% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% The Project Gutenberg EBook of Einführung in die Hauptgesetze der       %
% Zeichnerischen Darstellungsmethoden, by Artur Schoenflies               %
%                                                                         %
% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
%                                                                         %
%                                                                         %
% Title: Einführung in die Hauptgesetze der Zeichnerischen Darstellungsmethoden
%                                                                         %
% Author: Artur Schoenflies                                               %
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% Release Date: July 19, 2010 [EBook #33202]                              %
%                                                                         %
% Language: German                                                        %
%                                                                         %
% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
%                                                                         %
% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK EINFÜHRUNG IN DIE HAUPTGESETZE ***
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\def\ebook{33202}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%                                                                  %%
%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
%% amsbook:  Required.                                              %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%%                                                                  %%
%% calc:     Infix arithmetic. Required.                            %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%% footmisc: Footnote numbering restarts on each page. Required.    %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% graphicx: Standard interface for graphics inclusion. Required.   %%
%% wrapfig:  Illustrations surrounded by text. Required.            %%
%%                                                                  %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%                                                                  %%
%%   Changes are noted in this file in three ways.                  %%
%%   1. \DPnote{} for in-line `placeholder' notes.                  %%
%%   2. \DPtypo{}{} for typographical corrections, showing original %%
%%      and replacement text side-by-side.                          %%
%%   3. [** TN: Note]s for lengthier or stylistic comments.         %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compilation Flags:                                               %%
%%                                                                  %%
%%   The following behavior may be controlled by boolean flags.     %%
%%                                                                  %%
%%   ForPrinting (false by default):                                %%
%%   Compile a screen-optimized PDF file. Set to true for print-    %%
%%   optimized file (pages uncropped, two-sided layout).            %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 118 (if ForPrinting set to false)                     %%
%% PDF page size: 6 x 9" (non-standard)                             %%
%% PDF bookmarks: created, point to ToC entries                     %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%% Images: 98 pdf diagrams                                          %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%% * Twenty-four harmless overfull hboxes.                          %%
%% * About sixty harmless underfull hboxes.                         %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% July, 2010: adhere (Andrew D. Hwang)                             %%
%%             texlive2007, GNU/Linux                               %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x3                                                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% July 2010: pglatex.                                              %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 33202-t.tex ..... THREE times                         %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\listfiles
\documentclass[12pt]{amsbook}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05]
\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]
\usepackage[german]{babel}[2005/11/23]
\usepackage[leqno]{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols

\usepackage{calc}
\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

                                 %% extended footnote capabilities
\usepackage[perpage]{footmisc}[2005/03/17]

%\usepackage{phonetic}
\usepackage{graphicx}[1999/02/16]%% For diagrams
\usepackage{wrapfig}[2003/01/31] %% and wrapping text around them
\usepackage{fncylab}
\usepackage[labelformat=simple,labelsep=period,aboveskip=0em,belowskip=0em]{caption}[2007/01/07]

\usepackage{setspace}[2000/12/01]

% for running heads
\usepackage{fancyhdr}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%             Conditional compilation switches            %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%        Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true (default)           false
% Letterpaper                          Cropped pages
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
\newboolean{ForPrinting}

%% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %%
%\setboolean{ForPrinting}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Anmerkungen zur Transkription}
\newcommand{\TransNoteCommon}{%
  Ein Exemplar des Originals wurde dankenswerterweise von der Cornell
  University Library: Historical Mathematics Monographs Collection
  zur Verfügung gestellt.
  \bigskip

  Kleinere typographische Korrekturen und Änderungen der Formatierung
  wurden stillschweigend vorgenommen.
  \bigskip
}

\newcommand{\TransNoteText}{%
  \TransNoteCommon

  Diese PDF-Datei wurde für die Anzeige auf einem Bildschirm
  optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Druck angepasst
  werden. Anweisungen dazu finden Sie am Anfang des
  LaTeX-Quelltextes.
}
%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNote}{Transcriber's Note}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    \TransNoteCommon

    Diese PDF-Datei wurde für den Druck optimiert, kann bei Bedarf
    aber leicht für den Bildschirm angepasst werden. Anweisungen dazu
    finden Sie am Anfang des LaTeX-Quelltextes.
  }
}{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \setlength{\paperwidth}{8.5in}%
  \setlength{\paperheight}{11in}%
  \usepackage[body={5in,8in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
}{%
  \setlength{\paperwidth}{6in}%
  \setlength{\paperheight}{9in}%
  \raggedbottom
  \usepackage[body={5in,8in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
}

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperref,
  hyperfootnotes=false,
  pdfkeywords={Paul Murray, Joshua Hutchinson,
               Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
               Cornell University Historical Mathematical Monographs Collection},
  pdfauthor={Artur Schoenflies}
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
  pdfpagemode=UseNone, % default value
  bookmarks=true,      % default value
  linktocpage=false,   % default value
  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
  pdfdisplaydoctitle,
  pdfpagelabels=true,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=1,
  colorlinks=true,
  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

%%%% Re-crop, squash screen-formatted version, omit blank verso pages
\ifthenelse{\not\boolean{ForPrinting}}{%
  \raggedbottom%
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}{}% Else do nothing

% Do this here to avoid numerous hyperref warnings from accents
\hypersetup{pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook:%
    Einf\texorpdfstring{ü}{u}hrung in die Hauptgesetze der zeichnerischen Darstellungsmethoden}}


%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}

\setcounter{tocdepth}{1}
\newcommand{\DPtypo}[2]{#2}
\newcommand{\DPnote}[1]{}
\newlength{\TmpLen}

% Restyle footnote markers...
\makeatletter
\renewcommand\@makefnmark%
  {\mbox{\,\upshape\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}

\renewcommand\@makefntext[1]%
  {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\;}#1}
\makeatother

% And equation tags
\newcommand{\Tag}[2][]{%
  \tag*{#2)}
  \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{%
    \phantomsection\label{#1}%
  }{}%
}


\DeclareInputText{176}{\ifmmode{{}^\circ}\else\textdegree\fi}
\DeclareInputText{183}{\ifmmode\centerdot\else{\ \textperiodcentered\ }\fi}

\setlength{\headheight}{15pt}%
\renewcommand{\headrulewidth}{1pt}

\newcommand{\SetRunningHeads}[1]{%
  \fancyhf{}%
  \thispagestyle{empty}
  \fancyhead[C]{\textit{\footnotesize #1}}
  \ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
    \fancyhead[RO,LE]{\thepage}%
  }{%
    \fancyhead[R]{\thepage}%
  }%
}

% Table of contents
\newcommand{\ToCBox}[1]{%
  \settowidth{\TmpLen}{9999}%
  \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{%
    \makebox[\TmpLen][s]{§\hfill#1}%
  }{%
    \texorpdfstring{\hspace*{\TmpLen}}{}%
  }%
}

\newcommand{\ToCSect}[1]{%
  \hspace{3em}#1\dotfill%
}

\newcommand{\ToCLine}[2]{%
  \addcontentsline{toc}{section}{%
    \protect\numberline{\protect\texorpdfstring{\protect\ToCBox{#1}}{#1}}%
    \protect\texorpdfstring{\protect\ToCSect{#2}}{#2}%
  }%
}

% Appendix macros
\newcommand{\Anhang}{%
  \section*{Anhang.}
  \ToCLine{}{Anhang.}
}

\newcommand{\ListInit}{%
  \setlength{\leftmargin}{0pt}%
  \setlength{\labelwidth}{\parindent}%
  \setlength{\itemsep}{4pt plus 2pt minus 4pt}%
  \setlength{\listparindent}{\parindent}%
  \setlength{\itemindent}{\parindent+0.5em}%
}

\newenvironment{anhangitems}{\begin{list}{}{\ListInit}}{\end{list}}

% Catalogue
\newcommand{\Katalog}{%
  \cleardoublepage
  \phantomsection\pdfbookmark[1]{Katalog.}{Katalog}%
  \pagestyle{fancy}\fancyhf{}\thispagestyle{empty}
  \fancyhead[C]{\textbf{Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin.}}%
}

\newcommand{\Title}[2]{%
  \begin{center}
    \bfseries\sffamily\Large#1\\
    \ifthenelse{\not\equal{#2}{}}{%
      \footnotesize#2\large%
    }{}\par%
  \end{center}
}

\newenvironment{Info}{%
  \begin{center}\footnotesize%
  }{%
  \end{center}\medskip%
}


%% ** TN:
%% The original used gesperrt (spaced-out text) for emphasis,
%% where we would normally use italics.
%% LaTeX does not handle typesetting gesperrt well, and
%% italic is now available to use, so I have represented
%% gesperrt text as italic.

