eta(u_1 \dcdot;\, \mu'',\, \nu'')}
  \Pi(u_1 + 2\overline{\omega}_1'' \cdots)
  = \Pi(u_1 \dcdot;\, \mu'',\, \nu'')
\]
ist, so folgt:
\[
\tag{13}
 \Pi(u_1 \dcdot;\, \mu''+p,\, \nu''+q)
= e^{2\pi i\sum[ p_{\alpha}(\nu_{\alpha} + r\nu_{\alpha}'')
               - q_{\alpha}\mu_{\alpha} ]}
  \Pi(u_1 \dcdot;\, \mu'',\, \nu'').
\]
Aus diesen beiden Gleichungen~(12) und (13) entspringt nun,
indem wir für $\mu''$, $\nu''$ ganze Zahlen $p$, $q$ setzen,
die charakteristische Gleichung für die Function
$\Pi(u_1 \dcdot;\, \mu',\, \nu')$:
\[
\tag{14}
\begin{aligned}
&\phantom{=xyz} e^{-r\eta(u_1 \dcdot;\, p,\, q)}
  \Pi(u_1 + 2\widetilde{\omega}_1 \dcdot;\, \mu',\, \nu')   \\
&= e^{2\pi i\sum[ p_{\alpha} (\nu_{\alpha} + r{\nu'_{\alpha}})
               - q_{\alpha} (\mu_{\alpha} + r{\mu'_{\alpha}}) ]}
  \Pi(u_1 \dcdot;\, \mu',\, \nu').
\end{aligned}
\]
Diese Formel lehrt zugleich, dass, wenn wir die Grössen $\mu'$, $\nu'$ als
rationale Zahlen mit dem Nenner $r$ annehmen, die Functionen
$\Pi(u_1 \dcdot;\, \mu',\, \nu')$ sämmtlich die Gleichung~(9) befriedigen. Wir setzen
nun die Grössen $\nu'$ sämmtlich gleich Null, dagegen
\[
 {\mu'_{\alpha}} = \frac{\delta_{\alpha}}{r}, \quad
 (\alpha = 1,\,2 \dcdot \rho),
\]
wo jede der Zahlen $\delta_1,\, \delta_2 \dcdot \delta_{\rho}$ einen der
Werthe $0,\, 1,\, 2 \dcdot r-1$ haben soll. Da es $r^{\rho}$ solche Systeme
giebt, erhalten wir somit $r^{\rho}$ verschiedene Functionen
$\Pi(u_1 \dcdot; \dfrac{\delta}{r},\, 0)$\@. Wir setzen ferner in der Gleichung~(12)
für $\nu''_1 \dcdot \nu''_{\rho}$ ganze Zahlen, für
$\mu''_1 \cdots \mu''_{\rho}$ irgendwelche
rationale Zahlen mit dem Nenner $r$\@. Dann erhalten wir:
\begin{gather*}
  2\overline{\omega}_{\alpha}''
= \sum \left[ 2p_{\beta} \frac{\omega_{\alpha\beta}}{r}
            + 2q_{\beta} \omega_{\alpha\beta}' \right], \quad
  2\overline{\eta}_{\alpha}''
= \frac{1}{r}\sum \left[ 2p_{\beta} \eta_{\alpha\beta}
            + 2q_{\beta} r\eta_{\alpha\beta}' \right],   \\
  e^{-r\eta(u_1 \dcdot;\, \frac{p}{r},\,  q)}
  \Pi(u_1 + 2\overline{\omega}_1'' \dcdot;\, \frac{\delta}{r},\, 0)
= \Pi(u_1 \dcdot;\, \frac{\delta + p}{r},\, q).
\end{gather*}
Setzen wir nun
\[
  \frac{\delta_{\alpha} + p_{\alpha}}{r}
= \frac{\delta'_{\alpha}}{r} + P_{\alpha},\,
  (\alpha = 1,\, 2 \dcdot \rho),
\]
wo ${\delta'_1} \dcdot {\delta'_{\rho}}$ wiederum Zahlen der Reihe
$0,\, 1 \dcdot r-1$, und $P_1 \dcdot P_{\rho}$
ganze Zahlen sind, so ist nach Formel~(13):
%-----File: 012.png-----------------------------------------
\[
  \Pi(u_1\dcdot;\, \frac{\delta+p}{r},\, q)
= e^{2\pi i\sum
     \left[ \frac{\delta_\alpha+p_\alpha - \delta_\alpha'}{r}
             \nu_\alpha - q_\alpha\mu_\alpha  \right]}
  \Pi(u_1\dcdot;\, \frac{\delta'}{r},\, 0).
\]
Folglich:
\[
\tag{15}
\begin{split}
&\quad e^{-r\eta(u_1\dcdot;\, \frac{p}{r},\, q)}
  e^{-2\pi i\sum\frac{\delta_\alpha\nu_\alpha}{r}}
  \Pi(u_1+2\overline{\omega}_1''\dcdot;\, \frac{\delta}{r},\, 0)\\
&= e^{2\pi i\sum
      \left( \frac{p_\alpha\nu_\alpha}{r}-q_\alpha\mu_\alpha \right)}
   e^{-2\pi i\sum\frac{\delta_\alpha'\nu_\alpha}{r}}
   \Pi(u_1\dcdot;\, \frac{\delta'}{r},\, 0).
\end{split}
\]
Wenn wir in dieser Formel für $\delta_1,\delta_2\dcdot\delta_\rho$ alle
$r^\rho$ verschiedenen Zahlsysteme
setzen, so durchlaufen $\delta_1'\dcdot\delta_\rho'$ dieselben Werthe. Setzen
wir also
\[
  \sum_{(\delta)}
  \left[ e^{-2\pi i\sum \frac{\delta_\alpha\nu_\alpha}{r}}
         \Pi(u_1\dcdot;\, \frac{\delta}{r},\, 0)\right]
= S(u_1\dcdot u_\rho),
\]
(die Summe erstreckt \DPtypo{}{sich} über alle $r^\rho$ Systeme der Zahlen $\delta$), so ist
\[
\tag{16}
  e^{-r\eta(u_1\dcdot;\, \frac{p}{r},\, q)}
  S(u_1+2\overline{\omega}_1''\cdots)
= e^{2\pi i\sum
     \left( \frac{p_\alpha\nu_\alpha}{r} - q_\alpha\mu_\alpha
     \right)}
  S(u_1\cdots).
\]
Wir setzen jetzt
\[
  2\widetilde{\omega}_\alpha
= \sum[2p_\beta\frac{\omega_{\alpha\beta}}{r}
      + q_\beta\omega_{\alpha\beta}'], \quad
  2\widetilde{\eta}_\alpha
= \sum[2p_\beta\eta_{\alpha\beta}
      + 2q_\beta r\eta_{\alpha\beta}'].
\]
Dann ist
\begin{gather*}
  2\overline{\omega}_\alpha''= 2\widetilde{\omega}_\alpha, \quad
  2\overline{\eta}_\alpha''
= \frac{1}{r} \cdot 2\widetilde{\eta}_\alpha,\\
  r\eta(u_1\dcdot;\, \frac{p}{r},\, q)
= \sum[ 2\widetilde{\eta}_\alpha(u_\alpha+\widetilde{\omega}_\alpha)
      - \pi ip_\alpha q_\alpha ].
\end{gather*}
Daraus geht hervor, dass die Formel~(15) vollständig übereinstimmt
mit der in (8) gegebenen charakteristischen Gleichung der Function
$\Theta (u_1\dcdot;\, \mu,\, \nu)$, wenn wir in derselben die Grössen
$\nu_\alpha$ ersetzen durch $\dfrac{\nu_\alpha}{r}$,
$\omega_{\alpha\beta}$ durch $\dfrac{\omega_{\alpha\beta}}{r}$, $\eta_{\alpha\beta}'$
durch $r\eta_{\alpha\beta}'$\@. Da aber die Relationen~(6) bestehen
bleiben, wenn wir die Grössen $\omega_{\alpha\beta}$,
$\omega_{\alpha\beta}'$, $\eta_{\alpha\beta}$, $\eta_{\alpha\beta}'$
ersetzen durch:
$\dfrac{\omega_{\alpha\beta}}{r}$, $\omega_{\alpha\beta}'$,
$\eta_{\alpha\beta}$, $r\eta_{\alpha\beta}'$, so ist durch die Gleichung~(15), dem zuletzt in
§~1 angeführten Satz zufolge, $S(u_1\dcdot u_\rho)$ bis auf einen constanten
Factor vollständig bestimmt, und zwar
\[
  S(u_1\dcdot u_\rho) = \text{Const. }
  \, \Theta ^r \left(u_1\dcdot u_\rho;\, \mu,\, \frac{\nu}{r} \right),
\]
wo $\Theta ^r(u_1\dcdot u_\rho;\, \mu,\, \dfrac{\nu}{r})$ diejenige Function
ist, die aus $\Theta (u_1\dcdot u_\rho;\, \mu,\, \dfrac{\nu}{r})$
durch die angegebene Vertauschung der Grössen $\omega$ und $\eta$ entsteht.
Wir erhalten also:
%-----File: 013.png-----------------------------------------
\[
\tag{17}
\sum_{(\delta)}
  \left[
    e^{-2\pi i\sum\left(\frac{\delta_\alpha \nu_\alpha}{r}\right)}
    \Pi(u_1\dcdot; \frac{\delta}{r}, 0)
  \right]
  =
  \text{Const. }
  \, \Theta ^r \left(u_1\dcdot u_\rho;\, \mu, \frac{\nu}{r} \right).
\]

Die Gleichung~(15) bleibt ungeändert, wenn wir $\nu_1\dcdot\nu_\rho$ um
beliebige ganze Zahlen vermehren. Daraus folgt, dass auch die Gleichung:
\[
\tag{18}
\sum_{(\delta)}
  \left[e^{-2\pi i \sum
  \left[\frac{\delta_\alpha(\nu_\alpha+n_\alpha)}{r}\right]}
  \Pi(u_1\dcdot;\, \frac{\delta}{r},\, 0)\right]
= (n_1\dcdot n_\rho)
  \, \Theta ^r \left(u_1\dcdot u_\rho; \mu, \frac{\nu+n}{r} \right)
\]
besteht. Hier geben wir jeder der Zahlen $n$ die Werthe
$0,\, 1 \dcdot r-1$,
und summiren über die $r^\rho$ verschiedenen Systeme. Dann ist
\[
   \sum_{(n)}
   \left[
      e^{-2\pi i\sum\frac{\delta_\alpha n_\alpha}{r}}
   \right]
\]
$=0$, wenn irgend eine der Zahlen $\delta_1 \dcdot \delta_\rho$
von $0$ verschieden ist, dagegen
$=r^\rho$, wenn alle diese Zahlen gleich $0$ sind. Daraus ergiebt sich:
\[
\tag{19}
   \Pi(u_1\dcdot u_\rho) =
   r^{-\rho} \sum_{(n)}
   \left[
      (n_1\dcdot n_\rho)\, \Theta ^r
      \left(
         u_1\dcdot u_\rho;\, \mu,\, \frac{\nu+n}{r}
      \right)
   \right].
\]
Hiermit ist der aufgestellte Satz bewiesen. Denn es ist
$\Pi(u_1\dcdot u_\rho)$
dargestellt durch $r^\rho$ bestimmte Functionen. Jede derselben ist (wie
aus (18) hervorgeht) eine Theta-Function $r^{\text{ten}}$ Grades mit der
Charakteristik $(\mu,\, \nu)$\@. Zwischen diesen $r^\rho$ Grössen besteht keine lineare
Gleichung. Denn aus der Formel~(19) lässt sich rückwärts die Gleichung~(18)
ableiten; nehmen wir also in (19)
$\Pi(u_1\dcdot u_\rho)=0$ an, so
folgt aus (18), dass die sämmtlichen Coefficienten
$(n_1\dcdot n_\rho)$ gleich $0$ sein müssen.


\Section{§~3.}

Wir machen jetzt die Voraussetzung, dass
$\Pi(u_1\dcdot u_\rho)$ eine grade
oder eine ungrade Function ist:
\[
\tag{20}
   \Pi(-u_1\dcdot -u_\rho)=
   \kappa\Pi(u_1\dcdot u_\rho); \quad
   \kappa=± 1.
\]
Geben wir in der Gleichung~(9) den Grössen
$u_1\dcdot u_\rho$; $p_1\dcdot p_\rho$; $q_1\dcdot q_\rho$
die entgegengesetzten Werthe, so erhalten wir, da
\[
   \eta(-u_1\dcdot -u_\rho;\, -p,\, -q)=
   \eta(u_1\dcdot u_\rho;\, p,\, q)
\]
ist:
\[
   \kappa e^{-r\eta(u_1\dcdot u_\rho;\, p,\, q)}
   \Pi(u_1+2\widetilde{\omega}_1 \dcdot)=
   \kappa e^{2\pi i\sum(-p_\alpha \nu_\alpha+q_\alpha\mu_\alpha)}
   \Pi(u_1\dcdot u_\rho).
%** Corrected typo: $\mu\alpha \rightarrow \mu_\alpha$
\]
Daraus folgt, dass, wenn die Voraussetzung~(20) erfüllt sein soll, der
Ausdruck
\[
   2\sum(p_\alpha\nu_\alpha-q_\alpha\mu_\alpha)
%** Original had a superscript-sum...
\]
für alle ganzzahligen Werthe der Grössen $p$, $q$ selbst eine ganze Zahl
sein muss. Es müssen deshalb
$\mu_1\dcdot\mu_\rho$, $\nu_1\dcdot\nu_\rho$
die Hälften ganzer
%-----File: 014.png-----------------------------------------
Zahlen sein. Da die Gleichung~(9) nicht geändert wird, wenn wir zu
$\mu_1 \dcdot \mu_{\rho}$, $\nu_1 \dcdot \nu_{\rho}$
 beliebige ganze Zahlen hinzufügen, so können wir annehmen,
dass jede der Grössen
$\mu_1 \dcdot \mu_{\rho}$, $\nu_1 \dcdot \nu_{\rho}$
den Werth~$0$ oder~$\tfrac{1}{2}$ hat.

Es ist nun
\[
   \Pi(u_1 \dcdot u_{\rho})
 = r^{-\rho} \sum_{(n)}
   \left[ (n_1 \dcdot n_{\rho}) \, \Theta ^r
     \left(u_1 \dcdot u_{\rho}; \mu, \frac{\nu+n}{r}\right)
   \right].
\]

Hieraus folgt, wenn wir den Variabeln $u_1 \dcdot u_{\rho}$ die entgegengesetzten
Werthe geben, da, wie aus der analytischen Darstellung dieser
Function ersichtlich ist,
\begin{gather*}
   \, \Theta (-u_1 \dcdot -u_{\rho}; -\mu, -\nu)
 = \, \Theta (u_1 \dcdot u_{\rho}; \mu, \nu),   \\
   \Pi(u_1 \dcdot u_{\rho})
 = r^{-\rho} \sum_{(n)}
   \left[ \kappa(n_1 \dcdot n_{\rho})
          \, \Theta ^r
          \left( u_1 \dcdot u_{\rho}; -\mu, \frac{-(\nu+n)}{r}
          \right)
   \right].
\end{gather*}

Wir können nun setzen:
\[
  -\mu_{\alpha} = \mu_{\alpha} + p_{\alpha}, \quad
   \frac{-\nu_{\alpha} - n_{\alpha}}{r}
 = \frac{\nu_{\alpha} + n'_{\alpha}}{r} + q_{\alpha}, \quad
  (\alpha = 1,\, 2 \dcdot \rho),
\]
wo $p_1 \dcdot p_{\rho}$, $q_1 \dcdot q_{\rho}$ ganze Zahlen, und
$(n'_1 \dcdot n'_{\rho})$ ein bestimmtes zu
$(n_1 \dcdot n_{\rho})$ conjugirtes System von Zahlen ist, deren jede einen der
Werthe $0,\, 1,\, 2 \dcdot r-1$ hat. Es ist dann nach Formel~(7):
\[
  \, \Theta ^r\left( u_1 \dcdot u_{\rho};\,
                 -\mu, \frac{-\nu - n}{r} \right)
=
  e^{2\pi i \sum p_{\alpha}\left(\frac{\nu_{\alpha} + n'_{\alpha}}{r}\right)}
  \, \Theta \left( u_1 \dcdot u_{\rho};\,
               \mu, \frac{\nu + n'}{r} \right).
\]
Daher erhalten wir:
\[
 \Pi(u_1 \dcdot u_{\rho})
 = r^{-\rho} \sum
   \left[ \kappa(n_1 \dcdot n_{\rho})
          e^{-4\pi i \sum \mu_{\alpha}
              \left(\frac{n_{\alpha}' + \nu'_{\alpha}}{r}\right)}
          \, \Theta \left( u_1 \dcdot u_{\rho};
                        \mu, \frac{\nu + n'}{r}
                 \right)
   \right].
\]
Diese Formel muss mit der ursprünglichen identisch sein; daraus ergiebt sich:
\[
\tag{21}
  ({n'_1} \dcdot {n'_{\rho}})
= \kappa(n_1 \dcdot n_{\rho})
  e^{-4\pi i \sum
      \frac{\mu_{\alpha}(n'_{\alpha} + \nu'_{\alpha} )}{r}}.
%** Added missing prime $\nu_{\alpha} \rightarrow \nu_{\alpha}'$
\]
Die Systeme $(n)$ und $(n')$ sind verbunden durch die $\rho$ Congruenzen:
\[
 n_{\alpha} + n'_{\alpha} + 2\nu_{\alpha} \equiv 0 \bmod r.
\]
Es sind nun zwei Fälle zu unterscheiden. Entweder das System $(n')$
fällt zusammen mit dem System $(n)$\@. Diese sich selbst conjugirtes
Systeme bezeichnen wir durch $(a)$\@. Für dieselben ist
\[
 2a_{\alpha} + 2\nu_{\alpha} \equiv 0 \bmod r.
\]
Oder es fällt $(n)$ nicht mit $(n')$ zusammen. Diese paarweise vorkommenden
Systeme bezeichnen wir durch $(b)$ und $(b')$; es ist dann:
%-----File: 015.png-----------------------------------------
\[
\tag{22}
\begin{aligned}
   &r^{\rho} \Pi(u_1 \dcdot u_{\rho})
=\sum_{(a)}\left[ (a_1 \dcdot a_{\rho})
    \, \Theta ^r \left(u_1 \dcdot u_{\rho}; \mu, \frac{\nu+a}{r}\right)
             \right]   \\
+\sum_{(b)} & \left[  (b_1 \dcdot b_{\rho}) \left\{
    \, \Theta ^r \left(u_1 \dcdot u_{\rho}; \mu, \frac{\nu+b}{r}\right)
+\kappa\, \Theta ^r\left(u_1 \dcdot u_{\rho};
    -\mu, \frac{-\nu-b}{r} \right) \right\} \right].
\end{aligned}
\]
Bezeichnen wir mit $\alpha$ die Anzahl der Systeme $(a)$, so ist die Anzahl
der Glieder in der zweiten Summe $= \dfrac{r^{\rho} - \alpha}{2}
$\@. Die Coefficienten $(a_1 \dcdot a_{\rho})$
sind, wie aus (21) hervorgeht, nur dann von $0$ verschieden, wenn
\[
  e^{4 \pi i \sum
\frac{\mu_{\alpha}\left( a_{\alpha} + \nu_{\alpha} \right)}{r}}
 = \kappa
\]
ist. Es sind jetzt verschiedene Fälle zu unterscheiden:

I. \quad Es sei $r$ grade und alle Grössen $
\mu_{\alpha}, \nu_{\alpha}$ gleich Null. Dann
sind die Systeme $(a)$ bestimmt durch die Congruenzen
\[
  2 a_{\alpha} \equiv 0 \bmod r.
\]

Es kann also $a_{\alpha} = 0$, und $a_{\alpha} = \frac{r}{2}
$ gesetzt werden. Die Anzahl
$\alpha$ der Systeme $a$ ist demnach $= 2^{\rho}$\@. Es ist aber
\[
  e^{4 \pi i \sum
\frac{\mu_{\alpha}\left( a_{\alpha} + \nu_{\alpha} \right)}{r}}
 = 1;
\]
folglich $(a_1 \dcdot a_{\rho}) = 0$, wenn $\kappa = -1
$\@. Daraus ergiebt sich, dass die
Anzahl $m$ der Functionen, durch welche $
\Pi(u_1 \dcdot u_{\rho})$ dargestellt ist,
$= \dfrac{r^{\rho} - 2^{\rho}}{2}$ ist, wenn $\Pi$ eine ungrade, und $
 = \dfrac{r^{\rho} + 2^{\rho}}{2}$, wenn $\Pi$ eine
grade Function ist.

II. \quad Es sei $r$ grade, und nicht alle Grössen $
\mu_{\alpha},\, \nu_{\alpha} = 0$\@. \\
Dann sind die Congruenzen
\[
  2a_{\alpha} + 2\nu_{\alpha}  \equiv  0\bmod r
\]
unlösbar; es ist also $\alpha = 0$, und daher $
m = \dfrac{r^{\rho}}{2}\cdot$

III. \quad Es sei $r$ ungrade.\\
Dann erlauben die Congruenzen
\[
  2a_{\alpha} + 2\nu_{\alpha}  \equiv  0\bmod r
\]
eine einzige Lösung; nämlich
\begin{align*}
 a_{\alpha} &= 0 \text{ wenn } \nu_{\alpha} = 0,   \\
 a_{\alpha} &= \frac{r-1}{2} \text{ wenn }\nu_{\alpha}= \tfrac{1}{2}\cdot
 \end{align*}
In jedem Falle ist also
\[
  a_{\alpha} + \nu_{\alpha} = r \nu_{\alpha},
\]
folglich
\[
  e^{4 \pi i \sum
\frac{\mu_{\alpha}\left( a_{\alpha} + \nu_{\alpha} \right)}{r}}
 =   (-1)^{\sum 4\mu_{\alpha} \nu_{\alpha}}.
\]
%-----File: 016.png-----------------------------------------
Es ist also $m=\dfrac{r^\rho+1}{2}$, wenn
$\kappa(-1)^{\sum4\mu_\alpha\nu_\alpha}=+1$, und $m=\dfrac{r^\rho-1}{2}$,
wenn
$\kappa(-1)^{\sum4\mu_\alpha\nu_\alpha}=-1$ ist.

\Section{§~4.}

Wir haben gesehen, dass nur solche Theta-Functionen grade oder
ungrade sein können, deren Charakteristik durch rationale Zahlen mit
dem Nenner $2$ gebildet wird. Gleichzeitig geht aus der Definition in
§~2 hervor, dass die Charakteristik nicht geändert wird, wenn wir
jede der Grössen, aus denen sie besteht, um eine ganze Zahl vermehren.
Wir setzen deshalb:
\[
  \mu_\alpha=\tfrac{1}{2} \delta_\alpha, \quad
  \nu_\alpha=\tfrac{1}{2} \epsilon_\alpha, \quad (\alpha=1,\, 2\dcdot\rho),
\]
und setzen fest, dass jede dieser Grössen $\delta$, $\epsilon$ den
Werth $0$ oder $1$
haben soll. Es ist dann:
\[
  \, \Theta (-u_1\dcdot-u_\rho,\, \tfrac{1}{2} \delta,\, \tfrac{1}{2}\epsilon)=
  \, \Theta (u_1\dcdot
  u_\rho;\, \tfrac{1}{2} \delta-\delta,\, \tfrac{1}{2}\epsilon-\epsilon).
\]
Dies ist aber, der Formel~(7) zufolge,
\[
  =(-1)^{\sum\epsilon_\alpha\delta_\alpha} \, \Theta (u_1\dcdot
  u_\rho;\, \tfrac{1}{2} \delta,\, \tfrac{1}{2} \epsilon).
\]
Mithin ist $\Theta (u_1\dcdot
u_\rho;\, \tfrac{1}{2} \delta,\, \tfrac{1}{2} \delta)$  eine grade oder ungrade
Function, je
nachdem $\sum\epsilon_\alpha\delta_\alpha$ eine grade oder ungrade
Zahl ist. Demnach unterscheiden
wir grade und ungrade Charakteristiken. Jede dieser $4^\rho$
Charakteristiken
bezeichnen wir durch einen Index; speciell diejenige, in
der die sämmtlichen Grössen $\delta,\, \epsilon$ gleich Null sind,
durch den Index 0.

Greift man eine Reihe von Indices: $a,\, b\dcdot\, e$ willkürlich heraus,
so giebt es einen bestimmten Index $m$ von der Beschaffenheit, dass
\begin{align*}
  \delta_\alpha^a+\delta_\alpha^b+\dcdot+\delta_\alpha^e&\equiv
  \delta_\alpha^m\bmod{2},\\
  \epsilon_\alpha^a+\epsilon_\alpha^b+\dcdot+\epsilon_\alpha^e&\equiv
  \epsilon_\alpha^m\bmod{2}.
\end{align*}
Wir sagen dann: der Index $m$ entsteht durch Zusammensetzung von
$a,\, b\dcdot\, e$ und bezeichnen dies dadurch, dass wir setzen: $m=a,\, b\dcdot\, e$\@.
Die Reihenfolge der Zusammensetzung ist hiernach gleichgültig; ferner
ist klar, dass zwei gleiche Indices sich in der Zusammensetzung
aufheben,
und dass eine Zusammensetzung mit dem Index $0$ keine Aenderung
hervorbringt. Demnach ist $ab=ba$, $abb=a$, $0a=a$\@.

Zu jedem Index $a$ gehört ein bestimmtes System halber Perioden:
\[
  \omega_\alpha^a=\sum_\beta(\delta_\alpha^a\omega_{\alpha\beta}+
  \epsilon_\alpha^a\omega'_{\alpha\beta}), \quad
  \eta_\alpha^a=\sum_\beta(\delta_\alpha^a\eta_{\alpha\beta}
  -\epsilon_\alpha^a\eta'_{\alpha\beta}).
%** Changed misprint = to -
\]
Die Function
\[
  \eta(u_1\dcdot u_\rho;\, \tfrac{1}{2}\delta^a,\, \tfrac{1}{2}\epsilon^a)
\]
werde bezeichnet durch $\eta(u_1\dcdot u_\rho)_\alpha$\@. Es folgt dann
aus der Gleichung
$(3')$:
%-----File: 017.png-----------------------------------------
\begin{gather*}
  e^{-\eta(u_1 \dcdot u_\rho)b}
  \, \Theta (u_1+\omega_1^b\dcdot;\, \tfrac{1}{2}\delta^a,\, \tfrac{1}{2}\epsilon^a)\\
  = e^{-\frac{\pi i}{2}\sum\epsilon_\alpha^b\delta_\alpha^a}
  \, \Theta (u\dcdot;\, \tfrac{1}{2}\delta^a+\tfrac{1}{2}\delta^b,\,
  \tfrac{1}{2}\epsilon^a+\tfrac{1}{2}\epsilon^b).
\end{gather*}
Nun ist
\[
  \tfrac{1}{2}\delta_\alpha^a
 +\tfrac{1}{2}\delta_\alpha^b
 =\tfrac{1}{2}\delta_\alpha^{ab}+p_\alpha, \quad
  \tfrac{1}{2}\epsilon_\alpha^a
 +\tfrac{1}{2}\epsilon_\alpha^b
 =\tfrac{1}{2}\epsilon_\alpha^{ab}+q_\alpha,
\]
wo $p_1\dcdot p_\rho,\, q_1\dcdot q_\rho$ ganze Zahlen bedeuten; demnach ist
\[
  \, \Theta (u_1\dcdot;\tfrac{1}{2}\delta^a+\tfrac{1}{2}\delta^b,
  \tfrac{1}{2}\epsilon^a+\tfrac{1}{2}\epsilon^b)=
  e^{\frac{\pi i}{2}\sum\epsilon_\alpha^{ab}
    (\delta_\alpha^a+\delta_\alpha^b-\delta_\alpha^{ab})}
  \, \Theta (u_1\dcdot;\tfrac{1}{2}\delta^{ab},\tfrac{1}{2}\epsilon^{ab}).
\]
Daraus geht hervor:
\[
\tag{23}
  e^{-\eta(u_1\dcdot u_\rho)_b}
  \, \Theta (u_1+\omega_1^b\dcdot;\tfrac{1}{2}\delta^a,\tfrac{1}{2}\epsilon^a)
  = i^{b;a}\, \Theta (u_1\dcdot;\tfrac{1}{2}\delta^{ab}, \tfrac{1}{2}\epsilon^{ab}),
\]
wo $b;a$ eine bestimmte von den Indices $a, b$ abhängige Zahl bedeutet,
dargestellt durch:
\[
\tag{24}
  b;a=\sum_\alpha \left[-\epsilon_\alpha^b\delta_\alpha^a+
  \epsilon_\alpha^{ab}
  (\delta_\alpha^a+\delta_\alpha^b-\delta_\alpha^{ab})\right].
\]

Man erkennt nun leicht, dass es auf mannichfache Weise möglich
sein wird, $2\rho$ primitive Indices auszuwählen, durch deren sämmtliche
Combinationen alle $4^\rho$ Indices, mit Ausnahme des Index $0$, dargestellt
werden können. Am einfachsten bietet sich zunächst dasjenige System
dar, welches den primitiven Perioden entspricht. Wir bezeichnen durch
den Index $a_\alpha$ diejenige Charakteristik, in der sämmtliche Grössen
$\epsilon_1,\epsilon_2\dcdot\epsilon_\rho$ gleich Null
sind, und ebenso
alle Grössen $\delta_1,\delta_2\dcdot\delta_\rho$, mit
Ausnahme von $\delta_\alpha$; ebenso durch $b_\alpha$ diejenige
Charakteristik, in der
$\epsilon_\alpha=1$, alle übrigen Grössen
$\delta_1,\delta_2\dcdot\delta_\rho$,
$\epsilon_1,\epsilon_2\dcdot\epsilon_\rho$ aber gleich Null
sind. Es ist dann klar, dass durch die Combinationen dieser $2\rho$
Indices
der Index $0$ nicht, dagegen alle übrigen Indices, und zwar nur
auf eine Weise, dargestellt werden können. Zur Vereinfachung führen
wir ausser diesen $2\rho$ primitiven noch die zusammengesetzten Indices ein:
\[
  a_1b_1=c_1, \quad a_2b_2=c_2\cdots a_\rho b_\rho=c_\rho.
\]
Es sei nun $m$ ein beliebiger Index, und zunächst dargestellt durch
eine Combination der primitiven $a_1\dcdot a_\rho, b_1\dcdot
b_\rho$\@. Wenn in diesem
Ausdruck $a_1$ und $b_1$ oder $a_2$ und $b_2$, u.~s.~f.\ gleichzeitig
vorkommen,
so ersetzen wir diese Paare durch $c_1,\, c_2$ u.~s.~f.\ Dadurch erhalten
wir einen Ausdruck, der aus höchstens $\rho$ Gliedern besteht, und das
Kriterium, ob $m$ ein grader oder ungrader Index ist, ist offenbar
folgendes: $m$~ist grade, wenn die Anzahl der in dem reducirten
Ausdruck
von $m$ vorkommenden Grössen $c$ eine grade, und ungrade, wenn
diese Anzahl ungrade ist. So ist z.~B.\ der Index $a_1b_1b_2=c_1b_2$
ungrade,
$a_1b_4c_2c_3$ dagegen grade. Wir suchen jetzt eine andere
Bezeichnungsweise,
bei der die graden und ungraden Indices in gesonderten
Gruppen auftreten.
%-----File: 018.png-----------------------------------------

Wir nehmen zuerst an, es sei $\rho$ eine ungrade Zahl, und definiren
das folgende System von $2\rho + 1$ Indices:
\[
\tag{25}
\begin{array}{lllll}
&\alpha_1 = a_1 \, c_2 \, c_3 \, \dotfill{} c_{\frac{\rho+1}{2}}
  &\beta_1 = b_1 \, c_2 \, c_3 \, \dotfill  c_{\frac{\rho+1}{2}}\\
&\alpha_2 = a_2 \, c_3 \, c_4 \, \dotfill c_{\frac{\rho+3}{2}}
  &\beta_2 = b_2 \, c_3 \, \dotfill c_{\frac{\rho+3}{2}} \\
&\dotfill&\dotfill                           \\
&\alpha_{\frac{\rho+1}{2}} = a_{\frac{\rho+1}{2}} \,
  c_{\frac{\rho+3}{2}} \, c_{\frac{\rho+5}{2}} \, \dcdot  c_\rho
 &\beta_{\frac{\rho+1}{2}} = b_{\frac{\rho+1}{2}} \,
  c_{\frac{\rho+3}{2}} \, \dcdot c_\rho \\
%** Changed according to "`Berichtigung"' (4th row):
% $\alpha_{\frac{\rho+2}{2}} \rightarrow \alpha_{\frac{\rho+3}{2}}$
%** Changed additionally (3rd row):
% $\alpha_{\frac{\rho+5}{4}} \rightarrow \alpha_{\frac{\rho+3}{2}}$
 &\alpha_{\frac{\rho+3}{2}} = a_{\frac{\rho+3}{2}} \,
 c_{\frac{\rho+5}{2}} \, \dotfill c_1
 &\beta_{\frac{\rho+3}{2}} = b_{\frac{\rho+3}{2}} \,
   c_{\frac{\rho+5}{2}} \, \dotfill c_1 \\
 &\dotfill&\dotfill \\
&\alpha_\rho = a_\rho \, c_1 \, c_2 \, \dotfill c_{\frac{\rho-1}{2}}
&\beta_\rho = b_\rho \, c_1 \, c_2 \, \dotfill c_{\frac{\rho-1}{2}}
\end{array}
\]
\[
  \gamma = c_1 \, c_2 \, c_3 \, \dcdot c_\rho.
\]
Verstehen wir unter $c_{\rho+\lambda}$ dasselbe wie $c_\lambda$, so ist allgemein:
\[
\begin{aligned}
  \alpha_\lambda &= a_\lambda \, c_{\lambda+1} \, c_{\lambda+2} \,
  c_{\lambda+3} \dcdot c_{\lambda+\frac{\rho-1}{2}}  \\
  \beta_\lambda &= b_\lambda \, c_{\lambda+1} \, c_{\lambda+2} \,
  c_{\lambda+3} \dcdot c_{\lambda+\frac{\rho-1}{2}} \\
  \gamma &= c_1 \, c_2 \, c_3 \cdots \cdots \cdots \cdots c_{\rho-1} \, c_\rho.
\end{aligned}
\quad (\lambda = 1,\, 2 \dcdot \rho)
\]
Diese $2 \rho + 1$ Indices sind hier dargestellt in der reducirten
Form.  Man erkennt daher sofort, dass $\gamma$ ungrade ist;
$\alpha_{\lambda}$ und $\beta_{\lambda}$ sind grade oder ungrade, je nachdem
$\dfrac{\rho-1}{2}$ eine grade oder ungrade Zahl ist; d.~h.\ grade, wenn
$\rho \equiv 1\bmod4$, ungrade, wenn $\rho \equiv 3\bmod 4$\@.

Wir bilden jetzt die Combinationen dieser Grössen. Combiniren wir
zunächst $\gamma$ und $\alpha_\lambda$, so heben sich die in beiden
Indices vorkommenden Grössen $c_{\lambda+1}$, $c_{\lambda+2}\dcdot$
$c_{\lambda+\frac{\rho-1}{2}}$ auf, $c_\lambda$ verbindet sich
mit $a_\lambda$ zu $b_\lambda$\@. Der reducirte Index $\gamma \,
\alpha_\lambda$ enthält also $\dfrac{\rho -1}{2}$ Grössen $c$\@. Dasselbe
gilt von $\gamma \, \beta_\lambda$\@. Mithin sind auch $\gamma \,
\alpha_\lambda$ und $\gamma \, \beta_\lambda$ grade, wenn $\rho \equiv
1\bmod 4$, ungrade, wenn $\rho \equiv 3\bmod 4$\@.

Wir combiniren jetzt zwei verschiedene der Grössen
$\alpha_1,\,\alpha_2 \dcdot \alpha_\rho$, $\beta_1,\, \beta_2\dcdot
\beta_\rho$\@.
Zunächst ist offenbar $\alpha_\lambda \beta_\lambda = c_\lambda$ ungrade, und $\gamma \alpha_\lambda \beta_\lambda$ grade.
Setzen wir jetzt
\begin{align*}
  \overline{\alpha}_\lambda & = \overline{a}_\lambda \,
  c_{\lambda+1} \, c_{\lambda+2} \, \dcdot \,
  c_{\lambda+\frac{\rho-1}{2}}, \\
  \overline{\alpha}_\mu & = \overline{a}_\mu \,
  c_{\mu+1} \,  c_{\mu+2} \, \dcdot \,
  c_{\mu+\frac{\rho-1}{2}}.
\end{align*}
Es soll $\lambda\lessgtr \mu$  sein; $\overline{a}_\lambda$
soll sowohl $a_\lambda$ als $b_\lambda$,\, $\overline{a}_\mu$ sowohl
$a_\mu$ als $b_\mu$ bedeuten können. Es sei
\[
  \lambda \equiv \mu + \nu\bmod\rho.
\]
%-----File: 019.png-----------------------------------------
Wir können annehmen, dass $\nu$ eine Zahl der Reihe $1,\, 2 \dcdot
\dfrac{\rho -1}{2}$ ist (andernfalls vertauschen wir $\lambda$ und
$\mu$). Dann ist
\begin{align*}
  \overline{\alpha}_\mu & =  \overline{a}_\mu c_{\mu+1} \, c_{\mu+2}
 \dcdot  c_{\mu+\frac{\rho -1}{2}},\\
  \overline{\alpha}_{\mu+\nu} & =  \overline{a}_{\mu+\nu} \, c_{\mu+\nu+1}
 \dcdot  c_{\mu+\nu+\frac{\rho -1}{2}}.
\end{align*}
Da die Zahl $\mu + \nu$ in der Reihe $\mu+1 \dcdot \mu +
\dfrac{\rho -1}{2}$  vorkommt, so können wir $\overline{\alpha}_\mu$ zerlegen in
\[
\overline{\alpha}_\mu = \left( \overline{a}_\mu \, c_{\mu+1} \dcdot  c_{\mu+\nu-1\vphantom{\frac{1}{2}}} \right)
\left( c_{\mu+\nu} \, c_{\mu+\nu+1} \dcdot c_{\mu+\frac{\rho -1}{2}} \right),
\]
$\overline{\alpha}_{\mu+\nu}$ in:
\[
\overline{\alpha}_{\mu+\nu} = \left( \overline{a}_{\mu+\nu} \,
c_{\mu+\nu+ 1} \dcdot  c_{\mu+\frac{\rho -1}{2}} \right) \cdot
                          \left( c_{\mu+\frac{\rho +1}{2}} \dcdot
c_{\mu+\nu+\frac{\rho -1}{2}} \right).
\]
Wir erhalten also, da sich $\overline{a}_{\mu+\nu}$ mit
$c_{\mu+\nu}$ zu $\overline{b}_{\mu+\nu}$ ergänzt:
\[
  \overline{\alpha}_\mu \, \overline{\alpha}_{\mu+\nu} =
 \overline{a}_\mu \, \overline{b}_{\mu+\nu} \,  c_{\mu+1} \dcdot
 c_{\mu+\nu-1} \, c_{\mu+\frac{\rho +1}{2}} \dcdot
 c_{\mu+\nu+\frac{\rho -1}{2}}.
\]
Dieser Index ist in seiner reducirten Form, und enthält $2 \nu-1$
Grössen $c$\@. Es ist also $\overline{\alpha}_\mu \,
\overline{\alpha}_{\mu+\nu}$ ungrade. Bildet man endlich $ \gamma
\overline{\alpha}_\mu \, \overline{\alpha}_{\mu+\nu}$, so heben sich
diese $2\nu-1$ Grössen $c$ fort, und $c_\mu, \, c_{\mu+\nu}$ ergänzen
sich mit $\overline{a}_\mu \, \overline{b}_{\mu+\nu}$ zu
$\overline{b}_\mu \, \overline{a}_{\mu+\nu}$\@. Der reducirte Ausdruck
von $ \gamma \overline{\alpha}_\mu \, \overline{\alpha}_{\mu+\nu}$
enthält also $\rho-(2 \nu-1)-2$ Grössen $c$; mithin ist $ \gamma
\overline{\alpha}_\mu \, \overline{\alpha}_{\mu+\nu}$  ein grader
Index.

Bezeichnen wir jetzt die Indices $\alpha_1,\, \alpha_2\, \dcdot \,
\alpha_\rho,\, \beta_1,\, \beta_2\, \dcdot \, \beta_\rho$ in irgend
einer Reihenfolge durch $m_1,\, m_2 \dcdot m_{2\rho}$, und $\gamma$
durch $m$, so ist, wie wir bewiesen haben:
\begin{gather*}
m \text{ ungrade. } m_\kappa m_\lambda \text{ ungrade. } m m_\kappa m_\lambda \text{ grade } \\
(\kappa < \lambda).
\end{gather*}
\begin{align*}
m_\kappa \text{ und } m m_\kappa \text{ grade für } \rho &\equiv 1\bmod 4, \\
\text{ ungrade für } \rho &\equiv 3\bmod 4.
\end{align*}
$m_1,\, m_2 \dcdot m_{2\rho}$ ist, wie aus (24) hervorgeht, ein
vollständiges System primitiver Indices, und
\[
m =   m_1 m_2 \dcdot m_{2\rho}.
\]
Wir bezeichnen nun in dem ersten Fall $\rho \equiv 1 \bmod 4$
\[
  m,\, m_1,\, m_2 \dcdot m_{2\rho}
\]
in irgend einer Reihenfolge durch die Zahlen:
\[
  1,\, 2,\, 3 \dcdot 2\rho+1
\]
und setzen ausserdem $m=\epsilon$\@. Dann ist
%-----File: 020.png-----------------------------------------
\begin{align*}
&\epsilon  \text{ ungrade}, \\
&\epsilon \kappa   \text{ grade }  (\kappa = 1,\, 2 \cdot  \cdot 2\rho +1), \\
&\epsilon \kappa \lambda \text{ grade }  (\kappa, \lambda = 1,\, 2 \dcdot 2\rho + 1; \,
    \kappa\lessgtr \lambda).
\end{align*}
In dem zweiten Falle $\rho \equiv 3 \bmod 4$  bezeichnen wir ebenfalls die Indices
\[ m,\, m_1,\, m_2 \dcdot m_{2\rho}\]
durch die Zahlen
\[ 1,\, 2,\, 3 \dcdot 2\rho+1,\]
setzen aber $\epsilon = 0$\@. Dann ist
\begin{align*}
&\epsilon \text{ grade}, \\
&\epsilon \kappa \text{ ungrade }(\kappa = 1,\, 2 \dcdot 2\rho +1),\\
&\epsilon \kappa\lambda    \text{ ungrade }(\kappa, \lambda = 1,\, 2 \dcdot 2\rho+1; \,
    \kappa\lessgtr \lambda).
\end{align*}

Nehmen wir jetzt an, dass $\rho$  eine grade Zahl ist; dann setzen wir
$\rho = \rho' + 1$ und bilden aus  $a_1,\,a_2\dcdot a_{\rho'}$, $b_1,\,b_2\dcdot b_{\rho'}$ die Grössen
$m,\, m_1,\, m_2 \dcdot\, m_{2\rho'}$\@.  Wir haben jetzt wieder die Fälle zu unterscheiden:
$\rho\equiv 2 \bmod 4$, und $\rho\equiv  0 \bmod 4$;
oder $\rho' \equiv 1 \bmod 4$  und $\rho' \equiv 3 \bmod 4$\@.

Im ersten Falle $\rho \equiv 2 \bmod 4$  bezeichnen wir mit
\[ 1,\, 2,\, 3 \dcdot  2\rho + 1\]
die Indices
\[ m_1,\, m_2\dcdot m_{2\rho'}; \quad ma_{\rho}, mb_{\rho}, mc_{\rho},\]
 und setzen ausserdem
\[c_{\rho} =\epsilon.\]

Dann ist  $\epsilon$ ungrade. $\epsilon \kappa$  ist ebenfalls ungrade für
$\kappa=1,\, 2  \dcdot 2 \rho +1$\@.
Denn da  $m_{\kappa}$ grade ist, und weder $a_{\rho}$, noch $b_{\rho}$,
noch $c_{\rho}$ enthält, so ist
$c_{\rho}m_{\kappa}$  ungrade; ferner, da $m$ ungrade ist, und
$a_{\rho},\, b_{\rho},\, c_{\rho}$ nicht enthält,
so ist auch $c_{\rho}ma_{\rho}=mb_{\rho}$,  $c_{\rho}mb_{\rho}=ma_{\rho}$,
$c_{\rho}m c_{\rho}=m$ ungrade.
Ferner ist $\epsilon \kappa \lambda$ stets grade. Denn da $m_{\kappa} m_{\lambda}$
ungrade ist, so ist $c_{\rho}m_{\kappa} m_{\lambda}$
grade; da $mm_{\kappa}$  grade ist, so sind auch $c_{\rho} m a_{\rho}
m_{\kappa}=b_{\rho}m m_{\kappa}$, $c_{\rho}m b_{\rho} m_{\kappa}=a_{\rho} m m_{\kappa}$,
und $c_{\rho}mc_{\rho}m_{\kappa}=m m_{\kappa}$ grade. Endlich ist
$c_{\rho}ma_{\rho}mb_{\rho}=0$, $c_{\rho}ma_{\rho}mc_{\rho}=b_{\rho}$,
$c_{\rho}mb_{\rho}mc_{\rho}=a_{\rho}$; also auch
diese Indices sind grade. Demnach ist für diesen Fall:
\begin{align*}
&\epsilon \text{ ungrade}, \\
&\epsilon \kappa \text{ ungrade }(\kappa = 1,\, 2 \dcdot 2\rho +1),\\
&\epsilon \kappa\lambda    \text{ grade }(\kappa, \lambda = 1,\, 2 \dcdot 2\rho+1; \,
    \kappa\lessgtr \lambda).
\end{align*}

Es bleibt  noch der Fall übrig: $\rho\equiv 0$ oder $\rho'\equiv 3\bmod 4$\@. In diesem
setzen wir $\epsilon=0$, und bezeichnen mit $1,\, 2 \dcdot 2\rho+1 $ die Indices:
\[
c_{\rho}m,\, c_{\rho}m_1,\, c_{\rho}m_2 \dcdot c_{\rho}m_{2\rho'}; \
    a_{\rho},\, b_{\rho}.
\]
Diese sind sämmtlich grade, da $m,\, m_1 \dcdot m_{2\rho'}$ ungrade sind. Die
Combinationen  je zweier verschiedenen sind aber ungrade. Denn erstens
%-----File: 021.png-----------------------------------------
ist offenbar $a_{\rho} b_{\rho} = c_{\rho}$ ungrade. Wenn wir zweitens $a_{\rho}$
und $b_{\rho}$ mit den übrigen combiniren, so erhalten wir
\[
b_{\rho} m,\, b_{\rho} m_1\text{ etc.};\qquad a_{\rho} m,\, a_{\rho} m_1 \text{ etc.}
\]
Diese sind ungrade, da $m, m_1$ etc.\ ungerade sind. Combiniren wir
drittens die Grössen $c_{\rho} m,\, c_{\rho} m_1\dcdot c_{\rho}
m_{2\rho'}$ unter einander, so erhalten wir:
\[
mm_1,\, mm_2,\text{ etc.}\qquad m_1m_2,\, m_1m_3,\, m_2m_3\,\cdot\,\cdot
\]
Dass diese ungrade sind, haben wir schon bei Erörterung des Falles
$\rho \equiv 3\bmod 4$ gesehen. Wir erhalten also:
\begin{align*}
&\epsilon \text{ grade},\\
&\epsilon\kappa \text{ grade }(\kappa = 1,\, 2\dcdot2\rho + 1),\\
&\epsilon\kappa\lambda \text{ ungrade }(\kappa,\, \lambda = 1,\, 2\dcdot2\rho + 1;\,
    \kappa\lessgtr\lambda).
\end{align*}
Wir bezeichnen jetzt, wenn $n$ ein beliebiger Index ist, mit $[n]$ eine
Grösse, welche $= 0$ oder $1$ ist, je nachdem $n$ ein grader oder ungrader
Index ist. Diese Grösse wird dargestellt durch die Summe:
\[
[n]\equiv \sum^{\rho}_{\alpha = 1}(\epsilon^n_{\alpha}\delta^n_{\alpha})\bmod 2.
\]
Es handelt sich jetzt darum, wenn $a$ ein Index ist, der durch eine bestimmte
Anzahl $k$ von einander verschiedener Indices der Reihe
$1,\, 2\,\cdot \,\cdot\, 2\rho + 1$ ausgedrückt ist, den Werth von [$\epsilon a$] zu
finden. Hierzu ist ein Hülfssatz nöthig.

Es seien $l,\, m,\, n$ drei beliebige Indices; dann ist
\[
[lmn]\equiv\sum^{\rho}_{\alpha=1}
    \left[\epsilon^{lmn}_{\alpha}\delta^{lmn}_{\alpha}\right]\bmod 2,
\]
oder, da
\begin{align*}
\epsilon^{lmn}_{\alpha}&\equiv\epsilon^l_{\alpha} + \epsilon^m_{\alpha}+\epsilon^n_{\alpha}\bmod 2,\\
\delta^{lmn}_{\alpha}&\equiv\delta^l_{\alpha} + \delta^m_{\alpha}+\delta^n_{\alpha}\bmod 2,\\
[lmn]&\equiv\sum^{\rho}_{\alpha=1}\left[\left(\epsilon^l_{\alpha}
 + \epsilon^m_{\alpha} + \epsilon^n\right)
\left(\delta^l_{\alpha} + \delta^m_{\alpha} + \delta^n_{\alpha}\right)\right].
%** Replaced mistyped $n$ by $l$:
%**            $(\epsilon^n_{\alpha} + \epsilon^m_{\alpha} + \epsilon^n)
%** \rightarrow (\epsilon^l_{\alpha} + \epsilon^m_{\alpha} + \epsilon^n)$
\end{align*}
Diese Summe kann in folgender Weise geschrieben werden:
\begin{align*}
&\sum^{\rho}_{\alpha=1}\left[
\left(\epsilon^m_{\alpha}+\epsilon^n_{\alpha}\right)
\left(\delta^m_{\alpha}+\delta^n_{\alpha}\right) +
\left(\epsilon^n_{\alpha}+\epsilon^l_{\alpha}\right)
\left(\delta^n_{\alpha}+\delta^l_{\alpha}\right) +
\left(\epsilon^l_{\alpha}+\epsilon^m_{\alpha}\right)
\left(\delta^l_{\alpha}+\delta^m_{\alpha}\right)\right] \\
 - &\sum^{\rho}_{\alpha=1}\left[
\epsilon^l_{\alpha}\delta^l_{\alpha}
+ \epsilon^m_{\alpha}\delta^m_{\alpha} +
\epsilon^n_{\alpha}\delta^n_{\alpha}\right].
%** Added missing subscript: $\epsilon^l_{\alpha}\delta^l
%**               \rightarrow \epsilon^l_{\alpha}\delta^l_{\alpha}$
\end{align*}
Mithin ist
\[
[lmn]\equiv[mn]+[nl]+[lm]+[l]+[m]+[n]\bmod 2.
\]
%-----File: 022.png-----------------------------------------

Es sei nun $a$ ein Index, der durch eine Combination von $k$
verschiedenen
Indices der Reihe $1,\, 2 \dcdot 2\rho + 1$ entsteht. Zwei dieser in
$a$ vorkommenden Indices seien $\kappa$, $\lambda$; dann ist
$a = \kappa \lambda a'$, wo $a'$ zwei
Indices weniger enthält. Es ist nun, wenn man in der letzten Formel
$l = \epsilon a',\, m = \kappa,\, n = \lambda$ setzt:
\[
 \left[ \epsilon a' \kappa \lambda \right]  \equiv
 \left[ \epsilon a' \kappa \right]
 + \left[ \epsilon a' \lambda \right] + \left[ \kappa \lambda \right]
 + \left[ \epsilon a'  \right] + \left[ \kappa \right]
 + \left[ \lambda \right].
%** Replaced mistyped () by [].
\]
Gleichzeitig ist aber
\[
 \left[ \epsilon \kappa \lambda \right]  \equiv
  \left[ \epsilon \kappa \right] + \left[ \epsilon \lambda \right]
 + \left[ \kappa \lambda \right] + \left[ \epsilon \right]
 + \left[ \kappa \right] + \left[ \lambda \right].
\]
Mithin
\[
 \left[ \epsilon a' \kappa \lambda \right]  \equiv
 \left[ \epsilon a' \kappa \right]
 + \left[ \epsilon a' \lambda \right]
 + \left[ \epsilon a' \right]
 + \left[ \epsilon \kappa \lambda \right]
 + \left[ \epsilon \kappa \right]
 + \left[ \epsilon \lambda \right] + \left[ \epsilon \right].
\]
Nun ist in allen vier Fällen $
\epsilon \kappa \lambda $ grade, wenn $\epsilon$ ungrade ist, und umgekehrt;
ferner $\epsilon \kappa,\, \epsilon \lambda $ gleichzeitig grade oder ungrade; daher ist
\[
 \left[ \epsilon \kappa \lambda \right]
 + \left[ \epsilon \kappa \right]
 + \left[ \epsilon \lambda \right] + \left[ \epsilon \right]  \equiv  1 \bmod 2;
\]
mithin
\[
 \left[ \epsilon a' \kappa \lambda \right]  \equiv
 \left[ \epsilon a' \kappa \right]
 + \left[ \epsilon a' \lambda \right]
 + \left[ \epsilon a' \right] + 1.
\]
Wenn wir nun bewiesen haben, dass für alle Combinationen $a'$ von
der Ordnung $k-2$, $\left[ \epsilon a' \right]$ denselben Werth hat, und dass dasselbe gilt
für alle Combinationen $a'\kappa$, $a'\lambda$ etc.\ von der Ordnung $k-1$, so geht
aus dieser Formel hervor, dass auch für alle Combinationen $a$ von der
Ordnung $k$  $\left[ \epsilon a \right]$ denselben Werth hat; und zwar ist dieser Werth
entgegengesetzt dem von $\left[\epsilon a'\right]$\@.
Es hat also, wenn $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$ etc.\ irgend
welche verschiedene Indices der Reihe
\[
  1,\, 2,\, \dcdot 2\rho + 1
\]
sind, $\left[ \epsilon \kappa \lambda \mu \right]$ den entgegengesetzten
Werth von $\left[ \epsilon \kappa \right],
 \left[ \epsilon \kappa \lambda \mu \nu \right]$ den
entgegengesetzten Werth von $\left[ \epsilon \kappa \lambda \right]$
und denselben wie $\left[ \epsilon \right]$, u.~s.~f.\ Mit
Hülfe dieses Resultats ergiebt nun die Betrachtung der vier verschiedenen
Fälle, dass $\epsilon a$ ein grader Index ist, wenn $a$ durch eine Combination
von $\rho$ oder $\rho + 1$ verschiedenen primitiven Indices entsteht. Daraus
geht sofort hervor, dass $\epsilon a$ ein grader Index ist, wenn die Anzahl $k$
der Glieder, aus denen $a$ besteht, $\equiv \rho$ oder $\equiv \rho +1 \bmod 4$ ist, dagegen
ein ungrader, wenn $k \equiv \rho - 1$ oder $
\equiv \rho + 2 \bmod 4$ ist. Somit ist
folgender Satz bewiesen:

II. \quad \emph{Es ist möglich, ein System primitiver Indices
\[
  1,\, 2,\, 3 \dcdot 2\rho + 1
\]
und einen ausgezeichneten $\epsilon$ so zu wählen, dass $\epsilon a$ ein grader Index
ist, wenn die Anzahl der primitiven Indices, aus denen a zusammengesetzt ist,
$\equiv \rho$ oder $\equiv \rho + 1 \bmod 4$ ist, dagegen ein ungrader, wenn
diese Anzahl $\equiv \rho + 2$ oder $\equiv \rho - 1 \bmod 4$ ist.}

Durch die Combination aller primitiven Indices geht, wie alle vier
Fälle zeigen, der Index $0$ hervor. Demnach kann jeder Index auf zweifache
%-----File: 023.png-----------------------------------------
Weise in der Form $\epsilon a$ dargestellt werden: $m = \epsilon a$, und $m = \epsilon a'$\@.
In $a$ und $a'$ zusammen sind dann alle $2\rho +1$ Indices enthalten; daher
 enthält die eine Combination stets weniger als $\rho + 1$, die andere stets
mehr als $\rho$ Glieder, die eine Combination eine grade Anzahl, die andere
eine ungrade.

\Section{§~5.}

Wir wählen für $\rho = 3$ ein System primitiver Indices
\[
  1,\, 2,\, 3 \dldot 7
\]
in der Art, wie im vorigen \S\ angegeben wurde, indem wir $\epsilon = 0$
annehmen (diese Indices bezeichnen wir zum Unterschiede von den
allgemeinen durch griechische Buchstaben). Es lassen sich dann alle
$64$ Indices durch die $64$ Combinationen
$0$, $\kappa$, $\kappa \lambda$, $\kappa \lambda \mu$ darstellen, und
zwar sind durch die $28$ Combinationen $\kappa$ und $\kappa \lambda$
die ungraden, durch die $36$ Combinationen $0$ und $\kappa \lambda \mu$
die graden dargestellt. Indessen kann
auch jeder Index durch eine höhere Combination ausgedrückt werden;
es ist nämlich, wenn
\[
 \kappa,\, \lambda,\, \mu,\, \alpha,\, \beta,\, \gamma,\, \delta
\]
die Indices $1,\, 2 \dcdot 7$ in irgend einer Reihenfolge bedeuten:
\[
0 = \kappa \lambda \mu \alpha \beta \gamma \delta,\
  \kappa = \lambda \mu \alpha \beta \gamma \delta,\
  \kappa \lambda = \mu \alpha \beta \gamma \delta,\
  \kappa \lambda \mu = \alpha \beta \gamma \delta.
\]

Es seien jetzt $u$, $u'$, $u''$ drei unabhängige Veränderliche,
$v$, $v'$, $v''$ und $w$, $w'$, $w''$
zwei constante Werthsysteme derselben, und $k$, $l$, $m$ drei beliebige Indices. Alsdann
erhalten wir, wenn wir in dem Ausdruck
\[
 \, \Theta \bigl(u+v,\, u'+v',\, u''+v'';\,
\tfrac{1}{2}\delta^{k\alpha},\, \tfrac{1}{2}\epsilon^{k\alpha}\bigr)
\, \Theta \bigl(u-v,\, u'-v',\, u''-v'';\,
\tfrac{1}{2}\delta^{l\alpha}, \tfrac{1}{2}\epsilon^{l\alpha}\bigr)
\]
$a = 0,\, 1,\, 2 \dcdot 7$ setzen, $8$ Theta-Functionen zweiten Grades mit der
Charakteristik $(\tfrac{1}{2}\delta^{kl}$, $\tfrac{1}{2}\epsilon^{kl})$\@. %**
Eine ebensolche Function ist
\[
 \Theta \left(u+w,\, u'+w',\, u''+w'';
  \tfrac{1}{2}\delta^{km}, \tfrac{1}{2}\epsilon^{km}\right)
 \, \Theta \left(u-w,\, u'-w',\, u''-w'';
  \tfrac{1}{2}\delta^{lm}, \tfrac{1}{2}\epsilon^{lm}\right).
%** Added \tfrac{1}{2} before last term \epsilon^{lm}.
\]
Zwischen diesen $2^{\rho} + 1$ Ausdrücken muss, dem Satz~(I.) zufolge, eine
lineare homogene Gleichung bestehen:
\begin{gather*}
 f\, \Theta \left(u + w \cdots;
   \tfrac{1}{2}\delta^{km}, \tfrac{1}{2}\epsilon^{km}\right)\
 \, \Theta \left(u - w \cdots;
   \tfrac{1}{2}\delta^{lm}, \tfrac{1}{2}\epsilon^{lm}\right))   \\
  = \sum_{\alpha=0}^7 \left[ f_{\alpha}
 \, \Theta \left(u + v \cdots;
\tfrac{1}{2}\delta^{k\alpha}, \tfrac{1}{2}\epsilon^{k\alpha}\right)\
 \, \Theta \left(u - v \cdots;
\tfrac{1}{2}\delta^{l\alpha}, \tfrac{1}{2}\epsilon^{l\alpha}\right) \right],
\end{gather*}
deren Coefficienten $f,\, f_0,\, f_1 \dcdot f_7$ von $u,\, u',\, u''$ unabhängig sind. Um
diese zu bestimmen, verfahren wir so:

Es sei $\beta$ irgend einer der Indices $0,\, 1,\, 2 \dcdot 7$\@. Wir vermehren
dann die Variabeln um dasjenige halbe Periodensystem, welches zu dem
Index $l\beta$ gehört. Multipliciren wir dann noch die gefundene Gleichung
mit dem Factor
\[
  e^{-2\eta (u_1 \dcdot) l\beta},
\]
so ergiebt sich, vermöge Formel~(23):
%-----File: 024.png-----------------------------------------
\begin{align*}
&i^{l\beta;\, km+l\beta;\, lm}f\, \Theta (u+w\dcdot;\, \tfrac{1}{2}\delta^{klm\beta},\, \tfrac{1}{2}\epsilon^{klm\beta})
\, \Theta (u-w\dcdot;\, \tfrac{1}{2}\delta^{m\beta},\, \tfrac{1}{2}\epsilon^{m\beta})\\
=& \sum^{7}_{\alpha=0}[i^{l\beta;\, k\alpha+l\beta;\, l\alpha}f_{\alpha}
\, \Theta (u+v\dcdot;\, \tfrac{1}{2}\delta^{kl\alpha\beta},
\tfrac{1}{2}\epsilon^{kl\alpha\beta}) \, \Theta (u-v\dcdot;\, \tfrac{1}{2}\delta^{\alpha\beta};\, \tfrac{1}{2}\epsilon^{\alpha\beta})].
\end{align*}
Jetzt setzen wir $u=v$, $u' = v'$, $u'' = v''$; dann verwandelt sich die
rechte Seite dieser Gleichung in:
\[
\sum^{7}_{\alpha=0}[i^{l\beta;\, k\alpha+l\beta;\, l\alpha}f_{\alpha}
\, \Theta (2v,\, 2v',\, 2v'';\, \tfrac{1}{2}\delta^{kl\alpha\beta},\, \tfrac{1}{2}\epsilon^{kl\alpha\beta})
\, \Theta (0,\, 0,\, 0;\, \tfrac{1}{2}\delta^{\alpha\beta},\,
\tfrac{1}{2}\epsilon^{\alpha\beta})].
\]
Es ist aber $\alpha\beta$ ein ungrader Index, wenn nicht $\alpha = \beta$ ist; daher:
\[
\Theta (0,\, 0,\, 0;\, \tfrac{1}{2}\delta^{\alpha\beta},\, \tfrac{1}{2}\epsilon^{\alpha\beta})=
\begin{cases}
0, \text{ wenn }\alpha\lessgtr\beta,\\
\, \Theta (0,\, 0,\, 0;\, 0,\, 0) \text{ wenn }\alpha = \beta.
\end{cases}
\]
Wir erhalten daher, wenn wir die Constante
\[
\, \Theta (0,\, 0,\, 0;\, 0,\, 0)\text{ mit }c_0
\]
bezeichnen:
\begin{align*}
i^{l\beta;\, km+l\beta;\, lm-l\beta;\, k\beta-l\beta;\, l\beta}&f\, \Theta (v+w\dcdot;\, \tfrac{1}{2}\delta^{klm\beta},\, \tfrac{1}{2}
\epsilon^{klm\beta})\, \Theta (v-w\dcdot;\, \tfrac{1}{2}\delta^{m\beta},\, \tfrac{1}{2}\epsilon^{m\beta})\\
= &f_{\beta}c_0\, \Theta (2v,\, 2v',\,  2v'';\, \tfrac{1}{2}\delta^{kl},\, \tfrac{1}{2}\epsilon^{kl}).
\end{align*}
Hierdurch sind die Coefficienten bestimmt, und es ergiebt sich die
Gleichung:
\begin{multline*}
\tag{26}
c_0\, \Theta (2v\dcdot;\tfrac{1}{2}\delta^{kl},\tfrac{1}{2}\epsilon^{kl})
\, \Theta (u+w\dcdot;\tfrac{1}{2}\delta^{km},\tfrac{1}{2}\epsilon^{km})
\, \Theta (u-w\dcdot;\tfrac{1}{2}\delta^{lm},\tfrac{1}{2}\epsilon^{lm})
 \\
= \sum^{7}_{\alpha=0}[i^{[k\alpha,l\alpha,m\alpha]}
\, \Theta (v+w\dcdot;\tfrac{1}{2}\delta^{klm\alpha},\tfrac{1}{2}\epsilon^{klm\alpha})
\, \Theta (u-w\dcdot;\tfrac{1}{2}\delta^{m\alpha},\tfrac{1}{2}\epsilon^{m\alpha})\\
×
\, \Theta (u+v\dcdot;\tfrac{1}{2}\delta^{k\alpha},\tfrac{1}{2}\epsilon^{k\alpha})
\, \Theta (u-v\dcdot;\tfrac{1}{2}\delta^{l\alpha},\tfrac{1}{2}\epsilon^{l\alpha})],
\end{multline*}
wo
\[
[k,\, l,\, m] = l;\, km + l;\, lm - l;\, k-l;\, l
\]
ist. Es ist nun zufolge (24):
\begin{align*}
l;\, km &= \sum\ [ - \epsilon^{l}\delta^{km} + \epsilon^{klm}(\delta^l + \delta^{km} - \delta^{klm})],\\
l;\, lm &= \sum\ [ - \epsilon^{l}\delta^{lm} + \epsilon^{m}(\delta^l + \delta^{lm} - \delta^{m})],\\
l;\, k  &= \sum\ [ - \epsilon^{l}\delta^{k} + \epsilon^{kl}(\delta^l + \delta^{k} - \delta^{kl})],\\
l;\, l  &= \sum\ [ - \epsilon^{l}\delta^{l}].
\end{align*}
Daraus ergiebt sich:
\begin{align*}
\tag{27}
[k,\, l,\, m] &= \sum[\epsilon^{l} ( - \delta^{km} - \delta^{lm} + \delta^{k} + \delta^{l}) +
\epsilon^{klm}( \delta^{l} +  \delta^{km} -  \delta^{klm})\\
& \qquad \qquad + \epsilon^{m}( \delta^{l} +  \delta^{lm} -  \delta^{m}) - \epsilon^{kl}( \delta^{l} +  \delta^{k} - \delta^{kl})].
\end{align*}
In diesem Ausdruck ist jedes $\epsilon$ mit einer graden Zahl multiplicirt. Da
wir nun $[k,\, l,\, m]$ nur modulo $4$ zu betrachten haben, so können wir
$\epsilon^{l},\, \epsilon^{klm},\, \epsilon^{m},\, \epsilon^{kl}$ ersetzen
durch andere Werthe, die ihnen modulo $2$ congruent sind.
%-----File: 025.png-----------------------------------------

Wir denken uns die drei Indices $k, l, m$ dargestellt durch Combinationen
von einander verschiedener primitiver Indices:
\[
\tag{28}
 k = \kappa_1\kappa_2 \dcdot, \quad l = \lambda_1\lambda_2\dcdot, \quad m
 = \mu_1\mu_2\dcdot,
\]
und zwar wählen wir, da dies auf zweifache Weise geschehen kann,
stets diejenige Darstellung, die aus einer graden Anzahl von Gliedern
besteht. Es sei nun $n$ der Complex derjenigen primitiven Indices, die
in allen drei Ausdrücken von $k$, $l$, $m$ gleichzeitig enthalten sind.
Alsdann können wir setzen:
\[
k = nk',\, \quad l = nl',\, \quad m = nm';
\]
und es giebt jetzt keinen primitiven Index, der in $k'$, $l'$, $m'$ gleichzeitig
enthalten wäre. Es sei ferner $p$ der Complex derjenigen Indices, die
in $l'$ und $m'$ gleichzeitig enthalten sind; $q$ derer, die in $m'$ und $k'$,
$r$ derjenigen, die in $k'$ und $l'$ gleichzeitig vorkommen. Dadurch dass
wir diese absondern, zerfällt jeder der drei Ausdrücke (28) in vier Theile
\[
\tag{29}
k = nqrs, \quad l = nrpt, \quad m = npqu.
\]
$n$, $p$, $q$, $r$, $s$, $t$, $u$ sind dann sieben verschiedene Complexe, und so
beschaffen, dass ein primitiver Index, der in einem derselben vorkommt,
in keinem der übrigen enthalten ist. Wenn wir jetzt
die Indices $k$, $l$, $m$ zusammensetzen, so erhalten wir:
\[
\tag{30}
lm = qrtu, \quad mk = rpus, \quad kl = pqst, \quad klm = nstu.
\]
Diese Indices sind hierdurch gleichfalls dargestellt als Combinationen
von einander verschiedener primitiver Indices, und zwar müssen diese
Darstellungen, da immer eine grade Anzahl von Gliedern fortgefallen
ist, wiederum jede aus einer graden Anzahl von Gliedern bestehen.
Wir führen jetzt folgende Definition ein:

Es sei $k$ ein beliebiger Index. Diesen stellen wir dar durch eine
grade Anzahl von einander verschiedener primitiver Indices (was nur
auf eine Weise möglich ist), und bezeichnen durch $\sigma^k$ die Summe:
\[
\sigma^k = \epsilon^{\kappa_1}+\epsilon^{\kappa_2}+ \text{ etc.,}
%** Changed according to "`Berichtigung"':
%**              $\sigma^{\kappa_1} + \sigma^{\kappa_2}
%** \rightarrow \epsilon^{\kappa_1} + \epsilon^{\kappa_2}$
\]
ausgedehnt über alle Indices $\kappa_1$, $\kappa_2$, etc., die in dem Ausdruck von $k$
enthalten sind. Da nun offenbar $\sigma^k\equiv\epsilon^k \bmod 2$, so können wir in
dem Ausdruck (27) die Grössen $\epsilon$ durch diese $\sigma$ ersetzen. Indem wir
dann diejenigen Glieder zusammenfassen, die mit derselben Grösse $\delta$
multiplicirt sind, erhalten wir:
\begin{gather*}
\tag{31}
[k, l, m] \equiv \sum [ -\delta^k(\sigma^{kl} - \sigma^l) - \delta^l (\sigma^{kl}
 - \sigma^l - \sigma^{klm} - \sigma^m) - \delta^m \sigma^m \\
 +\,  \delta^{lm} (\sigma^m - \sigma^l) + \delta^{km} (\sigma^{klm} - \sigma^l)
 + \delta^{kl} \sigma^{kl} -\delta^{klm} \sigma^{klm} ] \bmod 4.
\end{gather*}
Da nun die in $l$ enthaltenen primitiven Indices in vier Gruppen $n$, $r$, $p$, $t$
zerfallen, so zerfällt die über diese Indices ausgedehnte Summe in
%-----File: 026.png-----------------------------------------
vier Partialsummen, die diesen Gruppen entsprechen: \textit{N, R, P, T}\@.
Es ist also
\begin{align*}
  \sigma^{kl} = P + Q + S + T,\\
  \sigma^l = N + R + P + T.
\end{align*}
Folglich
\[
  \sigma^{kl} - \sigma^l  = Q + S - N - R.
\]
Da aber
\[
  Q + S + N + R = \sigma^k
\]
ist, so folgt:
\[
  \sigma^{kl} - \sigma^l =  \sigma^k - 2(N + R).
\]
Nun ist aber
\[
  N + R  \equiv  \epsilon^n + \epsilon^r  \equiv  \epsilon^{nr} \bmod 2;
\]
mithin ergiebt sich:
\[
 \sigma^{kl}- \sigma^l  \equiv  \sigma^k + 2\epsilon^{nr} \bmod 4.
\]
Auf dieselbe Weise finden wir:
\begin{align*}
 \sigma^{kl} - \sigma^l - \sigma^{klm} - \sigma^m
               & \equiv \sigma^p + 2\epsilon^{rptu} \bmod 4, \\
 \sigma^m - \sigma^l
               & \equiv  \sigma^{lm} + 2\epsilon^{rt} \bmod 4,\\
 \sigma^{klm} - \sigma^l
               & \equiv  \sigma^{km} + 2\epsilon^{rp} \bmod 4.
\end{align*}
Setzen wir diese vier Ausdrücke in die Gleichung~(31) ein, so zerfällt
der Ausdruck auf der rechten Seite in zwei Theile:
\[
\tag{32}
    \left[ k, l, m \right]
 \equiv \left[ (k, l, m) \right] + 2(k, l, m) \bmod 4,
\]
von denen der erste
\[
 \left[ (k, l, m) \right] = \sum\left[
 -\delta^k \sigma^k - \delta^l \sigma^l - \delta^m \sigma^m
 + \delta^{lm} \sigma^{lm} + \delta^{mk} \sigma^{mk}
 + \delta^{kl} \sigma^{kl} - \delta^{klm} \sigma^{klm} \right]
\]
ist, während
\[
 (k, l, m) = \sum \left[
 \epsilon^{nr} \delta^{k} + \epsilon^{rptu} \delta^{l}
+\epsilon^{rt} \delta^{lm} + \epsilon^{rp} \delta^{km} \right].
\]
In dem ersten Ausdruck führen wir die Bezeichnung ein:
\[
\tag{33}
  \sum\left[ \delta^k \sigma^k\right] = (k).
%** Changed superscript \sum to normal font
\]
Dann ist
\[
\tag{34}
 \left[( k, l, m )\right] = -(k) - (l) - (m)
                           + (lm) + (mk) + (lk) -(klm).
\]

Den zweiten Ausdruck brauchen wir nur modulo $2$ zu betrachten.
Wir können deshalb $\delta^{km}$ ersetzen durch $\delta^k + \delta^m$,
$\delta^{lm}$ durch $\delta^l + \delta^m$\@.
So erhalten wir:
\[
 (k, l, m)  \equiv  \sum\left[
   (\epsilon^{nr} + \epsilon^{rp})\delta^k
 + (\epsilon^{rptu} + \epsilon^{rt})\delta^l
 + (\epsilon^{rt} + \epsilon^{rp})\delta^m \right] \bmod 2.
\]
Nun ist
\[
\epsilon^{nr} + \epsilon^{rp} \equiv \epsilon^{np}, \quad
\epsilon^{rptu} +\epsilon^{rt} \equiv \epsilon^{pu}, \quad
\epsilon^{rt} + \epsilon^{rp} \equiv \epsilon^{pt} \bmod 2.
\]
Folglich:
\[
 (k, l, m)  \equiv  \sum\left[
   \epsilon^{np}\delta^k
 + \epsilon^{pu}\delta^l
 + \epsilon^{pt}\delta^m \right] \bmod 2.
\]
%-----File: 027.png-----------------------------------------
Wir setzen jetzt
\[
np = K, \quad nq = L, \quad nr = M.
\]
Dann bedeutet $K$ den grössten gemeinsamen Theiler der Ausdrücke
von $l$ und $m$, $L$ von $m$ und $k$, $M$ von $k$ und $l$\@. Es ist dann
\[
pu = Lm, \quad pt = lM;
\]
mithin
\[
(k,\, l,\, m) \equiv \sum [\epsilon^K \delta^k  + \epsilon^{Lm}\delta^l +
\epsilon^{Ml}\delta^m] \bmod 2.
\]

Wir führen auch hier eine abkürzende Bezeichnung ein, die in der Folge
beibehalten werden wird. Es seien $a$, $b$ zwei beliebige Indices; dann setzen wir:
\[
\tag{35}
\sum[\epsilon^a \delta^b]\equiv a\mid b \bmod 2.
\]
Dieses Zeichen ist also nur modulo $2$ definirt. Danach ist:
\[
\tag{36}
(k,\,l,\,m)\equiv K\mid k + Lm \mid l + Ml \mid m \bmod 2.
\]
Wir haben somit gefunden:
%** On this page, some misprint $a$'s were changed to $\alpha$,
%** hopefully according to Schottky.
\[
\tag{37}
i^{[k\alpha,\, l\alpha,\, m\alpha]}
= \frac{i^{-(k\alpha)}i^{-(l\alpha)}i^{-(m\alpha)}i^{-(klm\alpha)}}
{i^{-(kl)}i^{-(km)}i^{-(lm)}} (-1)^{(k\alpha,\, l\alpha,\, m\alpha)}.
\]
Diesen Ausdruck führen wir in die Gleichung~(26) ein, setzen aber vorher folgende
Definition fest: Es sei $\alpha$ ein beliebiger Index; dann bezeichnen wir mit $\Theta (u,\, u',\, u'')_{\alpha}$ die Function
\[
\tag{38}
%** Tag for Gl. 38 added
i^{-(\alpha)} \, \Theta (u,\, u',\, u'',\, \tfrac{1}{2}\delta^{\alpha},\,
\tfrac{1}{2}\epsilon^{\alpha}) =
\Theta (u,\, u',\, u'')_{\alpha}.
\]
Alsdann nimmt diese Gleichung folgende Form an:\Label{S23}
\begin{gather*}
\tag{39}
c_0\, \Theta (2v\dcdot)_{kl}\, \Theta (u+w\dcdot)_{km} \, \Theta (u-w\dcdot)_{lm}\\
 =\sum_{\alpha=0}^7[(-1)^{(k\alpha,l\alpha,m\alpha)}\, \Theta (v+w\dcdot)_{klm\alpha}
\, \Theta (v-w\dcdot)_{m\alpha} \, \Theta (u+v\dcdot)_{k\alpha}\, \Theta (u-v\dcdot)_{l\alpha}].
\end{gather*}
Dies ist das Additionstheorem der Theta-Functionen in einer sehr allgemeinen
Fassung. Um das Vorzeichen $(-1)^{(k\alpha,l\alpha,m\alpha)}$ für irgend eine
besondere Wahl der Indices $k$, $l$, $m$ zu bestimmen, hat  man folgendermassen
zu verfahren: Es sind $k\alpha$, $l\alpha$, $m\alpha$ auszudrücken durch die
primitiven Indices, und zwar ist jedesmal diejenige der beiden Darstellungen
zu wählen, die eine grade Anzahl von Gliedern enthält.
Alsdann sind von diesen Darstellungen die grössten gemeinsamen
Theiler $K$ von $l\alpha$, $m\alpha$, $L$ von $m\alpha$, $k\alpha$, $M$ von $k\alpha$, $l\alpha$
abzusondern; dann ist
\[
\tag{40}
(-1)^{(k\alpha, l\alpha, m\alpha)} =
(-1)^{K \mid k\alpha+Lm\alpha \mid l\alpha+Ml\alpha \mid m\alpha}.
\]

Aus der Definition des Zeichens $a\mid b$ (Gl. (35)) geht hervor:\\
Da
\[
\epsilon^{b} + \epsilon^{c}\equiv \epsilon^{bc} \bmod 2,
\]
so ist
%-----File: 028.png-----------------------------------------
\[
\tag{41}
bc \mid a \equiv  b \mid a + c \mid a.
\]
Ferner, da
\[
\delta^b + \delta^c \equiv \delta^{bc} \bmod 2,
\]
so ist
\[
\tag{42}
a \mid bc \equiv a \mid b + a \mid c.
\]
Endlich ist $a \mid a \equiv 0$ oder $1$, je nachdem $a$ ein grader oder ungrader
Index ist. Aus den Eigenschaften (41) und (42) folgt:
\begin{align*}
ab \mid ab           &\equiv           ab \mid a +           ab \mid b,\\
ab \mid a\phantom{b} &\equiv \phantom{b}a \mid a + \phantom{a}b \mid a,\\
ab \mid b\phantom{a} &\equiv \phantom{b}a \mid b\, + \phantom{a}b \mid b.
\end{align*}
Mithin:
\[
ab \mid ab + a \mid a + b \mid b \equiv a \mid b + b \mid a.
\]
Daraus ergiebt sich, dass
\[
a \mid b \equiv  b \mid a
\]
ist, wenn von den drei Indices $a, b, ab$ alle oder nur einer grade
ist; dagegen
\[
a \mid b \equiv 1 + b \mid a,
\]
wenn unter den Indices $a, b, ab$ nur zwei oder gar kein grader vorhanden ist.
Ferner lehren diese Congruenzen, dass sich schliesslich
$(-1)^{(k\alpha, l\alpha, m\alpha)}$ in ein Product der Zeichen
\[
(-1)^{\kappa \mid \lambda}\]
auflösen lassen muss, wo $\kappa$ und $\lambda$ Indices der Reihe $1,\, 2 \dcdot 2\rho + 1$
sind. Diese genügen, da $\kappa$, $\lambda$, und $\kappa\lambda$ ungrade Indices sind, den Bedingungen:
\begin{align*}
\tag{43}
(-1)^{\kappa \mid \kappa} &= -1,\\
\tag{44}
(-1)^{\kappa \mid \lambda} &= -(-1)^{\lambda \mid \kappa}\quad (\kappa \lessgtr \lambda).
\end{align*}
Wegen dieser Eigenschaft dienen diese Vorzeichen im Wesentlichen
dazu, alternirende Functionen mehrerer Indices in symmetrische zu
verwandeln.


\Section{§~6.}

Es sei $a$ irgend ein grader Index; dann bezeichnen wir mit $c_a$ den
Werth, den die Function $\Theta (u,\, u',\, u'')_a$ annimmt, wenn die drei
Variabeln gleich Null gesetzt werden. Es giebt also $36$ Constanten
$c_a$; die eine (schon früher definirte) $c_0$ und die 35
$c_{\kappa\lambda\mu}$\@. Wir setzen
\[
\tag{45}
\frac{c_{\kappa\lambda\mu}}{c_0} = e_{\kappa\lambda\mu}.
\]

Es sei jetzt $a$ ein ungrader Index; dann fängt die Entwickelung
der Function $\Theta (u,\, u'$, $u'')_a$ nach aufsteigenden %**
Dimensionen der Variabeln an mit einer linearen Function:
\[
\tag{46}
u_a = A_a u + B_a u' + C_a u''.
\]
%-----File: 029.png-----------------------------------------
Es giebt $28$ ungrade Indices, die $7$ primitiven $\kappa$, und die $21$ zusammengesetzten
 $\kappa\lambda$; daher haben wir auch $28$ solche lineare Functionen
$u_\kappa$ und $u_{\kappa\lambda}$\@. Es sind jetzt die Relationen aufzustellen, welche zwischen
diesen Constanten $e_{\kappa\lambda\mu}$; $A_\kappa$, $B_\kappa$, $C_\kappa$;
$A_{\kappa\lambda}$, $B_{\kappa\lambda}$, $C_{\kappa\lambda}$ bestehen; hierbei
wird sich eine Darstellung dieser Grössen durch eine Anzahl von einander unabhängiger Parameter ergeben.

%\phantomsection
Wir setzen in der Gleichung~(39) die sechs Constanten
$v$, $v'$, $v''$, $w$, $w'$, $w'' = 0$; bezeichnen wir dann die Function
$\Theta (u,\, u',\, u'')_m$ kurz durch $\Theta _m$, so erhalten wir:\Label{S25}
\[
\tag{47}
c_0c_{kl}\, \Theta _{km}\, \Theta _{lm} =
\sum_{\alpha=0}^{7}[(-1)^{(k\alpha,la,m\alpha)}c_{klma}c_{ma}\, \Theta _{k\alpha}\, \Theta _{la}].
\]
Setzen wir hier noch $u,\, u',\, u'' = 0$, so erhalten wir die Gleichung zwischen den Parametern:
\[
c_0c_{kl}c_{km}c_{lm} =
\sum_{\alpha=0}^{7}[(-1)^{(k\alpha,l\alpha,m\alpha)}c_{k\alpha}c_{l\alpha}c_{m\alpha}c_{klm\alpha}].
\tag{48}\]
Wir setzen jetzt in der ersten dieser Gleichungen:
\[
k = \lambda\mu, \quad l = 0, \quad m = \kappa\mu,
\]
wo $\kappa$, $\lambda$, $\mu$ drei verschiedene primitive Indices bedeuten. Alsdann ist
$kl$ ein ungrader Index; die linke Seite der Gleichung~(47) verschwindet
demnach, und wir erhalten:
\[
\sum_{\alpha=0}^{7}[(-1)^{(\lambda\mu\alpha,\alpha,\kappa\mu\alpha)}c_{\kappa\lambda\alpha}
c_{\kappa\mu\alpha}\, \Theta _{\lambda\mu\alpha}\, \Theta _{\alpha}] =0.
%** Changed according to "`Berichtigung"':
%** $\Theta \rightarrow \Theta_{\alpha}$
\]
Ausserdem verschwinden diejenigen Terme der Summe, welche sich
auf die Indices $0,\, \kappa$, %**
$\lambda,\, \mu$ beziehen. Die Summe ist also auszudehnen
über die 4 Indices der Reihe $1,\, 2 \dcdot 7$, welche von $\kappa,\, \lambda,\, \mu$ verschieden.
 Diese seien: $\alpha,\, \beta,\, \gamma,\, \delta$\@. Um nun $K,\, L,\, M$ zu bestimmen, haben wir
$\lambda\mu\alpha$ zu ersetzen durch
$\kappa\beta\gamma\delta$, $\alpha$ durch
$\kappa\lambda\mu\beta\gamma\delta$, $\kappa\mu\alpha$
durch
$\lambda\beta\gamma\delta$\@. Der gemeinsame Theiler von $\kappa\lambda\mu\beta\gamma\delta$
und  $\lambda\beta\gamma\delta$ ist $\lambda\beta\gamma\delta$, der gemeinsame Theiler von
$\lambda\beta\gamma\delta$ und $\kappa\beta\gamma\delta$ ist
$\beta\gamma\delta$, von $\kappa\beta\gamma\delta$ und
$\kappa\lambda\mu\beta\gamma\delta$, $\kappa\beta\gamma\delta$\@. Wir bekommen also:
\[
K = \lambda\beta\gamma\delta = \kappa\mu\alpha, \quad L = \beta\gamma\delta =
 \kappa\lambda\mu\alpha, \quad M = \kappa\beta\gamma\delta = \lambda\mu\alpha.
\]
Daher ist
\begin{align*}
(\lambda\mu\alpha, \alpha, \kappa\mu\alpha) &\equiv K \mid \lambda\mu\alpha +
 L\kappa\mu\alpha \mid \alpha + M\alpha \mid \kappa\mu\alpha\\
&\equiv \kappa\mu\alpha \mid \lambda\mu\alpha + \lambda \mid \alpha +
\lambda\mu \mid \kappa\mu\alpha.
\end{align*}

Nun ist
\[
\lambda\mu \mid \kappa\mu\alpha \equiv 1 + \kappa\mu\alpha \mid \lambda\mu,
\]
da von den drei Indices $\kappa\mu\alpha$, $\lambda\mu$, $\kappa\lambda\alpha$
einer ungrade ist; ferner:
\[
\kappa\mu\alpha \mid \lambda\mu + \kappa\mu\alpha \mid \lambda\mu\alpha
\equiv \kappa\mu\alpha \mid \alpha,
\]
%-----File: 030.png-----------------------------------------
und
\[
\kappa\mu\alpha \mid\alpha + \lambda \mid \alpha \equiv \kappa\lambda \mu\alpha \mid\alpha.
\]
Daher ist
\[
 (\lambda\mu\alpha, \alpha, \kappa\mu\alpha)
    \equiv 1 + \kappa\lambda\mu\alpha \mid\alpha.
\]
Wir erhalten also:
\[
\tag{49}
 \sum_{\alpha, \beta, \gamma, \delta} \left[
 (-1)^{\kappa\lambda\mu\alpha \mid\alpha}
 c_{\kappa\lambda\alpha} c_{\kappa\mu\alpha}
 \, \Theta _{\lambda\mu\alpha} \, \Theta _{\alpha} \right] = 0.
\]
Wenn wir das Product $\Theta_{\lambda\mu\alpha} \Theta_{\alpha}$
nach aufsteigenden Dimensionen der Variabeln entwic\-keln, %**
so ist das Anfangsglied: $c_{\lambda\mu\alpha} u_{\alpha}$;
daher muss zwischen den vier linearen Functionen $u_{\alpha},\, u_{\beta},\, u_{\gamma},\, u_{\delta}$ die Gleichung
bestehen:
\[
 \sum_{\alpha, \beta, \gamma, \delta} \left[
 (-1)^{\kappa\lambda\mu\alpha \mid\alpha}
 c_{\kappa\lambda\alpha} c_{\kappa\mu\alpha}
 c_{\lambda\mu\alpha} u_{\alpha} \right] = 0.
\]
Diese Gleichung multipliciren wir mit $\dfrac{e_{\kappa\lambda\mu}}{c_0^3}$;
dann ergiebt sich:
\[
 \sum_{\alpha, \beta, \gamma, \delta} \left[
 (-1)^{\kappa\lambda\mu\alpha \mid\alpha}
 e_{\kappa\lambda\alpha} e_{\kappa\mu\alpha}
 e_{\lambda\mu\alpha} e_{\kappa\lambda\mu} u_{\alpha} \right] = 0.
\]
Nun ist $e_{\kappa\lambda\alpha} e_{\kappa\mu\alpha} e_{\lambda\mu\alpha}
e_{\kappa\lambda\mu}$ ein in Bezug auf die Indices $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\alpha$
symmetrischer Ausdruck, den wir deshalb durch $
E_{\beta \gamma \delta}$ bezeichnen können.
Ferner ist
$\kappa \lambda \mu \alpha = \beta \gamma \delta,\
\kappa \lambda \mu \beta  = \gamma \delta \alpha$
u.~s.~f.; es ist also
\begin{align*}
  &(-1)^{\beta\gamma\delta \mid\alpha} E_{\beta\gamma\delta} u_{\alpha}
 +(-1)^{\gamma\delta\alpha \mid\beta} E_{\gamma\delta\alpha} u_{\beta}
\\
 +&(-1)^{\delta\alpha\beta \mid\gamma} E_{\delta\alpha\beta} u_{\gamma}
 +(-1)^{\alpha\beta\gamma \mid\delta} E_{\alpha\beta\gamma} u_{\delta}  = 0.
\end{align*}
Diese Gleichung gilt für willkürliche Werthe von $u$, $u'$, $u''$\@.
Wir bestimmen diese so, dass $u_{\gamma}$ und $u_{\delta}$ verschwindet; dann ist:
\[
u_{\alpha} : u_{\beta} =
\begin{vmatrix}
  A_{\alpha} & B_{\alpha} & C_{\alpha}  \\
  A_{\gamma} & B_{\gamma} & C_{\gamma}  \\
  A_{\delta} & B_{\delta} & C_{\delta}
\end{vmatrix}
:
\begin{vmatrix}
  A_{\beta}  & B_{\beta}  & C_{\beta}   \\
  A_{\gamma} & B_{\gamma} & C_{\gamma}  \\
  A_{\delta} & B_{\delta} & C_{\delta}
\end{vmatrix}.
\]
Nun ist
\begin{align*}
 &(-1)^{\beta\gamma\delta \mid\alpha}
  = (-1)^{\beta \mid\alpha} (-1)^{\gamma\delta \mid\alpha}
  = \phantom{-} (-1)^{\beta \mid\alpha} (-1)^{\alpha \mid\gamma\delta},  \\
 &(-1)^{\gamma\delta\alpha \mid\beta}
  = (-1)^{\alpha \mid\beta} (-1)^{\gamma\delta \mid\beta}
 = -(-1)^{\beta \mid\alpha} (-1)^{\beta \mid\gamma\delta}.
\end{align*}
Folglich erhalten wir:
\[
 E_{\alpha\gamma\delta} : E_{\beta\gamma\delta}
 = (-1)^{\alpha \mid \gamma\delta}
\begin{vmatrix}
   A_{\alpha} & B_{\alpha} & C_{\alpha}   \\
   A_{\gamma} & B_{\gamma} & C_{\gamma}   \\
   A_{\delta} & B_{\delta} & C_{\delta}
\end{vmatrix}
 : (-1)^{\beta \mid \gamma\delta}
\begin{vmatrix}
   A_{\beta}  & B_{\beta}  & C_{\beta}    \\
   A_{\gamma} & B_{\gamma} & C_{\gamma}   \\
   A_{\delta} & B_{\delta} & C_{\delta}
\end{vmatrix}.
\]

Wir setzen nun:
\[
\tag{50}
 (-1)^{\alpha \mid \gamma\delta + \gamma \mid \delta}
\begin{vmatrix}
   A_{\alpha} & B_{\alpha} & C_{\alpha}   \\
   A_{\gamma} & B_{\gamma} & C_{\gamma}   \\
   A_{\delta} & B_{\delta} & C_{\delta}
\end{vmatrix}
 = F_{\alpha \gamma \delta}.
\]
%-----File: 031.png-----------------------------------------
Dieser Ausdruck ist symmetrisch in Bezug auf die drei Indices $\alpha$,
$\gamma$, $\delta$; denn das der Determinante vorangesetzte Zeichen
verwandelt seinen Werth in den entgegengesetzten, wenn zwei der
Indices $\alpha$, $\gamma$, $\delta$ mit einander vertauscht werden. Es
ergiebt sich dann:
\[
  \frac{E_{\alpha \gamma \delta}}{F_{\alpha \gamma \delta}} =
   \frac{E_{\beta \gamma \delta}}{F_{\beta \gamma \delta}}.
\]
Hieraus ist klar, dass dieser Quotient eine von jeder Vertauschung
der Indices unabhängige Grösse $r$ ist. Mithin erhalten wir:
\[
\tag{51}
  e_{\alpha \beta \gamma}  e_{\beta \gamma \delta}  e_{\gamma \delta
  \alpha}  e_{\delta \alpha \beta} = r F_{\kappa \lambda \mu}.
\]

Hiermit ist ein System von $35$ Gleichungen gegeben, aus welchem
sich die Grössen $e$ bestimmen lassen. Zu diesem Zweck führen wir
eine Reihe von Bezeichnungen ein:
\[
\tag{52}
  \Pi (F_{\kappa \lambda \alpha}) = F_{\kappa \lambda}, \quad
  \Pi (F_{\kappa \alpha \beta}) = F_{\kappa}, \quad
  \Pi (F_{\alpha \beta \gamma}) = F.
\]
Das erste Product soll erstreckt sein über alle $5$ dreigliedrigen
Indices, welche $\kappa$ und $\lambda$ enthalten, das zweite über
alle $15$, welche $\kappa$ enthalten, das letzte über alle $35$ überhaupt. In
derselben Weise definiren wir:
\[
\tag{53}
  \Pi (e_{\kappa \lambda \alpha}) = e_{\kappa \lambda}, \quad
  \Pi (e_{\kappa \alpha \beta}) = e_{\kappa}, \quad
  \Pi (e_{\alpha \beta \gamma}) = e.
\]

Setzt man in die Formeln~(52) die Werthe der Grössen $F_{\kappa
  \lambda \mu}$ nach (51) ein, so ergiebt sich:
\[
\tag{54}
 r^5 F_{\kappa \lambda} = \frac{e^2 e^2_{\kappa
 \lambda}}{e^2_\kappa e^2_\lambda}, \quad
 r^{15} F_{\kappa} = \frac{e^3}{e^3_\kappa}, \quad
 r^{35} F = e^4.
\]

Ferner ist, wie man leicht erkennt:
\[
\tag{55}
\frac{e  e_{\kappa \lambda}  e_{\kappa \mu}  e_{\lambda
    \mu}}{e_\kappa  e_\lambda  e_\mu  e_{\kappa \lambda
    \mu}} = e_{\alpha \beta \gamma}  e_{\beta \gamma \delta}
    e_{\gamma \delta \alpha}  e_{\delta \alpha \beta}.
\]
Folglich
\[
\tag{56}
   e_{\kappa \lambda \mu} = \frac{e  e_{\kappa \lambda}
    e_{\kappa \mu}  e_{\lambda \mu}}{r  e_\kappa
    e_\lambda  e_\mu  F_{\kappa \lambda \mu}}.
\]
Durch die Formeln~(54) ist $e$, $e_\kappa$, $e_{\kappa \lambda}$,
durch (56) alsdann $e_{\kappa \lambda \mu}$  bestimmt.

\Section{§~7.}

Um weitere Relationen unter den Moduln zu erhalten, setzen wir
in der Gleichung~(48):
\[
  k = \kappa \lambda, \quad l = \mu \nu, \quad m =
  \kappa \mu \rho,
\]
wo $\kappa,\, \lambda,\, \mu,\, \nu,\, \rho$ fünf Zahlen der Reihe $1,\, 2 \dldot7$ bedeuten.
Unter dieser Voraussetzung geht dieselbe über in
folgende:
\[
c_0  c_{\kappa \lambda \mu \nu}  c_{\rho \lambda \mu}
c_{\rho \kappa \nu} = \sum_{\alpha = 0}^7 \left[
  (-1)^{(\kappa \lambda \alpha, \mu \nu \alpha, \kappa \mu
    \rho \alpha)} c_{\kappa \lambda \alpha}  c_{\mu \nu \alpha}
   c_{\rho \kappa \mu \alpha}  c_{\rho \lambda \nu \alpha}
\right].
\]
%-----File: 032.png-----------------------------------------
Hier verschwinden alle Glieder, die sich auf $ \alpha = 0,\, \kappa,\, \lambda,\, \mu,\, \nu,\, \rho $
beziehen; es bleiben also nur die beiden Terme stehen, die sich auf
die beiden übrigen primitiven Indices beziehen, welche wir mit $\alpha$ und
$\beta$ bezeichnen wollen. Es ist dann
\[
(\kappa\lambda\alpha,\, \mu\nu\alpha,\, \kappa\mu\rho\alpha) = (\mu\nu\rho\beta,\
 \kappa\lambda\rho\beta,\, \kappa\mu\rho\alpha).
\]
Hier ergiebt sich:
\begin{align*}
K = \kappa\rho, \quad L\phantom{m} &= \mu\rho, \quad \, M\phantom{l} = \beta\rho,\\
 Lm &= \kappa\alpha, \quad Ml = \beta\rho\mu\nu\alpha = \kappa\lambda.
\end{align*}
Daher ist
\[
(\kappa\lambda\alpha,\, \mu\nu\alpha,\, \kappa\mu\rho\alpha)
= \kappa\rho \mid\kappa\lambda\alpha + \kappa\alpha \mid\mu\nu\alpha
+ \kappa\lambda \mid\kappa\mu\rho\alpha.
\]
Für $\kappa\rho \mid\kappa\lambda\alpha$ können wir setzen:
\[
1 + \kappa\lambda\alpha \mid \kappa\rho,
\]
für $\kappa\lambda \mid \kappa\mu\rho\alpha$:
\[
\kappa\lambda \mid \alpha\mu + \kappa\lambda \mid \kappa\rho,
\]
daher für $\kappa\rho \mid\kappa\lambda\alpha
+ \kappa\lambda \mid\kappa\mu\rho\alpha$:
\[
1 + \kappa\lambda \mid\alpha\mu + \alpha \mid \kappa\rho.
\]
Ferner ist
\[
\kappa\alpha \mid \mu\nu\alpha
\equiv \kappa\alpha \mid \alpha\mu + \kappa\alpha \mid \nu;
\]
folglich ist
\[
( \kappa\lambda\alpha,\, \mu\nu\alpha,\, \kappa\mu\rho\alpha ) \equiv 1
+ \alpha\lambda \mid\alpha\mu + \kappa\alpha \mid\nu + \alpha \mid\kappa\rho.
\]
Nun ist
\begin{align*}
1 + \alpha\lambda \mid\alpha\mu
&\equiv \alpha\lambda \mid\lambda\mu \equiv \lambda \mid\lambda\mu + \alpha \mid\lambda\mu,\\
\kappa\alpha \mid\nu &\equiv \kappa \mid\nu + \alpha \mid\nu.
\end{align*}
Folglich
\[
1 + \alpha\lambda \mid\alpha\mu + \kappa\alpha \mid\nu
  + \alpha \mid\kappa\rho \equiv \lambda \mid\lambda\mu
  + \kappa \mid\nu + \alpha \mid\kappa\lambda\mu\nu\rho. \]
Es ist aber
\[ \kappa\lambda\mu\nu\rho = \alpha\beta; \]
daher:
\begin{align*}
( \kappa\lambda\alpha,\, \mu\nu\alpha,\, \kappa\mu\rho\alpha )
&\equiv \lambda \mid\lambda\mu + \kappa \mid\nu + \alpha \mid\alpha\beta \\
    &\equiv \alpha \mid\beta + \kappa \mid\nu + \lambda \mid\mu.
\end{align*}
Das andere Zeichen $(\kappa\lambda\beta,\, \mu\nu\beta,\, \kappa\mu\rho\beta)$
ergiebt sich aus diesem durch Vertauschung von $\alpha$ und $\beta$\@.
Da nun $(-1)^{\alpha \mid \beta} = -(-1)^{\beta \mid \alpha}$ ist, so folgt:
\[
c_0 c_{\rho\alpha\beta} c_{\rho\kappa\nu} c_{\rho\lambda\mu}
= (-1)^{\alpha \mid \beta + \kappa \mid \nu + \lambda \mid \mu}
(c_{\alpha\kappa\lambda} c_{\alpha\mu\nu} c_{\beta\kappa\mu} c_{\beta\lambda\nu}
- c_{\beta\kappa\lambda} c_{\beta\mu\nu} c_{\alpha\kappa\mu} c_{\alpha\lambda\nu}),
\]
daher:
\[
\tag{57}
e_{\rho\alpha\beta} e_{\rho\kappa\nu} e_{\rho\lambda\mu}
= (-1)^{\alpha \mid \beta + \kappa \mid \nu + \lambda \mid \mu}
(e_{\alpha\kappa\lambda} e_{\alpha\mu\nu} e_{\beta\kappa\mu} e_{\beta\lambda\nu}
- e_{\beta\kappa\lambda} e_{\beta\mu\nu} e_{\alpha\kappa\mu} c_{\alpha\lambda\nu}).
\]

Es ist nun
\begin{align*}
rF_{\alpha\kappa\lambda} &= e_{\rho\beta\mu} e_{\rho\beta\nu} e_{\rho\mu\nu} e_{\beta\mu\nu}, \\
rF_{\alpha\mu\nu} &= e_{\rho\beta\kappa} e_{\rho\beta\lambda} e_{\rho\kappa\lambda} e_{\beta\kappa\lambda}, \\
rF_{\beta\kappa\mu} &= e_{\rho\alpha\lambda} e_{\rho\alpha\nu} e_{\rho\lambda\nu} e_{\alpha\lambda\nu}, \\
rF_{\beta\lambda\nu} &= e_{\rho\alpha\kappa} e_{\rho\alpha\mu} e_{\rho\kappa\mu} e_{\alpha\kappa\mu}.
\end{align*}
%-----File: 033.png-----------------------------------------
In diesen vier Ausdrücken kommen alle Grössen vor, die in dem Product
$e_{\rho}$ enthalten sind, mit Ausnahme von $e_{\rho\alpha\beta}$,
$e_{\rho\kappa\nu}$, $e_{\rho\lambda\mu}$\@. Demnach ist
\begin{align*}
&r^4 F_{\alpha\kappa\lambda} F_{\alpha\mu\nu} F_{\beta\kappa\mu} F_{\beta\lambda\nu}
 =
e_{\rho}\ \frac{e_{\beta\kappa\lambda} e_{\beta\mu\nu} e_{\alpha\kappa\mu} e_{\alpha\lambda\nu}}
{e_{\rho\alpha\beta} e_{\rho\kappa\nu} e_{\rho\lambda\mu}},\\
&r^4 F_{\beta\kappa\lambda} F_{\beta\mu\nu} F_{\alpha\kappa\mu} F_{\alpha\lambda\nu}
 =
e_{\rho}\ \frac{e_{\alpha\kappa\lambda} e_{\alpha\mu\nu} e_{\beta\kappa\mu} e_{\beta\lambda\nu}}
{e_{\rho\alpha\beta} e_{\rho\kappa\nu} e_{\rho\lambda\mu}}.
\end{align*}
Vermöge dieser beiden Formeln geht die Gleichung~(57) über in
folgende:
\[
\tag{58}
\frac{- e_{\rho}}{r^4} =
(F_{\alpha\kappa\lambda} F_{\alpha\mu\nu} F_{\beta\kappa\mu} F_{\beta\lambda\nu} -
F_{\beta\kappa\lambda} F_{\beta\mu\nu} F_{\alpha\kappa\mu} F_{\alpha\lambda\nu})
(-1)^{\alpha \mid \beta+\kappa \mid \nu+\lambda \mid \mu}.
\]
Setzen wir hier für $F_{\alpha\kappa\lambda},\, F_{\alpha\mu\nu}$ etc.\ die in der Gleichung~(50) angegebenen
Werthe dieser Grössen, so verwandelt sich der Ausdruck auf
der rechten Seite in eine ganze rationale Function der Werthsysteme
$A_{\alpha},\, B_{\alpha},\, C_{\alpha};\
A_{\beta},\, B_{\beta},\, C_{\beta}\dcdot
A_{\nu},\, B_{\nu},\, C_{\nu}$\@.
Fassen wir denselben auf als
Function eines dieser Werthsysteme, so stellt er eine ganze homogene
Function zweiten Grades dar, welche verschwindet, wenn $A_{\alpha},\, B_{\alpha},\, C_{\alpha}$
gleich einem der $5$ anderen Systeme: $A_{\beta},\, B_{\beta},\, C_{\beta}\dcdot
A_{\nu},\, B_{\nu},\, C_{\nu}$ gesetzt
wird. Der Ausdruck muss daher dargestellt werden können in der Form:
\[
\tag{59}
\epsilon
\begin{vmatrix}
  A^2_{\alpha} &B^2_{\alpha} &C^2_{\alpha} &B_{\alpha}C_{\alpha}
   & C_{\alpha}A_{\alpha} &A_{\alpha}B_{\alpha}      \\
  A^2_{\beta} &B^2_{\beta} &C^2_{\beta} &B_{\beta}C_{\beta}
   & C_{\beta}A_{\beta} &A_{\beta}B_{\beta}          \\
  A^2_{\kappa} &B^2_{\kappa} &C^2_{\kappa} &B_{\kappa}C_{\kappa}
   & C_{\kappa}A_{\kappa} &A_{\kappa}B_{\kappa}      \\
  A^2_{\lambda} &B^2_{\lambda} &C^2_{\lambda} &B_{\lambda}C_{\lambda}
   & C_{\lambda}A_{\lambda} &A_{\lambda}B_{\lambda}  \\
  A^2_{\mu} &B^2_{\mu} &C^2_{\mu} &B_{\mu}C_{\mu}
   & C_{\mu}A_{\mu} &A_{\mu}B_{\mu}                  \\
  A^2_{\nu} &B^2_{\nu} &C^2_{\nu} &B_{\nu}C_{\nu}
   & C_{\nu}A_{\nu} &A_{\nu}B_{\nu}
\end{vmatrix},
\]
wo $\epsilon$ einen Factor bedeutet, der offenbar nicht nur von $A_{\alpha},\, B_{\alpha},\, C_{\alpha}$
sondern auch von $A_{\beta},\, B_{\beta},\, C_{\beta}\dcdot
A_{\nu},\, B_{\nu},\, C_{\nu}$ unabhängig ist. Die Vergleichung
des Diagonalgliedes in dieser Determinante mit dem entsprechenden
Gliede in dem ursprünglichen Ausdruck zeigt, dass
\[
\tag{60}
\epsilon = (-1)^
{\alpha \mid \beta\kappa\lambda\mu\nu+
\beta \mid \kappa\lambda\mu\nu+
\kappa \mid \lambda\mu\nu+
\lambda \mid \mu\nu+
\mu \mid \nu}
\]
ist. Dieses Vorzeichen verwandelt seinen Werth in den entgegengesetzten,
wenn irgend zwei der Indices $\alpha,\, \beta,\, \kappa,\, \lambda,\, \mu,\, \nu$ mit einander
vertauscht werden. Daraus folgt, dass der Ausdruck~(59)
%** Changed according to "`Berichtigung"': (60) $\rightarrow$ (59)
eine symmetrische Function dieser $6$ Indices ist, die wir demnach durch
$G_{\rho}$ bezeichnen können, wo $\rho$ den einzigen noch übrig bleibenden
primitiven Index bedeutet. Wir erhalten also:
\[
\tag{61}
\begin{split}
(-1)^{\alpha \mid \beta+ \kappa \mid \nu+ \lambda \mid \mu}
(F_{\alpha\kappa\lambda} F_{\alpha\mu\nu} F_{\beta\kappa\mu} F_{\beta\lambda\nu} -
&F_{\beta\kappa\lambda} F_{\beta\mu\nu} F_{\alpha\kappa\mu} F_{\alpha\lambda\nu}) = G_{\rho},\\
\frac{- e_{\rho}}{r^4} = G_{\rho}.
\end{split}
\]
%-----File: 034.png-----------------------------------------

\Section{§~8.}

Wir sind jetzt im Stande, die Constanten $A_\kappa,\, B_\kappa,\
C_\kappa$, und die Moduln $e_{\kappa \lambda \mu}$ durch eine Anzahl
unabhängiger Grössen auszudrücken.  Wir wählen hierfür die
Verhältnisse $\dfrac{B_\kappa}{A_\kappa}$, $\dfrac{C_\kappa}{A_\kappa}$\@.
Es werde gesetzt:
\[
\tag{62}
\begin{split}
 A_\kappa = l_\kappa \, a_\kappa,  \quad
 B_\kappa &= l_\kappa \, b_\kappa, \quad
 C_\kappa = l_\kappa \, c_\kappa,  \quad \\
 v_\kappa = a_\kappa u &+ b_\kappa u'+ c_\kappa u'',
\end{split}
\]
sodass
\[
  u_\kappa = l_\kappa v_\kappa
\]
ist. Von diesen Grössen $a_\kappa,\, b_\kappa,\, c_\kappa$ kann
stets eine willkürlich gewählt werden. Aber von den übrigen $14$ Grössen
können ausserdem noch $8$ willkürlich angenommen werden, da nichts
wesentliches geändert wird, wenn wir die Variabeln $u$, $u'$, $u''$ einer
linearen Transformation unterwerfen. Haben wir also die Moduln
dargestellt durch die $21$ Constanten $a_\kappa,\, b_\kappa,\
c_\kappa$, so werden wir die Anzahl dieser Parameter, sobald wir
wollen, auf $6$ reduciren können. Indess gestalten sich die Resultate
übersichtlicher ohne solche besondere Annahmen.

Wir denken uns in allen gefundenen Gleichungen die Werthe
$l_\kappa\, a_\kappa$, $l_\kappa \, b_\kappa$, $l_\kappa \, c_\kappa$
für $A_\kappa,\, B_\kappa,\, C_\kappa$
eingesetzt. Die Functionen, welche wir erhalten, wenn wir in den
Ausdrücken von $F_{\kappa \lambda \mu}$, $F_{\kappa \lambda}$,
$F_{\kappa}$, $F$ und $G_\rho$ sämmtliche Grössen $A_\kappa,\
B_\kappa,\, C_\kappa$ ersetzen durch $a_\kappa,\, b_\kappa,\
c_\kappa$, bezeichnen wir durch $f_{\kappa \lambda \mu}$,
$f_{\kappa \lambda}$, $f_{\kappa}$, $f$ und $g_\rho$\@.
Ferner führen wir zur Abkürzung die beiden Bezeichnungen ein:

\[
\tag{63}
 l_1 l_2 \cdots l_7 = l \quad\text{und}\quad
 g_1 g_2 \cdots g_7 = g.
\]
Es ist dann:
\begin{gather*}
\tag{64}
 F_{\kappa \lambda \mu} =  l_\kappa l_\lambda l_\mu f_{\kappa
 \lambda \mu}, \\
\tag{65}
  G_\rho = \frac{l^2}{l^2_\rho}  \, g_{\rho}.
\end{gather*}
Aus der ersten dieser Gleichungen folgt:
\[
\tag{66}
  F_{\kappa \lambda} = l l^4_\kappa l^4_\lambda f_{\kappa
  \lambda}, \quad
  F_{\kappa} = l^5 l^{10}_\kappa  f_{\kappa}, \quad
  F = l^{15} f.
\]
Dadurch gehen die Gleichungen~(54), (56) und (61) über in folgende:
\begin{align*}
\tag{67}
  r^5 l l^4_\kappa l^4_\lambda f_{\kappa \lambda}
  &= \frac{e^2 e^2_{\kappa \lambda}}{e^2_\kappa e^2_\lambda}, \quad
  r^{15}  l^5 l^{10}_\kappa  f_{\kappa} = \frac{e^3}
  {e^3_\kappa}, \quad
  r^{35} l^{15} f  = e^4, \\
\tag{68}
  e_{\kappa \lambda \mu}
  &= \frac{e e_{\kappa \lambda} e_{\kappa \mu} e_{\lambda \mu}}
  {r e_\kappa e_\lambda e_\mu
  l_\kappa l_\lambda l_\mu f_{\kappa \lambda \mu}}, \\
\tag{69}
  \frac{-e_\rho}{r^4}
  &= \frac{l^2}{l^2_\rho} g_\rho.
\end{align*}
In der letzten Gleichung setzen wir $\rho = 1,\, 2 \dcdot 7$ und
bilden das Product; dann ergiebt sich, da offenbar $e_1 e_2 \dcdot e_7
= e^3$ ist:
%-----File: 035.png-----------------------------------------
\[
\tag{70}
-e^3 = r^{28}l^{12}g.
\]

Wir haben nun mit Hülfe dieser Gleichungen die Grössen $e, e_\kappa,
e_{\kappa\lambda}, e_{\kappa\lambda\mu}, l, l_\kappa$ auszudrücken durch die
Constanten $r, f_{\kappa\lambda\mu}$ und $g_\kappa$\@.
Aus der letzten Formel in dem Gleichungssystem~(67) und aus (70)
folgt zunächst:
\begin{align*}
\tag{71}      e &= - \frac{f^4}{g^5},  \\
\tag{72} l^3r^7 &=   \frac{f^3}{g^4}.
\end{align*}
Ferner aus (67) und (69):
\begin{align*}
\tag{73} e^2_\kappa &= \frac{f^3}{g^5}f_\kappa g^5_\kappa,\\
\tag{74} l^4_\kappa &= \frac{rlg}{f_\kappa g^3_\kappa}.
\end{align*}
Endlich, ebenfalls aus (67):
\[
\tag{75}
e^2_{\kappa\lambda}
 = \frac{f}{g^2}
   g^2_\kappa g^2_\lambda f_{\kappa\lambda}.
\]

Jetzt können wir den Modul $e_{\kappa\lambda\mu}$ selbst darstellen. Nach (68) ist:
\[
e^2_{\kappa\lambda\mu}
= \frac{e^2 e^2_{\kappa\lambda} e^2_{\kappa\mu} e^2_{\lambda\mu}}
{r^2 e^2_{\kappa} e^2_{\lambda} e^2_{\mu} l^2_{\kappa} l^2_{\lambda} l^2_{\mu} f^2_{\kappa\lambda\mu}}.
\]
Nun ist
\begin{gather*}
e^2 = \frac{f^8}{g^{10}}\text{ nach (71)},   \\
e^2_{\kappa\lambda} e^2_{\kappa\mu} e^2_{\lambda\mu}
= \frac{f^3}{g^6} g^4_{\kappa} g^4_{\lambda} g^4_{\mu} f_{\kappa\lambda} f_{\kappa\mu} f_{\lambda\mu}
\text{ nach (75)},   \\
r^2 e_{\kappa} e_{\lambda} e_{\mu} l^2_{\kappa} l^2_{\lambda} l^2_{\mu}
= -r^4 l^6 g_{\kappa} g_{\lambda} g_{\mu}
= - \frac{f^6}{g^8} g_{\kappa} g_{\lambda} g_{\mu}   \\
\text{(nach (69) und (72))}.
\end{gather*}

Daraus folgt:
%** Corrected typo: folg $\rightarrow$ folgt
\[
e^2_{\kappa\lambda\mu}
= -\frac{f^5}{g^8}
   \frac{g^3_{\kappa} g^3_{\lambda} g^3_{\mu}
         f_{\kappa\lambda}f_{\kappa\mu} f_{\lambda\mu}}
       {e_{\kappa} e_{\lambda} e_{\mu} f_{\kappa\lambda\mu}^2}.
\]
Erhebt man diese Gleichung noch einmal zum Quadrat, so folgt, da
nach (73)
\[
e^2_{\kappa} e^2_{\lambda} e^2_{\mu}
= \frac{f^9}{g^{15}}\ f_{\kappa} f_{\lambda} f_{\mu}
 g^5_{\kappa} g^5_{\lambda} g^5_{\mu}
\]
ist:
\[
e^4_{\kappa\lambda\mu}
= \frac{f}{g}\ \frac{g_{\kappa} g_{\lambda} g_{\mu} f^2_{\kappa\lambda} f^2_{\kappa\mu} f^2_{\lambda\mu}}
{f_{\kappa} f_{\lambda} f_{\mu} f^4_{\kappa\lambda\mu}}.
\]
Nach (55) ist
\[
\frac{f f_{\kappa\lambda} f_{\kappa\mu} f_{\lambda\mu}}
{f_{\kappa} f_{\lambda} f_{\mu} f_{\kappa\lambda\mu}}
= f_{\alpha\beta\gamma} f_{\beta\gamma\delta} f_{\gamma\delta\alpha} f_{\delta\alpha\beta}.
\]
Ausserdem:
\[
g = g_{\kappa} g_{\lambda} g_{\mu}
 g_{\alpha} g_{\beta} g_{\gamma} g_{\delta};
\]
daher:
%-----File: 036.png-----------------------------------------
\[
e^4_{\kappa\lambda\mu} = \frac{f_{\kappa\lambda} f_{\kappa\mu}
f_{\lambda\mu} f_{\alpha\beta\gamma} f_{\beta\gamma\delta}
f_{\gamma\delta\alpha} f_{\delta\alpha\beta}}
{g_{\alpha} g_{\beta} g_{\gamma} g_{\delta}
f^3_{\kappa\lambda\mu}},
\]
oder, wenn wir die Producte
$f_{\kappa\lambda},\, f_{\kappa\mu},\, f_{\lambda\mu}$ auflösen:
\[
e^4_{\kappa\lambda\mu}
=\frac
{f_{\kappa\lambda\alpha}f_{\kappa\lambda\beta}f_{\kappa\lambda\gamma}
  f_{\kappa\lambda\delta}f_{\kappa\mu\alpha}f_{\kappa\mu\beta}
  f_{\kappa\mu\gamma}f_{\kappa\mu\delta}f_{\lambda\mu\alpha}
  f_{\lambda\mu\beta}f_{\lambda\mu\gamma}f_{\lambda\mu\delta}
  f_{\alpha\beta\gamma}f_{\beta\gamma\delta}f_{\gamma\delta\alpha}f_{\delta\alpha\beta}}
{g_{\alpha}g_{\beta}g_{\gamma}g_{\delta}}.
\]
Diese Formel können wir so darstellen:
\[
\tag{76}
 e^4_{\kappa\lambda\mu} = \frac{\Pi(f_m)} {\Pi(g_{\alpha})}.
\]

Das Product im Zähler ist zu erstrecken über alle diejenigen graden
Indices $m$, für welche $m\kappa\lambda\mu$ ein ungrader Index ist; das Product
$\Pi(g_{\alpha})$ dagegen über alle von $\kappa$, $\lambda$, $\mu$ verschiedenen primitiven Indices.

\Section{§~9.}

Es bleibt noch übrig, die Anfangsglieder
\[
u_{\kappa\lambda} = A_{\kappa\lambda}u + B_{\kappa\lambda}u' + C_{\kappa\lambda}u''
\]
der $21$ Functionen $\Theta _{\kappa\lambda}$ zu bestimmen. Zu diesem Zweck setzen wir
in der Gleichung~(47):
\[
k= {\kappa\lambda}, \quad m=\kappa\mu\nu, \quad l=0,
\]
 wo $\kappa,\, \lambda,\, \mu,\, \nu$ vier verschiedene primitive Indices bedeuten sollen. Es
ist dann, da $c_{kl} = 0$ ist,
\[
\sum^7_{\alpha=0}[(-1)^{(\kappa\lambda\alpha,\, \alpha,\, \kappa\mu\nu\alpha)}
c_{\kappa\mu\nu\alpha}c_{\lambda\mu\nu\alpha}\, \Theta _{\kappa\lambda\alpha}\, \Theta _{\alpha}].
\]
Hier fallen fort die Glieder: $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, es bleiben übrig die vier:
$0$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$\@. Es ist nun zunächst
\[
(\kappa\lambda,\, 0,\, \kappa\mu\nu) = (\kappa\lambda,\, 0,\, \alpha\beta\gamma\lambda).
\]
Hier ist offenbar $K = 0$, $L = \lambda$, $M=0$, daher
\[
(\kappa\lambda,\, 0,\, \kappa\mu\nu)\equiv 0 \bmod 2.
\]
Ist dagegen $\alpha$ von $0$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$ verschieden, so erhalten wir
\[
(\kappa\lambda\alpha,\, \alpha,\, \kappa\mu\nu\alpha)
=(\mu\nu\beta\gamma,\, \kappa\lambda\mu\nu\beta\gamma,\, \kappa\mu\nu\alpha).
\]
Hier ergiebt sich:
\begin{align*}
K=\kappa\mu\nu, &\quad L=\mu\nu, \quad \phantom{l}M=\mu\nu\beta\gamma, \\
            &Lm=\kappa\alpha, \quad Ml=\mu\nu\beta\gamma\alpha=\kappa\lambda.
\end{align*}
Es ist daher:
\[
(\kappa\lambda\alpha,\, \alpha,\, \kappa\mu\nu\alpha)
= \kappa\mu\nu\mid \kappa\lambda\alpha+\kappa\alpha\mid \alpha+\kappa\lambda\mid \kappa\mu\nu\alpha.
\]
Es ist aber
\begin{align*}
\kappa\mu\nu \mid \kappa\lambda\alpha
&\equiv \kappa\mu\nu \mid \kappa\lambda + \kappa\mu\nu\mid \alpha, \\
\kappa\lambda \mid \kappa\mu\nu\alpha
&\equiv \kappa\lambda \mid \kappa\mu\nu + \kappa\lambda\mid \alpha, \\
\kappa\mu\nu \mid \kappa\lambda
&+ \kappa\lambda \mid \kappa\mu\nu \equiv 1 \bmod 2,
\end{align*}
%-----File: 037.png-----------------------------------------
weil von den drei Indices $\kappa\mu\nu$, $\kappa\lambda$,
$\lambda\mu\nu$ nur einer ungrade ist. Mithin:
\begin{align*}
(\kappa\lambda\alpha,\, \alpha,\, \kappa\mu\nu\alpha) &\equiv 1
 + \kappa\lambda \mid \alpha
 + \kappa\mu\nu \mid \alpha
 + \kappa\alpha \mid \alpha, \\
\intertext{dies ist}
&\equiv 1 + \beta\gamma \mid \alpha.
\end{align*}
Demnach ergiebt sich folgende Gleichung:
\[
\tag{77}
\begin{split}
&\quad c_{\kappa\mu\nu} c_{\lambda\mu\nu}
 \, \Theta \, \Theta _{\kappa\lambda}
= (-1)^{\beta\gamma\, \mid  \alpha}
 c_{\beta\gamma\kappa} c_{\beta\gamma\lambda}
 \, \Theta _{\kappa\lambda\alpha} \, \Theta _{\alpha}\\
&\quad + (-1)^{\gamma\alpha\, \mid   \beta}
 c_{\gamma\alpha\kappa} c_{\gamma\alpha\lambda}
 \, \Theta _{\kappa\lambda\beta} \, \Theta _{\beta}
 + (-1)^{\alpha\beta\, \mid  \gamma}
 c_{\alpha\beta\kappa} c_{\alpha\beta\lambda}
 \, \Theta _{\kappa\lambda\gamma} \, \Theta _{\gamma}.
\end{split}
\]
Wir verfahren mit dieser Gleichung ebenso, wie früher mit (49). Das
Anfangsglied der ungraden Function $\Theta \, \Theta _{\kappa\lambda}$ ist $c_0 u_{\kappa\lambda}$,
das Anfangsglied von $\Theta _{\kappa\lambda\alpha}\, \Theta _{\alpha}$ ist
$c_{\kappa\lambda\alpha} u_{\alpha}$ oder $c_{\kappa\lambda\alpha} l_{\alpha} v_{\alpha}$\@.
Demnach ist
\[
\tag{78}
\begin{aligned}
\qquad\qquad\qquad u_{\kappa\lambda}
&= (-1)^{\beta\gamma\, \mid  \alpha}
 \frac{e_{\alpha\kappa\lambda} e_{\beta\gamma\kappa} e_{\beta\gamma\lambda}l_{\alpha}}
{e_{\kappa\mu\nu} e_{\lambda\mu\nu}}\ v_{\alpha}\\
&+ (-1)^{\gamma\alpha\, \mid  \beta}
 \frac{e_{\beta\kappa\lambda} e_{\gamma\alpha\kappa} e_{\gamma\alpha\lambda}l_{\beta}}
{e_{\kappa\mu\nu} e_{\lambda\mu\nu}}\ v_{\beta}\\
&+ (-1)^{\alpha\beta\, \mid  \gamma}
 \frac{e_{\gamma\kappa\lambda} e_{\alpha\beta\kappa} e_{\alpha\beta\lambda}l_{\gamma}}
{e_{\kappa\mu\nu} e_{\lambda\mu\nu}}\ v_{\gamma}.\\
\end{aligned}
\]

Hierdurch ist $u_{\kappa\lambda}$ linear dargestellt durch $v_{\alpha}$, $v_{\beta}$, $v_{\gamma}$;
wo $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ drei beliebige von $\kappa$, $\lambda$ verschiedene Indices bedeuten.
Wir suchen jetzt den Coefficienten
\[
H = e_{\alpha\kappa\lambda} l_{\alpha} \frac{e_{\beta\gamma\kappa} e_{\beta\gamma\lambda}}
{e_{\mu\nu\kappa} e_{\mu\nu\lambda}},
\]
durch die unabhängigen Grössen $a$, $b$, $c$ auszudrücken. Nach Formel~(51) und (64) ist
\begin{align*}
e_{\beta\gamma\kappa} e_{\beta\gamma\lambda}
 = \frac{r l_{\alpha} l_{\mu} l_{\nu} f_{\alpha\mu\nu}} {e_{\beta\kappa\lambda} e_{\gamma\kappa\lambda}},\\
e_{\mu\nu\kappa} e_{\mu\nu\lambda}
 = \frac{r l_{\alpha} l_{\beta} l_{\gamma} f_{\alpha\beta\gamma}} {e_{\mu\kappa\lambda} e_{\nu\kappa\lambda}}.
\end{align*}
Daraus folgt:
\[
H = \frac{l_{\alpha} l_{\mu} l_{\nu}}{l_{\beta} l_{\gamma}}
\ \frac{e_{\alpha\kappa\lambda} e_{\mu\kappa\lambda} e_{\nu\kappa\lambda}}
{e_{\beta\kappa\lambda} e_{\gamma\kappa\lambda}}
\ \frac{f_{\alpha\mu\nu}}{f_{\alpha\beta\gamma}}.
\]
Wenn wir nun aus der Gleichung~(68) die Werthe von $e_{\alpha\kappa\lambda}, e_{\mu\kappa\lambda} \text{ etc.}$
einsetzen, so wird
\[
\frac{e_{\alpha\kappa\lambda} e_{\mu\kappa\lambda} e_{\nu\kappa\lambda}}
{e_{\beta\kappa\lambda} e_{\gamma\kappa\lambda}}
= \frac{e}{r} \
\frac
  {e_{\beta} e_{\gamma} l_{\beta} l_{\gamma} e_{\alpha\kappa} e_{\mu\kappa}
    e_{\nu\kappa} e_{\alpha\lambda} e_{\mu\lambda} e_{\nu\lambda} e_{\kappa\lambda}
	f_{\beta\kappa\lambda} f_{\gamma\kappa\lambda}}
  {e_{\alpha} e_{\mu} e_{\nu} e_{\kappa} e_{\lambda} l_{\alpha} l_{\mu} l_{\nu}
    l_{\kappa} l_{\lambda} e_{\beta\kappa} e_{\gamma\kappa} e_{\beta\lambda}
	e_{\gamma\lambda} f_{\alpha\kappa\lambda} f_{\mu\kappa\lambda} f_{\nu\kappa\lambda}}.
\]
Es ist aber:
\begin{align*}
e_{\alpha\kappa} e_{\mu\kappa} e_{\nu\kappa} e_{\lambda\kappa} e_{\beta\kappa} e_{\gamma\kappa}
&= e^2_{\kappa},\\
e_{\alpha\lambda} e_{\mu\lambda} e_{\nu\lambda} e_{\kappa\lambda} e_{\beta\lambda} e_{\gamma\lambda}
&= e^2_{\lambda}.
\end{align*}
Folglich:
\[
\frac
 {e_{\alpha\kappa} e_{\mu\kappa} e_{\nu\kappa} e_{\alpha\lambda}
   e_{\mu\lambda} e_{\nu\lambda} e_{\kappa\lambda}}
 {e_{\beta\kappa} e_{\gamma\kappa} \quad e_{\beta\lambda} e_{\gamma\lambda}}
 = \frac
 {e^2_{\kappa} e^2_{\lambda}}
 {e_{\kappa\lambda} e^2_{\beta\kappa} e^2_{\gamma\kappa} e^2_{\beta\lambda} e^2_{\gamma\lambda}}
\]
%-----File: 038.png-----------------------------------------
und daher:
\[
\frac{e_{\alpha\kappa\lambda} e_{\mu\kappa\lambda} e_{\nu\kappa\lambda}}
{e_{\beta\kappa\lambda} e_{\gamma\kappa\lambda}} =
\frac{e}{r}\
\frac
 {e_{\beta} e_{\gamma} e_{\kappa} e_{\lambda} l_{\beta}
   l_{\gamma} f_{\beta\kappa\lambda} f_{\gamma\kappa\lambda}}
 {e_{\kappa\lambda} e_{\alpha} e_{\mu} e_{\nu} l_{\alpha} l_{\mu} l_{\nu} l_{\kappa} l_{\lambda}
   e^2_{\beta\kappa} e^2_{\gamma\kappa} e^2_{\beta\lambda} e^2_{\gamma\lambda}
   f_{\alpha\kappa\lambda} f_{\mu\kappa\lambda} f_{\nu\kappa\lambda}}.
\]
Da ferner
\[
e_{\alpha} e_{\beta} e_{\gamma} e_{\kappa} e_{\lambda} e_{\mu} e_{\nu} = e^3
\]
ist, so können wir setzen:
\[
\frac{e_{\beta} e_{\gamma} e_{\kappa} e_{\lambda}}
{e_{\alpha} e_{\mu} e_{\nu}}
= \frac{e^2_{\beta} e^2_{\gamma} e^2_{\kappa} e^2_{\lambda}}{e^3}.
\]
Somit ergiebt sich:
\[
H = \frac{1}{re^2}
\ \frac{e^2_{\beta} e^2_{\gamma} e^2_{\kappa} e^2_{\lambda}
f_{\beta\kappa\lambda} f_{\gamma\kappa\lambda} f_{\alpha\mu\nu}}
{l_{\kappa} l_{\lambda} e_{\kappa\lambda}
e^2_{\beta\kappa} e^2_{\gamma\kappa} e^2_{\beta\lambda} e^2_{\gamma\lambda}
f_{\alpha\kappa\lambda} f_{\mu\kappa\lambda} f_{\nu\kappa\lambda} f_{\alpha\beta\gamma}}.
\]
Es ist nun zufolge (73):
\[
e^2_{\beta} e^2_{\gamma} e^2_{\kappa} e^2_{\lambda} =
\frac{f^{12}}{g^{20}}
\ f_{\beta} f_{\gamma} f_{\kappa} f_{\lambda}
g^5_{\beta} g^5_{\gamma} g^5_{\kappa} g^5_{\lambda},
\]
zufolge (75):
\[
e^2_{\beta\kappa} e^2_{\gamma\kappa} e^2_{\beta\lambda} e^2_{\gamma\lambda} =
\frac{f^4}{g^8}\ f_{\beta\kappa} f_{\gamma\kappa} f_{\beta\lambda} f_{\gamma\lambda}
g^4_{\beta} g^4_{\gamma} g^4_{\kappa} g^4_{\lambda}
\]
und nach (71):
\[
e^2 = \frac{f^8}{g^{10}}.
\]
Danach ist:
\[
H = \frac{g_{\beta} g_{\gamma} g_{\kappa} g_{\lambda}}
{r g^2 l_{\kappa} l_{\lambda} e_{\kappa\lambda}}
\ \frac{f_{\beta} f_{\gamma} f_{\kappa} f_{\lambda} f_{\beta\kappa\lambda}
f_{\gamma\kappa\lambda} f_{\alpha\mu\nu}}
{f_{\beta\kappa} f_{\gamma\kappa} f_{\beta\lambda} f_{\gamma\lambda} f_{\alpha\kappa\lambda}
f_{\mu\kappa\lambda} f_{\nu\kappa\lambda} f_{\alpha\beta\gamma}}.
\]
Diese Formel wird vereinfacht durch eine identische Relation, welche
zwischen den Grössen $f$ besteht, und die leicht zu verificiren ist:
\[
f_{\alpha\mu\nu} f_{\beta\gamma\kappa} f_{\beta\gamma\lambda} f_{\beta\kappa\lambda}
f_{\gamma\kappa\lambda} f_{\beta} f_{\gamma} f_{\kappa} f_{\lambda}
= f f_{\beta\gamma} f_{\beta\kappa} f_{\beta\lambda} f_{\gamma\kappa}
f_{\gamma\lambda} f_{\kappa\lambda}.
\]
Aus dieser folgt:
\[
\frac{f_{\beta} f_{\gamma} f_{\kappa} f_{\lambda} f_{\beta\kappa\lambda}
f_{\gamma\kappa\lambda} f_{\alpha\mu\nu}}
{f_{\beta\kappa} f_{\beta\lambda} f_{\gamma\kappa} f_{\gamma\lambda}}
 = \frac{f f_{\beta\gamma} f_{\kappa\lambda}}
{f_{\beta\gamma\kappa} f_{\beta\gamma\lambda}}.
\]
Dadurch wird:
\[
H =
\frac{g_{\beta} g_{\gamma} g_{\kappa} g_{\lambda}}
{r g^2 l_{\kappa} l_{\lambda} e_{\kappa\lambda}}
\ \frac{f f_{\beta\gamma} f_{\kappa\lambda}}
{f_{\beta\gamma\alpha} f_{\beta\gamma\kappa} f_{\beta\gamma\lambda} f_{\kappa\lambda\alpha}
f_{\kappa\lambda\mu} f_{\kappa\lambda\nu}}.
\]

Lösen wir jetzt die Producte $f_{\beta\gamma}$ und $f_{\kappa\lambda}$ auf, so ergiebt sich:
\[
H =
\frac{f g_{\kappa} g_{\lambda}}
{r g^2 l_{\kappa} l_{\lambda} e_{\kappa\lambda}}\cdot
g_{\beta} g_{\gamma} f_{\beta\kappa\lambda} f_{\gamma\kappa\lambda}
f_{\beta\gamma\mu} f_{\beta\gamma\nu}.
\]
Wir setzen jetzt:
\begin{gather*}
\tag{79}
\frac{f g_{\kappa} g_{\lambda}}
{r g^2 l_{\kappa} l_{\lambda} e_{\kappa\lambda}}
 = l_{\kappa\lambda},   \\
\tag{80}
u_{\kappa\lambda} =
l_{\kappa\lambda} v_{\kappa\lambda} =
l_{\kappa\lambda}
(a_{\kappa\lambda} u
 + b_{\kappa\lambda} u'
 + c_{\kappa\lambda} u'').
\end{gather*}
%-----File: 039.png-----------------------------------------
Dann ist $v_{\kappa\lambda}$ bestimmt durch folgende Gleichung:
\[
\tag{81}
\begin{aligned}
v_{\kappa\lambda}
&= (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha} g_{\beta} g_{\gamma}
f_{\beta\kappa\lambda} f_{\gamma\kappa\lambda} f_{\beta\gamma\mu} f_{\beta\gamma\nu} v_{\alpha}\\
&+ (-1)^{\gamma\alpha \mid \beta} g_{\gamma} g_{\alpha}
f_{\gamma\kappa\lambda} f_{\alpha\kappa\lambda} f_{\gamma\alpha\mu} f_{\gamma\alpha\nu} v_{\beta}\\
&+ (-1)^{\alpha\beta \mid \gamma} g_{\alpha} g_{\beta}
f_{\alpha\kappa\lambda} f_{\beta\kappa\lambda} f_{\alpha\beta\mu} f_{\alpha\beta\nu} v_{\gamma}.\\
\end{aligned}
\]

Die Coefficienten dieser $21$ linearen Functionen sind also ganze
rationale Functionen der Coefficienten von $v_1,\, v_2,\dcdot v_7$\@. Der Factor
$l_{\kappa\lambda}$ ist, ebenso wie $l_{\kappa}$ und $e_{\kappa\lambda\mu}$,
die vierte Wurzel eines solchen Ausdrucks;
nämlich
\[
\tag{82}
l^4_{\kappa\lambda} = \frac{r l f_{\kappa} f_{\lambda} g^3_{\kappa}
g^3_{\lambda}}{f g^2 f^2_{\kappa\lambda}}.
\]

\eoc


\Chapter[Zweiter Theil.]{Zweiter Theil.}

\Section{§~1.}

Nachdem wir durch die Aufstellung der Relationen zwischen den
Moduln der Theta-Functionen dazu gelangt sind, diese Moduln durch
eine Anzahl unabhängiger Grössen
\[
r; \quad
a_1,\, b_1,\, c_1; \quad
a_2,\, b_2,\, c_2 \cdots a_7,\, b_7,\, c_7
\]
auszudrücken, werden wir jetzt die Beziehungen betrachten, welche
zwischen den Theta-Functionen selbst und ihren Differentialquotienten
bestehen. Es wird sich hier ein analoges Resultat ergeben. Der
Quotient je zweier Theta-Functionen wird sich darstellen lassen als
die Quadratwurzel aus einer rationalen Function einer Anzahl von
Werthsystemen:
\[
x,\, y,\, z; \quad
x_1,\, y_1,\, z_1; \quad
x_2,\, y_2,\, z_2; \quad
x_3,\, y_3,\, z_3,
\]
deren jedes einer homogenen Gleichung $G(x,\, y,\, z) = 0$ vom Range 3
genügt, während die einzelnen Werthsysteme von einander unabhängig
sind. Aus denjenigen Relationen, welche zwischen den Grössen $\Theta $ und
ihren Differentialquotienten existiren, werden wir weiter den Schluss
ziehen, dass sich die Argumente $u$, $u'$, $u''$ durch Integrale erster Gattung
der Grössen $(x,\, y,\, z)$ etc.\ ausdrücken lassen.

Zunächst betrachten wir diejenigen quadratischen Relationen,
welche zwischen den $28$ ungraden Theta-Functionen bestehen; hieraus
wird sich die algebraische Grundlage für die ferneren Untersuchungen
ergeben.

Alle diese Relationen entspringen aus der Gleichung:
\[
\tag{1}
c_0 c_{kl} \, \Theta _{km} \, \Theta _{lm} = \sum^{7}_{\alpha=0} \left[(-1)^{(k\alpha,l\alpha,m\alpha)}
c_{klm\alpha} c_{m\alpha} \, \Theta _{k\alpha} \, \Theta _{l\alpha}\right]
%** Added missing (
\]
durch besondere Wahl der Indices $k$, $l$, $m$\@. Die Natur dieser Beziehungen
%-----File: 040.png-----------------------------------------
wird klarer erkannt, wenn man statt der Grössen $\Theta _m$ andre, $\sigma_m$, einführt,
deren jede sich von dem entsprechenden $\Theta $ nur um einen constanten Factor unterscheidet.
Dieser Factor soll so gewählt sein, dass,
wenn $\Theta _m$ und $\sigma_m$ grade Functionen sind, $\sigma_m$ den Werth~$1$ erhält, wenn
die Argumente $u$, $u'$, $u''$ gleich Null gesetzt werden. Ist dagegen der
Index $m$, und somit die Function $\sigma_m$ selbst ungrade, so soll der Factor
in der Weise bestimmt werden, dass das Anfangsglied in der Entwicklung von $\sigma_m$ nicht
$u_m = A_m u + B_m u' + C_m u''$, sondern
$v_m = a_m u + b_m u' + c_m u''$ ist; was wegen der Gleichung $u_m = l_m v_m$ jedenfalls
möglich ist. Danach ist:
\[
\tag{2}
\begin{aligned}
 \text{für grade Indices $m$: } \, \Theta _m &= c_m\sigma_m,\\
 \text{für ungrade: }           \, \Theta _m &= l_m\sigma_m.
\end{aligned}
\]

Es wird sich dann zeigen, dass die in den Relationen zwischen
den Grössen $\sigma_m$ vorkommenden Coefficienten sich rational durch die
Grössen $(a_{\kappa},\, b_{\kappa},\, c_{\kappa})$
$(\kappa = 1,\, 2\cdots7)$ ausdrücken lassen, und zwar als
Producte von den Determinanten-Ausdrücken:
\[
\tag{3}
f_{\kappa\lambda\mu} = (-1)^{\kappa \mid  \lambda\mu + \lambda \mid  \mu}
\begin{vmatrix}
 a_{\kappa}   &b_{\kappa}  &c_{\kappa}  \\
 a_{\lambda}  &b_{\lambda} &c_{\lambda} \\
 a_{\mu}      &b_{\mu}     &c_{\mu}
\end{vmatrix}
\]
\[
g_{\rho} = (-1)^{\alpha \mid \beta + \kappa \mid \nu + \lambda \mid \mu}
(f_{\alpha\kappa\lambda} f_{\alpha\mu\nu} f_{\beta\kappa\mu} f_{\beta\lambda\nu}
- f_{\beta\kappa\lambda} f_{\beta\mu\nu} f_{\alpha\kappa\mu} f_{\alpha\lambda\nu}).
\footnotemark[1]
\]
\footnotetext[1]
   {Das Vorzeichen dieser Gleichung erhält man leicht in folgender Weise.
   Fasst man die beiden Gruppen von je 4 Indices, mit denen die Grössen $f$ behaftet
   sind, auf, und greift irgend einen Index der ersten Gruppe heraus,
   z.~B.\ $\alpha\kappa\lambda$, so
   ist $\alpha$ mit $\kappa\lambda$ verbunden. In der zweiten Gruppe ist
   $\beta$ mit $\kappa\lambda$ verbunden; daher
   bilden wir $\alpha\mid\beta$\@. Es ist ferner in $\alpha\kappa\lambda$
   $\kappa$ mit $\alpha\lambda$ verbunden; in der zweiten
   Gruppe $\nu$ mit $\alpha\lambda$; daher haben wir $\kappa\mid\nu$\@.
   Drittens ist $\lambda$ mit $\alpha\kappa$, in der zweiten
   Gruppe $\mu$ mit $\alpha\kappa$ verbunden; dadurch entsteht $\lambda\mid\mu$\@.
   So erhalten wir im Ganzen
   das Vorzeichen $(-1)^{\alpha\mid\beta + \kappa\mid\nu + \lambda\mid\mu}$\@.
   Wir würden denselben Werth, nur in verändertem
   Ausdruck, erhalten haben, wenn wir statt $\alpha\kappa\lambda$ irgend einen der drei
   übrigen Indices der ersten Gruppe herausgenommen hätten.}%
Diese Umformungen beruhen auf den Gleichungen~(68) bis (79) des
ersten Theils, ausserdem auf den identischen Beziehungen zwischen
den verschiedenen Producten $e$, $e_{\kappa}$, $e_{\kappa\lambda}$
und ihren Factoren $e_{\kappa\lambda\mu}$\@.

Wenn wir von den linearen Relationen zwischen den Quadraten
der Theta-Functionen absehen, so haben alle quadratischen Gleichungen
zwischen den ungraden $\Theta $ die Form:
\[
A\, \Theta _{a} \, \Theta _{b} +
A' \, \Theta _{a'} \, \Theta _{b'} +
A'' \, \Theta _{a''} \, \Theta _{b''} +
A''' \, \Theta _{a'''} \, \Theta _{b'''} = 0,
\]
wo $A$, $A'$, $A''$, $A'''$ constante Grössen bedeuten, und die Indices
$a$, $b$, $a'$, $b'$ etc.\ den Bedingungen
\[
ab = a'b' = a''b'' = a'''b'''
\]
genügen. Es sei nämlich $m$ irgend ein von $0$ verschiedener Index.
%-----File: 041.png-----------------------------------------
Dieser muss sich im Ganzen auf $32$ Arten in zwei verschiedene Indices
$a$, $b$ zerlegen lassen. Von diesen $32$ Zerlegungen wird die Hälfte
so beschaffen sein, dass der eine Index grade, der andre ungrade ist.
Bei den $16$ übrigen wird entweder $a$ und $b$ grade, oder $a$ und $b$ ungrade
sein; und zwar wird die Anzahl der Zerlegungen der ersten
Art $10$, die der zweiten Art $6$ betragen. Ist z.~B.\ $m = \kappa$, und
$\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta$
die 6 übrigen primitiven Indices, so erhalten wir eine Zerlegung
von $m$ in zwei grade Indices $a$, $b$, wenn wir setzen: $a = \alpha\beta\gamma$,
$b = \delta\epsilon\zeta$; in zwei ungrade, wenn wir $a = \alpha$, $b = \alpha\kappa$ setzen.

Zerlegen wir nun $m$ auf verschiedene Arten in ein Product zweier
Indices, welche beide grade, oder beide ungrade sind: $m = ab$,
$m = a'b'$ etc., so sind die Producte:
\[
\Theta _{a}\, \Theta _{b}, \quad
\Theta _{a'}\, \Theta _{b'}\quad \text{etc.}
\]
nach der Definition des §~3 grade Theta-Functionen zweiter Ordnung
mit der Charakteristik $(\mu^m, \nu^m)$\@. Die Anzahl der von einander linear
unabhängigen Functionen dieser Art beträgt nach §~3: $\dfrac{2^\rho}{2}= 4$; daher
muss zwischen je 5 derselben eine lineare homogene Gleichung bestehen.
Wenn die Argumente gleich Null gesetzt werden, so verschwindet das Product
$\Theta _{a} \, \Theta _{b}$, wenn $a$, $b$ ungrade Indices sind; dagegen erhält es
einen von Null verschiedenen Werth, wenn $a$ und $b$ grade Indices sind.
Daraus folgt, dass, wenn wir von den 5 Producten $\Theta _{a}\, \Theta _{b}$,
$\Theta _{a'}\, \Theta _{b'}$ etc.\ in einem die Indices grade, in den übrigen ungrade annehmen,
der Coefficient des einen Products gleich Null sein muss. Mit andern Worten: Wenn
\[
m = ab, \quad
m = a'b', \quad
m = a''b'' \quad \text{ etc}.
\]
die $6$ möglichen Zerlegungen des Index $m$ in Producte je zweier ungraden Indices sind, so sind je $4$ der $6$ Functionen
\[
\Theta _{a}\, \Theta _{b}, \quad
\Theta _{a'}\, \Theta _{b'},\quad
\Theta _{a''}\, \Theta _{b''}\quad \text{etc.}
\]
durch eine lineare homogene Gleichung mit constanten Coefficienten
verbunden.

Der Index $m$ kann nun die drei verschiedenen Formen $\kappa$,
 $\kappa\lambda$, $\kappa\lambda\mu$
haben. Es seien $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\kappa$, $\lambda$, $\mu$
die $7$ primitiven Indices in irgend welcher Reihenfolge; dann erkennen wir zunächst,
indem wir $m = \kappa$
annehmen, dass durch drei Glieder der Gruppe
\[
\Theta _{\alpha} \, \Theta _{\alpha\kappa}, \quad
\Theta _{\beta}  \, \Theta _{\beta\kappa}, \quad
\Theta _{\gamma} \, \Theta _{\gamma\kappa}, \quad
\Theta _{\delta} \, \Theta _{\delta\kappa}, \quad
\Theta _{\lambda}\, \Theta _{\lambda\kappa}, \quad
\Theta _{\mu}    \, \Theta _{\mu\kappa}
\]
sich die drei übrigen linear und homogen ausdrücken lassen; wenn
wir $m = \kappa\lambda$ setzen, dass dasselbe gilt für die Gruppe
\[
\Theta _{\alpha\kappa}\, \Theta _{\alpha\lambda}, \quad
\Theta _{\beta\kappa} \, \Theta _{\beta\lambda}, \quad
\Theta _{\gamma\kappa}\, \Theta _{\gamma\lambda}, \quad
\Theta _{\delta\kappa}\, \Theta _{\delta\lambda}, \quad
\Theta _{\mu\kappa}   \, \Theta _{\mu\lambda}, \quad
\Theta _{\kappa}      \, \Theta _{\lambda};
\]
%-----File: 042.png-----------------------------------------
endlich, wenn wir $m = \kappa\lambda\mu = \alpha\beta\gamma\delta$ setzen,
ergiebt sich dasselbe für die Producte
\[
\Theta _{\kappa}   \, \Theta _{\lambda\mu}, \quad
\Theta _{\lambda}     \, \Theta _{\mu\kappa}, \quad
\Theta _{\mu}         \, \Theta _{\kappa\lambda}, \quad
\Theta _{\alpha\delta}\, \Theta _{\beta\gamma}, \quad
\Theta _{\beta\delta} \, \Theta _{\gamma\alpha}, \quad
\Theta _{\gamma\delta}\, \Theta _{\alpha\beta}.
\]
Dieselben Eigenschaften übertragen sich natürlich auf die $\sigma$\@.


\Section{§~2.}

Alle diese Gleichungen zwischen den ungraden $\Theta $ oder $\sigma$ sind
enthalten in der Fun\-da\-mental-Gleich\-ung~(1). Wir heben aus ihnen
drei hervor, durch welche die algebraischen Beziehungen, in denen die
$28$ Functionen unter einander stehen, vollständig definirt sind.

I. \quad Wir setzen zunächst $k = 0,\, l = \kappa,\, m = \lambda\mu$\@. Dann erhalten
wir, da $c_{kl} = 0$ ist:
\[
\sum_{\alpha = 0}^7
[ (-1)^{(\alpha, \kappa\alpha, \lambda\mu\alpha)}
  c_{\alpha\kappa\lambda\mu} c_{\alpha\lambda\mu}
  \, \Theta _{\alpha} \, \Theta _{\alpha\kappa}] = 0.
\]

Diejenigen Glieder dieser Summe, die sich auf die Indices $0,
\, \kappa,\, \lambda,\, \mu$
beziehen, fallen fort, da in ihnen entweder $c_{\alpha\kappa\lambda\mu}$
oder $c_{\alpha\lambda\mu}$ gleich
Null ist. Die Summe ist also nur zu erstrecken über die 4 primitiven
Indices $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$\@. Es ist nun
\[
(\alpha,\, \kappa\alpha,\, \lambda\mu\alpha) =
(\beta\gamma\delta\kappa\lambda\mu,\, \kappa\alpha,
\, \beta\gamma\delta\kappa);
\]
daher:
\[
K = \kappa, \quad
L = \beta\gamma\delta\kappa = \alpha\lambda\mu, \quad
M = \kappa;
\]
mithin:
\[
(\alpha,\, \kappa\alpha,\, \lambda\mu\alpha) =
\kappa \mid \alpha + 0 \mid \kappa\alpha
+ \alpha \mid \lambda\mu\alpha;
\]
oder, da
\[
\alpha \mid \lambda\mu\alpha
\equiv \lambda\mu\alpha \mid \alpha \bmod 2
\]
ist:
\[
(\alpha,\, \kappa\alpha,\, \lambda\mu\alpha)
\equiv \kappa\lambda\mu\alpha \mid \alpha
\equiv \beta\gamma\delta \mid \alpha.
\]
Wir erhalten demnach:
\[
\sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta}
\left[ (-1)^{\alpha\kappa\lambda\mu \mid \alpha}
c_{\alpha\kappa\lambda\mu} c_{\alpha\lambda\mu}
\, \Theta _{\alpha} \, \Theta _{\alpha\kappa} \right] = 0.
\]
$\alpha\kappa\lambda\mu$ können wir ersetzen durch $\beta\gamma\delta$\@.
Unter dem Summenzeichen
steht dann ein Ausdruck, der in Bezug auf die Indices
$\beta,\, \gamma,\, \delta$ symmetrisch ist. Durch Vertauschung von
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ unter einander erhält
derselbe vier Werthe; die Summe dieser vier Werthe ist Null. Dies
bezeichnen wir so:
\[
{\underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}} \left\{
(-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
c_{\beta\gamma\delta} c_{\alpha\lambda\mu}
\, \Theta _{\alpha} \, \Theta _{\alpha\kappa} \right\} = 0.
\]
Dividiren wir diese Gleichung durch $c_0^2$, und ersetzen jedes $\Theta _m$ durch
$l_m\sigma_{m}$, so ergiebt sich:
\[
{\underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}} \left\{
(-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
e_{\beta\gamma\delta} e_{\alpha\lambda\mu}
l_{\alpha}l_{\alpha\kappa} \sigma_{\alpha}\sigma_{\alpha\kappa}
\right\} = 0.
\]
%-----File: 043.png-----------------------------------------
Nun ist, nach (68) und (79):
\begin{align*}
 &e_{\alpha\lambda\mu} = \frac{e}{r}
 \ \frac{e_{\alpha\lambda} e_{\alpha\mu} e_{\lambda\mu}}
      {e_{\alpha} e_{\lambda} e_{\mu}}
 \ \frac{1}{l_{\alpha} l_{\lambda} l_{\mu} f_{\alpha\lambda\mu}},  \\
 &e_{\beta\gamma\delta} = \frac{e}{r}
 \ \frac{e_{\alpha\kappa} e_{\alpha\lambda} e_{\alpha\mu}
       e_{\kappa\lambda} e_{\kappa\mu} e_{\lambda\mu}}
      {e_{\alpha} e_{\kappa} e_{\lambda} e_{\mu}}
 \ \frac{1}{l_{\beta} l_{\gamma} l_{\delta} f_{\beta\gamma\delta}},
\end{align*}
(da die Identität stattfindet:
\[
\left.
 \frac{e_{\alpha\kappa} e_{\alpha\lambda} e_{\alpha\mu}
       e_{\kappa\lambda} e_{\kappa\mu} e_{\lambda\mu}}
      {e_{\alpha} e_{\kappa} e_{\lambda} e_{\mu}}
 = \frac{e_{\beta\gamma} e_{\beta\delta} e_{\gamma\delta}}
        {e_{\beta} e_{\gamma} e_{\delta}}
\right),
\]
\[
 l_{\alpha} l_{\alpha\kappa}
 = \frac{f}{rg^2} \ \frac{g_{\alpha}g_{\kappa}}{l_{\kappa}e_{\alpha\kappa}},
\]
folglich:
\[
e_{\beta\gamma\delta} e_{\alpha\lambda\mu} l_{\alpha} l_{\alpha\kappa}
 = \frac{e^2f}{r^3g^2l}
 \ \frac{e_{\alpha\lambda}^2 e_{\alpha\mu}^2 e_{\lambda\mu}^2
       e_{\kappa\lambda} e_{\kappa\mu}}
      {e_{\alpha}^2 e_{\lambda}^2 e_{\mu}^2 e_{\kappa}}
 \ \frac{g_{\alpha}g_{\kappa}}{f_{\alpha\lambda\mu}f_{\beta\lambda\delta}}.
\]
Ferner ist, nach (73) und (75):
\begin{align*}
\frac{e_{\alpha\lambda}^2 e_{\alpha\mu}^2 e_{\lambda\mu}^2}
     {e_{\alpha}^2 e_{\lambda}^2 e_{\mu}^2}
 &= \frac{g^9}{f^6}
\ \frac{f_{\alpha\lambda} f_{\alpha\mu} f_{\lambda\mu}}
     {f_{\alpha} f_{\lambda} f_{\mu} g_{\alpha} g_{\lambda} g_{\mu}},\\
\intertext{und dieses ist, wie aus der Identität (55) hervorgeht:}
   &= \frac{g^9}{f^7}
 \ \frac{f_{\alpha\lambda\mu} f_{\beta\gamma\delta}
         f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa}
         f_{\beta\gamma\kappa}} {g_{\alpha} g_{\lambda} g_{\mu}}.
\end{align*}
Mithin ist:
\[
 e_{\alpha\lambda\mu} e_{\beta\gamma\delta} l_{\alpha} l_{\alpha\kappa}
 = \frac{e^2 g^7 g_{\kappa} e_{\kappa\lambda} e_{\kappa\mu}}
        {r^3 l f^6 e_{\kappa} g_{\lambda} g_{\mu}}
  f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa} f_{\beta\gamma\kappa}.
\]
Wenn wir diesen Werth des Coefficienten in die Gleichung einsetzen,
den gemeinsamen Factor aller Glieder aber fortlassen, so erhalten wir:
\[
 \underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S} \left\{
 (-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
 f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa} f_{\beta\gamma\kappa}
 \sigma_{\alpha} \sigma_{\alpha\kappa} \right\} =  0.
\]

II. \quad Wir setzen ferner:
\[
 k = \kappa, \quad l = \lambda, \quad m = \lambda\mu\nu.
\]
Dann ergiebt die Hauptgleichung, da wiederum $c_{kl} = 0$ ist:
\[
 \sum_{a=0}^7 \left[
 (-1)^{(\kappa\alpha, \lambda\alpha, \lambda\mu\nu\alpha)}
 c_{\alpha\kappa\mu\nu} c_{\alpha\lambda\mu\nu}
 \, \Theta _{\alpha\kappa} \, \Theta _{\alpha\lambda} \right] = 0.
\]
Hier fallen diejenigen Glieder fort, welche sich auf die Indices
$\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$ beziehen.
Nennen wir die drei übrigen $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, so ist demnach:
\[
 \sum_{\alpha, \beta, \gamma} \left[
 (-1)^{(\kappa\alpha, \lambda\alpha, \lambda\mu\nu\alpha)}
 c_{\alpha\kappa\mu\nu} c_{\alpha\lambda\mu\nu}
 \, \Theta _{\alpha\kappa} \, \Theta _{\alpha\lambda} \right]
 + (-1)^{(\kappa, \lambda, \lambda\mu\nu)}
      c_{\kappa\mu\nu} c_{\lambda\mu\nu}
 \, \Theta _{\kappa} \, \Theta _{\lambda} = 0.
\]
Es ist nun zunächst
\[
 (\kappa,\, \lambda,\, \lambda\mu\nu)
 = (\alpha\beta\gamma\lambda\mu\nu,\
    \alpha\beta\gamma\kappa\mu\nu,\, \alpha\beta\gamma\kappa);
\]
daher:
\[
 K = \alpha\beta\gamma\kappa = \lambda\mu\nu, \quad
 L = \alpha\beta\gamma = \kappa\lambda\mu\nu, \quad
 M = \alpha\beta\gamma\mu\nu = \kappa\lambda;
\]
%-----File: 044.png-----------------------------------------
 mithin:
\[
(\kappa,\, \lambda,\, \lambda\mu\nu)
=\lambda\mu\nu \mid \kappa + \kappa\mid\lambda +\kappa\mid \lambda \mu \nu,
\]
und dies ist $\equiv \lambda \mid \kappa \bmod 2$\@.

Bei der Bildung von $(\kappa\alpha,\, \lambda \alpha,\, \lambda \mu \nu \alpha )$
ist $K =\lambda \alpha$, $L=\alpha$, $M =\alpha $;
mithin
\[
(\kappa\alpha,\, \lambda \alpha,\, \lambda \mu \nu \alpha)=\lambda \alpha \mid \kappa\alpha
+ \lambda \mu \nu \mid\lambda\alpha + \lambda  \mid\lambda \mu \nu \alpha.
\]
Durch Zerlegung finden wir
\begin{align*}
 \lambda\alpha\mid \kappa \alpha&\equiv\lambda\mid \kappa +\lambda\mid\alpha
   + \alpha\mid \kappa +\alpha\mid\alpha, \\
 \lambda \mu \nu \mid \lambda \alpha  &\equiv  \lambda \mu \nu \mid \lambda
   + \lambda \mu \nu \mid\alpha,\\
 \lambda \mid \lambda \mu \nu \alpha &\equiv\lambda \mid\lambda \mu \nu
   + \lambda \mid\alpha;
\end{align*}
mithin, da $ \lambda \mu \nu \mid \lambda +\lambda \mid\lambda \mu \nu \equiv 0 \bmod 2$ ist:
\[
(\kappa\alpha,\, \lambda \alpha,\, \lambda \mu \nu \alpha ) \equiv
\lambda \mid \kappa+ \alpha \mid\alpha + \alpha \mid \kappa+\lambda \mu \nu \mid\alpha.
\]

Dies ist congruent $1+\lambda \mid \kappa + \alpha \kappa\lambda \mu \nu \mid\alpha$;
somit ergiebt sich:
\[
\sum_{\alpha,\beta,\gamma}\left[(-1)^{\alpha \kappa\lambda \mu \nu\mid\alpha}
c_{\alpha \kappa\mu \nu}c_{\alpha\lambda\mu\nu}
\, \Theta _{\alpha \kappa}\, \Theta _{\alpha \lambda} \right]
= c_{\kappa\mu \nu}c_{\lambda \mu \nu}\, \Theta _{\kappa}\, \Theta _{\lambda}.
\]
Diese Gleichung lässt sich, ähnlich wie die vorige, in folgender Form schreiben:
\[
 \underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{(-1)^{\beta \gamma \mid\alpha}
 c_{\beta \gamma \lambda}c_{\beta \gamma \kappa}\, \Theta _{\alpha \kappa}
 \, \Theta _{\alpha \lambda} \right\}
 = c_{\kappa\mu \nu}c_{\lambda \mu \nu}\, \Theta _{\kappa}\, \Theta _{\lambda};
\]
oder, wenn wir die Grössen $\sigma$ einführen:
\[
 \underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{(-1)^{\beta \gamma \mid\alpha}
 \frac
  {e_{\beta \gamma \lambda}e_{\beta \gamma \kappa}l_{\alpha \kappa}
    l_{\alpha \lambda}}
  {e_{\kappa\mu \nu}e_{\lambda \mu \nu}l_{\kappa}l_{\lambda}}
  \sigma_{\alpha \kappa} \sigma_{\alpha \lambda}\right\}
 =\sigma_{\kappa} \sigma_{\lambda}.
\]
Nun sind noch die Coefficienten in einfacherer Form darzustellen.
Nach (68) ist:
\begin{align*}
e_{\beta \gamma \lambda} &= \frac{e}{r}
\ \frac{e_{\alpha \kappa}e_{\alpha \mu}e_{\alpha \nu}e_{\kappa\mu}
        e_{\kappa\nu}e_{\mu \nu}}
       {e_{\alpha}e_{\kappa}e_{\mu}e_{\nu}}
\ \frac{1}{l_{\beta}l_{\gamma}l_{\lambda}f_{\beta \gamma \lambda}},
\\
e_{\kappa\mu \nu} &= \frac{e}{r}
\ \frac{e_{\kappa\mu}e_{\kappa\nu}e_{\mu\nu}}
       {e_{\kappa}e_{\mu}e_{\nu}}
\ \frac{1} {l_{\kappa}l_{\mu}l_{\nu}f_{\kappa\mu \nu}};
\end{align*}
daher:
\begin{align*}
   \frac{e_{\beta \gamma \lambda}}{e_{\kappa\mu \nu}}
&= \frac{e_{\alpha \kappa}e_{\alpha \mu}e_{\alpha \nu}}{e_{\alpha}}
\  \frac{l_{\kappa}l_{\mu}l_{\nu}f_{\kappa\mu \nu}}
       {l_{\beta}l_{\gamma}l_{\lambda}f_{\beta \gamma \lambda}}.
\intertext{Ebenso ist:}
   \frac{e_{\beta \gamma \kappa}}{e_{\lambda \mu \nu}}
&= \frac{e_{\alpha \lambda}e_{\alpha \mu}e_{\alpha \nu}}{e_{\alpha}}
\  \frac{l_{\lambda}l_{\mu}l_{\nu}}{l_{\beta}l_{\gamma}l_{\kappa}}
\  \frac{f_{\lambda \mu \nu}}{f_{\beta \gamma \kappa}}.
\end{align*}
Endlich folgt aus (79):
\[
\frac{l_{\alpha \kappa}l_{\alpha \lambda}}{l_{\kappa}l_{\lambda}}
= \frac{f^2} {r^2g^4}\
\frac{g^2_{\alpha} g_{\kappa} g_{\lambda}}{l^2_{\alpha}l^2_{\kappa}
l^2_{\lambda} e_{\alpha \kappa} e_{\alpha \lambda}}.
\]
Die Multiplication dieser drei Gleichungen ergiebt:
\[
\frac{e_{\beta\gamma \lambda} e_{\beta \gamma \kappa} l_{\alpha \kappa} l_{\alpha\lambda}}
{e_{\kappa \mu \nu} e_{\lambda \mu \nu} l_{\kappa} l_{\lambda}} =
\frac{f^2}{r^2g^4} \ \frac{e^2_{\alpha \mu} e^2_{\alpha \nu}} {e^2_{\alpha}}\
\frac{l^2_{\mu}l^2_{\nu}g^2_{\alpha}g_{\kappa}g_{\lambda}f_{\kappa\mu \nu}f_{\lambda \mu \nu}}
{l^2_{\alpha} l^2_{\beta} l^2_{\gamma} l^2_{\kappa} l^2_{\lambda} f_{\beta \gamma \kappa}  f_{\beta\gamma\lambda}}.
\]
%-----File: 045.png-----------------------------------------
Nun ist
\begin{gather*}
\frac{l^2_{\mu} l^2_{\nu}}
{l^2_{\alpha} l^2_{\beta} l^2_{\gamma} l^2_{\kappa} l^2_{\lambda}} =
\frac{l^4_{\mu} l^4_{\nu}}{l^2}
=
\frac{r^2 g^2}{f_{\mu} f_{\nu} g^3_{\mu} g^3_{\nu}},   \\
\frac{e^2_{\alpha\mu} e^2_{\alpha\nu}}{e^2_{\alpha}}
=
\frac{g}{f}
\ \frac{g^2_{\mu} g^2_{\nu}}{g_{\alpha}}
\ \frac{f_{\alpha\mu} f_{\alpha\nu}}{f_{\alpha}};
\end{gather*}
dadurch geht der vorstehende Ausdruck über in:
\[
\frac{f}{g}
\ \frac{g_{\alpha} g_{\kappa} g_{\lambda}}{g_{\mu} g_{\nu}}
\ \frac{f_{\alpha\mu} f_{\alpha\nu} f_{\kappa\mu\nu} f_{\lambda\mu\nu}}
{f_{\alpha} f_{\mu} f_{\nu} f_{\beta\gamma\kappa} f_{\beta\gamma\lambda}}.
\]
Hier wenden wir wieder die Formel an:
\[
\frac{f f_{\alpha\mu} f_{\alpha\nu} f_{\mu\nu}}
{f_{\alpha} f_{\mu} f_{\nu}}
=
f_{\alpha\mu\nu} f_{\beta\gamma\kappa} f_{\beta\gamma\lambda} f_{\beta\kappa\lambda} f_{\gamma\kappa\lambda}.
\]
Dadurch wird
\[
\frac{e_{\beta\gamma\lambda} e_{\beta\gamma\kappa} l_{\alpha\kappa} l_{\alpha\lambda}}
{e_{\kappa\mu\nu} e_{\lambda\mu\nu} l_{\kappa} l_{\lambda}}
=
\frac{g_{\alpha} g_{\kappa} g_{\lambda}}
{g g_{\mu} g_{\nu}}\
\frac{f_{\kappa\mu\nu} f_{\lambda\mu\nu} f_{\alpha\mu\nu} f_{\beta\kappa\lambda} f_{\gamma\kappa\lambda}}
{f_{\mu\nu}},
\]
oder, da
\begin{gather*}
f_{\mu\nu} = f_{\kappa\mu\nu} f_{\lambda\mu\nu} f_{\alpha\mu\nu} f_{\beta\mu\nu} f_{\gamma\mu\nu}, \\
g = g_{\alpha} g_{\kappa} g_{\lambda} g_{\mu} g_{\nu} g_{\beta} g_{\gamma}
\end{gather*}
ist:
\[
\frac{e_{\beta\gamma\lambda} e_{\beta\gamma\kappa} l_{\alpha\kappa} l_{\alpha\lambda}}
{e_{\kappa\mu\nu} e_{\lambda\mu\nu} l_{\kappa} l_{\lambda}}
=
\frac{1}
{g_{\beta} g_{\gamma} g^2_{\mu} g^2_{\nu}}
\ \frac{f_{\beta\kappa\lambda} f_{\gamma\kappa\lambda}}
{f_{\beta\mu\nu} f_{\gamma\mu\nu}}.
\]
Nachdem auf diese Weise die Ausdrücke der Coefficienten transformirt
sind, nimmt unsere Gleichung folgende Form an:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
\frac{f_{\beta\kappa\lambda} f_{\gamma\kappa\lambda}}
{f_{\beta\mu\nu} f_{\gamma\mu\nu}}
\ \frac{\sigma_{\alpha\kappa}\sigma_{\alpha\lambda}}
{g_{\beta} g_{\gamma} g^2_{\mu} g^2_{\nu}}  \right\}
=
\sigma_{\kappa}\sigma_{\lambda}.
\]

III. \quad Eine dritte Relation zwischen den ungraden $\sigma$ erhalten wir,
indem wir setzen:
\[
k = \delta, \quad l = \kappa\lambda\mu\delta, \quad
m = \kappa\delta.
\]
Dann ergiebt sich:
\[
c_{0}
c_{\kappa\lambda\mu}
\, \Theta _{\kappa}
\, \Theta _{\lambda\mu} =
\sum^{7}_{\alpha = 0}
\left[ (-1)^{(\delta\alpha, \kappa\lambda\mu\delta\alpha, \kappa\delta\alpha)}
c_{\lambda\mu\delta\alpha}
c_{\kappa\delta\alpha}
\, \Theta _{\delta\alpha}
\, \Theta _{\kappa\lambda\mu\delta\alpha}
\right].
\]
Hier verschwinden die Coefficienten für die Werthe
$0,\, \kappa,\, \lambda,\, \mu,\, \delta$ des
Summations-Index $\alpha$\@. Diese Gleichung nimmt deshalb, wenn wir durch
$\alpha,\, \beta,\, \gamma$ die drei von
$\kappa,\, \lambda,\, \mu,\, \delta$ verschiedenen primitiven Indices bezeichnen, die Form an:
\[
c_{0}
c_{\kappa\lambda\mu}
\, \Theta _{\kappa}
\, \Theta _{\lambda\mu} =
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{(\delta\alpha, \kappa\lambda\mu\delta\alpha, \kappa\delta\alpha)}
c_{\lambda\mu\delta\alpha}
c_{\kappa\delta\alpha}
\, \Theta _{\delta\alpha}
\, \Theta _{\kappa\lambda\mu\delta\alpha}
\right\},
\]
oder, da $\kappa\,\lambda\,\mu\,\delta\,\alpha = \beta\,\gamma$ ist:
\[
c_{0}
c_{\kappa\lambda\mu}
\, \Theta _{\kappa}
\, \Theta _{\lambda\mu} =
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{(\delta\alpha,\beta\gamma,\kappa\delta\alpha)}
c_{\kappa\beta\gamma}
c_{\kappa\alpha\delta}
\, \Theta _{\beta\gamma}
\, \Theta _{\alpha\delta}
\right\}.
\]
%-----File: 046.png-----------------------------------------
Nun ist
\[
(\delta\alpha,\, \beta\gamma,\, \kappa\delta\alpha) =
(\delta\alpha,\, \beta\gamma,\, \lambda\mu\beta\gamma).
\]
Bilden wir hier wieder die grössten gemeinsamen Theiler der Indices
$k = \delta\alpha,\, l = \beta\gamma,\, m = \lambda\mu\beta\gamma$, so erhalten wir:
\[
K = \beta\gamma, \quad
L = 0, \quad
M = 0;
\]
es ist also
\[
(\delta\alpha,\, \beta\gamma,\, \kappa\delta\alpha) =
\beta\gamma \mid \delta\alpha + \kappa\delta\alpha \mid \beta\gamma
+ \beta\gamma \mid \kappa\delta\alpha,
\]
und dies ist $\equiv \beta\gamma \mid \delta\alpha \bmod 2$, da von den drei Indices
$\kappa\delta\alpha$, $\beta\gamma$, $\kappa\delta\alpha\beta\gamma$
zwei ungrade sind, der dritte grade. Wir erhalten demnach:
\[
c_{0}c_{\kappa\lambda\mu}
\, \Theta _{\kappa}\, \Theta _{\lambda\mu} =
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
c_{\kappa\beta\gamma}c_{\kappa\alpha\delta}
\, \Theta _{\beta\gamma}\, \Theta _{\alpha\delta}\right\},
\]
oder:
\[
e_{\kappa\lambda\mu} l_{\kappa} l_{\lambda\mu}
\sigma_{\kappa}\sigma_{\lambda\mu} =
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
e_{\kappa\beta\gamma} e_{\kappa\alpha\delta}
l_{\beta\gamma} l_{\alpha\delta}
\sigma_{\beta\gamma}\sigma_{\alpha\delta}\right\}.
\]
Nun haben wir den Coefficienten:
\[
Q = \frac{e_{\kappa\beta\gamma} e_{\kappa\alpha\delta} l_{\beta\gamma} l_{\alpha\delta}}
{e_{\kappa\lambda\mu} l_{\kappa} l_{\lambda\mu}}
\]
umzuformen. Wir bilden zunächst:
\[
q = \frac{e_{\kappa\beta\gamma} l_{\beta\gamma}}
{l_{\kappa}}.
\]
Es ist nach den Formeln~(68) und (79) des ersten Theils:
\[
e_{\kappa\beta\gamma} =
\frac{ee_{\kappa\beta} e_{\kappa\gamma} e_{\beta\gamma}}
{re_{\kappa} e_{\beta} e_{\gamma} l_{\kappa} l_{\beta} l_{\gamma} f_{\kappa\beta\gamma}}, \quad
l_{\beta\gamma} =
\frac{fg_{\beta}g_{\gamma}}
{rg^2l_{\beta} l_{\gamma} e_{\beta\gamma}};
\]
daher:
\[
q = \frac{f e e_{\kappa\beta} e_{\kappa\gamma} g_{\beta} g_{\gamma}}
{r^2 g^2 e_{\kappa} e_{\beta} e_{\gamma} l^2_{\kappa} l^2_{\beta} l^2_{\gamma} f_{\kappa\beta\gamma}}.
\]
Nun ist nach (69)
\[
e_{\kappa} l^2_{\kappa} =
 -r^4 l^2 g_{\kappa};
\]
Daher:
\[
e_{\kappa} e_{\beta} e_{\gamma} l^2_{\kappa} l^2_{\beta} l^2_{\gamma} =
- r^{12} l^6 g_{\kappa}g_{\beta}g_\gamma{},
\]
mithin:
\[
q = \frac{-f e e_{\kappa\beta} e_{\kappa\gamma}}
{r^{14} l^6 g^2 g_{\kappa} f_{\kappa\beta\gamma}}.
\]

Nach (71) und (72) ist aber:
\[
-e = \frac{f^4}{g^5}, \quad r^{14} l^6 = \frac{f^6}{g^8};
\]
folglich:
\[
q = \frac{g}{f}
\ \frac{e_{\kappa\beta} e_{\kappa\gamma}}
{g_{\kappa} f_{\kappa\beta\gamma}}.
\]
Da nun
\[
Q = \frac{e_{\kappa\beta\gamma} l_{\beta\gamma}}
{l_{\kappa}}\cdot
\frac{e_{\kappa\alpha\delta} l_{\alpha\delta}}
{l_{\kappa}}\cdot
\frac{l_{\kappa}}
{e_{\kappa\lambda\mu} l_{\lambda\mu}}
\]
%-----File: 047.png-----------------------------------------
ist, so erhalten wir:
\[
Q = \frac{g}{f}\
\frac{e_{\kappa\beta}e_{\kappa\gamma}e_{\kappa\alpha}e_{\kappa\delta}}
{g_{\kappa}e_{\kappa\lambda}e_{\kappa\mu}}\cdot
\frac{f_{\kappa\lambda\mu}}
{f_{\kappa\beta\gamma}f_{\kappa\alpha\delta}}\cdot
\]
Es ist aber:
\[
e_{\kappa\beta}e_{\kappa\gamma}e_{\kappa\alpha}e_{\kappa\delta}e_{\kappa\lambda}e_{\kappa\mu} =
e^2_{\kappa} =
\frac{f^3}{g^5}f_{\kappa}g^5_{\kappa},
\]
\[
e^2_{\kappa\lambda}e^2_{\kappa\mu} =
\frac{f^2}{g^4}g^4_{\kappa}g^2_{\lambda}g^2_{\mu}f_{\kappa\lambda}f_{\kappa\mu};
\]
mithin ergiebt sich:
\[
Q = \frac{f_{\kappa}f_{\kappa\lambda\mu}}
{g^2_{\lambda}g^2_{\mu}f_{\kappa\lambda}f_{\kappa\mu}f_{\kappa\beta\gamma}f_{\kappa\alpha\delta}}.
\]
Nun ist, wenn wir die Producte $f_{\kappa},\, f_{\kappa\lambda},\, f_{\kappa\mu}$ auflösen:
\[
\frac{f_{\kappa}f_{\kappa\lambda\mu}}
{f_{\kappa\lambda}f_{\kappa\mu}} =
f_{\kappa\alpha\beta}f_{\kappa\alpha\gamma}f_{\kappa\alpha\delta}f_{\kappa\beta\gamma}
f_{\kappa\beta\delta}f_{\kappa\gamma\delta};
\]
folglich erhalten wir:
\[
Q = \frac{f_{\kappa\gamma\alpha}f_{\kappa\beta\delta}f_{\kappa\alpha\beta}f_{\kappa\gamma\delta}}
{g^2_{\lambda}g^2_{\mu}}.
\]

Durch diese Umformung der Coefficienten nimmt die aufgestellte
Gleichung folgende Gestalt an:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
f_{\kappa\gamma\alpha}f_{\kappa\beta\delta}f_{\kappa\alpha\beta}f_{\kappa\gamma\delta}
\sigma_{\beta\gamma}\sigma_{\alpha\delta}\right\} =
g^2_{\lambda}g^2_{\mu}\sigma_{\kappa}\sigma_{\lambda\mu}.
\]
Dadurch ist jetzt folgendes System von Relationen gefunden:
\[
\tag{4}
\left\{
\begin{aligned}
&(\text{A})\quad\underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
f_{\gamma\delta\kappa}f_{\delta\beta\kappa}f_{\beta\gamma\kappa}
\sigma_{\alpha}\sigma_{\alpha\kappa}\right\} = 0,\\
&(\text{B})\quad\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
\frac{f_{\beta\kappa\lambda}f_{\gamma\kappa\lambda}}{f_{\beta\mu\nu}f_{\gamma\mu\nu}}\
\frac{\sigma_{\alpha\kappa}\sigma_{\alpha\lambda}}{g_{\beta}g_{\gamma}g^2_{\mu}g^2_{\nu}}\right\} =
\sigma_{\kappa}\sigma_{\lambda},\\
&(\text{C})\quad\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
f_{\kappa\gamma\alpha}f_{\kappa\beta\delta}f_{\kappa\alpha\beta}f_{\kappa\gamma\delta}
\sigma_{\beta\gamma}\sigma_{\alpha\delta}\right\} =
g^2_{\lambda}g^2_{\mu}\sigma_{\kappa}\sigma_{\lambda\mu}.\\
\end{aligned}
\right.
\]

\Section{§~3.}

Wir gehen aus von der ersten Gleichung dieses Systems. Das
Product $\sigma_{\kappa}\sigma_{\lambda}\sigma_{\kappa\lambda}$
bezeichnen wir durch $\phi_{\kappa\lambda}$:
\[
\sigma_{\kappa}\sigma_{\lambda}\sigma_{\kappa\lambda} =
\phi_{\kappa\lambda}(\kappa\lessgtr\lambda).
\]

Die Gleichung~(A) zeigt dann, dass zwischen den vier Grössen
$\phi_{\alpha\kappa}$, $\phi_{\beta\kappa}$, $\phi_{\gamma\kappa}$, $\phi_{\delta\kappa}$
eine lineare Gleichung
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
f_{\gamma\delta\kappa}f_{\delta\beta\kappa}f_{\beta\gamma\kappa}
\phi_{\alpha\kappa}\right\} = 0\\
\]
besteht. Hieraus folgt, dass sich die $21$ Grössen $\phi_{\kappa\lambda}$
durch sechs unter ihnen linear darstellen lassen. Denn es lässt sich
$\phi_{15},\, \phi_{16},\, \phi_{17}$ durch $\phi_{12},\, \phi_{13},\, \phi_{14}$;
$\phi_{25},\, \phi_{26},\, \phi_{27}$ durch $\phi_{12},\, \phi_{23},\, \phi_{24}$; und
$\phi_{35},\, \phi_{36},\, \phi_{37}$ durch $\phi_{13},\, \phi_{23},\, \phi_{34}$
darstellen; endlich $\phi_{56}$, $\phi_{57},\, \phi_{67}$ durch die
%-----File: 048.png-----------------------------------------
schon dargestellten ausdrücken; so dass schliesslich alle $\phi_{\kappa\lambda}$ lineare
Functionen von $\phi_{12},\, \phi_{13},\, \phi_{14},\,
\phi_{23},\, \phi_{24},\, \phi_{34}$ werden.
Um aber die Symmetrie zu wahren, wollen wir die $21$ Grössen $\phi_{\kappa\lambda}$ durch sechs
neue Grössen, die von den Indices unabhängig sind, ausdrücken.