\newcommand{\myso}[1]{\textit{#1}}

%% ** TN:
%% There were a large number of images in the original,
%% floated within the text. This is not well handled in
%% LaTeX, but I have tried to get the images as close
%% as possible to their original position in the book

\renewcommand\floatpagefraction{.9}
\renewcommand\topfraction{.9}
\renewcommand\bottomfraction{.9}
\renewcommand\textfraction{.1}
\setcounter{totalnumber}{50}
\setcounter{topnumber}{50}
\setcounter{bottomnumber}{50}

\setlength{\emergencystretch}{1.5em}
\newcommand{\loosen}{\spaceskip 1em plus 1em minus 0.75em}

\renewcommand\section{\secdef\mysectiona\mysectionb}

\newcommand\mysectiona[2][default]{%
	\cleardoublepage%
	\refstepcounter{section}%
	\label{section:\thesection}%
        \SetRunningHeads{§~\thesection. #1}%
	\setcounter{subsection}{0}%
	\setcounter{subsubsection}{0}%
	\ToCLine{\thesection.}{#1}%
	\vspace{2em}%
	\begin{center}\begin{large}%
	\textbf{§\ \thesection. #2}%
	\end{large}\end{center}%
	\vspace{1em}%
}

\newcommand\mysectionb[1]{%
	\cleardoublepage%
	\setcounter{subsection}{0}%
	\setcounter{subsubsection}{0}%
        \SetRunningHeads{#1}%
	\vspace{2em}%
	\begin{center}\begin{large}%
	\textbf{#1}%
	\end{large}\end{center}%
	\vspace{1em}%
}

\renewcommand\thesubsection{\Roman{subsection}}

\renewcommand\subsection{\secdef\mysubsectiona\mysubsectionb}

\newcommand\mysubsectiona[2][default]{%
	\refstepcounter{subsection}%
	\addcontentsline{toc}{subsection}{\protect\numberline{\thesubsection.} #1}%
	\textbf{\thesubsection. #2}\hspace{1em}%
	\label{sub:\thesection.\thesubsection}%
}

\newcommand\mysubsectionb[1]{%
	\refstepcounter{subsection}%
	\textbf{\thesubsection. #1}\hspace{1em}%
	\label{sub:\thesection.\thesubsection}%
}

\renewcommand\thesubsubsection{\arabic{subsubsection}}

\renewcommand\subsubsection{\secdef\mysubsubsectiona\mysubsubsectionb}

\newcommand\mysubsubsectiona[2][default]{%
	\refstepcounter{subsubsection}%
	\addcontentsline{toc}{subsubsection}{\protect\numberline{\thesubsubsection.} #1}%
	\textbf{\thesubsubsection. #2}%
	\label{subsub:\thesection.\thesubsection.\thesubsubsection}%
}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

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\pagenumbering{alph}

%%%% PG BOILERPLATE %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Einführung in die Hauptgesetze der
Zeichnerischen Darstellungsmethoden, by Artur Schoenflies

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Einführung in die Hauptgesetze der Zeichnerischen Darstellungsmethoden

Author: Artur Schoenflies

Release Date: July 19, 2010 [EBook #33202]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK EINFÜHRUNG IN DIE HAUPTGESETZE ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}

\clearpage


%%%% Credits and transcriber's note %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Joshua Hutchinson, Paul Murray and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This
file was produced from images from the Cornell University
Library: Historical Mathematics Monographs collection.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

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\small
\phantomsection
\pdfbookmark[1]{Anmerkungen zur Transkription.}{Anmerkungen zur Transkription}
{\centering\normalfont\scshape%
\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}\par\medskip}%

\raggedright
\TransNoteText
\end{minipage}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\frontmatter
\pagenumbering{roman}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

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\begin{center}
\Large\bfseries%
EINFÜHRUNG IN DIE\\
\makebox[0pt][c]{HAUPTGESETZE DER ZEICHNERISCHEN}\\
DARSTELLUNGSMETHODEN
\vfil\vfil

\normalsize\normalfont VON
\vfil

\large\bfseries ARTUR SCHOENFLIES

\scriptsize\normalfont
O. Ö. PROFESSOR DER MATHEMATIK\\
AN DER UNIVERSITÄT KÖNIGSBERG I. PR.
\vfil\vfil

\normalsize MIT 98 TEXTFIGUREN
\vfil\vfil\vfil\vfil

\large LEIPZIG UND BERLIN\\
DRUCK UND VERLAG VON B.~G.~TEUBNER\\
1908
\end{center}
\pagenumbering{Roman}
%%-----File: 002.png---
\newpage
\thispagestyle{empty}
\null\vfill
{\centering\scriptsize ALLE RECHTE \\
EINSCHLIESZLICH DES ÜBERSETZUNGSRECHTS, VORBEHALTEN.\par}
%%-----File: 003.png---
\cleardoublepage


\section*{Vorwort.}

Die Kräftigung des räumlichen Vorstellungsvermögens und der
räumlichen Gestaltungskraft gehört unbestritten zu den wichtigsten
Zielen eines jeden geometrischen Unterrichts. Um sie zu erreichen, ist
für den Lehrenden wie für den Lernenden --- von Modellen abgesehen --- die
Kunst guter zeichnerischer Darstellung unentbehrlich. So selbstverständlich
dies auch erscheinen mag, haben doch die mannigfachen
Bemühungen der Hochschullehrer, den Studierenden die leichte Ausübung
dieser Kunst zu vermitteln, noch keineswegs vollen und allgemeinen
Erfolg gehabt. Sicherlich muß der mathematische Unterricht
an den höheren Schulen darunter leiden. Ich habe den Wunsch, durch
meine Schrift an der Beseitigung dieses Mangels mitzuhelfen.

Das Gebiet der wissenschaftlichen darstellenden Geometrie hat
allmählich eine so große Ausdehnung erfahren, daß jede Behandlung
des Stoffes sich auf eine Auswahl zu beschränken hat. Sie kann für
den Vertreter des höheren Lehrfachs eine andere sein als für den
Techniker und Architekten. Diese Erwägung ist für die Abfassung
dieser Schrift maßgebend gewesen; ihr Inhalt ist bereits mehrfach in
Vorlesungen und Übungen von mir nicht ohne Nutzen behandelt
worden. Es erschien mir zweckmäßig die Auswahl so zu treffen, daß
sie so knapp wie möglich ausfiel, und doch alles berücksichtigt, was
für das zu erreichende Ziel notwendig ist. Vor allem war es mein
Streben, mich nur der allerelementarsten Mittel zu bedienen und doch
in dem Leser neben der Kenntnis der Methoden die volle Überzeugung
von ihrer Richtigkeit zu erwecken. Ich hoffe, daß sie jeder, der über
die einfachsten geometrischen und stereometrischen Sätze verfügt, mit
Nutzen und ohne erhebliche Mühe lesen kann.

Es gab eine Zeit, in der man an die Spitze geometrischer Bücher
den Ausspruch \myso{Steiners} setzte »stereometrische Betrachtungen seien
nur dann richtig aufgefaßt, wenn sie rein, ohne alle Versinnlichungsmittel,
durch die innere Vorstellung angeschaut werden«. Befinden
wir uns mit unseren heutigen Bestrebungen etwa in direktem Gegensatz
zu dieser Sentenz?---Ich glaube dies verneinen zu dürfen. Die
Kräftigung des räumlichen Vorstellungsvermögens ist auch in ihr mittelbar
als Haupterfordernis enthalten, und als letztes und höchstes Ziel geometrischer
Ausbildung und Denkweise kann die Steinersche Forderung
auch heute noch bestehen bleiben. Die Frage ist nur, wie wir uns
%%-----File: 004.png---
dem in ihr gesteckten Ziel am besten annähern können. Ein \myso{Steiner},
der als sechsjähriger Knabe auf die Bemerkung des Lehrers, daß drei
Ebenen eine Ecke bestimmen, sofort ausrief: »es gibt ja acht«, mochte
allerdings Figuren und Modelle entbehren können; die glänzende räumliche
Intuition, die er besaß, gab ihm einen Ersatz dafür. Aber für
das Genie gelten besondere Regeln. Wir andern müssen uns auf andere
Weise helfen und sollen füglich jedes wissenschaftliche Hilfsmittel erfassen
und benutzen, das uns zu nützen vermag. Je besser es gelingt,
kompliziertere räumliche Gebilde durch richtig konstruierte und wirksam
gezeichnete Figuren zu unterstützen, um so besser, um so schneller und
sicherer wird Studium und Unterricht auf die räumliche Gestaltungskraft
einwirken können. Liegt doch dieser Weg auch im Interesse der
sogenannten Ökonomie des Denkens, die wir heute als einen obersten
Grundsatz jeder wissenschaftlichen Betätigung zu betrachten pflegen.

Ein letztes Wort widme ich den Figuren. Die meisten sind vom
Herrn stud.\ math. \myso{Bluhm} im Anschluß an Übungen, die ich kürzlich
gehalten habe, gezeichnet worden. Sie sind von ungleicher Anlage und
werden dadurch am besten erkennen lassen, welche Zeichnungsart das
Auge bevorzugt; es liebt starke Konturen und kräftige Hervorhebung
alles dessen, worauf es seine Aufmerksamkeit in erster Linie zu lenken
hat. Auch hängt die Anlage der Figur davon ab, ob sie einen guten
räumlichen Eindruck vermitteln soll, oder ob in ihr gewisse geometrische
Tatsachen in Evidenz treten sollen. Sicher sind die Figuren mehr oder
weniger auch der Vervollkommnung fähig; ich habe sie aber deshalb
so gelassen wie sie sind, um dem Leser durch ihren Vergleich ein
eigenes Urteil über die beste Zeichnungsart zu ermöglichen. So hoffe
ich auch, den Hauptzweck jeder Schrift über die Gesetze der zeichnerischen
Darstellungsmethoden am besten zu erreichen, nämlich die Kunst, mit
wenigen geeigneten und geeignet ausgeführten Strichen freihändig ein
gutes Bild eines räumlichen Gebildes zu entwerfen. Gerade das ist
es, was wir nötig haben und was die sichere Beherrschung der zeichnerischen
Gesetze uns gewähren soll.

Endlich sage ich Herrn Oberlehrer Dr. \myso{Nitz} für die freundliche
Unterstützung bei der Korrektur, sowie dem Verlag für sein bekanntes
auch diesmal stets bewiesenes Entgegenkommen besten Dank.

\myso{Königsberg} i. Pr., im September 1908.

\hfill\textbf{A. Schoenflies.}

%%-----File: 005.png---

\addtocontents{toc}{\null\hfill{\scriptsize Seite}}
\tableofcontents

%%-----File: 006.png---
\mainmatter
\section{Die Grundgesetze.}

\subsection{\myso{Das physiologische Grundgesetz}.} Der Entstehung
unserer Gesichtswahrnehmungen liegt folgende Tatsache zugrunde.
Das Auge besitzt die Fähigkeit, die \myso{Richtung} zu empfinden,
aus der die auf der Netzhaut einen Sehreiz auslösenden Lichtstrahlen
kommen. Diese Fähigkeit ist die wesentlichste Grundlage
aller zeichnerischen Darstellung. Physiologisch ist sie
folgenderma{\ss}en bedingt.\label{anhanglink:1}\footnote
  {Die folgende Darstellung enthält nur eine \myso{Annäherung} an die
  wirklichen Verhältnisse. Das Genauere findet man im Anhang,~\ref{anhang:1}.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig01.pdf}
\caption{}\label{fig:1}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Alle von einem Punkt $P$ in das Auge eintretenden Lichtstrahlen
vereinigen sich, nachdem sie durch die lichtbrechenden
Medien hindurchgegangen sind, in einem
Punkt $P_n$ der Netzhaut (Fig.~\ref{fig:1})\footnote
  {Die Figur ist nur schematised gezeichnet.},
und
zwar geht der Strahl $PP_n$ \myso{ungebrochen}
durch das Auge hindurch. Dieser Strahl
kann daher als \myso{geometrischer Repräsentant}
aller übrigen Strahlen gelten;
\myso{seine} Richtung ist es, die das
Auge empfindet. Man bezeichnet ihn auch als den von $P$
kommenden \myso{Sehstrahl}.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig02.pdf}
\caption{}\label{fig:2}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Alle Sehstrahlen, die von irgendwelchen Punkten $P,Q,R\ldots$
eines Körpers $\Sigma$ ins Auge gelangen, gehen durch einen \myso{festen}
Punkt $K$ des Auges, der auf seiner
optischen Achse liegt und \myso{Knotenpunkt}
hei{\ss}t (Fig.~\ref{fig:2}). Sie bilden
also einen Teil eines \myso{Strahlenbündels}
mit dem Mittelpunkt $K$.\footnote
  {Als \myso{Strahlenbündel} bezeichnet man die Gesamtheit aller durch
  einen Punkt des Raumes gehenden geraden Linien oder Strahlen; der
  Punkt selbst hei{\ss}t sein \myso{Scheitel} oder sein \myso{Mittelpunkt}.}
Das auf der Netzhaut erzeugte, aus
den Punkten $P_n, Q_n, R_n, \ldots$ bestehende
\myso{Netzhautbild} $\Sigma_n$ des Körpers $\Sigma$ ist daher geometrisch als Schnitt
der Netzhaut mit den Strahlen dieses Bündels zu bezeichnen.
%%-----File: 007.png---