Wenn wir eine quadratische Form aufstellen:
\[
\xi^2 L_{11} + 2\xi\eta L_{12} + 2\xi\zeta L_{13} + \eta^2L_{22} + 2\eta\zeta L_{23} + \zeta^2L_{33},
\]
und in dieser für $\xi$, $\eta$, $\zeta$ die gemeinsamen Werthsysteme der beiden
Gleichungen $a_{\kappa}\xi + b_{\kappa}\eta + c_{\kappa}\zeta = 0$,
$a_{\lambda}\xi + b_{\lambda}\eta + c_{\lambda}\zeta = 0$ einsetzen:
\[
  \xi = b_{\kappa}c_{\lambda} - c_{\kappa}b_{\lambda}, \quad
  \eta = c_{\kappa}a_{\lambda} - a_{\kappa}c_{\lambda}, \quad
  \zeta = a_{\kappa}b_{\lambda} - b_{\kappa}a_{\lambda},
\]
so lässt sich zeigen, dass zwischen den $21$ Ausdrücken $\Phi_{\kappa\lambda}$, welche
wir so erhalten, dieselben Gleichungen bestehen, wie zwischen den
Grössen $\phi_{\kappa\lambda}$\@. Zu diesem Zweck bilden wir die Summe
\[
S = \underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa} f_{\beta\gamma\kappa} \Phi_{\alpha\kappa}\right\}
\]
und betrachten in dieser $a_{\delta}$, $b_{\delta}$, $c_{\delta}$ als veränderliche Grössen, die
übrigen Parameter dagegen und die Grössen $L$ als Constanten. Setzen
wir dann $a_{\delta} = a_{\alpha}$, $b_{\delta} = b_{\alpha}$,
$c_{\delta} = c_{\alpha}$, so verschwindet der Factor
\[
f_{\delta\alpha\kappa} = (-1)^{\delta \mid \alpha\kappa\,+\,\alpha \mid \kappa}
\begin{vmatrix}
  a_{\delta}    &b_{\delta}    &c_{\delta}  \\
  a_{\alpha}    &b_{\alpha}    &c_{\alpha}  \\
  a_{\kappa} &b_{\kappa} &c_{\kappa}
\end{vmatrix}
\]
des zweiten und dritten Gliedes; die vorgelegte Summe reducirt sich
daher auf folgende:
\[
S = (-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa} f_{\beta\gamma\kappa} \Phi_{\alpha\kappa} +
(-1)^{\alpha\beta\gamma \mid \delta}
f_{\beta\gamma\kappa} f_{\gamma\alpha\kappa} f_{\alpha\beta\kappa} \Phi_{\delta\kappa}.
\]
Nun ist, unter der gemachten Voraussetzung:
\begin{gather*}
f_{\gamma\delta\kappa} = (-1)^{\alpha\delta \mid \gamma\kappa} f_{\gamma\alpha\kappa}, \quad
f_{\delta\beta\kappa} = (-1)^{\alpha\delta \mid \beta\kappa} f_{\alpha\beta\kappa}, \\
\Phi_{\alpha\kappa} = \Phi_{\delta\kappa};
\end{gather*}
es ist also
\[
S = ((-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha +\alpha\delta \mid \gamma\kappa
+\alpha\delta \mid \beta\kappa} + (-1)^{\alpha\beta\gamma \mid \delta})
f_{\beta\gamma\kappa} f_{\gamma\alpha\kappa} f_{\alpha\beta\kappa} \Phi_{\delta\kappa}.
\]
Nun ist aber
\[
\beta\gamma\delta \mid \alpha +\alpha\delta \mid \gamma\kappa +\alpha\delta \mid \beta\kappa \equiv
1 + \alpha\beta\gamma \mid \delta \bmod 2;
\]
folglich ist $S = 0$\@. -- Ebenso lässt sich zeigen, dass $S$ verschwindet,
wenn $(a_{\delta},\, b_{\delta},\, c_{\delta})$
$= (a_{\beta},\, b_{\beta},\, c_{\beta})$  oder
$= (a_{\gamma},\, b_{\gamma},\, c_{\gamma})$ gesetzt wird.
Endlich ist offenbar, dass jedes Glied von $S$, und zwar von der zweiten
Ordnung, verschwindet, wenn
$(a_{\delta},\, b_{\delta},\, c_{\delta})
=(a_{\kappa},\, b_{\kappa},\, c_{\kappa})$ gesetzt wird.
Nun ist aber $S$ eine homogene quadratische Function von $(a_{\delta},\, b_{\delta},\, c_{\delta})$;
da diese an einer Stelle von der zweiten Ordnung, und ausserdem an
drei andern unabhängigen Stellen verschwindet, so muss sie identisch
gleich Null sein. Damit ist der ausgesprochene Satz bewiesen.

Daraus folgt nun, dass alle $21$ Grössen $\Phi_{\kappa\lambda}$ dieselben Functionen
von $\Phi_{12}$, $\Phi_{13} \cdots\Phi_{34}$ sind, wie $\phi_{\kappa\lambda}$ von
$\phi_{12}$, $\phi_{13} \cdots \phi_{34}$\@. Daraus geht
%-----File: 049.png-----------------------------------------
hervor, dass, wenn wir die sechs Grössen $L$ so bestimmen, dass die
sechs linearen Gleichungen
\[
\phi_{12} = \Phi_{12};\
\phi_{13} = \Phi_{13} \cdots, \
\phi_{34} = \Phi_{34}
\]
erfüllt werden, allgemein $\phi_{\kappa\lambda} = \Phi_{\kappa\lambda}$ ist.
Auf diese Weise sind also die $21$ Grössen
$\phi_{\kappa\lambda} = \sigma_{\kappa} \sigma_{\lambda} \sigma_{\kappa\lambda}$
in folgender Form dargestellt:
\[
\tag{5}
 \left\{
 \begin{aligned}
 \phi_{\kappa\lambda} &= \xi^2 L_{11} + 2\xi\eta L_{12}
 + 2\xi\zeta L_{13} + \eta^2 L_{22} + 2\eta\zeta L_{23}
 + \zeta^2 L_{33}   \\
 \xi  &= b_{\kappa}c_{\lambda} - c_{\kappa}b_{\lambda}, \quad
 \eta  = c_{\kappa}a_{\lambda} - a_{\kappa}c_{\lambda}, \quad
 \zeta = a_{\kappa}b_{\lambda} - b_{\kappa}a_{\lambda}.
\end{aligned}
\right.
\]

\Section{§~4.}

Wir führen nun eine Anzahl neuer Bezeichnungen ein. Das Product
aller sieben Grössen $\sigma_1,\, \sigma_2 \cdots \sigma_7$, bezeichnen wir durch $\widetilde{\omega}$; ferner das Product
von $\sigma_{\kappa\lambda}$ in diejenigen fünf der Grössen $\sigma_1,\, \sigma_2 \cdots \sigma_7$, deren Indices von $\kappa$
und $\lambda$ verschieden sind, mit $\chi_{\kappa\lambda}$; endlich das Product von $\widetilde{\omega}$ in das Quadrat
irgend einer der $28$ ungraden $\sigma$-Functionen $
\widetilde{\omega} \sigma_m^2$ mit $\psi_m$\@. Danach ist:
\[
\tag{6}
\left\{\begin{aligned}
\widetilde{\omega}
 &= \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 \sigma_4 \sigma_5 \sigma_6 \sigma_7 \\
\phi_{\kappa\lambda}
 &=  \sigma_{\kappa} \sigma_{\lambda} \sigma_{\kappa\lambda}   \\
\chi_{\kappa\lambda}
 &= \sigma_{\alpha} \sigma_{\beta} \sigma_{\gamma} \sigma_{\mu}
    \sigma_{\nu} \sigma_{\kappa\lambda}
  = \frac{\widetilde{\omega} \sigma_{\kappa\lambda}}
         {\sigma_{\kappa} \sigma_{\lambda}}       \\
\psi_m &= \widetilde{\omega} \sigma_m^2.
\end{aligned} \right.
\]
Es ist dann $\phi_{\kappa\lambda}$ ein Product dreier, $\chi_{\kappa\lambda}$ ein Product von sechs, $\psi_m$ von
neun $\sigma$-Functionen, und es ist offenbar
\[
 \psi_{\kappa\lambda} = \phi_{\kappa\lambda} \chi_{\kappa\lambda}.
\]

Wenn wir diese Ausdrücke in die zweite und dritte der
Gleichungen~(3) einführen, so erhalten wir:
\[
\tag{7}
\left\{\begin{aligned}
&\text{(A)} \quad \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S} \left\{
 (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
 f_{\kappa\gamma\alpha} f_{\kappa\beta\delta}
 f_{\kappa\alpha\beta} f_{\kappa\gamma\delta}
 \phi_{\beta\gamma} \phi_{\alpha\delta} \right\}
 = g_{\lambda}^2 g_{\mu}^2 \chi_{\lambda\mu}, \\
&\text{(B)} \quad \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S} \left\{
 (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
 \frac{f_{\beta\kappa\lambda} f_{\gamma\kappa\lambda}
        \phi_{\alpha\kappa} \chi_{\alpha\lambda}}
      {g_{\beta} g_{\gamma} g_{\mu}^2 g_{\nu}^2
        f_{\beta\mu\nu} f_{\gamma\mu\nu}} \right\}
 = \psi_{\kappa}, \\
&\text{(C)} \quad \phi_{\kappa\lambda} \chi_{\kappa\lambda}
 = \psi_{\kappa\lambda}.
\end{aligned} \right.
\]

Die erste dieser Gleichungen wird aus der letzten Formel des
Systems~(3) gewonnen, indem man dieselbe mit $\sigma_{\alpha} \sigma_{\beta} \sigma_{\gamma} \sigma_{\delta}$ multiplicirt,
die zweite, indem man (B) mit
$\dfrac{\widetilde{\omega} \sigma_{\kappa}}{\sigma_{\lambda}}$ multiplicirt. Diese Formeln lassen
sich nun in folgender Weise auffassen. Durch die Gleichung~(5) sind
die Grössen $\phi$ dargestellt als homogene lineare Functionen der sechs
Grössen $L$\@. Setzen wir diese Ausdrücke in (A) ein, so verwandelt sich
$\chi_{\lambda\mu}$ in eine homogene quadratische Function derselben Grössen; die
beiden letzten Gleichungen zeigen dann, dass $
\psi_{\kappa},\, \psi_{\kappa\lambda}$ kubische Functionen
dieser Grössen sind. Wenn wir dies festhalten, so zeigen die
Gleichungen~(6), dass nicht nur das Quadrat jedes Quotienten zweier
ungeraden $\sigma$-Functionen, sondern auch allgemein jedes Product beliebig
%-----File: 050.png-----------------------------------------
vieler solcher Quotienten $\dfrac{\sigma_{a}}{\sigma_{b}}$,
$\dfrac{\sigma_{a'}}{\sigma_{b'}}$, $\dfrac{\sigma_{a''}}{\sigma_{b''}}$ etc.,
wenn nur der Gesammt-Index desselben $ab\,a'b'\,a''b''\cdots$ gleich dem Index $0$
ist, sich als eine rationale Function der Verhältnisse der Grössen $L$ darstellen lässt.
Weiter aber zeigen diese Formeln, dass zwischen den sechs Grössen
$L$ eine grosse Anzahl homogener Gleichungen, sämmtlich von der
sechsten Ordnung, besteht. Denn aus der zweiten und dritten der Gleichungen~(6) folgt:
\[
\frac{\phi_{\beta\lambda}}{\chi_{\beta\lambda}} =
\frac{\sigma^2_{\beta}\sigma^2_{\lambda}}{\widetilde{\omega}};
\]
daher ist:
\begin{align*}
\frac{\phi_{\beta\lambda}}{\chi_{\beta\lambda}} \psi_{\kappa} &=
\sigma^2_{\beta}\sigma^2_{\kappa}\sigma^2_{\lambda} =
\frac{\phi_{\beta\kappa}}{\chi_{\beta\kappa}} \psi_{\lambda},\\
\frac{\phi_{\beta\lambda}}{\chi_{\beta\lambda}}
\ \frac{\phi_{\alpha\kappa}}{\chi_{\alpha\kappa}} &=
\frac{\sigma^2_{\beta} \sigma^2_{\lambda} \sigma^2_{\alpha} \sigma^2_{\kappa}}{\widetilde{\omega}^2} =
\frac{\phi_{\beta\kappa}}{\chi_{\beta\kappa}}
\ \frac{\phi_{\alpha\lambda}}{\chi_{\alpha\lambda}};\\
\frac{\phi_{\alpha\beta}}{\chi_{\alpha\beta}}\
\frac{\phi_{\gamma\delta}}{\chi_{\gamma\delta}}\
\frac{\phi_{\lambda\mu}}{\chi_{\lambda\mu}} &=
\frac{\sigma^2_{\alpha}\sigma^2_{\beta}\sigma^2_{\gamma} \sigma^2_{\delta} \sigma^2_{\lambda} \sigma^2_{\mu}}{\widetilde{\omega}^3} =
\frac{1}{\widetilde{\omega}\sigma^2_{\kappa}} =
\frac{1}{\psi_{\kappa}};
\end{align*}
daher ist, für beliebige Indices:
\[
\tag{8}
\left\{
\begin{aligned}
&\phi_{\beta\lambda} \chi_{\beta\kappa}\psi_{\kappa} =
\phi_{\beta\kappa} \chi_{\beta\lambda}\psi_{\lambda},\\
&\phi_{\alpha\kappa} \phi_{\beta\lambda}
 \chi_{\alpha\lambda} \chi_{\beta\kappa} =
\phi_{\alpha\lambda} \phi_{\beta\kappa} \chi_{\alpha\kappa} \chi_{\beta\lambda},\\
&\phi_{\alpha\beta} \phi_{\gamma\delta} \phi_{\lambda\mu}\psi_{\kappa} =
\chi_{\alpha\beta} \chi_{\gamma\delta} \chi_{\lambda\mu};
\end{aligned}
\right.
\]
und alles dieses sind, wenn wir für die Grössen
$\phi$, $\chi$, $\psi$ ihre Ausdrücke durch die $L$ eingesetzt denken,
homogene Gleichungen sechster Ordnung zwischen den Grössen~$L$\@. Freilich können nur zwei von
diesen Gleichungen unabhängig von einander sein; die übrigen müssen
sich als Folgerungen derselben ergeben.


\Section{§~5.}

Wir brechen jetzt diese allgemeinere Betrachtung ab, um zu untersuchen, was aus den Ausdrücken
$\phi$, $\chi$, $\psi$ wird, wenn wir durch eine
gleich anzugebende willkürliche Relation unter den Grössen $L$ die Veränderlichkeit der Argumente beschränken.

I. \quad $\phi_{\kappa\lambda}$ ist nach der Gleichung~(5) durch eine quadratische Form
dargestellt. Wir setzen die Determinante derselben gleich Null:
\[
\tag{9}
\begin{vmatrix}
  L_{11} & L_{12} & L_{13}  \\
  L_{21} & L_{22} & L_{23}  \\
  L_{31} & L_{32} & L_{33}
\end{vmatrix}
 = 0.
\]
Alsdann zerfällt die quadratische Form in ein Product zweier Linearfactoren:
\[
\phi_{\kappa\lambda} = (\xi x + \eta y + \zeta z)(\xi x' + \eta y' + \zeta z');
\]
%-----File: 051.png-----------------------------------------
oder, wenn wir für $\xi$, $\eta$, $\zeta$ die Werthe dieser Grössen einsetzen:
\[
\phi_{\kappa\lambda} =
\begin{vmatrix}
  x           &y           &z          \\
  a_{\kappa}  &b_{\kappa}  &c_{\kappa} \\
  a_{\lambda} &b_{\lambda} &c_{\lambda}
\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}
  x'          &y'          &z'          \\
  a_{\kappa}  &b_{\kappa}  &c_{\kappa}  \\
  a_{\lambda} &b_{\lambda} &c_{\lambda}
\end{vmatrix}.
\]

Wir multipliciren die einzelnen Factoren, um sie in Bezug auf $\kappa$, $\lambda$
symmetrisch zu machen, mit dem alternirenden Vorzeichen $(-1)^{\kappa \mid \lambda}$, und bezeichnen
\[
(-1)^{\kappa \mid \lambda}
\begin{vmatrix}
x           &y           &z          \\
a_{\kappa}  &b_{\kappa}  &c_{\kappa} \\
a_{\lambda} &b_{\lambda} &c_{\lambda}
\end{vmatrix}
\text{ durch } F(x,\, y,\, z)_{\kappa\lambda}.
\]
Alsdann ist
\[
\tag{10}
\phi_{\kappa\lambda} =
F(x,\, y,\, z)_{\kappa\lambda}
F(x',\, y',\, z')_{\kappa\lambda}.
\]

Wir können uns $(x,\, y,\, x)$ als die homogenen Coordinaten eines
veränderlichen Punktes in einer Ebene,
$(a_{1},\, b_{1},\, c_{1})\cdots (a_{7}\ b_{7}\ c_{7})$
als die von $7$ festen Punkten vorstellen, und diese Punkte selbst durch die
Zahlen $1,\, 2 \cdots7$ bezeichnen. $F(x,\, y,\, z)_{\kappa\lambda} = 0$ %**
ist dann die Gleichung derjenigen Graden, welche durch die beiden Punkte $\kappa$, $\lambda$ hindurchgeht.
Dadurch ist diese Function charakterisirt, wenn ausserdem
noch der Werth von $F (x,\, y,\, x)_{\kappa\lambda}$ in einem dritten Punkte $\mu$ gegeben
ist. $F_{\kappa\lambda}$ ist also bestimmt durch die Eigenschaften:
\[
\tag{11}
\left\{
\begin{aligned}
F_{\kappa\lambda} &= 0 \text{ in den Punkten }\kappa,\, \lambda,\\
&= (-1)^{\mu \mid \kappa\lambda}f_{\mu\kappa\lambda} \text{ im Punkte } \mu.
\end{aligned}
\right.
\]

II. \quad Setzt man in der ersten der Gleichungen~(7) für die Grössen
$\phi$ die eben gefundenen Ausdrücke, wobei der Kürze wegen $F_{\beta\gamma}$ für
$F (x,\, y,\, z)_{\beta\gamma}$, $F'_{\beta\gamma}$ für $F (x',\, y'$, %**
$z')_{\beta\gamma}$
geschrieben werden soll, so erhält man:
\[
g^2_{\lambda}g^2_{\mu}\chi_{\lambda\mu} =
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
f_{\kappa\gamma\alpha}f_{\kappa\beta\delta}f_{\kappa\alpha\beta}f_{\kappa\gamma\delta}
F_{\beta\gamma}F_{\alpha\delta}F'_{\beta\gamma}F'_{\alpha\delta}\right\}.
\]
Hierdurch ist, wenn wir $(x',\, y',\, z')$ als constant auffassen, $\chi_{\lambda\mu}$ definirt
als eine homogene quadratische Function von $(x,\, y,\, z)$, die offenbar an
den vier Punkten $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ verschwindet. Sie verschwindet aber auch
im Punkte $\kappa$\@. Denn in diesem wird nach (11):
\[
F_{\beta\gamma}F_{\alpha\delta} =
(-1)^{\kappa \mid \alpha\beta\gamma\delta} f_{\kappa\beta\gamma} f_{\kappa\alpha\delta};
\]
der Ausdruck auf der rechten Seite geht daher über in:
\[
(-1)^{\kappa \mid \alpha\beta\gamma\delta}
f_{\kappa\gamma\alpha}f_{\kappa\beta\delta}f_{\kappa\alpha\beta}f_{\kappa\gamma\delta}
f_{\kappa\beta\gamma}f_{\kappa\alpha\delta}
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
F'_{\beta\gamma}F'_{\alpha\delta}
\right\}.
\]
Wir betrachten nun den letzten Factor dieses Products. Vertauschen
wir $(x',\, y',\, z')$ mit $(a_{\delta},\, b_{\delta},\, c_{\delta})$,
%** Added missing index: $c \rightarrow c_\delta$}
so geht
\[
F'_{\beta\gamma} \text{ in }
(-1)^{\beta\gamma \mid \delta} f_{\delta\beta\gamma}, \quad
F'_{\alpha\delta} \text{ in } - F'_{\alpha\delta}
\]
über; daher der Summenausdruck in:
%-----File: 052.png-----------------------------------------
\[
 - \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S} \left\{
 (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha} f_{\delta\beta\gamma}
 F_{\alpha\delta}'
\right\}.
\]
Von dieser Summe, die eine lineare Function von $x'$, $y'$, $z'$ darstellt,
ist zu zeigen, dass sie identisch verschwindet. Dazu ist nur
nöthig, zu zeigen, dass sie in den drei Punkten $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ verschwindet.
Dies aber geht unmittelbar aus (11) hervor. Denn setzen wir z.~B.\
$(x',\, y',\, z') = (a_{\gamma},\, b_{\gamma},\, c_{\gamma})$, so wird
\[
F_{\alpha\delta}'
 = (-1)^{\gamma \mid \alpha\delta} f_{\delta\gamma\alpha}, \quad
F_{\beta\delta}'
 = (-1)^{\gamma \mid \beta\delta} f_{\beta\delta\gamma}, \quad
F_{\gamma\delta}' = 0;
\]
daher:
\begin{align*}
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha} f_{\delta\beta\gamma} F_{\alpha\delta}'
  &= (-1)^{\beta\mid \alpha+\gamma \mid \delta}
     f_{\delta\beta\gamma} f_{\delta\gamma\alpha},   \\
%** Changed according to "`Berichtigung"':
%** $f_{\delta\gamma} \rightarrow f_{\delta\gamma\alpha}$
(-1)^{\gamma\beta \mid \alpha} f_{\delta\gamma\alpha} F_{\beta\delta}'
  &= (-1)^{\alpha \mid \beta+\gamma \mid \delta}
     f_{\delta\beta\gamma} f_{\delta\gamma\alpha},   \\
(-1)^{\alpha\beta \mid \gamma} f_{\delta\alpha\beta} F_{\gamma\delta}'
  &= 0.
\end{align*}
Somit muss diese Summe, und auch die ursprüngliche identisch Null
sein. Es gelten also die beiden Relationen:
\[
\tag{a}
 \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S} \left\{
  (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha} f_{\beta\gamma\kappa} F_{\alpha\kappa}
  \right\} = 0,
\]
\[
\tag{b}
 \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S} \left\{
  (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta} F_{\beta\gamma} F_{\alpha\delta}
  \right\} = 0.
\]

Aus der letzten Gleichung folgt nun, dass die quadratische Function,
durch welche $\chi_{\lambda\mu}$ dargestellt ist, ausser an den Punkten
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ auch
noch im Punkte $\kappa$ verschwindet. Dadurch ist aber $\chi_{\lambda\mu}$ bis auf einen
von $x$, $y$, $z$ unabhängigen Factor bestimmt; und da $\chi_{\lambda\mu}$ symmetrisch
ist in Bezug auf beide Werthsysteme, so folgt, dass $\chi_{\lambda\mu}$, ebenso wie
$\phi_{\lambda\mu}$, in zwei Factoren zerfällt, von denen der eine nur $x$, $y$, $z$, der
andere nur $x'$, $y'$, $z'$ enthält. Diese Zerlegung nun lässt sich mit Hülfe
der gefundenen Formel wirklich ausführen. Wir bezeichnen für den
Augenblick die Producte
\[ \begin{split}
& F_{\beta\gamma} F_{\alpha\delta}, \quad
  F_{\gamma\alpha} F_{\beta\delta}, \quad
  F_{\alpha\beta} F_{\gamma\delta} \text{ durch } P_1,\, P_2,\, P_3, \\
& F_{\beta\gamma}' F_{\alpha\delta}'
  \text{ etc.\ durch } P_1',\, P_2',\, P_3', \\
& f_{\kappa\beta\gamma} f_{\kappa\alpha\delta}
  \text{ etc.\ durch } p_1,\, p_2,\, p_3,
  \end{split}
\]
und die Vorzeichen
\[
 (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}, \quad
 (-1)^{\gamma\alpha \mid \beta\delta}, \quad
 (-1)^{\alpha\beta \mid \gamma\delta}
 \text{ durch } \epsilon_1,\, \epsilon_2,\, \epsilon_3.
\]
Es ist dann offenbar:
\begin{align*}
 g_{\lambda}^2 g_{\mu}^2 \chi_{\lambda\mu}
 &= \epsilon_1 p_2 p_3 P_1 P_1'
 + \epsilon_2 p_3 p_1 P_2 P_2'
 + \epsilon_3 p_1 p_2 P_3 P_3',   \\
 \epsilon_1 P_1 &+ \epsilon_2 P_2 + \epsilon_3 P_3 =0,   \\
 \epsilon_1 P_1' &+ \epsilon_2 P_2' + \epsilon_3 P_3' =0,   \\
 \epsilon_1 p_1 &+ \epsilon_2 p_2 + \epsilon_3 p_3 =0,   \\
 & \quad \epsilon_1 \epsilon_2 \epsilon_3 = -1.
  \end{align*}

Die vorletzte Gleichung wird aus (b)
%** Changed according to "`Berichtigung"': $(6) \rightarrow (b)$
dadurch erhalten, dass man
%-----File: 053.png-----------------------------------------
$(x,\, y,\, z) = (a_{\kappa},\, b_{\kappa}$, $c_{\kappa})$ setzt. %**
 Wir eliminiren nun die Grössen $P_3$, $P_3'$,
$p_3$\@. Dadurch geht der Ausdruck von $g^2_{\lambda}g^2_{\mu}\chi_{\lambda\mu}$ über in folgenden:
\begin{align*}
g^2_{\lambda}g^2_{\mu}\chi_{\lambda\mu} &=
p_2^2P_1P_1' + p_1^2P_2P_2'- p_1p_2(P_1P_2' + P_2P_1')\\
&= (p_2P_1 - p_1P_2)(p_2P_1' - p_1P_2').
\end{align*}
Wir bezeichnen nun die Function zweiten Grades
\[
(-1)^{\alpha \mid \beta+\delta \mid \gamma}\frac{p_2P_1-p_1P_2}{g_{\lambda}g_{\mu}}
\text{ durch }G(x,\, y,\, z).
\]
Alsdann ist
\[
\chi_{\lambda\mu} = G(x,\, y,\, z) G(x',\, y',\, z').
\]
Diese Function zweiten Grades $G(x,\, y,\, z)$ hat, wie wir bewiesen haben,
die Eigenschaft, an den fünf von $\lambda,\, \mu$ verschiedenen Punkten zu verschwinden.
Im Punkte $\lambda$ selbst ist, wie aus (11)
%** Changed according to "`Berichtigung"': (4) $\rightarrow$ (11)
hervorgeht:
\[
P_1 = (-1)^{\lambda \mid \alpha\beta\gamma\delta}f_{\lambda\beta\gamma}f_{\lambda\alpha\delta}, \quad
P_2 = (-1)^{\lambda \mid \alpha\beta\gamma\delta}f_{\lambda\gamma\alpha}f_{\lambda\beta\delta};
\]
daher erhalten wir:
\begin{gather*}
f_{\kappa\gamma\alpha}f_{\kappa\beta\delta}f_{\lambda\beta\gamma}f_{\lambda\alpha\delta} -
f_{\kappa\beta\gamma}f_{\kappa\alpha\delta}f_{\lambda\gamma\alpha}f_{\lambda\beta\delta}\\
 = (-1)^{\lambda \mid \kappa\lambda\mu+\alpha \mid \beta+\delta \mid \gamma}
g_{\lambda}g_{\mu}G(a_{\lambda},\, b_{\lambda},\, c_{\lambda}).
\end{gather*}

Der Ausdruck auf der linken Seite ist aber, wie aus (2) folgt,
\[
= (-1)^{\alpha \mid \beta+\delta \mid\gamma +\lambda \mid\, \kappa}g_{\mu};
\]
mithin ist:
\[
G(a_{\lambda}, b_{\lambda}, c_{\lambda}) = \frac{(-1)^{\lambda \mid\lambda\mu}}{g_{\lambda}}.
\]
Ebenso ist:
\[
G(a_{\mu}, b_{\mu}, c_{\mu}) = \frac{(-1)^{\mu \mid\lambda\mu}}{g_{\mu}}.
\]

Die Function $G (x,\, y,\, z)$ ist auf diese Weise charakterisirt durch
sieben Bedingungen. Diese sind symmetrisch nach den beiden Indices
$\lambda$, $\mu$ einerseits, und den davon verschiedenen
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\kappa$ andrerseits.
Daher können wir diese Function durch $G (x,\, y,\, z)_{\lambda\mu}$ bezeichnen. Demnach erhalten wir:
\[
\tag{12}
\chi_{\lambda\mu} = G(x,\, y,\, z)_{\lambda\mu} \, G(x',\, y',\, z')_{\lambda\mu},
\]
wo die Function $G_{\lambda\mu}$ definirt ist durch die Gleichung:
\[
\tag{c}
(-1)^{\alpha \mid \beta+\delta \mid \gamma}
(f_{\kappa\gamma\alpha}f_{\kappa\beta\gamma}F_{\beta\gamma}F_{\alpha\delta} -
f_{\kappa\beta\gamma}f_{\kappa\alpha\delta}F_{\gamma\alpha}F_{\beta\delta}) =
g_{\lambda}g_{\mu}G_{\lambda\mu},
\]
und auch durch die Eigenschaften:
\[
\tag{13}
\left\{
\begin{aligned}
G_{\lambda\mu} &= 0 \text{ in den Punkten } \alpha,\, \beta,\, \gamma,\, \delta,\, \kappa,\\
&= \frac{(-1)^{\lambda \mid \lambda\mu}}{g_{\lambda}} \text{ im Punkte }\lambda.
\end{aligned}
\right.
\]

Zu den beiden Gleichungen~(b) und (c) wollen wir noch zwei verwandte hinzufügen.
Es stellen nämlich die sechs Grössen
\[
G_{\lambda\mu}, \quad
G_{\mu\kappa}, \quad
G_{\kappa\lambda}, \quad
F_{\beta\gamma}F_{\alpha\delta}, \quad
F_{\gamma\alpha}F_{\beta\delta}, \quad
F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}
\]
%-----File: 054.png-----------------------------------------
sämmtlich Functionen zweiter Ordnung dar, die in den vier Punkten
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ verschwinden. Zwischen je drei derselben muss daher eine
lineare Gleichung stattfinden. Es muss daher auch $F_{\beta\gamma} F_{\alpha\delta}$ linear
durch $G_{\kappa\mu}$, $G_{\lambda\mu}$ ausdrückbar sein, und endlich zwischen $G_{\lambda\mu}$, $G_{\kappa\mu}$,
$G_{\kappa\lambda}$ eine lineare Gleichung bestehen. Um die Coefficienten der
Gleichung
\[
F_{\beta\gamma} F_{\alpha\delta} =
AG_{\kappa\mu} + BG_{\kappa\lambda}
\]
zu bestimmen, setzen wir
$(x,\, y,\, z) = (a_{\mu},\, b_{\mu},\, c_{\mu})$; dann wird
\[
F_{\beta\gamma} F_{\alpha\delta} =
(-1)^{\mu \mid \beta\gamma\alpha\delta} f_{\mu\beta\gamma} f_{\mu\alpha\delta}, \quad
G_{\kappa\mu} = \frac{(-1)^{\mu \mid \kappa\mu}}{g_{\mu}}, \quad
G_{\kappa\lambda} = 0;
\]
daher ist:
\[
A = (-1)^{\mu \mid \beta\gamma\alpha\delta\kappa\mu} g_{\mu} f_{\mu\beta\gamma} f_{\mu\alpha\delta} =
(-1)^{\mu \mid \lambda} g_{\mu} f_{\mu\beta\gamma} f_{\mu\alpha\delta}.
\]
Ebenso ist
\[
B = (-1)^{\lambda \mid \mu} g_{\lambda} f_{\lambda\beta\gamma} f_{\lambda\alpha\delta};
\]
wir erhalten daher:
\[
\tag{d}
F_{\beta\gamma} F_{\alpha\delta} =
(-1)^{\lambda \mid \mu}(g_{\lambda} f_{\lambda\beta\gamma} f_{\lambda\alpha\delta} G_{\kappa\lambda} -
g_{\mu} f_{\mu\beta\gamma} f_{\mu\alpha\delta} G_{\kappa\mu}).
\]
Ebenso werden die Coefficienten der Gleichung
\[
AG_{\lambda\mu} + BG_{\mu\kappa} + CG_{\kappa\lambda} = 0
\]
bestimmt; für $(x,\, y,\, z) = (a_{\mu},\, b_{\mu},\, c_{\mu})$ geht dieselbe über in:
\[
(-1)^{\mu \mid \lambda\mu}\frac{A}{g_{\mu}} +(-1)^{\mu \mid \mu\kappa}\frac{B}{g_{\mu}} = 0;
\]
wir können deshalb setzen:
\[
A = (-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}, \quad
B = (-1)^{\mu\kappa \mid \lambda}, \quad
C = (-1)^{\kappa\lambda \mid \mu};
\]
so dass die Formel die Gestalt annimmt:
\[
\tag{e}
(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa} G_{\lambda\mu} +
(-1)^{\mu\kappa \mid \lambda} G_{\mu\kappa} +
(-1)^{\kappa\lambda \mid \mu} G_{\kappa\lambda} = 0.
\]

Durch die vier Identitäten $b$, $c$, $d$, $e$ ist die Form der Relationen
zwischen den aufgestellten sechs Grössen vollständig festgestellt, ebenso
wie durch die Gleichung~(a) die Form derjenigen Relationen, welche
zwischen
\[
 F_{\alpha\kappa},\, F_{\beta\kappa},\, F_{\gamma\kappa},\,
 F_{\delta\kappa},\, F_{\lambda\kappa},\, F_{\mu\kappa}
\]
bestehen.

III. \quad Wir setzen jetzt die für die 56 Grössen $\phi_{\kappa\lambda}$,
$\chi_{\kappa\lambda}$ gefundenen
Werthe in den Ausdruck von $\psi_{\kappa}$ ein:
\[
\psi_{\kappa} = \underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}
\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
\frac{f_{\beta\kappa\lambda} f_{\gamma\kappa\lambda} F_{\alpha\kappa} G_{\alpha\lambda}
F'_{\alpha\kappa} G'_{\alpha\lambda}}
{g_{\beta} g_{\gamma} g^2_{\mu} g^2_{\nu} f_{\beta\mu\nu} f_{\gamma\mu\nu}}
\right\}.
\]

Fassen wir diesen Ausdruck auf als abhängig von $(x,\, y,\, z)$ allein,
indem wir $x'$, $y'$, $z'$ als Constanten betrachten, so stellt er eine homogene
Function dritter Ordnung dar. Fassen wir irgend eine der Grössen
auf, aus denen die Summe zusammengesetzt ist, z.~B.\ $F_{\alpha\kappa} G_{\alpha\lambda}$, so
%-----File: 055.png-----------------------------------------
sehen wir, dass diese an den Punkten
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\mu$, $\nu$ von der ersten,
an der Stelle $\kappa$ aber von der zweiten Ordnung verschwindet. Denn an
der Stelle $\kappa$ verschwindet $F_{\alpha\kappa}$ und $G_{\alpha\lambda}$,
an der Stelle $\alpha$:  $F_{\alpha\kappa}$, und an
den Stellen $\beta$, $\gamma$, $\mu$, $\nu$: $G_{\alpha\lambda}$\@.
Diese Eigenschaften sind allen drei
Gliedern der Summe gemeinsam, und übertragen sich also auf den
ganzen Ausdruck. Ausserdem aber ist zu zeigen, dass der ganze Ausdruck auch an der Stelle
$\lambda$ verschwindet. An dieser wird:
\[
F_{\alpha\kappa} = (-1)^{\lambda \mid \alpha\kappa} f_{\alpha\kappa\lambda}, \quad
G_{\alpha\lambda} = \frac{(-1)^{\lambda \mid \alpha\lambda}}{g_{\lambda}};
\]
daher:
\[
\psi_{\kappa} = \underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}
\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha+\lambda \mid \kappa\lambda}
\frac{f_{\alpha\kappa\lambda} f_{\beta\kappa\lambda} f_{\gamma\kappa\lambda} F'_{\alpha\kappa} G'_{\alpha\lambda}}
{g_{\beta} g_{\gamma} g_{\lambda} g^2_{\mu} g^2_{\nu} f_{\beta\mu\nu} f_{\gamma\mu\nu}}
\right\}.
\]

Das Verlangte wird also bewiesen sein, wenn wir zeigen, dass die
Identität
\[
\tag{f}
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}
\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha} g_{\alpha} f_{\alpha\mu\nu} F_{\alpha\kappa} G_{\alpha\lambda}
\right\}
\]
stattfindet. Nun ist nach der Formel~(f) $=0$:
%** Changed according to "`Berichtigung"': (e) $\rightarrow$ (f) $=0$
\[
f_{\beta\mu\nu} f_{\gamma\kappa\nu} F_{\beta\kappa} F_{\gamma\mu} -
f_{\gamma\mu\nu} f_{\beta\kappa\nu} F_{\beta\mu} F_{\gamma\kappa} =
(-1)^{\beta \mid \gamma+\kappa \mid \mu} g_{\alpha} g_{\lambda} G_{\alpha\lambda}.
\]

Diese Gleichung multipliciren wir mit
$f_{\alpha\mu\nu} F_{\alpha\kappa}$ und vertauschen
dann die Indices $\alpha,\, \beta,\, \gamma$ cyklisch. Wir können hierbei $(-1)^{\beta \mid \gamma}$ durch
$\epsilon(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}$ ersetzen; der Werth des Zeichens $\epsilon$ ist dann alternirend in
Bezug auf $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und bleibt deshalb bei cyklischer Vertauschung
dieser Indices ungeändert. Wir bekommen so drei Gleichungen; die
erste derselben ist:
\begin{gather*}
f_{\alpha\mu\nu} F_{\alpha\kappa} f_{\beta\mu\nu} F_{\beta\kappa} f_{\gamma\kappa\nu} F_{\gamma\mu} -
f_{\gamma\mu\nu} F_{\gamma\kappa} f_{\alpha\mu\nu} F_{\alpha\kappa} f_{\beta\kappa\nu} F_{\beta\mu}\\
= (-1)^{\kappa \mid \mu}\epsilon g_{\lambda}(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
g_{\alpha} f_{\alpha\mu\nu} F_{\alpha\kappa} G_{\alpha\lambda}.
\end{gather*}
Bilden wir die Summe dieser drei Gleichungen, so ergiebt sich offenbar
auf der linken Seite Null, während auf der rechten derselbe Ausdruck erscheint,
welcher in der Gleichung~(f) vorkommt, nur mit
einer Constanten multiplicirt. Damit ist die Gleichung~(f) bewiesen.

Setzen wir nun in derselben
$(x,\, y,\, z) = (a_{\lambda},\, b_{\lambda},\, c_{\lambda})$, so erhalten
wir noch die Parame\-ter-Gleichung:
\[
\tag{f$'$}
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha} g_{\alpha} f_{\alpha\kappa\lambda} f_{\alpha\mu\nu}
\right\} = 0.
\]

Hieraus geht nicht nur hervor, dass $\psi_{\kappa}$, ebenso wie die früher
behandelten Ausdrücke, in zwei Factoren zerfallen muss, sondern es
lässt sich auch diese Zerlegung direct ausführen. Wir führen folgende
Abkürzungen ein. Es mögen
\[
\frac{F_{\alpha\kappa} G_{\alpha\lambda}}{f_{\alpha\kappa\lambda}}, \quad
\frac{F_{\beta\kappa} G_{\beta\lambda}}{f_{\beta\kappa\lambda}}, \quad
\frac{F_{\gamma\kappa}
G_{\gamma\lambda}}{f_{\gamma\kappa\lambda}}
\]
%-----File: 056.png-----------------------------------------
durch $M_{\alpha}$, $M_{\beta}$, $M_{\gamma}$; die entsprechenden Functionen von $(x',\, y',\, z')$
durch $M_{\alpha}'$, $M_{\beta}'$, $M_{\gamma}'$; die Grössen
\[
g_{\alpha}f_{\alpha\kappa\lambda}f_{\alpha\mu\nu}, \quad
g_{\beta}f_{\beta\kappa\lambda}f_{\beta\mu\nu}, \quad
g_{\gamma}f_{\gamma\kappa\lambda}f_{\gamma\mu\nu}
\]
durch $m_{\alpha}$, $m_{\beta}$, $m_{\gamma}$ bezeichnet werden; endlich die Vorzeichen
\[
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}, \quad
(-1)^{\gamma\alpha \mid \beta}, \quad
(-1)^{\alpha\beta \mid \gamma} \text{ durch }\epsilon_{\alpha},\, \epsilon_{\beta},\, \epsilon_{\gamma}.
\]
Es ist dann:
\[
\psi_{\kappa} = \frac{f_{\alpha\kappa\lambda}f_{\beta\kappa\lambda}f_{\gamma\kappa\lambda}
(\epsilon_{\alpha}m_{\alpha}M_{\alpha}M_{\alpha}'+\cdots+
\epsilon_{\gamma}m_{\gamma}M_{\gamma}M'_{\gamma})}
{f_{\alpha\mu\nu}f_{\beta\mu\nu}f_{\gamma\mu\nu}g_{\alpha}g_{\beta}g_{\gamma}g^2_{\mu}g^2_{\nu}},
\]
\[
\epsilon_{\alpha}\epsilon_{\beta}\epsilon_{\gamma} = -1,
\]
und, nach den Formeln~(f, f$'$):
\begin{align*}
\epsilon_{\alpha}m_{\alpha}M_{\alpha} &+
\epsilon_{\beta}m_{\beta}M_{\beta} +
\epsilon_{\gamma}m_{\gamma}M_{\gamma} = 0,\\
\epsilon_{\alpha}m_{\alpha}M'_{\alpha} &+
\epsilon_{\beta}m_{\beta}M'_{\beta} +
\epsilon_{\gamma}m_{\gamma}M'_{\gamma} = 0,\\
\epsilon_{\alpha}m_{\alpha} &+
\epsilon_{\beta}m_{\beta} +
\epsilon_{\gamma}m_{\gamma} = 0.
\end{align*}
Die drei letzten Gleichungen benutzen wir dazu, um in dem Ausdruck
\[
\epsilon_{\alpha}m_{\alpha}M_{\alpha}M'_{\alpha} +
\epsilon_{\beta}m_{\beta}M_{\beta}M'_{\beta} +
\epsilon_{\gamma}m_{\gamma}M_{\gamma}M'_{\gamma} = M
\]
die Grössen $m_{\gamma}$, $M_{\gamma}$, $M'_{\gamma}$ zu eliminiren. Hierbei ergiebt sich:
\[
\begin{split}
&\epsilon_{\gamma}m_{\gamma}M = (\epsilon_{\alpha}m_{\alpha}M_{\alpha} + \epsilon_{\beta}m_{\beta}M_{\beta})
(\epsilon_{\alpha}m_{\alpha}M'_{\alpha} + \epsilon_{\beta}m_{\beta}M'_{\beta})\\
&- (\epsilon_{\alpha}m_{\alpha} + \epsilon_{\beta}m_{\beta})
(\epsilon_{\alpha}m_{\alpha}M_{\alpha}M'_{\alpha} +
\epsilon_{\beta}m_{\beta}M_{\beta}M'_{\beta})\\
&= \epsilon_{\gamma}m_{\alpha}m_{\beta}
(M_{\alpha}M'_{\alpha} + M_{\beta}M'_{\beta} -
M_{\alpha}M'_{\beta}-M_{\beta}M'_{\alpha});
\end{split}
\]
daher:
\[
M = \frac{m_{\alpha}m_{\beta}}{m_{\gamma}}
(M_{\alpha} - M_{\beta})(M'_{\alpha} - M'_{\beta}).
\]
Setzen wir dies in den Ausdruck von $\psi_{\kappa}$ ein, indem wir den Constanten
$m_{\alpha}$, $m_{\beta}$, $m_{\gamma}$ ihre Werthe beilegen, so erhalten wir:
\[
\psi_{\kappa} = \frac{f^2_{\gamma\kappa\lambda}f^2_{\beta\kappa\lambda}(M_{\alpha} - M_{\beta})(M'_{\alpha} - M'_{\beta})}
{f^2_{\gamma\mu\nu}g^2_{\gamma}g^2_{\mu}g^2_{\nu}},
\]
oder, wenn wir setzen:
\[
(-1)^{\beta \mid \alpha}\frac{f_{\alpha\kappa\lambda}f_{\beta\kappa\lambda}(M_{\alpha} - M_{\beta})}
{g_{\gamma}g_{\mu}g_{\nu}f_{\gamma\mu\nu}} =
H(x,\, y,\, z),
\]
\[
\psi_{\kappa} = H(x,\, y,\, z)H(x',\, y',\, z').
\]
Dieser neu definirte Ausdruck
\[
H(x,\, y,\, z) = (-1)^{\beta \mid \alpha}\frac{f_{\beta\kappa\lambda}F_{\alpha\kappa}G_{\alpha\lambda} -
f_{\alpha\kappa\lambda}F_{\beta\kappa}G_{\beta\lambda}}
{g_{\gamma}g_{\mu}g_{\nu}f_{\gamma\mu\nu}}
\]
ist nun eine kubische Function von $(x,\, y,\, z)$, die an allen sieben Stellen
verschwindet, an der Stelle $\kappa$ aber von der zweiten Ordnung. Er ist
symmetrisch in Bezug auf die drei Indices $\gamma$, $\mu$, $\nu$ einerseits und $\alpha$, $\beta$
andrerseits; es ist aber leicht zu sehen, dass sein Werth auch dann
ungeändert bleibt, wenn man $\alpha$ oder $\beta$ mit $\gamma$, $\mu$ oder $\nu$ vertauscht.
Denn vertauschen wir z.~B.\ $\alpha$ mit $\gamma$\@. Aus den Gleichungen
%-----File: 057.png-----------------------------------------
\begin{align*}
\epsilon_{\alpha}m_{\alpha}M_{\alpha} &+
\epsilon_{\beta}m_{\beta}M_{\beta} +
%Printer error: M_{\alpha} for M_{\beta}
\epsilon_{\gamma}m_{\gamma}M_{\gamma} = 0,\\
\epsilon_{\alpha}m_{\alpha} &+
\epsilon_{\beta}m_{\beta} +
\epsilon_{\gamma}m_{\gamma} =0
\end{align*}
folgt:
\[
\epsilon_{\alpha}m_{\alpha}(M_{\alpha} - M_{\beta}) +
\epsilon_{\gamma}m_{\gamma}(M_{\gamma} - M_{\beta}) = 0;
\]
daher:
\[
M_{\alpha} - M_{\beta} = \epsilon_{\beta}\frac{m_{\gamma}}{m_{\alpha}}(M_{\gamma} - M_{\beta}),
\]
oder:
\[
(-1)^{\beta \mid \alpha}(M_{\alpha} - M_{\beta}) =
(-1)^{\beta \mid \gamma}
\frac{m_{\gamma}}{m_{\alpha}}(M_{\gamma} - M_{\beta}).
\]
Hieraus ergiebt sich:
\[
H(x,\, y,\, z) = (-1)^{\beta \mid \gamma}\frac{f_{\gamma\kappa\lambda}f_{\beta\kappa\lambda}}
{g_{\alpha}g_{\mu}g_{\nu}f_{\alpha\mu\nu}}(M_{\gamma} - M_{\beta}).
\]

Es bleibt also der Werth von $H(x,\, y,\, z)$ ungeändert bei einer beliebigen
Vertauschung der Indices $\alpha,\, \beta,\, \gamma,\, \mu,\, \nu$ unter einander. Es
muss aber gezeigt werden, dass dasselbe stattfindet, auch wenn wir
einen dieser Indices mit $\lambda$ vertauschen. Zu diesem Zweck multipliciren
wir die Gleichung
\[
f_{\beta\kappa\lambda}F_{\alpha\kappa}G_{\alpha\lambda} -
f_{\alpha\kappa\lambda}F_{\beta\kappa}G_{\beta\lambda} =
(-1)^{\beta \mid \alpha}g_{\gamma}g_{\mu}g_{\nu}f_{\gamma\mu\nu}H
\]
mit $F_{\gamma\nu}$\@. Nach der Formel~(d) ist dann
\begin{align*}
F_{\alpha\kappa}F_{\gamma\nu} &= (-1)^{\lambda \mid \mu}
(g_{\lambda}f_{\lambda\alpha\kappa}f_{\lambda\gamma\nu}G_{\beta\lambda} -
g_{\mu}f_{\mu\alpha\kappa}f_{\mu\gamma\nu}G_{\beta\mu}),\\
F_{\beta\kappa}F_{\gamma\nu} &= (-1)^{\lambda \mid \mu}
(g_{\lambda}f_{\lambda\beta\kappa}f_{\lambda\gamma\nu}G_{\alpha\lambda} -
g_{\mu}f_{\mu\beta\kappa}f_{\mu\gamma\nu}G_{\alpha\mu}).
\end{align*}
Wenn wir dies einsetzen, so heben sich die mit $g_{\lambda}$ multiplicirten
Glieder gegenseitig auf, und wir erhalten:
\[
f_{\beta\kappa\lambda}f_{\alpha\kappa\mu}G_{\alpha\lambda}G_{\beta\mu} -
f_{\alpha\kappa\lambda}f_{\beta\kappa\mu}G_{\beta\lambda}G_{\alpha\mu} =
(-1)^{\beta \mid \alpha+\mu \mid \lambda}g_{\gamma}g_{\nu}F_{\gamma\nu}H.
\]
Diese Darstellung von $H$ ist symmetrisch in Bezug auf $\lambda$
und $\mu$\@. Da
wir demnach alle von $\kappa$ verschiedenen Indices in dem Ausdrucke der
Function $H(x,\, y,\, z)$ vertauschen können, ohne ihren Werth zu ändern,
so können wir diese Function dritter Ordnung bezeichnen durch
$H(x,\, y,\, z)_{\kappa}$\@. Wir erhalten also:
\[
\tag{14}
\psi_{\kappa} = H(x,\, y,\, z)_{\kappa} \, H(x',\, y',\, z')_{\kappa},
\]
und wir können uns $H_{\kappa}$ definirt denken durch jede der beiden Gleichungen:
\[
\tag{g}
f_{\beta\kappa\lambda}F_{\alpha\kappa}G_{\alpha\lambda} -
f_{\alpha\kappa\lambda}F_{\beta\kappa}G_{\beta\lambda} =
(-1)^{\beta \mid \alpha}g_{\gamma}g_{\mu}g_{\nu}f_{\gamma\mu\nu}H_{\kappa},
\]
\[
\tag{g$'$}
f_{\beta\kappa\lambda}f_{\alpha\kappa\mu}G_{\alpha\lambda}G_{\beta\mu} -
f_{\alpha\kappa\lambda}f_{\beta\kappa\mu}G_{\beta\lambda}G_{\alpha\mu} =
(-1)^{\beta \mid \alpha+\mu \mid \lambda}g_{\gamma}g_{\nu}F_{\gamma\nu}H_{\kappa}.
\]
Die Formeln~(f) und (g) gehören zu einer neuen Gruppe von Identitäten.
Die Functionen
\[
F_{\alpha\kappa}G_{\alpha\lambda}, \quad
F_{\beta\kappa}G_{\beta\lambda}, \quad
F_{\gamma\kappa}G_{\gamma\lambda}, \quad
F_{\mu\kappa}G_{\mu\lambda}, \quad
F_{\nu\kappa}G_{\nu\lambda}, \quad H_{\kappa}
\]
sind sämmtlich von der dritten Ordnung, und verschwinden doppelt
im Punkte $\kappa$, einfach in den Punkten $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\mu$, $\nu$\@. Es müssen also
%-----File: 058.png-----------------------------------------
auch hier lineare Relationen zwischen je dreien dieser Grössen
stattfinden. Die Form dieser Gleichungen wird durch (f) und (g) angegeben.

Wir setzen endlich
\[
\tag{15}
F(x,\, y,\, z)_{\kappa\lambda} G(x,\, y,\, z)_{\kappa\lambda}
 = H(x,\, y,\, z)_{\kappa\lambda};
\]
dann ist:
\[
\psi_{\kappa\lambda}
 = H(x,\, y,\, z)_{\kappa\lambda} H(x',\, y',\, z')_{\kappa\lambda},
\]
also allgemein, für alle $28$ ungraden Indices:
\[
\tag{16}
\psi_m = H(x,\, y,\, z)_m H(x',\, y',\, z')_m.
\]

Diese $28$ Functionen $H_m$ sind sämmtlich von der dritten Ordnung
und haben die Eigenschaft gemeinsam, dass sie an den Punkten $
1,\, 2 \cdots 7$
verschwinden. Während aber die $7$ Functionen $H_{\kappa}$ die besondere Eigenschaft
haben, dass jede von ihnen an einem dieser Punkte von der
zweiten Ordnung verschwindet, so ist es den $21$ übrigen eigenthümlich,
dass jede in eine Function zweiter Ordnung und eine lineare zerfällt.


\Section{§~6.}

Die im vorigen \S\ hergeleiteten Gleichungen sind sämmtlich Identitäten,
die in leicht erkennbarem Zusammenhange mit den $\sigma$-Relationen
stehen. Nicht identische Relationen dagegen, also algebraische
Beziehungen zwischen den Grössen $x$, $y$, $z$ und $x'$, $y'$, $z'$ erhalten wir, wenn
wir die Ausdrücke $\phi_{\kappa\lambda} = F_{\kappa\lambda} F'_{\kappa\lambda}$,
$\chi_{\kappa\lambda} = G_{\kappa\lambda} G_{\kappa\lambda}'$, $\psi_{\kappa} = H_{\kappa} H_{\kappa}'$ in die
Gleichungen~(8) einführen:
\begin{align*}
      F_{\beta\lambda} G_{\beta\kappa} H_{\kappa}
\cdot F_{\beta\lambda}' G_{\beta\kappa}' H_{\kappa}'
&=    F_{\beta\kappa} G_{\beta\lambda} H_{\lambda}
\cdot F_{\beta\kappa}' G_{\beta\lambda}' H_{\lambda}',   \\
      F_{\alpha\kappa} F_{\beta\lambda} G_{\alpha\lambda}
	       G_{\beta\kappa}
\cdot F_{\alpha\kappa}' F_{\beta\lambda}' G_{\alpha\lambda}'
           G_{\beta\kappa}'
&=    F_{\alpha\lambda} F_{\beta\kappa} G_{\alpha\kappa}
           G_{\beta\lambda}
\cdot F_{\alpha\lambda}' F_{\beta\kappa}' G_{\alpha\kappa}'
           G_{\beta\lambda}',  \\
      F_{\alpha\beta} F_{\gamma\delta} F_{\lambda\mu} H_{\kappa}
\cdot F_{\alpha\beta}' F_{\gamma\delta}' F_{\lambda\mu}' H_{\kappa}'
&=    G_{\alpha\beta} G_{\gamma\delta} G_{\lambda\mu}
\cdot G_{\alpha\beta}' G_{\gamma\delta}' G_{\lambda\mu}'.
\end{align*}

Diese Gleichungen werden dadurch erfüllt, dass man einzeln:
\[
\tag{17}
\left\{ \begin{aligned}
F_{\beta\lambda} G_{\beta\kappa} H_{\kappa}
 &= F_{\beta\kappa} G_{\beta\lambda} H_{\lambda},   \\
F_{\alpha\kappa} F_{\beta\lambda} G_{\alpha\lambda} G_{\beta\kappa}
   &=
F_{\alpha\lambda} F_{\beta\kappa} G_{\alpha\kappa} G_{\beta\lambda}
,  \\
F_{\alpha\beta} F_{\gamma\delta} F_{\lambda\mu} H_{\kappa}
   &=
G_{\alpha\beta} G_{\gamma\delta} G_{\lambda\mu}
\end{aligned} \right.
\]
setzt, und dieselben Relationen zwischen den entsprechenden Functionen
von $x'$, $y'$, $z'$ annimmt. Zuerst lässt sich leicht zeigen, dass durch das
Gleichungssystem~(17) nur eine einzige Beziehung zwischen $x$, $y$, $z$ festgestellt
wird. Vergleicht man nämlich die beiden Formeln~(c) und
$(g')$ des vorigen Paragraphen mit einander, so erkennt man, dass zwischen
den drei Functionen $F_{\alpha\beta} F_{\gamma\delta}$,
$F_{\beta\gamma} F_{\alpha\delta}$, $G_{\lambda\mu}$ dieselbe Beziehung besteht,
wie zwischen $G_{\alpha\beta} G_{\gamma\delta}$,
$G_{\beta\gamma} G_{\alpha\delta}$, $F_{\lambda\mu} H_{\kappa}$:
\begin{align*}
&A F_{\alpha\beta} F_{\gamma\delta}
 + B F_{\beta\gamma} F_{\alpha\delta}
 + C G_{\lambda\mu} = 0,   \\
&A G_{\alpha\beta} G_{\gamma\delta}
 + B G_{\beta\gamma} G_{\alpha\delta}
 + C F_{\lambda\mu} H_{\kappa} = 0.
\end{align*}

Eliminirt man hier den Coefficienten $A$, so folgt:
%-----File: 059.png-----------------------------------------
\begin{gather*}
B(F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}G_{\beta\gamma}G_{\alpha\delta} -
F_{\beta\gamma}F_{\alpha\delta}G_{\alpha\beta}G_{\gamma\delta})\\
+ C(F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}F_{\lambda\mu}H_{\kappa} -
G_{\alpha\beta}G_{\gamma\delta}G_{\lambda\mu}) = 0.
\end{gather*}

Dies ist eine Identität. Wir erkennen also, dass von den beiden
Gleichungen
\begin{align*}
F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}G_{\beta\gamma}G_{\alpha\delta} &=
F_{\beta\gamma}F_{\alpha\delta}G_{\alpha\beta}G_{\gamma\delta},\\
F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}F_{\lambda\mu}H_{\kappa} &=
G_{\alpha\beta}G_{\gamma\delta}G_{\lambda\mu}
\end{align*}
die eine nur eine identische Umformung der andern ist. Bezeichnen
wir die dadurch festgestellte Beziehung zwischen $x$, $y$, $z$ durch
\[
\tag{18}
 L(x,\, y,\, z) = 0,
\]
so lehrt die erste Form, dass diese Beziehung unabhängig ist von der
Vertauschung der Indices $\kappa$, $\lambda$, $\mu$ unter einander. Die zweite Form
zeigt aber, dass man die Indices $\lambda$, $\mu$ mit $\alpha$, $\beta$
und auch mit $\gamma$, $\delta$ vertauschen
kann. Daher ist die Gleichung $L = 0$ völlig unabhängig von
der Vertauschung der Indices. Hiermit ist gezeigt, dass die zweite und
dritte Formel des Systems (17), auch wenn die Indices ganz beliebig
angenommen werden, nur verschiedene Formen einer einzigen Gleichung
$L = 0$ geben. Aus der dritten folgt aber unmittelbar die erste Formel.
Denn da
\begin{align*}
F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}F_{\lambda\mu}H_{\kappa} &=
G_{\alpha\beta}G_{\gamma\delta}G_{\lambda\mu},\\
G_{\alpha\beta}G_{\gamma\delta}G_{\lambda\kappa} &=
F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}F_{\lambda\kappa}H_{\mu}
\end{align*}
ist, so ist auch:
\[
F_{\lambda\mu}G_{\lambda\kappa}H_{\kappa} = F_{\lambda\kappa}G_{\lambda\mu}H_{\mu}.
\]

Man kann nun fragen: Ist dies die einzig mögliche Art, das
Gleichungssystem (8) aufzulösen? Setzen wir
\[
F_{\beta\lambda}G_{\beta\kappa}H_{\kappa} = A, \quad
F_{\beta\kappa}G_{\beta\lambda}H_{\lambda} = B,
\]
und nehmen an, dass die Gleichung $L = 0$ nicht erfüllt ist, so ist
\[
A - B = L,
\]
wo $L$ eine von Null verschiedene Grösse bedeutet. Dieselbe Gleichung
findet statt für die entsprechenden Functionen von $(x',\, y',\, z')$:
%** Changed fullstop to colon
\[
A' - B' = L'.
\]

Multiplicirt man die erste mit $B'$, die zweite mit $A$, so erhält man:
\[
AA' - BB' = B'L + AL'.
\]
Die linke Seite ist, nach dem Gleichungssystem (8), Null; daher:
\[
F'_{\beta\kappa}G'_{\beta\lambda}H'_{\lambda}L +
F_{\beta\lambda}G_{\beta\kappa}H_{\kappa}L' = 0.
\]
Aus dem vorhin geführten Beweise geht hervor, dass die Grössen $L$
und $L'$, wenn sie von Null verschieden sind, sich nur um einen constanten
Factor ändern, wenn die Indices vertauscht werden. Ihr Quotient
$\dfrac{L}{L'}$ ist also jedenfalls eine von den Indices unabhängige Grösse. Dann
aber zeigt die letzte Gleichung, dass der Quotient
%-----File: 060.png-----------------------------------------
\[
\frac{G'_{\beta\lambda}H'_{\lambda}}{F_{\beta\lambda}}
\]
vom Index $\lambda$,
\[
\frac{G_{\beta\kappa}H_{\kappa}}{F'_{\beta\kappa}}
\]
vom Index $\kappa$ unabhängig sein muss. Daraus folgt, dass wir setzen
können:
\[
H'_{\beta}H'_{\lambda}G'_{\beta\lambda} = QF_{\beta\lambda}, \quad
H_{\beta}H_{\lambda}G_{\beta\lambda} = Q'F'_{\beta\lambda},
\]
wo $Q$ und $Q'$ ebenfalls von den Indices unabhängige Grössen bedeuten.
Dadurch ergiebt sich
\[
QLH_{\beta} + Q'L'H'_{\beta} = 0.
%** Changed according to "`Berichtigung"': $QLH \rightarrow QLH_{\beta}$
\]

Es unterscheidet sich also  $H'_{\beta}$ von $H_{\beta}$
nur um einen Factor, welcher von dem Index $\beta$ unabhängig ist.
Dieselbe Beziehung, wie zwischen $H'_{\beta}$ und $H_{\beta}$,
muss auch zwischen $H'_{\kappa\lambda}$ und
$H_{\kappa\lambda}$ bestehen. Denn die
$28$ Grössen $H_{m}$ sind sämmtlich Functionen dritter Ordnung, welche $7$
Nullpunkte gemeinsam haben; zwischen je $4$ derselben muss also eine
lineare Gleichung bestehen. Es lässt sich demnach $H_{\kappa\lambda}$ linear durch
$H_{\alpha},\,H_{\beta},\,H_{\gamma}$ ausdrücken, und $H'_{\kappa\lambda}$
ist dieselbe Function von $H'_{\alpha},\, H'_{\beta},\, H'_{\gamma}$.
%** Changed according to "`Berichtigung"': $H' \rightarrow H'_{\beta}$
Ist also $H'_{\alpha} = qH_{\alpha}(\alpha = 1,\, 2 \cdots 7)$, so folgt hieraus, dass auch $H'_{\kappa\lambda}
= qH_{\kappa\lambda}$ ist. Nun haben wir die Gleichung: $\widetilde{\omega}\sigma^2_{m} = H_{m}H'_{m}$; es ist
also $\widetilde{\omega}\sigma^2_{m} = qH^2_{m}$, mithin
\[
\sigma_{m} = \sqrt{\frac{q}{\widetilde{\omega}}}H_{m}.
\]
Dadurch erkennen wir, dass sich alle Grössen $\sigma_{m}$ linear und homogen
durch drei Grössen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ ausdrücken lassen müssen.

Eine solche Auflösung der Relationen zwischen den ungraden $\sigma$
ist nun zwar wirklich möglich. Denn wenn wir irgend eine dieser
Relationen auffassen, und wir entwickeln in derselben die Grössen $\sigma$
nach den aufsteigenden Dimensionen der Argumente, so erkennt man
unmittelbar, dass dieselben Gleichungen, welche zwischen den $\sigma$ bestehen,
schon zwischen den Anfangsgliedern dieser Functionen bestehen
müssen. Wir erhalten also eine Auflösung aller dieser Gleichungen, wenn wir setzen:
\[
\sigma_{m} = a_{m}\xi + b_{m}\eta + c_{m}\zeta,
\]
wo $\xi$, $\eta$, $\zeta$ willkürliche Grössen bedeuten. Die später zu entwickelnden
Relationen zwischen den graden und ungraden $\sigma$-Functionen zeigen
aber, dass, wenn wir diese Lösung aufrecht erhalten wollen, der Quotient
je zweier graden $\sigma$ gleich Eins, der Quotient eines ungraden $\sigma$
durch ein grades gleich Null angenommen werden muss; so dass alle
$28$ ungraden $\sigma$-Functionen im Verhältniss zu den graden als unendlich
%-----File: 061.png-----------------------------------------
klein angenommen werden müssten. Deshalb ist diese Lösung zu verwerfen,
und die in den beiden Gleichungen $L(x,\, y,\, z) = 0$, $L(x',\, y',\, z') = 0$
enthaltene die allein brauchbare.

\Section{§~7.}

Wir gehen nun dazu über, die in der Gleichung $L = 0$ ausgesprochene
Beziehung zwischen $x$, $y$, $z$ genauer zu untersuchen. Zunächst
lassen sich die Eigenschaften der Grössen $F$, $G$, $H$, welche in dem
System (17) ausgesprochen sind, durch eine merkwürdige Formel darstellen.
Aus der ersten Gleichung des Systems folgt nämlich
\[
\frac{H_{\beta}H_{\kappa}G_{\beta\kappa}}{F_{\beta\kappa}} =
\frac{H_{\beta}H_{\lambda}G_{\beta\lambda}}{F_{\beta\lambda}}.
\]
Bezeichnet man den gemeinsamen Werth beider Ausdrücke durch $R$,
so ist leicht zu sehen, dass diese Grösse $R$ von den Indices völlig
unabhängig sein muss. Wir bekommen also
\[
\tag{19}
H_{\kappa}H_{\lambda}G_{\kappa\lambda} = RF_{\kappa\lambda}.
\]
Multiplicirt man nun die drei Gleichungen
\begin{align*}
H_{\alpha}H_{\beta}G_{\alpha\beta}   &= RF_{\alpha\beta},\\
H_{\gamma}H_{\delta}G_{\gamma\delta} &= RF_{\gamma\delta},\\
H_{\lambda}H_{\mu}G_{\lambda\mu}     &= RF_{\lambda\mu}
\end{align*}
mit einander, und beachtet, dass nach der letzten Formel des Systems (17)
$G_{\alpha\beta}G_{\gamma\delta}G_{\lambda\mu} = F_{\alpha\beta}F_{\gamma\delta}F_{\lambda\mu}H_{\kappa}$
ist, so ergiebt sich
\[
\tag{20}
H_{\alpha}H_{\beta}H_{\gamma}H_{\delta}H_{\kappa}H_{\lambda}H_{\mu} = R^3,
\]
es ist also $R$ gleich der dritten Wurzel aus dem Product aller $7$
Grössen $H_{\alpha}$\@. Umgekehrt ist jede der Formeln~(17) eine einfache Folge
der beiden zuletzt aufgestellten.

Nehmen wir irgend eine Form der Gleichung $L = 0$, z.~B.\ die
folgende:
\[
F_{\alpha\kappa}F_{\beta\lambda}G_{\alpha\lambda}G_{\beta\kappa} -
F_{\alpha\lambda}F_{\beta\kappa}G_{\alpha\kappa}G_{\beta\lambda} = 0,
\]
so ist unmittelbar ersichtlich, dass dieselbe eine Gleichung sechster
Ordnung mit den $7$ Doppelpunkten $1,\, 2\cdots7$ ist. Denn jedes der beiden
Producte, aus denen $L$ besteht, verschwindet an jedem dieser Punkte
von der zweiten Ordnung. Im Punkte $\alpha$ verschwinden die Factoren
$F_{\alpha\kappa}$ und $G_{\beta\kappa}$ des ersten Products, im Punkte
$\beta$: $F_{\beta\lambda}$ und $G_{\alpha\lambda}$, im
Punkte $\kappa$: $F_{\alpha\kappa}$ und $G_{\alpha\lambda}$, im Punkte
$\lambda$: $F_{\beta\lambda}$ und $G_{\beta\kappa}$, endlich in den
drei übrigen $\gamma,\, \mu,\, \nu$: $G_{\alpha\lambda}$ und $G_{\beta\kappa}$\@.
Das entsprechende gilt von dem zweiten Product. Nach der bekannten Formel $\rho = \tfrac{1}{2}(m - 1)
(m - 2) - d$, in der $\rho$ den Rang (nach Riemann's Bezeichnung das Geschlecht), $m$
die Ordnung, und $d$ die Anzahl der Doppelpunkte der Curve bedeutet,
ist somit die Gleichung $L = 0$ vom Range $3$\@.
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Zu den Punkten $1,\, 2\cdots7$, welche dem durch die Gleichung $L = 0$
definirten algebraischen Gebilde angehören, und doppelt zu zählen, also
als Punktepaare aufzufassen sind, kommen nun noch $21$ andre Punktepaare.
Die angenommene Form der Gleichung zeigt nämlich, dass
dieselbe befriedigt wird, wenn gleichzeitig
\[
F_{\alpha\kappa} = 0, \quad G_{\alpha\kappa} = 0
\]
gesetzt wird. Die erste Gleichung ist die einer Graden, welche durch
die beiden Doppelpunkte $\alpha$, $\kappa$, die zweite die eines Kegelschnitts,
welcher durch die fünf übrigen hindurchgeht. Das Punktepaar, welches
beiden gemeinsam ist, bezeichnen wir durch den Index $\alpha\kappa$\@. Dadurch
sind also $28$ bevorzugte Punktepaare des Gebildes, den $28$ ungraden
Indices entsprechend, definirt.

Wenn nun auch durch die Bedingung, dass die Punkte $1,\, 2\cdots7$
Doppelpunkte der Curve sechster Ordnung $L = 0$ sein sollen, diese
letztere noch nicht völlig bestimmt ist, so ist doch klar, dass, wenn
wir noch die Bedingung hinzufügen, dass die weiteren $21$ Punktepaare
auf der Curve liegen sollen, nur eine Curve existiren kann, welche
diesen Bedingungen gehorcht. Es lässt sich nun die Gleichung $L = 0$
algebraisch weit einfacher definiren. Es sei nämlich
\[
F(\xi,\eta,\zeta) = A\xi^3 + B\xi^2\eta + C\xi^2\zeta + \cdots + K\zeta^3
\]
eine homogene Function dritter Ordnung der drei unabhängigen Veränderlichen
$\xi$, $\eta$, $\zeta$, deren Coefficienten ebenfalls willkürliche Grössen
sind. Stellt man die Bedingung, dass diese an den Stellen $1,\, 2\cdots7$
verschwindet, so erhält man $7$ homogene Gleichungen
\[
F(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha}) = 0\quad (\alpha = 1,\, 2\cdots7)
\]
zwischen den Coefficienten der Form. Verlangt man nun, dass die
Function noch an einer neuen Stelle: $\xi = x$, $\eta = y$, $\zeta = z$ verschwindet,
und zwar von der zweiten Ordnung, so treten zu diesen $7$ Gleichungen
noch drei neue hinzu:
\[
\frac{\partial}{\partial x}F(x,\, y,\, z) = 0, \quad
\frac{\partial}{\partial y}F(x,\, y,\, z) = 0, \quad
\frac{\partial}{\partial z}F(x,\, y,\, z) = 0,
\]
und es kann diesen $10$ Bedingungen nur dann Genüge geleistet werden,
wenn eine algebraische Beziehung zwischen den Grössen $x$, $y$, $z$ und
den Parametern festgestellt wird. Diese Beziehung besteht darin, dass
die Determinante dieser $10$ Gleichungen gleich Null gesetzt wird.

Hierdurch ist eine algebraische Gleichung zwischen $x$, $y$, $z$ und den
Parametern festgesetzt, die in Bezug auf $x$, $y$, $z$ von der sechsten, in
Bezug auf jedes Werthsystem $(a_{\alpha},\, b_{\alpha},\, c_{\alpha})$ von der dritten Ordnung ist.
Es ist offenbar, dass eine solche Determinante von der zweiten Ordnung
verschwindet, wenn $(x,\, y,\, z) = (a_{\alpha},\, b_{\alpha},\, c_{\alpha})$ gesetzt wird. Diese $7$ Punkte
sind also Doppelpunkte der Gleichung. Ferner aber, wenn wir Curven
$F(\xi,\, \eta,\, \zeta) = 0$ kennen, die von der dritten Ordnung sind, durch die
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Punkte $1,\, 2 \cdots 7$ hindurchgehen, und ausserdem einen oder mehrere
Doppelpunkte haben, so wird, wenn wir für $x$, $y$, $z$ die Coordinaten
eines dieser Doppelpunkte einsetzen, die aufgestellte Determinante verschwinden;
diese Punkte werden also auf der Curve sechster Ordnung
liegen. Eine solche Curve ist aber diejenige Curve dritter Ordnung,
die in eine durch $\kappa$, $\lambda$ hindurchgehende Grade und einen durch die
übrigen $5$ Punkte gelegten Kegelschnitt zerfällt, und die Doppelpunkte
dieser Curve dritter Ordnung sind diejenigen, in welchen Kegelschnitt
und Grade sich schneiden. Somit müssen auch die $21$ mit $\kappa\lambda$ bezeichneten
Punktepaare auf dem Gebilde sechster Ordnung liegen,
welches durch das Null-Setzen der Determinante definirt wird. Daraus
folgt, dass diese Gleichung mit der Gleichung $L = 0$ übereinstimmen
muss. Wir erhalten also das Resultat:

Die algebraische Beziehung zwischen $x$, $y$, $z$ ist dadurch charakterisirt,
dass es möglich ist, eine homogene Function dritter Ordnung
dreier unabhängiger Grössen $\xi$, $\eta$, $\zeta$ zu bilden, die an den $7$ Stellen
$(a_{\alpha},\, b_{\alpha},\, c_{\alpha})$ von der ersten Ordnung, an der Stelle $x$, $y$, $z$ von der
zweiten Ordnung verschwindet.

Uebrigens lässt sich dieser Satz auch rein formal, nämlich dadurch,
dass man in einer der Darstellungen von $H_{\kappa}$, z.~B.\ der Formel
(g) in §~5, das Werthsystem $(x,\, y,\, z)$ mit
$(a_{\kappa},\, b_\kappa{},\, c_{\kappa})$ vertauscht,
ableiten.


\Section{§~8.}

Die Gleichung $L = 0$ steht in naher Beziehung zu der allgemeinen
Gleichung vierter Ordnung, die gewöhnlich als algebraische Grundlage
dieser Theorie genommen wird. Bevor wir zu dieser übergehen, ist
es vortheilhaft, noch eine neue Identität zu entwickeln. Wie schon
erwähnt, sind alle $28$ Grössen $H_{m}$ Functionen dritter Ordnung, welche
an den $7$ Punkten $(a_{\alpha},\, b_{\alpha},\, c_{\alpha})$ verschwinden. Daraus folgt, dass
zwischen je vier derselben eine lineare homogene Gleichung mit constanten
Coefficienten bestehen muss. Wir wollen diejenige Relation
aufstellen, durch welche
$H_{\kappa\lambda},\, H_{\alpha},\, H_{\beta},\, H_{\gamma}$ verbunden sind.

Die Grössen $H_{\alpha},\, H_{\beta},\, H_{\gamma}$ sind nach Formel~(g) definirt durch
folgende Ausdrücke:
\begin{align*}
f_{\mu\alpha\lambda} F_{\kappa\alpha} G_{\kappa\lambda} -
f_{\kappa\alpha\lambda} F_{\mu\alpha} G_{\mu\lambda} &=
(-1)^{\mu \mid \kappa} g_{\beta} g_{\gamma} g_{\nu} f_{\beta\gamma\nu} H_{\alpha},\\
f_{\mu\beta\lambda} F_{\kappa\beta} G_{\kappa\lambda} -
f_{\kappa\beta\lambda} F_{\mu\beta} G_{\mu\lambda} &=
(-1)^{\mu \mid \kappa} g_{\gamma} g_{\alpha} g_{\nu} f_{\gamma\alpha\nu} H_{\beta},\\
f_{\mu\gamma\lambda} F_{\kappa\gamma} G_{\kappa\lambda} -
f_{\kappa\gamma\lambda} F_{\mu\gamma} G_{\mu\lambda} &=
(-1)^{\mu \mid \kappa} g_{\alpha} g_{\beta} g_{\nu} f_{\alpha\beta\nu} H_{\gamma}.
\end{align*}
Wir multipliciren diese Gleichungen mit drei Constanten $A$, $B$, $C$ und
bilden dann ihre Summe. Das Resultat hat dann die Form:
\[
F_1 G_{\kappa\lambda} - F_2 G_{\mu\lambda} = H,
\]
wo $F_1$ und $F_2$ lineare Functionen von $x$, $y$, $z$ bedeuten, von denen
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erstere an der Stelle $\kappa$, letztere an der Stelle $\mu$ verschwindet, während
$H$ eine lineare Function von $H_{\alpha},\, H_{\beta},\, H_{\gamma}$ ist. Man kann nun die drei
Constanten so bestimmen, dass $F_2$ identisch Null ist; dann ist $F_1 G_{\kappa\lambda} = H$;
und da die rechte Seite dieser Gleichung an allen $7$ Stellen
verschwindet, $G_{\kappa\lambda}$ aber an den Stellen $\kappa$, $\lambda$ von Null verschiedene
Werthe hat, so muss $F_1$ an den Stellen $\kappa$, $\lambda$ verschwinden. Daraus
folgt aber, dass sich $F_1$ von $F_{\kappa\lambda}$ nur um einen constanten Factor $f_0$
unterscheiden kann. Wir erhalten also:
\[
F_1 = f_0F_{\kappa\lambda}; \quad\text{daher}\quad F_1G_{\kappa\lambda} = f_0H_{\kappa\lambda} = H.
\]

Die geforderte Bestimmung der Coefficienten $A$, $B$, $C$ ergiebt sich
unmittelbar aus der Formel
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}
\left\{(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}f_{\beta\gamma\mu}F_{\alpha\mu}
\right\} = 0,
\]
welche aus (a) durch Veränderung von $\kappa$ in $\mu$ hervorgeht. Danach muss
\[
\begin{split}
A = (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}&f_{\beta\gamma\mu}f_{\kappa\beta\lambda}f_{\kappa\gamma\lambda}, \quad
B = (-1)^{\gamma\alpha \mid \beta}f_{\gamma\alpha\mu}f_{\kappa\gamma\lambda}f_{\kappa\alpha\lambda},\\
&C = (-1)^{\alpha\beta \mid \gamma}f_{\alpha\beta\mu}f_{\kappa\alpha\lambda}f_{\kappa\beta\lambda}
\end{split}
\]
sein. Daher ist:
\[
F_1 = f_0F_{\kappa\lambda} =
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}
\left\{(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
f_{\beta\gamma\mu}f_{\mu\alpha\lambda}f_{\kappa\beta\lambda}f_{\kappa\gamma\lambda}F_{\kappa\alpha}
\right\},
\]
\[
H = f_0H_{\kappa\lambda} = (-1)^{\mu \mid \kappa}g_{\nu}
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}
\left\{(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
g_{\beta}g_{\gamma}f_{\beta\gamma\mu}f_{\beta\gamma\nu}f_{\beta\kappa\lambda}f_{\gamma\kappa\lambda}H_{\alpha}
\right\}.
\]
Hierdurch ist die gesuchte Darstellung gewonnen, sobald die Constante
$f_0$ bestimmt ist. Setzen wir nun in der ersten dieser beiden Gleichungen
$(x,\, y,\, z) = (a_{\gamma},\, b_{\gamma},\, c_{\gamma})$, so verschwindet $F_{\kappa\gamma}$, während
\[
F_{\kappa\lambda}\text{ in }(-1)^{\gamma \mid \kappa\lambda}f_{\gamma\kappa\lambda}, \quad
F_{\kappa\alpha}\text{ in }(-1)^{\gamma \mid \kappa\alpha}f_{\gamma\alpha\kappa}
\]
übergeht, so dass sich ergiebt:
\[
(-1)^{\gamma \mid \kappa\lambda}f_{\gamma\kappa\lambda}f_0 =
\underset{\alpha,\beta}{S}
\left\{(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha + \gamma \mid \kappa\alpha}
f_{\beta\gamma\mu}f_{\mu\alpha\lambda}f_{\kappa\beta\lambda}f_{\kappa\gamma\lambda}f_{\gamma\alpha\kappa}
\right\}.
\]
Oder:
\begin{align*}
f_0 &= \underset{\alpha,\beta}{S}
\left\{
(-1)^{\beta \mid \alpha + \gamma \mid \lambda}
f_{\alpha\lambda\mu}f_{\alpha\gamma\kappa}f_{\beta\gamma\mu}f_{\beta\kappa\lambda}
\right\}\\
&= (-1)^{\beta \mid \alpha + \gamma \mid \lambda}
(f_{\alpha\lambda\mu}f_{\alpha\gamma\kappa}f_{\beta\gamma\mu}f_{\beta\kappa\lambda} -
f_{\beta\lambda\mu}f_{\beta\gamma\kappa}f_{\alpha\gamma\mu}f_{\alpha\kappa\lambda}).
\end{align*}

Nun ist aber der Ausdruck auf der rechten Seite, wenn wir noch
das Vorzeichen $(-1)^{\mu \mid \kappa}$ hinzufügen, nichts andres, als $g_{\nu}$; daher ist
\[
f_0 = (-1)^{\mu \mid \kappa}g_{\nu},
\]
und somit:
\[
\tag{21}
H_{\kappa\lambda} = \underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}
\left\{(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
g_{\beta}g_{\gamma}f_{\beta\kappa\lambda}f_{\gamma\kappa\lambda}f_{\beta\gamma\mu}f_{\beta\gamma\nu}H_{\alpha}
\right\}.
\]
Vergleicht man dieses Resultat mit Formel~(81) des ersten Theils, so
erkennt man, dass die Beziehung, welche zwischen
$H_{\kappa\lambda},\, H_{\alpha},\, H_{\beta},\, H_{\gamma}$
besteht, genau dieselbe ist, wie die, durch welche
$v_{\kappa\lambda},\, v_{\alpha},\, v_{\beta},\, v_{\gamma}$ verbunden
%-----File: 065.png-----------------------------------------
 sind. Daraus muss der allgemeinere Schluss gezogen werden,
dass überhaupt je vier der $28$ Grössen $H_m$ durch dieselbe Gleichung
verbunden sind, wie die entsprechenden Grössen $v_m$\@. Diese sind nun
lineare Functionen dreier unabhängiger Grössen $ u,\, u',\, u''$, von der Form:
$v_m = a_mu + b_m u'+c_m u''$; umgekehrt können letztere linear aus irgend
drei der Grössen $v_m$ gebildet werden. Wenn wir nun drei Functionen
dritter Ordnung
\[H(x,\, y,\, z), \quad \overline{H}(x,\, y,\, z), \quad \overline{\overline{H}}(x,\, y,\, z),\]
definiren, welche aus drei der Functionen $H_m$ ebenso gebildet sind,
wie $u,\, u',\, u''$ aus den entsprechenden Grössen $v_m$, so muss umgekehrt
jede Function $H(x,\, y,\, z)_m$ sich durch diese drei in derselben Weise
darstellen lassen, wie $v_m$ durch $u$, $u'$, $u''$\@. Demnach erhalten wir folgende
Darstellung der $28$ Functionen $H_m$ durch drei von den Indices unabhängige
Grössen:
\[
\tag{22}
    H_m = a_m H + b_m \overline{H} + c_m \overline{\overline{H}}.
\]

\Section{§~9.}

Durch jedes lineare Aggregat der Grössen $H,\, \overline{H},\, \overline{\overline{H}}$ ist eine
homogene Function dritter Ordnung dargestellt, welche an den 7
Doppelpunkten des Gebildes verschwindet. Setzen wir ein solches
Aggregat gleich Null, so schneidet die durch diese Bedingung definirte
Curve dritter Ordnung die Curve sechster Ordnung $L = 0$ in $3\cdot 6=18$
Punkten. Daher verschwindet jedes derartige Aggregat (welches wir
eine allgemeine $H$-Function nennen wollen) ausser in den $7$ Doppelpunkten
noch in $18-2\cdot 7 = 4$ weiteren Punkten. Die letzteren
fallen paarweise zusammen, wenn die $H$-Function eine der $28$ Grössen
$H_m$ ist, und diese beiden Punkte, in denen $H_m$, ausser den allen gemeinsamen,
noch zweifach verschwindet, sind identisch mit dem durch
den Index $m$ bezeichneten Punktepaare. Denn nehmen wir zuerst
$m = \kappa\lambda$, so ist $H_m = F_{\kappa\lambda}G_{\kappa\lambda}$\@. In dem Punktepaare
$\kappa\lambda$   verschwindet sowohl $F_{\kappa\lambda}$ als $G_{\kappa\lambda}$, daher
verschwindet das Product in demselben von der zweiten Ordnung. Setzen wir aber
$ m = \kappa$, so folgt aus der Formel
\[ G_{\alpha \beta}G_{\gamma \delta}G_{\lambda \mu}=
F_{\alpha \beta}F_{\gamma\delta}F_{\lambda \mu}H_{\kappa}, \]
dass die Function $H_{\kappa}$ in dem Doppelpunkte $\kappa$ der Curve $L = 0$ von
der dritten Ordnung verschwindet. Denn jeder der drei Factoren des
auf der linken Seite stehenden Productes wird gleich Null, wenn
$(x,\, y,\, z)$ = $(a_\kappa,\, b_\kappa,\, c_\kappa)$
%** Changed according to "`Berichtigung"': $c \rightarrow c_{\varkappa}$
gesetzt wird, während die drei Grössen
 $F_{\alpha\beta}$, $F_{\gamma\delta}$, $F_{\lambda\mu}$
 von Null verschiedene Werthe erhalten. Wir können also
auch hier sagen, dass $H_\kappa$ ausser in den Punkten $1,\, 2 \cdots 7$ noch
zweimal in dem Doppelpunkte $\kappa$ verschwindet.