Hieraus ergibt sich bereits diejenige grundlegende geometrische
Tatsache, der jede zeichnerische oder räumliche Abbildung
$\Sigma'$ eines Gegenstandes $\Sigma$ zu genügen hat, wenn sie
im Auge dasselbe Netzhautbild entstehen lassen soll, wie
der Körper $\Sigma$ selbst. Aus 1.\ folgt nämlich (Fig.~\ref{fig:2}), daß wenn
$P'$ ein lichtaussendender Punkt auf dem Sehstrahl $PP_n$ ist, der
zu $P'$ gehörige Sehstrahl mit $PP_n$ identisch ist. Um also ein Abbild
$\Sigma'$ herzustellen, das im Auge die gleichen Lichtempfindungen
erzeugt, wie der Gegenstand $\Sigma$ selbst, würde es an sich genügen,
jeden Punkt $P$ von $\Sigma$ durch \myso{irgend} einen Punkt $P'$ des von $P$
ausgehenden Sehstrahls $PP_n$ zu ersetzen. Handelt es sich insbesondere
um ein \myso{ebenes} Bild, was hier zunächst allein in
Frage kommt, so ist der Bildpunkt $P'$ als \myso{Schnittpunkt des
Sehstrahles} $PP_n$ \myso{mit der Bildebene zu wählen.} Da nun
gemäß~\ref{subsub:1.I.2}.\ alle Sehstrahlen einem Strahlenbündel mit dem Mittelpunkt
$K$ angehören, so ist das in der Bildebene entstehende
Abbild $\Sigma'$ genauer als ihr Schnitt mit den Strahlen des ebengenannten
Strahlenbündels zu definieren. Also folgt:%
\nopagebreak%
\mytheorem{\myso{Das Netzhautbild $\Sigma_n$ und das ebene Bild $\Sigma'$ sind als Schnitte eines und desselben Strahlenbündels mit der
Netzhaut und der Bildebene anzusehen; der Mittelpunkt
dieses Strahlenbündels liegt im Knotenpunkt des Auges}.}

Die ebengenannten physiologischen Tatsachen stellen allerdings
nur eine Annäherung an den wirklichen Sachverhalt dar;
überdies sind sie für die Beurteilung und die richtige Deutung
der Gesichtseindrücke nicht allein maßgebend.%
\label{anhanglink:2}\footnote
  {Vgl.\ Anhang,~\ref{anhang:2}.}
Die zeichnerischen
Abbilder werden daher nur solche Sinneswahrnehmungen
auslösen können, die den durch die Gegenstände selbst vermittelten
mehr oder weniger nahe kommen. \myso{Das Auge ist
aber ein höchst akkommodationsfähiges Organ.} Wenn
es auch den Unterschied zwischen Bild und Gegenstand jederzeit
erkennt, ist doch seine Kunst, aus einem Bild die wirklichen
Eigenschaften des dargestellten Gegenstandes zu entnehmen, erstaunlich.\footnote
  {Eine ausführliche Würdigung dieser Verhältnisse findet man bei
  \myso{Helmholtz}, in dem Aufsatze: »Das Auge und das Sehen«, Populäre
  wissenschaftliche Vorträge, Heft 2.}
Andererseits ist das Auge für gewisse Dinge auch
\myso{ein strenger Richter}. Abweichungen von der Symmetrie und
der Gesetzmäßigkeit einfacher Formen wie Kreis, Ellipse usw.\
%%-----File: 008.png---
wird es sofort störend empfinden. überhaupt soll man das
Auge als den obersten Richter für die Beurteilung eines Bildes
ansehen, und Korrekturen, die von ihm verlangt werden, auch
dann ausführen, wenn man eine den geometrischen Vorschriften
entsprechende Zeichnung hergestellt hat.

Das Auge stellt sich besonders leicht auf \myso{unendliche} Sehweite
ein, also so, als ob sich der Gegenstand in unendlicher
Entfernung befindet. Physiologisch beruht dies darauf, daß diese
Einstellung der \myso{Ruhelage} des Auges entspricht. Andererseits
nähern sich die von einem Gegenstand $\Sigma$ ausgehenden Lichtstrahlen
um so mehr dem Parallelismus, je weiter er vom Auge
entfernt ist. Dies bewirkt, daß Bilder, die man auf Grund der
Annahme \myso{paralleler} Sehstrahlen herstellt, vom Auge ebenfalls
leicht aufgefa{\ss}t werden. Diese Darstellung zeichnet sich überdies
durch Einfachheit aus und ist daher von besonderer
Wichtigkeit.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig03.pdf}
\caption{}\label{fig:3}
\end{wrapfigure}

\subsection{\myso{Das geometrische Grundgesetz}.} Wir nehmen jetzt an,
daß auf einer Ebene $\beta$, die wir uns \myso{vertikal} denken wollen, auf
die vorstehend genannte Art ein Bild hergestellt werden soll. Wir
haben dazu jeden Sehstrahl, der von einem Punkt $P$ des Körpers $\Sigma$
ins Auge eintritt, mit der Bildebene $\beta$ zum Schnitt zu bringen,
und wollen den so entstehenden Schnittpunkt wieder durch $P'$
bezeichnen. Das geometrische Grundgesetz besagt nun, da\ss
\myso{jeder Geraden $g$ des Gegenstandes
$\Sigma$ eine Bildgerade $g'$ des
Bildes $\Sigma'$ entspricht}; genauer
allen Punkten $A, B, C \ldots$ von $\Sigma$,
die auf einer Geraden $g$ enthalten
sind, solche Bildpunkte $A', B', C' \ldots$,
die auf einer Geraden $g'$ enthalten
sind (Fig.~\ref{fig:3}). Die Sehstrahlen, die
von den Punkten $A, B, C \ldots$ der
Geraden $g$ ins Auge gelangen, liegen nämlich sämtlich in einer
Ebene, und zwar in derjenigen, die $g$ mit dem Punkt $K$ verbindet;
ihr Schnitt mit der Ebene $\beta$ liefert die Bildgerade $g'$.
Auf ihr liegen also auch die Punkte $A', B', C' \ldots$.

Wir treffen noch einige Festsetzungen. Zunächst kann die
Tatsache au{\ss}er Betracht bleiben, daß wir es mit Sehstrahlen
zu tun haben; wir fassen also diese Strahlen in ihrer geometrischen
Bedeutung als gerade Linien auf und stellen sie
uns überdies als \myso{unbegrenzt} vor. Ebenso ersetzen wir auch
%%-----File: 009.png---
die Bildebene $\beta$ für die Ableitung der weiteren geometrischen
Gesetze durch eine \myso{unbegrenzte} Ebene. Den im Auge liegenden
Knotenpunkt $K$, also den Scheitel unseres Strahlenbündels,
nennen wir von nun an $S_0$, bezeichnen die auf der Ebene $\beta$
entstehende Figur $\Sigma'$ auch als \myso{Projektion} des Gegenstandes $\Sigma$
auf $\beta$, und nennen den Strahl $PS_0$, der durch seinen Schnitt
mit $\beta$ die Projektion $P'$ des Punktes $P$ liefert, den \myso{projizierenden
Strahl} des Punktes $P$. Der Punkt $S_0$, durch den alle
projizierenden Strahlen gehen, heißt \myso{Zentrum} der Projektion,
und $\Sigma'$ deshalb auch \myso{Zentralprojektion}.\footnote
  {Als Projektion bezeichnet die Sprache zwar auch den Prozess
  des Projizierens, zumeist aber sein Ergebnis.}

Wird die Zeichnung insbesondere so angefertigt, als ob sich
das Auge in unendlicher Entfernung befindet, so daß also alle
Sehstrahlen einander parallel werden, so sprechen wir von einer
\myso{Parallelprojektion}. Sie heißt \myso{orthogonal}, wenn die projizierenden
Strahlen auf der Bildebene senkrecht stehen, sonst
\myso{schief}.

\subsection{\myso{Das zeichnerische Grundgesetz}.} Dieses Gesetz stellt
eine Art allgemeiner \myso{Vorschrift} auf, nach der man das Bild
eines Punktes oder einer Geraden von $\Sigma$ in der Ebene $\beta$ herzustellen
pflegt. Sie zerfällt in zwei Teile.

\subsubsection{} Das Bild einer Geraden $g$, die zwei Punkte $A$ und $B$ enthält,
bestimmen wir so, daß wir die Bildpunkte $A'$ und $B'$
zeichnen und die Gerade $g'$ ziehen, die beide verbindet.
\subsubsection{} Analog
bestimmen wir das Bild $P'$ eines Punktes $P$ in der Weise, daß wir
uns durch $P$ zwei Geraden $a$ und $b$ legen und ihre Bildgeraden
$a'$ und $b'$ zeichnen. Deren Schnittpunkt ist der Bildpunkt $P'$
von $P$.

\mytheoremnocount{\myso{Wir bestimmen also die Gerade als Verbindungslinie
zweier Punkte und den Punkt als Schnittpunkt
zweier Geraden}.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig04.pdf}
\caption{}\label{fig:4}
\end{wrapfigure}

Freilich liegt in der vorstehenden Vorschrift zunächst ein
\myso{Zirkel}. Praktisch schwindet er dadurch, daß wir lernen werden,
die Punkte $A$ und $B$ und die Geraden $a$ und $b$ in bestimmter
\myso{geeigneter} Weise so anzunehmen, daß die Vorschrift ausführbar
wird. Hier beschränke ich mich auf folgende vorläufige
Bemerkungen:

Unter den Punkten, durch die wir eine Gerade $g$ räumlich
bestimmen können, gibt es zwei, die sich am natürlichsten
%%-----File: 010.png---
darbieten, und die wir deshalb als \myso{ausgezeichnete} Punkte ansehen
können. Der eine ist der Punkt, in dem sie die Bildebene
\myso{durchdringt}, der andere ist ihr sogenannter
\myso{unendlichferner} Punkt\footnote
  {Eine ausführlichere Erörterung der unendlichfernen Punkte kann
  erst in §~\ref{section:6} gegeben werden.}
(Fig.~\ref{fig:4}). Der
erste Punkt wird auch \myso{Spur} oder \myso{Spurpunkt}
der Geraden $g$ genannt; wir bezeichnen ihn
durch $G'$. Offenbar fällt er mit seinem Bildpunkt
zusammen. Man sieht zugleich, daß
hierin eine Eigenschaft \myso{aller} Punkte der Bildebene
zutage tritt. Es besteht also der Satz:

\mytheorem{\myso{Jeder Punkt der Bildebene fällt mit seinem Bildpunkt
zusammen}.}

Um den Bildpunkt des unendlichfernen Punktes $G_\infty$ von $g$
zu konstruieren, haben wir zunächst die Gerade $S_0 G_\infty$ zu
ziehen, also durch $S_0$ eine Parallele zu $g$ zu legen, und dann
ihren Schnitt mit der Bildebene $\beta$ zu bestimmen. Dieser
Schnittpunkt ist der Bildpunkt $G'_{\infty}$. Wir wollen ihn kürzer
durch $G$ bezeichnen und ihn den \myso{Fluchtpunkt} der Geraden
$g$ nennen.\footnote
  {Es ist also $G$ der Fluchtpunkt und $G'$ die Spur von $g$.}
Der Fluchtpunkt einer Geraden ist also derjenige
Punkt der Bildebene $\beta$, der dem unendlichfernen Punkt dieser
Geraden entspricht. Auf seine zeichnerische Bestimmung
kommen wir noch näher zurück.

Ich schließe mit einer Bemerkung, die die Herstellung der
Figuren betrifft.

Um die räumliche Wirkung zu erhöhen, zeichnet man
die Bilder zweier windschiefer Geraden am besten so, daß sie
sich nicht schneiden. Vielmehr soll die hintere Gerade (vom
beschauenden Auge aus gedacht) an der Stelle des geometrischen
Schnittpunktes etwas unterbrochen sein. Gerade dies
bewirkt, daß das Auge sie als eine \myso{zusammenhängende},
aber \myso{hinter} der anderen liegende Gerade auffaßt. Diese Zeichnungsart
trägt außerordentlich zur körperlichen Wirkung der
Bilder bei, wie man an den einzelnen Figuren erkennt.%
\label{anhanglink:3}\footnote
  {Vgl.\ den Anhang,~\ref{anhang:3}.}

%%-----File: 011.png---
\section{Die allgemeinen Gesetze für die zeichnerische
Darstellung ebener Gebilde.}
\SetRunningHeads{§~\thesection. Allgemeinen Gesetze für zeichnerische
Darstellung ebener Gebilde.}

Wir behandeln zunächst die Herstellung der Bilder von
\myso{ebenen} Figuren. Insbesondere wollen wir uns die gegebene
Figur $\Sigma$ in einer \myso{horizontalen} Ebene $\gamma$ liegend denken, die
wir zur Fixierung der Begriffe mit dem Fußboden zusammenfallen
lassen und \myso{Grundebene} nennen. Die \myso{Bildebene}, die
wir uns, wie bereits erwähnt, \myso{vertikal} denken, heiße wieder $\beta$.
Endlich denken wir uns das Auge $S_0$ \myso{vor} der Bildebene $\beta$
befindlich; die Figur $\Sigma$, von der auf $\beta$ ein Bild zu zeichnen
ist, befindet sich dann naturgemäß \myso{hinter} der Bildebene.

Die Schnittlinie von $\gamma$ und $\beta$ soll \myso{Achse} oder \myso{Grundlinie}
heißen; wir bezeichnen sie durch $a$. Da sie eine Gerade
von $\beta$ ist, so fällt sie (§~\ref{section:1},~\ref{thm:1.II}) mit ihrer Bildgeraden Punkt für
Punkt zusammen.

Wir beweisen nun zunächst den folgenden Satz:

\mytheorem{\myso{Die Fluchtpunkte aller Geraden von $\gamma$ liegen
auf einer zur Grundlinie parallelen Geraden, dem sogenannten
Horizont}.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig05.pdf}
\caption{}\label{fig:5}
\end{wrapfigure}

Zum Beweise ziehen wir in der Ebene $\gamma$ irgendeine Gerade
$g$ und konstruieren ihren Fluchtpunkt.\footnote
  {Bei unserer Festsetzung über die Lage des Auges zur Bildebene
  kommt hier nur derjenige Teil der Geraden $g$ in Betracht, der hinter
  der Bildebene liegt. Näheres in §~\ref{section:6}.}
Gemäß §~\ref{section:1} erhalten
wir ihn, indem wir durch $S_0$
die Parallele zu $g$ legen und
deren Schnitt $G$ mit der Bildebene
$\beta$ bestimmen. (Fig.~\ref{fig:5})
Diese Parallele liegt, welches
auch die Gerade $g$ sein mag, in
derjenigen Ebene $\eta_0$ die durch
$S_0$ parallel zur Grundebene $\gamma$
geht, und die wir \myso{Augenebene}
nennen. Daher liegt $G$ auf der Schnittlinie dieser Ebene $\eta_0$
mit $\beta$, womit der Satz bewiesen ist.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig06.pdf}
\caption{}\label{fig:6}
\end{wrapfigure}

Die so bestimmte Gerade nennen wir den \myso{Horizont} und
bezeichnen ihn durch $h$. Seiner Definition gemäß ist er Ort
der Bildpunkte aller unendlichfernen Punkte von $\gamma$. Deren
%%-----File: 012.png---
Gesamtheit bezeichnet die Sprache als Horizont; als dessen
Bildgerade heißt $h$ ebenfalls Horizont.