Bilden wir also den Quotienten zweier allgemeinen $H$-Functionen,
so erhalten wir eine rationale Function der durch die Gleichung $L = 0$
%-----File: 066.png-----------------------------------------
verbundenen Grössen $(x,\, y,\, z)$, welche vom vierten (in speciellen Fällen
vom dritten) Grade ist, da sie an vier Stellen verschwindet, und an
eben so vielen unendlich wird. Daraus geht hervor, dass die Gleichung
\[
M\, (H,\, \overline{H},\, \overline{\overline{H}}) = 0,
\]
welche zwischen $H,\, \overline{H},\, \overline{\overline{H}}$ besteht, von der vierten Ordnung ist. Fassen
wir diese Grössen als neue Veränderliche auf, und zwar als homogene
Coordinaten einer Ebene, so ist $M = 0$ eine Curve vierter Ordnung,
und $aH + b\overline{H} + c\overline{\overline{H}} = 0$ die Gleichung einer Graden, welche diese
Curve in vier Punkten schneidet. Setzen wir für $a,\, b,\, c$ eins der 28
Systeme $a_{m},\, b_{m},\, c_{m}$, so fallen die vier Schnittpunkte paarweise zusammen;
es sind also $H_{m} = 0$ die Gleichungen der $28$ Doppeltangenten
dieser Curve, und wir sehen, dass den $28$ Punktepaaren $m$ in dieser
Curve die $28$ Paare von Berührungspunkten der Doppeltangenten entsprechen.

Die Gleichung $M = 0$ lässt sich nun in mannichfachen Formen
darstellen, bei denen diese Eigenschaft der $28$ Graden in Evidenz tritt,
und die in naher Beziehung zu den $\Theta $- oder $\sigma$-Relationen stehen. In
§~1 wurde nämlich gezeigt, dass, wenn wir die sechs Zerlegungen
$m = ab,\, m = a'b'$ etc.\ eines von $0$ verschiedenen Index $m$ in je zwei
ungrade Indices vornehmen, zwischen je vier der sechs Producte
\[
\sigma_{a}\sigma_{b}, \quad \sigma_{a'}\sigma_{b'} \text{ etc.}
\]
eine lineare homogene Gleichung besteht. Nun ist nach Formel~(16)
allgemein für jeden ungraden Index $n$:
\[
\widetilde{\omega} \sigma_{n}^2 = \psi_{n} = H_{n} H_{n}';
\]
es muss also eine lineare Gleichung bestehen zwischen je vier der
sechs Ausdrücke:
\[
\sqrt{\smash[b]{H_a}}
\sqrt{\smash[b]{H_b}}
\sqrt{\smash[b]{H'_a}}
\sqrt{\smash[b]{H'_b}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{a'}}}
\sqrt{\smash[b]{H_{b'}}}
\sqrt{\smash[b]{H'_{a'}}}
\sqrt{\smash[b]{H'_{b'}}}
\text{ etc.}
\]
Hierin ist allgemein
\begin{align*}
&H_{n} = a_{n}H +
b_{n}\overline{H} +
c_{n}\overline{\overline{H}},\\
&H'_{n} = a_{n}H' +
b_{n}\overline{H'} +
c_{n}\overline{\overline{H'}}.
\end{align*}
Nun ist das Werthsystem $(H,\, \overline{H},\, \overline{\overline{H}})$
unabhängig von dem andern $(H',\, \overline{H'},\, \overline{\overline{H'}})$;
wir können also dem letzteren einen willkürlichen Werth beilegen, der
nur der Gleichung $M = 0$ genügen muss. Dieser Werth
kann so gewählt werden, dass einer der vier Ausdrücke verschwindet.
Daraus folgt, dass eine Relation bestehen muss zwischen je dreien der
sechs Ausdrücke:
\[
\sqrt{\smash[b]{H_{a}}}
\sqrt{\smash[b]{H_{b}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{a'}}}
\sqrt{\smash[b]{H_{b'}}} \text{ etc.}
\]
Daran knüpft sich noch eine andere Folgerung.
Es seien $a,\, b,\, c,\, d$
vier von einander verschiedene ungrade Indices, deren Product $a\,b\,c\,d$
%-----File: 067.png-----------------------------------------
gleich dem Index $0$ ist; dann ist das Product der vier Wurzelgrössen
$\sqrt{\smash[b]{H_a}}$, $\sqrt{\smash[b]{H_b}}$, $\sqrt{\smash[b]{H_c}}$, $\sqrt{\smash[b]{H_d}}$ rational durch
die drei Veränderlichen $H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}}$
ausdrückbar, und zwar in der Form einer homogenen Function zweiter
Ordnung\Label{S63}. Denn setzt man $ab = m$, so folgt aus der Voraussetzung
$abcd = 0$, dass auch $cd = m$ ist. Es sei nun $m = ef$ eine dritte
Zerlegung des Index $m$ in zwei ungrade Indices; dann ist nach dem
eben bewiesenen Satze $\sqrt{\smash[b]{H_{e}}}\sqrt{\smash[b]{H_{f}}}$ linear darstellbar
durch $\sqrt{\smash[b]{H_{a}}} \sqrt{\smash[b]{H_{b}}}$ und $\sqrt{\smash[b]{H_{c}}} \sqrt{\smash[b]{H_{d}}}$\@.
Erhebt man in dieser Gleichung beide Seiten ins Quadrat,
so ergiebt sich eine lineare Relation zwischen
\[
H_a H_b, \quad H_c H_d, \quad H_e H_f \ \text{ und }\
 \sqrt{\smash[b]{H_a}} \sqrt{\smash[b]{H_b}} \sqrt{\smash[b]{H_c}} \sqrt{\smash[b]{H_d}}.
\]
Damit ist der eben ausgesprochene Satz bewiesen.

Hieraus folgt z.~B., dass das Product der Grössen $\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}}$, $\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}$,
$\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\mu}}}$, $\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}}$ gleich einer Function zweiter Ordnung
von $H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}}$ ist;
und da $H_{\lambda} H_{\lambda\mu}$ eine ebensolche Function ist, so erkennt man, dass
der Quotient
\[
\frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\mu}}}}
{\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}}} =
\frac{F_{\kappa\mu}}{F_{\lambda\mu}}
\]
gleichfalls eine rationale Function dieser Grössen ist, die nur von den
Verhältnissen derselben abhängt. In derselben Weise lässt sich $\dfrac{F_{\kappa\lambda}}{F_{\kappa\mu}}$
darstellen. Dadurch sind zwei in Bezug auf $x$, $y$, $z$ lineare Gleichungen
gegeben, mit deren Hülfe sich die Verhältnisse dieser drei Grössen
rational durch die Verhältnisse von $H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}}$ ausdrücken lassen. Es
zeigt sich also, dass die ursprüngliche Gleichung $L = 0$ aus der neuen,
$M = 0$, ebenfalls durch rationale Transformation hervorgeht.

Die verschiedenen linearen Gleichungen zwischen den Wurzel-Functionen
\[
\sqrt{\smash[b]{H_{a}}} \sqrt{\smash[b]{H_{b}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{a'}}}\sqrt{\smash[b]{H_{b'}}} \text{ etc.},
\]
deren jede als eine Form der Gleichung $M = 0$ angesehen werden
kann, zerfallen in drei Gruppen, je nachdem der Index $m$ ein-, zwei-
oder dreigliedrig ist. Für einen eingliedrigen Index, $m = \kappa$, hat man,
den sechs Zerlegungen entsprechend, folgende Gruppe von sechs
Grössen:
\[
\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\kappa}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\beta}}}  \sqrt{\smash[b]{H_{\beta\kappa}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\gamma}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\gamma\kappa}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\kappa}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}    \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\kappa}}},
\]
für einen zweigliedrigen, $m = \kappa\lambda$:
\[
\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\kappa}}}\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\lambda}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\beta\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\beta\lambda}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\gamma\kappa}}}\sqrt{\smash[b]{H_{\gamma\lambda}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\mu\kappa}}}   \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\lambda}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}}      \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}
\]
und für $m = \kappa\lambda\mu = \alpha\beta\gamma\delta$:
\begin{gather*}
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}}      \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}     \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\kappa}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}         \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\beta\gamma}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\delta}}},\\
\sqrt{\smash[b]{H_{\gamma\alpha}}}\sqrt{\smash[b]{H_{\beta\delta}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\beta}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\gamma\delta}}}.
\end{gather*}
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Zwischen je drei Gliedern irgend einer dieser Gruppen besteht eine
lineare Relation. Es ist leicht, zu sehen, dass sich im Ganzen sieben
solcher Gleichungen aufstellen lassen, deren Form verschieden ist;
davon gehört eine der ersten, zwei der zweiten und vier der dritten
Gruppe an. Diese lassen sich ohne jede Schwierigkeit aufstellen, da
sie unmittelbare Folgerungen der in §~5 entwickelten Identitäten sind,
wenn man die beiden Formeln des~§~7:
\[
\begin{split}
 H_{\kappa} H_{\lambda} G_{\kappa\lambda} = R F_{\kappa\lambda}, \\
 H_1 H_2 H_3 \cdots H_7 = R^3
\end{split}
\]
hinzunimmt. Ans der ersten folgt nämlich, da $
F_{\kappa\lambda} G_{\kappa\lambda} = H_{\kappa\lambda}$ ist:
\[
 H_{\kappa} H_{\lambda} H_{\kappa\lambda} = R (F_{\kappa\lambda})^2.
\]

Wir haben nun die Quadratwurzeln aus den $28$ Grössen $H_m$ zu
bilden. Die Vorzeichen der $7$ Grössen $\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}}$ mögen willkürlich gewählt
sein; $\sqrt{R}$ bestimmen wir dann so, dass die Gleichung
\[
\tag{23}
 \sqrt{\smash[b]{H_1}} \sqrt{\smash[b]{H_2}} \sqrt{\smash[b]{H_3}}
 \cdots \sqrt{\smash[b]{H_7}} = (\sqrt{R})^3
\]
gilt, und $\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}$ so, dass
\[
\tag{24}
 \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}
 = \sqrt{R} F_{\kappa\lambda}
\]
ist. Dann folgt von selbst:
\[
\tag{25}
 G_{\kappa\lambda}
 = \frac{\sqrt{R}    \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}}
        {\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}}.
\]
Setzt man diese Ausdrücke für die Grössen $F$ und $G$ in die Gleichungen
$a$ bis $g$ des §~5 ein, so erhält man folgendes System:
\begin{gather*}
\tag{A}
 \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S} \left\{
 (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha} f_{\beta\gamma\kappa}
 \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\kappa}}} \right\} = 0;   \\
\tag{B}
 \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S} \left\{
 (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
 \sqrt{\smash[b]{H_{\beta\gamma}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\delta}}} \right\} = 0;  \\
\tag{C}
\begin{aligned}
 f_{\kappa\gamma\alpha} &f_{\kappa\beta\delta}
 \sqrt{\smash[b]{H_{\beta\gamma}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\delta}}}
 - f_{\kappa\beta\gamma}  f_{\kappa\alpha\delta}
 \sqrt{\smash[b]{H_{\gamma\alpha}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\beta\delta}}}   \\
&= (-1)^{\alpha \mid \beta + \delta \mid \gamma}
 g_{\lambda} g_{\mu} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}};
\end{aligned} \\
\tag{D}
\begin{aligned}
g_{\lambda} f_{\lambda\beta\gamma} f_{\lambda\alpha\delta}
& \sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}
 - g_{\mu} f_{\mu\beta\gamma} f_{\mu\alpha\delta}
\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\mu}}}   \\
&= (-1)^{\lambda \mid \mu}
 \sqrt{\smash[b]{H_{\beta\gamma}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\delta}}};
\end{aligned} \\
\tag{E}
 \underset{\kappa, \lambda, \mu}{S} \left\{
 (-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}
 \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}} \right\} = 0;   \\
\tag{F}
 \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S} \left\{
 (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha} g_{\alpha} f_{\alpha\mu\nu}
 \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\lambda}}} \right\} = 0;\\
\tag{G}
\begin{aligned}
& f_{\beta\kappa\lambda} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\kappa}}}
  \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\lambda}}}
  -f_{\alpha\kappa\lambda} \sqrt{\smash[b]{H_{\beta\kappa}}}
  \sqrt{\smash[b]{H_{\beta\lambda}}}\\
& \quad = (-1)^{\beta \mid \alpha} g_{\gamma} g_{\mu} g_{\nu} f_{\gamma\mu\nu}
  \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}.
\end{aligned}
\end{gather*}
Von diesen Gleichungen giebt die erste die Form der Relationen der
%-----File: 069.png-----------------------------------------
ersten Gruppe, die vier folgenden (B), (C), (D), (E) die der dritten,
und die beiden letzten die der zweiten Gruppe.

Wir bemerken noch, dass die Formel~(19) auch dazu benutzt
werden kann, aus den Identitäten des §~5 andere abzuleiten, die
zwischen Functionen der vierten oder fünften Ordnung bestehen. Von
diesen ist eine bemerkenswerth, weil sie zu einer besonders einfachen
Relation führt, die zwischen den Variabeln der beiden Gleichungen
$L = 0$ und $M = 0$ besteht. Multiplicirt man nämlich die Gleichung
\[
\underset{\kappa,\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}G_{\lambda\mu}\right\} = 0
\]
mit $H_{\kappa}H_{\lambda}H_{\mu}$, und ersetzt $H_{\lambda}H_{\mu}G_{\lambda\mu}$
durch $RF_{\lambda\mu}$, so ergiebt sich:
\[
\underset{\kappa,\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}H_{\kappa}F_{\lambda\mu}\right\} = 0.
\]

Der Ausdruck auf der linken Seite kann dargestellt werden als
eine lineare Function von $x$, $y$, $z$, deren Coefficienten linear in $H$, $\overline{H}$,
$\overline{\overline{H}}$ sind. Letztere Grössen wollen wir für den Augenblick als unabhängige
Constanten ansehen. Setzen wir dann $x = a_{\kappa}$, $y = b_{\kappa}$, $z = c_{\kappa}$, so
wird $F_{\mu\kappa}$ und $F_{\kappa\lambda} = 0$, während $(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}F_{\lambda\mu}$
gleich $f_{\kappa\lambda\mu}$ wird; daher
geht die linke Seite der obigen Gleichung über in
\[
f_{\kappa\lambda\mu}H_{\kappa} =
f_{\kappa\lambda\mu}(a_{\kappa}H +
b_{\kappa}\overline{H} +
c_{\kappa}\overline{\overline{H}}).
\]
Es wird also für $x = a_{\kappa}$, $y = b_{\kappa}$, $z = c_{\kappa}$ der obige Ausdruck identisch
mit folgendem:
\[
f_{\kappa\lambda\mu}(xH +
y\overline{H} +
z\overline{\overline{H}}).
\]
Dasselbe muss stattfinden für $x = a_{\lambda}$, $y = b_{\lambda}$,
$z = c_{\lambda}$, und für $x = a_{\mu}$,
$y = b_{\mu}$, $z = c_{\mu}$; mithin müssen beide Ausdrücke überhaupt für alle
Werthe der Veränderlichen identisch sein. Daraus folgt:
\[
\tag{26}
xH + y\overline{H} + z\overline{\overline{H}} = 0.
\]

\Section{§~10.}

Ehe wir die Theorie der beiden Gleichungen $L = 0$ und $M = 0$
verlassen, wollen wir noch eine lineare Beziehung zwischen den
Differentialen der Grössen $H$ aufstellen, von der wir später Gebrauch
machen werden.

Die Gleichung $M = 0$ wurde in expliciter rationaler Form nicht
aufgestellt. Aus ihrer Existenz aber folgt, dass zwischen den Differentialen
dreier Grössen $H_{\alpha}$, $H_{\beta}$, $H_{\gamma}$ eine lineare Relation besteht:
\[
A\,dH_{\alpha} + B\,dH_{\beta} + C\,dH_{\gamma} = 0,
\]
in welcher $A$, $B$, $C$ rationale Functionen der Grössen $H$ bedeuten,
die offenbar der Bedingung
\[
AH_{\alpha} + BH_{\beta} + CH_{\gamma} = 0
\]
%-----File: 070.png-----------------------------------------
genügen müssen. Man kann zu dieser Gleichung gelangen, indem
man irgend eine der Formen, in denen die Gleichung $M = 0$ gegeben
ist, differenzirt. Wir wählen die Form (E). Das Resultat der Differentiation
hat dann die Gestalt
\[
A + B = 0, \quad\text{oder}\quad A = -B,
\]
wo
\begin{align*}
A &= \underset{\kappa,\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}
\frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}}}{\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}}}
\ dH_{\kappa}\right\},\\
B &= \underset{\kappa,\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}
\frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}}}{\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}}}
\ dH_{\lambda\mu}\right\}.
\end{align*}
Beide Ausdrücke formen wir um. Den ersten zunächst dadurch, dass
wir nach Formel~(24)
\[
\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}} \text{ durch } \frac{\sqrt{R} F_{\lambda\mu}}
{\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}\sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}}
\]
ersetzen; dadurch erhalten wir:
\[
A = \underset{\kappa,\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}
\frac{\sqrt{R} F_{\lambda\mu}\, dH_{\kappa}}
{\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}}
\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}
\sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}}
\right\},
%** Added missing }
\]
oder:
\[
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}\sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}\,A
= \sqrt{R}\underset{\kappa,\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}
F_{\lambda\mu}\, dH_{\kappa}\right\}.
\]
Wenn wir auf die rechte Seite dieser Gleichung dieselbe Operation
anwenden, welche wir am Schluss des vorigen Paragraphen ausgeführt
haben, so ergiebt sich:
\[
\underset{\kappa,\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}
F_{\lambda\mu}\, dH_{\kappa}\right\} =
f_{\kappa\lambda\mu}(x\, dH + y\, d\overline{H} + z\, d\overline{\overline{H}}).
\]
Für diesen Differential-Ausdruck führen wir eine besondere Bezeichnung ein:
\[
\tag{27}
x\, dH + y\, d\overline{H} + z\, d\overline{\overline{H}} = \Delta.
\]
Danach ist
\[
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}A
= f_{\kappa\lambda\mu}\sqrt{R}\, \Delta.
\]

In dem zweiten Ausdrucke multipliciren wir jedes Glied mit dem
Product
\[
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}}
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}
= P.
\]
Es ist alsdann
\begin{align*}
\frac{P\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}}} {\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}}}
&= \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}\cdot
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\mu}}} \\
&= RF_{\kappa\lambda}F_{\kappa\mu};
\end{align*}
mithin ist
\[
PB = R \underset{\kappa,\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}
F_{\kappa\lambda}F_{\kappa\mu}\, dH_{\lambda\mu}
\right\}.
\]
%-----File: 071.png-----------------------------------------
Mit Hülfe der Gleichung~(21) lässt sich jedes der Differentiale
$d H_{\lambda\mu}$, $d H_{\mu\kappa}$, $d H_{\kappa\lambda}$, mithin auch die
ganze rechte Seite der Gleichung, durch
$d H_{\alpha}$, $d H_{\beta}$, $d H_{\gamma}$ ausdrücken. Wir setzen:
\[
\underset{\kappa,\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}F_{\kappa\lambda}F_{\kappa\mu}\,dH_{\lambda\mu}\right\} =
\phi_1\,dH_{\alpha} + \phi_2\,dH_{\beta} + \phi_3\,dH_{\gamma},
\]
und beschränken uns darauf, $\phi_{1}$ zu bestimmen, da die beiden andern
Grössen daraus durch Vertauschung des Index $\alpha$ mit $\beta$, bezüglich $\gamma$,
abgeleitet werden können. Nach (21) ist
\[
dH_{\lambda\mu} =
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
g_{\beta}g_{\gamma}f_{\beta\lambda\mu}f_{\gamma\lambda\mu}f_{\beta\gamma\kappa}f_{\beta\gamma\nu}\, dH_{\alpha}\right\};
\]
daher ist
\[
\phi_1 = (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}g_{\beta}g_{\gamma}f_{\beta\gamma\nu}
\underset{\kappa,\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}f_{\beta\lambda\mu}f_{\gamma\lambda\mu}
f_{\beta\gamma\kappa}F_{\kappa\lambda}F_{\kappa\mu}\right\}.
\]

Wir betrachten nun die quadratische Function
\[
\phi(x,\, y,\, z) =
\underset{\kappa,\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}f_{\beta\lambda\mu}f_{\gamma\lambda\mu}
f_{\beta\gamma\kappa}F_{\kappa\lambda}F_{\kappa\mu}\right\},
\]
bei deren Umformung wir von der zwischen $x$, $y$, $z$ bestehenden Beziehung
$L = 0$ absehen. Setzen wir nun $F_{\lambda\mu} = 0$, so reducirt sich
die Summe auf das erste Glied. Zugleich aber reducirt sich die zwischen
$F_{\kappa\lambda}$, $F_{\beta\lambda}$, $F_{\mu\lambda}$ bestehende Gleichung auf folgende:
\[
(-1)^{\beta\mu \mid \kappa}f_{\beta\mu\lambda}F_{\kappa\lambda} +
(-1)^{\mu\kappa \mid \beta}f_{\mu\kappa\lambda}F_{\beta\lambda} = 0,
\]
oder
\[
f_{\beta\lambda\mu}F_{\kappa\lambda} =
(-1)^{\beta\kappa \mid \mu}f_{\kappa\lambda\mu}F_{\beta\lambda}.
\]
Wir erhalten also, immer unter der Voraussetzung, dass $F_{\lambda\mu} = 0$ ist:
\[
\phi(x,\, y,\, z) =
(-1)^{\kappa \mid \lambda+\beta \mid \mu}
f_{\kappa\lambda\mu}f_{\gamma\lambda\mu}f_{\gamma\beta\kappa}F_{\lambda\beta}F_{\kappa\mu}.
\]
Nun ist aber nach Formel~(d):
\[
f_{\gamma\lambda\mu}f_{\gamma\beta\kappa}F_{\lambda\beta}F_{\kappa\mu} -
f_{\gamma\lambda\beta}f_{\gamma\kappa\mu}F_{\lambda\mu}F_{\beta\kappa} =
(-1)^{\kappa \mid \lambda+\mu \mid \beta}g_{\alpha}g_{\nu}G_{\alpha\nu};
\]
mithin, da $F_{\lambda\mu} = 0$ vorausgesetzt ist:
\begin{align*}
f_{\gamma\lambda\mu}f_{\gamma\beta\kappa}F_{\lambda\beta}F_{\kappa\mu} &=
(-1)^{\kappa \mid \lambda+\mu \mid \beta}
g_{\alpha}g_{\nu}G_{\alpha\nu},\\
\phi(x,\, y,\, z) &=
-g_{\alpha}g_{\nu}f_{\kappa\lambda\mu}G_{\alpha\nu}.
\end{align*}
Diese Relation ist hergeleitet worden unter der Voraussetzung $F_{\lambda\mu} = 0$\@.
Es ist aber leicht einzusehen, dass sie identisch bestehen muss. Denn
sowohl die rechte als auch die linke Seite ist symmetrisch in Bezug auf
die drei Indices $\kappa$, $\lambda$, $\mu$\@. Es muss also
\[
\phi(x,\, y,\, z) +
g_{\alpha}g_{\nu}f_{\kappa\lambda\mu}G_{\alpha\nu}
\]
theilbar sein durch die drei linearen Functionen $F_{\lambda\mu}$, $F_{\mu\kappa}$ und $F_{\kappa\lambda}$.
%** Added missing .
Da dieser Ausdruck aber nur von der zweiten Ordnung ist, so folgt,
dass er identisch Null sein muss. Setzen wir den so gefundenen Werth
von $\phi(x,\, y,\, z)$ ein, so folgt jetzt
\[
\phi_1 = - (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
g_{\alpha}g_{\beta}g_{\gamma}g_{\nu}f_{\kappa\lambda\mu}f_{\beta\gamma\nu}G_{\alpha\nu}.
\]
%-----File: 072.png-----------------------------------------

Daraus ergeben sich $\phi_2$ und $\phi_3$ durch Vertauschung der Indices
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$\@. Nun war:
\[
PB = R(\phi_1\, dH_{\alpha} + \phi_2\, dH_{\beta} + \phi_3\, dH_{\gamma});
\]
mithin ergiebt sich:
\begin{align*}
- PB &= g_{\alpha}g_{\beta}g_{\gamma}g_{\nu}f_{\kappa\lambda\mu}R
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
f_{\beta\gamma\nu}G_{\alpha\nu}\, dH_{\alpha}\right\},\\
PA &= f_{\kappa\lambda\mu} \sqrt{R} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}\, \Delta;
\end{align*}
und da $A = -B $ ist, so folgt:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
f_{\beta\gamma\nu}G_{\alpha\nu}\, dH_{\alpha}\right\} =
\frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}}
{g_{\alpha}g_{\beta}g_{\gamma}g_{\nu}\sqrt{R}}\, \Delta.
\]

Wir ersetzen in dieser Formel noch
\[
G_{\alpha\nu}\text{ durch }\frac{RF_{\alpha\nu}}{H_{\alpha}H_{\nu}}, \quad
\text{ und }\frac{dH_{\alpha}}{H_{\alpha}}\text{ durch }d\log H_{\alpha};
\]
dadurch ergiebt sich schliesslich:
\[
\tag{28}
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
f_{\beta\gamma\nu}F_{\alpha\nu}d\log H_{\alpha}\right\} =
\frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}} H_{\nu}}
{g_{\alpha}g_{\beta}g_{\gamma}g_{\nu}(\sqrt{R})^3}\, \Delta,
\]
wo das Differential $\Delta$ durch die Gleichung~(27) definirt ist. -- Aus
dieser Formel lässt sich nun leicht eine Relation zwischen $d\log H_{\alpha}$,
$d\log H_{\beta}$ und $d\log H_{\gamma}$ herleiten, z.~B.\ dadurch, dass man $\nu$ mit $\kappa$
vertauscht, und aus den beiden Gleichungen, die man so erhält, $\Delta$
eliminirt. Aber wir begnügen uns mit dieser einfacheren Formel, die
für spätere Zwecke ausreicht.


\Section{§~11.}

Durch die bisherige Untersuchung sind die Quotienten je zweier
ungraden $\sigma$ definirt als algebraische Functionen zweier den Gleichungen
dritten Ranges: $L = 0$ und $L' = 0$ genügenden Werthsysteme $x : y : z$
und $x' : y' : z'$\@. Nimmt man das letztere als constant an, betrachtet
also den Quotienten $\dfrac{\sigma_m}{\sigma_n}$ als abhängig von $(x,\, y,\, z)$ allein, so ist
\[
\frac{\sigma_m}{\sigma_n} =
c\, \frac{\sqrt{\smash[b]{H_m}}}{\sqrt{\smash[b]{H_n}}},
\]
wo $c$ eine Constante bedeutet. Der Quotient $\dfrac{H_m}{H_n}$ wird an zwei Stellen
Null, an zwei Stellen unendlich, beides von der zweiten Ordnung. Der
Quotient $\dfrac{\sigma_m}{\sigma_n}$ hat daher, obgleich er keine rationale Function ist, doch
an jeder Stelle des Gebildes den Charakter einer solchen, und wird
an zwei Stellen Null von der ersten Ordnung, an zwei andern ebenso
unendlich. Ferner ist das Quadrat eines Quotienten $\dfrac{\sigma_m}{\sigma_n}$ eine rationale
%-----File: 073.png-----------------------------------------
Function, und in gleicher Weise das Product mehrerer verschiedener
$\dfrac{\sigma_a}{\sigma_b}$, $\dfrac{\sigma_c}{\sigma_d}$ etc., wenn nur zwischen den Indices
$a$, $b$, $c$, $d$ etc.\ die Bedingung stattfindet, dass der aus allen zusammengesetzte gleich dem
Index $0$ ist. Dieselben Eigenschaften zeigen diese Quotienten, wenn wir
sie als abhängig von $(x',\, y',\, z')$ auffassen.

Es sind nun zunächst, wenn wir die Bedingung zwischen den
Grössen $L$, durch welche die Veränderlichkeit der Argumente beschränkt
wird, beibehalten, zwei Aufgaben zu lösen: erstens, den Quotienten
zweier graden $\sigma$, und dann: den Quotienten eines graden und
eines ungraden, als algebraische Functionen der beiden Grössensysteme
$(x,\, y,\, z)$ und $(x',\, y',\, z')$ darzustellen, und deren Eigenschaften zu bestimmen.
Wir haben also jetzt Relationen zwischen den graden und
ungraden $\sigma$ aufzustellen. An solchen Beziehungen zwischen diesen
$64$ Grössen ist ein sehr beträchtlicher Reichthum vorhanden; und wenn
es nur darauf ankäme, überhaupt Ausdrücke für die gesuchten Grössen
aufzustellen, so würde diese Aufgabe rasch gelöst sein. Aber diejenigen
Darstellungen, welche man durch directe Elimination erhält,
lassen nicht sämmtliche wesentlichen algebraischen Eigenschaften dieser
Grössen unmittelbar erkennen, deshalb muss die Untersuchung einen
etwas längeren Weg einschlagen.

Wenn man in der zwischen vier Producten ungrader Theta-Functionen
\[
\, \Theta _{\alpha\mu} \, \Theta _{\alpha\nu}, \quad
\, \Theta _{\beta\mu}  \, \Theta _{\beta\nu}, \quad
\, \Theta _{\gamma\mu} \, \Theta _{\gamma\nu}, \quad
\, \Theta _{\lambda\mu} \, \Theta _{\lambda\nu}
\]
bestehenden linearen Gleichung die Argumente vermehrt um dasjenige
halbe Periodensystem, welches zum Index $\lambda\mu$ gehört, so verwandelt
sich dieselbe in eine lineare Relation zwischen
\[
\, \Theta _{\alpha\lambda} \, \Theta _{\beta\gamma\kappa}, \quad
\, \Theta _{\beta\lambda}  \, \Theta _{\gamma\alpha\kappa}, \quad
\, \Theta _{\gamma\lambda} \, \Theta _{\alpha\beta\kappa}, \quad
\, \Theta _0               \, \Theta _{\mu\nu}.
\]
Man erhält diese Gleichung aus der Fundamental-Formel~(1), indem
man dort
\[
k = \lambda, \quad
l = \lambda\mu\nu, \quad
m = \kappa\mu
\]
setzt. Wir erhalten dann, da $kl$ ein ungrader Index ist:
\[
\sum^{7}_{\alpha = 0} \left[
(-1)^{(\lambda\alpha,\lambda\mu\nu\alpha,\kappa\mu\alpha)}
c_{\alpha\kappa\mu}c_{\alpha\kappa\nu}
\, \Theta _{\alpha\lambda}\, \Theta _{\alpha\lambda\mu\nu}
\right] = 0.
\]
Hier verschwinden diejenigen Glieder, die den Werthen der Summationsbuchstaben:
$\alpha = 0$, $\kappa$, $\mu$, $\nu$ entsprechen; wenn wir also mit $\alpha$, $\beta$, $\gamma$
die von $\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$ verschiedenen primitiven Indices bezeichnen, so sind
dem Summationsbuchstaben die Werthe $\lambda$, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ beizulegen. Wir erhalten
somit:
\begin{gather*}
(-1)^{(0,\mu\nu,\alpha\beta\gamma\nu)}c_{\kappa\lambda\mu}c_{\kappa\lambda\nu}\, \Theta _0\, \Theta _{\mu\nu}\\
+ \underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{(\lambda\alpha,\lambda\mu\nu\alpha,\lambda\nu\beta\gamma)}
c_{\alpha\kappa\mu}c_{\alpha\kappa\nu}\,
%** Changed according to "`Berichtigung"': $c_{\kappa\nu}
%**                             \rightarrow c_{\alpha\kappa\nu}$
\Theta _{\alpha\lambda}\, \Theta _{\beta\gamma\kappa}
\right\} = 0.
\end{gather*}
%-----File: 074.png-----------------------------------------
Nun ist für $(0,\ \mu\nu,\ \alpha\beta\gamma\nu)$:
\[
K = \nu, \quad L = 0, \quad M = 0;
\]
daher:
\[
(0,\, \mu\nu,\, \alpha\beta\gamma\nu) = \alpha\beta\gamma\nu\mid\mu\nu + \mu\nu
\mid \alpha\beta\gamma\nu \equiv 1\bmod 2.
\]
Für das Zeichen $(\lambda\alpha,\, \lambda\mu\nu\alpha,\, \lambda\nu\beta\gamma)$ dagegen ist:
\[
K = \lambda\nu, \quad L = \lambda, \quad M = \lambda\alpha;
\]
und da
\[
\lambda\mu\nu\alpha\mid\lambda\nu\beta\gamma+\lambda\nu\beta\gamma\mid\lambda\mu\nu\alpha \equiv 0\bmod 2
\]
ist, so erhalten wir:
\[
(\lambda\alpha,\, \lambda\mu\nu\alpha,\, \lambda\nu\beta\gamma)\equiv
\lambda\nu \mid \lambda\alpha+\lambda\mid\lambda\mu\nu\alpha+\lambda\alpha\mid\lambda\nu\beta\gamma.
\]
Für $\lambda\nu\mid\lambda\alpha$ können wir setzen: $1 + \lambda\alpha\mid\lambda\nu$; daher für
\[
\lambda\nu\mid\lambda\alpha + \lambda\alpha\mid\lambda\nu\beta\gamma : 1 + \lambda\alpha\mid\beta\gamma,
\]
oder:
\[
1 + \lambda\mid\beta\gamma + \alpha\mid\beta\gamma.
\]
Wir erhalten daher:
\[
(\lambda\alpha,\, \lambda\mu\nu\alpha,\, \lambda\nu\beta\gamma)\equiv
1 + \alpha\mid\beta\gamma + \lambda\mid\beta\gamma + \lambda\mid\lambda\mu\nu\alpha.
\]
Nun ist
\begin{align*}
\lambda\mid\beta\gamma + \lambda\mid\lambda\mu\nu\alpha
&\equiv \lambda\mid\lambda\mu\nu\alpha\beta\gamma
\equiv \lambda\mid\kappa,\\
\alpha\mid\beta\gamma
&\equiv \beta\gamma\mid\alpha;
\end{align*}
mithin:
\[
(\lambda\alpha,\, \lambda\mu\nu\alpha,\, \lambda\nu\beta\gamma)\equiv
1 + \lambda\mid\kappa + \beta\gamma\mid\alpha\bmod 2.
\]
Wenn wir nun in die obige Gleichung die Grössen $\sigma$ einführen, so
erhält dieselbe, nach dieser Bestimmung der Vorzeichen, folgende Form:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma\, \mid\, \alpha}
\frac{-e_{\alpha\kappa\mu}e_{\alpha\kappa\nu}e_{\beta\gamma\kappa}l_{\alpha\lambda}}
{e_{\kappa\lambda\mu}e_{\kappa\lambda\nu}l_{\mu\nu}}\sigma_{\alpha\lambda}\sigma_{\beta\gamma\kappa}
\right\} = (-1)^{\lambda\mid\kappa}\sigma_0\sigma_{\mu\nu}.
\]
Wir haben jetzt den Coefficienten
\[
\frac{-e_{\alpha\kappa\mu}e_{\alpha\kappa\nu}e_{\beta\gamma\kappa}l_{\alpha\lambda}}
{e_{\kappa\lambda\mu}e_{\kappa\lambda\nu}l_{\mu\nu}} = Q
\]
in eine Function der unabhängigen Parameter umzuformen. Zunächst
ist nach Gleichung (79) des ersten Theils:
\[
\frac{l_{\alpha\lambda}}{l_{\mu\nu}} =
\frac{g_{\alpha}g_{\lambda}l_{\mu}l_{\nu}e_{\mu\nu}}{g_{\mu}g_{\nu}l_{\alpha}l_{\lambda}e_{\alpha\lambda}};
\]
setzen wir nun
\[
\frac{e_{\alpha\kappa\mu}e_{\alpha\kappa\nu}e_{\beta\gamma\kappa}e_{\mu\nu}e_{\lambda}}
{e_{\kappa\lambda\mu}e_{\kappa\lambda\nu}e_{\alpha\lambda}} = E,
\]
so ist demnach:
\[
Q = \frac{-g_{\alpha}g_{\lambda}l_{\mu}l_{\nu}}
{g_{\mu}g_{\nu}l_{\alpha}l_{\lambda}e_{\lambda}}\, E,
\]
oder, da nach Formel~(69)
%-----File: 075.png-----------------------------------------
\[
e_{\lambda}l^2_{\lambda} = - r^4l^2g_{\lambda}
\]
ist:
\[
Q = \frac{g_{\alpha}l_{\lambda}l_{\mu}l_{\nu}}{r^4l^2g_{\mu}g_{\nu}l_{\alpha}}\, E.
\]

Wenn wir in dem mit $E$ bezeichneten Quotienten die Producte
$e_{\alpha\lambda}$, $e_{\mu\nu}$, $e_{\lambda}$ in ihre Factoren entwickeln, so heben sich alle Factoren
des Nenners gegen solche, die im Zähler enthalten sind; es bleibt
übrig ein Product von 16 Factoren, das sich in vier Theile zerlegen lässt:
\begin{align*}
&e_{\beta\gamma\kappa}e_{\beta\gamma\lambda}e_{\beta\kappa\lambda}e_{\gamma\kappa\lambda}, \quad
e_{\beta\lambda\mu}e_{\beta\lambda\nu}e_{\beta\mu\nu}e_{\lambda\mu\nu},\\
&e_{\alpha\kappa\mu}e_{\alpha\kappa\nu}e_{\alpha\mu\nu}e_{\kappa\mu\nu}, \quad
e_{\gamma\lambda\mu}e_{\gamma\lambda\nu}e_{\gamma\mu\nu}e_{\lambda\mu\nu}.
\end{align*}

Diese vier Producte sind nach den Formeln~(51) und (64) bezüglich gleich:
\begin{align*}
&rl_{\alpha}l_{\mu}l_{\nu}f_{\alpha\mu\nu}, \quad
rl_{\gamma}l_{\alpha}l_{\kappa}f_{\gamma\alpha\kappa},\\
&rl_{\beta}l_{\gamma}l_{\lambda}f_{\beta\gamma\lambda}, \quad
rl_{\alpha}l_{\beta}l_{\kappa}f_{\alpha\beta\kappa}.
\end{align*}

Das Product aller ist also:
\begin{align*}
E &= r^4l^3_{\alpha}l^2_{\beta}l^2_{\gamma}l^2_{\kappa}l_{\lambda}l_{\mu}l_{\nu}
f_{\alpha\mu\nu}f_{\beta\gamma\lambda}f_{\gamma\alpha\kappa}f_{\alpha\beta\kappa}\\
&= \frac{r^4l^2l_{\alpha}f_{\alpha\mu\nu}f_{\beta\gamma\lambda}f_{\gamma\alpha\kappa}
f_{\alpha\beta\kappa}}
{l_{\lambda}l_{\mu}l_{\nu}};
\end{align*}
mithin:
\[
Q = \frac{g_{\alpha}f_{\alpha\mu\nu}f_{\beta\gamma\lambda}f_{\gamma\alpha\kappa}f_{\alpha\beta\kappa}}
{g_{\mu}g_{\nu}}.
\]

Jetzt können wir die Gleichung in ihrer entwickelten Form hinschreiben:
\[
\tag{29}
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
g_{\alpha}f_{\alpha\beta\kappa}f_{\alpha\gamma\kappa}f_{\alpha\mu\nu}
f_{\beta\gamma\lambda}\sigma_{\alpha\lambda}\sigma_{\beta\gamma\kappa}
\right\} =
(-1)^{\lambda \mid \kappa}g_{\mu}g_{\nu}\sigma_0\sigma_{\mu\nu}.
\]
Multipliciren wir dieselbe mit
\[
\frac{\sigma_{\alpha}\sigma_{\beta}\sigma_{\gamma}\sigma_{\kappa}\sigma_{\lambda}}{\sigma_0},
\]
und führen die neue Bezeichnung ein:
\[
\frac{\sigma_{\kappa}\sigma_{\lambda}\sigma_{\mu}\sigma_{\kappa\lambda\mu}}{\sigma_0} = \omega_{\kappa\lambda\mu},
\]
so erhalten wir zwischen den drei Grössen $\omega_{\beta\gamma\kappa}$,
$\omega_{\gamma\alpha\kappa}$, $\omega_{\alpha\beta\kappa}$ folgende
lineare Gleichung:
\[
\tag{30}
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
g_{\alpha}f_{\alpha\beta\kappa}f_{\alpha\gamma\kappa}f_{\alpha\mu\nu}f_{\beta\gamma\lambda}
\phi_{\alpha\lambda}\omega_{\beta\gamma\kappa}\right\}
%** Added missing subscript kappa:
%** $\omega_{\beta\gamma} \rightarrow \omega_{\beta\gamma\kappa}$
= (-1)^{\lambda \mid \kappa}g_{\mu}g_{\nu}\chi_{\mu\nu},
\]
in welcher für die Grössen $\phi$ und $\chi$ ihre Ausdrücke durch $(x,\, y,\, z)$,
$(x',\, y',\, z')$, nämlich
\[
\phi_{\alpha\lambda} = F_{\alpha\lambda}F'_{\alpha\lambda}, \quad
\chi_{\mu\nu} = G_{\mu\nu}G'_{\mu\nu}
\]
einzusetzen sind.
%-----File: 076.png-----------------------------------------


\Section{§~12.}

Wir wollen im Folgenden $x'$, $y'$, $z'$ als unveränderliche Grössen
betrachten, so dass sich $\phi_{\alpha\lambda}$ von $F_{\alpha\lambda}$,
$\chi_{\mu\nu}$ von $G_{\mu\nu}$ nur um constante
Factoren unterscheiden. Aus der entwickelten Relation zwischen den
Grössen $\omega_{\beta\gamma\kappa}$, $\omega_{\gamma\alpha\kappa}$,
$\omega_{\alpha\beta\kappa}$ lassen sich zwei neue Gleichungen zwischen
denselben Grössen dadurch ableiten, dass wir $\lambda$ mit $\mu$ und $\nu$ vertauschen.

In allen drei Gleichungen sind die Coefficienten von $\omega_{\beta\gamma\kappa}$,
$\omega_{\gamma\alpha\kappa}$, $\omega_{\alpha\beta\kappa}$ lineare homogene
Functionen von $x$, $y$, $z$, und zwar verschwindet
bei allen dreien der Coefficient von $\omega_{\beta\gamma\kappa}$ im Punkte
$\alpha$, der von $\omega_{\gamma\alpha\kappa}$
im Punkte $\beta$, der von $\omega_{\alpha\beta\kappa}$ im Punkte $\gamma$\@.
Ferner steht in allen drei
Gleichungen auf der rechten Seite eine homogene quadratische Function,
die in den vier Punkten $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\kappa$ verschwindet. Wenn wir
diese drei Gleichungen mit willkürlichen Constanten $c_{\lambda}$, $c_{\mu}$, $c_{\nu}$
multipliciren und addiren, so muss die resultirende Gleichung
\[
A\omega_{\beta\gamma\kappa} + B\omega_{\gamma\alpha\kappa} + C\omega_{\alpha\beta\kappa} = D
\]
dieselben Eigenschaften haben. Wir können nun, da $A$ eine lineare
Function von $x$, $y$, $z$ ist, die im Punkte $\alpha$ verschwindet und drei willkürliche
Grössen $c_{\lambda}$, $c_{\mu}$, $c_{\nu}$ enthält, diese letzteren so bestimmen, dass
der Coefficient $A$ identisch Null ist. Dann reducirt sich die Gleichung
auf folgende:
\[
B\omega_{\gamma\alpha\kappa} + C\omega_{\alpha\beta\kappa} = D.
\]
$A$, $B$, $C$, $D$ sind durch folgende Ausdrücke gegeben:
%** Corrected typo: gegegeben $\rightarrow$ gegeben
\begin{align*}
&A = (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}g_{\alpha}f_{\alpha\beta\kappa}f_{\alpha\gamma\kappa}
\underset{\lambda,\mu,\nu}{S}\left\{
c_{\lambda}f_{\alpha\mu\nu}f_{\beta\gamma\lambda}
F'_{\alpha\lambda}F_{\alpha\lambda}\right\},\\
&B = (-1)^{\gamma\alpha \mid \beta}g_{\beta}f_{\beta\gamma\kappa}f_{\beta\alpha\kappa}
\underset{\lambda,\mu,\nu}{S}\left\{
c_{\lambda}f_{\beta\mu\nu}f_{\gamma\alpha\lambda}
F'_{\beta\lambda}F_{\beta\lambda}\right\},\\
&C = (-1)^{\alpha\beta \mid \gamma}g_{\gamma}f_{\gamma\alpha\kappa}f_{\gamma\beta\kappa}
\underset{\lambda,\mu,\nu}{S}\left\{
c_{\lambda}f_{\gamma\mu\nu}f_{\alpha\beta\lambda}
F'_{\gamma\lambda}F_{\gamma\lambda}\right\},\\
&D = \underset{\lambda,\mu,\nu}{S}\left\{(-1)^{\lambda \mid \kappa}
c_{\lambda}g_{\mu}g_{\nu}G'_{\mu\nu}G_{\mu\nu}\right\}.
\end{align*}
Hier sollen $c_{\lambda}$, $c_{\mu}$, $c_{\nu}$ so bestimmt werden,
dass $A$ identisch gleich Null wird.
Nun besteht nach Formel~(a) zwischen $F_{\alpha\lambda}$,
$F_{\alpha\mu}$, $F_{\alpha\nu}$ die Identität:
\[
\underset{\lambda,\mu,\nu}{S}\left\{(-1)^{\mu\nu \mid \lambda}f_{\alpha\mu\nu}F_{\alpha\lambda}\right\} = 0.
\]

Mit dieser muss die Gleichung $A = 0$ identisch sein; daraus folgt,
dass wir
\begin{align*}
&c_{\lambda} = c(-1)^{\mu\nu \mid \lambda}
f_{\beta\gamma\mu}f_{\beta\gamma\nu}F'_{\alpha\mu}F'_{\alpha\nu},\\
%** Changed according to "`Berichtigung"': $F_{\alpha\mu}
%**                             \rightarrow F'_{\alpha\mu}$
&c_{\mu} = c(-1)^{\nu\lambda \mid \mu}
f_{\beta\gamma\nu}f_{\beta\gamma\lambda}F'_{\alpha\nu}F'_{\alpha\lambda},\\
&c_{\nu} = c(-1)^{\lambda\mu \mid \nu}
f_{\beta\gamma\lambda}f_{\beta\gamma\mu}F'_{\alpha\lambda}F'_{\alpha\mu}
\end{align*}
zu setzen haben.
%-----File: 077.png-----------------------------------------

Dem Factor $c$ können wir einen beliebigen Werth beilegen.
Im Uebrigen sind jetzt $B$, $C$, $D$ bestimmte Functionen von
$x$, $y$, $z$, deren Ausdruck wir vereinfachen müssen.
$B$ ist linear dargestellt durch $F_{\beta\lambda}$, $F_{\beta\mu}$,
$F_{\beta\nu}$; wegen der Relation, die zwischen diesen Grössen
besteht, muss sich $B$ auch in dieser Weise ausdrücken lassen:
\[
B = B_1F_{\beta\mu} + B_2F_{\beta\nu}.
\]
Um nun $B_1$ zu bestimmen, haben wir $(x,\, y,\, z)$ = $(a_{\nu},\, b_{\nu},\, c_{\nu})$ zu setzen;
dann wird einerseits
\[
B = (-1)^{\nu \mid \beta\mu}f_{\beta\mu\nu}B_1,
\]
andrerseits, da
\[
F_{\beta\lambda}\text{ in }(-1)^{\nu \mid \beta\lambda}f_{\beta\lambda\nu}, \quad
F_{\beta\mu}\text{ in }(-1)^{\nu \mid \beta\mu}f_{\beta\mu\nu}, \quad
F_{\beta\nu}\text{ in }0
\]
übergeht:
\[
B = (-1)^{\gamma\alpha \mid \beta}g_{\beta}f_{\beta\gamma\kappa}f_{\beta\alpha\kappa}
\underset{\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\nu \mid \beta\lambda}c_{\lambda}f_{\beta\lambda\nu}f_{\beta\mu\nu}f_{\gamma\alpha\lambda}
F'_{\beta\lambda}\right\}.
\]

Daher ist:
\[
(-1)^{\nu \mid \beta\mu}B_1 = (-1)^{\gamma\alpha \mid \beta}
g_{\beta}f_{\beta\gamma\kappa}f_{\beta\alpha\kappa}f_{\beta\lambda\nu}
\underset{\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\nu \mid \beta\lambda}c_{\lambda}f_{\gamma\alpha\lambda}
F'_{\beta\lambda}\right\}.
\]
Setzt man hier für $c_{\lambda}$ seinen Werth ein, so verwandelt sich
\[
\underset{\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\nu \mid \beta\lambda}c_{\lambda}f_{\gamma\alpha\lambda}
F'_{\beta\lambda}\right\}
\]
in
\[
cf_{\beta\gamma\nu}F'_{\alpha\nu}\underset{\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\nu \mid \beta\lambda+\mu\nu \mid \lambda}
f_{\gamma\beta\mu}f_{\gamma\alpha\lambda}F'_{\beta\lambda}F'_{\alpha\mu}\right\},
\]
oder, da
\[
\nu\mid\beta\lambda+\mu\nu\mid\lambda\equiv \mu\mid\lambda+\alpha\mid\beta+\alpha\nu\mid\beta\bmod 2
\]
ist, in
\[
c(-1)^{\alpha\nu \mid \beta}f_{\beta\gamma\nu}F'_{\alpha\nu}\underset{\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\alpha \mid \beta+\mu \mid \lambda}f_{\gamma\beta\mu}f_{\gamma\alpha\lambda}
F'_{\beta\lambda}F'_{\alpha\mu}\right\}.
\]
Der Formel~(c) zufolge ist aber:
\[
\underset{\lambda,\mu}{S}\left\{
(-1)^{\alpha \mid \beta+\mu \mid \lambda}
f_{\gamma\beta\mu}f_{\gamma\alpha\lambda}
F'_{\beta\lambda}F'_{\alpha\mu}\right\} =
g_{\kappa}g_{\nu}G'_{\kappa\nu};
\]
daher folgt:
\[
(-1)^{\nu \mid \beta\mu}B_1 = (-1)^{\gamma\alpha \mid \beta}
g_{\beta}f_{\beta\gamma\kappa}f_{\beta\alpha\kappa}f_{\beta\lambda\nu}
c(-1)^{\alpha\nu \mid \beta}f_{\beta\gamma\nu}F'_{\alpha\nu}
g_{\kappa}g_{\nu}G'_{\kappa\nu},
\]
oder da
\[
\nu\mid\beta\mu+\gamma\alpha\mid\beta+\alpha\nu\mid\beta\equiv\nu\mid\mu+\gamma\mid\beta
\]
ist:
\[
B_1 = c(-1)^{\gamma \mid \beta+\nu \mid \mu}
g_{\beta}g_{\kappa}g_{\nu}f_{\beta\gamma\kappa}f_{\beta\alpha\kappa}f_{\beta\lambda\nu}f_{\beta\gamma\nu}
F'_{\alpha\nu}G'_{\kappa\nu}.
\]
Den andern Coefficienten $B_2$ erhalten wir aus diesem durch Vertauschung
von $\mu$ und $\nu$\@. Es ist also:
\[
B = c(-1)^{\gamma \mid \beta}g_{\beta}g_{\kappa}f_{\beta\gamma\kappa}f_{\beta\alpha\kappa}
\underset{\mu,\nu}{S}\left\{(-1)^{\nu \mid \mu}
g_{\nu}f_{\beta\gamma\nu}f_{\beta\lambda\nu}F'_{\alpha\nu}
G'_{\kappa\nu}F'_{\beta\mu}\right\}.
\]
%-----File: 078.png-----------------------------------------

Der Ausdruck $C$ entsteht aus $B$ durch Vertauschung von $\beta$ mit
$\gamma$\@. Es ist daher:
\[
C = c(-1)^{\beta \mid\gamma}g_{\gamma}g_{\kappa}f_{\beta \gamma \kappa}f_{\gamma \alpha \kappa}\underset{\mu, \nu}{S}
\left\{(-1)^{\nu \mid \mu}g_{\nu}f_{\beta\gamma\nu}f_{\gamma\lambda\nu}
F'_{\alpha\nu}G'_{\kappa\nu}F_{\gamma\mu}\right\}.
\]

In ähnlicher Weise lässt sich $D$ umformen. Dieser Ausdruck ist
zunächst linear durch $G_{\mu\nu}, G_{\nu\lambda}, G_{\lambda\mu}$ dargestellt; da aber zwischen
diesen drei Grössen ebenfalls eine lineare Relation besteht, so muss $D$
auch auf diese Form gebracht werden können:
\[
D = D_1G_{\lambda\nu}+D_2G_{\lambda \mu}.
\]
Hier können wir $D_1$ wiederum dadurch bestimmen, dass wir
 $(x,\, y,\, z)= (a_{\nu}, b_{\nu}, c_{\nu})$ setzen; dadurch geht
\[
G_{\mu\nu}\text{ in }\frac{(-1)^{\nu \mid \mu\nu}}{g_{\nu}}, \quad
G_{\nu\lambda}\text{ in }\frac{(-1)^{\nu \mid \lambda\nu}}{g_{\nu}}, \quad
G_{\lambda \mu}\text{ in } 0
\]
über; demnach erhalten wir:
\[
\frac{(-1)^{\nu \mid \lambda\nu}}{g_{\nu}}D_1=\underset{\lambda,\mu}{S}
\left\{(-1)^{\lambda \mid\kappa+\nu \mid\mu \nu}c_{\lambda}g_{\mu}G'_{\mu \nu}\right\},
\]
oder, wenn wir für $c_{\lambda}$ seinen Werth einsetzen:
\[
\frac{(-1)^{\nu \mid\lambda \nu}}{g_{\nu}}D_1=cf_{\beta \gamma \nu}F'_{\alpha \nu}\underset{\lambda
,\mu}{S}\left\{(-1)^{\lambda \mid\kappa+\nu \mid\mu \nu +\mu \nu \mid\lambda}
g_{\mu}f_{\mu \beta \gamma}F'_{\mu \alpha}G'_{\mu \nu}\right\}.
\]
Nun ist
\[
\lambda \mid \kappa + \nu \mid \mu \nu + \mu \nu \mid\lambda \equiv 1 +\lambda \mu \mid \kappa\nu +\lambda
\kappa\mid \mu;
\]
daher ist:
\[
D_1=-(-1)^{\nu \mid\lambda \nu +\lambda \mu \mid\kappa\nu}cg_{\nu}f_{\beta \gamma \nu}F'_{\alpha \nu}
\underset{\lambda,\mu}{S}\left\{(-1)^{\lambda \kappa \mid \mu}
g_{\mu}f_{\mu \beta \gamma}F'_{\mu \alpha}G'_{\mu \nu}\right\}.
\]
Nach der Formel (f) ist aber:
\begin{gather*}
(-1)^{\lambda \kappa \mid \mu}g_{\mu}f_{\mu\beta\gamma}F'_{\mu\alpha}G'_{\mu\nu}+
(-1)^{\mu\kappa \mid \lambda}g_{\lambda}f_{\lambda  \beta \gamma}F'_{\lambda \alpha}G'_{\lambda \nu}\\
+(-1)^{\lambda\mu \mid \kappa}g_{\kappa}f_{\kappa\beta\gamma}F'_{\kappa\alpha}G'_{\kappa\nu}=0;\end{gather*}
daher ist
\[
D_1=(-1)^{\nu \mid\lambda \nu+ \lambda \mu \mid\nu}cg_{\nu}f_{\beta \gamma \nu}
F'_{\alpha \nu}g_{\kappa}f_{\kappa\beta \gamma}F'_{\kappa\alpha}G'_{\kappa\nu},
\]
oder, da
\begin{gather*}
\nu \mid \lambda \nu +\lambda \mu \mid\nu \equiv 1+\nu \mid\mu
\text{ ist:}       \\
D_1 = -(-1)^{\nu \mid\mu} c g_{\kappa} g_{\nu}
f_{\beta \gamma \kappa} f_{\beta \gamma \nu}
F'_{\alpha\kappa} F'_{\alpha \nu} G'_{\kappa\nu}.
\end{gather*}


Der andere Coefficient, $D_2$, ergiebt sich durch Vertauschung von
$\mu $ und $\nu $\@. Es ist also:
\[
D = - cg_{\kappa}f_{\beta\gamma\kappa} F'_{\alpha\kappa}
\underset{\mu,\nu}{S} \left\{(-1)^{\nu \mid \mu}g_{\nu}f_{\beta\gamma\nu}F'_{\alpha\nu}G'_{\kappa\nu}
G_{\lambda\nu}\right\}.
\]
Wir setzen nun
\[
c=(-1)^{\gamma \mid \beta}\frac{H'_{\kappa}}{g_{\kappa}f_{\beta\gamma\kappa}}.
\]
%-----File: 079.png-----------------------------------------
Dann erhalten wir die drei Coefficienten unsrer Gleichung ausgedrückt
durch folgende Formeln:
\begin{align*}
B &= g_{\beta}f_{\beta\alpha\kappa}\underset{\mu,\nu}{S}\left\{
(-1)^{\nu \mid \mu}g_{\nu}f_{\beta\gamma\nu}
f_{\beta\lambda\nu}F'_{\alpha\nu}G'_{\kappa\nu}H'_{\kappa}F_{\beta\mu}\right\},\\
{}- C &= g_{\gamma}f_{\gamma\alpha\kappa}\underset{\mu,\nu}{S}\left\{
(-1)^{\nu \mid \mu}g_{\nu}f_{\beta\gamma\nu}
f_{\gamma\lambda\nu}F'_{\alpha\nu}G'_{\kappa\nu}H'_{\kappa}F_{\gamma\mu}\right\},\\
D &= (-1)^{\beta \mid \gamma}F'_{\alpha\kappa}
\underset{\mu,\nu}{S}\left\{(-1)^{\nu \mid \mu}g_{\nu}f_{\beta\gamma\nu}
F'_{\alpha\nu}G'_{\kappa\nu}H'_{\kappa}G_{\lambda\nu}\right\};
\end{align*}
oder, wenn wir für den Augenblick
\[
(-1)^{\nu \mid \mu}g_{\nu}f_{\beta\gamma\nu}
F'_{\alpha\nu}G'_{\kappa\nu}H'_{\kappa} = r_1, \quad
(-1)^{\mu \mid \nu}g_{\mu}f_{\beta\gamma\mu}
F'_{\alpha\mu}G'_{\kappa\mu}H'_{\kappa} = r_2
\]
setzen:
\begin{align*}
B &= g_{\beta}f_{\beta\alpha\kappa}(f_{\beta\lambda\nu}F_{\beta\mu}r_1+f_{\beta\lambda\mu}F_{\beta\nu}r_2),\\
{}-C &= g_{\gamma}f_{\gamma\alpha\kappa}(f_{\gamma\lambda\nu}F_{\gamma\mu}r_1+f_{\gamma\lambda\mu}F_{\gamma\nu}r_2),\\
D &= (-1)^{\beta \mid \gamma}F'_{\alpha\kappa}(G_{\lambda\nu}r_1+G_{\lambda\mu}r_2).
\end{align*}
Ans dieser Darstellung geht eine eigenthümliche Relation zwischen
diesen drei Grössen hervor. Es ist nämlich, der Formel~(d) zufolge:
\[
g_{\beta}f_{\beta\alpha\kappa}f_{\beta\lambda\nu}G_{\beta\mu}-
g_{\gamma}f_{\gamma\alpha\kappa}f_{\gamma\lambda\nu}G_{\gamma\mu} =
(-1)^{\beta \mid \gamma}F_{\alpha\kappa}F_{\lambda\nu}.
\]
Wenn man nun, was nach (19) erlaubt ist:
\begin{align*}
G_{\beta\mu}\text{ durch }\frac{RF_{\beta\mu}}{H_{\beta}H_{\mu}}, \quad
&G_{\gamma\mu}\text{ durch }\frac{RF_{\gamma\mu}}{H_{\gamma}H_{\mu}},\\
F_{\alpha\kappa}\text{ durch }\frac{H_{\alpha}H_{\kappa}G_{\alpha\kappa}}{R}, \quad
&F_{\lambda\nu}\text{ durch }\frac{H_{\lambda}H_{\nu}G_{\lambda\nu}}{R}
\end{align*}
ersetzt, und beachtet, dass das Product aller Grössen $H_{\alpha}$ gleich $R^3$
ist, so erhält man folgende neue Formel:
\[
g_{\beta}f_{\beta\alpha\kappa}f_{\beta\lambda\nu}H_{\gamma}F_{\beta\mu} -
g_{\gamma}f_{\gamma\alpha\kappa}
f_{\gamma\lambda\nu}H_{\beta}F_{\gamma\mu} =
(-1)^{\beta \mid \gamma}G_{\alpha\kappa}G_{\lambda\nu}.
%** Changed according to "`Berichtigung"':
%** $f_{\gamma\kappa} \rightarrow f_{\gamma\alpha\kappa}$
\]
Hieraus folgt:
\[
BH_{\gamma} + CH_{\beta} = (-1)^{\beta\,\mid\gamma}G_{\alpha\kappa}
(G_{\lambda\nu}r_1 + G_{\lambda\mu}r_2);
\]
mithin ist:
\[
D = \frac{F'_{\alpha\kappa}}{G_{\alpha\kappa}}(BH_{\gamma} + CH_{\beta}).
\]
Dadurch erhalten wir die Gleichung
\[
B\omega_{\gamma\alpha\kappa} + C\omega_{\alpha\beta\kappa} =
\frac{F'_{\alpha\kappa}}{G_{\alpha\kappa}}(BH_{\gamma} + CH_{\beta}),
\]
oder:
\[
B\left(\omega_{\gamma\alpha\kappa} - \frac{H_{\gamma}F'_{\alpha\kappa}}{G_{\alpha\kappa}}\right) =
- C\left(\omega_{\beta\alpha\kappa} - \frac{H_{\beta}F'_{\alpha\kappa}}{G_{\alpha\kappa}}\right).
\]
Für die beiden linearen Functionen $B$ und $-C$, von denen die
letztere aus $B$ durch Vertauschung von $\beta$ mit $\gamma$ hervorgeht, wollen
wir nun eine bleibende Bezeichnung einführen. Die ursprüngliche
Darstellung von $B$ war symmetrisch in Bezug auf die Indices $\lambda$, $\mu$, $\nu$,
%-----File: 080.png-----------------------------------------
die neue in Bezug auf $\lambda$ und $\gamma$; daher wird $B$ durch die Vertauschung
der vier Indices $\gamma$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$ unter einander nicht geändert. Ausserdem
aber wird dieser Ausdruck auch dadurch in seinem Werthe nicht geändert,
wenn man $\alpha$ mit $\kappa$ vertauscht; dies zeigt die zweite Form,
denn wegen der Gleichung $L' = 0$ ist
\[
F'_{\alpha\nu}G'_{\kappa\nu}H'_{\kappa} =
F'_{\kappa\nu}G'_{\alpha\nu}H'_{\alpha}.
\]
Wir können also den Ausdruck $B$ bezeichnen durch die beiden Indices
$\beta$ und $\alpha\kappa$\@. Setzen wir
\[
B = M_{\beta,\alpha\kappa},
\]
so ist
\[
- C = M_{\gamma,\alpha\kappa};
\]
daher geht unsere Gleichung über in folgende:
\[
M_{\beta,\alpha\kappa}\left(\omega_{\gamma\alpha\kappa} - \frac{H_{\gamma}F'_{\alpha\kappa}}{G_{\alpha\kappa}}\right) =
M_{\gamma,\alpha\kappa}\left(\omega_{\beta\alpha\kappa}
 - \frac{H_{\beta}F'_{\alpha\kappa}}{G_{\alpha\kappa}}\right).
%** Changed according to "`Berichtigung"':
%** $\omega_{\beta\alpha} \rightarrow \omega_{\beta\alpha\kappa}$
\]
Hieraus folgt, dass der Quotient
\[
\frac{G_{\alpha\kappa}\omega_{\beta\alpha\kappa} - H_{\beta}F'_{\alpha\kappa}}{G_{\alpha\kappa}M_{\beta,\alpha\kappa}}
\]
einen vom Index $\beta$ unabhängigen Werth haben muss. Diese vorläufig
noch unbekannte Grösse bezeichnen wir durch $P_{\alpha\kappa}$\@. Dann erhalten wir:
\[
\tag{31}
\omega_{\beta\alpha\kappa}
- \frac{H_{\beta}F'_{\alpha\kappa}}{G_{\alpha\kappa}}
= P_{\alpha\kappa}M_{\beta,\alpha\kappa}.
\]
Hier bedeutet $M_{\beta,\alpha\kappa}$ eine lineare Function von $x$, $y$, $z$, die im Punkte
$\beta$ verschwindet, und die durch folgenden Ausdruck gegeben ist:
\[
\tag{32}
M_{\beta,\alpha\kappa} = g_{\beta}f_{\beta\alpha\kappa}\underset{\mu,\nu}{S}\left\{
(-1)^{\nu \mid \mu}g_{\nu}f_{\beta\gamma\nu}f_{\beta\lambda\nu}
F'_{\alpha\nu}G'_{\kappa\nu}H'_{\kappa}F_{\beta\mu}\right\}.
\]



\Section{§~13.}

Um nun die Grössen $P_{\alpha\kappa}$ zu bestimmen, vertauschen wir in der
Gleichung~(31) $\alpha$ mit $\beta$\@. $\omega_{\beta\alpha\kappa}$ bleibt dann ungeändert; es ist also
\[
\frac{H_{\beta}F'_{\alpha\kappa}}{G_{\alpha\kappa}} + P_{\alpha\kappa}M_{\beta,\alpha\kappa} =
\frac{H_{\alpha}F'_{\beta\kappa}}{G_{\beta\kappa}} + P_{\beta\kappa}M_{\alpha,\beta\kappa};
\]
oder:
\[
\frac{H_{\alpha}F'_{\beta\kappa}}{G_{\beta\kappa}}
- \frac{H_{\beta}F'_{\alpha\kappa}}{G_{\alpha\kappa}}
= P_{\alpha\kappa}M_{\beta,\alpha\kappa} - P_{\beta\kappa}M_{\alpha,\beta\kappa}.
\]
Zunächst formen wir die linke Seite dieser Gleichung um. Diese
ist gleich:
\[
\frac{H_{\alpha}H_{\kappa}G_{\alpha\kappa}F'_{\beta\kappa} -
H_{\beta}H_{\kappa}G_{\beta\kappa}F'_{\alpha\kappa}}
{H_{\kappa}G_{\alpha\kappa}G_{\beta\kappa}},
\]
oder, da
\[
H_{\alpha}H_{\kappa}G_{\alpha\kappa} = RF_{\alpha\kappa}, \quad
H_{\beta}H_{\kappa}G_{\beta\kappa} = RF_{\beta\kappa}
\]
%-----File: 081.png-----------------------------------------
ist, gleich:
\[
\frac{R(F_{\alpha\kappa}F'_{\beta\kappa} - F_{\beta\kappa}F'_{\alpha\kappa})}
{H_{\kappa}G_{\alpha\kappa}G_{\beta\kappa}}.
\]

Der Factor des Zählers
\[
F_{\alpha\kappa}F'_{\beta\kappa} - F_{\beta\kappa}F'_{\alpha\kappa}
\]
ist offenbar eine lineare Function von $x$, $y$, $z$, die in den beiden Punkten
$(x',\, y',\, z')$ und $(a_{\kappa},\,
b_{\kappa},\, c_{\kappa})$ verschwindet. Wenn wir also die Determinante
\[
\tag{33}
\begin{vmatrix}
 x          & y          & z           \\
 x'         & y'         & z'          \\
 a_{\kappa} & b_{\kappa} & c_{\kappa}
\end{vmatrix}
\]
mit $F_{\kappa}$ bezeichnen, so muss
\[
F_{\alpha\kappa}F'_{\beta\kappa} - F_{\beta\kappa}F'_{\alpha\kappa} = cF_{\kappa}
\]
sein, wo $c$ eine Constante bedeutet. Um diese zu bestimmen, setzen
wir $(x,\, y,\, z) = (a_{\beta},\, b_{\beta},$ %**
$c_{\beta})$; dann geht
\[
F_{\alpha\kappa} \text{ in }
(-1)^{\beta \mid \alpha\kappa} f_{\alpha\beta\kappa}, \quad
F_{\kappa} \text{ in }
(-1)^{\kappa \mid \beta} F'_{\beta\kappa}, \quad
F_{\beta\kappa} \text{ in } 0
\]
über; dadurch finden wir
\[
c = (-1)^{\alpha \mid \beta}f_{\alpha\beta\kappa}.
\]

Es ist also
\[
\tag{34}
F_{\alpha\kappa}F'_{\beta\kappa} -
F_{\beta\kappa}F'_{\alpha\kappa} =
(-1)^{\alpha \mid \beta}f_{\alpha\beta\kappa}F_{\kappa}.
\]

Durch diese Umformung erhalten wir folgende Gleichung:
\[
P_{\alpha\kappa}M_{\beta,\alpha\kappa} -
P_{\beta\kappa} M_{\alpha,\beta\kappa} =
\frac{(-1)^{\alpha \mid \beta}f_{\alpha\beta\kappa} F_{\kappa}R}
{H_{\kappa}G_{\alpha\kappa}G_{\beta\kappa}}.
\]
Wenn man in dieser $\alpha$ und $\beta$ mit einem dritten Index $\gamma$ vertauscht,
so muss man zu einem System dreier Gleichungen mit den Unbekannten
$P_{\alpha\kappa}$, $P_{\beta\kappa}$, $P_{\gamma\kappa}$ gelangen. Vorher wollen wir die Gleichung noch dadurch
reduciren, dass wir von dem Ausdruck
%** Corrected typo: "`Ausdrck"' $\rightarrow$ "`Ausdruck"'
$M_{\beta,\alpha\kappa}$ den constanten Factor
$g_{\beta}f_{\beta\alpha\kappa}$ absondern:
\[
\tag{35}
M_{\beta,\alpha\kappa} = g_{\beta}f_{\beta\alpha\kappa}
\overline{M}_{\beta,\alpha\kappa}.
%** Changed according to "`Berichtigung"': $g \rightarrow g_{\beta}$
\]
Ferner setzen wir zur Abkürzung:
\[
\frac{F_{\kappa}R}{H_{\kappa}G_{\alpha\kappa} G_{\beta\kappa}G_{\gamma\kappa}} = Q, \quad
(-1)^{\alpha\beta \mid \gamma+\alpha \mid \beta} = \epsilon.
\]
Da $\epsilon$ ein alternirendes Zeichen ist, so ist gleichzeitig:
\[
(-1)^{\alpha \mid \beta} = (-1)^{\alpha\beta \mid \gamma}\epsilon, \quad
(-1)^{\beta \mid \gamma} = (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}\epsilon, \quad
(-1)^{\gamma \mid \alpha} = (-1)^{\gamma\alpha \mid \beta}\epsilon.
\]
Demnach können wir folgende drei Gleichungen aufstellen:
\[
\tag{36}
\left\{
\begin{aligned}
&g_{\gamma}P_{\beta\kappa}\overline{M}_{\gamma,\beta\kappa} -
g_{\beta}P_{\gamma\kappa}\overline{M}_{\beta,\gamma\kappa} =
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}\epsilon G_{\alpha\kappa}Q,\\
&g_{\alpha}P_{\gamma\kappa}\overline{M}_{\alpha,\gamma\kappa} -
g_{\gamma}P_{\alpha\kappa}\overline{M}_{\gamma,\alpha\kappa} =
(-1)^{\gamma\alpha \mid \beta}\epsilon G_{\beta\kappa}Q,\\
&g_{\beta}P_{\alpha\kappa}\overline{M}_{\beta,\alpha\kappa} -
g_{\alpha}P_{\beta\kappa}\overline{M}_{\alpha,\beta\kappa} =
(-1)^{\alpha\beta \mid \gamma}\epsilon G_{\gamma\kappa}Q.
\end{aligned}
\right.
\]
%-----File: 082.png-----------------------------------------
 Wenn wir diese der Reihe nach mit
\[
g_{\alpha} f_{\alpha\lambda\mu} F_{\alpha\nu}, \quad
 g_{\beta}f_{\beta\lambda\mu}F_{\beta\nu}, \quad
g_{\gamma}f_{\gamma\lambda\mu}F_{\gamma\nu}
\]
multipliciren und dann addiren, so ergiebt sich, der Formel~(f) des
§~5 zufolge, auf der rechten Seite Null; auf der linken ein Ausdruck
von der Form:
\[
A P_{\alpha \kappa} +BP_{\beta \kappa} + CP_{\gamma \kappa}.
\]
Hier ist
\[
A=g_{\beta}g_{\gamma}(f_{\gamma \lambda \mu}F_{\gamma \nu}
\overline{M}_{\beta,\alpha \kappa}
- f_{\beta \lambda \mu}F_{\beta \nu}
\overline{M}_{\gamma,\alpha \kappa});
\]
die beiden andern Coefficienten entstehen aus diesem durch cyklische
Vertauschung der Indices $\alpha,\, \beta,\, \gamma$\@. Nun ist, wenn wir zur Abkürzung
wieder die beiden Grössen $r_1$ und $r_2$ des vorigen \S\ einführen:
\begin{align*}
\overline{M}_{\beta,\alpha \kappa}
&= f_{\beta \lambda \nu}F_{\beta \mu}r_{1}
+ f_{\beta \lambda \mu}F_{\beta \nu} r_{2},\\
\overline{M}_{\gamma,\alpha \kappa}
&= f_{\gamma \lambda \nu}F_{\gamma \mu}r_{1}
+ f_{\gamma \lambda \mu}F_{\gamma \nu} r_{2}.
\end{align*}
Daher erhalten wir:
\[
A= g_{\beta}g_{\gamma}r_{1}(f_{\lambda \gamma \mu}
f_{\lambda \beta \nu} F_{\beta \mu}F_{\gamma \nu} -
f_{\lambda \beta \mu} f_{\lambda \gamma \nu}F_{\gamma \mu}F_{\beta \nu}).
\]
Der in die Klammer eingeschlossene Ausdruck ist, nach Formel~(c), gleich \\
$(-1)^{\beta \mid \gamma+\mu\mid \nu} g_{\alpha}g_{\kappa}G_{\alpha \kappa}$;
ferner ist
\[
r_{1} = (-1)^{\nu \mid \mu}g_{\nu}f_{\beta \gamma \nu}F'_{\alpha \nu}
  G'_{\kappa \nu} H'_{\kappa};
\]
mithin ergiebt sich:
\[
A = -(-1)^{\beta \mid\gamma}
 g_{\alpha}  g_{\beta} g_{\gamma} g_{\kappa} g_{\nu}
G'_{\kappa\nu}H'_{\kappa}f_{\beta \gamma \nu}F'_{\alpha \nu}G_{\alpha \kappa}.
\]

Das Zeichen $(-1)^{\beta \mid\gamma}$ können wir wieder ersetzen durch
$ (-1)^{\beta \gamma \mid\alpha}\epsilon$,
und die Gleichung
\[
AP_{\alpha \kappa} + BP_{\beta \kappa} + CP_{\gamma \kappa} = 0
\]
dividiren durch den allen Coefficienten gemeinsamen Factor
\[
-\epsilon g_{\alpha}g_{\beta}g_{\gamma}g_{\kappa}g_{\nu}G'_{\kappa\nu}H'_{\kappa}.
\]
Dann erhalten wir:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{ (-1)^{\beta \gamma \mid\alpha}
 f_{\beta \gamma \nu}F'_{\alpha \nu}G_{\alpha \kappa}P_{\alpha \kappa}\right\} = 0.
\]
Setzen wir nun für den Augenblick
\[
 P_{\alpha \kappa}G_{\alpha \kappa} = X, \quad
 P_{\beta \kappa} G_{\beta \kappa}  = Y, \quad
 P_{\gamma \kappa}G_{\gamma \kappa} = Z,
\]
so besteht zwischen diesen Grössen eine Gleichung
\[
c_1 X+ c_2 Y + c_3 Z =0,
\]
deren Coefficienten nach Formel~(a) der Bedingung genügen:
\[
c_1 + c_2 + c_3 = 0.
\]
Es ist also
\[
c_1 (X-Z)+ c_2(Y-Z)=0.
\]
Wenn wir hier den Index $\nu$ mit $\mu$ vertauschen, so erhalten wir eine
zweite Relation:
%-----File: 083.png-----------------------------------------
\[
c_1'(X-Z) + c_2'(Y-Z) = 0,
\]
und da die Determinante der Coefficienten $c_1 c_2'-c_2 c_1'$ offenbar von
Null verschieden ist, so folgt:
\[
X = Y = Z.
\]

Es zeigt sich also, dass das Product $P_{\alpha \kappa}G_{\alpha \kappa}$ einen von den
Indices $\alpha,\, \kappa $ unabhängigen Werth hat. Wir können demnach setzen:
\[
\tag{37}
P_{\kappa\lambda} = \frac{P}{G_{\kappa\lambda}}.
\]
Die Bestimmung der $21$ Grössen  $P_{\kappa\lambda}$  ist dadurch zurückgeführt
auf die einer einzigen, von den Indices unabhängigen Grösse $P$\@. Diese wird
nun sehr leicht dadurch bestimmt, dass wir in irgend einer der  Gleichungen~(36),
z.~B.\ der letzten, $P_{\alpha \kappa}$ und $P_{\beta \kappa}$ durch
$\dfrac{P}{G_{\alpha \kappa}}$, $\dfrac{P}{G_{\beta \kappa}}$ ersetzen.
So ergiebt sich
\[
g_{\beta} \frac{P}{G_{\alpha \kappa}}\overline{M}_{\beta,\alpha \kappa}
 -g_{\alpha}\frac{P}{G_{\beta \kappa}}\overline{M}_{\alpha,\beta \kappa}
=(-1)^{\alpha \mid\beta}\frac{F_{\kappa}R}{G_{\alpha \kappa}G_{\beta \kappa}H_{\kappa}},
\]
oder:
\[
\tag{38}
(-1)^{\alpha \mid\beta}(g_{\beta} G_{\beta \kappa}
\overline{M}_{\beta, \alpha \kappa} - g_{\alpha} G_{\alpha, \kappa}
\overline{M}_{\alpha,\beta \kappa})
 = \frac{F_{\kappa}R}{P H_{\kappa}}.
\]

Die linke Seite dieses Ausdrucks können wir in der abgekürzten
Form schreiben:
\[
\underset{\alpha,\beta}{S}\left\{ (-1)^{\beta \mid\alpha}g_{\alpha}
G_{\alpha \kappa} \overline{M}_{\alpha,\beta \kappa}\right\},
\]
und da $\overline{M}_{\alpha,\beta \kappa} $ nach (32) und (35) gegeben ist durch den
Ausdruck:
\[
\overline{M}_{\alpha,\beta \kappa} = \underset{\mu,\nu}{S} \left\{
(-1)^{\nu \mid \mu}g_{\nu}f_{\alpha \gamma \nu}f_{\alpha \lambda \nu}
F'_{\beta \nu}G'_{\kappa\nu}H'_{\kappa}F_{\alpha \mu}\right\},
\]
so erhalten wir folgende Gleichung:
\[
\tag{39}
\underset{\alpha,\beta}{S}\ \underset{\mu,\nu}{S}
\left\{(-1)^{\beta  \mid\alpha +\nu \mid\mu}
g_{\alpha}g_{\nu}f_{\alpha \nu \gamma}f_{\alpha \nu \lambda}
F'_{\beta \nu}G'_{\kappa\nu}F_{\alpha \mu}G_{\kappa\alpha}\right\}=
\frac{F_{\kappa}R}{PH_{\kappa}H'_{\kappa}}.
\]
Hierdurch ist der Factor $P$ bestimmt.

Auf der linken Seite steht hier eine ganze Function von $x$, $y$, $z$
und $x',\, y',\, z'$, die, wie die Gleichung zeigt -- und wie auch leicht aus
ihrer Zusammensetzung zu erkennen ist -- von dem Index $\kappa$ allein
abhängt. Diese bezeichnen wir durch $\Omega_{\kappa}$\@. Es ist also die Function
$\Omega_{\kappa}$ definirt durch folgende Gleichungen:
\[
\tag{40}
\left\{ \begin{aligned}
& H'_{\kappa} \Omega_{\kappa} = (-1)^{\alpha \mid \beta}
  (g_{\beta}G_{\beta \kappa}\overline{M}_{\beta,\alpha \kappa}
  -g_{\alpha}G_{\alpha\kappa}\overline{M}_{\alpha,\beta \kappa}), \\
& \Omega_{\kappa} = \underset{\alpha,\beta}{S}\ \underset{\mu,\nu}{S}
  \left\{ (-1)^{\beta \mid\alpha +\nu \mid\mu} g_{\alpha} g_{\nu}
  f_{\alpha \nu \gamma} f_{\alpha \nu \lambda} F'_{\beta \nu}
  G'_{\kappa\nu} F_{\alpha \mu} G_{\kappa\alpha}\right\},
\end{aligned} \right.
\]
von denen die zweite mit der ersten gleichbedeutend ist. Ferner führen
wir nicht den Factor $P$ als neue Function ein, sondern den Quotienten
%-----File: 084.png-----------------------------------------
 $\dfrac{R}{P}$, welchen wir mit $J$ bezeichnen. Diese Function ist
dann, der Formel~(39) zufolge, definirt durch die Formel:
\[
\tag{41}
J=\frac{H_{\kappa}H'_{\kappa}\Omega_{\kappa}}{F_{\kappa}},
\]
und es beruhen darauf, dass der Werth dieses Quotienten
unabhängig von dem Index $\kappa$ ist, wesentliche
Eigenschaften der sieben kubischen Functionen
$\Omega_{1},\, \Omega_{2} \cdots \Omega_{7}$\@. -- Endlich ist der gesuchte Factor
$P_{\alpha \kappa}$ gegeben durch die Gleichung:
\[
\tag{42}
   P_{\alpha \kappa}= \frac{R}{JG_{\alpha \kappa}}.
\]

\Section{§~14.}

Setzen wir diesen für $P_{\alpha \kappa}$ gefundenen Ausdruck
in die Formel~(31) ein, so erhalten wir zunächst:
\[
\omega_{\alpha \beta \kappa}=\frac{JH_{\beta}F'_{\alpha
\kappa}+RM_{\beta,\alpha \kappa}}{JG_{\alpha \kappa}}.
\]
Hier multipliciren wir Zähler und Nenner mit $F_{\kappa}$, und
ersetzen $JF_{\kappa}$ durch
$H_{\kappa}H'_{\kappa}\Omega_{\kappa}$\@. Dann wird
\[
\omega_{\alpha \beta  \kappa}=
 \frac{H_{\beta} H_{\kappa} H'_{\kappa} \Omega_{\kappa} F'_{\alpha \kappa} +R F_{\kappa}
M_{\beta,\alpha \kappa}} {G_{\alpha \kappa}\Omega_{\kappa}H_{\kappa}H'_{\kappa}}.
\]
Ferner entwickeln wir den Zähler dieses Ausdrucks dadurch,
dass wir für $H'_{\kappa}\Omega_{\kappa} $ den in der ersten von den Gleichungen
(40) angegebenen Werth setzen, und
$g_{\beta}f_{\beta \alpha \kappa}\overline{M}_{\beta,\alpha \kappa}$
für $M_{\beta,\alpha \kappa}$ einführen. Dann erhalten wir für die  Zähler folgende
Darstellung:
\begin{align*}
(-1)^{\alpha \mid\beta} H_{\beta}H_{\kappa}&F'_{\alpha \kappa}(g_{\beta}G_{\beta \kappa}
\overline{M}_{\beta,\alpha \kappa}  -g_{\alpha}G_{\alpha \kappa}
\overline{M}_{\alpha,\beta  \kappa})\\
&+ g_{\beta}f_{\beta \alpha
\kappa}RF_{\kappa}\overline{M}_{\beta,\alpha \kappa},
\end{align*}
oder:
\begin{align*}
(R f_{\beta \alpha \kappa}&F_{\kappa}+(-1)^{\alpha \mid\beta}H_{\beta}H_{\kappa}G_{\beta \kappa}
F'_{\alpha \kappa}) g_{\beta}\overline{M}_{\beta,\alpha \kappa} \\
&-(-1)^{\alpha \mid\beta}H_{\beta}H_{\kappa}G_{\alpha \kappa}F'_{\alpha \kappa}
g_{\alpha}\overline{M}_{\alpha,\beta \kappa}.
\end{align*}
Nun ist nach Formel~(34):
\[
  f_{\beta \alpha \kappa} F_{\kappa}
  + (-1)^{\alpha \mid\beta} F_{\beta \kappa} F'_{\alpha \kappa}
  = (-1)^{\alpha \mid\beta} F_{\alpha \kappa} F'_{\beta \kappa}.
\]
Multipliciren wir diese mit $R$, und setzen
\[
  H_{\beta}H_{\kappa}G_{\beta \kappa} \text{ für } R F_{\beta \kappa}, \quad
  H_{\alpha}H_{\kappa}G_{\alpha \kappa} \text{ für } R F_{\alpha \kappa},
\]
so folgt:
\[
  Rf_{\alpha \beta \kappa} F_{\kappa}
  +(-1)^{\alpha \mid\beta} H_{\beta} H_{\kappa} G_{\beta \kappa} F'_{\alpha\kappa}
  =(-1)^{\alpha \mid\beta} H_{\alpha} H_{\kappa} G_{\alpha \kappa} F'_{\beta \kappa}.
\]
Dadurch geht der für den Zähler aufgestellte Ausdruck in folgenden über:
\[
  (-1)^{\alpha \mid\beta} H_{\kappa} G_{\alpha \kappa}
  (g_{\beta}H_{\alpha} F'_{\beta \kappa}\overline{M}_{\beta,\alpha \kappa}
  - g_{\alpha}H_{\beta} F'_{\alpha \kappa}\overline{M}_{\alpha,\beta \kappa}).
\]
%-----File: 085.png-----------------------------------------
Dieser Ausdruck ist durch $H_{\kappa}$, $G_{\alpha\kappa}$ und -- da die Grössen
$\overline{M}_{\beta,\alpha\kappa}$ und $\overline{M}_{\alpha,\beta\kappa}$
den Factor $H'_{\kappa}$ enthalten -- durch $H'_{\kappa}$ theilbar. Wir erhalten
also $\omega_{\alpha\beta\kappa}$ dargestellt in dieser Form:
\[
\tag{43}
\omega_{\alpha\beta\kappa} = \frac{\Omega_{\kappa,\alpha\beta}}{\Omega_{\kappa}},
\]
wo $\Omega_{\kappa,\alpha\beta}$ eine biquadratische Function ist,
die durch die beiden gleichbedeutenden
Formeln definirt ist:
\[
\tag{44}
\left\{
\begin{aligned}
&H'_{\kappa}\Omega_{\kappa,\alpha\beta} = (-1)^{\alpha\,\mid\beta}
(g_{\beta}H_{\alpha}F'_{\beta\kappa} \overline{M}_{\beta,\alpha\kappa} -
g_{\alpha}H_{\beta}F'_{\alpha\kappa} \overline{M}_{\alpha,\beta\kappa}),\\
&\Omega_{\kappa,\alpha\beta} = \underset{\alpha,\beta}{S} \underset{\mu,\nu}{S}
\left\{
(-1)^{\beta \mid \alpha+\nu \mid \mu}
g_{\alpha}g_{\nu}f_{\alpha\gamma\nu}f_{\alpha\lambda\nu}
F'_{\alpha\kappa}F'_{\beta\nu} G'_{\kappa\nu}H_{\beta}F_{\alpha\mu}
\right\},
\end{aligned}
\right.
\]
Die Definition des Nenners ist durch die entsprechenden Formeln~(40)
gegeben.

Wir müssen jetzt, nach diesen formalen Entwicklungen, auf die
Eigenschaften der zur Darstellung der Grössen
$\omega_{\kappa\lambda\mu} = \dfrac{\sigma_{\kappa}\sigma_{\lambda}\sigma_{\mu} \sigma_{\kappa\lambda\mu}}{\sigma_0}$
verwandten Functionen $\Omega$ genauer eingehen.