Aus der Definition des Fluchtpunktes folgt unmittelbar,
daß alle parallelen Geraden $g, g_1, g_2\ldots$ denselben Fluchtpunkt
haben; für jede von ihnen ergibt er sich als Schnittpunkt
von $\beta$ mit dem nämlichen durch $S_0$ gezogenen Strahl.
Also folgt:

\mytheorem{\myso{Jeder Schar paralleler Geraden $g, g_1, g_2\ldots$ der Grundebene entsprechen in der Bildebene Geraden $g', g'_1, g'_2\ldots$, die durch einen und denselben Punkt des
Horizontes gehen}.}

Unter den Scharen paralleler Geraden von $\gamma$ nehmen vier
eine bevorzugte Stellung ein; die zur Bildebene normalen Geraden,
die beiden Scharen, die mit ihr einen
Winkel von $45°$ einschließen, und die zu
ihr parallelen Geraden.

Für die zu $\beta$ normalen Geraden $n$ erhalten
wir den Fluchtpunkt, indem wir von
$S_0$ ein Lot auf $\beta$ fällen. (Fig.~\ref{fig:6}) Der
Fußpunkt $N$ ist der Fluchtpunkt; er heißt
\myso{Augenpunkt}.

Die Fluchtpunkte der gegen $\beta$ \myso{unter}
$45°$ geneigten Geraden $l$ und $r$ seien $L$ und $R$. Sie heißen
\myso{Distanzpunkte}. Ihrer Definition gemäß bilden nämlich $S_0L$
und $S_0R$ mit $\beta$ je einen Winkel von $45°$, folglich ist
\[
S_0 N = NL = NR.
\Tag[eq:2.1]{1}
\]

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig07.pdf}
\caption{}\label{fig:7}
\end{wrapfigure}

\noindent Die beiden Punkte $L$ und $R$ bestimmen daher die Entfernung
des Auges von der Bildebene; hierauf beruht es, daß die
Richtungen $l$ und $r$ praktisch wie theoretisch als bevorzugte
Richtungen aufzufassen sind.

Ist endlich $p$ eine Gerade von $\gamma$, die zur Bildebene, also
auch zur Grundlinie $a$ parallel ist,
so gilt dies auch für die Bildgerade $p'$.
Für diese Geraden besteht deshalb
eine einfache metrische Eigenschaft,
die sich in folgenden Sätzen ausdrückt
(Fig.~\ref{fig:7}).

\subsubsection{} Ist $B$ der Halbierungspunkt
der Strecke $AC$, so ist auch $B'$
der Halbierungspunkt von $A'C'$.
%%-----File: 013.png---

\subsubsection{} Sind $A$, $B$, $C$ irgend drei Punkte von $p$, und $A'$, $B'$, $C'$
deren Bildpunkte, so ist
\[
AB\colon BC\colon CA = A'B'\colon B'C'\colon C'A'.
\Tag[eq:2.2]{2}
\]

Beides folgt unmittelbar aus dem bekannten Satz, daß
irgend drei durch denselben Punkt gehende Geraden von zwei
sie kreuzenden Parallelen nach demselben Verhältnis geschnitten
werden. Der Satz~\ref{subsub:2..1}.\ ist übrigens nur ein Spezialfall von~\ref{subsub:2..2}.

Ist in der Bildebene außer den Distanzpunkten $L$ und $R$
auch die Grundlinie $a$ gegeben, so ist damit nicht allein die
Entfernung des Auges von der Bildebene, sondern auch seine
Höhe über der Grundebene bestimmt, und zwar \myso{können} $a$, $L$
und $R$ \myso{beliebig angenommen werden. Damit ist alsdann
die Lage des Auges im Raume durch zeichnerische
Bestimmungsstücke festgelegt.}

Um die Entfernung des Auges von der Bildebene zu bestimmen,
kann man übrigens statt $L$ und $R$ die Fluchtpunkte
$E$ und $F$ \myso{irgend} zweier Geraden $e$ und $f$ von bekannter Richtung
auf dem Horizont $h$ \myso{beliebig} annehmen. Zieht man
nämlich in der Augenebene $\eta_0$ durch $E$ die Parallele zu $e$ und
durch F die Parallele zu $f$, so gehen beide Parallelen durch
$S_0$ und bestimmen damit wieder die Lage des Auges zur Bildebene.\footnote
  {Man vgl.\ Fig.~\ref{fig:5}, in der man außer dem Fluchtpunkt $G$ der Geraden
  $g$ nur noch den Fluchtpunkt einer Geraden anderer Richtung anzunehmen
  braucht.}

\section{Die praktischen Regeln der zeichnerischen
Darstellung.}

Eine Figur von $\gamma$, von der wir in $\beta$ ein Bild herstellen
sollen, muß geometrisch oder zeichnerisch gegeben sein; am
besten auf demjenigen Blatt, auf dem wir die Zeichnung wirklich
ausführen. Hierzu drehen wir die Ebene $\gamma$ um die Grundlinie
$a$ als Achse so lange, bis sie in die Ebene $\beta$ hineinfällt,
und zwar \myso{unter} dasjenige Stück von $\beta$, auf dem das Bild entstehen
soll. \myso{Beide Ebenen sind so auf demselben Zeichnungsblatt
vereinigt.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig08.pdf}
\caption{}\label{fig:8}
\end{wrapfigure}

Durch diesen Kunstgriff wird die zeichnerische Herstellung
des Bildes außerordentlich erleichtert. Um nämlich zu einem
%%-----File: 014.png---
Punkt $P$ von $\gamma$ den Bildpunkt $P'$ zu konstruieren, lege man (Fig.~\ref{fig:8})
gemäß dem zeichnerischen Grundgesetz von §~\ref{section:1} durch $P$ je eine
Gerade $l$ und $r$\footnote
  {Man beachte die richtige Lage der in $\gamma$ enthaltenen Stücke von
  $l$ und $r$ in der Zeichnungsebene. Es muß $l$ nach links unten und $r$
  nach rechts unten gehen, damit beide Geraden beim Zurückdrehen in
  die Ebene $\gamma$ in ihre richtige Lage kommen.},
und bestimme $P'$ als
den Schnittpunkt der Bildgeraden $l'$ und $r'$.
Diese beiden Bildgeraden lassen sich unmittelbar
zeichnen. Ist nämlich $L'$ der
Schnitt von $l$ mit $a$, so ist $L'$ der Spurpunkt
von $l$, seine Verbindung mit dem
Fluchtpunkt $L$ liefert also die Bildgerade $l'$.
Ebenso erhalten wir die Bildgerade $r'$,
wenn wir den Punkt $R$ mit dem Schnittpunkt
$R'$ von $r$ und $a$ verbinden.

In dem Vorstehenden ist die Hauptregel des praktischen
Zeichnens enthalten. Hat man in $\gamma$ insbesondere eine Figur,
die irgendwie aus Punkten und deren Verbindungslinien besteht,
so wird man in der angegebenen Weise zunächst die
Bildpunkte zeichnen, und dann die Verbindungslinien ziehen.
Im übrigen wird man jedes Hilfsmittel, das eine Vereinfachung
der Zeichnung gestattet, und jeden hierzu führenden Kunstgriff
gern benutzen. Ich mache besonders auf folgende Tatsachen
aufmerksam:

\subsubsection{} In erster Linie empfiehlt sich die Benutzung solcher
Geraden von $\gamma$, die der Grundlinie parallel sind; denn ihre
Bildgeraden sind gemäß §~\ref{section:2} ebenfalls zur Grundlinie parallel.

\subsubsection{} Enthält die Figur $\Sigma$ eine Reihe paralleler Geraden
$g$, $g_1$, $g_2 \dotsc$ (Fig.~\ref{fig:5}), so wird man zunächst zu einer, z.~B.\ zu $g$, die
Bildgerade $g'$ bestimmen; in ihrem Schnittpunkt mit dem Horizont
$h$ hat man dann sofort den Fluchtpunkt $G$ dieser Geradenschar,
und damit einen Punkt, durch den alle Bildgeraden $g'_1$, $g'_2 \dotsc$
hindurchgehen.

\subsubsection{} Hat man es mit einer Figur $\Sigma$ zu tun, die zwei ausgezeichnete
Richtungen hat, die übrigens beliebige Neigung
gegen die Grundlinie $a$ haben können, so vereinfacht man sich
die Zeichnung, indem man von vornherein deren Fluchtpunkte
statt $L$ und $R$ auf $A$ als gegeben annimmt.\footnote
  {Hier wird immei vorausgesetzt, daß wir die Lage des Auges beliebig
  annehmen dürfen.}

%%-----File: 015.png---

\subsubsection{} Man beachte, daß die Wahl der Fluchtpunkte die Entfernung
des Auges von der Bildebene bestimmt. Da man einem
Gegenstand, von dem man einen guten Gesichtseindruck erhalten
will, nicht zu nahe stehen darf, so wird man, um \myso{gute}
Bilder zu erzielen, die Fluchtpunkte demgemäß annehmen müssen.
Erfahrungsgemäß ist es zweckmäßig, die Distanz $L$ $N$ gleich
der doppelten Höhe oder Breite des Gegenstandes anzunehmen.\footnote
  {Freilich konnte dies bei den Figuren dieser Schrift mit Rücksicht
  auf den Platz nicht immer geschehen.}

\subsubsection{} Um möglichst \myso{genaue} Bilder zu erhalten, empfiehlt es
sich, zeichnerische Überbestimmungen zu benutzen. Um z.~B.\
zu einem Punkt $P$ den Bildpunkt $P'$ zu bestimmen, kann man
$P$ als gemeinsamen Punkt von \myso{drei} durch ihn gehenden Geraden
betrachten und zu ihnen die Bildgeraden zeichnen; ist
die Zeichnung vollkommen, so werden sie alle drei durch einen
Punkt gehen.\footnote
  {In Fig.~\ref{fig:8} gehen $N$ $P'$ und das von $P$ auf $a$ gefällte Lot durch
  denselben Punkt der Achse.}
Die Genauigkeit der Zeichnung wird auch
dadurch erhöht, daß man zunächst solche Punkte bevorzugt,
in denen eine Symmetrie oder eine sonstige Regelmäßigkeit
der Figur zum Ausdruck kommt, wie dies bereits in §~\ref{section:1} erörtert
wurde.

\begin{wrapfigure}{O}{1.5in}
\includegraphics[width=1.5in]{./images/fig09.pdf}
\caption{}\label{fig:9}
\end{wrapfigure}

Nach den vorstehenden Regeln sind die folgenden Aufgaben
behandelt worden, bei denen wir außer $a$ im allgemeinen
$L$ und $R$ als gegeben angenommen haben.


\setcounter{subsection}{1}
\setcounter{subsubsection}{0}
\subsubsection{} Den Fluchtpunkt einer Geraden $g$
zu zeichnen. (Fig.~\ref{fig:9}) Ist $P$ ein Punkt
von $g$, so lege man durch $P$ die Geraden $l$
und $r$, konstruiere ihre Bildgeraden $l'$
und $r'$, und verbinde ihren Schnittpunkt $P'$
mit dem Spurpunkt $G'$, in dem $g$ die
Achse $a$ trifft. Diese Verbindungslinie
schneidet den Horizont $h$ im Fluchtpunkt
$G$.

\subsubsection{} Das Bild einer quadratischen
Teilung zu zeichnen, deren Linien senkrecht
und parallel zur Achse verlaufen. (Fig.~\ref{fig:10}) Die Diagonalen
unserer Teilung sind lauter Linien $l$ und $r$; jeder Teilungspunkt
ist also ein Schnittpunkt je zweier solcher Geraden.
Damit sind die Bildpunkte unmittelbar bestimmbar, und ebenso
deren Verbindungslinien.


%%-----File: 016.png---

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.25]{./images/fig10.pdf}
\caption{}\label{fig:10}
\end{wrapfigure}

Hier kann man
auch die zur Achse
senkrechten Linien $n$
und ihren Fluchtpunkt
$N$ statt der
Linien $l$ oder $r$ benutzen.
\myso{Vor} allem aber
ist zu beachten, daß
jeder zur Achse parallelen
Geraden der
Grundebene eine zur
Achse parallele Gerade
der Bildebene
entspricht.

\subsubsection{} In $\gamma$ ist eine reguläre sechseckige Teilung gegeben;
man soll ihr Bild zeichnen. (Fig.~\ref{fig:11}) Da die Sechseckteilung
stets zwei bevorzugte Scharen paralleler Linien enthält, die
nicht zugleich der Achse parallel sind, wird man am besten
tun, deren Fluchtpunkte als gegeben anzunehmen, und mit ihnen
zu operieren, wie es Figur~\ref{fig:11} erkennen läßt. Auch hier wird man
von vornherein suchen, die Zeichnung öfters durch Überbestimmung
zu kontrollieren, zumal wenn die Teilung Parallelen
zur Achse enthält.

\subsubsection{} Analog kann man die Zeichnung anderer Figuren ausführen.
Als Beispiele eignen sich besonders quadratische oder
%%-----File: 017.png---
rechteckige Teilungen, sowie irgendwelche mittels regelmäßiger
Teilungen hergestellte Muster.

Ich schließe mit folgender Bemerkung. Bereits in §~\ref{section:1}
wurde erwähnt, daß eine an der Hand der geometrischen Vorschriften,
ausgeführte Zeichnung erhebliche Ungenauigkeiten
aufweisen kann. Die Quelle solcher Ungenauigkeiten liegt zum
Teil darin, daß die zeichnerisch herzustellenden Punkte vielfach
nur durch Vermittlung einer ganzen Reihe von Linien (Geraden
oder Kreisen) gewonnen werden. Dadurch können sich
die Fehler addieren. Sie können besonders dann sehr stark
werden, wenn man Punkte als Schnittpunkte von Geraden
bestimmt, die einen kleinen Winkel einschließen. \myso{Dies ist
daher stets zu vermeiden}.\footnote
  {In neuerer Zeit hat man sich auch der Frage zugewandt, wie
  man eine Figur durch ein \myso{Minimum zeichnerischer Schritte} (Anlegen
  des Lineals, Schlagen eines Kreises usw.)\ erhalten kann. Diese
  Untersuchungen, die wesentlich von \myso{E. Lemoine} ausgehen, können ebenfalls
  zur Vereinfachung der Ausführung beitragen; vgl.\ seine Schrift:
  Géométrographie ou art des constructions géométriques Paris 1902. Allerdings
  steht \myso{hier} auch die Genauigkeit der Zeichnung in vorderster Linie.}

\begin{figure}[hbt]
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig11.pdf}
\caption{}\label{fig:11}
\end{figure}

\section{Die Grundgesetze der Perspektiven Beziehung.}

Wir stellen uns jetzt die Aufgabe, den \myso{allgemeinen geometrischen
Inhalt} der vorstehenden Ausführungen in kürze
zu entwickeln. Dazu
lassen wir die Vorstellung
fallen, daß die eine
Ebene Grundebene, die
andere Ebene Bildebene
war, betrachten beide
Ebenen als \myso{geometrisch
gleichwertig}
und bezeichnen sie insofern
durch $\varepsilon$ und $\varepsilon'$.
Zu ihnen fügen wir
wieder einen außerhalb
von ihnen liegenden
Punkt $S_0$ (Fig.~\ref{fig:12}).