$\Omega_{\kappa}$ ist eine symmetrische Function der beiden Werthsysteme $(x,\, y,\, z)$
und $(x',\, y',\, z')$\@. Dies geht so hervor. Wenn man in dem viergliedrigen
Ausdruck~(40) die beiden Indices $\alpha$, $\beta$ mit $\mu$, $\nu$ vertauscht, so erhält
man genau dasselbe, wie dann, wenn man die beiden veränderlichen
Werthsysteme vertauscht. Nun ist aber $\Omega_{\kappa}$ von dem Index $\kappa$ allein
abhängig, behält also seinen Werth, wenn die übrigen Indices beliebig
untereinander vertauscht werden. Daraus geht hervor, dass $\Omega_{\kappa}$ auch
dann seinen Werth nicht ändert, wenn $(x,\, y,\, z)$ mit $(x',\, y',\, z')$ vertauscht
wird.

Nun ist $\omega_{\alpha\beta\kappa}$ selbst eine symmetrische Function
der beiden Systeme von Variabeln.
Denn da man in der Gleichung~(30) die Indices $\lambda$,
$\mu$, $\nu$ vertauschen kann, so hat man ein System von drei Gleichungen,
mit Hülfe dessen man $\omega_{\alpha\beta\kappa}$ rational durch die
Grössen $L$, welche symmetrische Functionen sind, darstellen kann\footnote[1]
   {Durch diese Elimination kommt man genau zu derselben
   Darstellungsform der Grössen $\omega$\@.
   Aber für die weiterhin wichtige Formel~(41) wüsste ich auf diesem
   Wege keinen Beweis anzugeben.}.
Folglich muss auch
$\Omega_{\kappa,\alpha\beta}$ eine symmetrische Function sein. -- Die Grösse $J$ dagegen muss
alternirend sein, da $F_{\kappa}$ eine alternirende Function ist.

Betrachten wir nun diese Functionen als abhängig von $(x,\, y,\, z)$
allein, so ist offenbar $\Omega_{\kappa}$ dargestellt durch eine
homogene kubische Form, die an allen Stellen $1,\, 2 \cdots 7$,
mit Ausnahme der Stelle $\kappa$ verschwindet,
$\Omega_{\kappa,\alpha\beta}$ dagegen durch eine biquadratische Form,
die an allen sieben Stellen ohne Ausnahme verschwindet,
und zwar an den Stellen $\alpha$, $\beta$ von der zweiten,
an den übrigen von der ersten Ordnung.
%-----File: 086.png-----------------------------------------

Die Curve $L = 0$ wird nun von der Curve $\Omega_{\kappa} = 0$, ausser in den
sechs von $\kappa$ verschiedenen Doppelpunkten, noch in
$18 - 2 \cdot 6 = 6$
andern Punkten geschnitten. Aus der Gleichung~(41) folgt:
\[
\frac{H_{\kappa}H'_{\kappa}\Omega_{\kappa}}
{F_{\kappa}} =
\frac{H_{\lambda}H'_{\lambda}\Omega_{\lambda}}{F_{\lambda}},
\]
oder:
\[
H_{\kappa}H'_{\kappa}\Omega_{\kappa}F_{\lambda} =
H_{\lambda}  H'_{\lambda}  \Omega_{\lambda}  F_{\kappa}.
\]
$F_{\kappa} = 0$ ist die Gleichung einer Graden, welche durch den Doppelpunkt $\kappa$
und den willkürlichen Punkt $x'$, $y'$, $z'$ gelegt ist.
Diese schneidet die Curve sechster Ordnung noch in drei andern Punkten, die wir mit
$\kappa_1$, $\kappa_2$, $\kappa_3$ bezeichnen wollen. Ist nun $F_{\kappa} = 0$, so muss auch die linke
Seite dieser Gleichung verschwinden, und da offenbar weder die Linie
$H_{\kappa} = 0$, noch $F_{\lambda} = 0$ durch die drei Punkte $\kappa_1$, $\kappa_2$, $\kappa_3$ hindurchgeht,
so muss in denselben $\Omega_{\kappa} = 0$ werden.

Es muss aber $\Omega_{\kappa}$ noch in drei andern Punkten verschwinden. Der
aufgestellten Gleichung zufolge muss alsdann mit $\Omega_{\kappa}$ zugleich einer der
Factoren der rechten Seite $H_{\lambda}$, $\Omega_{\lambda}$, $F_{\kappa}$ verschwinden. Nun verschwindet
die Function $H_{\lambda}$ nur in den Doppelpunkten, $F_{\kappa}$ nur im Doppelpunkte $\kappa$,
dem Punkte $x'$, $y'$, $z'$
(in welchem $\Omega_{\kappa}$ offenbar einen von Null verschiedenen Werth hat)
und den schon erwähnten drei Punkten $\kappa_1$, $\kappa_2$, $\kappa_3$\@.
Folglich muss in den neuen drei Punkten $\Omega_{\lambda}$ verschwinden. Hieraus
geht hervor, dass diese drei Punkte, die wir durch $(\mathrm{I})$, $(\mathrm{II})$,
$(\mathrm{III})$ bezeichnen
wollen, allen sieben Curven $\Omega_{\kappa} = 0$ gemeinschaftlich sind.
Die wesentlichen Eigenschaften der Functionen $\Omega_{\kappa}$ sind also in folgendem
geometrischen Satze ausgesprochen:

Nimmt man auf der Curve sechster Ordnung $L = 0$ einen Punkt
willkürlich an, und legt durch diesen und einen Doppelpunkt $\kappa$ eine
grade Linie $F_{\kappa} = 0$, so schneidet diese die Curve $L = 0$ in drei
ferneren Punkten $\kappa_1$, $\kappa_2$, $\kappa_3$\@. Legt man nun durch diese drei Punkte
und die von $\kappa$ verschiedenen Doppelpunkte eine Curve dritter Ordnung
$\Omega_{\kappa} = 0$, so trifft diese die Curve $L = 0$ wiederum in drei ferneren
Punkten. Diese sind unabhängig davon, welchen der sieben Doppelpunkte
$\kappa$ man gewählt hat, also allen sieben Curven $\Omega_{\kappa} = 0$, die
man construiren kann, nachdem der willkürliche Punkt fixirt ist, gemeinsam.

Die Nullpunkte der Function $\Omega_{\kappa}$ sind also folgende: Erstens die
sechs von $\kappa$ verschiedenen Doppelpunkte; zweitens die Punkte $\kappa_1$, $\kappa_2$, $\kappa_3$,
in denen $F_{\kappa}$ verschwindet; drittens die von dem Index $\kappa$ unabhängigen
Punkte $(\mathrm{I})$, $(\mathrm{II})$, $(\mathrm{III})$. Es lässt sich nun zeigen, dass in den drei
Punkten $\kappa_1$, $\kappa_2$, $\kappa_3$ nicht nur der Nenner, sondern auch der Zähler
des für $\omega_{\kappa\alpha\beta}$ aufgestellten Ausdrucks verschwindet. In diesen Punkten
ist nämlich
\[
\Omega_{\kappa} = 0, \quad F_{\kappa} = 0.
\]
%-----File: 087.png-----------------------------------------
Die letztere Bedingung lässt sich, der Formel~(34) zufolge, so schreiben:
\[
F_{\alpha\kappa}F'_{\beta\kappa} - F_{\beta\kappa}F'_{\alpha\kappa} = 0,
\]
oder:
\[
F'_{\alpha\kappa} = pF_{\alpha\kappa}, \quad F'_{\beta\kappa} = pF_{\beta\kappa}.
\]
Setzt man dies in die erste der Gleichungen~(44) ein, so erhält man:
\[
H'_{\kappa}\Omega_{\kappa,\alpha\beta} = (-1)^{\alpha \mid \beta}
p(g_{\beta}H_{\alpha}F_{\beta\kappa} \overline{M}_{\beta,\alpha\kappa} -
g_{\alpha}H_{\beta}F_{\alpha\kappa} \overline{M}_{\alpha,\beta\kappa}),
\]
oder, wenn man diese Gleichung mit $R$ multiplicirt und $RF_{\beta\kappa}$ durch
$H_{\beta}H_{\kappa}G_{\beta\kappa}$, $RF_{\alpha\kappa}$ durch $H_{\alpha}H_{\kappa}G_{\alpha\kappa}$ ersetzt:
\[
RH'_{\kappa}\Omega_{\kappa,\alpha\beta} = (-1)^{\alpha \mid \beta}
pH_{\alpha}H_{\beta}H_{\kappa}(g_{\beta}G_{\beta\kappa} \overline{M}_{\beta,\alpha\kappa} -
g_{\alpha}G_{\alpha\kappa}\overline{M}_{\alpha,\beta\kappa}).
\]
Dies ist aber zufolge (40) gleich
\[
pH_{\alpha}H_{\beta}H_{\kappa}H'_{\kappa}\Omega_{\kappa}.
%** Changed according to "`Berichtigung"':
%**            $pH_{\alpha}H_{\beta}H_{\kappa}           \Omega_{\kappa}
%** \rightarrow pH_{\alpha}H_{\beta}H_{\kappa}H'_{\kappa}\Omega_{\kappa}$
\]
Da nun $\Omega_{\kappa} = 0$ ist, so muss auch $\Omega_{\kappa,\alpha\beta} = 0$ sein. Die Function
vierter Ordnung $\Omega_{\kappa,\alpha\beta}$ hat im Ganzen
$4 \cdot 6 = 24$
%** Changed dot: $\ldot \rightarrow \cdot$
Nullpunkte, und zwar
verschwindet sie an fünf Doppelpunkten von der ersten, an den beiden
übrigen von der zweiten Ordnung. Danach bleiben noch sechs Nullpunkte
übrig; von diesen sind drei bekannt, nämlich
$\kappa_1$, $\kappa_2$, $\kappa_3$; ausserdem
müssen noch drei existiren.

Bilden wir jetzt den Quotienten der beiden Grössen
\begin{align*}
\omega_{\alpha\beta\kappa} &= \frac{\sigma_{\alpha}\sigma_{\beta}\sigma_{\kappa}
\sigma_{\alpha\beta\kappa}}{\sigma_0},\\
\phi_{\alpha\beta} &= \sigma_{\alpha}\sigma_{\beta}\sigma_{\alpha\beta},
\end{align*}
so erhalten wir:
\[
\frac{\sigma_{\kappa}\sigma_{\alpha\beta\kappa}}
{\sigma_{\alpha\beta}\sigma_0} =
\frac{\Omega_{\kappa,\alpha\beta}}{\Omega_{\kappa} F_{\alpha\beta}F'_{\alpha\beta}}.
\]

Dies ist der Quotient zweier homogenen Functionen vierter Ordnung
von $x$, $y$, $z$, also eine rationale Function der Verhältnisse dieser Grössen.
Der Nenner verschwindet hier in den Punkten
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, und
zwar in den Punkten $\alpha$, $\beta$ von der zweiten Ordnung; ferner in dem
Punktepaare $(\alpha\beta)$ und den sechs Punkten
$\kappa_1$, $\kappa_2$, $\kappa_3$; $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$, $\mathrm{III}$\@.
Der Zähler dagegen verschwindet in den Doppelpunkten
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\lambda$, $\mu$, $\nu$, $\kappa$,
und zwar ebenfalls in den Punkten $\alpha$, $\beta$ von der zweiten Ordnung;
ausserdem in den drei Punkten
$\kappa_1$, $\kappa_2$, $\kappa_3$ und in drei ferneren Punkten.
Der Quotient wird daher nur in fünf Punkten unendlich, und zwar
nur von der ersten Ordnung; nämlich in den Punkten $\mathrm{I}$,
$\mathrm{II}$, $\mathrm{III}$ und dem Punktepaare $\alpha\beta$;
und er verschwindet in dem Doppelpunkte $\kappa$ und drei andern Punkten.

Nun hat der Quotient $\dfrac{\sigma_{\kappa}}{\sigma_{\alpha\beta}}$ für sich die Eigenschaft,
dass er nur unendlich
wird in dem Punktepaare $(\alpha\beta)$ und nur verschwindet in dem
Doppelpunkte $\kappa$; wenn wir also die Formel durch diesen Quotienten
dividiren, so erkennen wir, dass der Quotient $\dfrac{\sigma_{\kappa\alpha\beta}}{\sigma_0}$
folgende Eigenschaften hat:
%-----File: 088.png-----------------------------------------

Erstens. Er ist eine irrationale Function der Verhältnisse von
$x$, $y$, $z$, die sich aber an jeder Stelle verhält wie eine rationale, und
nur an drei Stellen, nämlich den Punkten $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$,
$\mathrm{III}$, von der ersten
Ordnung unendlich wird, und an eben so vielen verschwindet.

Zweitens. Das Product dieses Quotienten mit
\[
\frac{\sigma_{\kappa}}                {\sigma_{\alpha\beta}} =
\frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}}}   {\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\beta}}}} \
\frac{\sqrt{\smash[b]{H'_{\kappa}}}}  {\sqrt{\smash[b]{H'_{\alpha\beta}}}}
\]
ist eine rationale Function.

Durch diese beiden Bedingungen ist der Quotient
$\dfrac{\sigma_{\kappa\alpha\beta}}{\sigma_0}$ bis auf
einen von $(x,\, y,\, z)$ unabhängigen Factor, oder, wenn wir hinzunehmen,
dass der Ausdruck in Bezug auf beide Werthsysteme symmetrisch gebildet
sein muss, bis auf einen constanten Factor bestimmt. Wir
wollen, um die Art der Irrationalität der $\sigma$-Quotienten kurz
bezeichnen zu können, einen besonderen Begriff einführen.
Es sei $m$ irgend ein von $0$ verschiedener Index,
und $m = ab$ irgend eine der sechs Zerlegungen
desselben in zwei ungrade Indices. Wir nennen dann den
Quotienten $\dfrac{\sqrt{\smash[b]{H_a}}}{\sqrt{\smash[b]{H_b}}}$
einen zum Index $m$ gehörigen irrationalen Factor, und
bezeichnen einen solchen allgemein durch $\eta_m$\@.
Ferner sagen wir: eine Function der Verhältnisse von
$x$, $y$, $z$ sei mit dem irrationalen Factor
$\eta_m$ behaftet, wenn sie sich darstellen lässt als das Product von
$\eta_m$ in eine rationale Function.
Bei dieser Fassung des Begriffs der behafteten
Functionen ist es offenbar gleichgültig, welchen von den verschiedenen
Quotienten $\dfrac{\sqrt{\smash[b]{H_a}}}{\sqrt{\smash[b]{H_b}}}$,
bei denen $ab = m$ ist, man für $\eta_m$ nimmt, da nach
§~9 das Product und der Quotient zweier verschiedener dieser Grössen
eine rationale Function ist. Ferner gilt für diese Functionen offenbar
der Satz:

Das Product zweier Functionen, von denen die eine mit dem
Factor $\eta_m$, die andere mit dem Factor $\eta_{n}$ behaftet ist,
ist eine mit dem Factor $\eta_{mn}$ behaftete Function.
Hierbei ist unter dem Factor $\eta_0$ $1$ zu verstehen,
also unter einer mit dem Factor $\eta_0$ behafteten eine
rationale Function.

Wir können jetzt sagen: Der Quotient
$\dfrac{\sigma_{\kappa\lambda\mu}}{\sigma_0}$ ist eine mit dem
Factor $\eta_{\kappa\lambda\mu}$ behaftete Function von $x$, $y$, $z$,
die nur an den Stellen $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$, $\mathrm{III}$,
und zwar von der ersten Ordnung verschwindet. Diese drei
Stellen sind definirt als die gemeinsamen Nullpunkte der sieben
Functionen $\Omega_{\kappa}$\@.
%-----File: 089.png-----------------------------------------

\Section{§~15.}

Es bleibt jetzt noch der Quotient einer graden und einer ungraden $\sigma$-Function
zu bestimmen, und zwar genügt es nach dem Vorhergegangenen,
einen einzigen dieser Quotienten, z.~B.\ $\dfrac{\sigma_1}{\sigma_0}$, zu kennen.
Wir wissen, dass eine lineare Gleichung besteht zwischen den Producten:
\[
\sigma_{\alpha\lambda}\sigma_{\alpha\mu}, \quad
\sigma_{\beta\lambda}\sigma_{\beta\mu}, \quad
\sigma_{\gamma\lambda}\sigma_{\gamma\mu}, \quad
\sigma_{\kappa\lambda}\sigma_{\kappa\mu}.
\]
Vermehrt man in dieser Gleichung die Argumente um dasjenige halbe
Periodensystem, welches zu dem Index $\kappa$ gehört, so erhält man eine
lineare Gleichung zwischen
\[
\sigma_{\alpha\kappa\lambda}\sigma_{\alpha\kappa\mu}, \quad
\sigma_{\beta\kappa\lambda}\sigma_{\beta\kappa\mu}, \quad
\sigma_{\gamma\kappa\lambda}\sigma_{\gamma\kappa\mu}\text{ und }
\sigma_{\lambda}\sigma_{\mu}.
\]
Dividirt man diese durch $\sigma_0^2$, so ist $\dfrac{\sigma_{\alpha\kappa\lambda}}{\sigma_0}$
eine mit dem Factor $\eta_{\alpha\kappa\lambda}$,
$\dfrac{\sigma_{\alpha\kappa\mu}}{\sigma_0}$ eine mit dem Factor $\eta_{\alpha\kappa\mu}$
behaftete Function; beide werden nur unendlich an den Stellen $\mathrm{I}$,
$\mathrm{II}$, $\mathrm{III}$, und zwar von der ersten Ordnung.
Das Product beider ist also eine mit dem Factor $\eta_{\lambda\mu}$ behaftete Function,
welche nur an diesen drei Stellen, und zwar von der zweiten Ordnung
unendlich wird. Dasselbe gilt von den beiden folgenden Gliedern.
Nun wird durch die aufgestellte Gleichung $\dfrac{\sigma_{\lambda}\sigma_{\mu}}{\sigma_0^2}$ dargestellt durch ein
lineares Aggregat dieser drei Grössen; also erhalten wir $\dfrac{\sigma_{\lambda}\sigma_{\mu}}{\sigma_0^2}$ dargestellt
durch eine mit dem Factor $\eta_{\lambda\mu}$ behaftete Function $Q_{\lambda\mu}$, die nur an
den Stellen $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$, $\mathrm{III}$, und zwar von der zweiten Ordnung unendlich wird.

Da die Function $Q_{\lambda\mu}$ mit dem Factor $\eta_{\lambda\mu}$ behaftet ist, so muss
das Product
\[
\frac{\sigma_{\lambda}}{\sigma_{\mu}}Q_{\lambda\mu} =
\frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}}{\sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}} \
\frac{\sqrt{\smash[b]{H'_{\lambda}}}}{\sqrt{\smash[b]{H'_{\mu}}}} Q_{\lambda\mu}
\]
eine rationale Function sein. Diese könnte, ausser an
den Stellen $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$, $\mathrm{III}$,
nur im Doppelpunkte $\mu$ unendlich werden. Da aber
$Q_{\lambda\mu} = \dfrac{\sigma_{\lambda}\sigma_{\mu}}{\sigma_0^2}$,
$\dfrac{\sigma_{\lambda}}{\sigma_{\mu}}Q_{\lambda\mu}$
also gleich $\dfrac{\sigma_{\lambda}^2}{\sigma_0^2}$ und mithin von dem Index $\mu$ unabhängig ist,
so kann dieser Ausdruck im Punkte $\mu$ nicht unendlich werden. Daraus
folgt, dass in diesem Doppelpunkte die Function $Q_{\lambda\mu}$ verschwinden muss.
Ebenso folgt, dass im Doppelpunkte $\lambda$ der Werth von $Q_{\lambda\mu}$ gleich Null
ist. -- Da nun die Function  $\dfrac{\sigma_{\lambda}\sigma_{\mu}}{\sigma_0^2} = Q_{\lambda\mu}$
eine mit dem Factor $\eta_{\lambda\mu}$ behaftete Function ist,
welche in den Doppelpunkten $\lambda$, $\mu$ verschwindet
und nur an den Stellen $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$, $\mathrm{III}$
unendlich wird, so muss das Product
$\dfrac{\sigma_{\lambda}}{\sigma_{\mu}}Q_{\lambda\mu} = \dfrac{\sigma_{\lambda}^2}{\sigma_0^2}$
eine rationale Function sein, die an den Stellen
$\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$, $\mathrm{III}$
%-----File: 090.png-----------------------------------------
von der zweiten Ordnung unendlich wird, und im Doppelpunkte $\lambda$
von der zweiten Ordnung verschwindet. Hierdurch ist dieser Quotient
bis auf einen von $x$, $y$, $z$ unabhängigen Factor bestimmt; denn wenn
zwei Ausdrücke existirten, welche diese Eigenschaften besitzen, so
wäre ihr Quotient eine rationale Function von nicht höherem als dem
zweiten Grade, und man weiss, dass eine solche Function nicht existiren kann.

Es ist nun leicht, eine Function zu bilden, welche diese
Eigenschaften wirklich besitzt. Bilden wir nämlich zunächst den Quotienten
\[
 \frac{F_{\lambda} G_{\alpha\lambda}}{\Omega_{\lambda}},
\]
welcher im Zähler und Nenner von der dritten Dimension ist, so
werden Zähler und Nenner gleichzeitig Null an den fünf von $\alpha$ und $\lambda$
verschiedenen Doppelpunkten, und an den Punkten $\lambda_1$, $\lambda_2$, $\lambda_3$, in
welchen $F_{\lambda}$ und $\Omega_{\lambda}$ verschwinden. Der Quotient ist daher eine rationale
Function fünften Grades, welche unendlich wird an den Stellen
$\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$, $\mathrm{III}$ und dem Doppelpunkte $\alpha$,
und welche verschwindet im Punkte $x'$, $y'$, $z'$ und im Doppelpunkte $\lambda$
(wo $F_{\lambda} = 0$ ist), und ausserdem
in dem Punktepaare $\alpha\lambda$ (wo $G_{\alpha\lambda} = 0$ ist). Multipliciren wir diese
Function jetzt mit dem irrationalen Factor $\eta_{\lambda}= \dfrac{\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}}} {\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\lambda}}}}$, so fallen von
den Nullpunkten des Nenners der Doppelpunkt $\alpha$, von denen des Zählers
das Punktepaar $\alpha\lambda$ fort, und wir erhalten eine mit dem
Factor $\eta_{\lambda}$ behaftete Function
\[
 \frac{F_{\lambda} G_{\alpha\lambda} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}}}
      {\Omega_{\lambda} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\lambda}}}},
\]
welche nur in den Punkten $\mathrm{I}$, $\mathrm{II}$, $\mathrm{III}$,
und zwar von der ersten Ordnung,
unendlich wird, und welche verschwindet in dem Doppelpunkte $\lambda$ und
dem Punkte $x'$, $y'$, $z'$\@. Das Quadrat dieser Function muss nun bis auf einen
von $x$, $y$, $z$ unabhängigen Factor mit $\dfrac{\sigma_{\lambda}^2}{\sigma_0^2}$,
sie selbst also mit $\dfrac{\sigma_{\lambda}}{\sigma_0}$
übereinstimmen. Wir erhalten demnach
\[
 \frac{\sigma_{\lambda}}{\sigma_0}
= c \, \frac{F_{\lambda} G_{\alpha\lambda} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}}}
         {\Omega_{\lambda} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\lambda}}}},
\]
wo $c$ einen von $xyz$ unabhängigen Factor bedeutet. Offenbar muss
der Ausdruck von $\dfrac{\sigma_\lambda}{\sigma_0}$ in Bezug auf $(x',\, y',\, z')$
in derselben Weise gebildet sein; wir können deshalb setzen:
\[
 \frac{\sigma_{\lambda}}{\sigma_0} =
 \frac{1}{k} \
 \frac{F_{\lambda}} {\Omega_{\lambda}} \
 \frac{G_{\alpha\lambda} G_{\alpha\lambda}' \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}}
   \sqrt{\smash[b]{H'_{\alpha}}}}
   {\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\lambda}}}
   \sqrt{\smash[b]{H'_{\alpha\lambda}}}},
\]
%-----File: 091.png-----------------------------------------
wo jetzt $k$ eine von $x$, $y$, $z$ und $x'$, $y'$, $z'$ unabhängige Constante bedeutet. Nun ist
\[
G_{\alpha\lambda}G'_{\alpha\lambda} = \chi_{\alpha\lambda}, \quad
\frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}} \sqrt{\smash[b]{H'_{\alpha}}}}
{\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H'_{\alpha\lambda}}}} =
\frac{\sigma_{\alpha}}     {\sigma_{\alpha\lambda}};
\]
mithin:
\[
\frac{\sigma_{\lambda}} {\sigma_0} =
\frac{1}{k}\
\frac{F_{\lambda}}     {\Omega_{\lambda}}\
\frac{\chi_{\alpha\lambda}\sigma_{\alpha}}     {\sigma_{\alpha\lambda}}.
\]
Ferner ist
\[
\chi_{\alpha\lambda} =
\frac{\widetilde{\omega}\sigma_{\alpha\lambda}}
{\sigma_{\alpha}\sigma_{\lambda}},
\quad \text{ daher }
\frac{\chi_{\alpha\lambda}\sigma_{\alpha}}
{\sigma_{\alpha\lambda}} =
\frac{\widetilde{\omega}}
{\sigma_{\lambda}};
\]
daher:
\[
\frac{\sigma_{\lambda}}{\sigma_0} =
\frac{1}{k}\ \frac{F_{\lambda}}{\Omega_{\lambda}}\
\frac{\widetilde{\omega}}{\sigma_{\lambda}},
\]
oder:
\[
\sigma_0 = \frac{k\sigma^2_{\lambda}}{\widetilde{\omega}}\
\frac{\Omega_{\lambda}}{F_{\lambda}}.
\]
Es ist aber:
\[
\widetilde{\omega}\sigma^2_{\lambda} = H_{\lambda}H'_{\lambda}, \quad
H_{\lambda}H'_{\lambda}\Omega_{\lambda} = JF_{\lambda};
\]
folglich:
\[
\tag{45}
\sigma_0 = \frac{kJ}{\widetilde{\omega}^2}.
\]

Aus dieser Formel geht hervor, dass die Constante $k$ auch von
den Indices unabhängig ist.

Wir wollen der Gleichung, welche $\dfrac{\sigma_{\lambda}}{\sigma_0}$ bestimmt, noch eine andere
Form geben. Aus (25) geht nämlich hervor, dass
\[
\frac{G_{\alpha\lambda}\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}}} {\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\lambda}}}} =
\frac{\sqrt{R}}{\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}}, \quad
\frac{G'_{\alpha\lambda}\sqrt{\smash[b]{H'_{\alpha}}}}
{\sqrt{\smash[b]{H'_{\alpha\lambda}}}} =
\frac{\sqrt{R'}}{\sqrt{\smash[b]{H'_{\lambda}}}}
\]
ist. Mithin erhalten wir:
\[
\tag{46}
\frac{\sigma_{\lambda}}{\sigma_0} =
\frac{1}{k}\
\frac{F_{\lambda}}{\Omega_{\lambda}}\
\frac{\sqrt{R}\sqrt{R'}} {\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}\sqrt{\smash[b]{H'_{\lambda}}}}.
\]

\Section{§~16.}

Wir haben im Vorhergehenden gesehen, dass die blosse Kenntniss
von der Existenz einer bestimmten Art von $\sigma$-Gleichungen genügt, um
den Quotienten einer graden und einer ungraden $\sigma$-Function bis auf
einen constanten Factor $k$ zu bestimmen. Soll aber der Werth dieses
Factors angegeben werden, so muss diese, oder eine äquivalente Gleichung,
wirklich aufgestellt, und mit ihr die nothwendigen Reductionen
vorgenommen werden. Es ist von vornherein einzusehen, dass auf
diese Weise nicht $k$ selbst, sondern nur das Quadrat dieser Grösse bestimmt
werden kann, so dass das Vorzeichen von $k$ unbestimmt bleibt.
%-----File: 092.png-----------------------------------------
Diese Unbestimmtheit liegt in der Natur der Sache; denn da $F_{\lambda}$ eine
alternirende, $\Omega_{\lambda}$ dagegen eine symmetrische Function der beiden Werthsysteme
$(x,\, y,\, z)$ und $(x',\, y',\, z')$ ist, so zeigt die Formel~(46), dass auch
$\dfrac{\sigma_{\lambda}}{\sigma_0}$
eine alternirende Function dieser beiden Werthsysteme (und der zu
ihnen gehörigen Wurzelgrössen) ist. Deshalb wird, je nachdem wir
das eine oder das andere Werthsystem bevorzugen, auch das Vorzeichen
von $k$ den einen oder den anderen Werth erhalten. Wir wollen die
zur Bestimmung von $k^2$ nothwendige Rechnung nur in ihren Grundzügen
angeben, da diese Untersuchung für das weiterhin Folgende
ohne Einfluss ist.

Wir erhalten aus der Fundamental-Gleichung~(1), dadurch, dass
wir $k = \kappa\delta$, $l = \lambda\mu\delta$, $m = \mu\delta$ setzen, folgende Theta-Relation:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
c_{\beta\gamma\mu} c_{\alpha\delta\mu} \, \Theta _{\beta\gamma\kappa} \, \Theta _{\alpha\delta\kappa}\right\} =
(-1)^{\mu \mid \kappa}c_0 c_{\kappa\lambda\mu} \, \Theta _{\kappa\mu}\, \Theta _{\lambda}.
\]

Daraus folgt, wenn wir die Grössen $\sigma$ einführen und die Coefficienten
umformen:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
f_{\beta\gamma\lambda} f_{\alpha\delta\lambda} \sigma_{\beta\gamma\kappa} \sigma_{\alpha\delta\kappa}\right\} =
(-1)^{\mu \mid \kappa} k_0^2 g_{\kappa} g_{\mu} \sigma_{\lambda} \sigma_{\kappa\mu},
\]
wo der Kürze wegen:
\[
\tag{A}
  k_0 \text{ für } \frac{lr^2}{c_0} \frac{g}{f}
\]
gesetzt ist. Hieraus folgt:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
f_{\beta\gamma\lambda}f_{\alpha\delta\lambda} \omega_{\beta\gamma\kappa}
\omega_{\alpha\delta\kappa}\right\} =
(-1)^{\mu \mid \kappa}k_0^2 g_{\kappa} g_{\mu} \frac{\sigma_{\kappa}^2}{\sigma_0^2} \chi_{\kappa\mu}.
%** Added missing $\delta$ in exponent:
%**            $(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
%** \rightarrow (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}$
\]
Wenn wir diese Formel mit $\Omega_{\kappa}^2$ multipliciren, so erhalten wir:
\begin{gather*}
\tag{B}
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
  (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
  f_{\beta\gamma\lambda} f_{\alpha\delta\lambda}
  \Omega_{\kappa,\beta\gamma}
  \Omega_{\kappa,\alpha\delta} \right\}  \\
= (-1)^{\mu \mid \kappa} \frac{k_0^2}{k^2} g_{\kappa} g_{\mu}
  \frac{RR' F_{\kappa}^2}{H_{\kappa} {H'_{\kappa}}} \chi_{\kappa\mu}.
\end{gather*}
Wir haben nun in dem Ausdruck auf der linken Seite, den wir mit
$Q$ bezeichnen wollen, für die Grössen $\Omega$ ihre Werthe nach Formel~(44):
\begin{align*}
&{H_{\kappa}}' \Omega_{\kappa,\beta\gamma} = (-1)^{\gamma \mid \beta}
(g_{\beta}H_{\gamma}F'_{\beta\kappa} \overline{M}_{\beta,\gamma\kappa}) -
g_{\gamma}H_{\beta}F'_{\gamma\kappa} \overline{M}_{\gamma,\beta\kappa},\\
&{H_{\kappa}}' \Omega_{\kappa,\alpha\delta} = (-1)^{\delta \mid \alpha}
(g_{\alpha}H_{\delta} F'_{\alpha\kappa} \overline{M}_{\alpha,\delta\kappa}) -
g_{\delta}H_{\alpha}F'_{\delta\kappa} \overline{M}_{\delta,\alpha\kappa}
\end{align*}
einzusetzen. Da die Grössen $\overline{M}$ lineare Functionen von $x$, $y$, $z$ sind,
so nimmt hierdurch die Summe folgende Form an:
\begin{gather*}
Q = Q_{\alpha\beta}H_{\alpha}H_{\beta} +
Q_{\alpha\gamma}H_{\alpha}H_{\gamma} +
Q_{\alpha\delta}H_{\alpha}H_{\delta} +
Q_{\beta\gamma}H_{\beta}H_{\gamma} \\
+ Q_{\beta\delta}H_{\beta}H_{\delta} +
Q_{\gamma\delta}H_{\gamma}H_{\delta},
\end{gather*}
oder kürzer:
\[
\tag{C}
Q = \underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}\left\{
Q_{\alpha\beta}H_{\alpha}H_{\beta}\right\},
\]
%-----File: 093.png-----------------------------------------
wo die Coefficienten $Q_{\alpha\beta}$ quadratische Functionen von $x$, $y$, $z$ sind, die
zunächst durch folgende Gleichung definirt werden:
\begin{align*}
({H_{\kappa}}')^2 Q_{\alpha\beta} &=
 (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta+\gamma \mid \beta+\delta \mid \alpha}
 g_{\gamma} g_{\delta} f_{\beta\gamma\lambda} f_{\alpha\delta\lambda}
 F_{\gamma\kappa}' F_{\delta\kappa}'
 \overline{M}_{\gamma, \beta\kappa} \overline{M}_{\delta, \alpha\kappa}   \\
&+
 (-1)^{\alpha\gamma \mid \beta\delta+\gamma \mid \alpha+\delta \mid \beta}
 g_{\gamma} g_{\delta} f_{\alpha\gamma\lambda} f_{\beta\delta\lambda}
 F_{\gamma\kappa}' F_{\delta\kappa}'
 \overline{M}_{\gamma, \alpha\kappa} \overline{M}_{\delta, \beta\kappa}.
\end{align*}

Die lineare Function $\overline{M}_{\gamma, \beta\kappa}$ ist nach §~13 durch folgende Formel
definirt:
\[
 \overline{M}_{\gamma, \beta\kappa}
 = \underset{\alpha, \delta}{S} \left\{
 (-1)^{\delta \mid \alpha}
 g_{\delta} f_{\delta\gamma\lambda} f_{\delta\gamma\mu}
 F_{\delta\beta}' G_{\delta\kappa}' {H_{\kappa}}' F_{\alpha\gamma}
 \right\}.
\]
Wir führen nun zur Abkürzung, indem wir die Indices $\kappa$, $\lambda$, $\mu$ als fest,
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ dagegen als unter einander vertauschbar annehmen, folgende
Bezeichnungen ein:
\begin{align*}
\frac{g_{\beta} g_{\delta} F_{\alpha\gamma}}
     {f_{\alpha\gamma\lambda} f_{\alpha\gamma\mu}}
F_{\beta\delta}' G_{\beta\kappa}' G_{\delta\kappa}'
 = p_{\alpha\gamma},\\
f_{\alpha\beta\lambda} f_{\alpha\gamma\lambda} f_{\alpha\delta\lambda}
f_{\beta\gamma\lambda} f_{\beta\delta\lambda} f_{\gamma\delta\lambda}
 = c.
\end{align*}
Alsdann ist:
\[
\overline{M}_{\gamma, \beta\kappa}
 = (-1)^{\delta \mid \alpha} \,
\frac{f_{\alpha\gamma\lambda} f_{\alpha\gamma\mu}
       f_{\delta\gamma\lambda} f_{\delta\gamma\mu} H'_{\kappa}}
     {g_{\beta} G_{\beta\kappa}'}
(p_{\alpha\gamma} - p_{\delta\gamma});
%** Added missing subscript: $H' \rightarrow H'_\kappa$
\]
daher:
\begin{align*}
 Q_{\alpha\beta} = \frac{c g_{\gamma} g_{\delta}
               f_{\gamma\delta\lambda} f_{\gamma\delta\mu}^2
               F_{\gamma\kappa}' F_{\delta\kappa}'}
              {f_{\alpha\beta\lambda} g_{\alpha} g_{\beta}
               G_{\alpha\kappa}' G_{\beta\kappa}'}
& \left\{  (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
        f_{\gamma\alpha\mu} f_{\beta\delta\mu}
        (p_{\gamma\alpha} - p_{\gamma\delta})
        (p_{\beta\delta} - p_{\gamma\delta})\right.   \\
& \left. +\, (-1)^{\gamma\alpha \mid \beta\delta}
        f_{\beta\gamma\mu} f_{\alpha\delta\mu}
        (p_{\beta\gamma} - p_{\gamma\delta})
        (p_{\alpha\delta} - p_{\gamma\delta}) \right\}.
\end{align*}

Der Ausdruck in der Klammer lässt sich mit Hülfe der Parametergleichung
\[
 \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S}
%** Added missing comma in underset:
%** ${\alpha, \beta, \gamma} \rightarrow {\alpha, \beta, \gamma}$
 \left\{(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
 f_{\beta\gamma\mu} f_{\alpha\delta\mu} \right\} = 0
\]
umformen in folgenden:
\begin{align*}
 (-1)^{\alpha\beta \mid \gamma\delta}
&\left[ -\underset{\alpha, \beta, \gamma}{S}
  \left\{ (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
           f_{\beta\gamma\mu} f_{\alpha\delta\mu}
           p_{\beta\gamma} p_{\alpha\delta}  \right\} \right.  \\
 &+  \left. p_{\gamma\delta} \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S}
  \left\{ (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
           f_{\beta\gamma\mu} f_{\alpha\delta\mu}
           (p_{\beta\gamma} + p_{\alpha\delta})  \right\}  \right].
\end{align*}
Nun ist, wenn wir für die Grössen $p$ ihre Werthe wieder einführen,
\begin{align*}
c \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S}
%** Moved $c$ to the front of the underset
  & \left\{ (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
           f_{\beta\gamma\mu} f_{\alpha\delta\mu}
           p_{\beta\gamma} p_{\alpha\delta}  \right\}  \\
= g_{\alpha} g_{\beta} g_{\gamma} g_{\delta}
 G_{\alpha\kappa}' G_{\beta\kappa}'
 G_{\gamma\kappa}'& G_{\delta\kappa}'
\underset{\alpha, \beta, \gamma}{S}
\left\{  (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
  f_{\gamma\alpha\lambda} f_{\beta\delta\lambda}
  f_{\alpha\beta\lambda}  f_{\gamma\delta\lambda}
  F_{\beta\gamma} F_{\alpha\delta} F_{\beta\gamma}' F_{\alpha\delta}'
\right\}.
\end{align*}
Dies ist aber, der Formel~(7, B) des §~4 zufolge:
\[
 = g_{\alpha} g_{\beta} g_{\gamma} g_{\delta}
  G_{\alpha\kappa}' G_{\beta\kappa}'
  G_{\gamma\kappa}' G_{\delta\kappa}'
  g_{\kappa}^2 g_{\mu}^2 \chi_{\kappa\mu}.
\]
Ferner ist:
%-----File: 094.png-----------------------------------------
\begin{align*}
c\ \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S}& \left\{
 (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
 f_{\beta\gamma\mu} f_{\alpha\delta\mu}
 (p_{\beta\gamma} + p_{\alpha\delta})   \right\}   \\
= c \underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S}&
 \left\{(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
 f_{\beta\gamma\mu} f_{\alpha\delta\mu} p_{\beta\gamma} \right\}   \\
= c \underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S}&
 \left\{(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
 \frac{F_{\beta\gamma}}{f_{\beta\gamma\lambda}} g_{\alpha} g_{\delta}
 G_{\alpha\kappa}' G_{\delta\kappa}'
 f_{\alpha\delta\mu} F_{\alpha\delta}'
 \right\}.
%** Added missing subscript $\delta$ on the second $g$ term:
%** $g_{\alpha} g_{\ } \rightarrow g_{\alpha} g_{\delta}$
\end{align*}
Diese lineare Function von $x$, $y$, $z$, welche in Bezug auf die Indices
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ symmetrisch ist, bezeichnen wir durch $F(x,\, y,\, z)$\@. Endlich
ist, da wir
\[
 F_{\gamma\delta} \text{ durch }
 \frac{H_{\gamma} H_{\delta} G_{\gamma\delta}}{R}
\]
ersetzen können:
\[
 p_{\gamma\delta} =
 \frac{g_{\alpha} g_{\beta} H_{\gamma} H_{\delta} G_{\gamma\delta}}
      {f_{\gamma\delta\lambda} f_{\gamma\delta\mu} R}
 F_{\alpha\beta}' G_{\alpha\kappa}' G_{\beta\kappa}'.
\]
Dadurch erhalten wir $Q_{\alpha\beta}$ in folgender Form dargestellt:
\begin{align*}
Q_{\alpha\beta} &= - (-1)^{\alpha\beta \mid \gamma\delta}
 \frac{g_{\gamma}^2 g_{\delta}^2
       f_{\gamma\delta\lambda}   f_{\gamma\delta\mu}^2}
      {f_{\alpha\beta\lambda}}
 H_{\gamma\kappa}' H_{\delta\kappa}' g_{\kappa}^2 g_{\mu}^2
 \chi_{\kappa\mu}   \\
&\quad + (-1)^{\alpha\beta \mid \gamma\delta} g_{\gamma} g_{\delta}
 \frac{f_{\gamma\delta\mu}}{f_{\alpha\beta\lambda}}
 F_{\alpha\beta}' F_{\gamma\kappa}' F_{\delta\kappa}' G_{\gamma\delta}
 \frac{H_{\gamma} H_{\delta}}{R} F(x,\, y,\, z).
\end{align*}
Bilden wir jetzt die Summe $Q = \sum (Q_{\alpha\beta} H_{\alpha} H_{\beta})$,
so ergiebt sich:
\[
 Q = - g_{\kappa}^2 g_{\mu}^2 \chi_{\kappa\mu} H(x,\, y,\, z)
  + \frac{H_{\alpha} H_{\beta} H_{\gamma} H_{\delta}}{R}
    F(x,\, y,\, z) G(x,\, y,\, z),
\]
wo:
\begin{align*}
F(x,\, y,\, z) = c \underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S}
&\left\{(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha\delta}
 \frac{F_{\beta\gamma}}{f_{\beta\gamma\lambda}}
 g_{\alpha} g_{\delta} G'_{\alpha\kappa} G'_{\delta\kappa}
 f_{\alpha\delta\mu} F'_{\alpha\delta}  \right\},   \\
G(x,\, y,\, z) = \underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S}
&\left\{(-1)^{\alpha\beta \mid \gamma\delta}
 g_{\gamma} g_{\delta} F'_{\gamma\kappa} F'_{\delta\kappa}
 f_{\gamma\delta\mu} G_{\gamma\delta}
 \frac{F'_{\alpha\beta}}{f_{\alpha\beta\lambda}} \right\}, \\
H(x,\, y,\, z) = \underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S}
&\left\{(-1)^{\alpha\beta \mid \gamma\delta}
\frac{g_{\gamma}^2 g_{\delta}^2
      f_{\gamma\delta\lambda} f_{\gamma\delta\mu}^2
      H'_{\gamma\kappa} H'_{\delta\kappa} H_{\alpha} H_{\beta}}
     {f_{\alpha\beta\lambda}} \right\}
\end{align*}
ist. Alle drei Ausdrücke sind sechsgliedrige Summen, und zwar aus
einem Gliede symmetrisch gebildet durch Vertauschung der Indices
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$\@. Die beiden ersten lassen sich auf bekannte Functionen
zurückführen, nämlich
\begin{align*}
F(x,\, y,\, z) \text{ auf }
 \frac{g_{\kappa} g_{\mu} G'_{\kappa\mu}}
      {H'_{\kappa}} \overline{M}_{\lambda,\, \kappa\mu},   \\
G(x,\, y,\, z) \text{ auf }
 \frac{g_{\kappa} g_{\mu} F_{\kappa\mu}}
      {c H'_{\mu}} \overline{M}_{\lambda,\, \kappa\mu}.
\end{align*}

Die Richtigkeit dieser Umformungen wird am einfachsten dadurch
erkannt, dass man die Identität für eine genügende Anzahl specieller
Werthsysteme nachweist. -- Dies angenommen, wird der Ausdruck
von $Q$ folgender:
%-----File: 095.png-----------------------------------------
\[
Q=-g_\kappa^2g_\mu^2 \chi_{\kappa\mu} H(x,\, y,\, z) +
 \frac{g^2_\kappa g^2_\mu F_{\kappa\mu} G'_{\kappa\mu}}{c H'_\kappa H'_\mu}\
 \frac{H_\alpha H_\beta H_\gamma H_\delta}{R}
 (\overline{M}_{\lambda,\kappa\mu})^2.
\]
Nun können wir
\[
F_{\kappa\mu} \text{ durch } \frac{H_\kappa H_\mu G_{\kappa\mu}}{R},
\]
\[
\frac{H_\kappa H_\mu H_\alpha H_\beta H_\gamma H_\delta}{R^2}
  \text{ durch } \frac{R}{H_\lambda},
\]
\[
G_{\kappa\mu} G'_{\kappa\mu} \text{ durch } \chi_{\kappa\mu}
\]
ersetzen. Dann ergiebt sich:
\[
Q=g^2_\kappa g^2_\mu \chi_{\kappa\mu} \left(
-H(x,\, y,\, z)+\frac{R(\overline{M}_{\lambda,\kappa\mu})^2}{cH_\lambda H'_\kappa H'_\mu}
 \right).
\]

Es ist jetzt das Quadrat der linearen Function
\[
\overline{M}_{\lambda,\kappa\mu} =
  \underset{\alpha,\beta}{S}
\left\{ (-1)^{\beta\mid \alpha} g_\beta f_{\beta\gamma\lambda}
 f_{\beta\delta\lambda}
 F'_{\beta\mu} G'_{\beta\kappa} H'_\kappa F_{\alpha\lambda} \right\}
\]
zu bilden. Haben wir irgend eine im Punkte $\lambda$ verschwindende lineare
Function von $x,\, y,\, z$, welche auf die Form
$aF_{\alpha\lambda} + bF_{\beta\lambda}$ gebracht ist,
so lässt sich ihr Quadrat in der Form
$AF^2_{\alpha\lambda} + B F^2_{\beta\lambda} + C F^2_{\gamma\lambda}$
darstellen. Da
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}
 \left\{ (-1)^{\beta\gamma\mid \alpha}f_{\beta\gamma\lambda} F_{\alpha\lambda}
 \right\} = 0
 \]
ist, so ist
\[f^2_{\alpha\beta\lambda} F^2_{\gamma\lambda} =
  f^2_{\beta\gamma\lambda} F^2_{\alpha\lambda} +
  f^2_{\gamma\alpha\lambda} F^2_{\beta\lambda}-
  2(-1)^{\alpha\beta\mid \gamma} f_{\beta\gamma\lambda} f_{\gamma\alpha\lambda}
  F_{\alpha\lambda} F_{\beta\lambda};
\]
daher muss
\[
2ab=-2(-1)^{\alpha\beta\mid \gamma}
  \frac{f_{\alpha\gamma\lambda}
  f_{\beta\gamma\lambda}}{f^2_{\alpha\beta\lambda}}\, C
  \]
sein. Demgemäss muss, wenn wir den Ausdruck $(\overline{M}_{\lambda,\kappa\mu})^2$
auf die Form
$AF^2_{\alpha\lambda} + B F^2_{\beta\lambda} + C F^2_{\gamma\lambda}$
bringen, der Coefficient von $F^2_{\gamma\lambda}$
\[
C=(-1)^{\alpha\beta\mid \gamma}
g_\alpha g_\beta f^2_{\alpha\beta\lambda}
f_{\alpha\delta\lambda} f_{\beta\delta\lambda}
F'_{\alpha\mu} F'_{\beta\mu} G'_{\alpha\kappa} G'_{\beta\kappa}
(H'_{\kappa})^2
\]
sein.
Demnach erhalten wir
\[
\frac{1}{c}\,(\overline{M}_{\lambda,\kappa\mu})^2 =
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}
\left\{(-1)^{\alpha\beta \mid \gamma}
\frac{g_\alpha g_\beta f_{\alpha\beta\lambda} F'_{\alpha\mu} F'_{\beta\mu}
G'_{\alpha\kappa} G'_{\beta\kappa} (H'_\kappa)^2(F_{\gamma\lambda})^2}
{f_{\gamma\alpha\lambda} f_{\gamma\beta\lambda} f_{\gamma\delta\lambda}}
\right\}.
\]
Nun ist
$F^2_{\gamma\lambda}=\dfrac{H_\gamma H_\lambda H_{\gamma\lambda}}{R}$\@.
Setzen wir dies ein, so erhalten wir den
Quotienten
\[
\frac{R(\overline{M}_{\lambda,\kappa\mu})^2}
     {c H_\lambda H'_\kappa H'_\mu}
= H'(x,\, y,\, z)
\]
dargestellt in der Form einer Function zweiter Ordnung der Grössen
$H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}}$:
\[
H'(x,\, y,\, z)
= \underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}
\left\{(-1)^{\alpha\beta \mid \gamma}
\frac{g_\alpha g_\beta f_{\alpha\beta\lambda} F'_{\alpha\mu}
      F'_{\beta\mu} G'_{\alpha\kappa} G'_{\beta\kappa} H'_\kappa}
     {f_{\gamma\alpha\lambda} f_{\gamma\beta\lambda}
      f_{\gamma\delta\lambda} H'_\mu}
H_\gamma H_{\gamma\lambda}  \right\}.
\]
%-----File: 096.png-----------------------------------------
Um die Form dieser Function mit der von $H(x,\, y,\, z)$ in Uebereinstimmung
zu bringen, drücken wir
$H_{\gamma\lambda}$ als lineare Function von $H_{\delta}$, $H_{\alpha}$, $H_{\beta}$,
$H_{\alpha\lambda}$ als Function von $H_{\delta}$, $H_{\beta}$, $H_{\gamma}$,
$H_{\beta\lambda}$ durch $H_{\delta}$, $H_{\gamma}$, $H_{\alpha}$
aus.
Dann nimmt $H'(x,\, y,\, z)$ diese Form an:
\[
H'(x,\, y,\, z) = \underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S} (h_{\alpha\beta}H_{\alpha}H_{\beta}),
%** Added missing index: $H_{\alpha}H \rightarrow H_{\alpha}H_{\beta}$
\]
wo der sechsgliedrige Summen-Ausdruck auf der rechten Seite nothwendig
in Bezug auf die Indices $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ symmetrisch gebildet sein
muss. Nun kann das Glied $h_{\gamma\delta}H_{\gamma}H_{\delta}$ nur aus
$H_{\gamma}H_{\gamma\lambda}$ hervorgehen;
und zwar muss der Coefficient $h_{\gamma\delta}$ gleich dem Producte des Coefficienten
von $H_{\gamma}H_{\gamma\lambda}$ in $H'(x,\, y,\, z)$ mit dem Coefficienten $c_1$ in der linearen
Function $H_{\gamma\lambda} = c_1 H_{\delta} + c_2 H_{\alpha} + c_3 H_{\beta}$ sein.
Es ist aber nach (21) dieser Coefficient
\[
c_1 = (-1)^{\alpha\beta\mid \delta} g_{\alpha} g_{\beta} f_{\alpha\gamma\lambda}
f_{\beta\gamma\lambda} f_{\alpha\beta\kappa} f_{\alpha\beta\mu};
\]
daher ist
\[
h_{\gamma\delta} = (-1)^{\alpha\beta\mid \gamma\delta} \frac{g^2_{\alpha} g^2_{\beta}
f_{\alpha\beta\lambda} f_{\alpha\beta\kappa} f_{\alpha\beta\mu} F'_{\alpha\mu}
F'_{\beta\mu} G'_{\alpha\kappa} G'_{\beta\kappa} H'_{\kappa}}{f_{\gamma\delta\lambda} H'_{\mu}}.
\]
Mithin erhalten wir:
\begin{gather*}
Q = g^2_{\kappa} g^2_{\mu} \chi_{\kappa\mu} (H'(x,\, y,\, z) - H(x,\, y,\, z)), \\
H'(x,\, y,\, z) \\
= \underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S} \left\{(-1)^{\alpha\beta\mid \gamma\delta}
\frac{g^2_{\gamma} g^2_{\delta} f_{\gamma\delta\kappa} f_{\gamma\delta\lambda}
f_{\gamma\delta\mu} F'_{\gamma\mu} F'_{\delta\mu} G'_{\gamma\kappa} G'_{\delta\kappa}
H'_{\kappa} H_{\alpha} H_{\beta}}{f_{\alpha\beta\lambda} H'_{\mu}}\right\},\\
%** Added missing prime: $G_{\delta\kappa} \rightarrow G_{\delta\kappa}'$
H(x,\, y,\, z) = \underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S} \left\{(-1)^{\alpha\beta\mid \gamma\delta}
\frac{g^2_{\gamma} g^2_{\delta} f_{\gamma\delta\lambda} f^2_{\gamma\delta\mu}
F'_{\gamma\kappa} F'_{\delta\kappa} G'_{\gamma\kappa} G'_{\delta\kappa} H_{\alpha}
H_{\beta}}{f_{\alpha\beta\lambda}} \right\}.
\end{gather*}
Wenn wir nun die Differenz bilden, so ist
\[
\frac{f_{\gamma\delta\kappa} F'_{\gamma\mu} F'_{\delta\mu} H'_{\kappa}}{H'_{\mu}}
- f_{\gamma\delta\mu} F'_{\gamma\kappa} F'_{\delta\kappa}
= \frac{H'_{\gamma} H'_{\kappa}}{R'} (f_{\gamma\delta\kappa} F'_{\delta\mu}
G'_{\gamma\mu} - f_{\gamma\delta\mu} F'_{\delta\kappa} G'_{\gamma\kappa}),
\]
da $R' F'_{\gamma\mu} = H'_{\gamma} H'_{\mu} G'_{\gamma\mu}$, $R' F'_{\gamma\kappa}
= H'_{\gamma} H'_{\kappa} G'_{\gamma\kappa}$ ist. Nach Formel~(9)
des §~5 ist aber
\[
\frac{H'_{\gamma} H'_{\kappa}}{R'} (f_{\gamma\delta\kappa} F'_{\delta\mu} G'_{\gamma\mu}
- f_{\gamma\delta\mu} F'_{\delta\kappa} G'_{\gamma\kappa})
= (-1)^{\kappa\mid \mu} g_{\alpha} g_{\beta} g_{\gamma} f_{\alpha\beta\lambda}
\frac{H'_{\gamma} H'_{\delta} H'_{\kappa}}{R'}.
\]
Folglich erhalten wir:
\begin{gather*}
H'(x,\, y,\, z) - H(x,\, y,\, z) \\
= \frac{(-1)^{\kappa\mid \mu}}{R'} \underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}
\left\{(-1)^{\alpha\beta\mid \gamma\delta} g_{\alpha} g_{\beta} g^2_{\gamma}
g^2_{\delta} g_{\lambda} f_{\gamma\delta\lambda} f_{\gamma\delta\mu} G'_{\gamma\kappa}
G'_{\delta\kappa} H'_{\gamma} H'_{\delta} H'_{\kappa} H_{\alpha} H_{\beta} \right\},
\end{gather*}
oder, wenn wir
\[
G'_{\gamma\kappa} G'_{\delta\kappa} \text{ durch }
\frac{R'^2 F'_{\gamma\kappa} F'_{\delta\kappa}}{H'_{\gamma}
H'_{\delta} H'^2_{\kappa}}
\]
ersetzen:
\begin{gather*}
H'(x,\, y,\, z) - H(x,\, y,\, z) \\
= (-1)^{\kappa\mid \mu} \frac{gR'}{g_{\kappa} g_{\mu} H'_{\kappa}}
\underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S} \left\{ (-1)^{\alpha\beta\mid \gamma\delta}
g_{\gamma} g_{\delta} f_{\gamma\delta\lambda} f_{\gamma\delta\mu} F'_{\gamma\kappa}
F'_{\delta\kappa} H_{\alpha} H_{\beta} \right\}.
\end{gather*}
%-----File: 097.png-----------------------------------------
Den Summen-Ausdruck, welcher hier als Factor der rechten Seite der
Gleichung auftritt, betrachten wir als abhängig von $x'$, $y'$, $z'$ und bezeichnen
ihn durch $\phi(x',\, y'$, $z')$\@. Diese Grösse ist dann eine quadratische Function,
die im Punkte $\kappa$ von der zweiten Ordnung verschwindet.
Setzen wir $(x',\, y',\, z') = (a_{\alpha},\, b_{\alpha},\, c_{\alpha})$,
%** Added missing subscript $\alpha \rightarrow b_\alpha$
so reducirt sich die Summe auf folgende:
\[
\phi(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})
 = H_{\alpha} \underset{\beta, \gamma, \delta}{S} \left\{
 (-1)^{\beta \mid \gamma\delta} g_{\gamma} g_{\delta}
 f_{\gamma\delta\lambda} f_{\gamma\delta\mu}
 f_{\gamma\kappa\alpha} f_{\delta\kappa\alpha} H_{\beta} \right\}.
\]
Dies ist aber, der Gleichung~(21) zufolge, nichts anderes als $H_{\alpha} H_{\alpha\kappa}$
und da
\[
 H_{\alpha} H_{\alpha\kappa}
 = \frac{R F_{\alpha\kappa}^2}{H_{\kappa}}
\]
ist, so ergiebt sich:
\[
 \phi(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})
 = \frac{R F_{\alpha\kappa}^2}{H_{\kappa}} \,\cdot
\]
Nun ist
\[
(-1)^{\alpha \mid \kappa} F_{\alpha\kappa} =
\begin{vmatrix}
  x          & y          & z            \\
  a_{\alpha} & b_{\alpha} & c_{\alpha}   \\
  a_{\kappa} & b_{\kappa} & c_{\kappa}
\end{vmatrix}, \qquad     F_{\kappa} =
\begin{vmatrix}
  x          & y          & z           \\
  x'         & y'         & z'          \\
  a_{\kappa} & b_{\kappa} & c_{\kappa}
\end{vmatrix};
\]
es ist also $(-1)^{\alpha \mid \kappa} F_{\alpha\kappa}$ der Werth, den die Function $F_{\kappa}$ annimmt,
wenn $(x',\, y',\, z') = (a_{\alpha},$ %**
$b_{\alpha},\, c_{\alpha})$ gesetzt wird. Daraus folgt, dass im
Punkte $\alpha$
\[
 \phi(x',\, y',\, z') = \frac{R F_{\kappa}^2}{H_{\kappa}}
\]
ist. Diese Gleichung muss nun identisch, für alle Werthe von $
(x',\, y',\, z')$
gelten. Denn da sie besteht für den Punkt $\alpha$, so muss sie, der Symmetrie wegen,
auch für die Punkte $\beta$, $\gamma$, $\delta$ gelten; ferner wird sowohl
$\phi(x',\, y',\, z')$ als auch $F_{\kappa}^2$ im Punkte $\kappa$ von der zweiten Ordnung Null;
und da beide Seiten dieser Gleichung homogene quadratische Functionen
von $x'$, $y'$, $z'$ sind, so muss sie eine Identität sein. Wir erhalten also:
\[
H'(x,\, y,\, z) - H(x,\, y,\, z)
 = (-1)^{\kappa \mid \mu}
 \frac{g R R' F_{\kappa}^2}
      {g_{\kappa} g_{\mu} H_{\kappa} H'_{\kappa}},
\]
und somit:
\[
Q = (-1)^{\kappa \mid \mu} g g_{\kappa} g_{\mu} \chi_{\kappa\mu}
    \frac{R R' F_{\kappa}^2}{H_{\kappa} H'_{\kappa}}.
\]
Hiermit ist die Reduction der linken Seite der Gleichung~(B) vollendet,
und es ergiebt sich der Werth des Verhältnisses:
\[
 \frac{k_0^2}{k^2} = -g.
\]
Daraus folgt, nach (A):
\[
\tag{47}
 k^2 = - \frac{l^2 r^4}{c_0^2}\, \frac{g}{f^2}.
\]
%-----File: 098.png-----------------------------------------

\Section{§~17.}

Es bleibt nun noch übrig, die Argumente $u$, $u'$, $u''$ selbst als
Functionen der beiden Werthsysteme $(x$, $y$, $z)$ und $(x',\, y',\, z')$ darzustellen.
Dadurch wird dann auch, mittelbar, die Beziehung festgestellt,
in welche die Argumente zu einander durch die im §~5 willkürlich
angenommene Gleichung zwischen den Grössen $L$ gesetzt sind. Wir
gehen von einer Differentialgleichung aus, die wir aus dem Additionstheorem
ableiten.

Wir setzen in dem allgemeinen Additionstheorem (Gleichung~(39)
des ersten Theils) die Grössen $v$ und $w$ einander gleich, und führen
das Doppelte dieser Grössen ein, also
\[
v=w=\tfrac{1}{2}a, \quad v' = w' =
\tfrac{1}{2}a', \quad v'' =
w''= \tfrac{1}{2}a'';
\]
ferner ersetzen wir
\[
u \text{ durch }u + \tfrac{1}{2}a, \quad
u' \text{ durch }u' + \tfrac{1}{2}a', \quad
u'' \text{ durch }u'' + \tfrac{1}{2}a''.
\]
Dann geht diese Gleichung über in folgende:
\begin{align*}
&c_0\, \Theta (a\cdots)_{kl}\, \Theta (u+a\cdots)_{km}\, \Theta (u\cdots)_{lm}\\
= \sum^{7}_{\alpha=0}[&(-1)^{(k\alpha,l\alpha,m\alpha)}
c_{m\alpha}\, \Theta (a\cdots)_{klm\alpha}\, \Theta (u+a\cdots)_{k\alpha}\, \Theta (u\cdots)_{l\alpha}].
\end{align*}

Jetzt geben wir den Indices $k$, $l$, $m$ bestimmte Werthe, nämlich
$k$ den Werth $0$, $l$ den Werth $\kappa$ und $m$ den Werth $\kappa\lambda\mu$\@. Dann folgt:
\begin{align*}
&c_0\, \Theta (a\cdots)_{\kappa}\, \Theta (u+a\cdots)_{\kappa\lambda\mu}\, \Theta (u\cdots)_{\lambda\mu}\\
= \sum^{7}_{\alpha=0}[&(-1)^{(\alpha,\kappa\alpha,\kappa\lambda\mu\alpha)}
c_{\alpha\kappa\lambda\mu}\, \Theta (a\cdots)_{\alpha\lambda\mu}\,
\, \Theta (u+a\cdots)_{\alpha}\, \Theta (u\cdots)_{\alpha\kappa}].
\end{align*}
In dieser Summe verschwinden diejenigen Glieder, die den Indices $\alpha= \kappa,\, \lambda,\, \mu$ entsprechen.
Für $\alpha = 0$ wird
\[
(\alpha,\, \kappa\alpha,\, \kappa\lambda\mu\alpha) = (0,\, \kappa,\, \kappa\lambda\mu)\equiv 0\bmod 2.
\]
Verstehen wir dagegen unter $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ die vier von
$\kappa$, $\lambda$, $\mu$ verschiedenen
primitiven Indices, so ist
\begin{align*}
(\alpha,\, &\kappa\alpha,\, \kappa\lambda\mu\alpha)
= (\kappa\lambda\mu\beta\gamma\delta,\, \kappa\alpha,\, \kappa\lambda\mu\alpha)\\
&\equiv \kappa\alpha\mid\alpha + \alpha\mid\kappa\alpha + \alpha\mid\kappa\lambda\mu\alpha;
\end{align*}
und dies ist $\equiv \alpha\mid\kappa\lambda\mu$, oder, was dasselbe ist,
$\equiv \beta\gamma\delta\mid\alpha$\@. Demnach
ergiebt sich:
\begin{gather*}
c_0\, \Theta (a\cdots)_{\kappa}\, \Theta (u+a\cdots)_{\kappa\lambda\mu}\, \Theta (u\cdots)_{\lambda\mu} -
c_{\kappa\lambda\mu}\, \Theta (a\cdots)_{\lambda\mu}\, \Theta (u+a\cdots)_0\, \Theta (u\cdots)_{\kappa}\\
= \underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}c_{\beta\gamma\delta}\, \Theta (a\cdots)_{\alpha\lambda\mu}\,
\, \Theta (u+a\cdots)_{\alpha}\, \Theta (u\cdots)_{\alpha\kappa}\right\}.
\end{gather*}
Wenn wir in diese Gleichung für die Grössen $a,\, a',\, a''$ die Differentiale
der Argumente: $du,\, du',\, du''$ einsetzen, so erhalten wir folgende
Differentialgleichung:
%-----File: 099.png-----------------------------------------
\begin{align*}
 &c_0 \, \Theta _{\lambda\mu} \, \Theta _{\kappa\lambda\mu} du_{\kappa}
 - c_{\kappa\lambda\mu} \, \Theta _{\kappa} \, \Theta _0 du_{\lambda\mu}   \\
= &\underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S} \left\{
 (-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
 c_{\beta\gamma\delta} c_{\alpha\lambda\mu}
 \, \Theta _{\alpha\kappa} d\, \Theta _{\alpha} \right\}.
\end{align*}
In dieser Formel wollen wir die Theta-Functionen durch die
entsprechenden $\sigma$, und ebenso die Anfangsglieder $u_{\lambda\mu}$ und $u_{\kappa}$ der
Functionen $\Theta _{\lambda\mu}$ und $\Theta _{\kappa}$ ersetzen durch $l_{\lambda\mu} v_{\lambda\mu}$
und $l_{\kappa} v_{\kappa}$, wo $v_{\lambda\mu}$ und $v_{\kappa}$ die
im ersten Theil eingeführten Anfangsglieder der entsprechenden $\sigma$-Functionen sind.
Dadurch nimmt die aufgestellte Gleichung folgende
Form an:
\[
 \sigma_{\lambda\mu} \sigma_{\kappa\lambda\mu} dv_{\kappa}
 - \sigma_{\kappa} \sigma_0 dv_{\lambda\mu}
= \underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S}     \left\{
 (-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
 \frac{e_{\beta\gamma\delta} e_{\alpha\lambda\mu}
       l_{\alpha\kappa} l_{\alpha}}
      {e_{\kappa\lambda\mu} l_{\lambda\mu} l_{\kappa}}
 \sigma_{\alpha\kappa} d\sigma_{\alpha}           \right\}.
\]

Der Nenner des Ausdrucks
\[
 \frac{e_{\beta\gamma\delta} e_{\alpha\lambda\mu}
       l_{\alpha\kappa} l_{\alpha}}
      {e_{\kappa\lambda\mu} l_{\lambda\mu} l_{\kappa}}
\]
ist, da nach Gleichung~(68) und (79) des ersten Theils
\begin{gather*}
 e_{\kappa\lambda\mu}
= \frac{e e_{\kappa\lambda} e_{\kappa\mu} e_{\lambda\mu}}
       {r e_{\kappa} e_{\lambda} e_{\mu}
          l_{\kappa} l_{\lambda} l_{\mu} f_{\kappa\lambda\mu}},  \\
 l_{\lambda\mu}
= \frac{f g_{\lambda} g_{\mu}}
       {r g^2 l_{\lambda} l_{\mu} e_{\lambda\mu}}
\end{gather*}
ist, gleich:
\[
 \frac{e f g_{\lambda} g_{\mu} e_{\kappa\lambda} e_{\kappa\mu}}
      {r^2 g^2 e_{\kappa} e_{\lambda} l_{\lambda}^2
               e_{\mu} l_{\mu}^2 f_{\kappa\lambda\mu}},
\]
und dies ist, der Gleichung~(69) zufolge:
\[
 = \frac{e f e_{\kappa\lambda} e_{\kappa\mu}}
        {r^{10} l^4 g^2 e_{\kappa} f_{\kappa\lambda\mu}}.
\]

Der Zähler dagegen ist schon in §~2 umgestaltet und hat dort
folgende Form erhalten:
\[
 \frac{e^2 g^7 g_{\kappa} e_{\kappa\lambda} e_{\kappa\mu}}
      {r^3 l f^6 e_{\kappa} g_{\lambda} g_{\mu}}
 f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa}
 f_{\beta\gamma\kappa}.
\]
Wenn wir also den Quotienten bilden, so erhalten wir folgendes:
\[
 \frac{e g^9 r^7 l^3 g_{\kappa}
       f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa}
       f_{\beta\gamma\kappa} f_{\kappa\lambda\mu}}
      {f^7 g_{\lambda} g_{\mu}}.
\]
Nun ist nach (71) und (72):
\[
 e = - \frac{f^4}{g^5}, \qquad l^3 r^7 = \frac{f^3}{g^4};
\]
daher:
\[
 \frac{e g^9 r^7 l^3}{f^7} = -1.
\]
Demnach erhalten wir:
\[
 \sigma_{\lambda\mu} \sigma_{\kappa\lambda\mu} dv_{\kappa}
 - \sigma_{\kappa} \sigma_0 dv_{\lambda\mu}
= - \frac{g_{\kappa} f_{\kappa\lambda\mu}}{g_{\lambda} g_{\mu}}
 \underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S} \left\{
 (-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
 f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa} f_{\beta\gamma\kappa}
 \sigma_{\alpha\kappa} d\sigma_{\alpha}      \right\}.
\]
%-----File: 100.png-----------------------------------------
Multipliciren wir diese Gleichung mit $\sigma_\kappa$, so wird
\begin{align*}
\sigma_\kappa \sigma_{\lambda\mu} \sigma_{\kappa\lambda\mu}
&= \frac{\sigma_0 \sigma_{\lambda\mu}}{\sigma_\lambda \sigma_\mu}\,
   \omega_{\kappa\lambda\mu}
 = \frac{\sigma_0}{\widetilde{\omega}}\chi_{\lambda\mu} \omega_{\kappa\lambda\mu}, \\
\sigma_\kappa^{2} \sigma_0
&= \frac{\sigma_0}{\widetilde{\omega}} \psi_\kappa, \\
\sigma_\kappa \sigma_{\alpha\kappa} d\sigma_\alpha
&= \phi_{\alpha\kappa} d \log \sigma_\alpha.
\end{align*}
Nun ist aber, da
$\widetilde{\omega} \sigma_\alpha^{2} = \psi_\alpha$
ist,
\[
2\, d\log\sigma_\alpha + d \log\widetilde{\omega} = d\log\psi_\alpha;
\]
folglich
\[
\sigma_\kappa \sigma_{\alpha\kappa} d\sigma_\alpha =
\tfrac{1}{2}\psi_{\alpha\kappa}\, d\log\psi_\alpha -
\tfrac{1}{2}\phi_{\alpha\kappa}\, d\log\widetilde{\omega}.
\]
Setzen wir dies in die Gleichung ein, so fällt der mit
$ d \log\widetilde{\omega}$
multiplicirte Ausdruck fort, da nach §~2:
\[
S\left\{
(-1)^{\beta\gamma\delta\mid \alpha}
f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa} f_{\beta\gamma\kappa}
\phi_{\alpha\kappa}
\right\}=0
\]
ist, und wir erhalten:
\begin{gather*}
\tag{48}
\frac{\sigma_0}{\widetilde{\omega}}
(\chi_{\lambda\mu}\omega_{\kappa\lambda\mu}\, d v_\kappa -
\psi_\kappa\, d v_{\lambda\mu} ) \\
 = -\frac{g_\kappa f_{\kappa\lambda\mu}}{2g_\lambda g_\mu}
\underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}
\left\{
(-1)^{\beta\gamma\delta\mid \alpha}
f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa} f_{\beta\gamma\kappa}
\phi_{\alpha\kappa}\, d\log\psi_\alpha
\right\}.
\end{gather*}
Diese Formel wird zur Darstellung der Differentiale
$dv_\kappa$ und $dv_{\lambda\mu}$
führen. Wir denken uns für die Grössen $\phi, \chi, \psi, \omega$
ihre Ausdrücke
durch $(x,\, y,\, z)$ und $(x',\, y',\, z')$ eingesetzt.
Unter dieser Voraussetzung
transformiren wir zunächst die Summe
\[
S=\underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}
\left\{
(-1)^{\beta\gamma\delta\mid \alpha}
f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa} f_{\beta\gamma\kappa}
\phi_{\alpha\kappa}\, d \log\psi_\alpha
\right\}.
\]
Da $\psi_\alpha = H_\alpha H'_\alpha$, mithin
\[
d\log\psi_\alpha = d\log H_\alpha + d \log H'_\alpha
\]
ist, so zerfällt die Summe $S$ in zwei Theile
\[
S=S_1+S_2,
\]
von denen
\[
 S_1=\underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}
\left\{
(-1)^{\beta\gamma\delta\mid \alpha}
f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa} f_{\beta\gamma\kappa}
F_{\alpha\kappa} F'_{\alpha\kappa}\, d \log H'_\alpha
\right\}
\]
ist, während $S_2$ aus $S_1$ durch Vertauschung von $(x,\, y,\, z)$
mit $(x',\, y',\, z')$
hervorgeht.
Der Ausdruck $S_1$ ist nun in Bezug auf $x$, $y$, $z$ eine lineare
Function, die im Punkte $\kappa$ verschwindet. Es ist ferner diese
lineare Function symmetrisch in Bezug auf die vier Indices
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$\@.
Untersuchen wir jetzt, welchen Werth $S_1$ in einem dieser Punkte,
z.~B.\ in $\delta$, annimmt.
Alsdann ist $F_{\delta\kappa} = 0$; $F_{\alpha\kappa}$ geht über in
$(-1)^{\delta\mid \alpha\kappa} f_{\delta\alpha\kappa} $,
daher
\[
 (-1)^{\beta\gamma\delta\mid \alpha} F_{\alpha\kappa} \text{ in }
   (-1)^{\delta\mid \kappa} (-1)^{\beta\gamma\mid \alpha}
   f_{\delta\alpha\kappa}.
\]
%-----File: 101.png-----------------------------------------
Somit erkennen wir, dass der Werth von $S_1$ im Punkte $\delta$
durch folgenden Ausdruck gegeben ist:
\[
 (-1)^{\delta \mid \kappa}
 f_{\delta\alpha\kappa} f_{\delta\beta\kappa} f_{\delta\gamma\kappa}
 \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S} \left\{
   (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
   f_{\beta\gamma\kappa} F'_{\alpha\kappa} \, d\log H'_{\alpha}
 \right\}.
\]
Nun lehrt aber die Formel~(28), dass der hier auftretende Summenausdruck
ersetzt werden kann durch folgendes Product:
\[
 \frac{\sqrt{\smash[b]{H'_{\delta\lambda}}}
 \sqrt{\smash[b]{H'_{\delta\mu}}}
 \sqrt{\smash[b]{H'_{\lambda\mu}}}
 H'_{\kappa}} {g_{\alpha} g_{\beta} g_{\gamma} g_{\kappa}
 (\sqrt{R'})^3}\,  \Delta'.
%** Added missing prime
\]

Vergleichen wir hiermit den Werth, welchen die -- im Punkte $\kappa$
gleichfalls verschwindende -- lineare Function
$\overline{M}_{\kappa, \lambda\mu}$ im Punkte $\delta$ annimmt.
Diese ist, nach (32), durch folgenden Ausdruck gegeben:
\[
 \overline{M}_{\kappa, \lambda\mu}
 = \underset{\gamma, \delta}{S} \left\{
   (-1)^{\delta \mid \gamma} g_{\delta}
   f_{\kappa\delta\alpha} f_{\kappa\delta\beta}
   F_{\delta\lambda}' G_{\delta\mu}' {H_{\mu}}' F_{\gamma\kappa}
 \right\};
\]
sie nimmt also, wenn wir
$(x,\, y,\, z) = (a_{\delta},\, b_{\delta},\, c_{\delta})$ setzen,
wodurch $F_{\delta\kappa} = 0$ wird, den Werth an:
\[
 (-1)^{\delta \mid \kappa}
 f_{\delta\alpha\kappa} f_{\delta\beta\kappa} f_{\delta\gamma\kappa}
 g_{\delta} F'_{\delta\lambda} G'_{\delta\mu} H'_{\mu}.
\]
Für $F_{\delta\lambda}' G'_{\delta\mu} {H'_{\mu}}$ können wir setzen:
$\sqrt{\smash[b]{H'_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H'_{\mu}}}
 \sqrt{\smash[b]{H'_{\delta\lambda}}}
 \sqrt{\smash[b]{H'_{\delta\mu}}}$\@.
%** Added missing prime on $H_{\delta\mu}$
Die Werthe der beiden linearen Functionen $S_1$ und
$\overline{M}_{\kappa, \lambda\mu}$ im Punkte $\delta$
sind demnach folgende:
\[
 (-1)^{\delta \mid \kappa}
 f_{\delta\alpha\kappa}
 f_{\delta\beta\kappa}
 f_{\delta\gamma\kappa}
 \frac
 {\sqrt{\smash[b]{H'_{\delta\lambda}}}
 \sqrt{\smash[b]{H'_{\delta\mu}}}
 \sqrt{\smash[b]{H'_{\lambda\mu}}}
 {H'_{\kappa}}} {g_{\alpha} g_{\beta} g_{\gamma} g_{\kappa}
 (\sqrt{R'})^3} \Delta',
\]
und
\[
 (-1)^{\delta \mid \kappa}
 f_{\delta\alpha\kappa}
 f_{\delta\beta\kappa}
 f_{\delta\gamma\kappa}
 g_{\delta}
 \sqrt{\smash[b]{H'_{\lambda}}}
 \sqrt{\smash[b]{H'_{\mu}}}
 \sqrt{\smash[b]{H'_{\delta\lambda}}}
 \sqrt{\smash[b]{H'_{\delta\mu}}}.
\]
Beide Ausdrücke unterscheiden sich von einander nur durch den Factor
\[
 \frac{H'_{\kappa} \sqrt{\smash[b]{H'_{\lambda\mu}}} \Delta'}
      {g_{\alpha} g_{\beta} g_{\gamma} g_{\delta} g_{\kappa}
       \sqrt{\smash[b]{H'_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H'_{\mu}}} (\sqrt{R'})^3},
\]
der auf die Form
\[
 \frac{g_{\lambda} g_{\mu} H'_{\kappa} G'_{\lambda\mu} \Delta'}
      {g R'^2}
\]
gebracht werden kann, und sich nicht ändert, wenn $\alpha$ mit $\beta$, $\gamma$ oder
$\delta$ vertauscht wird. Mithin gilt für alle vier Punkte
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ die
Gleichung:
\[
 S_1 =
 \frac{g_{\lambda} g_{\mu} H'_{\kappa} G'_{\lambda\mu} \Delta'}
      {g {R'}^2}
 \overline{M}_{\kappa, \lambda\mu};
\]
und da dies eine lineare Gleichung in $(x,\, y,\, z)$ ist, so muss sie für
alle Werthe dieser Grössen bestehen. Hiermit ist also bewiesen, dass
sich die Function $S_1$ von $\overline{M}_{\kappa, \lambda\mu}$
nur um einen von $x$, $y$, $z$ unabhängigen
Factor unterscheidet.
%-----File: 102.png-----------------------------------------

Nun steht aber die Function $\overline{M}_{\kappa, \lambda\mu}$
(wie aus (31) und (42) hervorgeht),
mit der Grösse $\omega_{\kappa\lambda\mu}$ in folgendem Zusammenhange:
\[
 \omega_{\kappa\lambda\mu}
 - \frac{
 H_{\kappa}
 F'_{\lambda\mu}}
 {G_{\lambda\mu}}
 =
 g_{\kappa}
 f_{\kappa\lambda\mu}
 \frac{R}
 {J G_{\lambda\mu}}
 \overline{M}_{\kappa, \lambda\mu};
\]
es ist also:
\[
 g_{\kappa} f_{\kappa\lambda\mu}
 \overline{M}_{\kappa, \lambda\mu}
 = \frac{J}{R} \left( G_{\lambda\mu} \omega_{\kappa\lambda\mu}
 - H_{\kappa} F'_{\lambda\mu} \right).
\]
Daraus folgt:
\[
 g_{\kappa} f_{\kappa\lambda\mu} S_1
 = \frac{g_{\lambda} g_{\mu} J \Delta'}
        {g R R'^2}
 \left( \chi_{\lambda\mu} \omega_{\kappa\lambda\mu}
 {H'_{\kappa}} -  \psi_{\kappa}  H'_{\lambda\mu} \right).
\]
$S_2$ erhalten wir hieraus, indem wir $(x,\, y,\, z)$ mit $(x',\, y',\, z')$ vertauschen.
Die alternirende Function $J$ verwandelt sich dabei in $-J$\@. Es
ist also:
\[
 g_{\kappa} f_{\kappa\lambda\mu} S_2
 = \frac{- g_{\lambda} g_{\mu} J \Delta}
        {g R' R^2}
 \left( \chi_{\lambda\mu} \omega_{\kappa\lambda\mu}
 H_{\kappa} - \psi_{\kappa} H_{\lambda\mu} \right).
 \]
Nun ist nach der Gleichung~(48):
\[
 \chi_{\lambda\mu} \omega_{\kappa\lambda\mu} dv_{\kappa}
 - \psi_{\kappa} dv_{\lambda\mu}
 = \frac{- g_{\kappa} f_{\kappa\lambda\mu} (S_1 + S_2)}
        {2 g_{\lambda} g_{\mu}}
 \frac{\widetilde{\omega}}{\sigma_0}.
\]
Wenn man hier für $S_1$ und $S_2$ die gefundenen Werthe einsetzt, so erhält man:
\[
\begin{split}
 \chi_{\lambda\mu} \omega_{\kappa\lambda\mu} dv_{\kappa}
 - \psi_{\kappa} dv_{\lambda\mu}
=&-\frac{\tfrac{1}{2} J \widetilde{\omega} \Delta'}
        {g R R'^2 \sigma_0}
  \left(  \chi_{\lambda\mu} \omega_{\kappa\lambda\mu}
  {H'_{\kappa}} - \psi_{\kappa} H'_{\lambda\mu} \right)   \\
 &+\frac{\tfrac{1}{2} J \widetilde{\omega} \Delta}
        {g R' R^2 \sigma_0}
  \left( \chi_{\lambda\mu} \omega_{\kappa\lambda\mu} H_{\kappa}
        - \psi_{\kappa} H_{\lambda\mu}
  \right).
\end{split}
\]
Dieser Gleichung können wir folgende Form geben:
\[
\begin{split}
 \chi_{\lambda\mu} \omega_{\kappa\lambda\mu}
&\left(
 dv_{\kappa}
 - \frac{\tfrac{1}{2} J \widetilde{\omega} H_{\kappa}}
        {g R' R^2 \sigma_0}  \Delta
 + \frac{\tfrac{1}{2} J \widetilde{\omega} {H'_{\kappa}}}
        {g R R'^2 \sigma_0}  \Delta'
 \right)   \\
= \psi_{\kappa}
& \left(
 dv_{\lambda\mu}
 - \frac{\tfrac{1}{2} J \widetilde{\omega} H_{\lambda\mu}}
        {g R' R^2 \sigma_0}  \Delta
 + \frac{\tfrac{1}{2} J \widetilde{\omega} H'_{\lambda\mu}}
        {g R R'^2 \sigma_0}  \Delta'
 \right).
\end{split}
\]
Hier ist nun leicht zu sehen, dass die mit $
\chi_{\lambda\mu} \omega_{\kappa\lambda\mu}$ und $\psi_{\kappa}$
multiplicirten Ausdrücke gleich Null sein müssen. Denn es ist allgemein
\begin{align*}
 dv_m &= a_m du + b_m du' + c_m du'',   \\
 H_m &= a_m H + b_m \overline{H}  + c_m \overline{\overline{H}}, \\
 H_m'&= a_m H'+ b_m \overline{H}' + c_m \overline{\overline{H}}'.
\end{align*}
Dadurch nimmt auch der Ausdruck
\[
 dv_m
 - \frac{\tfrac{1}{2} J \widetilde{\omega} H_m}
        {g R' R^2 \sigma_0}  \Delta
 + \frac{\tfrac{1}{2} J \widetilde{\omega} H_m'}
        {g R R'^2 \sigma_0}  \Delta'
\]
die Form
\[
 a_m \vartheta + b_m \vartheta' + c_m \vartheta'' = \vartheta_m
\]
an, wo $\vartheta,\, \vartheta',\, \vartheta''$
%** Added missing prime on the third $\vartheta$ term.
von dem Index $m$ unabhängige Grössen bedeuten.
Führt man für den Augenblick diese Grössen $\vartheta_m$ ein, so ergiebt die
aufgestellte Gleichung:
%-----File: 103.png-----------------------------------------
\[
\chi_{\lambda\mu} \omega_{\kappa\lambda\mu} \vartheta_\kappa =
 \psi_\kappa \vartheta_{\lambda\mu}.
\]

Diese Formel kann nur dadurch bestehen, dass allgemein $\vartheta_\kappa$ und
$\vartheta_{\lambda\mu}$ gleich Null ist. Am klarsten wird dies erkannt,
wenn wir die am
Anfange des vorigen Paragraphen aufgestellte Gleichung
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}
 \left\{
 (-1)^{\beta\gamma\mid \alpha\delta}
 f_{\beta\gamma\lambda}
 f_{\alpha\delta\lambda}
 \omega_{\beta\gamma\kappa}
 \omega_{\alpha\delta\kappa}
 \right\}=
 (-1)^{\mu\mid \kappa}
 g_\kappa
 g_\mu k^2_0
 \frac{\sigma^2_\kappa}
 {\sigma^2_0} \chi_{\kappa\mu}
\]
zu Hülfe nehmen.
Angenommen nämlich, dass die Grössen $\vartheta_m$ von
Null verschieden wären, so wäre
\[
\omega_{\kappa\lambda\mu} =
 \frac{\psi_\kappa}{\vartheta_\kappa} \cdot
 \frac{\vartheta_{\lambda\mu}}{\chi_{\lambda\mu}},
\]
also
\[
\omega_{\beta\gamma\kappa} =
 \frac{\psi_\beta}{\vartheta_\beta}
 \frac{\vartheta_{\gamma\kappa}}{\chi_{\gamma\kappa}}, \quad
\omega_{\alpha\delta\kappa} =
 \frac{\psi_\alpha}{\vartheta_\alpha}
 \frac{\vartheta_{\delta\kappa}}{\chi_{\delta\kappa}},
\]
mithin
\[
\omega_{\beta\gamma\kappa} \omega_{\alpha\delta\kappa} =
 \frac{\psi_\alpha \psi_\beta}{\vartheta_\alpha \vartheta_\beta}
 \frac{\vartheta_{\gamma\kappa} \vartheta_{\delta\kappa}}
      {\chi_{\gamma\kappa} \chi_{\delta\kappa}} =
 \omega_{\gamma\alpha\kappa} \omega_{\beta\delta\kappa}.
\]
Die drei Producte
\[
\omega_{\beta\gamma\kappa}  \omega_{\alpha\delta\kappa}, \quad
\omega_{\gamma\alpha\kappa} \omega_{\beta\delta\kappa}, \quad
\omega_{\alpha\beta\kappa} \omega_{\gamma\delta\kappa}
\]
wären demnach einander gleich; und da die Summe der Coefficienten
des Ausdrucks auf der linken Seite gleich Null ist, so würde sich
ergeben:
\[
\frac{\sigma^2_\kappa}{\sigma^2_0} \chi_{\kappa\mu} = 0,
\]
was unmöglich ist. Es zeigt sich also, dass wir allgemein
 $\vartheta_m = 0$ zu
setzen haben. Hiermit ist die Darstellung der Differentiale gefunden,
nämlich:
\[
dv_m = \frac{\tfrac{1}{2}J\widetilde{\omega} H_m}{gR'R^2\sigma_0}\Delta -
       \frac{\tfrac{1}{2}J\widetilde{\omega} H'_m}{gRR'^2\sigma_0}\Delta'.
\]
Diese Darstellung ist jetzt dadurch zu vereinfachen, dass für
$\sigma_0$ derjenige Werth gesetzt wird, der sich in §~15,
Gleichung~(45) ergab.
Es war dort $\sigma_0=\dfrac{kJ}{\widetilde{\omega}^2}$\@.
Nun folgt aus den Gleichungen:
\[
\chi_{\kappa\lambda} =
 \frac{\widetilde{\omega} \sigma_{\kappa\lambda}}
      {\sigma_\kappa \sigma_\lambda}, \quad
 \psi_\kappa = \widetilde{\omega} \sigma^2_\kappa, \quad
 \psi_\lambda = \widetilde{\omega} \sigma_\lambda^2,
\]
dass
\[
\psi_\kappa \psi_\lambda \chi_{\kappa\lambda} =
 \widetilde{\omega}^3 \phi_{\kappa\lambda}
\]
ist. Ersetzen wir diese Grössen durch ihre Ausdrücke in
$x,\, y,\, z,\ x',\, y',\, z'$, so folgt:
\[
H_\kappa H_\lambda G_{\kappa\lambda} \cdot
 H'_\kappa H'_\lambda G'_{\kappa\lambda} =
 \widetilde{\omega}^3 F_{\kappa\lambda} F'_{\kappa\lambda};
\]
und da
\[
H_\kappa H_\lambda G_{\kappa\lambda} =
R F_{\kappa\lambda}, \quad
H'_\kappa H'_\lambda G'_{\kappa\lambda} = R' %Printer error: R' missing.
F'_{\kappa\lambda}
\]
%-----File: 104.png-----------------------------------------
ist, so erhalten wir:
\[
 \widetilde{\omega}^3 = R R'.
\]
Setzt man dies in den Ausdruck von $\sigma_0$ ein, so wird
$\sigma_0 = \dfrac{k J \widetilde{\omega}}{R R'}$;
daher:
\[
 dv_m = \frac{1}{2 g k}
   \left( H_m \frac{\Delta}{R} - H_m' \frac{\Delta'}{R'} \right).
\]
Nun ist
\begin{align*}
H_m &= a_m H + b_m \overline{H} + c_m \overline{\overline{H}},\\
v_m &= a_m u\ + b_m u'  \,         + c_m u'';
\end{align*}
daher erhalten wir die Differentiale der Argumente durch folgende
Formeln ausgedrückt:
\begin{align*}
 du   &= \frac{1}{2 k g}
   \left( \frac{H \Delta}{R}
        - \frac{H' \Delta'}{R'} \right),\\
 du'  &= \frac{1}{2 k g}
   \left( \frac{\overline{H} \Delta}{R}
        - \frac{\overline{H'} \Delta'}{R'} \right),\\
 du'' &= \frac{1}{2 k g}
   \left( \frac{\overline{\overline{H}} \Delta}{R}
        - \frac{\overline{\overline{H'}} \Delta'}{R'} \right).
\end{align*}
Die Integrale
\[
 \int \frac{H \Delta}{2kg R}, \quad
 \int \frac{\overline{H} \Delta}{2kg R}, \quad
 \int \frac{\overline{\overline{H}} \Delta}{2kg R},
\]
ausgedehnt auf einem bestimmten Integrationswege von einer beliebigen,
aber festen unteren Grenze $a,\, b,\, c$ bis zu dem veränderlichen Punkte
$x$, $y$, $z$ bezeichnen wir durch
\[
 U(x,\, y,\, z), \quad U'(x,\, y,\, z), \quad U''(x,\, y,\, z).
\]
Es ist dann
\[
 u   = \Int{x',\, y',\, z'}{x,\, y,\, z} (dU) + c, \quad
 u'  = \Int{x',\, y',\, z'}{x,\, y,\, z} (dU') + c', \quad
 u'' = \Int{x',\, y',\, z'}{x,\, y,\, z} (dU'') + c'',
\]
wo $c$, $c'$, $c''$ die von $x$, $y$, $z$ und $x'$, $y'$, $z'$ unabhängigen
Integrations-Constanten bedeuten; oder:
\begin{align*}
 u   &= U(x,\, y,\, z) - U(x',\, y',\, z') + c,   \\
 u'  &= U'(x,\, y,\, z) - U'(x',\, y',\, z') + c',   \\
 u'' &= U''(x,\, y,\, z) - U''(x',\, y',\, z') + c''.
\end{align*}
Es ist offenbar, dass die Constanten $c$, $c'$, $c''$ auf mehr als eine Art
bestimmt werden können, da die Integrale, durch welche die Argumente
dargestellt sind, mehrdeutige Functionen sind. Es frägt sich
nun: Welche Werthe können diesen Constanten ertheilt werden?
Unsere ganze Untersuchung ist begründet auf der Voraussetzung, dass
die Determinante der sechs Grössen $L_{11}$, $L_{12}$ etc.\ gleich Null gesetzt
werde. Diese Determinante ist eine Function, die gleichzeitig mit den
Argumenten verschwindet. Es muss daher möglich sein, diese Gleichung so aufzulösen,
dass die absoluten Beträge der Argumente beliebig
kleine Grössen sind.
%-----File: 105.png-----------------------------------------

Werden die Argumente geradezu gleich Null gesetzt, so verschwinden
alle diejenigen $\sigma$-Quotienten, deren Zähler eine ungrade,
und deren Nenner eine grade $\sigma$-Function ist. Nun findet aber ein
gemeinsames Verschwinden aller dieser Quotienten nur statt in dem
Punkte $(x,\, y,\, z) = (x',\, y',\, z')$; es müssen also $-c$, $-c'$, $-c''$
diejenigen Werthe sein, welche die Integrale
\[
 \Int{x',\, y',\, z'}{x,\, y,\, z} dU, \qquad
 \Int{x',\, y',\, z'}{x,\, y,\, z} dU', \qquad
 \Int{x',\, y',\, z'}{x,\, y,\, z} dU''
%**added commata
\]
erhalten, wenn man die obere Grenze mit der unteren zusammenfallen
lässt. Es sind also $c$, $c'$, $c''$ im Allgemeinen ein System von Integral-Perioden;
speciell sind diese Grössen gleich Null zu setzen, wenn die
Integrale so definirt werden, dass sie verschwinden, wenn die obere
Grenze der unteren gleichgesetzt wird.

Andrerseits verschwindet die Determinante der Grössen $L$ auch
dann, wenn für $u$, $u'$, $u''$ ein vollständiges Periodensystem
$2\widetilde{\omega}$, $2\widetilde{\omega}'$, $2\widetilde{\omega}''$
gesetzt wird. Nimmt man $u$, $u'$, $u''$ in der Nähe eines solchen
Systems an, und definirt die Integrale wieder so, dass sie verschwinden,
wenn $(x,\, y,\, z)$ mit $(x',\, y',\, z')$ zusammenfällt, so wird
$c = 2\widetilde{\omega}$, $c' = 2\widetilde{\omega}'$,
$c'' = 2\widetilde{\omega}''$. Diese verschiedenen Lösungen können nicht wesentlich
verschieden sein, sondern müssen durch Aenderung der Integrationswege
in einander übergehen. Daraus geht hervor, dass jedes Periodensystem
$2\widetilde{\omega}$, $2\widetilde{\omega}'$, $2\widetilde{\omega}''$
auch ein Periodensystem der drei Integrale $U$,
$U'$, $U''$ sein muss, und umgekehrt. Wir können daher die Grössen
$c$, $c'$, $c''$ allgemein gleich Null, also
\[
\tag{49}
\left\{
\begin{aligned}
 u   &= \Int{x',\, y',\, z'}{x,\, y,\, z} (dU),   \\[0.5em]
 u'  &= \Int{x',\, y',\, z'}{x,\, y,\, z} (dU'),   \\[0.5em]
 u'' &= \Int{x',\, y',\, z'}{x,\, y,\, z} (dU'')
\end{aligned}
\right.
\]
setzen; wird $x$, $y$, $z$ in der Nähe von $x'$, $y'$, $z'$ angenommen, so
erhalten wir, je nach der Wahl des Integrationsweges, ein Werthsystem
$u$, $u'$, $u''$, das der Umgebung des Nullpunktes, oder irgend eines
Periodensystems $2\widetilde{\omega}$, $2\widetilde{\omega}'$,
$2\widetilde{\omega}''$ angehört.

Es ist
\[
\tag{50}
 U   = \int \frac{H \Delta}{2kg R}, \quad
 U'  = \int \frac{\overline{H} \Delta}{2kg R}, \quad
 U'' = \int \frac{\overline{\overline{H}} \Delta}{2kg R}.
\]

Der Formel~(29) zufolge ist das Differential $\Delta$ durch folgenden
Ausdruck gegeben:
%-----File: 106.png-----------------------------------------
\[
 \Delta = x\, dH + y\, d\overline{H} + z\, d\overline{\overline{H}}.
\]
Da aber nach (26) die Identität besteht:
\[
 x H + y \overline{H} + z \overline{\overline{H}} = 0,
\]
so ist auch
\[
 \Delta = -(H dx + \overline{H} dy + \overline{\overline{H}} dz).
\]
Je nachdem man die Integrale als Functionen von $x$, $y$, $z$, oder von
$H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}}$ auffassen will,
hat man die eine oder die andere Darstellung
zu wählen.

Diese drei Integrale: $\int dU$, $\int dU'$, $\int dU''$ haben die Eigenschaft,
dass sie an keiner Stelle des Gebildes unendlich werden.

Wir fassen die drei Grössen $H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}}$,
als Integrationsvariable auf, und betrachten das Integral
\[
 \int \frac{H_{\nu} \Delta}{R}.
\]
Dieses lässt sich mit Hülfe der Relation
\[
 \underset{\alpha, \beta, \gamma}{S}
 \left\{
   (-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
   f_{\beta\gamma\nu} F_{\alpha\nu} d\log H_{\alpha}
 \right\}
 = \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\kappa}}}
          \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}}
        {g_{\alpha} g_{\beta} g_{\gamma} g_{\nu} \sqrt{R}}
   \frac{H_{\nu} \Delta}{R},
\]
welche in §~10 aufgestellt worden ist, in zwei Theile zerlegen. Da
nämlich in dem Ausdruck auf der linken Seite die Summe der mit
$d\log H_{\alpha}$, $d\log H_{\beta}$, $d\log H_{\gamma}$ multiplicirten Grössen gleich Null ist,
so können wir diesem Ausdruck folgende Form geben:
\[
 c F_{\alpha\nu} (d\log H_{\alpha} - d\log H_{\gamma})
 + c' F_{\beta\nu} (d\log H_{\beta} - d\log H_{\gamma}).
\]
Nun ist
\begin{gather*}
 d\log H_{\alpha} - d\log H_{\gamma}
= 2\, d\log \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}}}
               {\sqrt{\smash[b]{H_{\gamma}}}}
= 2 \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\gamma}}}}
         {\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}}}
\ d \left(\frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}}}
              {\sqrt{\smash[b]{H_{\gamma}}}} \right), \\
 F_{\alpha\nu}
= \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\nu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\nu}}}}
       {\sqrt{R}};
\end{gather*}
dadurch nimmt die aufgestellte Gleichung folgende Gestalt an:
\begin{gather*}
 c_1\, \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\gamma}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\nu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\nu}}}}
          {\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\kappa}}}
            \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}}\,
 d\left( \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}}}{\sqrt{\smash[b]{H_{\gamma}}}} \right)
+
 c_2\, \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\gamma}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\nu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\beta\nu}}}}
          {\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\kappa}}}
            \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}}\,
 d\left( \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\beta}}}} {\sqrt{\smash[b]{H_{\gamma}}}} \right)   \\
 = \frac{H_{\nu} \Delta}{R}.
\end{gather*}
Das Integral ${\displaystyle\int \frac{H_{\nu} \Delta}{R}}$ zerfällt dadurch in zwei Theile, deren jeder nur
in den Berührungspunkten der Doppeltangenten $H_{\lambda\mu} = 0$,
$H_{\mu\kappa} = 0$, $H_{\kappa\lambda} = 0$, $H_{\gamma} = 0$ unendlich wird.
Wir können aber in dem Ausdruck
dieses Integrals die sechs von $\nu$ verschiedenen Indices beliebig unter
einander vertauschen. Vertauscht man $\kappa$, $\lambda$, $\mu$ mit
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, so erhält
man eine neue Form, aus der hervorgeht, dass das betrachtete Integral
%-----File: 107.png-----------------------------------------
in den angegebenen acht Punkten nicht unendlich wird. Mithin kann
das Integral
\[
  \int\frac{H_\nu\Delta}{R}
\]
an keiner Stelle des durch die Gleichung $M=0$ definirten Gebildes
unendlich werden, sondern muss an jeder den Charakter einer ganzen
rationalen Function behalten.

Da dies für alle sieben primitiven Indices gilt, so überträgt sich
diese Eigenschaft unmittelbar auf die Integrale
\[
  \int\frac{H\Delta}{2kgR}, \quad
  \int\frac{\overline{H}\Delta}{2kgR}, \quad
  \int\frac{\overline{\overline{H}}\Delta}{2kgR},
\]
die wir die Normal-Integrale erster Gattung nennen; und die Integrale
müssen diese Eigenschaft auch besitzen, wenn wir sie nicht als
Functionen
von $H,\, \overline{H},\, \overline{\overline{H}}$, sondern von $x$, $y$, $z$
betrachten.

\Section{§~18.}

Wir haben bis jetzt nicht die $\sigma$-Functionen selbst, sondern nur
die Quotienten derselben als abhängig von $x$, $y$, $z$ und $x'$, $y'$, $z'$
aufgefasst.
Es lassen sich aber Differentialgleichungen aufstellen, welche
die Grössen $\sigma_m$ selbst, und zwar zunächst durch ihre Logarithmen
definiren. Die Reduction dieser Gleichungen auf diejenige einfachere
Form, in der sie erscheinen bei der von den Integralen ausgehenden
Theorie der Abel'schen Functionen, ist indess mit nicht geringen
formalen
Schwierigkeiten verbunden. Wir beschränken uns deshalb darauf,
nur die wichtigsten Eigenschaften dieser Transcendenten anzugeben,
welche ohne Rechnung erkannt werden können.

Wir wissen, dass jede der Functionen $\sigma(u,\, u',\, u'')_m$ entwickelt
werden kann in eine stets convergirende Potenzreihe der Argumente
$u$, $u'$, $u''$\@. Diese Argumente selbst sind durch Integrale erster Gattung
dargestellt worden, welche an jeder Stelle des algebraischen Gebildes
$(x,\, y,\, z)$ den Charakter ganzer rationaler Functionen haben. Daraus
folgt, dass auch die Function $\sigma(u,\, u',\, u'')_m$, als abhängig von $x$, $y$, $z$
betrachtet, an keiner Stelle des algebraischen Gebildes unendlich werden
kann, sondern überall den Charakter einer ganzen rationalen Function
besitzen muss. Lässt man den veränderlichen Punkt $(x,\, y,\, z)$ eine
geschlossene Linie durchlaufen, so ändern sich die Normal-Integrale
erster Gattung allgemein um ein Periodensystem
$2\widetilde{\omega}$, $2\widetilde{\omega}'$, $2\widetilde{\omega}''$; es
geht also $\sigma(u,\, u',\, u'')_m$ über in:
\[
  \sigma(u+2\widetilde{\omega} \cdots)_m= e^{\eta(u,\, u',\, u'';\, p,\, q)}
  (-1)^{\sum(p\epsilon^m-q\delta^m)} \sigma(u\cdots)_m.
\]
Die Transcendente $\sigma_m$ ändert sich also auf einem Periodenwege um
einen Exponentialfactor, dessen Exponent eine lineare Function von
$u$, $u'$, $u''$, d.~h.\ ein Integral erster Gattung ist.
%-----File: 108.png-----------------------------------------

Diese Exponentialfactoren werden an keiner Stelle Null oder
unendlich. Daher hat die Frage: an welchen Punkten wird die Function
$\sigma_m$ gleich Null? eine bestimmte Bedeutung. Denn wenn irgend ein
Zweig der Function an einer Stelle des Gebildes verschwindet, so muss
auch jedes durch analytische Fortsetzung daraus abgeleitete Element
an derselben Stelle den bestimmten Werth Null haben.

Wir wissen, dass jeder Quotient $\dfrac{\sigma_m}{\sigma_0}$
an drei Punkten verschwindet,
und an drei von dem Index $m$ unabhängigen Stellen unendlich wird.
Nun kann der Quotient $\dfrac{\sigma_m}{\sigma_0}$,
da $\sigma_m$ und $\sigma_0$ nie unendlich werden, nur
dadurch verschwinden, dass der Zähler verschwindet, und nur dadurch
unendlich gross werden, dass der Nenner verschwindet. Es sind also
für jeden Index $m$ ($m = 0$ eingeschlossen) drei Punkte
von vornherein bekannt, in denen $\sigma_m = 0$ wird.
Es ist nun zu beweisen, dass $\sigma_m$
nur an diesen drei Stellen verschwindet.

Das logarithmische Differential von $\sigma_m$ lässt sich,
wenn wir diese Function als abhängig von
$x$, $y$, $z$ betrachten, in folgender Weise
darstellen:
\[
d(\log\sigma_m) =
\frac{\partial\log\sigma_m}{\partial u}\, dU  +
\frac{\partial\log\sigma_m}{\partial u'}\, dU'  +
\frac{\partial\log\sigma_m}{\partial u''}\, dU''.
\]
Die Differentialquotienten sind hier so zu bilden, als ob $u$, $u'$, $u''$
unabhängige Grössen wären, dann aber die beschränkten Werthe
derselben einzusetzen. Lässt sich nun beweisen, dass die drei Grössen
\[
\frac{\partial\log\sigma_m}{\partial u}, \quad
\frac{\partial\log\sigma_m}{\partial u'}, \quad
\frac{\partial\log\sigma_m}{\partial u''}
\]
nur in den drei bekannten, zum Index $m$ gehörigen Punkten
unendlich werden, so folgt, da $dU,\, dU',\, dU''$ Differentiale nie unendlich
werdender Functionen sind, dass auch $\log(\sigma_m)$ nur an den drei
bekannten Stellen unendlich wird. Nun bilden wir in derselben Weise:
\[
d\left(\frac{\partial\log\sigma_m}{\partial u}\right) =
\frac{\partial^2\log\sigma_m}{\partial u^2}\, dU  +
\frac{\partial^2\log\sigma_m}{\partial u\partial u'}\, dU'  +
\frac{\partial^2\log\sigma_m}{\partial u\partial u''}\, dU''.
\]
Hier sind die drei mit $dU,\, dU',\, dU''$ multiplicirten Ausdrücke, wenn
wir $u$, $u'$, $u''$ als unbeschränkt veränderliche Grössen auffassen,
periodischen Functionen der Argumente. Denn es ist $\log(\sigma_m)$
eine Function
von $u$, $u'$, $u''$, die sich um eine additiv hinzutretende
lineare Function
$2\widetilde{\eta}u + 2\widetilde{\eta}'u' + 2\widetilde{\eta}'' u'' \,+ $
Const. ändert, wenn die Argumente um
ein Periodensystem vermehrt werden; die ersten Ableitungen
$\dfrac{\partial\log\sigma_m}{\partial u}$
etc.\ ändern sich daher nur um die Constanten
$2\widetilde{\eta},\, 2\widetilde{\eta}',\, 2\widetilde{\eta}''$, die zweiten:
$\dfrac{\partial^2\log\sigma_m}{\partial u^2}$ etc.
bleiben ungeändert. Ferner haben diese zweiten
Ableitungen die Eigenschaft, dass das Product einer jeden
mit $\sigma^2_m$ eine
%-----File: 109.png-----------------------------------------
stets endlich bleibende Function ist; denn jedes dieser Producte lässt
sich darstellen durch eine ganze Function von $\sigma_m$ und ihren Ableitungen.
Nun haben alle Quadrate der $64$ Functionen $\sigma_m$ die Eigenschaft, dass
sie sich um denselben Exponentialfactor vermehren, wenn die Argumente
um ein Periodensystem vermehrt werden:
\[
\left\{\sigma ( u + 2\widetilde{\omega} \cdots )_{m}\right\}^2=
e^{2\eta (u \cdots;\, p,\, q)} \left\{ \sigma (u \cdots )_{m}\right\}^2.
\]
Es sind also diese $64$ Functionen $\sigma^2_m$, ebenso wie die Producte
\[
\sigma^2_m \frac{\partial^2 \log \sigma_m}{\partial u^2}, \quad
\sigma^2_m \frac{\partial^2 \log \sigma_m}{\partial u \partial u'}\text{ etc.,}
\]
der Definition des §~2 im ersten Theil zufolge, Theta-Functionen zweiten
Grades mit einer Charakteristik, deren Elemente $\mu,\, \nu$ sämmtlich Null
sind. Da aber, wie dort gezeigt ist, nur $r^\rho$ linear unabhängige Theta-Functionen
$r$ten Grades von einer bestimmten Charakteristik existiren,
so muss zwischen $\sigma^2_m \dfrac{\partial^2 \log \sigma_m}{\partial u^2}$
und acht Quadraten von Theta-Functionen
eine lineare homogene Gleichung bestehen. Wir wählen die
acht Quadrate:
\[
\sigma_0^2,\ \sigma_1^2,\ \sigma_2^2 \cdots \sigma_7^2.
\]
Zwischen diesen acht Grössen besteht keine lineare Gleichung von
der Form:
\[
A \sigma_0^2 + A_1 \sigma_1^2 + \cdots + A_7 \sigma_7^2 = 0,
\]
so lange die Argumente als unbeschränkt gedacht werden. Denn angenommen,
dass eine solche Gleichung existirte, so verschwinden, wenn
wir die Argumente gleich Null setzen, alle Glieder mit Ausnahme des
ersten; folglich muss $A = 0$ sein. Setzen wir ferner die Argumente
gleich dem halben Periodensystem $\omega^1,\, \omega^{1}{}',\,
\omega^{1}{}''$, so verschwinden alle
Glieder mit Ausnahme des zweiten; folglich muss $A_1 = 0$ sein. Auf
diese Weise sieht man, dass alle Coefficienten $A,\, A_1 \cdots A_7$ gleich
Null sein müssen. -- Hieraus folgt nun, dass sich
$\sigma^2_m \dfrac{\partial^2 \log \sigma_m}{\partial u^2}$ zerlegen
lassen muss in ein lineares Aggregat:
\[
\sum_{\alpha =0}^7 (A_{\alpha}\sigma_{\alpha}^2);
\]
dass also $\dfrac{\partial^2 \log \sigma_m}{\partial u^2}$
sich in dieser Form darstellen lassen muss:
\[
\frac{\partial^2 \log \sigma_m}{\partial u^2} = \sum_{\alpha =0}^7
\left(A_{\alpha}\frac{\sigma_{\alpha}^2}{\sigma_m^2}\right).
\]
Dasselbe gilt von den fünf übrigen zweiten Ableitungen. Setzen wir
nun für die $\sigma$-Quoti\-en\-ten ihre Ausdrücke durch $x$, $y$, $z$ und $x',\, y',\, z'$,
so verwandelt sich jedes Glied $A_{\alpha} \dfrac{\sigma_{\alpha}^2}{\sigma_m^2}$
in eine rationale Function von
%-----File: 110.png-----------------------------------------
$x$, $y$, $z$, welche nur unendlich wird in den drei uns bekannten Punkten,
die zum Index $m$ gehören. Daraus folgt, dass alle sechs zweiten Ableitungen,
als Functionen von $x$, $y$, $z$ betrachtet, nur in denselben drei
Punkten unendlich werden. Daraus aber ergiebt sich, dass auch die
Integrale
\[
 \frac{\partial \log \sigma_m}{\partial u}, \quad
 \frac{\partial \log \sigma_m}{\partial u'}, \quad
 \frac{\partial \log \sigma_m}{\partial u''}, \quad
\]
und endlich $\log \sigma_m$ selbst nur in den drei zum Index $m$ gehörigen
Punkten unendlich wird, dass also $\sigma_m$ nur in diesen drei Punkten verschwindet.
Ferner ist klar, dass $\sigma_m$ in diesen drei Punkten auch nur
von der ersten Ordnung unendlich klein werden kann; denn sonst müsste
der Quotient $\dfrac{\sigma_m}{\sigma_n}$ auch von höherer als der ersten Ordnung unendlich
klein werden.


\Section{§~19.}

Durch die im §~17 geführte Untersuchung ist die eigentliche Bedeutung
der im §~3 festgesetzten Beschränkung der Veränderlichen $u$,
$u'$, $u''$ gezeigt worden. Wir sahen, dass wenn die Determinantengleichung
zwischen den Grössen $L_{11}$, $L_{12}$ etc.\ besteht, die Argumente
$u$, $u'$, $u''$ nicht mehr willkürlich sind, sondern durch die drei Normal-Integrale,
jedes von einer bestimmten unteren Grenze $(x',\, y',\, z')$ bis zu
einer bestimmten oberen $(x,\, y,\, z)$ ausgedehnt, dargestellt werden können.
Die Ausdrücke der $\sigma$-Quotienten, welche wir gefunden haben, sind also
diejenigen Werthe, welche die Functionen
\[
 \frac{\sigma(u,\, u',\, u'')_m}
      {\sigma(u,\, u',\, u'')_n}
\]
annehmen, wenn für die Argumente $u$, $u'$, $u''$ die drei Integrale
\[
 \int dU, \quad \int dU', \quad \int dU'',
\]
genommen zwischen diesen beiden Grenzen, eingesetzt werden. Die
untere Grenze $(x',\, y',$ %**
$z')$ wollen wir als fest annehmen; dann können
wir die drei Integrale durch $U(x,\, y,\, z)$, $U'(x,\, y,\, z)$, $U''(x,\, y,\, z)$ oder
kürzer durch $U$, $U'$, $U''$ bezeichnen. Wir können dann die Resultate
der vorangehenden Untersuchungen so zusammenfassen:

Setzt man für die Argumente $u$, $u'$, $u''$ der $\sigma$-Functionen die Integrale
$U$, $U'$, $U''$ ein, so verwandelt sich jede der $64$ $\sigma$-Functionen
in eine transcendente Function von $x$, $y$, $z$, die an drei Stellen des
Gebildes, und zwar von der ersten Ordnung, verschwindet. Diese drei
Stellen sind, für die graden Functionen $\sigma_m$, algebraisch abhängig von
der unteren Grenze der Integrale, und zwar sind sie für die Function
$\sigma_0$ definirt als die gemeinsamen Nullpunkte der sieben Functionen
$\Omega_{\kappa}$, für $\sigma_{\kappa\lambda\mu}$ als diejenigen Nullpunkte
der Function $\Omega_{\kappa, \lambda\mu}$, die weder
%-----File: 111.png-----------------------------------------
Doppelpunkte sind, noch der Gleichung $F_{\kappa} = 0$ genügen. Für die
ungraden Functionen $\sigma_m$ dagegen sind sie unmittelbar gegeben; es
fällt nämlich für diese einer der drei Nullpunkte immer mit der unteren
Grenze $(x',\, y',\, z')$ zusammen; die beiden andern werden gebildet durch
das von $(x',\, y',\, z')$ unabhängige Punktepaar $m$, in welchem $H_m$ verschwindet.

Der Quotient zweier $\sigma$-Functionen
\[
\frac{\sigma (U,\, U',\, U'')_m}{\sigma (U,\, U',\, U'')_n}
\]
ist eine algebraische Function, die in der Form
\[
\eta_{mn}R(x,\, y,\, z)\]
darstellbar ist; wo $R(x,\, y,\, z)$ eine rationale Function bedeutet. Die
Grössen $\eta$ sind Quadratwurzeln aus rationalen Functionen. Bei der
Definition dieser Grössen ist eine gewisse Willkür gelassen; man kann
jede von ihnen mit einer rationalen Function multipliciren, ohne dass
die wesentlichen Sätze über dieselben geändert werden. Wir können
deshalb, wenn wir wollen
\[
\eta_0 =1, \quad
\eta_{\kappa \lambda}=\eta_{\kappa} \eta_{\lambda}, \quad
\eta_{\kappa \lambda \mu}=\eta_{\kappa} \eta_{\lambda} \eta_{\mu}
\]
setzen; endlich ist auch das Product aller sieben Grössen $\eta_{\kappa}$ eine
rationale Function. Wir können deshalb
\begin{align*}
&\eta_{\kappa} = \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{k1}}}}{\sqrt{\smash[b]{H_1}}}\quad (\kappa = 2,\, 3 \cdots 7),\\
&\eta_1= \eta_2 \eta_3 \eta_4 \eta_5 \eta_6 \eta_7
%** Maybe wrong indices in the sqrt's: k1 --> \kappa?
\end{align*}
setzen, wodurch nun alle Grössen $\eta$ bestimmt sind.

Ist $m$ ein ungrader Index, so sind von den Nullpunkten der Function
$\sigma (U,\, U',\, U'')_m$ zwei von der unteren Grenze unabhängig.
Aendert man daher die untere Grenze und bezeichnet mit
$\overline{U}$, $\overline{U}'$, $\overline{U}''$
die Normal-Integrale, ausgedehnt von einer neuen willkürlichen Stelle
$x''$, $y''$, $z''$ bis zu $x$, $y$, $z$, so ist offenbar, dass der Quotient
\[
\frac{\sigma (U,\, U',\, U'')_m}
{\sigma (\overline{U}, \overline{U}', \overline{U}'')_m}
\]
nur an der Stelle $x'$, $y'$, $z'$ verschwindet, und nur an der Stelle
$x''$, $y''$, $z''$ unendlich wird, beides von der ersten Ordnung. Diese Function
ändert sich überhaupt nur um einen constanten Factor, wenn wir den
Index $m$ durch einen andern ungraden Index $n$ ersetzen. Dies geht
aus der Gleichung $\dfrac{\sigma_m} {\sigma_n} = c\, \dfrac{\sqrt{\smash[b]{H_m}}} {\sqrt{\smash[b]{H_n}}}$
unmittelbar hervor.

\Section{§~20.}

Zur Darstellung der allgemeinen $\sigma$-Functionen führt jetzt folgender
Satz.

Es seien
%-----File: 112.png-----------------------------------------
\[
  U  = \Int{a,\, b,\, c}{x,\, y,\, z} dU, \quad
  U' = \Int{a,\, b,\, c}{x,\, y,\, z} dU', \quad
  U''= \Int{a,\, b,\, c}{x,\, y,\, z} dU''
%**added commas
\]
die drei Normal-Integrale erster Gattung, genommen von einer festen
unteren Grenze $(a,\, b,$ %**
$c)$ bis zum willkürlichen Punkte $(x,\, y,\, z)$; es
seien ferner
\begin{gather*}
v_0,\, v_0',\,  v_0''; \quad
v_1,\, v_1',\,  v_1''\cdots v_{r-1},\,  v'_{r-1},\, v''_{r-1}, \\
w_0,\, w_0',\,  w_0''; \quad
w_1,\, w_1',\,  w_1''\cdots w_{r-1},\,  w'_{r-1},\, w''_{r-1}
\end{gather*}
$2 r$ Systeme von je drei Constanten, die den drei Bedingungen
\[
\sum_{\alpha =0}^{r-1}(v_{\alpha}-w_{\alpha}) =0, \quad
\sum_{\alpha =0}^{r-1}(v'_{\alpha}-w'_{\alpha}) =0, \quad
\sum_{\alpha =0}^{r-1}(v''_{\alpha}-w''_{\alpha}) =0
\]
genügen, im Uebrigen willkürlich sind; es seien endlich
\[
k_0,\,  k_1,\, k_2 \cdots k_{r-1}; \quad l_0,\,  l_1, \cdots l_{r-1}
\]
$2r$ beliebige Indices, und $m$ derjenige Index, der durch Zusammensetzung
aller entsteht; dann ist das Product
\[
Q = \prod_{\alpha=0}^{r-1} \left\{
\frac{\sigma (U+v_{\alpha}\cdots)_{k\alpha}}
     {\sigma (U+w_{\alpha}\cdots)_{l\alpha}}
\right\}
\]
darstellbar durch eine algebraische Function von $x$, $y$, $z$, die durch
Multiplication mit dem Factor $\eta_m$ in eine rationale übergeht.

Wir beweisen diesen Satz schrittweise durch das Additionstheorem;
zunächst für den Fall, dass das Product aus einem einzigen Quotienten
besteht; dann für den Fall $r = 2$; daraus folgt schliesslich das Allgemeine.

Wir setzen in dem Additionstheorem, das in der Gleichung~(39)
des ersten Theils enthalten ist, den Index $m=0$\@. Dann erhalten wir:
\begin{gather*}
\tag{51}
c_0 \, \Theta (2v\cdots)_{kl}
\, \Theta (u+w \cdots)_{k}\, \Theta (u-w\cdots)_{l} \\
= \sum_{\alpha =0}^{7} \left[± \, \Theta (v+w\cdots)_{kl\alpha} \, \Theta (v-w\cdots)_{\alpha}
\, \Theta (u+v\cdots)_{k\alpha} \, \Theta (u-v\cdots)_{l\alpha} \right].
\end{gather*}
Hier machen wir ferner die Voraussetzung, dass die beiden Indices $k$, $l$
so beschaffen sind, dass der aus beiden zusammengesetzte $kl$ grade ist.
Dann setzen wir $v$, $v'$, $v''$ gleich Null und drücken die Theta-Functionen
aus durch die $\sigma$\@. Dann erhält das Theorem folgende Gestalt:
\[
\sigma(u+w\cdots)_{k}\, \sigma(u-w\cdots)_{l} =
 \sum_{\alpha =0}^{7} [A_{\alpha}\sigma(u \cdots)_{k\alpha}\,
 \sigma(u\cdots)_{l\alpha}],
\]
wo  $A_0,\, A_1\cdots A_7$ von $u$, $u'$, $u''$ unabhängige Factoren bedeuten. Nun
setzen wir $u = U$, $u'=U'$, $u'' = U''$, und dividiren die Gleichung
durch $\{\sigma(U \cdots)_{0}\}^2$\@. Alsdann wird jedes Glied des Ausdrucks auf
%-----File: 113.png-----------------------------------------
der rechten Seite eine mit dem Factor $\eta_{kl}$ behaftete Function; es ist
also der Quotient
\[
  \frac{\sigma(U+w\cdots)_k\, \sigma(U-w\cdots)_l}{\{\sigma(U\cdots)_0\}^2}
\]
dargestellt in der Form:
\[
  \eta_{kl}R(x,\, y,\, z),
\]
wo $R(x,\, y,\, z)$ eine rationale Function bedeutet. Dies beruht auf der
Annahme, dass der Index $kl$ grade ist, weil sonst $c_{kl}$ verschwindet und
dadurch die Gleichung illusorisch wird.

Es seien nun $k,m$ zwei beliebige Indices. Jedenfalls lässt sich
zu diesen ein dritter, $l$, bestimmen, von der Beschaffenheit, dass
sowohl
$kl$ als $ml$ grade ist. Ist $km$ grade, so brauchen wir nur $l=k$
zu setzen; dann ist $kl=0$, $ml=km$,
%** Changed according to "`Berichtigung"': $hm \rightarrow km$
also beide Indices, wie verlangt,
grade. Ist aber $km$ ungrade, also entweder von der Form $\kappa$ oder
$\kappa\lambda$,
so setzen wir $l=\lambda\alpha\beta k$ ($\kappa$, $\lambda$, $\alpha$, $\beta$
sollen irgend vier verschiedene der
sieben primitiven Indices bedeuten). Es ist dann im ersten Falle
\[
  kl=\lambda\alpha\beta, \quad ml=\kappa\lambda\alpha\beta;
\]
im zweiten:
\[
  kl=\lambda\alpha\beta, \quad ml=\kappa\alpha\beta;
\]
also in beiden Fällen $kl$ und $ml$ grade. -- Es ist nun bewiesen,
dass sich
\[
  \frac{\sigma(U+w\cdots)_k\, \sigma(U-w\cdots)_l}{\{\sigma(U\cdots)_0\}^2}
\]
durch eine mit dem Factor $\eta_{kl}$,
\[
  \frac{\sigma(U+w\cdots)_m\, \sigma(U-w\cdots)_l}{\{\sigma(U\cdots)_0\}^2}
\]
durch eine mit dem Factor $\eta_{ml}$ behaftete algebraische Function von
$x,\, y,\, z$ ausdrücken lässt. Der Quotient beider Grössen
\[
  \frac{\sigma(U+w\cdots)_k}{\sigma(U+w\cdots)_m}
\]
ist also eine Function von $x,\, y,\, z$, die durch Multiplication mit dem
Factor $\eta_{km}$ in eine rationale übergeht; und zwar sind hier die Indices
$k,\, m$ keinerlei Beschränkung unterworfen. Damit ist der ausgesprochene
Satz für den Fall, dass sich das Product auf einen einzigen Factor
reducirt, bewiesen.

Wir vermehren jetzt in der Gleichung~(51) die Veränderlichen $u$
um die Grössen $v$, und setzen $v+w=v_1,v-w=v_2$\@. Dann erhalten
wir:
\begin{gather*}
  c_0\, \Theta (v_1+v_2\cdots)_{kl} \, \Theta (u+v_1\cdots)_k
  \, \Theta (u+v_2\cdots)_l\\
  =\sum_{\alpha=0}^7[±\, \Theta (v_1\cdots)_{kl\alpha}
  \, \Theta (v_2\cdots)_\alpha \, \Theta (u+v_1+v_2\cdots)_{k\alpha}
  \, \Theta (u\cdots)_{l\alpha}].
\end{gather*}
%-----File: 114.png-----------------------------------------
Hier setzen wir wieder die Integrale $U$, $U'$, $U''$ für die Argumente
$u$, $u'$, $u''$ ein, und ersetzen die $\Theta $ durch die mit Constanten
behafteten $\sigma$\@.
Dann erhalten wir eine Gleichung von folgender Form:
\[
  \sigma(U+v_1\cdots)_k\, \sigma(U+v_2\cdots)_l= \sum_{\alpha=0}^7
  [B_\alpha\sigma(U+v_1+v_2\cdots)_{k\alpha}\, \sigma(U\cdots)_{l\alpha}].
\]
Hier bedeuten $B_0,\, B_1\cdots B_7$ von $x,\, y,\, z$ unabhängige Factoren. Dividirt
man diese Gleichung durch
\[
  \sigma(U+v_1+v_2\cdots)_0\, \sigma(U\cdots)_0,
\]
so wird, wie bereits bewiesen ist,
\[
  \frac{\sigma(U+v_1+v_2\cdots)_{k\alpha}}{\sigma(U+v_1+v_2\cdots)_0}
\]
eine mit dem Factor $\eta_{k\alpha}$,
\[
  \frac{\sigma(U\cdots)_{l\alpha}}{\sigma(U\cdots)_0}
\]
eine mit dem Factor $\eta_{l\alpha}$ behaftete, also das Product
beider Quotienten
eine mit dem Factor $\eta_{kl}$ behaftete algebraische Function von $x,\, y,\, z$\@.
Dies gilt von jedem Gliede, also auch von der Summe; es ist daher
\[
  \frac{\sigma(U+v_1\cdots)_k\, \sigma(U+v_2\cdots)_l}{
  \sigma(U+v_1+v_2\cdots)_0\, \sigma(U\cdots)_0}= \eta_{kl}R(x,\, y,\, z).
\]
Wir bilden in derselben Weise den Quotienten:
\[
  \frac{\sigma(U+w_1\cdots)_m\, \sigma(U+w_2\cdots)_n}{
  \sigma(U+w_1+w_2\cdots)_0\, \sigma(U\cdots)_0}.
\]
Dieser muss sich darstellen lassen durch eine mit dem Factor
$\eta_{mn}$ behaftete
algebraische Function von $x,\, y,\, z$\@. Wenn wir nun zwischen
den vier Systemen von je drei Constanten:
\[
  v_1,\, v_1',\, v_1''; \quad
  v_2,\, v_2',\, v_2''; \quad
  w_1,\, w_1',\, w_1''; \quad
  w_2,\, w_2',\, w_2''
\]
die drei Relationen annehmen:
\begin{align*}
  v_1+v_2&=w_1+w_2,\\
  v_1'+v_2'&=w_1'+w_2',\\
  v_1''+v_2''&=w_1''+w_2'',
\end{align*}
so werden die Nenner beider Quotienten einander gleich; wir erhalten
daher:
\[
  \frac{\sigma(U+v_1\cdots)_k\, \sigma(U+v_2\cdots)_l}{
  \sigma(U+w_1\cdots)_m\, \sigma(U+w_2\cdots)_n}= \eta_{klmn}R(x,\, y,\, z).
\]
Damit ist der anfangs ausgesprochene Satz für $r=2$ bewiesen.

Um nun zum Beweise des allgemeinen Theorems zu gelangen,
nehmen wir an, dasselbe sei bewiesen für den Fall, dass das Product
aus $r-1$ Factoren besteht. Wir sondern vom Zähler von $Q$ einen,
vom Nenner zwei Factoren ab:
%-----File: 115.png-----------------------------------------
\[
  Q=\frac{\sigma(U+v_0\cdots)_{k_0}
    \prod\limits_{\alpha=1}^{r-1}
    \left\{ \sigma(U+v_\alpha\cdots)_{k\alpha} \right\}
	}{
    \sigma(U+w_0\cdots)_{l_0}\sigma(U+w_1\cdots)_{l_1}
    \prod\limits_{\alpha=2}^{r-1}
    \left\{ \sigma(U+w_\alpha\cdots)_{l\alpha} \right\}
	}.
\]
Demnach können wir, indem wir im Zähler und Nenner einen Factor
\[
  \sigma(U+w_0+w_1-v_0\cdots)_0
\]
hinzufügen, den Ausdruck $Q$ in die beiden Factoren zerlegen:
\begin{align*}
  Q_1&=\frac{\sigma(U+v_0\cdots)_{k_0}\, \sigma(U+w_0+w_1-v_0\cdots)_0}{
    \sigma(U+w_0\cdots)_{l_0}\, \sigma(U+w_1\cdots)_{l_1}},\\
  Q_2&=\frac{\sigma(U+v_1\cdots)_{k_1}}{\sigma(U+w_0+w_1-v_0\cdots)_0}
    \prod_{\alpha=2}^{r-1}
    \left\{\frac{\sigma(U+v_\alpha\cdots)_{k\alpha}}{
    \sigma(U+w_\alpha\cdots)_{l\alpha}}\right\}.
%** Added missing }
\end{align*}
Setzen wir nun
\[
  k_0l_0l_1=m_1; \quad k_1k_2\cdots k_{r-1}l_2l_3\cdots l_{r-1}=m_2,
\]
so sind zunächst für den ersten Ausdruck $Q_1$ die drei Voraussetzungen
des Satzes erfüllt; und da wir denselben für $r=2$ bewiesen haben,
so ist $Q_1$ eine mit dem Factor $\eta_{m_1}$ behaftete algebraische
Function von
$x$, $y$, $z$\@. Aber auch für den zweiten Factor sind die Voraussetzungen
erfüllt; denn da
\[
  \sum_{\alpha=0}^{r-1}(v_\alpha-w_\alpha)=0
\]
angenommen ist, so ist
\[
  v_1-w_0-w_1+v_0+\sum_{\alpha=2}^{r-1}(v_\alpha-w_\alpha)=0.
\]
Nehmen wir also an, dass der Satz für Producte von $r-1$ Factoren
bewiesen sei, so folgt, dass $Q_2$ eine mit dem Factor $\eta_{m_2}$
behaftete algebraische
Function ist. Nun ist $m_1m_2=m$; es ist also $\eta_{m_1}\eta_{m_2}$ eine
mit $\eta_m$ behaftete Function von $(x,\, y,\, z)$\@. Daraus erkennt man, dass
das Product $Q$ durch Multiplication mit dem Factor $\eta_m$ in eine
rationale
Function von $x$, $y$, $z$ übergeht. Wenn also der Satz gilt für
Producte von $r-1$ Factoren, so ist er auch richtig für Producte von
$r$ Factoren. Da er nun für $r=1$ und $r=2$ bewiesen ist, so gilt
er allgemein.

\Section{§~21.}

Wir gehen jetzt über zur Definition der Abel'schen Functionen
dreier unabhängiger Veränderlichen $u$, $u'$, $u''$\@. Wenn wir in der Function
\[
  \sigma(u,\, u',\, u'')_k
\]
die Argumente um ein Periodensystem $2\widetilde{\omega}$, $2\widetilde{\omega}'$,
$2\widetilde{\omega}''$ vermehren, so
ändert sich dieselbe um den Factor:
\[
  (-1)^{\sum(p\epsilon^k-q\delta^k)} e^{\eta(u,\, u',\, u'';pq)}.
\]
%-----File: 116.png-----------------------------------------
Der Quotient
\[
 \frac{\sigma(u,\, u',\, u'')_k}{\sigma(u,\, u',\, u'')_l}
\]
ändert also nur sein Zeichen; und zwar ist
\[
 \frac{\sigma(u + 2\widetilde{\omega} \cdots)_k}
      {\sigma(u + 2\widetilde{\omega} \cdots)_l}
 = (-1)^{\sum \left[ p(\epsilon^k - \epsilon^l)
                    - q(\delta^k - \delta^l)  \right]}
   \frac{\sigma(u \cdots)_k}{\sigma (u \cdots)_l}.
\]
Bilden wir nun ein Product von beliebig vielen $\sigma$-Quotienten, und
stellen für jeden Factor diese Gleichung auf:
\begin{gather*}
 \frac{\sigma(u + 2\widetilde{\omega} \cdots)_{k\alpha}}
      {\sigma(u + 2\widetilde{\omega} \cdots)_{l\alpha}}
 = (-1)^{\sum \left[ p(\epsilon^{k\alpha} - \epsilon^{l\alpha})
                    - q(\delta^{k\alpha} - \delta^{l\alpha})
               \right]}
   \frac{\sigma(u \cdots)_{k\alpha}}{\sigma(u \cdots)_{l\alpha}}   \\
 (\alpha = 0, \quad 1 \cdots r-1),
\end{gather*}
so fügen sich, wenn wir den aus sämmtlichen Indices $k_{\alpha}$, $l_{\alpha}$
zusammengesetzten Index mit $m$ bezeichnen, die $r$ Summen
\[
 \sum \left[ p(\epsilon^{k\alpha} - \epsilon^{l\alpha})
           - q(\delta^{k\alpha} - \delta^{l\alpha})      \right]
\]
zu einer einzigen zusammen:
\[
 \sum \left[ p\epsilon^m - q\delta^m \right];
\]
es ist also, wenn wir das Product
\[
 \prod_{\alpha=0}^{r-1} \left\{\frac{\sigma_{k\alpha}}
                                     {\sigma_{l\alpha}} \right\}
\]
mit $Q(u,\, u',\, u'')$ bezeichnen:
\[
 Q(u + 2\widetilde{\omega},\
   u' + 2\widetilde{\omega}',\
   u'' + 2\widetilde{\omega}'')
= (-1)^{\sum \left[ p\epsilon^m - q\delta^m \right]}
 Q(u,\, u',\, u'').
\]
Dieselben Gleichungen bestehen, wenn wir unter $Q(u,\, u',\, u'')$ die allgemeinere Function
\[
 \prod_{\alpha=0}^{r-1}
 \left\{ \frac{\sigma(u + v_{\alpha} \cdots)_{k\alpha}}
              {\sigma(u + w_{\alpha} \cdots)_{l\alpha}}
 \right\}
\]
verstehen, wenn nur zwischen den Constanten $v$ und $w$ die Gleichungen
bestehen:
\begin{align*}
 \sum_{\alpha=0}^{r-1} (v_{\alpha}   &- w_{\alpha} ) = 0,   \\
 \sum_{\alpha=0}^{r-1} (v_{\alpha}'  &- w_{\alpha}' ) = 0,   \\
 \sum_{\alpha=0}^{r-1} (v_{\alpha}'' &- w_{\alpha}'' ) = 0.
\end{align*}
Dies ist eben so leicht zu beweisen.

Wir denken uns nun die $2r$ Indices $k_{\alpha}$, $l_{\alpha}$ so gewählt, dass durch
Zusammensetzung aller der Index Null hervorgeht; dann sind die sechs
Grössen $\epsilon^m$ und $\delta^m$ sämmtlich Null; daraus geht hervor, dass unter
dieser Voraussetzung die Function $Q$ eine periodische ist.
%-----File: 117.png-----------------------------------------

Jede so gebildete periodische Function und jede rational aus
solchen Quotienten gebildete nennen wir eine Abel'sche Function der
Argumente.

Aus dieser Definition folgt unmittelbar folgender Satz:

Ist $\phi (u,\, u',\, u'')$ eine beliebige Abel'sche Function und sind $w,\, w',\, w''$
drei willkürliche \DPtypo{Contanten}{Constanten}, so ist $\phi (u+w,\, u'+w',\, u''+w'')$ ebenfalls eine Abel'sche Function.

Der im vorigen Paragraphen bewiesene Satz führt nun unmittelbar
zu der algebraischen Darstellung der Abel'schen Functionen durch eine
Anzahl von Grössensystemen $(x_0,\, y_0,\, z_0)$, $(x_1,\, y_1,\, z_1)$ etc., die der
Gleichung $L = 0$ genügen. Aus diesem Satze geht nämlich Folgendes
hervor:

Setzt man in dem Ausdrucke irgend einer Abel'schen Function
$\phi (u,\, u',\, u'')$ für die Argumente die Integrale erster Gattung
$\int dU$, $\int dU'$, $\int dU''$, ausgedehnt von einer als fest gedachten unteren Grenze
$(a,\, b,\, c)$ bis zu einer willkürlichen oberen $(x,\, y,\, z)$, so verwandelt sich
die Abel'sche Function in eine rationale Function von $(x,\, y,\, z)$\@.

Setzt man nun für jedes der Argumente nicht ein Integral,
sondern eine Summe von Integralen, die alle aus derselben
Differentialfunction entspringen:
\begin{align*}
 u   &= \sum_{\alpha} \quad
        \Int{(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})}
            {(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})}
              \left( dU \right), \displaybreak[1]  \\
 u'  &= \sum_{\alpha} \quad
        \Int{(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})}
            {(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})}
               \left( dU' \right), \displaybreak[1]  \\
 u'' &= \sum_{\alpha} \quad
        \Int{(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})}
            {(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})}
               \left( dU'' \right),
\end{align*}
so wird die Abel'sche Function eine rationale Function sämmtlicher
oberen Grenzen $(x_{\alpha},$ %**
$y_{\alpha},\, z_{\alpha})$\@. Denn sondern wir von den aufgestellten
Summen diejenigen Integrale ab, deren obere Grenze der Punkt
$(x_{\alpha},\, y_{\alpha},\, z_{\alpha})$ ist, so erhalten wir:

\begin{align*}
 u   &= \quad \Int{(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})}
            {(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})}
              \left( dU \right) + w, \displaybreak[1] \\[1pt]
 u'  &= \quad \Int{(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})}
            {(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})}
              \left( dU' \right) + w', \displaybreak[1] \\[1pt]
%-----File: 118.png-----------------------------------------
 u'' &= \quad \Int{(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})}
            {(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})}
              \left( dU'' \right) + w''.
\end{align*}

Nehmen wir nun $x_{\alpha}$, $y_{\alpha}$, $z_{\alpha}$ allein als veränderlich, die übrigen
Werthsysteme als constant an, so sind auch $w$, $w'$, $w''$ drei constante
Grössen und $\phi(\overline{u}+w$, $\overline{u}'+w'$, $\overline{u}''+w'')$
jedenfalls eine Abel'sche
Function von $\overline{u},\, \overline{u}',\, \overline{u}''$\@. Setzt man hier für
$\overline{u}$, $\overline{u}'$, $\overline{u}''$ die von $(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})$
bis $(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})$ ausgedehnten Integrale ein, so verwandelt sich, dem
ausgesprochenen Satz zufolge $\phi(\overline{u} + w \cdots)$ in eine rationale Function
von $(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})$\@. Es ist aber dann
$\overline{u} + w = u$, $\overline{u}' + w' =u'$,
$\overline{u}'' + w'' = u''$; folglich erkennen wir,
dass durch die Substitution der
Integralsummen für die Argumente die Abel'sche Function
$\phi(u,\, u',\, u'')$
in eine rationale Function von $(x_{\alpha},\, y_{\alpha},\, z_{\alpha})$ übergeht.

Wir können nun die Formeln für die Darstellung der Argumente
in folgender Weise schreiben:
\begin{align*}
 u &= \sum_{\alpha} \left\{ U(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha}) -
                            U(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})
                   \vphantom{{x'}'} \right\},   \\
 u' &= \sum_{\alpha} \left\{ U'(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha}) -
                           U'(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})
                   \vphantom{{x'}'} \right\},   \\
 u'' &= \sum_{\alpha} \left\{ U''(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha}) -
                           U''(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})
                   \vphantom{{x'}'}  \right\},
\end{align*}
wenn wir unter $U(x,\, y,\, z)$, $U'(x,\, y,\, z)$, $U''(x,\, y,\, z)$ die drei Integrale
verstehen:
\[
 \int \frac{H \Delta}{2kg R},\qquad
 \int \frac{\overline{H} \Delta}{2kg R},\qquad
 \int \frac{\overline{\overline{H}} \Delta}{2kg R}.
\]
Daraus geht hervor -- wenn wir auf die volle Vieldeutigkeit der
Integrale Rücksicht nehmen -- dass die Argumente $u$, $u'$, $u''$ sich nur um
ein Periodensystem ändern, wenn zwei der Werthsysteme
$(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})$
mit einander vertauscht werden. Die Abel'schen Functionen bleiben
mithin vollständig ungeändert, wenn die Werthsysteme
$(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})$ beliebig
unter einander vertauscht werden. Demnach ergiebt sich folgender Satz:

Setzt man für die Argumente $u$, $u'$, $u''$ irgend einer Abel'schen
Function
$\phi(u,\, u',\, u'')$ die Integral-Summen:
\[
 u = \sum \biggl\{ \quad
       \Int{(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})}
           {(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})}
               \left( dU \right) \biggr\}
   = \sum \biggl\{ U(x_{\alpha}, y_{\alpha}, z_{\alpha})
                 - U(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})
          \biggr\}  \text{ etc.}
\]
ein, so verwandelt sich dieselbe in eine rationale und symmetrische
Function sämmtlicher Werthsysteme
$(x_{\alpha},\, y_{\alpha},\, z_{\alpha})$\@. Es sind also jetzt
die Abel'schen Functionen nicht nur allgemein definirt, sondern es ist
auch die Grundlage gegeben zu ihrer Darstellung durch symmetrische
Functionen einer Anzahl der Gleichung $L = 0$ genügender Werthsysteme.
%-----File: 119.png-----------------------------------------

\Section{§~22.}

Es ist klar, dass je nach der Anzahl der Integrale, die man zur
Darstellung der Argumente verwendet, und nach der Wahl ihrer unteren
Grenzen, die Darstellung der Abel'schen Functionen verschieden
ausfallen muss. Die volle Veränderlichkeit ist gewahrt, wenn man die
Argumente durch Summen von je drei Integralen ausdrückt mit
beliebigen, aber fest gewählten unteren Grenzen. Nimmt man eine der
unteren Grenzen, oder beide, noch als willkürlich veränderlich an, so
würden sogar zwei Integrale ausreichen. Die Methode zur Darstellung
der $\sigma$-Functionen, welche im Folgenden benutzt wird, ist anwendbar
unter allen diesen besonderen Annahmen. Wir machen diejenige
Annahme, welche zur Darstellung der $\sigma$-Quotienten in der Weber'schen
Form führt, weil wir bei dieser Annahme keinerlei algebraischen
Schwierigkeiten begegnen. Es seien
\begin{gather*}
(x_0,\, y_0,\, z_0), \quad (x_1,\, y_1,\, z_1), \quad
  (x_2,\, y_2,\, z_2), \quad (x_3,\, y_3,\, z_3);   \\
(a_0,\, b_0,\, c_0), \quad (a_1,\, b_1,\, c_1), \quad
  (a_2,\, b_2,\, c_2), \quad (a_3,\, b_3,\, c_3)
\end{gather*}
acht Werthsysteme, die der Gleichung $L = 0$ genügen; die vier oberen
sehen wir als veränderlich, die übrigen als feste Punkte des Gebildes an.
Wir setzen dann:
\[
\tag{52}
\left\{
\begin{aligned}
 u   =& \sum_{h=0}^3 \left\{ U(x_h,\,  y_h,\,  z_h) \vphantom{\sum}
                        - U(a_h,\,  b_h,\,  c_h) \right\},   \\
 u'  =& \sum_{h=0}^3 \left\{ U'(x_h,\,  y_h,\,  z_h) \vphantom{\sum}
                        - U'(a_h,\,  b_h,\,  c_h) \right\},   \\
 u'' =& \sum_{h=0}^3 \left\{ U''(x_h,\,  y_h,\,  z_h) \vphantom{\sum}
                        - U''(a_h,\,  b_h,\,  c_h) \right\}.
\end{aligned}
\right.
\]
Es wäre erlaubt -- wovon wir indess keinen Gebrauch machen ---
ohne die Veränderlichkeit der Argumente zu beschränken, eins der
vier Werthsysteme $(x_h,\, y_h,\, z_h)$ als constant anzunehmen. Ueber die
vier unteren Grenzen haben wir freie Verfügung. Wir beschränken
dieselben durch die Bedingung, dass es eine homogene Function dritter
Ordnung $\mathsf{H}$ geben soll, die an diesen vier Punkten verschwindet und
ausserdem an den sämmtlichen Doppelpunkten. Diese Function muss
die Form haben:
\[
\tag{53}
 \mathsf{H} = A H + B H'+ C H'';
\]
denken wir uns also die andere Gleichung $M = 0$ zu Grunde gelegt,
so sind die unteren Grenzen der Integrale angenommen als die vier
Schnittpunkte der Curve $M = 0$ mit einer gegebenen Graden
$\mathsf{H} = 0$\@.

Wir setzen nun zur Abkürzung:
\[
 U(x_h,\, y_h,\, z_h) = U_h; \quad
 U(a_h,\, b_h,\, c_h) = V_h  \quad
 (h = 0,\, 1,\, 2,\, 3);
\]
%-----File: 120.png-----------------------------------------
ebenso
\begin{gather*}
  U'(x_h,\, y_h,\, z_h) = U_h', \ \quad
  U'(a_h,\, b_h,\, c_h) = V_h',   \\
  U''(x_h,\, y_h,\, z_h) = U_h'', \quad
  U''(a_h,\, b_h,\, c_h) = V_h''.
\end{gather*}

Als untere Grenze wird in allen Integralen derselbe feste Punkt
angenommen. Dann ist:
\[
\tag{54}
 u = \sum_{h=0}^3 (U_h - V_h), \quad
 u' = \sum_h (U_h' - V_h'), \quad
 u'' = \sum_h (U_h'' - V_h'').
\]
Diese Ausdrücke denken wir uns in irgend eine der $64$ Functionen
$\sigma(u,\, u',\, u'')_m$ eingesetzt. Nehmen wir die drei letzten Werthsysteme
$(x_h,\, y_h,\, z_h)$ als constant an, so ist $\sigma(u,\, u',\, u'')_m$ eine Function von
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$ allein; und zwar kann diese Function so dargestellt werden:
\[
 \sigma(u,\, u',\, u'')_m = \sigma(U_0+w,\, U_0'+w',\, U_0''+w'')_m,
\]
wo
\[
 U_0 = U(x_0,\, y_0,\, z_0), \quad
 U_0' = U'(x_0,\, y_0,\, z_0), \quad
 U_0'' = U''(x_0,\, y_0,\, z_0)
\]
ist, und $w$, $w'$, $w''$ drei Constanten bedeuten, definirt durch die Gleichungen:
\begin{gather*}
 U_1 + U_2 + U_3 - (V_0 + V_1 + V_2 + V_3) = w,   \\
 U_1' + U_2' + U_3' - (V_0' + V_1' + V_2' + V_3') = w',   \\
 U_1'' + U_2'' + U_3'' - (V_0'' + V_1'' + V_2'' + V_3'') = w''.
\end{gather*}

Wir verstehen nun unter $n$ einen beliebigen der $28$ ungraden Indices, und bilden den Quotienten:
\[
\tag{55}
 Q = \frac{\sigma(U_0 + w \cdots)_m   \, \sigma(U_0 - U_1 \cdots)_n \,
            \sigma(U_0 - U_2 \cdots)_n \, \sigma(U_0 - U_3 \cdots)_n}
          {\sigma(U_0 - V_0 \cdots)_n \, \sigma(U_0 - V_1 \cdots)_n \,
            \sigma(U_0 - V_2 \cdots)_n \, \sigma(U_0 - V_3 \cdots)_n}.
\]
Dieser muss sich, da die Gleichungen
\[
 w - U_1 - U_2 - U_3 + V_0 + V_1 + V_2 + V_3 = 0 \text{, etc.}
\]
erfüllt sind, dem in §~20 bewiesenen Satze zufolge darstellen lassen
durch eine algebraische Function von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$, die durch Multiplication
mit dem Factor $\eta_{mn}^0$ in eine rationale übergeht. (Unter $\eta_{mn}^0$
verstehen wir dieselbe Function von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$,
die $\eta_{mn}$ von $(x,\, y,\, z)$ ist.)

Wir wollen $(x,\, y,\, z)$ anstatt des veränderlichen Werthsystems
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$, und entsprechend $U$, $U'$, $U''$ für
$U_0$, $U_0'$, $U_0''$ schreiben.
Untersuchen wir jetzt, an welchen Stellen der Quotient $Q$ verschwindet
und unendlich wird. Bis auf den Factor $\sigma(U + w \cdots)_m$, der nirgends
unendlich wird, sind alle Grössen, die in dem Ausdruck $Q$ vorkommen,
specielle $\sigma$-Functionen von der früher betrachteten Art, die in dem
Punktepaare $(n)$, und ausserdem jede nur noch an einer Stelle
verschwinden; nämlich $\sigma(U - U_1 \cdots)_n$ im Punkte
$(x_1,\, y_1,\, z_1)$, $\sigma(U - U_2 \cdots)_n$
im Punkte
$(x_2,\, y_2,\, z_2)$, $\sigma(U - V_0 \cdots)_n$ im Punkte
$(a_0,\, b_0,\, c_0)$ etc.
Der Nenner von $Q$ verschwindet also in den vier von den Doppelpunkten
%-----File: 121.png-----------------------------------------
verschiedenen Nullpunkten der Function
%** Corrected typo: Fnnction $\rightarrow$ Function
$\mathsf{H}$ von der ersten
Ordnung, und in dem Punktepaare $(n)$ von der vierten Ordnung; der
Zähler verschwindet in dem Punktepaare $(n)$ von der dritten Ordnung,
und in den drei Punkten $(x_h,\, y_h,\, z_h)$ $(h=1,\, 2,\, 3)$ von der ersten
Ordnung. Der Quotient ist eine algebraische Function, die überall
den Charakter einer rationalen hat; die Anzahl ihrer Nullpunkte muss
daher gleich der Anzahl der Stellen sein, in denen sie unendlich wird;
daraus folgt, dass die Function $\sigma(u,\, u',\, u'')_m$, als abhängig von einem
der Werthsysteme $(x_h,\, y_h,\, z_h)$ aufgefasst, an drei Punkten verschwindet.

Demnach ist der Quotient $Q$ als Function von $(x,\, y,\, z)$ definirt
durch folgende Bedingungen:

Erstens.\quad Durch Multiplication mit dem Factor $\eta_{mn}$ geht $Q$ in
eine rationale Function von $(x,\, y,\, z)$ über.

Zweitens.\quad $Q$ wird unendlich, und zwar von der ersten Ordnung,
nur in sechs Punkten, nämlich den vier von den Doppelpunkten
verschiedenen
Punkten, in denen $\mathsf{H}=0$ ist, und dem Punktepaare $(n)$\@.

Drittens.\quad $Q$ verschwindet in den drei willkürlich gegebenen Stellen
$(x_h,\, y_h,\, z_h)$ $(h=1,\,2,\,3)$\@.

Durch diese Bedingungen ist die Function $Q$ bestimmt bis auf
einen von $(x,\, y,\, z)$ unabhängigen Factor. Dies wird so bewiesen:

Angenommen, dass die Function $Q$ durch die aufgestellten Bedingungen
noch nicht bestimmt wäre, so müsste es, wie auch die
Punkte $(x_h,\, y_h,\, z_h)$ gewählt sind, zwei Functionen $Q$ und $Q'$ von nicht
constantem Verhältniss geben, die den Bedingungen genügen. Wir
bestimmen zuerst eine solche Function $Q$\@. Diese verschwindet an
sechs Stellen; also ausser den Stellen $(x_h,\, y_h,\, z_h)$ in drei ferneren
$(x_h',\, y_h',\, z_h')$ $(h=1,\,2,\,3)$\@. Setzen wir nun in den gegebenen
Bedingungen
diese neuen drei Stellen an Stelle der Punkte $(x_h,\, y_h,\, z_h)$,
so ist zunächst $Q$ eine Function der verlangten Art. Dann aber müsste
eine zweite Function $Q'$ existiren, die ebenfalls den Bedingungen
genügt,
und deren Verhältniss zu $Q$ nicht constant ist. Der Quotient
$\dfrac{Q'}{Q}$ wäre dann eine rationale Function, die nur an den drei
willkürlich
gewählten Stellen, und zwar von der ersten Ordnung, unendlich wird.
Eine solche Function existirt aber nicht.

Die Aufgabe, die Function $Q$ darzustellen, wird nun dadurch gelöst,
dass man vier specielle Functionen
\[
  P_m, \quad Q_m, \quad R_m, \quad S_m
\]
aufstellt, zwischen denen keine lineare Gleichung besteht, und die den
ersten beiden Bedingungen Genüge leisten. Dies ist sehr leicht, wenn
wir den von Herrn Weber in die Theorie eingeführten Begriff der
Wurzelfunctionen anwenden. Wir sehen hierbei nicht $x,\, y,\, z$, sondern
$H,\overline{H},\overline{\overline{H}}$ als ursprüngliche Veränderliche an.
%-----File: 122.png-----------------------------------------

Es sei $r$ eine gegebene positive ganze Zahl. Dann können wir
den Index $m$ auf verschiedene Arten in ein Product von $r$ ungraden
Indices zerlegen:
\[
  m=abc\cdots e, \quad m=a'b'c'\cdots e' \text{ etc.}
\]
Diesen Zerlegungen entsprechend kann man die Producte:
\[
  P=\sqrt{\smash[b]{H_a}}\sqrt{\smash[b]{H_b}}\sqrt{\smash[b]{H_c}}\cdots \sqrt{\smash[b]{H_e}}, \quad
  P'=\sqrt{\smash[b]{H_{a'}}}\sqrt{\smash[b]{H_{b'}}}\cdots \sqrt{\smash[b]{H_{e'}}}, \text{ etc.}
\]
bilden. Jedes dieser Producte und jedes lineare Aggregat derselben
$cP+c'P'+$ etc.\ nennt Herr Weber eine Wurzelfunction $r$ter Ordnung
mit dem Index $m$\@.

Für $r=1$ giebt es nur dann Wurzelfunctionen, wenn der Index $m$
ungrade ist, und zwar auch dann nur die Grösse $\sqrt{\smash[b]{H_m}}$ oder
$c\, \sqrt{\smash[b]{H_m}}$ selbst.
Für $r=2$ sind, wenn $m=0$ ist, die Wurzelfunctionen identisch mit
den aus $H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}}$ linear gebildeten
Ausdrücken; es giebt also für
$m=0,\,r=2$ drei linear unabhängige Wurzelfunctionen. Ist dagegen
$r=2$, und $m$ von $0$ verschieden, so wissen wir aus §~9, dass sich
sechs Producte
\[
  \sqrt{\smash[b]{H_a}} \sqrt{\smash[b]{H_b}}, \quad
  \sqrt{\smash[b]{H_{a'}}}\sqrt{\smash[b]{H_{b'}}} \text{ etc.}
\]
bilden lassen, von der Beschaffenheit, dass $ab=a'b'$ etc.\ $=m$ ist,
dass aber zwischen je dreien derselben eine lineare Gleichung besteht.
Die Anzahl der linear unabhängigen Wurzelfunctionen zweiter Ordnung
%** Corrected typo: Ordnung for Ordnuug.
mit dem Index $m$ ist also gleich 3, wenn $m=0$ ist, $=2$, wenn
$m$ von $0$ verschieden ist.

Ueber die Wurzelfunctionen gelten nun folgende allgemeine Sätze:

I. \quad Der Quotient zweier Wurzelfunctionen gleicher Ordnung, deren
eine zum Index $m$, die andre zum Index $n$ gehört, ist eine mit dem
Factor $\eta_{mn}$ behaftete algebraische Function; also eine rationale, wenn
$m=n$ ist.

Dies ist unmittelbar einleuchtend, da der Quotient je zweier
Glieder des Zählers und Nenners eine mit dem Factor $\eta_{mn}$ behaftete
Function ist. Dividirt man ferner eine Wurzelfunction $r$ter Ordnung
durch eins ihrer Glieder:
\[
  \sqrt{\smash[b]{H_a}} \sqrt{\smash[b]{H_b}}\cdots \sqrt{\smash[b]{H_e}},
\]
so verschwindet der Nenner genau in $2r$ Punkten, nämlich den
Berührungspunkten
der $r$ Doppeltangenten $H_a=0, H_b=0\cdots H_e=0$;
da der Quotient eine rationale Function ist, so muss auch der Zähler
in eben so vielen Punkten verschwinden. Es gilt also der Satz:

II. \quad Jede Wurzelfunction $r$ter Ordnung verschwindet in $2r$ Punkten.

Daraus wiederum geht, für $r>2$, hervor:

III. \quad Die Anzahl der linear unabhängigen Wurzelfunctionen $r$ter
Ordnung mit dem Index $m$ ist nicht grösser als $2r-2$\@. Oder: Zwischen
je $2r-1$ Functionen dieser Art besteht eine lineare homogene Gleichung.
%-----File: 123.png-----------------------------------------

Denn wenn wirklich $2r-2$ linear unabhängige Functionen dieser
Art existiren, so lässt sich eine Wurzelfunction $r$ter Ordnung mit
dem Index $m$ bestimmen, die an $2r-3$ willkürlich gewählten Punkten
$p_1,\, p_2,\cdots p_{2r-3}$ verschwindet. Diese verschwindet ausserdem nur noch
in drei Punkten $p_{2r-2}$, $p_{2r-1}$, $p_{2r}$\@. Wir nennen diese Function $W$ und
bilden nun eine zweite Function $W'$ derselben Art, die an den
$2r-3$ Stellen: $p_{2r}$, $p_{2r-1}$, $p_{2r-2}$, $p_{2r-3},\cdots p_{4}$ verschwindet.
Angenommen nun, dass der obige Satz nicht richtig wäre, so würden wir $W'$
so bestimmen können, dass das Verhältniss $\dfrac{W'}{W}$ keine Constante ist;
dieses Verhältniss ist aber jedenfalls eine rationale Function, nach dem
ersten Satze; wir hätten also eine rationale Function, die nur an den
drei willkürlichen Stellen $p_1$, $p_2$, $p_3$, und zwar von der ersten Ordnung,
unendlich wird. Dies ist unmöglich.

Aus dem letzten Satze geht, für $r = 3$, hervor, dass es nicht mehr
als vier linear unabhängige Wurzelfunctionen dritter Ordnung mit dem
Index $m$ giebt. Diese können wir auf folgende Weise bilden.

Wir wählen irgend einen Index $p$ von der Beschaffenheit, dass
$p m$ grade ist, und zerlegen $p$ in zwei ungrade Indices $k$, $l$\@.
$k m$ und $l m$ sind dann von $0$ verschieden, denn wäre  z.~B.\ $km = 0$,
so wäre $klm = l,$ was nicht möglich ist, da $klm$ als grade, $l$ als ungrade
vorausgesetzt ist. Es giebt deshalb genau zwei linear unabhängige
Wurzelfunctionen zweiter Ordnung mit dem Index $km$, und zwei mit dem
Index $lm$\@. Wir bezeichnen von diesen vier Functionen (die im Uebrigen
beliebig gewählt sein können) die beiden ersteren durch $A_{km}$, $B_{km}$, die
letzteren durch $A_{lm}$, $B_{lm}$\@. Es sind dann
\[
\tag{56}
p_m = A_{km}\sqrt{\smash[b]{H_k}}, \quad
q_m = B_{km} \sqrt{\smash[b]{H_k}}, \quad
r_m = A_{lm}\sqrt{\smash[b]{H_l}}, \quad
s_m = B_{lm}\sqrt{\smash[b]{H_l}}
\]
vier Wurzelfunctionen dritter Ordnung, von denen wir behaupten, dass
sie von einander linear unabhängig sind.

Denn angenommen, es bestehe zwischen ihnen eine lineare Gleichung,
so würde also eine Gleichung existiren von der Form:
\[
W_{km}\sqrt{\smash[b]{H_k}} + W_{lm}\sqrt{\smash[b]{H_l}}=0,
\]
wo $W_{km}$ eine Wurzelfunction zweiter Ordnung mit dem Index $km$,
$W_{lm}$ mit dem Index $lm$ bedeutet. Aus dieser Gleichung geht hervor,
dass $W_{km}$ in den beiden Berührungspunkten der Tangente $H_l = 0$
verschwinden müsste. Zerlegen wir jetzt den Index $km$ in zwei ungrade
Indices $a, b$ und bilden das Product
\[
W_{km}\sqrt{\smash[b]{H_a}}\sqrt{\smash[b]{H_b}},
\]
so lässt sich dieses, einem in §~9 bewiesenen Satze zufolge (S.~\pageref{S63})
darstellen durch eine homogene quadratische Function der Grössen
$H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}}$\@. Es müsste also eine homogene
quadratische Function $G$ dieser Grössen existiren,
die in den sechs Berührungspunkten der
%-----File: 124.png-----------------------------------------
Tangenten $H_a$, $H_b$, $H_l$ verschwindet. Es sei $d$ ein neuer ungrader
Index. Bilden wir dann den Quotienten:
\[
 \frac{G^2}{H_a H_b H_l H_d},
\]
so hätten wir in diesem eine rationale Function der Verhältnisse
$H: \overline{H}: \overline{\overline{H}}$, die nur in Berührungspunkten der
Tangente $H_d = 0$ unendlich wird, und zwar von der zweiten Ordnung. Functionen von
derselben Beschaffenheit sind
\[
 \frac{H}{H_d}, \quad
 \frac{\overline{H}}{H_d}, \quad
 \frac{\overline{\overline{H}}}{H_d}.
\]
Zwischen diesen vier Grössen muss eine lineare homogene Relation
stattfinden. Denn wir würden sonst ein Aggregat derselben bilden
können, welches nur vom zweiten Grade ist. Es muss also
\[
\frac{G^2}{H_a H_b H_l H_d}
= A \frac{H}{H_d} + B \frac{\overline{H}}{H_d}
+ C \frac{\overline{\overline{H}}}{H_d},
\]
oder:
\[
G^2 = H_a H_b H_l( A H + B\overline{H} + C\overline{\overline{H}} )
\]
sein, wo $A$, $B$, $C$ constante Coefficienten bedeuten. Aus dieser
Gleichung geht hervor, dass die Linie
$A H + B\overline{H} + C\overline{\overline{H}} = 0$
ebenfalls eine Doppeltangente sein muss. Da es aber nur die
$28$ Doppeltangenten giebt, so muss
$A H + B\overline{H} + C\overline{\overline{H}} = H_c$
%** Corrected printer error: $Hc \rightarrow H_c$
sein, wo $c$ einen
der $28$ ungraden Indices bedeutet.

Wir erhalten demnach
\[
G = \sqrt{\smash[b]{H_a}} \sqrt{\smash[b]{H_b}}
\sqrt{\smash[b]{H_c}} \sqrt{\smash[b]{H_l}},
\]
oder, da $G = \sqrt{\smash[b]{H_a}} \sqrt{\smash[b]{H_b}} A_{km}$ ist,
\[
A_{km} = \sqrt{\smash[b]{H_c}} \sqrt{\smash[b]{H_l}}.
\]
Nun ist
\[
\frac{A_{km}}{\sqrt{\smash[b]{H_c}} \sqrt{\smash[b]{H_l}}}
\]
eine mit dem Factor $\eta_{klmc}$ behaftete Function. Ist diese constant, so
muss $klmc = 0$, oder $klm = c$ sein. Dies aber widerspricht unsern
Voraussetzungen; denn wir haben den Index $klm$ als grade angenommen,
und der Index $c$ ist ungrade.

Dadurch ist bewiesen, dass zwischen den vier Grössen $p_m$, $q_m$,
$r_m$, $s_m$, welche wir aufgestellt haben, keine lineare Gleichung besteht.
Dividiren wir jetzt jede derselben durch das Product
$\mathsf{H} \sqrt{\smash[b]{H_n}}$, welches
eine Wurzelfunction dritter Ordnung mit dem Index $n$ ist, so ist jeder
der Quotienten
\[
\tag{56$'$}
%** Changed tag from (56) to (56'), as there's already (56)
 P_m = \frac{p_m}{\mathsf{H}\sqrt{\smash[b]{H_n}}}, \quad
 Q_m = \frac{q_m}{\mathsf{H}\sqrt{\smash[b]{H_n}}}, \quad
 R_m = \frac{r_m}{\mathsf{H}\sqrt{\smash[b]{H_n}}}, \quad
 S_m = \frac{s_m}{\mathsf{H}\sqrt{\smash[b]{H_n}}}
\]
%-----File: 125.png-----------------------------------------
nach dem ersten Satze eine mit dem Factor $\eta_{mn}$ behaftete algebraische
Function, die offenbar nur in den vier Schnittpunkten der Linie $\mathsf{H} = 0$
und den beiden Berührungspunkten der Tangente $H_n = 0$ unendlich
wird, an allen sechs Punkten nur von der ersten Ordnung. Diese vier
Functionen genügen also den ersten beiden Bedingungen, welche für
die Function $Q$ aufgestellt worden sind. Dasselbe gilt von jedem
linearen Aggregat derselben; und da zwischen $P_m$, $Q_m$, $R_m$, $S_m$ keine
homogene lineare Gleichung besteht, so können die Coefficienten dieses
Aggregats:
\[
AP_m + BQ_m + CR_m + DS_m
\]
so bestimmt werden, dass dasselbe in den Punkten
$(x_h,\, y_h,\, z_h)\, (h=1,\, 2,\, 3)$
verschwindet. Damit ist aber die Function $Q$ bis auf einen von
$(x,\, y,\, z)$
unabhängigen Factor bestimmt.

Wir bezeichnen durch
\[
p^{(h)}_m, \quad q^{(h)}_m, \quad r^{(h)}_m, \quad s^{(h)}_m
\]
die Werthe, welche die Wurzelfunctionen $p_m$, $q_m$, $r_m$, $s_m$ annehmen,
wenn
$(x_h,\, y_h,\, z_h)$ für $(x,\, y,\, z)$ gesetzt wird. Die Verhältnisse der Coefficienten
$A$, $B$, $C$, $D$ sind dann bestimmt durch die drei Gleichungen:
\[
Ap^{(h)}_m + Bq^{(h)}_m + Cr^{(h)}_m + Ds^{(h)}_m = 0 \quad (h = 1,\, 2,\, 3).
\]
Die Function $Q$ nimmt also die Form an:
\[
Q = \frac{Q_0}{\mathsf{H}\sqrt{\smash[b]{H_n}}}
\begin{vmatrix}
 p_m       &q_m   &r_m   &s_m  \\
 p^{(1)}_m &\cdot &\cdot &\cdot\\
 p^{(2)}_m &\cdot &\cdot &\cdot\\
 p^{(3)}_m &\cdot &\cdot &\cdot
\end{vmatrix},
\]
wo $Q_0$ einen von $x$, $y$, $z$ unabhängigen Factor bedeutet. Wir führen
jetzt wieder $(x_0$, $y_0$, $z_0)$ für $(x$, $y$, $z)$ ein, und bezeichnen die Determinante:
\[
\tag{57}
\begin{vmatrix}
p^0_m &q^0_m &r^0_m &s^0_m \\
p^1_m &q^1_m &r^1_m &s^1_m \\
p^2_m &q^2_m &r^2_m &s^2_m \\
p^3_m &q^3_m &r^3_m &s^3_m
\end{vmatrix}
\text{ mit } D_m.
\]
Diese Determinante ist eine alternirende Function der vier Werthsysteme.
Aufgefasst als Function von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$ verschwindet sie, da
sie eine Wurzelfunction dritter Ordnung ist, an sechs Punkten. Von
diesen sind drei bekannt, nämlich die Punkte
$(x_h,\, y_h,\, z_h)\, (h = 1,\, 2,\, 3)$;
die drei übrigen müssen die Nullpunkte der Function
$\sigma(U_0 + w \cdots)_m$,
oder $\sigma(u,\, u',$ %**
$u'')_m$ sein. Nun kommen in dem Determinanten-Ausdruck
$D_m$ die vier Punkte $(a_h,\, b_h,\, c_h)$ gar nicht vor; daraus ergiebt sich:
%-----File: 126.png-----------------------------------------

Die drei Punkte, in denen die Function $\sigma(u,\, u',\, u'')_m$,
als abhängig von $(x_0$, %**
$y_0,\, z_0)$ aufgefasst, verschwindet, sind unabhängig von
der Lage der die Curve $M = 0$ durchschneidenden Linie
$\mathsf{H} = 0$\@.

Wir haben also jetzt zur Darstellung der allgemeinen $\sigma$-Function
folgende Gleichung:
\[
 \frac{\sigma(u,\, u',\, u'')_m
        \prod\limits_{h=1}^3 \left\{ \sigma(U_0 - U_h \cdots)_n \right\}}
      {\prod\limits_{k=0}^3 \left\{ \sigma(U_0 - V_k \cdots)_n \right\}}
=  \frac{Q_0 D_m}{\mathsf{H}^0 \sqrt{\smash[b]{H_n^0}}}.
\]

Diese Gleichung multipliciren wir im Zähler mit
\[
 \sigma(U_1 - U_2 \cdots)_n \,
 \sigma(U_1 - U_3 \cdots)_n \,
 \sigma(U_2 - U_3 \cdots)_n,
\]
im Nenner mit
\[
 \prod_{k=0}^3 \left\{ \sigma(U_1 - V_k \cdots)_n \right\} \,
 \prod_{k=0}^3 \left\{ \sigma(U_2 - V_k \cdots)_n \right\} \,
 \prod_{k=0}^3 \left\{ \sigma(U_3 - V_k \cdots)_n \right\}.
\]
Alle diese Factoren sind von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$ unabhängig; es ändert sich
also auf der rechten Seite nur der Werth des von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$
unabhängigen Factors $Q_0$\@. Endlich ersetzen wir
$\mathsf{H}^0$ (oder $\mathsf{H}(x_0,\, y_0,\, z_0)$)
durch das Product
\[
  \prod_{k=0}^3 \{ \mathsf{H}(x_k, y_k, z_k) \}
= \prod_{k=0}^3 \{ \mathsf{H}^{(k)} \},
\]
und $\sqrt{\smash[b]{H_n^0}}$ durch
$\prod\limits_{k=0}^3 \left\{ \sqrt{\smash[b]{H_n^{(k)}}} \right\}$\@.
%** Changed according to "`Berichtigung"':
%** $\sqrt{H_0^{(k)}} \rightarrow \sqrt{H_n^{(k)}}$
Dadurch tritt gleichfalls zu $Q$ nur ein
von
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$ unabhängiger Factor hinzu. Auf diese Weise erhalten wir:
\[
 \sigma(u,\, u',\, u'')_m \,
 \frac{\prod\limits_{h>k} \left\{ \sigma(U_k - U_h \cdots)_n \right\}}
      {\prod\limits_{k=0}^3 \prod\limits_{h=0}^3
                    \left\{ \sigma(U_h - V_k \cdots)_n \right\}}
=
 \frac{\overline{Q}_0 D_m}
      {\prod\limits_{k=0}^3
           \left\{ \mathsf{H}^{(k)} \sqrt{\smash[b]{H_n^{(k)}}} \right\}},
\]
wo $\overline{Q}_0$, ebenso wie vorhin $Q_0$, einen von
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$ unabhängigen
Factor bedeutet, und $\mathsf{H}^{(k)}$, $\sqrt{\smash[b]{H_n^{(k)}}}$
dieselben Functionen von $(x_k,\, y_k,\, z_k)$
sind, wie $\mathsf{H}$ und $\sqrt{\smash[b]{H_n}}$ von $(x,\, y,\, z)$\@.

Nun ist leicht einzusehen, dass der Factor $\overline{Q}_0$ nicht nur von
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$, sondern auch von den drei übrigen veränderlichen
Werthsystemen unabhängig ist. Denn es ist
\[
 \sigma(U_k - U_h \cdots)_n = -\sigma(U_h - U_k \cdots)_n
\]
eine alternirende Function der beiden Werthsysteme $(x_k,\, y_k,\, z_k)$ und
$(x_h,\, y_h,\, z_h)$; also das Product
\[
 \prod_{h>k} \left\{ \sigma(U_k - U_h \cdots)_n \right\}
\]
%-----File: 127.png-----------------------------------------
eine alternirende Function aller vier Werthsysteme. Dieselbe Eigenschaft
hat die Determinante $D_m$\@. Die übrigen Factoren dagegen
\begin{align*}
  &\sigma(u,\, u',\, u'')_m,\\
  &\prod_{k=0}^3\prod_{h=0}^3\left\{\sigma(U_h-V_k\cdots)_n\right\},\\
  &\prod_{k=0}^3\left\{\mathsf{H}^{(k)}\sqrt{\smash[b]{H_n^{(k)}}}\right\}
\end{align*}
sind symmetrisch in Bezug auf die vier Werthsysteme. Es muss daher
der Factor $\overline{Q}_0$ ungeändert bleiben, wenn wir die vier Werthsysteme
$(x_h,\, y_h,\, z_h)$ beliebig unter einander vertauschen. Nun ist
$\overline{Q}_0$ unabhängig von
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$; daher ist er auch unabhängig von den übrigen drei
Werthsystemen,
d.~h.\ eine von den Argumenten $u$, $u'$, $u''$ unabhängige Constante.
Bis auf diesen constanten Factor ist demnach die Function
$\sigma(u,\, u',\, u'')_m$ vollständig bestimmt, und gegeben durch den Ausdruck:
\[
\tag{58}
  \sigma(u,\, u',\, u'')_m  = \frac{\overline{Q}_0D_m}
{\prod\limits_{k=0}^3 \left\{\mathsf{H}^{(k)}\sqrt{\smash[b]{H_n^{(k)}}}\right\}}
  \frac{\prod\limits_{k=0}^3 \prod\limits_{h=0}^3
  \left\{\sigma(U_h-V_k\cdots)_n \right\}}
    {\prod\limits_{h>k} \left\{\sigma(U_k-U_h\cdots)_n \right\}}.
\]
Hiermit ist die allgemeine $\sigma$-Function ausgedrückt durch die früher
definirten speciellen, in denen jedes Argument durch ein Integral
dargestellt
wird. Das Wesentliche dieser Darstellung ist, dass in derselben
zunächst ein Factor voransteht, der eine algebraische -- und
zwar alternirende -- Function der vier Werthsysteme ist, die nur an
festen Stellen unendlich wird; dann der Zähler vier transcendente
Functionen
\[
  \phi(x_h,\, y_h,\, z_h)=
  \prod_{k=0}^3 \left\{\sigma(U_h-V_k\cdots)_n \right\} \quad
  (h=0,\, 1,\, 2,\, 3)
\]
enthält, deren jede nur von einem Werthsystem abhängt; endlich der
Nenner sechs transcendente Functionen enthält, deren jede nur von
zwei Werthsystemen abhängt:
\[
  \phi(x_h,\, y_h,\, z_h;\, x_k,\, y_k,\, z_k)=\sigma(U_h-U_k\cdots)_n,
\]
und zwar so, dass sie ihr Zeichen ändert, wenn die beiden Werthsysteme
vertauscht werden.

Bildet man jetzt den Quotienten zweier Functionen $\sigma(u,\, u',\, u'')_m$,
so erhält man
\[
\tag{59}
  \frac{\sigma_m}{\sigma_n} = C\, \frac{D_m}{D_n},
\]
wo $C$ einen constanten Factor bedeutet. $D_m$ und $D_n$ sind alternirende
Functionen der vier Werthsysteme, und, wenn wir sie als abhängig
%-----File: 128.png-----------------------------------------
von einem derselben auffassen, begrifflich fixirt als diejenigen Wurzelfunctionen
dritter Ordnung mit den Indices $m$ und $n$, die an den drei
übrigen Stellen verschwinden. Diese Functionen können daher in sehr
verschiedener Form ausgedrückt werden, die sich aber alle nur durch
constante Factoren unterscheiden. Wenn wir eine bestimmte Form
der Darstellung gewählt haben, so kommt es darauf an, den Factor $C$
zu bestimmen. Wir werden zeigen, auf welche Weise dies geschehen
kann, werden aber die Untersuchung nicht durchführen, weil dieselbe
kaum von wesentlichem Nutzen sein würde. Denn obwohl die Grössen
$D_m$ ihrem Wesen nach einfach definirt sind, so sind sie doch in ihrer
Form zu unsymmetrisch und complicirt, als dass die Einführung dieser
Ausdrücke für die $\sigma$-Quotienten in algebraische Probleme -- wie etwa
das der Verification der $\sigma$-Relationen -- vortheilhaft sein könnte.


\Section{§~23.}

Einige der nun folgenden Sätze beruhen auf einer Umkehrung
des in §~20 bewiesenen Theorems. Es seien wieder $U$, $U'$, $U''$ die
drei Normal-Integrale, ausgedehnt von einer festen unteren Grenze
$(a,\, b,\, c)$ bis zum Punkte $(x,\, y,\, z)$, und wir bilden wieder ein Product
von $\sigma$-Quotienten

\[
Q=\prod^{r-1}_{\alpha=0}\left\{
\frac{\sigma (U+v_{\alpha} \cdots) k_{\alpha}}
     {\sigma (U+w_{\alpha} \cdots) l_{\alpha}}  \right\}.
\]
Die $2r$ Systeme von je drei Constanten:
\[
v_{\alpha},\, v_{\alpha}',\, v_{\alpha}''; \quad
w_{\alpha},\, w_{\alpha}',\, w_{\alpha}'' \quad
(\alpha = 0,\,1 \cdots r-1)
\]
mögen vorläufig ganz unbestimmt bleiben; das Product aller Indices
$k$, $l$ soll wieder mit $m$ bezeichnet werden. Wir nehmen nun an, dass
dieser Quotient sich in der Form
\[
\Phi\, \eta_m R(x,\, y,\, z)
\]
darstellen lasse, wo $\eta_m R(x,\, y,\, z)$ eine mit dem Factor $\eta_m$ behaftete
algebraische Function von $x$, $y$, $z$ bedeuten soll, $\Phi$ dagegen eine Function,
die an keiner Stelle Null oder unendlich wird. Es lässt sich dann
beweisen, dass die Summen
\[
 \sum (v_{\alpha} - w_{\alpha} ), \quad
 \sum (v_{\alpha}' - w_{\alpha}' ), \quad
 \sum (v_{\alpha}'' - w_{\alpha}'' )
\]
gleich einem vollständigen Periodensystem, und der Factor $\Phi$ eine Exponentialgrösse
sein muss, deren Exponent ein Integral erster Gattung
ist.

Um dies zu zeigen, multipliciren wir $Q$ mit noch einem neuen
$\sigma$-Quotienten:
\[
\frac{\sigma (U+v \cdots )_0}{\sigma (U+w \cdots )_0},
\]
die Constanten $w$, $w'$, $w''$ nehmen wir beliebig an; $v$, $v'$, $v''$ dagegen
bestimmen wir so, dass die Gleichungen
%-----File: 129.png-----------------------------------------
\begin{align*}
  v  - w  +\sum_{\alpha=0}^{r-1}({v_\alpha}  -{w_\alpha}  )&=0,\\
  v' - w' +\sum_{\alpha=0}^{r-1}({v'_\alpha} -{w'_\alpha} )&=0,\\
  v''- w''+\sum_{\alpha=0}^{r-1}({v''_\alpha}-{w''_\alpha})&=0
\end{align*}
befriedigt werden. Das Product
\[
  Q\, \frac{\sigma(U+v\cdots)_0}{\sigma(U+w\cdots)_0}
\]
ist dann, dem bewiesenen Theorem zufolge, eine mit dem Factor $\eta_m$
behaftete algebraische Function von $(x,\, y,\, z)$\@. Da nun
\[
  Q = \Phi\, \eta_m R(x,\, y,\, z)
\]
ist, so folgt hieraus:
\[
  \Phi\, \frac{\sigma(U+v\cdots)_0}{\sigma(U+w\cdots)_0}=R'(x,\, y,\, z),
\]
wo $R'(x,\, y,\, z)$ eine rationale Function bedeutet. Setzen wir jetzt für
$(x,\, y,\, z)$ das Werthsystem $(x_0,\, y_0,\, z_0)$, welches wir als
veränderlich auffassen -- wodurch
$U$ in $U_0$, $U'$ in $U_0'$, $U''$ in $U_0''$ übergeht, dagegen
\[
  U_1+U_2+U_3-V_0-V_1-V_2-V_3
\]
für $w$, und die entsprechenden Ausdrücke für $w'$, $w''$, und bezeichnen
die Constanten $v-w$, $v'-w'$, $v''-w''$, welche durch die drei Gleichungen
\[
  v-w+\sum_{\alpha=0}^{r-1}(v_\alpha-w_\alpha)=0, \text{ etc.}
\]
bestimmt sind, durch $h$, $h'$, $h''$, so erhalten wir:
\[
  \Phi^0\, \frac{\sigma(u+h\cdots)_0}{\sigma(u\cdots)_0}=R'(x_0,\, y_0,\, z_0).
\]
Hier bedeutet $\Phi^0$
%** Changed according to "`Berichtigung"': $\Phi \rightarrow \Phi^0$
eine Function von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$, welche nie unendlich wird;
die rationale Function $R'(x_0,\, y_0,\, z_0)$ könnte also nur dann unendlich
werden, wenn $\sigma(u,\, u',\, u'')_0$ verschwindet. Die drei Punkte, in
denen dies geschieht, sind algebraisch bestimmt, nämlich als die von
$(x_1,\, y_1,\, z_1)$, $(x_2,\, y_2,\, z_2)$, $(x_3,\, y_3,\, z_3)$ verschiedenen Nullpunkte
$(x_1',\, y_1',\, z_1')$
$(x_2',\, y_2',\, z_2')$ $(x_3',\, y_3',\, z_3')$ der Function $D_0$\@. Die beiden
Systeme von je
drei Punkten $(x_h,\, y_h,\, z_h)$ und $(x_h',\, y_h',\, z_h')$ sind wechselseitig
durch einander
bestimmt; das eine System kann daher ebensogut als unabhängig
aufgefasst werden. Demnach ist $R'(x_0,\, y_0,\, z_0)$ eine rationale
Function, die nur an drei Punkten von willkürlicher Lage unendlich
werden kann. Eine solche Function existirt nicht ausser der
Constanten;
daher muss
%-----File: 130.png-----------------------------------------
\[
  R'(x_0,\, y_0,\, z_0)=c
\]
sein, wo $c$ eine Constante bedeutet. Daraus geht nun hervor, dass
der Quotient
\[
  \frac{\sigma(u+h+\cdots)_0}{\sigma(u \cdots)_0},
%** Added missing subscript $0$ in the denominator.
\]
als abhängig von  $(x_0,\, y_0,\, z_0)$ aufgefasst, an keiner Stelle Null oder
unendlich wird. Da dieser Quotient nun symmetrisch in Bezug auf
die vier Werthsysteme $(x_h$, $y_h$, $z_h)$ ist, so folgt, dass dieser Quotient,
auch als Function von $u$, $u'$, $u''$ aufgefasst, für alle endlichen Werthe
dieser Argumente einen endlichen, von Null verschiedenen Werth hat.

Vermehrt man nun in dieser Function die Argumente um ein
Periodensystem, so ändert sich dieselbe nur um einen constanten Factor.
Aus beiden Eigenschaften zusammen folgt, dass dieser Quotient eine
Exponentialgrösse sein muss, deren Exponent eine lineare Function
von $u$, $u'$, $u''$ ist. Hieraus aber ergiebt sich, dass das Grössensystem
$h$, $h'$, $h'' $ ein Periodensystem sein muss. Wir erhalten also:
\begin{gather*}
 h=2\widetilde{\omega}, \quad h'= 2 \widetilde{\omega}', \quad h''=2\widetilde{\omega}'';  \\
\frac{\sigma(u+h\cdots)_0}{\sigma(u\cdots)_0} = e^{\eta(u,\, u',\, u'';\, p\, q)};
\end{gather*}
daher
\begin{align*}
 \Phi^0 &=  c\, e^{-\eta(u,\, u',\, u'';\, p\, q)}, \\
%** Changed according to "`Berichtigung"': $\Phi^0$ für $\Phi_0$
 &= c' e^{-(2\widetilde{\eta}U_0+2\widetilde{\eta}'U'_0
           +2\widetilde{\eta}'' U''_0  )}.
\end{align*}
Damit ist die Umkehrung bewiesen. Man sieht hier zugleich, dass
man durch Hinzufügung eines Periodensystems zu einem beliebigen
der $2 r$ Grössensysteme $(v_{\alpha}$, $v_{\alpha}'$, $v_{\alpha}'')$,
$(w_{\alpha}$, $w_{\alpha}'$, $w_{\alpha}'')$ bewirken kann, dass gradezu

\[
   \sum_{\alpha =0}^{r-1} (v_{\alpha}-w_{\alpha})=0, \quad
%** Added missing subscript $v \rightarrow v_\alpha$}
   \sum_{\alpha =0}^{r-1} (v_{\alpha}'-w_{\alpha}')=0, \quad
   \sum_{\alpha =0}^{r-1} (v_{\alpha}''-w_{\alpha}'')=0
\]
wird; der Factor $\Phi$ wird dann eine Constante.

Aus diesem Satze folgt zunächst das Abel'sche Theorem.
Bezeichnen wir durch
\[
(x_{\alpha},\, y_{\alpha},\, z_{\alpha}) \ (\alpha =0,\, 1\cdots r-1)
\]
die Punkte, in denen eine rationale Function $r$ten Grades von
$(x,\, y,\, z)$
verschwindet, und durch
\[
 (x'_{\alpha},\, y'_{\alpha},\, z'_{\alpha})\ (\alpha =0,\, 1\cdots r-1)
\]
diejenigen, in denen sie unendlich wird, und bildet man das Product:
\[
Q= \prod_{\alpha =0}^{r-1}\left\{\frac{\sigma
(U(x,\, y,\, z)-U(x_{\alpha},\, y_{\alpha},\, z_{\alpha})\cdots)_n} {\sigma
(U(x,\, y,\, z)-U(x'_{\alpha},\, y'_{\alpha},\, z'_{\alpha})\cdots)_n} \right\}
\]
(unter $\sigma_n$ verstehen wir irgend eine ungrade Function), so wird dieser
Quotient genau an denselben Stellen und von derselben Ordnung Null
%-----File: 131.png-----------------------------------------
und unendlich, wie die gegebene rationale Function $R(x,\, y,\, z)$ selbst.
Denn wir wissen, dass, wenn in der Function $\sigma(u,\, u',\, u'')_n$ für die
Argumente $u$, $u'$, $u''$ die Differenzen
\begin{gather*}
 U(x,\, y,\, z)   - U(x',\, y',\, z'),\qquad
 U'(x,\, y,\, z)  - U'(x',\, y',\, z'),   \\
 U''(x,\, y,\, z) - U''(x',\, y',\, z')
\end{gather*}
eingesetzt werden, $\sigma_n$ in eine Function von $(x,\, y,\, z)$ übergeht, die nur
im Punkte $(x',\, y',\, z')$ und dem festen Punktepaare $(n)$ verschwindet. ---
Demnach ist
\[
 Q = \Phi\, R(x,\, y,\, z),
\]
wo $\Phi$ einen Factor bedeutet, der nirgends verschwindet, noch unendlich wird.
Wenden wir nun den oben bewiesenen Satz an, so
erhalten wir:
\[
\tag{60}
\left\{
 \begin{aligned}
&   \sum_{\alpha=0}^{r-1}
     \left\{
            U( x_{\alpha},\,    y_{\alpha},\,    z_{\alpha})
          - U(x_{\alpha}',\,  y_{\alpha}',\, z_{\alpha}')
     \right\}
 = 2 \widetilde{\omega},   \\
&   \sum_{\alpha=0}^{r-1}
     \left\{
            U'( x_{\alpha},\,    y_{\alpha},\,    z_{\alpha})
          - U'(x_{\alpha}',\, y_{\alpha}',\, z_{\alpha}')
     \right\}
 = 2 \widetilde{\omega}',   \\
&   \sum_{\alpha=0}^{r-1}
     \left\{
            U''( x_{\alpha},\,    y_{\alpha},\,    z_{\alpha})
          - U''(x_{\alpha}',\, y_{\alpha}',\, z_{\alpha}')
     \right\}
 = 2 \widetilde{\omega}'';
\end{aligned} \right.
\]
also den Abel'schen Satz über die Integrale erster Gattung. In diesem
liegt der Grund, weswegen die Ausdrücke der $\sigma$-Quotienten, welche
wir aufgestellt haben, unabhängig sind von der Lage der Linie $\mathsf{H} = 0$,
von der doch die unteren Grenzen der Integrale abhängen, durch welche
die Argumente ausgedrückt sind. Denn wenden wir den Abel'schen
Satz auf die rationale Function
\[
  \frac{\mathsf{H}}{\mathsf{H}'}
= \frac{AH + B\overline{H} + C \overline{\overline{H}}}
       {A'H + B'\overline{H} + C'\overline{\overline{H}}}
\]
an, welche in den vier Punkten $(a_h,\, b_h,\, c_h) (h = 0,\, 1,\, 2,\, 3)$ gleich Null,
in vier andern: $(a_h',\, b_h',\, c_h')$ unendlich gross wird, so erkennen wir,
dass sich die Integral-Summen:
\begin{align*}
\sum_{h=0}^3 \left\{ U(a_h,\, b_h,\, c_h) \right\}&= \sum_{h=0}^3 (V_h),\\
\sum \left\{ U'(a_h,\, b_h,\, c_h) \right\}& = \sum ({V'_h}), \\
\sum \left\{ U''(a_h,\, b_h,\, c_h) \right\}& = \sum ({V''_h})
\end{align*}
entweder gar nicht, oder nur um ein Periodensystem ändern, wenn die
vier von den Doppelpunkten verschiedenen Nullpunkte der Function
$\mathsf{H}$ durch die einer andern linearen Function von
$H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}}$ ersetzt
werden. Daher können auch die Argumente auf diese Weise sich nur
um Perioden ändern.
%-----File: 132.png-----------------------------------------

Lassen wir speciell die linearen Ausdrücke
$\mathsf{H}$, $\mathsf{H'}$ mit zweien der
$28$ Functionen $H_n$, $H_m$ -- also zwei Doppeltangenten im Gebilde $M=0$
--- zusammenfallen, so fallen die Punkte $(a_h,\,  b_h,\,  c_h)$ paarweise zusammen,
und ebenso die vier Punkte $({a'_h},\, {b'_h},\, {c'_h})$\@. Wir bekommen also dann:
\[
2\sum^1_{h=0}
\left\{U(a_h,\, b_h,\, c_h)-U({a'_h},\,  {b'_h},\,  {c'_h}) \right\} =
2\widetilde{\omega},
\]
oder:
\[
\sum^1_{h=0}
\left\{U(a_h,\, b_h,\, c_h) - U({a'_h},\,  {b'_h},\,  {c'_h}) \right\}
= \widetilde{\omega};
%** Added missing subscript: changed $c'$ to $c'_h$.
\]
und die entsprechenden Gleichungen gelten für die andern
Normal-Integrale $U'$ und $U''$\@.

Denken wir uns für den Augenblick die Integrale als Functionen
von $H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}},$
und bezeichnen durch $a_n$, ${a'_n}$, ${a''_n}$ die drei
Normal-Integrale,
ausgedehnt von einem festen Punkte bis zu einem
Berührungspunkte
der Doppeltangente $H_n = 0$; durch $b_n$, ${b'_n}$, ${b''_n}$
diejenige,
welche von demselben festen Punkte bis zum andern
Berührungspunkte
erstreckt sind;
dann folgt hieraus, dass durch die Summen je
zweier bestimmter Integrale
\begin{align*}
(a_n-a_m)    &+(b_n-b_m), \\
(a'_n-a'_m)  &+(b'_n-b'_m), \\
(a''_n-a''_m)&+(b''_n-b''_m),
\end{align*}
deren untere Grenzen die beiden Berührungspunkte der Tangente
$H_m = 0$, und deren obere Grenzen die Berührungspunkte der
Tangente $H_n=0$ sind, ein halbes Periodensystem dargestellt wird.
Dieses
halbe Periodensystem können wir auf folgende Weise näher bestimmen.
Wir bilden den Quotienten:
\[
Q=\frac
{\sigma(U-a_m\cdots)_k\, \sigma(U-b_m\cdots)_k\, \sigma(U\cdots)_n}
{\sigma(U-a_n\cdots)_k\, \sigma(U-b_n\cdots)_k\, \sigma(U\cdots)_m};
\]
$k$ soll irgend einen ungraden Index bedeuten. Von diesem Quotienten
ist leicht zu sehen, dass der Zähler an denselben Stellen verschwindet,
wie der Nenner. Denn es wird der erste Factor nur Null in dem
einen Berührungspunkt der Tangente $H_m=0$, nur unendlich in dem
einen Berührungspunkt der Doppeltangente $H_n=0$; der zweite Factor
wird Null in dem andern Berührungspunkt der Tangente $H_m=0$,
unendlich in dem andern Berührungspunkt der Tangente $H_n=0$\@. In
denselben Punkten, in welchen die beiden ersten Factoren verschwinden,
wird der dritte unendlich; und umgekehrt verschwindet der dritte
Factor in den beiden Unendlichkeitspunkten der beiden ersten. $Q$ ist
also eine Function von $x$, $y$, $z$, die nirgends Null und nirgends unendlich
wird. Wir können jetzt $\sigma(U\cdots)_n$ ersetzen durch das Product
von $\sigma(U-\omega^{mn}\cdots)_m$ mit einem Exponentialfactor;
dadurch erhält man
%-----File: 133.png-----------------------------------------
\[
\frac{\sigma(U-a_m\cdots)_k\, \sigma(U-b_m\cdots)_k\, \sigma(U-\omega^{mn}\cdots)_m}
{\sigma(U-a_n\cdots)_k\, \sigma(U-b_n\cdots)_k\, \sigma(U\cdots)_m}
=\Phi,
\]
wo $\Phi$ eine Function bedeutet, die weder Null, noch unendlich wird.
Nach dem Satze, welchen wir vorhin bewiesen haben, muss nun:
\[
\tag{61}
\left\{
\begin{aligned}
&a_n - a_m + b_n - b_m = \omega^{mn} + 2\widetilde{\omega},\\
&a'_n - a'_m + b'_n - b'_m = \omega^{mn}{}' + 2\widetilde{\omega}',\\
&a''_n - a''_m + b''_n - b''_m = \omega^{mn}{}'' + 2\widetilde{\omega}''
\end{aligned}
\right.
\]
sein. Dadurch ist jetzt der Index, der zu dem halben Periodensystem
$\widetilde{\omega}$, $\widetilde{\omega}'$, $\widetilde{\omega}''$ gehört, bestimmt.

Will man jetzt in der Darstellung des Quotienten
\[
\tag{59$'$}
%** Changed tag from (59) to (59'), as there's already (59)
% [** PPV: Arguably the same equation; explicit arguments missing on LHS]
\frac{\sigma(u,\, u',\, u'')_m}
     {\sigma(u,\, u',\, u'')_n} =
C \frac{D_m}{D_n}
\]
auch den constanten Factor $C$ bestimmen, so wähle man einen Index $r$
so, dass die zusammengesetzten $mr$ und $nr$ grade werden -- was, wie
schon in §~20 gezeigt worden ist, jedenfalls möglich ist -- und zerlege
$r$ in zwei ungrade Indices $k$, $l$\@. Man kann dann die vier Functionen
$p_m$, $q_m$, $r_m$, $s_m$, die zur Bildung von $D_m$ verwendet werden, so
wählen, dass $p_m$ und $q_m$ den Factor $\sqrt{\smash[b]{H_k}}$, $r_m$ und $s_m$ den Factor
$\sqrt{\smash[b]{H_l}}$ enthalten, dass also
\begin{align*}
p_m &= A_{km}\sqrt{\smash[b]{H_k}},&\quad q_m &= B_{km}\sqrt{\smash[b]{H_k}},\\
r_m &= A_{lm}\sqrt{\smash[b]{H_l}},&\quad s_m &= B_{lm}\sqrt{\smash[b]{H_l}}
\end{align*}
ist, wo $A_{km}$ und $B_{km}$ Wurzelfunctionen zweiter Ordnung mit dem
Index $km$, $A_{lm}$ und $B_{lm}$ solche mit dem Index $lm$ sind. In der Wahl
dieser vier Functionen hat man noch eine gewisse Freiheit, da jede lineare
Function von $A_{km}$ und $B_{km}$ wieder eine Function derselben Art ist.

Ebenso können wir, da auch $nkl$ grade ist, setzen:
\begin{align*}
&p_n = A_{kn}\sqrt{\smash[b]{H_k}},&\quad &q_n = B_{kn}\sqrt{\smash[b]{H_k}},\\
&r_n = A_{ln}\sqrt{\smash[b]{H_l}},&\quad &s_n = B_{ln}\sqrt{\smash[b]{H_l}}.
\end{align*}
Die acht Grössen $A$, $B$ denken wir uns irgendwie bestimmt, so dass
jetzt $\dfrac{D_m}{D_n}$ ein bestimmter Ausdruck wird. Nun setzen wir in der Formel~(59)
für die oberen Grenzen der Integrale $U_0$, $U_1$, $U_2$, $U_3$ bestimmte
Punkte des Gebildes $M = 0$; wir setzen nämlich fest, dass die Punkte
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$ und $(x_1,\, y_1,\, z_1)$ den beiden Berührungspunkten der Tangente
$H_l = 0$, und $(x_2,\, y_2,\, z_2)$, $(x_3,\, y_3,\, z_3)$ den beiden Berührungspunkten
der Tangente $H_k = 0$ entsprechen sollen. Dann geht $U_0 + U_1$ in
$a_l + b_l$, $U_2 + U_3$ in $a_k + b_k$ über. Ausserdem ist aber nach dem
Abel'schen Satze:
$V_0 + V_1 + V_2 + V_3 = 2a_l + 2b_l + 2\widetilde{\omega}$\@. Es
ist daher
%** Typo corrected: st $\rightarrow$ ist
%-----File: 134.png-----------------------------------------
\[
u = \sum^{3}_{h=0}\left\{U_h - V_h\right\} = a_k - a_l + b_k - b_l -2\widetilde{\omega}.
\]
Das Entsprechende gilt für die andern Argumente $u'$, $u''$\@. Wir erkennen
daher, dass bei den Voraussetzungen, welche wir gemacht
haben, die Argumente $u$, $u'$, $u''$ in ein halbes Periodensystem mit dem
Index $kl$ übergehen:
\begin{align*}
u &= \omega^{kl} + 2\widetilde{\omega},\\
u' &= \omega^{kl}{}' + 2\widetilde{\omega}',\\
u'' &= \omega^{kl}{}'' + 2\widetilde{\omega}''.
\end{align*}

Der Quotient $\dfrac{\sigma_m}{\sigma_n}$ geht daher über in:
\[
±\frac{\sigma(\omega^{kl}\cdots)_m}{\sigma(\omega^{kl}\cdots)_n},
\]
eine Grösse, die leicht durch die Moduln ausgedrückt werden kann.

Auf der rechten Seite der Gleichung~(59) haben wir nun
\[
H_l^0 = 0, \quad H_l^1 = 0, \quad H_k^2 = 0, \quad H_k^3 = 0
\]
zu setzen. Dadurch werden die Grössen
$r_m^0$, $s_m^0$, $r_m^1$, $s_m^1$, $p_m^2$, $q_m^2$, $p_m^3$, $q_m^3$
gleich Null; die Determinante $D_m$ geht demnach über in
\[
\overline{D}_m =
\begin{vmatrix}
 p^0_m & q^0_m & 0     & 0      \\
 p^1_m & q^1_m & 0     & 0      \\
 0     & 0     & r^2_m & s^2_m  \\
 0     & 0     & r^3_m & s^3_m
\end{vmatrix}
=(p^0_m q^1_m - q^0_m p^1_m)(r^2_m s^3_m - s^2_m r^3_m).
\]
In derselben Weise zerfällt die andere Determinante $D_n$; indem wir
den gemeinsamen Factor beider
\[
\sqrt{\smash[b]{H_k^0}} \sqrt{\smash[b]{H_k^1}}
\sqrt{\smash[b]{H_l^2}} \sqrt{\smash[b]{H_l^3}}
\]
fortlassen, erhalten wir demnach:
\[
\frac{\overline{D}_m}{\overline{D}_n} =
\frac{A^0_{km}B^1_{km} - B^0_{km}A^1_{km}}
     {A^0_{kn}B^1_{kn} - B^0_{kn}A^1_{kn}}
\cdot
\frac{A^2_{lm}B^3_{lm} - B^2_{lm}A^3_{lm}}
     {A^2_{ln}B^3_{ln} - B^2_{ln}A^3_{ln}}.
\]
In dem ersten Factor genügen die vorkommenden Grössen $H^0$ und $H^1$
den Gleichungen $H_l^0 = 0$ und $H_l^1 = 0$, in dem zweiten die Grössen
$H^2$ und $H^3$ den Gleichungen $H_k^2 = 0$ und $H_k^3 = 0$\@. Die Ausdrücke
lassen sich reduciren durch Anwendung der in §~9 aufgestellten Relationen
unter den Wurzelgrössen. Auf diese Weise gelangt man
schliesslich dazu, $\dfrac{\overline{D}_m}{\overline{D}_n}$ durch die Parameter
allein darzustellen. Der
Coefficient $C$ ist dann gegeben durch die Gleichung:
%-----File: 135.png-----------------------------------------
\[
C = ±
\frac{\sigma(\omega^{kl}\cdots)_m}{\sigma(\omega^{kl}\cdots)_n} \,
\frac{\overline{D}_n}{\overline{D}_m}.
\]

Die Unbestimmtheit des Vorzeichens rührt nur daher, dass der
Quotient $\dfrac{\sigma_m}{\sigma_n}$ sein Zeichen wechselt,
wenn die Argumente um ein Periodensystem
vermehrt werden. Bei der Darstellung eines Products
\[
\frac{\sigma_m}{\sigma_n}
\, \frac{\sigma'_m}{\sigma'_n},
\]
in welchen die Indices $m$, $n$, $m'$, $n'$ der Bedingung $mn = m'n'$
genügen, fällt diese Unbestimmtheit fort. Jede Abel'sche Function lässt
sich daher auf diese Weise vollständig, auch mit Einschluss des Zeichens,
bestimmen.

Genauer geht auf die Aufgabe der Constanten-Bestimmung Herr
Weber in seiner Theorie der Abel'schen Functionen vom Geschlechte 3
ein, aus welcher diese Methode entlehnt ist.


\Section{§~24.}


Wir erhielten die Function $\sigma_m$ dargestellt in dieser Form
\[
\tag{62}
\Psi\sigma_m = C_mD_m,
\]
wo $\Psi$ ein allen $64$ Functionen gemeinsamer Factor ist. Wir wissen
ferner, dass die Ausdrücke der Quotienten $\dfrac{\sigma_m}{\sigma_n}$ unabhängig sind von der
Lage der Linie $\mathsf{H} = 0$\@. Wir können deshalb -- indem wir $\Psi$ nothwendigen
Falles noch mit einem constanten Factor multipliciren -- annehmen,
dass auch $C_m$ von den Grössensystemen $(a_0,\, b_0,\, c_0)$ etc.
unabhängig ist.

Das Product $\Psi\sigma_m$ ist demnach als Function von
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$ (oder
der entsprechenden Grössen $(H_0$, $\overline{H}_0$, $\overline{\overline{H}}_0)$)
zunächst definirt als eine
Wurzelfunction dritter Ordnung mit dem Index $m$, welche an den drei
übrigen Punkten $(x_h,\, y_h,\, z_h)$ verschwindet.

Diese Bedingung definirt die Function bis auf einen von
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$
unabhängigen Factor. Dieser Factor wird näher bestimmt durch die
weitere Forderung, dass $\Psi\sigma_m$ eine alternirende Function der vier
Werthsysteme sein soll.

Ausdrücke von ganz anderer Form erhält man, wenn man die
Wurzelfunctionen dritter Ordnung durch Functionen von $x$, $y$, $z$ ersetzt.
Wir haben hier zunächst die Fälle zu unterscheiden, in denen
$m$ ungrade ist, von denen wo $m$ grade ist; für diejenigen, in denen
$m$ ungrade ist, sind wiederum die Fälle zu sondern, wo $m$ eingliedrig
ist, $m = \kappa$, von denen wo $m$ zweigliedrig ist, $m = \kappa\lambda$;
endlich sind
für grade Indices die beiden Fälle $m = 0$ und
$m = \kappa\lambda\mu$ zu unterscheiden.
%-----File: 136.png-----------------------------------------

I. \quad Es sei $m = \kappa$\@.

Dann stellen wir folgende Wurzelfunctionen auf, durch welche wir
$\Psi\sigma_\kappa$ ausdrücken können:
\[
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} H, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \overline{H}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \overline{\overline{H}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}}.
\]
Dass diese linear unabhängig sind, erkennt man auf folgende Weise.
Es ist
\[
\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}
\sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}
\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}} =
\sqrt{R}F_{\lambda\mu}, \quad
\sqrt{R}
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}} =
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}}
\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}} G_{\kappa\lambda};
\]
daher:
\[
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}
\sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}
\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}} =
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} F_{\lambda\mu} G_{\kappa\lambda}.
\]
Wenn zwischen den vier aufgestellten Functionen eine lineare Gleichung
bestände, so müsste demnach eine solche auch bestehen zwischen
\[
H, \quad
\overline{H}, \quad
\overline{\overline{H}}, \quad
F_{\lambda\mu}G_{\kappa\lambda}.
\]
Das ist aber unmöglich; denn $H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}}$
sind linear unabhängig, und
die letzte Function hat im Punkte $\kappa$ einen von Null verschiedenen
Werth, während die drei andern in diesem Punkte verschwinden.

Nach Absonderung des Factors $\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}}$ geht also jede der aufgestellten
vier Grössen über in eine homogene Function dritter Ordnung von
$x$, $y$, $z$, die in allen sechs von $\kappa$ verschiedenen Punkten der
Reihe $1,\, 2 \cdots 7$ verschwindet. Nun muss $\Psi\sigma_{\kappa}$, als Function von
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$ aufgefasst, ausserdem der Bedingung genügen, dass sie
verschwindet an den drei Stellen $(x_h,\, y_h,\, z_h)$ $(h = 1,\, 2,\, 3)$;
es ist demnach
\[
\Psi\sigma_{\kappa} = \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}^0}} P(x_0,\, y_0,\, z_0),
\]
wo $P(x_0,\, y_0,\, z_0)$ eine homogene Function dritter Ordnung von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$
bedeutet, die an den drei Stellen $(x_h,\, y_h,\, z_h)$ und den sechs von
$(a_{\kappa}, b_{\kappa}, c_{\kappa})$
verschiedenen Stellen $(a_{\alpha}, b_{\alpha}$, %**
$c_{\alpha})$ verschwindet.

Hierdurch ist $P(x_0,\, y_0,\, z_0)$ ebenfalls bis auf einen von
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$
unabhängigen Factor definirt. Wir können nun eine Function dritter
Ordnung, die diesen neun Bedingungen genügt, in der Form einer
Determinante aufstellen. Die erste Horizontalreihe derselben möge gebildet
sein durch die Grössen:
\[
x_0^3, \quad x_0^2 \, y, \quad x_0^2 \, z, \quad x_0 \,y_0^2\cdots z_0^3,
\]
die darauf folgenden dadurch, dass wir $x_0$, $y_0$, $z_0$ der Reihe nach ersetzen
durch $x_1$, $y_1$, $z_1$; $x_2$, $y_2$, $z_2$; $x_3$, $y_3$, $z_3$
und die sechs von $(a_{\kappa}, b_{\kappa}, c_{\kappa})$
verschiedenen Werthsysteme $(a_{\alpha},\, b_{\alpha},$ %**
$c_{\alpha})$;
und zwar mögen diese in der
Weise auf einander folgen, wie die Indices: $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\lambda$, $\mu$\@.
Diese Determinante ist eine alternirende Function aller zehn in ihr vorkommenden
Grössensysteme. Um aus ihr einen in Bezug auf die von
$\kappa$ verschiedenen primitiven Indices $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\lambda$, $\mu$
symmetrischen Ausdruck zu erhalten, multipliciren wir sie mit dem
alternirenden Vorzeichen:
%-----File: 137.png-----------------------------------------
\[
\epsilon = (-1)^{
\alpha \mid \beta\gamma\delta\lambda\mu +
\beta \mid \gamma\delta\lambda\mu +
\gamma \mid \delta\lambda\mu +
\delta \mid \lambda\mu +
\lambda \mid \mu}
\]
und bezeichnen das Product durch $P_{\kappa}$\@.

Wir erhalten jetzt:
\[
\Psi\sigma_{\kappa} = C\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}^0}} P_{\kappa},
\]
wo $C$ einen von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$ unabhängigen Factor bedeutet. Wir
setzen nun:
\[
C = r_{\kappa}
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}^1}}\,
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}^2}}\,
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}^3}}.
\]
Dann ist
\[
\Psi\sigma_{\kappa} = r_{\kappa}
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}^0}}\,
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}^1}}\,
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}^2}}\,
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}^3}}\,
P_{\kappa}.
\]
Hier muss der Factor $r_{\kappa}$ nicht allein von
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$, sondern auch,
da $\Psi\sigma_{\kappa}$ eine alternirende Function der vier Werthsysteme sein soll,
und $P_{\kappa}$ eine solche ist, von den übrigen Werthsystemen unabhängig,
d.~h.\ eine durch die Parameter ausdrückbare Constante sein.

Die Verhältnisse dieser sieben Constanten $r_{\kappa}$ (auf die es allein
ankommt, da wir nur die Quotienten der $\sigma$ bestimmen wollen), lassen
sich durch folgende Methode angeben. Es ist klar, dass sich jede
homogene Function dritter Ordnung von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$, die an den drei
Punkten $(x_h,\, y_h,\, z_h)$ $(h=1,\,2,\,3)$ verschwindet, durch ein lineares
Aggregat der sieben Functionen $P_{\alpha}$ darstellen lassen muss:
\[
F(x_0,\, y_0,\, z_0) = \sum^{7}_{\alpha = 1}(A_{\alpha}P_{\alpha}).
\]

Um die Coefficienten zu bestimmen, setzen wir
$(x_0,\, y_0,\, z_0) = (a_{\kappa}, b_{\kappa}, c_{\kappa})$\@.
Dann verschwinden alle sieben Functionen $P_{\alpha}$ mit Ausnahme von $P_{\kappa}$;
den Werth, den $P_{\kappa}$ im Punkte $\kappa$ annimmt, wollen wir durch
$P^{\kappa}_{\kappa}$ bezeichnen.
Es ist also
\[
F(a_{\kappa}, b_{\kappa}, c_{\kappa}) =
A_{\kappa}P^{\kappa}_{\kappa}.
\]
Nun ist $P_{\kappa} = \epsilon D$, wo $\epsilon$ das vorhin gegebene Vorzeichen,
und $D$ eine Determinante bedeutet. Setzen wir in dieser Gleichung
$(x_0,\, y_0,\, z_0) = (a_{\kappa},\, b_{\kappa},\, c_{\kappa})$, so erhalten wir
\[
P^{\kappa}_{\kappa} = \epsilon\overline{D},
\]
wo $\overline{D}$ eine alternirende Function sämmtlicher zehn Werthsysteme
$(x_h,\, y_h,\, z_h)\, (h=1,\,2,\,3)$,
$(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})\, (\alpha = 1,\, 2\cdots 7)$ bedeutet.
Vertauschen wir in dieser Gleichung $\kappa$ mit $\alpha$, so ändert die Determinante
$\overline{D}$ ihr Vorzeichen; wir erhalten also
\[
P^{\alpha}_{\alpha} = -\epsilon'D,
\]
wo
\[
\epsilon' =
(-1)^{\kappa \mid \beta\gamma\delta\lambda\mu +
\beta \mid \gamma\delta\lambda\mu +
\gamma \mid \delta\lambda\mu +
\delta \mid \lambda\mu +
\lambda \mid \mu}
\]
ist. Nun ist
\[
\epsilon\epsilon' =
(-1)^{\kappa\alpha \mid \beta\gamma\delta\lambda\mu} =
(-1)^{\kappa\alpha \mid \kappa\alpha} =
-1;
\]
%-----File: 138.png-----------------------------------------
es ist also $-\epsilon' = \epsilon$, und daher:
\[
P^{\kappa}_{\kappa} = P^{\alpha}_{\alpha}.
\]
Hieraus sehen wir, dass der Werth des Ausdrucks $P^{\kappa}_{\kappa} = \epsilon D$ von dem
Index $\kappa$ unabhängig ist. Wir bezeichnen diese Grösse durch $P$\@. Wir
erhalten demnach die Identität:
\[
PF(x_0,\, y_0,\, z_0) =
\sum^{7}_{\alpha = 1}
\left\{
F(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})P_{\alpha}
\right\}.
\]

Diesen Satz wenden wir an auf eine bestimmte, in den gegebenen
Punkten verschwindende Function dritter Ordnung, nämlich auf das
Determinanten-Product
\[
F(x_0,\, y_0,\, z_0) =
\begin{vmatrix}
 x_0        &y_0        &z_0         \\
 x_1        &y_1        &z_1         \\
 a_{\kappa} &b_{\kappa} &c_{\kappa}
\end{vmatrix}
\quad
\begin{vmatrix}
 x_0         &y_0         &z_0          \\
 x_2         &y_2         &z_2          \\
 a_{\lambda} &b_{\lambda} &c_{\lambda}
\end{vmatrix}
\quad
\begin{vmatrix}
  x_0     &y_0     &z_0      \\
  x_3     &y_3     &z_3      \\
  a_{\mu} &b_{\mu} &c_{\mu}
\end{vmatrix}.
\]
Hier ist
\[
F(a_{\kappa}, b_{\kappa}, c_{\kappa}) = 0, \quad
F(a_{\lambda}, b_{\lambda}, c_{\lambda}) = 0, \quad
F(a_{\mu}, b_{\mu}, c_{\mu}) = 0;
\]
dagegen
\[
F(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha}) =
(-1)^{\kappa\lambda\mu \mid \alpha}
F(x_1,\, y_1,\, z_1)_{\alpha\kappa}
F(x_2,\, y_2,\, z_2)_{\alpha\lambda}
F(x_3,\, y_3,\, z_3)_{\alpha\mu},
\]
wenn $\alpha$ von $\kappa$, $\lambda$, $\mu$ verschieden ist. Wir setzen der Kürze wegen:
\[
F(x_{h},\, y_{h},\, z_{h})_{\kappa\lambda} = F^{(h)}_{\kappa\lambda}.
\]
Dann besteht also die Identität:
\[
F(x_0,\, y_0,\, z_0)P =
\sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta}
\left\{(-1)^{\kappa\lambda\mu \mid \alpha}
F^{(1)}_{\alpha\kappa}
F^{(2)}_{\alpha\lambda}
F^{(3)}_{\alpha\mu}
P_{\alpha}\right\}.
\]

Wir denken uns nun die drei Werthsysteme
$(x_{h},\, y_{h},\, z_{h})\, (h = 1,\,2,\,3)$
so beschränkt, dass die Gleichung
\[
P = 0
\]
erfüllt wird. Das Verschwinden des Ausdrucks $P$ -- oder, was dasselbe
ist, der Determinante $\overline{D}$ -- sagt aus, dass es möglich ist, eine
Function dritter Ordnung dreier Grössen $x$, $y$, $z$ zu bilden, die an den
Stellen $(x_{h},\, y_{h},\, z_{h})$ $(h = 1,\, 2,\, 3)$ und den sieben Stellen
$(a_{\alpha},\, b_{\alpha},\, c_{\alpha})\, (\alpha = 1,\, 2\cdots 7)$ verschwindet.
Es lassen sich nun alle Functionen
dritter Ordnung, die an den Stellen $1,\, 2\cdots 7$ verschwinden, linear
durch $H(x,\, y,\, z)$, $\overline{H}(x,\, y,\, z)$, $\overline{\overline{H}}(x,\, y,\, z)$
ausdrücken. Die aufgestellte
Bedingung ist daher gleichbedeutend mit folgender: Es muss ein
linearer Ausdruck
\[
\mathsf{H} = AH + B\overline{H} + C\overline{\overline{H}}
\]
existiren, der an den Punkten
$(x_1,\, y_1,\, z_1)$, $(x_2,\, y_2,\, z_2)$, $(x_3,\, y_3,\, z_3)$ verschwindet.
Werden die drei Werthsysteme in dieser Weise beschränkt,
so gilt die Gleichung:
%-----File: 139.png-----------------------------------------
\[
\sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta}
\left\{(-1)^{\kappa\lambda\mu \mid \alpha}
F^{(1)}_{\alpha\kappa}
F^{(2)}_{\alpha\lambda}
F^{(3)}_{\alpha\mu}
P_{\alpha}\right\} = 0.
\]
Nun lassen wir in den Ausdrücken der Argumente
\[
u = \sum^{3}_{h=0}
\left\{ U(x_h,\, y_h,\, z_h) - U(a_h,\, b_h,\, c_h)\right\}, \text{ etc.}
\]
$(x_1,\, y_1,\, z_1)$ mit $(a_1,\, b_1,\, c_1)$,
$(x_2,\, y_2,\, z_2)$ mit $(a_2,\, b_2,\, c_2)$,
$(x_3,\, y_3,\, z_3)$ mit $(a_3,\, b_3,\, c_3)$ zusammenfallen.
Dann ist die geforderte Bedingung erfüllt.
Es geht aber hierdurch
$\sigma(u,\, u',\, u'')_{\kappa}$ über in
$\sigma(U(x_0,\, y_0,\, z_0) - U(a_0,\, b_0,\, c_0)\cdots)_{\kappa}$;
daher wird
\[
p\sigma_{\kappa} =
\sqrt{\smash[b]{H(x_0,\, y_0,\, z_0)_{\kappa}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H(a_0,\, b_0,\, c_0)_{\kappa}}},
\]
wo $p$ einen von den Indices unabhängigen Factor bedeutet. Da
gleichzeitig
\[
\Psi\sigma_{\kappa} = r_{\kappa}
\sqrt{\smash[b]{H(x_0,\, y_0,\, z_0)_{\kappa}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H(a_1,\, b_1,\, c_1)_{\kappa}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H(a_2,\, b_2,\, c_2)_{\kappa}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H(a_3,\, b_3,\, c_3)_{\kappa}}}\, P_{\kappa}
\]
ist, so ergiebt sich demnach:
\[
P_{\kappa} = \frac{\Psi}{r_{\kappa}p}\,
\frac{\sqrt{\smash[b]{H(a_0,\,b_0,\,c_0)_{\kappa}}}}
{
\sqrt{\smash[b]{H(a_1,\,b_1,\,c_1)_{\kappa}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H(a_2,\,b_2,\,c_2)_{\kappa}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H(a_3,\,b_3,\,c_3)_{\kappa}}}
}.
\]
Wir erhalten also die Relation:
\[
\sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta}\left\{
(-1)^{\kappa\lambda\mu \mid \alpha}
\frac
{
F^{(1)}_{\alpha\kappa}
F^{(2)}_{\alpha\lambda}
F^{(3)}_{\alpha\mu}
\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}^0}}
}
{
r_{\alpha}
\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}^1}}
\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}^2}}
\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}^3}}
}
\right\} = 0,
\]
welche allemal dann gilt, wenn die mit $0$, $1$, $2$, $3$ bezeichneten Punkte
zusammenfallen mit den von den Doppelpunkten verschiedenen Nullpunkten
einer Function
$\mathsf{H} = AH + B\overline{H} + C\overline{\overline{H}}$\@. Wir ersetzen jetzt
die lineare Function $F$ durch Wurzelgrössen:
\begin{align*}
&F^1_{\alpha\kappa} = \frac{\sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^1_{\kappa}}}\, \sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\kappa}}}}
{\sqrt{R^1}},\\
&F^2_{\alpha\lambda} = \frac{\sqrt{\smash[b]{H^2_{\alpha}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^2_{\lambda}}}\, \sqrt{\smash[b]{H^2_{\alpha\lambda}}}}
{\sqrt{R^2}},\\
&F^3_{\alpha\mu} = \frac{\sqrt{\smash[b]{H^3_{\alpha}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^3_{\mu}}}\, \sqrt{\smash[b]{H^3_{\alpha\mu}}}}
{\sqrt{R^3}}.
\end{align*}
Dann geht die gefundene Gleichung über in folgende:
\[
\sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta}\left\{
(-1)^{\kappa\lambda\mu \mid \alpha}
\frac
{
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\alpha}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\kappa}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^2_{\alpha\lambda}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^3_{\alpha\mu}}}
}
{
r_{\alpha}
}
\right\} = 0.
\]
Diese muss stets dann gelten, wenn die mit $0,\, 1,\, 2,\, 3$ bezeichneten
Punkte der Curve $M = 0$ auf einer Graden liegen. Wir lassen nun
die Grade, auf der diese Punkte liegen, mit einer Doppeltangente
$H_d = 0$ zusammenfallen. Dann fallen auch die Punkte $0,\, 1,\, 2,\, 3$
paarweise zusammen; und zwar mögen die Punkte $0$ und $2$ mit dem
%-----File: 140.png-----------------------------------------
einen, $1$ und $3$ mit dem andern Berührungspunkt zusammenfallen.
Dadurch ergiebt sich:
\[
\sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta}\left\{
(-1)^{\kappa\lambda\mu \mid \alpha}
\frac
{
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\alpha}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\alpha\lambda}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\kappa}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\mu}}}
}
{
r_{\alpha}
}
\right\} = 0.
\]
Diese Gleichung gilt stets, wenn unter $0$, $1$ die beiden Berührungspunkte
einer Doppeltangente $H_d = 0$ verstanden werden. Wir setzen
jetzt $d = \delta$\@. Dann ist
\[
H_{\delta}^0 = 0, \quad H_{\delta}^1 = 0;
\]
die Gleichung reducirt sich demnach auf folgende:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\kappa\lambda\mu \mid \alpha}
\frac
{
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\alpha}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\alpha\lambda}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\kappa}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\mu}}}
}
{
r_{\alpha}
}
\right\} = 0.
\]

Nun ist aber allgemein (nach der ersten Formel des in §~9 aufgestellten
Systems):
\[
\begin{split}
  (-1)^{\beta\delta \mid \alpha} f_{\beta\delta\lambda}  \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\lambda}}}
+ (-1)^{\delta\alpha \mid \beta}f_{\alpha\delta\lambda} \sqrt{\smash[b]{H_{\beta}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\beta\lambda}}} \\
+ (-1)^{\alpha\beta \mid \delta}f_{\alpha\beta\lambda} \sqrt{\smash[b]{H_{\delta}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\delta\lambda}}} = 0;
\end{split}
\]
folglich, da $H_{\delta}^0 = 0$,
\[
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\alpha}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\alpha\lambda}}} :
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\beta}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\beta\lambda}}} =
(-1)^{\delta \mid \alpha}f_{\alpha\delta\lambda} :
(-1)^{\delta \mid \beta}f_{\beta\delta\lambda}.
\]
Ebenso ist:
\[
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\alpha}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\alpha\lambda}}} :
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\gamma}}}\,
\sqrt{\smash[b]{H^0_{\gamma\lambda}}} =
(-1)^{\delta \mid \alpha}f_{\alpha\delta\lambda} :
(-1)^{\delta \mid \gamma}f_{\gamma\delta\lambda}.
\]
Daher können wir die zuletzt entwickelte Gleichung folgendermassen
schreiben:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\kappa\lambda\mu\delta \mid \alpha}
\frac{f_{\alpha\delta\lambda}\sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\mu}}}}
{r_{\alpha}}
\right\} = 0,
\]
oder:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma}{S}\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
\frac{f_{\alpha\delta\lambda}\sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\mu}}}}
{r_{\alpha}}
\right\} = 0;
\]
und diese muss gelten, wenn der Punkt $1$ irgend einen der beiden
Berührungspunkte der Tangente $H_{\delta} = 0$ bedeutet. Wir wissen aber
aus dem in §~9 aufgestellten Gleichungssystem, dass zwischen den Grössen
\[
\sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\mu}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H^1_{\beta\kappa}}}  \sqrt{\smash[b]{H^1_{\beta\mu}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H^1_{\gamma\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H^1_{\gamma\mu}}},
\]
ganz unabhängig von der Lage des Punktes $1$, die Relation besteht:
\[
\sum\left\{
(-1)^{\beta\gamma \mid \alpha}
g_{\alpha} f_{\alpha\delta\lambda}
\sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\mu}}}
\right\} = 0.
\]
Nun muss diese Relation mit der vorigen identisch sein. Denn sonst
würden wir den Quotienten
\[
Q = \frac{\sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\kappa}}}\sqrt{\smash[b]{H^1_{\alpha\mu}}}}
         {\sqrt{\smash[b]{H^1_{\beta\kappa}}}\sqrt{\smash[b]{H^1_{\beta\mu}}}}
\]
%-----File: 141.png-----------------------------------------
ausdrücken können durch die Coefficienten beider Gleichungen; wir
würden also denselben Werth erhalten, gleichviel, ob wir die Coordinaten des einen oder
 des andern Berührungspunktes einsetzen. Nun ist aber
\[
 \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\kappa}^1}}}{\sqrt{\smash[b]{H_{\beta\kappa}^1}}}
= (-1)^{\delta \mid \alpha\beta}
  \frac{f_{\alpha\delta\kappa}}{f_{\beta\delta\kappa}}
  \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\beta}^1}}}{\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}^1}}}, \quad
 \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha\mu}^1}}}{\sqrt{\smash[b]{H_{\beta\mu}^1}}}
= (-1)^{\delta \mid \alpha\beta}
  \frac{f_{\alpha\delta\mu}}{f_{\beta\delta\mu}}
  \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\beta}^1}}}{\sqrt{\smash[b]{H_{\alpha}^1}}};
\]
daher:
\[
 Q = \frac{f_{\alpha\delta\kappa} f_{\alpha\delta\mu}}
          {f_{\beta\delta\kappa} f_{\beta\delta\mu}}
     \frac{H_{\beta}^1}{H_{\alpha}^1}
\]
ist. Es würde also der Quotient
$\dfrac{H_{\beta}}{H_{\alpha}}$ denselben Werth in dem einen,
wie in dem andern Berührungspunkte haben. Dasselbe würde gelten
von $\dfrac{H_{\gamma}}{H_{\alpha}}$\@. Dies aber würde heissen, dass die beiden Berührungspunkte
zusammenfallen. Da dies unmöglich ist, so können die beiden Gleichungen nicht verschieden sein.
Es müssen daher die Coefficienten übereinstimmen; d.~h.\ es muss allgemein
\[
 \frac{r_{\alpha}}{r_{\beta}} = \frac{g_{\beta}}{g_{\alpha}}
\]
sein. Wir können daher setzen:
\[
 r_{\kappa} = \frac{1}{g_{\kappa}}.
\]
Somit ergiebt sich jetzt, mit vollständiger Constanten-Bestimmung:
\[
\tag{63}
 \Psi \sigma_{\kappa}
= \prod_{k=0}^3 \left\{ \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}^k}} \right\}
  \frac{1}{g_{\kappa}} P_{\kappa}.
\]

II. \quad Es sei jetzt $m = \kappa\lambda$\@.

Für diesen Fall wird die Darstellung von $\Psi \sigma_m$ eine ähnliche; nur
tritt hier anstatt $P_{\kappa}$ eine Function vierter Ordnung $Q_{\kappa\lambda}$ auf. Wir
stellen das System der Wurzelfunctionen dritter Ordnung mit dem
Index $\kappa\lambda$ auf:
\[
 \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}} \ H, \quad
 \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}} \ \overline{H}, \quad
 \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}} \ \overline{\overline{H}}, \quad
 \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}.
\]
Diese multipliciren wir mit
$\dfrac{1}{\sqrt{R}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}$\@. Dann wird
\[
 \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}}
      {\sqrt{R}}
 = F_{\kappa\lambda}; \quad
 \frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\mu}}}}
      {\sqrt{R}} H_{\lambda}
 = F_{\kappa\mu} H_{\lambda};
\]
durch die Multiplication entsteht also folgendes System:
\[
 F_{\kappa\lambda} H, \quad
 F_{\kappa\lambda} \overline{H}, \quad
 F_{\kappa\lambda} \overline{\overline{H}}, \quad
 F_{\kappa\mu} H_{\lambda}.
\]
Hieraus erkennt man zunächst, dass die aufgestellten vier Grössen
wirklich linear unabhängig sind, also zur Darstellung
%** Typo corrected: Dartellung $\rightarrow$ Darstellung
von $\Psi \sigma_{\kappa\lambda}$ verwandt
werden können. Denn zwischen $H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}}$ besteht offenbar
%-----File: 142.png-----------------------------------------
keine lineare Gleichung; wäre aber
 $F_{\kappa\mu}H_{\lambda}$ durch die Grössen $F_{\kappa\lambda}H$
etc.\ ausdrückbar, so wäre
$F_{\kappa\mu}H_{\lambda} =  F_{\kappa\lambda}\mathsf{H}$, wo $\mathsf{H}$ eine
homogene Function dritter Ordnung bedeutet. Diese Gleichung müsste eine Identität
sein, weil sie nur von der vierten Ordnung, die Gleichung zwischen
$x$, $y$, $z$ aber von der sechsten Ordnung ist. Es müsste also $H_{\lambda}$ identisch
durch $F_{\kappa\lambda}$ theilbar sein; was nicht der Fall ist.

Alle vier zuletzt aufgestellten Functionen: $F_{\kappa\lambda}H$ etc.\ sind nun
von der vierten Ordnung und haben die Eigenschaft gemein, dass sie
an allen Stellen $1,\, 2 \cdots 7$ verschwinden, an den Stellen $\kappa$, $\lambda$ aber von
der zweiten Ordnung. Dies überträgt sich sofort auf das lineare
Aggregat, durch welches $\Psi \sigma_{\kappa\lambda}$ dargestellt werden kann. Es muss
\[
 \Psi \sigma_{\kappa\lambda}
 = \frac{\sqrt{R^0}}{\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}^0}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}^0}}}\,
   Q(x_0,\, y_0,\, z_0)
\]
sein, wo $Q(x_0,\, y_0,\, z_0)$ eine homogene Function vierter Ordnung von
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$ bedeutet, die an den Stellen $1,\, 2 \cdots 7$ verschwindet, und
zwar an den Stellen $\kappa$, $\lambda$ von der zweiten Ordnung. Ausserdem muss
diese Function verschwinden, wenn
$(x_0,\, y_0,\, z_0) = (x_h,\, y_h,\, z_h)$ $(h = 1,\, 2,\, 3)$
gesetzt wird. Diesen Bedingungen können wir folgende Form geben:
\begin{align*}
 Q(x_h,\, y_h,\, z_h)
&= 0 \quad (h = 1,\, 2,\, 3);   \\
 Q(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})
&= 0 \quad (\alpha \lessgtr \kappa, \lambda),
\end{align*}
endlich
\begin{gather*}
 \frac{\partial}{\partial x} Q(x,\, y,\, z) = 0, \quad
 \frac{\partial}{\partial y} Q(x,\, y,\, z) = 0, \quad
 \frac{\partial}{\partial z} Q(x,\, y,\, z) = 0  \\
\text{für } x = a_{\kappa},\, y = b_{\kappa},\, z = c_{\kappa}
\text{ und für }x = a_{\lambda},\, y = b_{\lambda},\, z = c_{\lambda}.
\end{gather*}
Dies sind $14$ lineare homogene Gleichungen zwischen den $15$ Coefficienten der
 Function $Q(x,\, y,\, z)$\@. Dieselbe ist daher durch diese Bedingungen bis auf
einen von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$ unabhängigen Factor
bestimmt.

Wir stellen diese Function wieder durch eine Determinante dar.
Die erste Horizontalreihe sei:
\[
 x_0^4, \quad x_0^3 y_0, \quad x_0^3 z_0, \quad
 x_0^2 y_0^2, \quad x_0^2 y_0 z_0 \cdots z_0^4.
\]
Die darauf folgenden acht Reihen sollen dadurch entstehen, dass man
in der ersten $(x_0,\, y_0,$ $z_0)$ ersetzt der Reihe nach durch
\begin{gather*}
 (x_1,\, y_1,\, z_1), \quad
 (x_2,\, y_2,\, z_2), \quad
 (x_3,\, y_3,\, z_3), \quad
 (a_{\alpha},\, b_{\alpha},\, c_{\alpha}), \quad
 (a_{\beta},\, b_{\beta},\, c_{\beta}),   \\
 (a_{\gamma},\, b_{\gamma},\, c_{\gamma}), \quad
 (a_{\delta},\, b_{\delta},\, c_{\delta}), \quad
 (a_{\mu},\, b_{\mu},\, c_{\mu});
\end{gather*}
die nächsten sechs dadurch, dass man die Glieder der ersten Reihe
nach $x_0$, $y_0$, $z_0$ differenzirt, und dann $(x_0,\, y_0,\, z_0)$ erstens durch
 $(a_{\kappa},\, b_{\kappa},\, c_{\kappa})$,
zweitens durch $(a_{\lambda},\, b_{\lambda},\, c_{\lambda})$ ersetzt.
Die letzte Reihe ist demnach:
\[
 0, \quad 0, \quad a_{\lambda}^3, \quad 0, \quad
 a_{\lambda}^2 b_{\lambda} \cdots 4 c_{\lambda}^3.
\]
Diese Determinante ist eine alternirende Function der neun Werthsysteme:
\[
 (x_h,\, y_h,\, z_h)\  (h = 0,\, 1,\, 2,\, 3), \quad
 (a_{\alpha},\, b_{\alpha},\, c_{\alpha})\
 (\alpha \text{ von } \kappa,\, \lambda \text{ verschieden}),
\]
%-----File: 143.png-----------------------------------------
und in Bezug auf jedes derselben von der vierten Ordnung; ferner
ist sie eine alternirende Function der beiden Grössensysteme $(a_{\kappa},\,  b_{\kappa},\,  c_{\kappa})$
und $(a_{\lambda},\,  b_{\lambda},\,  c_{\lambda})$, und in Bezug auf jedes von der neunten Ordnung.
Um aus ihr eine Grösse zu erhalten, welche in Bezug auf die Indices
$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\mu$ einerseits und
$\kappa$, $\lambda$ andrerseits symmetrisch ist, multipliciren
wir sie mit dem Vorzeichen:
\[
\epsilon = (-1)^{\alpha \mid \beta\gamma\delta\mu +
\beta \mid \gamma\delta\mu +
\gamma \mid \delta\mu +
\delta \mid \mu +
\kappa \mid \lambda}.
\]
Das Product können wir dann bezeichnen durch $Q_{\kappa\lambda}$\@. -- Nun ist $Q_{\kappa\lambda}$
eine alternirende Function der vier Werthsysteme $(x_h,\,  y_h,\,  z_h)$; $\Psi\sigma_{\kappa\lambda}$
soll dieselbe Eigenschaft haben; daraus folgt, dass wir setzen müssen:
\[
\tag{64}
\Psi\sigma_{\kappa\lambda} = r_{\kappa\lambda}
\prod^{3}_{k=0}\left\{
\frac{\sqrt{R^{(k)}}}
{\sqrt{\smash[b]{H^{(k)}_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H^{(k)}_{\lambda}}}}
\right\}Q_{\kappa\lambda},
\]
wo der Factor $r_{\kappa\lambda}$ sowohl von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$, als den übrigen Veränderlichen
unabhängig, also eine durch die Parameter ausdrückbare Constante sein muss.

Aus der Form, in der wir die $28$ ungraden $\sigma$-Functionen dargestellt
haben, geht die Existenz der zwischen ihnen bestehenden Relationen
hervor. Ein Theil derselben geht sogar über in identische
Determinanten-Relationen, gültig für unbeschränkte Werthe der Grössen
$(x_h,\, y_h,\, z_h)$, und von ähnlicher Natur, wie die Relationen zwischen den
Determi\-nanten-Ausdrücken $F_{\kappa\lambda}$, $G_{\kappa\lambda}$, $H_{\kappa}$,
zu denen wir durch die
Betrachtung der Beziehungen zwischen den speciellen $\sigma$-Functionen
gelangt sind.

Nehmen wir diejenige Relation unter den ungraden $\sigma$, von der
wir am Anfang ausgegangen sind:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}
\left\{(-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
f_{\gamma\delta\kappa}f_{\delta\beta\kappa} f_{\beta\gamma\kappa}
\sigma_{\alpha}\sigma_{\alpha\kappa}\right\} = 0,
\]
so verwandelt sich diese, durch Einsetzung der gefundenen Ausdrücke
für die $\sigma$, in
\[
\tag{65}
\underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}
\left\{(-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
\rho_{\alpha\kappa}f_{\gamma\delta\kappa} f_{\delta\beta\kappa}f_{\beta\gamma\kappa}
P_{\alpha}Q_{\alpha\kappa}\right\} = 0,
\]
wo $\rho_{\alpha\kappa}$ für $r_{\alpha}r_{\kappa}r_{\alpha\kappa}$ gesetzt worden ist.

Wir behaupten nun zunächst, dass diese Gleichung eine Identität
ist. Nehmen wir an, dass zwar
$(x_1,\, y_1,\, z_1)$, $(x_2,\, y_2,\, z_2)$, $(x_3,\, y_3,\, z_3)$ der
Gleichung $L = 0$ genügen, $x_0$, $y_0$, $z_0$ aber unabhängige Grössen sind,
und bezeichnen unter dieser Voraussetzung die linke Seite der Gleichung~(65)
durch $M(x_0,\, y_0,\, z_0)$, so muss
\[
M(x_0,\, y_0,\, z_0) = F(x_0,\, y_0,\, z_0)\, L(x_0,\, y_0,\, z_0)
\]
sein, weil $M$ stets verschwindet, wenn das Werthsystem
$(x_0,\, y_0,\, z_0)$
der Gleichung $L = 0$ genügend angenommen wird. $F(x_0,\, y_0,\, z_0)$ muss
eine lineare Function sein, da $P_{\alpha}$ von der dritten, $Q_{\alpha\kappa}$ von der vierten,
%-----File: 144.png-----------------------------------------
$L$ aber von der sechsten Dimension ist. Nun verschwindet zwar
$L(x_0,\, y_0,\, z_0)$ an den Stellen $(x_1,\, y_1,\, z_1)$, $(x_2,\, y_2,\, z_2)$, $(x_3,\, y_3,\, z_3)$; aber,
da dies keine Doppelpunkte der Gleichung sind, nur von der ersten
Ordnung, während $M(x_0,\, y_0,\, z_0)$ an diesen Stellen von der zweiten
Ordnung verschwindet. Es müsste demnach die lineare Function
$F(x_0,\, y_0,\, z_0)$ ebenfalls an den drei Stellen verschwinden. Dies ist
nur dadurch möglich, dass $F$ -- und somit auch $M$ -- identisch verschwindet.

Hierauf gestützt, können wir jetzt dieselbe Folgerung machen,
indem wir $(x_0$, $y_0,\, z_0)$ und $(x_1,\, y_1,\, z_1)$ als unabhängige Grössen
ansehen; und indem man dies fortsetzt, erkennt man, dass die Gleichung~(65) gilt,
wenn die Grössen $(x_h,\, y_h,\, z_h)$, ebenso wie die Parameter
$(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})$, als unabhängige Grössen angesehen werden.

Ferner lässt sich leicht zeigen: Die Verhältnisse der Grössen
$\rho_{\alpha\kappa}$, $\rho_{\beta\kappa}$, $\rho_{\gamma\kappa}$, $\rho_{\delta\kappa}$
enthalten die Parameter $a_{\lambda}$, $b_{\lambda}$, $c_{\lambda}$;
$a_{\mu}$, $b_{\mu}$, $c_{\mu}$ nicht.
Denn nehmen wir das Entgegengesetzte an, und vertauschen $(a_{\lambda}, b_{\lambda}, c_{\lambda})$
der Reihe nach mit $(x_0,\, y_0,\, z_0)$, $(x_1,\, y_1,\, z_1)$,
%** Added commas: (...)(...)(...) --> (...),(...),(...)
$(x_2,\, y_2,\, z_2)$\@. Die Determinanten-Ausdrücke
$P_{\alpha}$ und $Q_{\alpha\kappa}$ vertauschen dadurch nur ihr Zeichen. Dann
bekämen wir vier, und mit der ursprünglichen, fünf homogene lineare
Gleichungen zwischen den Producten
$P_{\alpha}Q_{\alpha\kappa}$, $P_{\beta}Q_{\beta\kappa}$, $P_{\gamma}Q_{\gamma\kappa}$, $P_{\delta}Q_{\delta\kappa}$,
die offenbar unabhängig von einander sein müssten. Dies ist unmöglich.
Es kann daher der Quotient $\dfrac{\rho_{\alpha\kappa}}{\rho_{\beta\kappa}}$
nicht die Grössen $(a_{\lambda}, b_{\lambda}, c_{\lambda})$ enthalten.
Dies gilt natürlich für alle vier Indices $\lambda$, die von $\alpha$, $\beta$
und $\kappa$ verschieden sind. Eine nähere Untersuchung der Gleichung
zeigt nun, dass dieser Quotient auch von
$(a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})$,
$(a_{\beta}, b_{\beta}, c_{\beta})$,
$(a_{\kappa}, b_{\kappa}, c_{\kappa})$
nicht abhängen kann. Denn schreiben wir die Gleichung
in dieser Form:
\begin{multline*}
(-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha} \frac{\rho_{\alpha\kappa}}{\rho_{\beta\kappa}}
f_{\gamma\delta\kappa}f_{\delta\beta\kappa} f_{\beta\gamma\kappa}P_{\alpha}Q_{\alpha\kappa}\\
= - \frac{1}{\rho_{\beta\kappa}}
\underset{\beta,\gamma,\delta}{S}\left\{ (-1)^{\gamma\delta\alpha \mid \beta}
\rho_{\beta\kappa}f_{\delta\alpha\kappa} f_{\delta\gamma\kappa}f_{\alpha\gamma\kappa}
P_{\beta} Q_{\beta\kappa}\right\},
\end{multline*}
so ist in Bezug auf $a_{\alpha}$, $b_{\alpha}$, $c_{\alpha}$ auf der rechten Seite jedes Glied eine
homogene ganze Function von der Dimension $9$. Es ist daher
\[
\frac{\rho_{\alpha\kappa}}{\rho_{\beta\kappa}}
P_{\alpha} Q_{\alpha\kappa}
\]
eine ganze homogene Function neunter Dimension von
$a_{\alpha}$, $b_{\alpha}$, $c_{\alpha}$\@.
Diese muss, da die Determinanten $P_{\alpha}$ und $Q_{\alpha\kappa}$ keine Theiler besitzen,
die selbst ganze Functionen von
$a_{\alpha}$, $b_{\alpha}$, $c_{\alpha}$ wären, durch $P_{\alpha}$ und
$Q_{\alpha\kappa}$ theilbar sein; und zwar so, dass der Quotient wieder eine ganze Function
ist. Nun ist $P_{\alpha}$ von
$a_{\alpha}$, $b_{\alpha}$, $c_{\alpha}$ unabhängig, $Q_{\alpha\kappa}$ dagegen von
der Dimension $9$. Daraus folgt, dass $\dfrac{\rho_{\alpha\kappa}}{\rho_{\beta\kappa}}$
eine ganze Function $0$ter
%-----File: 145.png-----------------------------------------
Dimension von $a_{\alpha}$, $b_{\alpha}$, $c_{\alpha}$ ist. Das heisst:
$\dfrac{\rho_{\alpha\kappa}}{\rho_{\beta\kappa}}$
enthält $a_{\alpha}$, $b_{\alpha}$, $c_{\alpha}$ gar nicht;
ebensowenig natürlich $a_{\beta}$, $b_{\beta}$, $c_{\beta}$\@.

Es könnte hiernach $\dfrac{\rho_{\alpha\kappa}}{\rho_{\beta\kappa}}$
höchstens von $(a_{\kappa}, b_{\kappa}, c_{\kappa})$ abhängen.
Aber auch dies ist unmöglich; denn man kann $\dfrac{\rho_{\alpha\kappa}}{\rho_{\beta\kappa}}$
zerlegen in
$\dfrac{\rho_{\alpha\kappa}}{\rho_{\alpha\beta}}$, und
$\dfrac{\rho_{\beta\alpha}}{\rho_{\beta\kappa}}$\@.
Von beiden Factoren ist durch das Vorhergehende gezeigt, dass
sie von
$a_{\kappa}$, $b_{\kappa}$, $c_{\kappa}$ unabhängig sind;
folglich gilt dasselbe
%** Corrected typo: dassselbe --> dasselbe
von $\dfrac{\rho_{\alpha\kappa}}{\rho_{\beta\kappa}}$\@.
Nun enthält die Gleichung, durch welche dieser Quotient völlig bestimmt
sein muss, ausser den Veränderlichen und den Parametern noch
die alternirenden Vorzeichen. Aber auch diese fallen fort, sobald man
anstatt der Grössen $P_{\alpha}$, $Q_{\alpha\kappa}$ etc.\ und
der Grössen $f_{\gamma\delta\kappa}$, $f_{\delta\beta\kappa}$ etc.\ die
reinen Determinanten-Ausdrücke einführt.
Es muss daher $\dfrac{\rho_{\alpha\kappa}}{\rho_{\beta\kappa}}$ einen
rein numerischen Werth haben. Hieraus folgt offenbar,
dass $\dfrac{\rho_{\alpha\kappa}}{\rho_{\beta\kappa}}
=\dfrac{\rho_{\beta\kappa}}{\rho_{\alpha\kappa}}$ sein muss.
Nun kann $\dfrac{\rho_{\alpha\kappa}}{\rho_{\beta\kappa}}$
nicht gleich $-1$ sein; denn dann würde man erhalten:
$\rho_{\alpha\kappa} = - \rho_{\beta\kappa}$,
$\rho_{\alpha\kappa} = - \rho_{\gamma\kappa}$,
$\rho_{\beta\kappa} = - \rho_{\gamma\kappa}$, und dies
würde einen Widerspruch einschliessen. Daher muss
$\rho_{\alpha\kappa} = \rho_{\beta\kappa}$  sein;
d.~h.\ es müssen alle $21$ Grössen $\rho_{\kappa\lambda}$ denselben Werth haben. Nun ist
\[
\rho_{\kappa\lambda} = r_{\kappa}r_{\lambda}r_{\kappa\lambda} = c; \quad
 r_{\kappa} = \frac{1}{g_{\kappa}};
\]
daher erhalten wir:
\begin{gather*}
r_{\kappa\lambda} = \frac{c}{g_{\kappa}g_{\lambda}},   \\
\tag{66}
\Psi\sigma_{\kappa\lambda} =
\frac{c\, Q_{\kappa\lambda}}{g_{\kappa}g_{\lambda}}
\prod^{3}_{k = 0}\left\{
\frac{\sqrt{R^{(k)}}}
{\sqrt{\smash[b]{H^{(k)}_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H^{(k)}_{\lambda}}}}
\right\},
\end{gather*}
wo jetzt $c$ für alle $21$ Functionen $\sigma_{\kappa\lambda}$
denselben Factor bedeutet. Zugleich
erkennen wir, dass zwischen den Determinanten-Ausdrücken $P$
und $Q$ die folgende identische Relation besteht:
\[
\underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}
\left\{
(-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}f_{\gamma\delta\kappa}
f_{\delta\beta\kappa}f_{\beta\gamma\kappa}
P_{\alpha}Q_{\alpha\kappa}
\right\} = 0.
\]

III. \quad Es sei $m = \kappa\lambda\mu$\@.

Für die graden $\sigma$-Functionen lassen sich Ausdrücke von genau
analoger Form nicht aufstellen. Es tritt hier ein ähnliches Verhalten
ein, wie in der Theorie der Abel'schen Functionen von zwei Argumenten,
%-----File: 146.png-----------------------------------------
wo die Quotienten $\dfrac{\sigma_{\kappa\lambda}}{\sigma_0}$
ebenfalls in ganz anderer Form dargestellt
werden, wie die Grössen $\dfrac{\sigma_{\kappa}}{\sigma_0}$
(unter $\sigma_m$ verstehen wir dort die
Function
$\Theta (u,\, u';$ %**
$\mu^{m\epsilon},\, \nu^{m\epsilon})$, oder eine Function, die sich von dieser
nur um einen willkürlich anzunehmenden constanten Factor unterscheidet).

Für $m = \kappa\lambda\mu$ stellen wir folgende Wurzelfunctionen auf:
\begin{gather*}
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\mu}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\kappa}}}, \quad
\sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}    \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\lambda}}},\\
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}.
\end{gather*}

Diese multipliciren wir sämmtlich mit dem Factor:
\[
\frac{\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}}{R}.
\]

Da das Product dieses Factors mit $\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\mu}}}$ gleich
$F_{\kappa\lambda} F_{\kappa\mu}$ ist, so bekommen wir dadurch folgendes System:
\[
F_{\kappa\lambda}F_{\kappa\mu}, \quad
F_{\lambda\mu}F_{\lambda\kappa}, \quad
F_{\mu\kappa}F_{\mu\lambda}, \quad
\frac{H_{\kappa}H_{\lambda}H_{\mu}}{R},
\]
von dem leicht einzusehen ist, dass die einzelnen Grössen unter einander
linear unabhängig sind. Denn zwischen den ersten drei Gliedern,
welche quadratische Functionen von $x$, $y$, $z$ sind, die in den Punkten
$\kappa$, $\lambda$, $\mu$ verschwinden, besteht offenbar keine Relation. Der letzten
aber können wir, da
\[
H_{\kappa}H_{\lambda}G_{\kappa\lambda} = RF_{\kappa\lambda}
\]
ist, die Form geben:
\[
\frac{H_{\mu}F_{\kappa\lambda}}{G_{\kappa\lambda}}.
\]
Wäre diese durch die drei früheren ausdrückbar, so müsste eine Gleichung
bestehen von der Form:
\[
H_{\mu}F_{\kappa\lambda} = G_{\kappa\lambda}\overline{G},
\]
wo $\overline{G}$ eine homogene quadratische Function bedeutet. Diese Gleichung
müsste, da sie nur von der vierten Ordnung ist, eine Identität sein.
Es müsste also $H_{\mu}$ durch $G_{\kappa\lambda}$ theilbar sein, was nicht der Fall ist.
Die Function $\Psi\sigma_{\kappa\lambda\mu}$ muss deshalb darstellbar sein in dieser Form:
\[
\Psi\sigma_{\kappa\lambda\mu} =
\frac{R^0}
{\sqrt{\smash[b]{H^0_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H^0_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H^0_{\mu}}}}\,
\left\{ G(x_0,\, y_0,\, z_0)
 + C\, \frac{H^0_{\kappa} H^0_{\lambda} H^0_{\mu}}{R^0}
\right\},
\]
wo $G(x_0,\, y_0,\, z_0)$ eine quadratische Function bedeutet, die in den Punkten
$\kappa$, $\lambda$, $\mu$ verschwindet. Dieser Ausdruck für
$\Psi\sigma_{\kappa\lambda\mu}$ muss ferner so bestimmt
%-----File: 147.png-----------------------------------------
werden, dass er verschwindet, wenn
$(x_0,\, y_0,\, z_0) = (x_h,\, y_h,\, z_h)\, (h = 1,\, 2,\, 3)$ gesetzt wird.
Zu diesem Zweck bilden wir eine sechsgliedrige
Determinante, deren erste Horizontalreihe durch die Grössen
\[
x_0^2, \quad
x_0 y_0, \quad
x_0 z_0, \quad
y_0^2, \quad
y_0 z_0, \quad
z_0^2
\]
gebildet wird. Die darauf folgenden sollen aus dieser dadurch entstehen,
dass man $(x_0,\, y_0,$ %**
$z_0)$ der Reihe nach durch
\[
(x_1,\, y_1,\, z_1), \quad
(x_2,\, y_2,\, z_2), \quad
(a_{\kappa},\, b_{\kappa},\, c_{\kappa}), \quad
(a_{\lambda},\, b_{\lambda},\, c_{\lambda}), \quad
(a_{\mu},\, b_{\mu},\, c_{\mu})
\]
ersetzt. Diese Determinante multipliciren wir, um sie in Bezug auf
die Indices $\kappa$, $\lambda$, $\mu$ symmetrisch zu machen, mit dem Vorzeichen
\[
\epsilon = (-1)^{\kappa \mid \lambda\mu + \lambda\mid \mu}
\]
und bezeichnen das Product durch
\[
G(0,\, 1,\, 2)_{\kappa\lambda\mu}.
\]
Unter $G(0,\, 1,\, 3)_{\kappa\lambda\mu}$ soll dann diejenige Grösse verstanden werden,
die aus
$G(0,\, 1,\, 2)_{\kappa\lambda\mu}$ durch Vertauschung des Werthsystems $(x_2,\, y_2,\, z_2)$
mit $(x_3,\, y_3,\, z_3)$ entsteht, u.~s.~f. Es ist dann offenbar:
\begin{align*}
&G(0,\, 1,\, 2) = - G(1,\, 0,\, 2), \\
&G(0,\, 0,\, 2) = 0, \text{ etc.}
\end{align*}
Die Function $G(x_0,\, y_0,\, z_0)$ muss dann auf die Form gebracht werden
können:
\[
G(x_0,\, y_0,\, z_0) =
a\, G(0,\, 2,\, 3)_{\kappa\lambda\mu} +
b\, G(0,\, 3,\, 1)_{\kappa\lambda\mu} +
c\, G(0,\, 1,\, 2)_{\kappa\lambda\mu},
\]
wo $a$, $b$, $c$ von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$ unabhängige Coefficienten bedeuten. Diese
Coefficienten müssen so bestimmt werden, dass der Ausdruck
\[
G(x_0,\, y_0,\, z_0) +
C\, \frac{H^0_{\kappa}H^0_{\lambda}H^0_{\mu}}{R^0}
\]
verschwindet, wenn $(x_0,\, y_0,\, z_0)$ gleich einem der drei andern Werthsysteme
gesetzt wird. Wir erhalten also:
\[
G(x_1,\, y_1,\, z_1) +
C\, \frac{H^1_{\kappa}H^1_{\lambda}H^1_{\mu}}{R^1} = 0.
\]
Andrerseits ist aber, da $G(0,\, 3,\, 1)_{\kappa\lambda\mu}$ und
$G(0,\, 1,\, 2)_{\kappa\lambda\mu}$ verschwinden,
wenn $(x_0$, $y_0,\, z_0) = (x_1,\, y_1,\, z_1)$ gesetzt wird:
\[
G(x_1,\, y_1,\, z_1) = a\, G(1,\, 2,\, 3)_{\kappa\lambda\mu}.
\]
Wir können also setzen:
\begin{align*}
 C &= G(1,\, 2,\, 3)_{\kappa\lambda\mu},\\
 a &= - \frac{H^1_{\kappa}H^1_{\lambda}H^1_{\mu}}{R^1}.
\end{align*}
%-----File: 148.png-----------------------------------------
In derselben Weise ergiebt sich:
\begin{align*}
 b &= - \frac{H^2_{\kappa}H^2_{\lambda}H^2_{\mu}}{R^2},\\
 c &= - \frac{H^3_{\kappa}H^3_{\lambda}H^3_{\mu}}{R^3}.
\end{align*}

Die Function, welche wir auf diese Weise erhalten, bezeichnen
wir durch $R_{\kappa\lambda\mu}$:
\[
\tag{67}
\left\{
\begin{aligned}
R_{\kappa\lambda\mu} &= \frac{H^0_{\kappa}H^0_{\lambda}H^0_{\mu}}{R^0}
G(1,\, 2,\, 3)_{\kappa\lambda\mu} - \frac{H^1_{\kappa}H^1_{\lambda}H^1_{\mu}}{R^1}
G(2,\, 3,\, 0)_{\kappa\lambda\mu}\\
&+ \frac{H^2_{\kappa}H^2_{\lambda}H^2_{\mu}}{R^2}
G(3,\, 0,\, 1)_{\kappa\lambda\mu} -
\frac{H^3_{\kappa}H^3_{\lambda}H^3_{\mu}}{R^3}
G(0,\, 1,\, 2)_{\kappa\lambda\mu}\\
&= \sum\left\{±\frac{H^0_{\kappa}H^0_{\lambda}H^0_{\mu}}{R^0}
G(1,\, 2,\, 3)_{\kappa\lambda\mu}\right\},
\end{aligned}
\right.
\]
in welcher Summe jedes Glied aus dem vorhergehenden durch cyklische
Vertauschung der Werthsysteme
$(x_0,\, y_0,\, z_0) \cdots (x_3,\, y_3,\, z_3)$ und durch
Aenderung des Zeichens hervorgeht. Die Grösse $R$ bedeutet in dieser
Formel die dritte Wurzel aus dem Product aller sieben Grössen $H_{\alpha}$:
\[
R = \sqrt[3]{H_1 H_2 H_3 H_4 H_5 H_6 H_7};
\]
sie kann indess auch rational dargestellt werden.

Da $R_{\kappa\lambda\mu}$ offenbar eine alternirende Function der vier Werthsysteme ist,
so erhalten wir jetzt:
\[
\tag{68}
\Psi\sigma_{\kappa\lambda\mu} = c \prod^{3}_{k=0}\left\{
\frac{R^{(k)}}{\sqrt{\smash[b]{H^{(k)}_{\kappa}}}
\sqrt{\smash[b]{H^{(k)}_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H^{(k)}_{\mu}}}}\right\}\,
R_{\kappa\lambda\mu},
%** Corrected printer error: $k=6 \rightarrow k=0$.
\]
wo $c$ einen von allen Werthsystemen unabhängigen Factor bedeutet.
Dieser kann indess möglicher Weise noch von dem Index $\kappa\lambda\mu$ abhängen.


IV. \quad $m = 0$.

Hier gehen wir aus von dem System:
\[
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}}\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}},\
\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda}}}\sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}}, \
\sqrt{\smash[b]{H_{\mu}}}\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\kappa}}}, \
\sqrt{\smash[b]{H_{\kappa\lambda}}}\sqrt{\smash[b]{H_{\lambda\mu}}} \sqrt{\smash[b]{H_{\mu\kappa}}},
\]
oder:
\[
\sqrt{R}F_{\kappa\lambda}, \quad
\sqrt{R}F_{\lambda\mu}, \quad
\sqrt{R}F_{\mu\kappa}, \quad
\sqrt{R}\frac{F_{\kappa\lambda}F_{\kappa\mu}G_{\lambda\mu}}
{H_{\kappa}}.
\]
Dass diese Grössen linear unabhängig sind, zeigt sich in derselben einfachen
Weise, wie früher. Es muss sich also jede Wurzelfunction
dritter Ordnung mit dem Index $0$ in dieser Form darstellen lassen:
\[
\sqrt{R}\frac{(Ax + By + Cz)H_{\kappa} + DF_{\kappa\lambda}F_{\kappa\mu}G_{\lambda\mu}}{H_{\kappa}}.
\]
%-----File: 149.png-----------------------------------------
Der Zähler dieses Quotienten ist eine homogene Function vierter Ordnung,
die an allen Doppelpunkten verschwindet, an der Stelle $\kappa$ aber
von der zweiten Ordnung. Hier ist der Index $\kappa$ bevorzugt; wir können
aber dieselbe Function in den drei Formen:
\[
 \sqrt{R}\, \frac{G_1}{H_{\kappa}}, \quad
 \sqrt{R}\, \frac{G_2}{H_{\lambda}}, \quad
 \sqrt{R}\, \frac{G_3}{H_{\mu}},
\]
also auch in der Form:
\[
 \sqrt{R}\, \frac{AG_1 + BG_2 + CG_3}
               {AH_{\kappa}+ BH_{\lambda}+ CH_{\mu}}
\]
darstellen, wo $A$, $B$, $C$ beliebige Coefficienten, und $G_1$, $G_2$, $G_3$
homogene Functionen vierter Ordnung bedeuten, die sämmtlich an den sieben
Doppelpunkten verschwinden. Wir können also als Nenner eine
willkürliche lineare Function der Grössen
$H$, $\overline{H}$, $\overline{\overline{H}}$ einführen, z.~B.\ die,
von der wir die unteren Grenzen der Integrale abhängig gemacht
haben. Es ist dann klar, dass der Zähler ebenfalls in den vier Punkten
$(a_h,\,  b_h,\,  c_h)\, (h = 0,\, 1,\, 2,\, 3)$ verschwinden muss. Denn es ist
\[
 (AG_1 + BG_2 + CG_3)H_{\kappa} = \mathsf{H} G_1;
\]
wird nun $(x,\, y,\, z) = (a_h,\, b_h,\, c_h)$ gesetzt, so wird
$\mathsf{H} = 0$, während $H_{\kappa}$
(wenn wir nicht eine besondere Wahl der Punkte $(a_h,\, b_h,\, c_h)$ annehmen)
von Null verschieden ist. Daraus folgt, dass wir jede Wurzelfunction
dritter Ordnung mit dem Index $0$ in dieser Form darstellen können:
\[
 \sqrt{R}\, \frac{G}{\mathsf{H}},
\]
wo $G$ eine homogene Function vierter Ordnung bedeutet, die in den
sieben Doppelpunkten und den vier Punkten
$(a_h,\, b_h,\, c_h)$ $(h = 0,\, 1,\, 2,\, 3)$
verschwindet. Für die Function $\Psi\sigma_0$ tritt nun noch die Bedingung
hinzu, dass sie an drei ferneren Stellen:
$(x_1,\, y_1,\, z_1)$, $(x_2,\, y_2,\, z_2)$, $(x_3,\, y_3,\, z_3)$
verschwinden muss. Durch diese $14$ völlig gleichartigen Bedingungen
ist die Function bis auf einen von $(x_0,\, y_0,\, z_0)$ unabhängigen Factor
definirt. Wir haben eine Function vierter Ordnung in Form einer
Determinante zu bilden, deren $15$ Horizontalreihen aus der Reihe
\[
 x^4, \quad x^3 y, \quad x^3 z \cdots z^4
\]
dadurch hervorgehen, dass man für $x$, $y$, $z$ die Grössen
\begin{gather*}
 (x_h,\, y_h,\, z_h)\, (h = 0,\, 1,\, 2,\, 3), \quad
 (a_h,\, b_h,\, c_h)\, (h = 0,\, 1,\, 2,\, 3),   \\
 (a_{\alpha}, b_{\alpha}, c_{\alpha})\, (\alpha = 1,\, 2 \cdots 7)
%** Changed according to "`Berichtigung"': $(\alpha = 1, 2 \cdots 7)$
\end{gather*}
setzt. Diese Determinante, die eine alternirende Function sämmtlicher
$15$ Grössensysteme ist, denken wir uns noch mit einem alternirenden
Vorzeichen behaftet; das Product ist dann unabhängig von den Indices
und kann durch $S_0$ bezeichnet werden. Da $\Psi\sigma_0$ eine alternirende
Function sein soll, so haben wir zu setzen:
%-----File: 150.png-----------------------------------------
\[
\tag{68$'$}
%[** PPV: Changed tag from (68) to (68') as there's already a (68)]
\Psi\sigma_0 = c \prod^{3}_{k=0}\left\{
\frac{\sqrt{R^{(k)}}}{\mathsf{H}^{(k)}}\right\}\, S_0,
\]
wo $c$ eine Constante bedeutet. Dies ist demnach der einzige Fall, in
welchem wir die unteren Grenzen der Integrale in den Ausdruck von
$\Psi\sigma_m$ aufgenommen haben; und auch hier ist es aus der Bildung des
Ausdrucks unmittelbar klar, dass eine Aenderung der unteren Grenzen
auf die Function $\sigma_0$ keinen Einfluss ausübt, wenn man nur die neuen
unteren Grenzen so wählt, dass die entsprechenden Punkte der Curve
$M = 0$ auf einer graden Linie liegen.

\eoc
%-----File: 151.png-----------------------------------------


\SetRunningHeads{Nachtrag.}
\Chapter[Nachtrag.]{Nachtrag.}
\Section[notag]{Ueber die hyperelliptischen Functionen dreier Variabeln.}

Den allgemeinen Entwicklungen liegt die Annahme zu Grunde,
dass keine der graden $\Theta$-Functionen zugleich mit den Argumenten
verschwindet, dass also alle $36$ Grössen $c_0$, $c_{\kappa\lambda\mu}$ von Null verschieden
sind. Der Vollständigkeit wegen möge nun der Fall untersucht werden,
in welchem eine dieser $36$ Constanten gleich Null ist.

Ist $c_{\kappa\lambda\mu} = 0$, so setzen wir
$\kappa\lambda\mu = \epsilon$, und bezeichnen durch
$1',\, 2',\, 3'\cdots 7'$ die Indices
$\kappa$, $\lambda$, $\mu$, $\beta\gamma\delta$, $\gamma\delta\alpha$,
$\delta\alpha\beta$, $\alpha\beta\gamma$ in irgend
welcher Reihenfolge. Bedeutet dann $a$ irgend eine Combination der
neuen primitiven Indices, und setzen wir
$\Theta_{\epsilon \alpha} = \overline{\, \Theta}_\alpha$, so sind wieder
durch $\overline{\, \Theta}_0$, $\overline{\, \Theta}_{\kappa'\lambda'\mu'}$
alle graden, durch $\overline{\, \Theta}_{\kappa'}$ und $\overline{\, \Theta}_{\kappa'\lambda'}$
alle ungraden Theta-Functionen bezeichnet, und es wird $\overline{\, \Theta}_0 = 0$,
wenn die Argumente
gleich Null gesetzt werden. Derjenige Fall, in welchem eine der $35$
Grössen $c_{\kappa\lambda\mu}$ den Werth Null hat, lässt sich daher durch eine Aenderung
des Systems der primitiven Indices immer zurückführen auf den,
wo $c_0 = 0$ ist.

Wir nehmen deshalb an, dass $c_0 = 0$, die übrigen $35$ Grössen $c_{\kappa\lambda\mu}$
dagegen von $0$ verschieden sind. Im Uebrigen bleiben offenbar die
auf S.~\pageref{S23} und \pageref{S25} aufgestellten Relationen unter den
Theta-Functionen bestehen; es ist also:
\begin{gather*}
\tag{1}
\begin{split}
\sum^{7}_{\alpha=0}\!\left[(-1)^{(k\alpha,l\alpha,m\alpha)}
 \Theta(v+w\cdots)_{klm\alpha}
 \Theta(v-w\cdots)_{m\alpha}
 \Theta(u+v\cdots)_{k\alpha}
 \Theta(u-v\cdots)_{l\alpha}\right]\\
 = 0,
\end{split}   \\
\tag{2}
\sum^{7}_{\alpha=0}\left[(-1)^{(k\alpha,l\alpha,m\alpha)}
c_{klm\alpha}
c_{m\alpha}
\, \Theta_{k\alpha}
\, \Theta_{l\alpha}\right] = 0.
\end{gather*}

Die zuletzt aufgestellte Gleichung unterscheidet sich nur dann von
der früheren, wenn der Index $kl$ grade ist, also entweder $= 0$, oder
$= \kappa\lambda\mu$\@. Demnach erhalten wir die für diesen Fall charakteristischen
Gleichungen, indem wir $l = k$, oder $l = k_{\kappa\lambda\mu}$ setzen:
%-----File: 152.png-----------------------------------------
\begin{gather*}
\tag{3}
\sum^{7}_{\alpha=0}\left[
(-1)^{m\alpha \mid k\alpha} c^2_{m\alpha} \, \Theta^2_{k\alpha}
\right] = 0, \\
\tag{4}
\sum^{7}_{\alpha=0}\left[
(-1)^{(k\alpha,k\alpha\kappa\lambda\mu,m\alpha)}
c_{m\alpha\kappa\lambda\mu}
c_{m\alpha}
\, \Theta_{k\alpha}
\, \Theta_{k\alpha\kappa\lambda\mu}
\right] = 0.
\end{gather*}
Aus der letzten Gleichung folgt, dass die drei Producte
\[
\, \Theta_{\kappa}\, \Theta_{\lambda\mu}, \quad
\, \Theta_{\lambda}\, \Theta_{\mu\kappa}, \quad
\, \Theta_{\mu}\, \Theta_{\kappa\lambda}
\]
und allgemeiner:
\[
\tag{5}
\, \Theta_{k\kappa}\, \Theta_{k\lambda\mu}, \quad
\, \Theta_{k\lambda}\, \Theta_{k\mu\kappa}, \quad
\, \Theta_{k\mu}\, \Theta_{k\kappa\lambda}
\]
immer durch eine lineare homogene Gleichung verbunden sind; dasselbe
gilt von den drei Producten
\[
\tag{6}
\, \Theta_{k\alpha\beta}\, \Theta_{k\gamma\delta}, \quad
\, \Theta_{k\beta\gamma}\, \Theta_{k\alpha\delta}, \quad
\, \Theta_{k\gamma\alpha}\, \Theta_{k\beta\delta}.
\]

Wir wollen nun die Anfangsglieder der ungraden Functionen $\Theta_{\kappa}$,
$\Theta_{\lambda\mu}$ durch $u_{\kappa}$, $u_{\lambda\mu}$,
das Anfangsglied der graden Function $\Theta_0$, welches
eine homogene quadratische Function der Argumente ist, durch $w_0$ bezeichnen.

Aus (6) erhalten wir, indem wir dort $k = \delta$ setzen, eine homogene
lineare Gleichung zwischen:
\[
\, \Theta_{\alpha}\, \Theta_{\beta\gamma\delta}, \quad
\, \Theta_{\beta}\, \Theta_{\gamma\alpha\delta}, \quad
\, \Theta_{\gamma}\, \Theta_{\alpha\beta\delta}.
\]
Dieselbe Gleichung muss bestehen zwischen den Anfangsgliedern dieser
Functionen:
\[
c_{\beta\gamma\delta}u_{\alpha}, \quad
c_{\gamma\alpha\delta}u_{\beta}, \quad
c_{\alpha\beta\delta}u_{\gamma}.
\]
Daher besteht eine lineare Gleichung zwischen den drei homogenen
linearen Functionen der Argumente: $u_{\alpha}$, $u_{\beta}$, $u_{\gamma}$\@.
Dies können wir so
aussprechen:

I. \quad Die sieben graden Linien
$u_{\kappa} = 0$ $(\kappa = 1,\, 2\cdots 7)$ gehen sämmtlich
durch einen Punkt. Diesen Punkt bezeichnen wir durch $(0)$.

Setzen wir ferner in dem System $(5)$ $k = \delta\mu$, so erhalten wir
eine Gleichung zwischen
\[
\, \Theta_{\kappa\delta\mu}\, \Theta_{\delta\lambda}, \quad
\, \Theta_{\lambda\delta\mu}\, \Theta_{\delta\kappa}, \quad
\, \Theta_{\kappa\delta\lambda\mu}\, \Theta_{\delta}.
\]
Hieraus ergiebt sich, wenn wir wieder auf die Anfangsglieder zurückgehen,
eine lineare homogene Gleichung zwischen $u_{\delta\lambda}$, $u_{\delta\kappa}$, $u_{\delta}$\@.
Daraus ist ersichtlich:

II. \quad Die sieben Graden $u_{\kappa} = 0$ und
$u_{\alpha\kappa} = 0$ $(\alpha = 1,\, 2\cdots 7$, aber
$\lessgtr\kappa)$ schneiden sich in einem Punkte.
Diesen \DPtypo{bezeichen}{bezeichnen} wir durch $(\kappa)$\@.

Endlich setzen wir im System $(5)$ $k = \kappa\lambda$\@.
Dann folgt eine homogene lineare Gleichung zwischen
\[
\, \Theta_{\lambda}\, \Theta_{\kappa\mu}, \quad
\, \Theta_{\kappa}\, \Theta_{\lambda\mu}, \quad
\, \Theta_{\kappa\lambda\mu}\, \Theta_0.
\]
Hieraus ergiebt sich, dass eine ebensolche Gleichung bestehen muss
zwischen den drei quadratischen Functionen:
%-----File: 153.png-----------------------------------------
\[
u_\kappa u_{\lambda\mu}, \quad u_\lambda u_{\kappa\mu}, \quad w_0.
\]
Dadurch erkennen wir, dass die beiden Graden $u_\kappa = 0$, $u_\lambda = 0$ sich
auf dem Kegelschnitt $w_0 = 0$ schneiden, ebenso die Graden $u_\kappa = 0$
und $u_{\kappa \mu} = 0$\@. Wir sehen also:

III. \quad Die acht definirten Punkte $(0),\, (1),\, (2) \cdots (7)$ liegen auf dem
Kegelschnitt $w_0 = 0$\@.

Durch diese drei Sätze ist die Lage der $28$ Graden $u_\kappa = 0$,
$u_{\kappa \lambda} = 0$ zu einander und in Bezug auf den Kegelschnitt $w_0 = 0$ ausreichend
charakterisirt; die Graden sind die Verbindungslinien von
acht Punkten des Kegelschnitts, und zwar $u_\kappa = 0$ die Verbindungslinie
der Punkte $(0)$ und $(\kappa)$, $u_{\kappa \lambda} = 0$ die der Punkte
$(\kappa)$ und $(\lambda)$\@. Wir
wählen nun ein besonderes Coordinatensystem. $v = 0$ sei die Tangente
an den Kegelschnitt im Punkte $(0)$; $v'' = 0$ irgend eine andere Tangente,
und $v' = 0$ die Verbindungslinie der beiden Berührungspunkte.
Der Gleichung des Kegelschnitts können wir dann die Form geben:
\[
vv''-v'^2 = 0.
\]
Für die Punkte, die auf dem Kegelschnitte liegen, hat man dann:
\[
\frac{v'}{v}=p, \quad \frac{v''}{v}=p^2;
\]
und es entspricht jedem Punkte der Curve ein Werth von $p$, und umgekehrt;
speziell dem Punkte (0) der Werth $p = \infty$\@. Die Werthe
von $p$, welche den übrigen Punkten $(1),\, (2) \cdots (7)$ entsprechen, bezeichnen
wir durch $a_1,\, a_2 \cdots a_7$\@. Die Verbindungslinie der Punkte
(0) und $(\kappa)$ hat dann die Gleichung $a_\kappa v - v' = 0$, die der Punkte $(\kappa)$
und $(\lambda)$ die folgende:
$a_\kappa a_\lambda v - (a_\kappa  + a_\lambda )v' + v'' = 0$; wir können
daher setzen
\[
\tag{7}
 w_0 = l_0 (vv'' - v'^2 ), \quad
 u_\kappa = l_\kappa v_\kappa, \quad
 u_{\kappa \lambda} = l_{\kappa \lambda} v_{\kappa \lambda};
\]
wo
\[
\tag{8}
 v_\kappa = a_\kappa v - v'; \quad
 v_{\kappa \lambda} = a_\kappa a_\lambda v
 - (a_\kappa + a_\lambda) v' + v''
\]
ist, und $l_0$, $l_\kappa$, $l_{\kappa \lambda}$ noch genauer zu bestimmende Constanten bedeuten.

Wir können bewirken, dass zwei von den sieben Grössen $a_\kappa$ willkürlich
vorgeschriebene Werthe erhalten. Wir können z.~B.\ erreichen,
dass $a_1 = 0$ wird dadurch, dass wir die Linie $v'' = 0$ mit der Tangente
im Punkte (1) zusammenfallen lassen. Dann können wir noch
$v$, $v'$, $v''$ mit drei Constanten $a$, $b$, $c$ multipliciren, die aber der Bedingung
$ac = b^2$ genügen müssen, damit die Gleichung des Kegelschnitts
ungeändert bleibt. Dadurch können wir bewirken, dass $a_2 = 1$
wird; die übrigen Grössen $a_3,\, a_4 \cdots a_7$ sind dann die wesentlichen
Constanten des Systems. Wir denken uns also zwei dieser Grössen
willkürlich gewählt; damit ist das ganze Grössensystem
$a_1,\, a_2 \cdots a_7$
völlig bestimmt. Es bleibt dann noch eine Aenderung übrig, die man
%-----File: 154.png-----------------------------------------
machen kann, ohne die Gleichungen der Graden und des Kegelschnitts
zu ändern; man kann nämlich alle drei Grössen $v$, $v'$, $v''$ mit
einem und demselben Factor $k$ multipliciren. Dadurch geht $v_\kappa$ und
$v_{\kappa \lambda}$ in $v_{\kappa}' = kv_\kappa$, $v_{\kappa \lambda}' = kv_{\kappa \lambda}$; $w_0$ in
$w_0'= k^2 w_0$ über; es treten also
an die Stelle der Factoren $l_0$, $l_\kappa$,
$l_{\kappa \lambda}$ folgende: $l_0' = l_0 k^2$,
$l_\kappa' = l_\kappa k$,
$l_{\kappa \lambda}' = l_{\kappa \lambda} k$\@. Ueber diesen Factor $k$ werden wir ebenfalls verfügen; jeder
der Quotienten $\dfrac{l_\kappa}{l_0}$,
$\dfrac{l_{\kappa \lambda}}{l_0}$,
$\dfrac{c_{\kappa \lambda \mu}}{l_0}$ muss sich dann durch $a_1,\, a_2 \cdots a_7$ allein
ausdrücken lassen.

Wir setzen in der Gleichung~(4) einmal $k = \kappa$,
$m = \gamma \delta$, das
andere Mal: $k = \gamma$, $m = \kappa \delta$\@. Dann erhalten wir die zwei Formeln:
\begin{align*}
&\sum_{\alpha = 0}^7 \left[ (-1)^{(\alpha \kappa, \alpha \lambda \mu,
  \alpha \gamma \delta )} c_{\alpha \gamma \delta \kappa \lambda \mu}
  c_{\alpha \gamma \delta} \, \Theta_{\alpha \kappa} \, \Theta_{\alpha \lambda \mu}\right] = 0,   \\
&\sum_{\alpha = 0}^7 \left[ (-1)^{(\alpha \gamma, \alpha \gamma \kappa \lambda \mu,
  \alpha \delta \kappa )} c_{\alpha \delta \lambda \mu} c_{\alpha \delta \kappa}
  \, \Theta_{\alpha \gamma} \, \Theta_{\alpha \gamma \kappa \lambda \mu}\right] = 0,
\end{align*}
die sich, mit Hinweglassung der verschwindenden Glieder und der gehörigen
Vereinfachung der Vorzeichen, auf folgende reduciren:
\begin{gather*}
c_{\alpha \beta \kappa} c_{\gamma \delta \kappa} \, \Theta_0 \, \Theta_{\kappa \lambda \mu}
+ (-1)^{\lambda \mid \mu} c_{\alpha \beta \lambda} c_{\gamma \delta \lambda}
\, \Theta_{\kappa \lambda} \, \Theta_{\mu} + (-1)^{\mu \mid \lambda} c_{\alpha \beta \mu}
c_{\gamma \delta \mu} \, \Theta_{\kappa \mu} \, \Theta_{\lambda} = 0,   \\
c_{\beta \gamma \kappa} c_{\alpha \delta \kappa} \, \Theta_{\alpha \gamma}
\, \Theta_{\beta \delta} - c_{\beta \delta \kappa} c_{\alpha \gamma \kappa}
\, \Theta_{\beta \gamma} \, \Theta_{\alpha \delta} = (-1)^{\alpha \mid \beta + \gamma \mid \delta}
c_{\alpha \beta \kappa} c_{\gamma \delta \kappa} \, \Theta_0 \, \Theta_{\kappa \lambda  \mu}.
\end{gather*}
Daraus ergiebt sich:
\begin{align*}
c_{\alpha \beta \kappa} c_{\gamma \delta \kappa} c_{\kappa \lambda \mu} l_0 (v v'' - v'^2)
&+ (-1)^{\lambda \mid \mu} c_{\alpha \beta \lambda} c_{\gamma \delta \lambda}
l_{\kappa \lambda} l_\mu v_{\kappa \lambda} v_\mu   \\
&+ (-1)^{\mu \mid \lambda}
c_{\alpha \beta \mu} c_{\gamma \delta \mu} l_{\kappa \mu} l_\lambda v_{\kappa \mu} v_\lambda = 0;
\end{align*}
\begin{align*}
c_{\beta \gamma \kappa} c_{\alpha \delta \kappa} l_{\alpha \gamma}
l_{\beta \delta} v_{\alpha \gamma} v_{\beta \delta}
&- c_{\beta \delta \kappa} c_{\alpha \gamma \kappa} l_{\beta \gamma}
l_{\alpha \delta} v_{\beta \gamma} v_{\alpha \delta} \\
&= (-1)^{\alpha \mid \beta + \gamma \mid \delta} c_{\alpha \beta \kappa}
c_{\gamma \delta \kappa} c_{\kappa \lambda \mu} l_0 (v v'' - v'^2 ).
\end{align*}

In der ersten Formel setzen wir $v_\lambda = 0$, also
$v' = a_\lambda v$\@. Dann wird
\[
 v_\mu = (a_\mu - a_\lambda )v, \quad
 v_{\kappa \lambda} = v'' - a_{\lambda}^2 v, \quad
 vv''-v'^2 = v(v'' - a_\lambda^2 v).
\]
Daher erhalten wir:
\[
c_{\alpha \beta \kappa} c_{\gamma \delta \kappa} c_{\lambda \mu \kappa} l_0
= (-1)^{\lambda \mid \mu} (a_\lambda - a_\mu )c_{\alpha \beta \lambda}
c_{\gamma \delta \lambda} l_{\kappa \lambda} l_{\mu}.
\]
In der zweiten setzen wir $v_{\beta \gamma} = 0$, also
$v'' = -a_\beta a_\gamma v + (a_\beta + a_\gamma )v'$\@.
Dann wird
\begin{gather*}
v_{\alpha \gamma} = (a_\alpha - a_\beta )(a_\gamma v - v'), \quad
v_{\beta \delta} = (a_\delta - a_\gamma )(a_\beta v - v'),   \\
vv'' - v'^2 = - (a_\gamma v - v')(a_\beta v - v');
\end{gather*}
daher ist
\[
c_{\alpha \beta \kappa} c_{\gamma \delta \kappa} c_{\lambda \mu \kappa} l_0
= (-1)^{\alpha \mid \beta + \gamma \mid \delta} (a_{\alpha} - a_\beta ) (a_{\gamma}
- a_{\delta}) c_{\beta \gamma \kappa} c_{\alpha \delta \kappa} l_{\alpha \gamma} l_{\beta \delta}.
\]
Wir führen nun folgende Bezeichnung ein:
\[
\tag{9}
(-1)^{\kappa \mid \lambda}(a_{\kappa} - a_{\lambda}) = a_{\kappa \lambda}.
\]
%-----File: 155.png-----------------------------------------
Da $(-1)^{\kappa \mid \lambda}$ ein alternirendes Vorzeichen ist,
so ist $a_{\lambda\kappa} = a_{\kappa\lambda}$\@. Die
beiden Relationen, welche wir erhalten haben, sind dann:
\begin{align*}
\tag{10}
c_{\alpha\beta\kappa}c_{\gamma\delta\kappa} c_{\lambda\mu\kappa}l_0
&=
a_{\lambda\mu}c_{\alpha\beta\lambda}c_{\gamma\delta\lambda} l_{\kappa\lambda}l_{\mu},
\\
\tag{11}
c_{\alpha\beta\kappa}c_{\gamma\delta\kappa} c_{\lambda\mu\kappa}l_0
&=
a_{\alpha\beta}a_{\gamma\delta}c_{\beta\gamma\kappa}
c_{\alpha\delta\kappa}l_{\alpha\gamma}l_{\beta\delta}.
\end{align*}
Vertauscht man in der ersten Formel $\kappa$ mit $\lambda$ und multiplicirt die neu
entstehende Formel mit der ursprünglichen, so erhält man:
\[
\tag{12}
c^2_{\kappa\lambda\mu} l^2_0 =
a_{\kappa\mu}a_{\lambda\mu} l^2_{\kappa\lambda} l^2_{\mu}.
\]
Vertauscht man dagegen $\kappa$, $\lambda$, $\mu$ cyklisch und multiplicirt die drei so
erhaltenen Formeln, so erhält man:
\[
\tag{13}
c^3_{\kappa\lambda\mu} l^3_0 =
a_{\kappa\lambda} a_{\kappa\mu} a_{\lambda\mu} l_{\kappa\lambda} l_{\kappa\mu} l_{\lambda\mu}
l_{\kappa} l_{\lambda} l_{\mu}.
\]
Die Division beider Gleichungen liefert:
\[
c_{\kappa\lambda\mu}l_0 =
\frac{a_{\kappa\lambda} l_{\kappa\mu} l_{\lambda\mu} l_{\kappa} l_{\lambda}}
{l_{\kappa\lambda}l_{\mu}}
=
\frac{a_{\kappa\lambda} l^2_{\kappa} l^2_{\lambda}}
{l^2_{\kappa\lambda}} \cdot
\frac{l_{\kappa\lambda} l_{\kappa\mu} l_{\lambda\mu}}
{l_{\kappa}l_{\lambda}l_{\mu}}.
\]
In dieser Form geschrieben, zeigt diese Gleichung, dass der Quotient
\[
\frac{a_{\kappa\lambda} l^2_{\kappa} l^2_{\lambda}}
{l^2_{\kappa\lambda} l^2_0} = r
\]
einen von den Indices $\kappa$, $\lambda$ unabhängigen Werth haben muss. Diesen
Werth $r$ können wir, indem wir dadurch über den erwähnten willkürlichen
Factor $k$ verfügen, gleich $1$ setzen; wir erhalten dann:
\begin{gather*}
\tag{14}
a_{\kappa\lambda} =
\frac{l^2_{\kappa\lambda} l^2_0}{l^2_{\kappa} l^2_{\lambda}};
\\
\tag{15}
\frac{c_{\kappa\lambda\mu}}{l_0} =
\frac{l_{\kappa\lambda} l_{\kappa\mu} l_{\lambda\mu}}
{l_{\kappa} l_{\lambda} l_{\mu}}.
\end{gather*}
Diese Ausdrücke für die Grössen $a_{\kappa\lambda}$ und $c_{\kappa\lambda\mu}$
führen wir in die beiden
Gleichungen~(10) und (11) ein. Dann verwandeln sich dieselben in
Relationen zwischen den Grössen $l$ allein:
\begin{gather*}
\tag{16}
\frac{l_{\alpha\kappa}l_{\beta\kappa}l_{\gamma\kappa} l_{\delta\kappa} l_{\lambda\kappa}l_{\mu\kappa}}
{l^3_{\kappa}} =
\frac{l_{\alpha\lambda}l_{\beta\lambda}l_{\gamma\lambda} l_{\delta\lambda}l_{\kappa\lambda}l_{\mu\lambda}}
{l^3_{\lambda}},
\\
\tag{17}
\frac{l_{\alpha\beta}l_{\alpha\gamma}l_{\alpha\delta}l_{\beta\gamma} l_{\beta\delta}l_{\gamma\delta}}
{l_{\kappa\lambda}l_{\kappa\mu}l_{\lambda\mu}} =
\frac{l^2_{\alpha}l^2_{\beta}l^2_{\gamma}l^2_{\delta}}
{l_{\kappa}l_{\lambda}l_{\mu}l^2_0}.
%** Added missing exponent to $l_\gamma \rightarrow l^2_{\gamma}$
\end{gather*}
Wir bezeichnen nun das Product aller sechs Grössen $l_{\alpha\kappa}$, die man erhält,
wenn man für $\alpha$ die sechs von $\kappa$ verschiedenen
%** Typo corrected: verschiednen $\rightarrow$ verschiedenen
primitiven Indices
setzt, durch $L_{\kappa}$; mit $L$ dagegen das Product aller $21$ Grössen $l_{\kappa\lambda}$\@. Aus
dieser Definition folgt dann identisch:
\begin{gather*}
\tag{18}
L^2 = L_1 L_2 \cdots L_7,
\\
\tag{19}
\frac{l_{\alpha\beta}l_{\alpha\gamma}l_{\alpha\delta}
l_{\beta\gamma} l_{\beta\delta}l_{\gamma\delta}}
{l_{\mu\lambda}l_{\mu\kappa}l_{\kappa\lambda}}=
\frac{L}{L_{\kappa}L_{\lambda}L_{\mu}}.
\end{gather*}
%-----File: 156.png-----------------------------------------
Danach gehen die beiden Gleichungen~(16) und (17) in folgende über:
\[
\tag{20}
\frac{L_{\kappa}} {l^3_{\kappa}} =
\frac{L_{\lambda}} {l^3_{\lambda}}; \quad
\frac{L} {L_{\kappa}L_{\lambda}L_{\mu}} =
\frac{l^2_{\alpha}l^2_{\beta}l^2_{\gamma}l^2_{\delta}}
{l_{\kappa}l_{\lambda}l_{\mu}l^2_0}.
\]
Aus der ersten dieser Gleichungen folgt:
\[
\tag{21}
L_{\kappa} = ml_{\kappa}^3,
\]
wo $m$ eine von dem Index $\kappa$ unabhängige Grösse bedeutet; aus der
zweiten dann:
\[
\tag{22}
L = \frac{m^3}{l_0^2} l_{\alpha}^2 l_{\beta}^2 l_{\gamma}^2 l_0^2
l_{\kappa}^2 l_{\lambda}^2 l_{\mu}^2
= \frac{m^3 l^2}{l_0^2},
\]
wenn wir unter $l$ das Product der sieben Grössen $l_\alpha$ verstehen. Da
nun $L^2$ gleich dem Product der sieben Grössen $L_{\kappa}$ ist, so folgt aus
(21), dass
\[
L^2 = m^7 l^3
\]
ist. Vergleichen wir dies mit (22), so erhalten wir
\[
m = \frac{l} {l_0^4}.
\]
Es ist also:
\[
\tag{23}
L_{\kappa} = \frac{l l^3_{\kappa}} {l^4_0}, \quad
L = \frac{l^5}{l^{14}_0}.
\]
Es ist jetzt leicht,
$\dfrac{l_{\kappa}}{l_0}$,
$\dfrac{l_{\kappa\lambda}}{l_0}$,
$\dfrac{c_{\kappa\lambda\mu}}{l_0}$ durch die $21$ Grössen
$a_{\alpha\beta}$, d.~h.
die Differenzen der sieben Parameter $a_1 \cdots a_7$ auszudrücken.
Die letzte Gleichung
$L_{\kappa} = \dfrac{ll^3_{\kappa}}{l^4_0}$ lässt sich so schreiben:
\[
\prod_{\alpha}(l_{\alpha\kappa}) =
\frac{ll^3_{\kappa}}{l^4_0}, \quad \text{oder: }
\prod_{\alpha}
\left(\frac{l_0l_{\alpha\kappa}}{l_{\alpha} l_{\kappa}}\right) =
\frac{l^2_0}{l^2_{\kappa}},
\]
wo das Product auszudehnen ist über alle von $\kappa$ verschiedenen Zahlen
$\alpha$ der Reihe\,$1, 2 \cdots 7$\@. Da nun nach (14)
$\dfrac{l^2_0l^2_{\kappa\lambda}}{l^2_{\kappa}l^2_{\lambda}} = a_{\kappa\lambda}$
ist, so erhalten wir:
\[
\tag{24}
\frac{l^4_{\kappa}}{l^4_0} =
\frac{1}{\prod\limits_\alpha (a_{\alpha\kappa})}.
%** Changed final , to .
\]
Aus der Gleichung~(14) geht nun weiter hervor:
\[
\tag{25}
\frac{l^4_{\kappa\lambda}}{l^4_0} =
\frac{a^2_{\kappa\lambda}}
{\prod\limits_\alpha (a_{\alpha\kappa})\,  \prod\limits_\alpha(a_{\alpha\lambda})},
\]
und aus (15):
\[
\tag{26}
\frac{c^4_{\kappa\lambda\mu}}{l^4_0} =
\frac{a^2_{\kappa\lambda}a^2_{\kappa\mu}a^2_{\lambda\mu}}
{\prod (a_{\alpha\kappa})\, \prod (a_{\alpha\lambda})\,
 \prod (a_{\alpha\mu})}.
\]
%-----File: 157.png-----------------------------------------
Nun ist
\begin{align*}
\prod_\alpha (a_{\alpha\kappa}) &= -
\prod_\alpha (a_{\alpha}-a_{\kappa})\\
&= - (a_{\alpha} - a_{\kappa})(a_{\beta} - a_{\kappa})
   (a_{\gamma} - a_{\kappa})(a_{\delta} - a_{\kappa})
   (a_{\lambda} - a_{\kappa})(a_{\mu} - a_{\kappa});
\end{align*}
es ist also:
\[
\tag{27}
\left\{
\begin{aligned}
\frac{l^4_{\kappa}}{l^4_0}
&= \frac{-1}
{
(a_{\alpha}  - a_{\kappa})(a_{\beta}  - a_{\kappa})
(a_{\gamma}  - a_{\kappa})(a_{\delta} - a_{\kappa})
(a_{\lambda} - a_{\kappa})(a_{\mu}    - a_{\kappa})
}, \\
%** Changed according to "`Berichtigung"': $l_0^4$ für $l_0^2$
\frac{l^4_{\kappa\lambda}} {l^4_0}
&= \frac{-1}
{
(a_{\alpha} - a_{\kappa})(a_{\beta}  - a_{\kappa})
(a_{\gamma} - a_{\kappa})(a_{\delta} - a_{\kappa})
(a_{\mu}    - a_{\kappa})(a_{\alpha} - a_{\lambda})},\\
& \phantom{{}= (a_{\alpha} - a_{\kappa})(a_{\beta}  - a_{\kappa})}
\ (a_{\beta}  - a_{\lambda})  (a_{\gamma} - a_{\lambda})
(a_{\delta} - a_{\lambda})  (a_{\mu}    - a_{\lambda})\\
\frac{c^4_{\kappa\lambda\mu}}{l^4_0}
&= \frac{-1}
{
(a_{\alpha} - a_{\kappa})(a_{\beta}  - a_{\kappa})
(a_{\gamma} - a_{\kappa})(a_{\delta} - a_{\kappa})
(a_{\alpha} - a_{\lambda})  (a_{\beta}  - a_{\lambda})}.\\
& \phantom{{}={}}\,\ {
(a_{\gamma} - a_{\lambda})  (a_{\delta} - a_{\lambda})
(a_{\alpha} - a_{\mu})      (a_{\beta}  - a_{\mu})
(a_{\gamma} - a_{\mu})      (a_{\delta} - a_{\mu})
}
\end{aligned}
\right.
\]
Damit ist die Aufgabe, die in der Theorie vorkommenden Constanten
durch unabhängige Grössen auszudrücken, gelöst.

Wir gehen nun dazu über, einige einfache Relationen unter den
Theta-Function\-en selbst aufzustellen, aus denen die Art ihres algebraischen
Zusammenhangs klar erkannt werden kann. \,%**
Die algebraische
Darstellung der $\Theta$-Quotienten durch drei unabhängige Grössen $x_1$, $x_2$, $x_3$
ergiebt sich dann fast von selbst. Wir wollen aber zuvor von den
Theta-Functionen ihre irrationalen constanten Factoren
$l_0$, $l_{\kappa}$, $l_{\kappa\lambda}$, $c_{\kappa\lambda\mu}$
absondern, und
\[
\tag{28}
 \, \Theta_0 = l_0\sigma_0, \quad
 \, \Theta_{\kappa} = l_{\kappa}\sigma_{\kappa}, \quad
 \, \Theta_{\kappa\lambda} = l_{\kappa\lambda}\sigma_{\kappa\lambda}, \quad
 \, \Theta_{\kappa\lambda\mu} = l_{\kappa\lambda\mu}\sigma_{\kappa\lambda\mu}
\]
setzen, so dass jetzt das Anfangsglied in der Entwickelung von $\sigma_0$
gradezu
$= vv'' - v'^2$, das von $\sigma_{\kappa} = v$,
das von
$\sigma_{\kappa\lambda} = v_{\kappa\lambda}$, und das Anfangsglied von
$\sigma_{\kappa\lambda\mu} = 1$ ist.

Ferner dividiren wir durch $\sigma_0$ alle $63$ übrigen Grössen $\sigma_m$, und
bezeichnen den Quotienten durch $p_m$\@. Es ist also
\[
\tag{29}
p_{\kappa} = \frac{\sigma_{\kappa}}{\sigma_0}, \quad
p_{\kappa\lambda} = \frac{\sigma_{\kappa\lambda}}{\sigma_0}, \quad
p_{\kappa\lambda\mu} = \frac{\sigma_{\kappa\lambda\mu}}{\sigma_0}.
\]

I. \quad Wir leiten zunächst eine Relation her aus der Gleichung~(3),
indem wir dort $k = 0$, $m = \kappa\lambda\mu$ setzen. Für
$\alpha = \kappa,\, \lambda,\, \mu$ verschwindet
der Factor $c_{m\alpha}$; es ist also:
\[
c^2_{\kappa\lambda\mu} \Theta^2_0 + \underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}
\left\{(-1)^{\alpha\kappa\lambda\mu \mid \alpha} c^2_{\alpha\kappa\lambda\mu} \Theta^2_{\alpha}
\right\} = 0,
\]
oder:
\[
c^2_{\kappa\lambda\mu} \Theta^2_0 + \underset{\alpha,\beta,\gamma,\delta}{S}
\left\{(-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
c^2_{\beta\gamma\delta} \Theta^2_{\alpha}
\right\} = 0.
\]
Führen wir hier die Grössen $p$ ein, so erhalten wir:
%-----File: 158.png-----------------------------------------
\[
 \underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S}
 \left\{
   (-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}
   \frac{-c_{\beta\gamma\delta}^2 l_{\alpha}^2}
        {c_{\kappa\lambda\mu}^2 l_0^2}
   p_{\alpha}^2
 \right\} = 1.
\]
Nun ist nach (15)
\[
 \frac{c_{\beta\gamma\delta}}{l_0}
 = \frac{l_{\beta\gamma} l_{\beta\delta} l_{\gamma\delta}}
        {l_{\beta} l_{\gamma} l_{\delta}}, \quad
 \frac{c_{\kappa\lambda\mu}}{l_0}
 = \frac{l_{\kappa\lambda} l_{\kappa\mu} l_{\lambda\mu}}
        {l_{\kappa} l_{\lambda} l_{\mu}};
\]
daher:
\[
 \frac{c_{\beta\gamma\delta} l_{\alpha}}
      {c_{\kappa\lambda\mu} l_0}
=\frac{l_{\alpha} l_{\kappa} l_{\lambda} l_{\mu}}
      {l_{\beta} l_{\gamma} l_{\delta} l_0}
 \ \frac{l_{\beta\gamma} l_{\beta\delta} l_{\gamma\delta}}
      {l_{\kappa\lambda} l_{\kappa\mu} l_{\lambda\mu}}.
\]
Wenden wir hier die Formel~(17) an, so folgt:
\[
 \frac{l_{\beta\gamma} l_{\beta\delta} l_{\gamma\delta}}
      {l_{\kappa\lambda} l_{\kappa\mu} l_{\lambda\mu}}
 =
 \frac{l_{\alpha}^2 l_{\beta}^2 l_{\gamma}^2 l_{\delta}^2}
      {l_{\kappa} l_{\lambda} l_{\mu} l_0^2}
 \ \frac{1}{l_{\alpha\beta} l_{\alpha\gamma} l_{\alpha\delta}},
\]
daher:
\[
 \frac{c_{\beta\gamma\delta} l_{\alpha}}
      {c_{\kappa\lambda\mu} l_0}
 =
 \frac{l_{\alpha}^3 l_{\beta} l_{\gamma} l_{\delta}} {l_0^3}
 \ \frac{1}{l_{\alpha\beta} l_{\alpha\gamma} l_{\alpha\delta}}.
\]
Erheben wir diese Formel in's Quadrat, so ist nach (14):
\[
 \frac{l_0^6 l_{\alpha\beta}^2
        l_{\alpha\gamma}^2 l_{\alpha\delta}^2}
      {l_{\alpha}^6 l_{\beta}^2 l_{\gamma}^2 l_{\delta}^2}
 = a_{\alpha\beta} a_{\alpha\gamma} a_{\alpha\delta};
\]
es ist also:
\[
 \frac{c_{\beta\gamma\delta}^2 l_{\alpha}^2}
      {c_{\kappa\lambda\mu}^2 l_0^2}
 =
 \frac{1}{a_{\alpha\beta} a_{\alpha\gamma} a_{\alpha\delta}}
 =
 \frac{(-1)^{\beta\gamma\delta \mid \alpha}}
      {(a_{\beta} - a_{\alpha})
        (a_{\gamma} - a_{\alpha})
        (a_{\delta} - a_{\alpha})};
%** Changed according to "`Berichtigung"': ${l_0}^2$ für ${l_2}^0$}
\]
mithin erhalten wir:
\[
\tag{A}
 \underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S}
 \left\{
   \frac{p_{\alpha}^2}
        {(a_{\alpha} - a_{\beta})
          (a_{\alpha} - a_{\gamma})
          (a_{\alpha} - a_{\delta})}
 \right\} = 1.
\]
Zwischen je vier der sieben Grössen $p_{\alpha}^2$ besteht also eine nicht
homogene lineare Gleichung.

II. \quad Wir gehen zurück auf die Gleichung~(2). Aus dieser geht
hervor, dass zwischen den vier Producten
$\sigma_{\alpha}\sigma_{\alpha\kappa}$,
$\sigma_{\beta} \sigma_{\beta\kappa}$,
$\sigma_{\gamma}\sigma_{\gamma\kappa}$,
$\sigma_{\delta}\sigma_{\delta\kappa}$
eine lineare homogene Gleichung
\[
   A\sigma_{\alpha}\sigma_{\alpha\kappa}
 + B\sigma_{\beta} \sigma_{\beta\kappa}
 + C\sigma_{\gamma}\sigma_{\gamma\kappa}
 + D\sigma_{\delta}\sigma_{\delta\kappa} = 0
\]
besteht; man erhält diese, indem man
$k = \kappa$, $l = 0$, $m = \lambda\mu$ setzt.
Wir wollen aber die Coefficienten in anderer Weise bestimmen.
Offenbar muss dieselbe Gleichung zwischen den Anfangsgliedern bestehen:
\[
   A v_{\alpha} v_{\alpha\kappa}
 + B v_{\beta}  v_{\beta\kappa}
 + C v_{\gamma} v_{\gamma\kappa}
 + D v_{\delta} v_{\delta\kappa} = 0.
\]
Wir setzen nun $v = 1$, $v' = p$, $v'' = p^2$; dann geht
\[
 v_{\kappa} \text{ in } a_{\kappa} - p, \quad
 v_{\kappa\lambda} \text{ in } (a_{\kappa} - p) (a_{\lambda} - p)
\]
über. Es muss also, für willkürliche Werthe von $p$, die Gleichung bestehen:
%-----File: 159.png-----------------------------------------
\[
A(a_{\alpha} - p)^2 + B(a_{\beta} - p)^2 + C(a_{\gamma} - p)^2 + D(a_{\delta} - p)^2 = 0.
\]
Daraus geht hervor: Zwischen je vier Functionen
$p_{\alpha}p_{\alpha\kappa}$, $p_{\beta}p_{\beta\kappa}$,
$p_{\gamma}p_{\gamma\kappa}$, $p_{\delta}p_{\delta\kappa}$ besteht eine Gleichung:
\[
\tag{B}
Ap_{\alpha}p_{\alpha\kappa} +
Bp_{\beta} p_{\beta\kappa} +
Cp_{\gamma}p_{\gamma\kappa} +
Dp_{\delta}p_{\delta\kappa} = 0,
\]
deren Coefficienten bestimmt sind durch die Formeln:
\begin{align*}
A\phantom{a_{\alpha}}      + B\phantom{a_{\beta}}
  + C\phantom{a_{\gamma}}  + D\phantom{a_{\delta}}  &= 0,\\
Aa_{\alpha}                + Ba_{\beta}
  + Ca_{\gamma}            + Da_{\delta}            &= 0,\\
Aa_\alpha^2                + Ba_\beta^2
  + Ca_\gamma^2            + Da_\delta^2            &= 0.
\end{align*}

III. \quad Wir wissen, dass eine Gleichung besteht von der Form:
\[
A\sigma_{\kappa}\sigma_{\lambda\mu} +
B\sigma_{\lambda}\sigma_{\kappa\mu} +
C\sigma_{\mu}\sigma_{\kappa\lambda} = 0.
\]
Die Coefficienten lassen sich auch hier bestimmen, indem man auf die
Anfangsglieder zurückgeht:
\[
Av_{\kappa}v_{\lambda\mu} +
Bv_{\lambda}v_{\kappa\mu} +
Cv_{\mu}v_{\kappa\lambda} = 0.
\]
Da ein Coefficient von $v''$ in den Grössen $v_{\alpha}$ nicht vorkommt, in den
Grössen $v_{\alpha\beta}$ dagegen gleich $1$ ist, so erhalten wir:
\[
Av_{\kappa} + Bv_{\lambda} + Cv_{\mu} =0,
\]
oder:
\[
A(a_{\kappa}v - v') +
B(a_{\lambda}v - v') +
C(a_{\mu}v - v') = 0.
\]
Hieraus folgt:
\[
A = a_{\lambda} - a_{\mu}, \quad
B = a_{\mu} - a_{\kappa}, \quad
C = a_{\kappa} - a_{\lambda};
\]
daher:
\[
\tag{C}
(a_{\lambda} - a_{\mu})p_{\kappa}p_{\lambda\mu} +
(a_{\mu} - a_{\kappa})p_{\lambda}p_{\mu\kappa} +
(a_{\kappa} - a_{\lambda})p_{\mu}p_{\kappa\lambda} = 0.
\]

IV. \quad Wir stellen jetzt noch zwei Gleichungen auf, welche Beziehungen
der Functionen $p_{\kappa\lambda\mu}$ zu den übrigen angeben. Erstens muss
eine lineare Relation bestehen zwischen
$\sigma_0\sigma_{\kappa\lambda\mu}$,
$\sigma_{\kappa\lambda}\sigma_{\mu}$, $\sigma_{\kappa\mu}\sigma_{\lambda}$; zweitens
zwischen $\sigma_0\sigma_{\kappa\lambda\mu}$, $\sigma_{\alpha\gamma}\sigma_{\beta\delta}$
und $\sigma_{\beta\gamma}\sigma_{\alpha\delta}$\@. Beide Relationen sind schon aufgestellt,
als es sich um die Darstellung der Moduln handelte, und die
einfachsten Ausdrücke der Coefficienten sind durch die Formeln~(10)
und (11) gegeben. Es ist demnach
\begin{gather*}
a_{\lambda\mu}\sigma_0\sigma_{\kappa\lambda\mu} +
(-1)^{\lambda \mid \mu}\sigma_{\kappa\lambda}\sigma_{\mu} +
(-1)^{\mu \mid \lambda}\sigma_{\kappa\mu}\sigma_{\lambda} = 0,\\
(-1)^{\alpha \mid \beta+\gamma \mid \delta}
a_{\alpha\beta} a_{\gamma\delta}
\sigma_0\sigma_{\kappa\lambda\mu} =
\sigma_{\alpha\gamma}\sigma_{\beta\delta} - \sigma_{\beta\gamma}\sigma_{\alpha\delta};
\end{gather*}
oder:
\begin{gather*}
p_{\kappa\lambda}p_{\mu} - p_{\kappa\mu}p_{\lambda} +
(a_{\lambda} - a_{\mu})p_{\kappa\lambda\mu} = 0,\\
p_{\alpha\gamma}p_{\beta\delta} - p_{\beta\gamma}p_{\alpha\delta} =
(a_{\alpha} - a_{\beta})(a_{\gamma} - a_{\delta}) p_{\kappa\lambda\mu}.
\end{gather*}
Wir erhalten also $p_{\kappa\lambda\mu}$ ausgedrückt in zwei verschiedenen Formen:
%-----File: 160.png-----------------------------------------
\begin{align*}
\tag{D}
p_{\kappa\lambda\mu}
 = \frac{p_{\lambda} p_{\kappa\mu} - p_{\mu} p_{\kappa\lambda}}
        {a_{\lambda} - a_{\mu}},   \\
\tag{E}
p_{\kappa\lambda\mu}
 = \frac{p_{\alpha\gamma} p_{\beta\delta}
         - p_{\beta\gamma} p_{\alpha\delta}}
        {(a_{\alpha} - a_{\beta}) (a_{\gamma} - a_{\delta})}.
\end{align*}

Aus den fünf aufgestellten Relationen lassen sich nun folgende
Schlüsse ziehen.

Zunächst folgt aus (A), dass sich die sieben Grössen $p_{\kappa}^2$ durch
drei Grössen $f_1$, $f_2$, $f_3$ in folgender Weise ausdrücken lassen:
\[
 p_{\kappa}^2
 = a_{\kappa}^3 - f_1 a_{\kappa}^2 + f_2 a_{\kappa} - f_3,
\]
also, wenn man die ganze Function dritter Ordnung
\[
\tag{30}
 x^3 - f_1 x^2 + f_2 x - f_3 \text{ mit } \phi(x)
\]
bezeichnet:
\[
\tag{31}
 p_{\kappa}^2 = \phi(a_{\kappa}).
\]
Denn diese Function genügt offenbar identisch der Relation
\[
 \underset{\alpha, \beta, \gamma, \delta}{S}
 \left\{
   \frac{\phi(a_{\alpha})}
        {(a_{\alpha} - a_{\beta})
          (a_{\alpha} - a_{\gamma})
          (a_{\alpha} - a_{\delta})}
 \right\} = 1.
\]
Bestimmt man nun $f_1$, $f_2$, $f_3$ durch die drei linearen Gleichungen
$\phi(a_1) = p_1^2$,
$\phi(a_2) = p_2^2$,
$\phi(a_3) = p_3^2$, so folgt aus dieser Gleichung
im Verein mit (A), dass allgemein
$\phi(a_{\delta}) = p_{\delta}^2$  sein muss. Die
Coefficienten $f_1$, $f_2$, $f_3$ der Function $\phi(a_{\kappa})$ sind demnach bestimmte
Abel'sche Functionen der Argumente, und zwar lineare Functionen der
Grössen $p_{\kappa}^2$.

Aus der Gleichung~(B), die wir so schreiben können:
\[
   A p_{\alpha} p_{\kappa} p_{\alpha\kappa}
 + B p_{\beta} p_{\kappa} p_{\beta\kappa}
 + C p_{\gamma} p_{\kappa} p_{\gamma\kappa}
 + D p_{\delta} p_{\kappa} p_{\delta\kappa} = 0,
\]
folgt ferner, dass sich die $21$ Producte
$p_{\kappa} p_{\lambda} p_{\kappa\lambda}$
$(\kappa,\, \lambda = 1,\, 2 \cdots 7$, $\kappa \lessgtr \lambda)$
sich linear und homogen durch sechs unter ihnen
\[
 p_1 p_2 p_{12}, \quad
 p_1 p_3 p_{13}, \quad
 p_1 p_4 p_{14}, \quad
 p_2 p_3 p_{23}, \quad
 p_2 p_4 p_{24}, \quad
 p_3 p_4 p_{34}
\]
ausdrücken lassen. Versteht man unter $\phi(x,\, y)$ eine ganze und
symmetrische Function vom zweiten Grade in Bezug auf $x$ und $y$, so
bestehen zwischen den $21$ Grössen $\phi(a_{\kappa}, a_{\lambda})$
genau dieselben Gleichungen,
wie zwischen den Grössen $p_{\kappa} p_{\lambda} p_{\kappa\lambda}$:
\[
   A \phi(a_{\alpha}, a_{\kappa})
 + B \phi(a_{\beta}, a_{\kappa})
 + C \phi(a_{\gamma}, a_{\kappa})
 + D \phi(a_{\delta}, a_{\kappa}) = 0,
\]
wo
\begin{gather*}
  A + B + C + D = 0; \quad
  Aa_{\alpha} + Ba_{\beta} + Ca_{\gamma} + Da_{\delta} = 0,   \\
  Aa_{\alpha}^2 + Ba_{\beta}^2 + Ca_{\gamma}^2
 + Da_{\delta}^2 = 0
\end{gather*}
ist. Wenn wir also die sechs Coefficienten dieser Function
$\phi(x,\, y)$
so bestimmen, dass die sechs Gleichungen
%-----File: 161.png-----------------------------------------
\[
 \phi(a_{\kappa}, a_{\lambda})
 = p_{\kappa} p_{\lambda} p_{\kappa\lambda} \quad
  (\kappa, \lambda = 1,\, 2,\, 3,\, 4)
\]
bestehen, so muss diese Gleichung allgemein gelten für alle 21
Combinationen der Indices $1,\, 2 \cdots 7$\@. Wir können also allgemein die 21
Producte $p_{\kappa} p_{\lambda} p_{\kappa\lambda}$ durch sechs von den Indices
abhängigen Grössen in
folgender Weise ausdrücken:
\[
\tag{32}
  p_{\kappa} p_{\lambda} p_{\kappa\lambda}
 = \phi(a_{\kappa}, a_{\lambda})
 \left( \begin{aligned}
           \kappa, \lambda &= 1,\, 2 \cdots 7   \\
           \kappa &\lessgtr \lambda
        \end{aligned}
 \right),
\]
wo $\phi(x,\, y)$ eine ganze und symmetrische Function von $x$ und $y$
bedeutet, die in Bezug auf beide Grössen vom zweiten Grade ist, und
deren sechs Coefficienten Abel'sche Functionen sind.

Die dritte der entwickelten Relationen giebt nun einen Zusammenhang
zwischen den Functionen $\phi(x)$ und $\phi(x,\, y)$\@.
Wir erhalten, indem wir die Gleichung~(C) mit
$p_{\kappa} p_{\lambda} p_{\mu}$ multipliciren,
und $p_{\kappa}^2$ durch $\phi(a_{\kappa})$,
$p_{\lambda} p_{\mu} p_{\lambda\mu}$ durch $\phi(a_{\lambda},\, a_{\mu})$
etc.\ ersetzen:
\begin{gather*}
   (a_{\lambda} - a_{\mu}) \phi(a_{\kappa})
     \phi(a_{\lambda}, a_{\mu})
 + (a_{\mu}- a_{\kappa}) \phi(a_{\lambda})
     \phi(a_{\mu}, a_{\kappa})   \\
 + (a_{\kappa}- a_{\lambda}) \phi(a_{\mu})
     \phi(a_{\kappa}, a_{\lambda})         = 0.
\end{gather*}
Ersetzen wir auf der linken Seite dieser Gleichung
$a_{\kappa}$, $a_{\lambda}$, $a_{\mu}$ durch
$x$, $y$, $z$, so erhalten wir eine ganze Function $\Phi(x,\, y,\, z)$, die in Bezug
auf jede der Veränderlichen vom dritten Grade ist. Diese Function
hat die Eigenschaft, zu verschwinden, wenn für $x$, $y$, $z$ drei Grössen
der Reihe $a_1,\, a_2 \cdots a_7$ gesetzt werden. Daraus folgt, dass sie
identisch verschwinden muss. Demnach ist identisch:
\[
 \phi(x,\, y)
 = \frac{(x-z)\phi(y)\phi(x,\, z) - (y-z)\phi(x)\phi(y,\, z)}
        {(x - y) \phi(z)}.
\]
Geben wir der Grösse $z$ einen constanten Werth $c$ und bezeichnen
\[
 \frac{(x-c) \phi(x,\, c)}{\phi(c)}
 \text{ mit } \overline{\psi}(x),
\]
so ist demnach
\[
 \phi(x,\, y)
=\frac{\overline{\psi}(x)\phi(y) - \overline{\psi}(y)\phi(x)}
      {x - y}.
\]
$\overline{\psi}(x)$ ist eine ganze Function dritten Grades von $x$\@. Diese können wir
auf die Form bringen:
\[
 \overline{\psi}(x) = c'\phi(x) - \psi(x),
\]
wo $\psi(x)$ eine ganze Function zweiten Grades bedeutet. Dann ist:
\[
\tag{33}
 \phi(x,\, y)
= \frac{\phi(x) \psi(y) - \phi(y) \psi(x)}{x - y}.
\]
Auf diese Weise sind jetzt die Functionen $p_{\kappa}$ und $p_{\kappa\lambda}$ durch sechs
Hülfsgrössen ausgedrückt, nämlich die Coefficienten $f_1$, $f_2$, $f_3$ der
kubischen Function $\phi(x)$ und die der quadratischen Function $\psi(x)$:
%-----File: 162.png-----------------------------------------
\[
\tag{34}
p^2_{\kappa} = \phi(a_{\kappa}); \quad
p_{\kappa}p_{\lambda}p_{\kappa\lambda} = \frac{\phi(a_{\kappa})\psi(a_{\lambda})-
\phi(a_{\lambda}) \psi(a_{\kappa})}
{a_{\kappa}-a_{\lambda}}.
\]
Dies sind bekannte Formeln aus der von Herrn Weierstrass aufgestellten
allgemeinen Theorie der hyperelliptischen Functionen.

Es sollen jetzt anstatt dieser sechs Hülfsgrössen andere eingeführt
werden; nämlich diejenigen Werthe $x_1$, $x_2$, $x_3$, wofür die kubische
Function $\phi(x)$ verschwindet,
und diejenigen Werthe $y_1$, $y_2$, $y_3$, welche die quadratische Function
$\psi(x)$ annimmt, wenn $x_1$, $x_2$, $x_3$ für $x$ gesetzt wird.
Es ist also
$\phi(x_h) = 0$, $\psi(x_h) = y_h$ $(h = 1,\, 2,\, 3)$, daher:
\begin{align*}
\tag{35}
\phi(x) &= (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3), \\
\tag{36}
\psi(x) &=\sum^{3}_{h=1} \left\{ \frac{y_h\phi(x)}{(x-x_h)\phi'(x_h)} \right\}.
\end{align*}
Hieraus folgt:
\begin{align*}
\phi(x,x') &= \frac{\phi(x)\psi(x')-\phi(x')\psi(x)}
{x-x'},\\
&= \phi(x)\phi(x')\sum^{3}_{h=1}\left\{
\frac{y_h}{(x-x_h)(x'-x_h)\phi'(x_h)}\right\}.
\end{align*}
Daher erhalten wir:
\[
\tag{37}
\begin{aligned}
p^2_{\kappa} &= (a_{\kappa}-x_1)(a_{\kappa}-x_2)(a_{\kappa}-x_3),\\
p_{\kappa\lambda} &=
p_{\kappa}p_{\lambda}\sum^{3}_{h=1}\left\{
\frac{y_h}{(a_{\kappa}-x_h)(a_{\lambda}-x_h) \phi'(x_h)} \right\}.
\end{aligned}
\]

Von den beiden Gleichungen~(D) und (E) giebt die erste, wenn
wir für die Grössen $p_{\kappa\lambda}$ und $p_{\kappa\mu}$ ihre Ausdrücke einsetzen, die Darstellung
von $p_{\kappa\lambda\mu}$:
\[
p_{\kappa\lambda\mu} = \frac{p_{\kappa}p_{\lambda}p_{\mu}}{a_{\lambda}-a_{\mu}}
\sum^{3}_{h=1}\left\{
\frac{y_h}{(a_{\kappa}-x_h)\phi'(x_h)}
\left[
\frac{1}{a_{\mu}-x_h} - \frac{1}{a_{\lambda}-x}
\right]
\right\},
\]
also:
\[
\tag{38}
p_{\kappa\lambda\mu} = p_{\kappa}p_{\lambda}p_{\mu}\sum^{3}_{h=1}\left\{
\frac{y_h}{(a_{\kappa}-x_h)(a_{\lambda}-x_h)(a_{\mu}-x_h)
\phi'(x_h)}
\right\}.
\]
Eine andere Darstellung liefert die letzte Gleichung. Setzt man nämlich
in dieser für
$p_{\alpha\gamma}$, $p_{\beta\delta}$, $p_{\beta\gamma}$, $p_{\alpha\delta}$
ihre Summen-Ausdrücke, so ergiebt
sich:
\begin{multline*}
\frac{(a_{\alpha}-a_{\beta})(a_{\gamma}-a_{\delta})}
{p_{\alpha} p_{\beta}p_{\gamma}p_{\delta}} p_{\kappa\lambda\mu}
\\
=\sum^{3}_{h=1}\sum^{3}_{k=1}\left\{
\frac{y_h y_k}{(a_{\gamma}-x_h)(a_{\delta}-x_k)
\phi'(x_h) \phi'(x_k)}
\left[\frac{1}{(a_{\alpha}-x_h)(a_{\beta}-x_k)} \right. \right.
\\
\left. \left.  - \frac{1}{(a_{\beta}-x_h)(a_{\alpha}-x_k)}\right]\right\}.
\end{multline*}
%-----File: 163.png-----------------------------------------
Führt man hier die Subtraction unter dem Summenzeichen aus und
bezeichnet zur Abkürzung:
\[
 (a_{\alpha} - x)(a_{\beta} - x)(a_{\gamma} - x)(a_{\delta} - x)
 \text{ mit } P(x),
\]
so ergiebt sich, da
\[
   (a_{\beta} - x_h) (a_{\alpha} - x_k)
 - (a_{\alpha} - x_h) (a_{\beta} - x_k)
 = (a_{\alpha} - a_{\beta}) (x_k - x_h)
\]
ist:
\[
 \frac{a_{\gamma} - a_{\delta}}
      {p_{\alpha} p_{\beta} p_{\gamma} p_{\delta}}
 p_{\kappa\lambda\mu}
=
 \sum_{h=1}^3 \sum_{k=1}^3
 \left\{
   \frac{(a_{\gamma} - x_k)(a_{\delta} - x_h)(x_k - x_h) y_h y_k}
        {P(x_h) P(x_k) \phi'(x_h) \phi'(x_k)}
 \right\}.
\]
Der Ausdruck auf der rechten Seite ist eine homogene quadratische
Function von $y_1$, $y_2$, $y_3$\@. Die Coefficienten von $y_1^2$, $y_2^2$, $y_3^2$ sind
offenbar Null; dagegen der Coefficient von $y_1 y_2$:
\[
 \frac{(a_{\gamma} - x_1)(a_{\delta} - x_2)(x_1 - x_2)}
      {P(x_1) P(x_2) \phi'(x_1) \phi'(x_2)}
+
 \frac{(a_{\gamma} - x_2)(a_{\delta} - x_1)(x_2 - x_1)}
      {P(x_1) P(x_2) \phi'(x_1) \phi'(x_2)}.
\]
Dies ist
\[
 = \frac{(a_{\gamma} - a_{\delta}) (x_1 - x_2)^2}
      {P(x_1) P(x_2) \phi'(x_1) \phi'(x_2)}
 = \frac{- (a_{\gamma} - a_{\delta})}
        {P(x_1) P(x_2) \phi'(x_3)}.
\]
Nun ist offenbar
\[
 P(x_1) P(x_2) P(x_3)
 = p_{\alpha}^2 p_{\beta}^2 p_{\gamma}^2 p_{\delta}^2;
\]
daher:
\[
 \frac{a_{\gamma} - a_{\delta}}
      {P(x_1) P(x_2) \phi'(x_3)}
=
 \frac{(a_{\gamma} - a_{\delta}) P(x_3)}
       {p_{\alpha}^2 p_{\beta}^2
        p_{\gamma}^2 p_{\delta}^2 \phi'(x_3)}.
\]
Die beiden andern Coefficienten ergeben sich hieraus durch Vertauschung
der Indices. Demgemäss erhalten wir:
\[
 p_{\kappa\lambda\mu}
=
 \frac{- y_1 y_2 y_3}{p_{\alpha} p_{\beta} p_{\gamma} p_{\delta}}
 \sum_{h=1}^3 \left\{ \frac{P(x_h)}{y_h \phi'(x_h)} \right\}.
\]
Wir bezeichnen jetzt durch $R(x)$ die ganze Function siebenten Grades,
welche durch Multiplication der sieben Linearfactoren
$a_{\alpha} - x$ hervorgeht:
\[
\tag{39}
 R(x) = (a_1 - x)(a_2 - x) \cdots (a_7 - x),
\]
und durch $p$ das Product der sieben Grössen $p_1,\, p_2 \cdots p_7$\@. Dann ist
\[
  P(x)
= \frac{R(x)}{(a_{\kappa} - x)(a_{\lambda} - x)(a_{\mu} - x)}, \quad
  \frac{1}{p_{\alpha} p_{\beta} p_{\gamma} p_{\delta}}
= \frac{p_{\kappa} p_{\lambda} p_{\mu}}{p};
\]
folglich:
\[
  p_{\kappa\lambda\mu}
= - p_{\kappa} p_{\lambda} p_{\mu}
 \frac{y_1 y_2 y_3}{p}
 \sum_{h=1}^3 \left\{ \frac{R(x_h)}
                    {(a_{\kappa} - x_h)(a_{\lambda} - x_h)
                      (a_{\mu} - x_h) y_h \phi'(x_h)}
              \right\}.
\]
Vergleicht man diese Darstellung mit der zuerst gegebenen, so sieht
man, dass beide genau übereinstimmen, bis darauf, dass an die Stelle
von $y_h$:
%-----File: 164.png-----------------------------------------
\[
 -\frac{y_1 y_2 y_3}{p} \, \frac{R(x_h)}{y_h} = {y_h}' \quad
 (h = 1,\, 2,\, 3)
\]
getreten ist. Dies ist offenbar nur dadurch möglich, dass die Grössen
$y_h'$ den entsprechenden $y_h$ gleich sind; es muss also
\[
 - y_1 y_2 y_3 R(x_h) = p y_h^2 \quad (h = 1,\, 2,\, 3)
\]
sein. Hieraus folgt, wenn wir die drei Gleichungen multipliciren:
\[
 - y_1 y_2 y_3 R(x_1) R(x_2) R(x_3) = p^3,
\]
und da offenbar
\[
 R(x_1) R(x_2) R(x_3) = p^2 \text{ ist:}
\]
\[
\tag{40}  - y_1 y_2 y_3 = p;
\]
mithin:
\[
\tag{41}
 y_h^2 = R(x_h).
\]

Es bleiben noch die Argumente durch Integrale erster Gattung
auszudrücken. Wir wollen $v$, $v'$, $v''$ als Argumente auffassen, was einer
linearen Transformation gleichkommt. Wir setzen:
\[
 F = A \frac{\partial \log p_{\kappa}}{\partial v}
   + B \frac{\partial \log p_{\kappa}}{\partial v'}
   + C \frac{\partial \log p_{\kappa}}{\partial v''};
\]
$A$, $B$, $C$ sollen willkürliche Constanten bedeuten. Dieser Ausdruck $F$
hat die Eigenschaft, dass, wenn wir ihn mit $\sigma_0 \sigma_{\kappa}$ multipliciren, er
übergeht in eine grade Theta-Function zweiten Grades mit dem Index
$\kappa$, und zwar eine solche, welche verschwindet, wenn die Argumente
gleich Null gesetzt werden. Functionen derselben Art sind die sechs
Producte
$\sigma_{\alpha} \sigma_{\alpha\kappa}$
 $(\alpha = 1,\, 2 \cdots 7$, aber $\lessgtr \kappa)$\@.
Die Anzahl der linear unabhängigen
Theta-Functionen zweiten Grades mit dem Index $\kappa$, welche
grade sind, ist vier; zwischen je fünf derselben muss also eine lineare
Gleichung bestehen. Stellen wir daher das System auf
\[
 \sigma_{\alpha}  \sigma_{\alpha\kappa}, \quad
 \sigma_{\beta}   \sigma_{\beta\kappa}, \quad
 \sigma_{\gamma}  \sigma_{\gamma\kappa}, \quad
 \sigma_{\alpha\beta\gamma}  \sigma_{\delta\lambda\mu}, \quad
\]
so muss zwischen $F\sigma_0 \sigma_{\kappa}$ und diesen vier Producten eine lineare homogene
Gleichung bestehen. In dieser muss der Coefficient des Gliedes
$\sigma_{\alpha\beta\gamma}  \sigma_{\delta\lambda\mu}$
den Werth Null haben, weil dieses das einzige ist, welches
nicht verschwindet, wenn die Argumente gleich Null gesetzt werden.
Wir erhalten also:
\[
\tag{43}
 F \sigma_0 \sigma_{\kappa}
 = \sum_{\alpha,\beta,\gamma}
       (k_{\alpha} \sigma_{\alpha} \sigma_{\alpha\kappa} ).
\]
%** Gl. (42) is missing}
Die Coefficienten $k_{\alpha}$, $k_{\beta}$, $k_{\gamma}$
werden bestimmt durch die Anfangsglieder.
Das der Function
\[
\begin{split}
  F \sigma_0 \sigma_{\kappa}
&= \sigma_0
   \left( A \frac{\partial \sigma_{\kappa}}{\partial v}
        + B \frac{\partial \sigma_{\kappa}}{\partial v'}
        + C \frac{\partial \sigma_{\kappa}}{\partial v''}
   \right)   \\
&- \sigma_{\kappa}
   \left( A \frac{\partial \sigma_0}{\partial v}
        + B \frac{\partial \sigma_0}{\partial v'}
        + C \frac{\partial \sigma_0}{\partial \DPtypo{v'}{v''}}
   \right)
\end{split}
\]
%-----File: 165.png-----------------------------------------
erhalten wir, wenn wir $a_{\kappa}v - v'$ für $\sigma_{\kappa}$,
$vv'' - v'^2$ für $\sigma_0$ einsetzen.
Dasselbe ist also:
\[
(vv'' - v'^2)
(Aa_{\kappa} - B) -
(a_{\kappa}v - v')
(Av'' - 2Bv' + Cv).
\]
Dieser Ausdruck muss
\[
= \sum_{\alpha,\beta,\gamma}(k_{\alpha}v_{\alpha}v_{\alpha\kappa})
\]
sein. Setzen wir nun $v = 1$, $v' = p$,
$v'' = p^2$, so wird
\begin{gather*}
vv'' - v'^2 = 0; \quad
Av'' - 2Bv' + Cv = Ap^2 - 2Bp + C;
\\
v_{\alpha}v_{\alpha\kappa} =
(a_{\kappa}v - v')(a_{\alpha} - p)^2;
\end{gather*}
wir erhalten also zur Bestimmung der Coefficienten folgende Formel
\[
\tag{44}
- (Ap^2 - 2Bp + C) =
\sum_{\alpha,\beta,\gamma}\left(k_{\alpha}(a_{\alpha} - p)^2\right),
\]
welche identisch, für alle Werthe von $p$, gilt.

Aus (43) folgt:
\[
F = \sum_{\alpha,\beta,\gamma}\left(
\frac{k_{\alpha}p_{\alpha} p_{\alpha\kappa}}{p_{\kappa}}
\right).
\]
Für $p_{\alpha\kappa}$ setzen wir den gefundenen Summen-Ausdruck; ebenso für
$p^2_{\alpha}$:
$(a_{\alpha} - x_1)(a_{\alpha} - x_2)(a_{\alpha} - x_3)$\@. Dann ergiebt sich:
\[
F = \sum_{\alpha,\beta,\gamma}\left\{
k_{\alpha}(a_{\alpha} - x_1)(a_{\alpha} - x_2)(a_{\alpha} - x_3)
\sum^{3}_{h=1}
\frac{y_h}{(a_{\alpha} - x_h)(a_{\kappa} - x_h)\phi'(x_h)}
%** Added missing parentheses: $\phi'x_h \rightarrow \phi'(x_h)$
\right\},
\]
oder:
\[
F = \sum^{3}_{h=1}
\left\{
 \frac{y_h}{(a_{\kappa} - x_h)\phi'(x_h)}
 \sum_{\alpha,\beta,\gamma}
 \left\{
  k_{\alpha} \left( a_{\alpha} - x_k \right)
  \left( a_{\alpha} - x_l \right)
 \right\}
\right\}.
\]
Nun folgt aus der Gleichung~(44), wie man leicht sieht, die allgemeinere:
\[
\sum_{\alpha,\beta,\gamma}\left\{
k_{\alpha}(a_{\alpha} - p)(a_{\alpha} - q)\right\} =
- \left\{Apq - B(p + q) + C\right\};
\]
es ist daher:
\[
\sum \left\{k_{\alpha}(a_{\alpha} - x_k)(a_{\alpha} - x_l)\right\}
= -\left\{Ax_kx_l - B(x_k + x_l) + C\right\},
\]
mithin:

\[
F = - \sum^{3}_{h=1}\left\{
\frac{(Ax_kx_l - B(x_k + x_l) + C)y_h}
{(a_{\kappa} - x_h)\phi'(x_h)}\right\}.
\]
Wir setzen jetzt für $A$, $B$, $C$ die Differentiale $dv$, $dv'$, $dv''$\@. Dann
geht $F$ in $d\log p_{\kappa}$ über, und da
\[
d \log p_{\kappa} = -
\sum^{3}_{h=1}\frac{dx_h}{2(a_{\kappa} - x_h)}
\]
%-----File: 166.png-----------------------------------------
ist, so erhalten wir:
\[
 \sum_{h=1}^3 \left\{ \frac{dx_h}{2(a_{\kappa} - x_h)} \right\}
=
 \sum_{h=1}^3
     \left\{ \frac{\left(x_k x_l dv - (x_k+x_l)dv' + dv''\right)y_h}
                  {(a_{\kappa} - x_h) \phi'(x_h)}
     \right\}.
\]
Diese Gleichung muss gelten für $\kappa = 1,\, 2 \cdots 7$\@. Das ist nur
dadurch möglich, dass in beiden Summen die einzelnen Glieder übereinstimmen:
\[
\frac{dx_h}{2y_h}
= \frac{x_k x_l dv - (x_k + x_l)dv' + dv''}
       {(x_h - x_k) (x_h - x_l)}.
\]
Löst man diese drei Gleichungen nach $dv$, $dv'$, $dv''$ auf, so ergiebt sich:
\begin{align*}
 dv   &= \sum_{h=1}^3 \left( \frac{dx_h}{2y_h} \right), \\
 dv'  &= \sum_{h=1}^3 \left( \frac{x_h  dx_h}{2y_h} \right), \\
 dv'' &= \sum_{h=1}^3 \left( \frac{x_h^2 dx_h}{2y_h} \right).
\end{align*}

\eoc

\ifthenelse{\boolean{Berichtigung}}{%
\clearpage\fancyhf{}
\Section{Berichtigung.}

S. 14 Z. 7 v.\ o.\ lies
 $\dfrac{\alpha_{\rho+3}}{2}$ für
 $\dfrac{\alpha_{\rho+2}}{2}$\@.

S. 21 Z. 10 v.\ u.\ lies
 $\epsilon^{\chi_1} + \epsilon^{\chi_2}$ für
 $\sigma^{\chi_1} + \sigma^{\chi_2}$\@.

S. 25 Z. 17 v.\ u.\ lies
 $\Theta_{\alpha}$ für
 $\Theta$\@.

S. 29 Z. 7 v.\ u.\ lies
 $(59)$ für
 $(60)$\@.

S. 48 Z. 9 v.\ o.\ lies
 $f_{\delta\gamma\alpha}$ für
 $f_{\delta\gamma}$\@.

S. 48 Z. 1 v.\ u.\ lies
 $(b)$ für
 $(6)$\@.

S. 49 Z. 11 v.\ o.\ lies
 $(11)$ für
 $(4)$\@.

S. 51 Z. 13 v.\ o.\ lies
 Formel $(f) = 0$\@.

S. 56 Z. 9 v.\ o.\ lies
 $QLH_{\beta}$ für
 $QLH$\@.

S. 56 Z. 16 v.\ o.\ lies
 $H_{\beta}{}'$ für
 $H'$\@.

S. 61 Z. 6 v.\ u.\ lies
 $c_{\kappa}$ für
 $c$\@.

S. 69 Z. 1 v.\ u.\ lies
 $c_{\alpha\kappa\nu}$ für
 $c_{\kappa\nu}$\@.

S. 72 Z. 4 v.\ u.\ lies
 $F_{\alpha\mu}'$ für
 $F_{\alpha\mu}$\@.

S. 75 Z. 13 v.\ u.\ lies
 $f_{\gamma\alpha\kappa}$ für
 $f_{\gamma\kappa}$\@.

S. 76 Z. 13 v.\ o.\ lies
 $\omega_{\beta\alpha\kappa}$ für
 $\omega_{\beta\alpha}$\@.

S. 77 Z. 10 v.\ u.\ lies
 $g_{\beta}$ für
 $g$\@.

S. 83 Z. 11 v.\ o.\ lies
 $p H_{\alpha} H_{\beta} H_{\kappa} H_{\kappa}{}' \Omega_{\kappa}$ für
 $p H_{\alpha} H_{\beta} H_{\kappa}  \Omega_{\kappa}$\@.

S. 109 Z. 12 v.\ o.\ lies
 $km$ für
 $hm$\@.

S. 122 Z. 15 v.\ o.\ lies
 $\left\{ \sqrt{\smash[b]{H_n^{(k)}}} \right\}$ für
 $\left\{ \sqrt{\smash[b]{H_0^{(k)}}} \right\}$\@.

S. 125 Z. 12 v.\ o.\ lies
 $\Phi^0$ für
 $\Phi$\@.

S. 126 Z. 19 v.\ o.\ lies
 $\Phi^0$ für
 $\Phi_0$\@.

S. 145 Z. 6 v.\ o.\ lies
 $(\alpha = 1,\, 2 \cdots 7)$\@.

S. 153 Z. 5 v.\ o.\ lies
 $l_0^4$ für
 $l_0^2$\@.

S. 154 Z. 17 v.\ o.\ lies
 $l_0^2$ für
 $l_2^0$\@.

\eoc
}{}
%-----File: 167.png-----------------------------------------
%-----File: 168.png-----------------------------------------
\backmatter
\fancyhf{}
\null
\vfill

\begin{center}
{\Large Neuer Verlag von \textbf{B.~G.\ Teubner} in Leipzig.}
\bigskip

\textbf{1880.}
\end{center}

\Book\textbf{Königsberger, Leo,} \so{zur Geschichte der Theorie der elliptischen
Transcendenten in den Jahren} 1826--1829.
[104 S.] gr.\ 8. 1879. geh.\ n.\ $\mathcal{M.}$ 3.--

\Book\textbf{Mayer, Ernst,} Professor an der K.~K.\ Marineakademie in Fiume,
\so{über Küstenaufnahmen}. Ein Beitrag zu den Lehr- und
Handbüchern der Geodäsie. Mit Holzschnitten im Text und
vier Tafeln. [60 S.] gr.\ 8. geh.\ n. $\mathcal{M.}$ 2.40.

\Book\textbf{Saalschütz,} Prof.\ Dr.\ \textbf{Louis,} \so{der belastete Stab unter
Einwirkung einer seitlichen Kraft}. Auf Grundlage des
strengen Ausdrucks für den Krümmungsradius. Mit
Holzschnitten im Text u.\ 3 lithographirten Tafeln.
[XXXI u.\ 247 S.] gr.\ 8. geh.\ n.\ $\mathcal{M.}$ 9.--
\vfill

\backmatter
\pagenumbering{Alph}
\SetRunningHeads{Lizenz.}
\Chapter[Lizenz.]{Lizenz.}

\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of Theorie der Abelschen Functionen, by 
Friedrich Schottky

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works.  See paragraph 1.E below.

1.C.  The Project Gutenberg Literary Archive Foundation ("the Foundation"
or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection of Project
Gutenberg-tm electronic works.  Nearly all the individual works in the
collection are in the public domain in the United States.  If an
individual work is in the public domain in the United States and you are
located in the United States, we do not claim a right to prevent you from
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works based on the work as long as all references to Project Gutenberg
are removed.  Of course, we hope that you will support the Project
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freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance with the terms of
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the work.  You can easily comply with the terms of this agreement by
keeping this work in the same format with its attached full Project
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what you can do with this work.  Copyright laws in most countries are in
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through 1.E.7 or obtain permission for the use of the work and the
Project Gutenberg-tm trademark as set forth in paragraphs 1.E.8 or
1.E.9.

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- You pay a royalty fee of 20% of the gross profits you derive from
     the use of Project Gutenberg-tm works calculated using the method
     you already use to calculate your applicable taxes.  The fee is
     owed to the owner of the Project Gutenberg-tm trademark, but he
     has agreed to donate royalties under this paragraph to the
     Project Gutenberg Literary Archive Foundation.  Royalty payments
     must be paid within 60 days following each date on which you
     prepare (or are legally required to prepare) your periodic tax
     returns.  Royalty payments should be clearly marked as such and
     sent to the Project Gutenberg Literary Archive Foundation at the
     address specified in Section 4, "Information about donations to
     the Project Gutenberg Literary Archive Foundation."

- You provide a full refund of any money paid by a user who notifies
     you in writing (or by e-mail) within 30 days of receipt that s/he
     does not agree to the terms of the full Project Gutenberg-tm
     License.  You must require such a user to return or
     destroy all copies of the works possessed in a physical medium
     and discontinue all use of and all access to other copies of
     Project Gutenberg-tm works.

- You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full refund of any
     money paid for a work or a replacement copy, if a defect in the
     electronic work is discovered and reported to you within 90 days
     of receipt of the work.

- You comply with all other terms of this agreement for free
     distribution of Project Gutenberg-tm works.

1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Project Gutenberg-tm
electronic work or group of works on different terms than are set
forth in this agreement, you must obtain permission in writing from
both the Project Gutenberg Literary Archive Foundation and Michael
Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
Foundation as set forth in Section 3 below.

1.F.

1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend considerable
effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
public domain works in creating the Project Gutenberg-tm
collection.  Despite these efforts, Project Gutenberg-tm electronic
works, and the medium on which they may be stored, may contain
"Defects," such as, but not limited to, incomplete, inaccurate or
corrupt data, transcription errors, a copyright or other intellectual
property infringement, a defective or damaged disk or other medium, a
computer virus, or computer codes that damage or cannot be read by
your equipment.

1.F.2.  LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except for the "Right
of Replacement or Refund" described in paragraph 1.F.3, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation, the owner of the Project
Gutenberg-tm trademark, and any other party distributing a Project
Gutenberg-tm electronic work under this agreement, disclaim all
liability to you for damages, costs and expenses, including legal
fees.  YOU AGREE THAT YOU HAVE NO REMEDIES FOR NEGLIGENCE, STRICT
LIABILITY, BREACH OF WARRANTY OR BREACH OF CONTRACT EXCEPT THOSE
PROVIDED IN PARAGRAPH F3.  YOU AGREE THAT THE FOUNDATION, THE
TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT WILL NOT BE
LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH
DAMAGE.

1.F.3.  LIMITED RIGHT OF REPLACEMENT OR REFUND - If you discover a
defect in this electronic work within 90 days of receiving it, you can
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written explanation to the person you received the work from.  If you
received the work on a physical medium, you must return the medium with
your written explanation.  The person or entity that provided you with
the defective work may elect to provide a replacement copy in lieu of a
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providing it to you may choose to give you a second opportunity to
receive the work electronically in lieu of a refund.  If the second copy
is also defective, you may demand a refund in writing without further
opportunities to fix the problem.

1.F.4.  Except for the limited right of replacement or refund set forth
in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' WITH NO OTHER
WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT NOT LIMITED TO
WARRANTIES OF MERCHANTIBILITY OR FITNESS FOR ANY PURPOSE.

1.F.5.  Some states do not allow disclaimers of certain implied
warranties or the exclusion or limitation of certain types of damages.
If any disclaimer or limitation set forth in this agreement violates the
law of the state applicable to this agreement, the agreement shall be
interpreted to make the maximum disclaimer or limitation permitted by
the applicable state law.  The invalidity or unenforceability of any
provision of this agreement shall not void the remaining provisions.

1.F.6.  INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the Foundation, the
trademark owner, any agent or employee of the Foundation, anyone
providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works in accordance
with this agreement, and any volunteers associated with the production,
promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electronic works,
harmless from all liability, costs and expenses, including legal fees,
that arise directly or indirectly from any of the following which you do
or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{PGtext}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Theorie der Abelschen Functionen, by 
% Friedrich Schottky                                                      %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABELSCHEN FUNCTIONEN ***
%                                                                         %
% ***** This file should be named 33317-t.tex or 33317-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/3/3/3/1/33317/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

###
@ControlwordReplace = (
  );

@ControlwordArguments = (
  ['\\Label', 1, 0, '', ''],
  ['\\DPtypo', 1, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\SetRunningHeads', 1, 0, '', ''],
  ['\\Chapter', 0, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\Section', 0, 0, '', '', 1, 1, '', '']
  );
###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6)  2 AUG 2010 07:00
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**33317-t.tex
(./33317-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
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\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
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\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/cmap/cmap.sty
Package: cmap 2004/06/16 v1.0e CMap support: searchable PDF

Package cmap Warning: fontenc already loaded - some fonts may be unprocessed.

) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/germanb.ldf
Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
)
\l@austrian = a dialect from \language\l@german 
Package babel Info: Making " an active character on input line 91.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/mathptmx.sty
Package: mathptmx 2005/04/12 PSNFSS-v9.2a Times w/ Math, improved (SPQR, WaS) 
LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `operators' on input line 28.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `normal'
(Font)                  OT1/cmr/m/n --> OT1/ztmcm/m/n on input line 28.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `operators' in version `bold'
(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/ztmcm/m/n on input line 28.
LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `letters' on input line 29.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `normal'
(Font)                  OML/cmm/m/it --> OML/ztmcm/m/it on input line 29.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `letters' in version `bold'
(Font)                  OML/cmm/b/it --> OML/ztmcm/m/it on input line 29.
LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `symbols' on input line 30.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `normal'
(Font)                  OMS/cmsy/m/n --> OMS/ztmcm/m/n on input line 30.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `symbols' in version `bold'
(Font)                  OMS/cmsy/b/n --> OMS/ztmcm/m/n on input line 30.
LaTeX Font Info:    Redeclaring symbol font `largesymbols' on input line 31.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `normal'
(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/ztmcm/m/n on input line 31.
LaTeX Font Info:    Overwriting symbol font `largesymbols' in version `bold'
(Font)                  OMX/cmex/m/n --> OMX/ztmcm/m/n on input line 31.
\symbold=\mathgroup4
\symitalic=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathbf on input line 34.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `normal'
(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/ptm/bx/n on input line 34.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbf' in version `bold'
(Font)                  OT1/cmr/bx/n --> OT1/ptm/bx/n on input line 34.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathit on input line 35.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `normal'
(Font)                  OT1/cmr/m/it --> OT1/ptm/m/it on input line 35.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathit' in version `bold'
(Font)                  OT1/cmr/bx/it --> OT1/ptm/m/it on input line 35.
LaTeX Info: Redefining \hbar on input line 50.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/type1cm/type1cm.sty
Package: type1cm 2002/09/05 v0.04 BlueSky/Y&Y Type1 CM font definitions (DPC, p
atched RF)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen104
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen105
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count89
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count90
\leftroot@=\count91
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count92
\DOTSCASE@=\count93
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen106
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count94
\c@MaxMatrixCols=\count95
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count96
\dspbrk@lvl=\count97
\tag@help=\toks17
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\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup6
\symAMSb=\mathgroup7
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/indentfirst.sty
Package: indentfirst 1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/soul/soul.sty
Package: soul 2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
\SOUL@word=\toks21
\SOUL@lasttoken=\toks22
\SOUL@cmds=\toks23
\SOUL@buffer=\toks24
\SOUL@token=\toks25
\SOUL@spaceskip=\skip46
\SOUL@ttwidth=\dimen113
\SOUL@uldp=\dimen114
\SOUL@ulht=\dimen115
)
LaTeX Info: Redefining \so on input line 135.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip47
\f@ncyO@elh=\skip48
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\f@ncyO@olh=\skip50
\f@ncyO@orh=\skip51
\f@ncyO@elf=\skip52
\f@ncyO@erf=\skip53
\f@ncyO@olf=\skip54
\f@ncyO@orf=\skip55
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks26
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count101
))
\Gin@req@height=\dimen116
\Gin@req@width=\dimen117
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
\Gm@cnth=\count102
\Gm@cntv=\count103
\c@Gm@tempcnt=\count104
\Gm@bindingoffset=\dimen118
\Gm@wd@mp=\dimen119
\Gm@odd@mp=\dimen120
\Gm@even@mp=\dimen121
\Gm@dimlist=\toks27
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen122
\Hy@linkcounter=\count105
\Hy@pagecounter=\count106
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count107
\Field@Width=\dimen123
\Fld@charsize=\dimen124
\Choice@toks=\toks28
\Field@toks=\toks29
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count108
\c@Item=\count109
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count110
)
\c@ChapNo=\count111
\c@SectNo=\count112
(./33317-t.aux)
\openout1 = `33317-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 314.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 314.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 314.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 314.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 314.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 314.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 314.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 314.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 314.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 314.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 314.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 314.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 314.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 314.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+ptm on input line 314.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/t1ptm.fd
File: t1ptm.fd 2001/06/04 font definitions for T1/ptm.
)<<t1.cmap>> (/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count113
\scratchdimen=\dimen125
\scratchbox=\box28
\nofMPsegments=\count114
\nofMParguments=\count115
\everyMPshowfont=\toks30
\MPscratchCnt=\count116
\MPscratchDim=\dimen126
\MPnumerator=\count117
\everyMPtoPDFconversion=\toks31
)
-------------------- Geometry parameters
paper: class default
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 72.26999pt, 433.62pt, 108.40501pt
v-parts: 86.724pt, 578.15999pt, 130.086pt
hmarginratio: 2:3
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: --
includefoot: --
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  614.295pt
\paperheight 794.96999pt
\textwidth  433.62pt
\textheight 578.15999pt
\oddsidemargin  0.0pt
\evensidemargin 36.13503pt
\topmargin  -17.41978pt
\headheight 15.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 98.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
)
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 314.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count118
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 314.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 314.
(./33317-t.out) (./33317-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `33317-t.out'.

LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 326.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
Overfull \hbox (7.73294pt too wide) in paragraph at lines 345--345
[]\T1/cmtt/m/n/10.95 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL
SCHEN FUNCTIONEN ***[] 
 []

LaTeX Font Info:    Try loading font information for OT1+ztmcm on input line 34
7.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/ot1ztmcm.fd
File: ot1ztmcm.fd 2000/01/03 Fontinst v1.801 font definitions for OT1/ztmcm.
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OML+ztmcm on input line 34
7.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/omlztmcm.fd
File: omlztmcm.fd 2000/01/03 Fontinst v1.801 font definitions for OML/ztmcm.
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+ztmcm on input line 34
7.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/omsztmcm.fd
File: omsztmcm.fd 2000/01/03 Fontinst v1.801 font definitions for OMS/ztmcm.
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMX+ztmcm on input line 34
7.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/omxztmcm.fd
File: omxztmcm.fd 2000/01/03 Fontinst v1.801 font definitions for OMX/ztmcm.
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OT1+ptm on input line 347.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/ot1ptm.fd
File: ot1ptm.fd 2001/06/04 font definitions for OT1/ptm.
)
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/ptm/bx/n' in size <12> not available
(Font)              Font shape `OT1/ptm/b/n' tried instead on input line 347.
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/ptm/bx/n' in size <9> not available
(Font)              Font shape `OT1/ptm/b/n' tried instead on input line 347.
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/ptm/bx/n' in size <6> not available
(Font)              Font shape `OT1/ptm/b/n' tried instead on input line 347.
[1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}]
LaTeX Font Info:    Font shape `T1/ptm/bx/n' in size <14.4> not available
(Font)              Font shape `T1/ptm/b/n' tried instead on input line 371.
[2

]
LaTeX Font Info:    Font shape `T1/ptm/bx/n' in size <20.74> not available
(Font)              Font shape `T1/ptm/b/n' tried instead on input line 401.
LaTeX Font Info:    Font shape `T1/ptm/bx/n' in size <24.88> not available
(Font)              Font shape `T1/ptm/b/n' tried instead on input line 407.
LaTeX Font Info:    Font shape `T1/ptm/bx/sc' in size <20.74> not available
(Font)              Font shape `T1/ptm/b/sc' tried instead on input line 416.
<images/001.jpg, id=178, 47.17625pt x 49.18375pt>
File: images/001.jpg Graphic file (type jpg)
<use images/001.jpg> [1

 <./images/001.jpg>] [2

]
LaTeX Font Info:    Font shape `T1/ptm/bx/n' in size <17.28> not available
(Font)              Font shape `T1/ptm/b/n' tried instead on input line 488.
LaTeX Font Info:    Font shape `T1/ptm/bx/n' in size <12> not available
(Font)              Font shape `T1/ptm/b/n' tried instead on input line 507.
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/ptm/bx/n' in size <7> not available
(Font)              Font shape `OT1/ptm/b/n' tried instead on input line 521.
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/ptm/bx/n' in size <5> not available
(Font)              Font shape `OT1/ptm/b/n' tried instead on input line 521.
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/ptm/bx/n' in size <10> not available
(Font)              Font shape `OT1/ptm/b/n' tried instead on input line 526.
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/ptm/bx/n' in size <7.4> not available
(Font)              Font shape `OT1/ptm/b/n' tried instead on input line 526.
LaTeX Font Info:    Calculating math sizes for size <7.4> on input line 526.
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/ptm/bx/n' in size <5.47603> not available
(Font)              Font shape `OT1/ptm/b/n' tried instead on input line 526.
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/ptm/bx/n' in size <4.44003> not available
(Font)              Font shape `OT1/ptm/b/n' tried instead on input line 526.
[1

] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] 
[19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34]
[35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50]
[51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66]
[67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82]
[83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98]
[99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [1
12] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [12
5] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138
] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151]
[152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163

] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176]
[177] [178] [179] [180] [181

] [182

]
Underfull \vbox (badness 5147) has occurred while \output is active []

[1

]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[2]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[3]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[4]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[5]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[6]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[7]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[8]pdfTeX warning (ext4): destination with the same identifier (name{page.I}) h
as been already used, duplicate ignored
<to be read again> 
                   \relax 
l.13387 \end{document}
                       [9] (./33317-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
    cmap.sty    2004/06/16 v1.0e CMap support: searchable PDF
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 germanb.ldf    2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
mathptmx.sty    2005/04/12 PSNFSS-v9.2a Times w/ Math, improved (SPQR, WaS) 
 type1cm.sty    2002/09/05 v0.04 BlueSky/Y&Y Type1 CM font definitions (DPC, pa
tched RF)
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
indentfirst.sty    1995/11/23 v1.03 Indent first paragraph (DPC)
    soul.sty    2003/11/17 v2.4 letterspacing/underlining (mf)
fancyhdr.sty    
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
   t1ptm.fd    2001/06/04 font definitions for T1/ptm.
supp-pdf.tex
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 33317-t.out
 33317-t.out
  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
ot1ztmcm.fd    2000/01/03 Fontinst v1.801 font definitions for OT1/ztmcm.
omlztmcm.fd    2000/01/03 Fontinst v1.801 font definitions for OML/ztmcm.
omsztmcm.fd    2000/01/03 Fontinst v1.801 font definitions for OMS/ztmcm.
omxztmcm.fd    2000/01/03 Fontinst v1.801 font definitions for OMX/ztmcm.
  ot1ptm.fd    2001/06/04 font definitions for OT1/ptm.
images/001.jpg
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 5996 strings out of 94074
 76109 string characters out of 1165154
 139086 words of memory out of 1500000
 8509 multiletter control sequences out of 10000+50000
 110714 words of font info for 170 fonts, out of 1200000 for 2000
 652 hyphenation exceptions out of 8191
 33i,20n,43p,235b,497s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf-texlive/fonts/enc/dvips/base/8r.enc}{/usr/share/texmf/fonts
/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blues
ky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></
usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texl
ive/fonts/type1/bluesky/cm/cmss12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blu
esky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb
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-texlive/fonts/type1/hoekwater/rsfs/rsfs10.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu
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