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig12.pdf}
\caption{}\label{fig:12}
\end{wrapfigure}

Ein durch den Punkt $S_0$ gelegter Strahl $p_0$ trifft die Ebenen.
$\varepsilon$ und $\varepsilon'$ in zwei Punkten, die wieder $P$ und $P'$ heißen sollen,
%%-----File: 018.png---
ebenso wird eine durch $S_0$ gelegte Ebene $\gamma_0$ die Ebenen $\varepsilon$ und
$\varepsilon'$ in je einer Geraden $g$ und $g'$ schneiden. Gemäß dem allgemeinen
Sprachgebrauch der Geometrie \myso{ordnen wir die
Punkte $P$ und $P'$ und ebenso die Geraden $g$ und $g'$ einander
zu}, nennen sie \myso{entsprechende Elemente} beider
Ebenen, und sagen, daß die Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ \myso{perspektiv
aufeinander bezogen} sind; den Punkt $S_0$ nennen wir das
\myso{Zentrum} der perspektiven Beziehung.

Die Schnittlinie der beiden Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ hat wieder
die Eigenschaft, daß jeder ihrer Punkte sich selbst entspricht;
sie heißt \myso{Perspektivitätsachse} und soll jetzt durch $s = s'$ bezeichnet
werden.

Aus unserer Definition ergibt sich gemäß den Erörterungen
von §~\ref{section:1} unmittelbar die Richtigkeit des folgenden Grundgesetzes
der perspektiven Beziehung:

\mytheorem{\myso{Den Punkten $A$, $B$, $C$,$\dotsc$ einer Geraden $g$ entsprechen
Punkte $A'$, $B'$, $C'$,$\dotsc$ der entsprechenden Geraden
$g'$, und den Geraden $g$, $h$, $k \dotsc$, die durch einen
Punkt $P$ gehen, entsprechen Geraden $g'$, $h'$, $k' \dotsc$, die
durch den entsprechenden Punkt $P'$ gehen}.}

Ferner ergibt sich, weiter für je zwei entsprechende Geraden
$g$ und $g'$ das Theorem:

\mytheorem{\myso{Zwei entsprechende Geraden $g$ und $g'$ beider
Ebenen schneiden sich auf der Perspektivitätsachse}.}

Der Beweis folgt unmittelbar aus dem grundlegenden Satz,
daß der Scheitel einer dreiseitigen körperlichen Ecke zugleich
Schnittpunkt ihrer drei Kanten ist. Ihn wenden wir auf die
Ecke an, die von $\varepsilon$, $\varepsilon'$ und der Ebene $\gamma_0$ gebildet wird, die $g$
und $g'$ enthält und durch $S_0$ geht. Die Kanten dieser Ecke
sind die Schnittlinien von je zweien dieser Ebenen, nämlich
\[
  s = (\varepsilon, \varepsilon'), \quad
  g = (\varepsilon, \gamma_0),     \quad
  g'= (\varepsilon', \gamma_0)
\]
mithin gehen $s$, $g$, $g'$ in der Tat durch einen Punkt.

Auf derselben Tatsache beruht der Beweis eines weiteren
Satzes, aus dem wir zwar erst später Nutzen ziehen werden,
der aber schon hier eine Stelle finden möge.

Wir betrachten dazu eine dreiseitige Ecke mit dem Scheitel
$S_0$, und fassen ihre Schnitte mit den Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ ins Auge
(Fig.~\ref{fig:13}).\footnote
  {Die Figur stellt zugleich die Durchdringung eines dreiseitigen
  Prismas und einer dreiseitigen Pyramide dar.}
Diese Schnitte sind zwei Dreiecke; ihre Seiten, die
%%-----File: 019.png---
\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig13.pdf}
\caption{}\label{fig:13}
\end{wrapfigure}
$a$, $b$, $c$ und $a'$, $b'$, $c'$ heißen
sollen, bilden je ein Paar entsprechender
Geraden von $\varepsilon$
und $\varepsilon'$. Nach Satz~\ref{thm:4.II} schneiden
sich also je zwei entsprechende
von ihnen in einem
Punkte von $s$. Die drei Punkte
\[
  A'' = (a, a'), \quad
  B'' = (b, b'), \quad
  C'' = (c, c'),
\]
liegen daher auf der Geraden $s$.
Dies ist unser Satz. Also folgt:

\mytheorem{\myso{Satz des Desargues}%
\label{anhanglink:4}\footnote
  {Vgl.\ den Anhang,~\ref{anhang:4}.}:
\myso{Werden aus einer dreiseitigen
Ecke durch zwei Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ zwei Dreiecke
ausgeschnitten, so treffen sich die entsprechenden
Seiten dieser Dreiecke in Punkten, die auf einer Geraden
liegen, und zwar auf der Schnittlinie von $\varepsilon$ und $\varepsilon'$}.}

Der Satz und sein Beweis bleiben gültig, wenn der Punkt
$S_0$ ins Unendliche rückt, also die Ecke in ein dreiseitiges
Prisma übergeht. Dies folgt unmittelbar daraus, daß die Lage
von $S_0$ für den Beweis in keiner Weise benutzt wird.

Für besondere durch den Punkt $S_0$ gehende Ebenen bestehen
wieder Gesetze einfacher Art.\footnote
  {Auf weitere durch $S_0$ gehende Gerade und Ebenen besonderer
  Art kommen wir in §~\ref{section:6} ausführlicher zurück.}
Ich führe zunächst die
folgenden an:

\subsubsection{} Eine zur Achse $s$ \myso{senkrechte} Ebene $\nu_0$ schneidet die
Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ in zwei ebenfalls zur Achse $s$ senkrechten Geraden
$n$ und $n'$.

\subsubsection{} Eine zur Achse $s$ \myso{parallele} Ebene $\pi_0$ schneidet die
Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ in zwei zueinander und zu $s$ parallelen Geraden
$p$ und $p'$.

\subsubsection{} Für drei Punkte $A$, $B$, $C$ einer solchen Geraden $p$ und
die entsprechenden Punkte $A'$, $B'$, $C'$ von $p'$ besteht die Relation
\[
AB\colon BC\colon CA = A'B'\colon B'C'\colon C'A',
\Tag{1}
\]
was sich ebenso ergibt wie die analoge Tatsache in §~\ref{section:2}. Dem
Halbierungspunkt einer Strecke von $p$ entspricht also wieder der
Halbierungspunkt.

%%-----File: 020.png---
Ein besonderer Fall der perspektiven Lage tritt dann ein,
wenn die Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ parallel sind. Dann sind je zwei entsprechende
Geraden parallel, und je zwei entsprechende Figuren
einander \myso{ähnlich}. Ebenen dieser Art heißen \myso{ähnlich} aufeinander
bezogen.


\section{Die parallelperspektive Lage.}

Rückt das Perspektivitätszentrum $S_0$ ins Unendliche, so
werden alle projizierenden Strahlen einander \myso{parallel}, und
die Figuren der einen Ebene werden \myso{Parallelprojektionen}
von denen der anderen. In diesem Fall nennen wir die Ebenen
$\varepsilon$ und $\varepsilon'$ \myso{parallelperspektiv} aufeinander bezogen. Für diese
Lage bestehen gewisse einfachere Beziehungen, die uns später
nützlich sind, und die ich hier zunächst im Zusammenhang
folgen lasse. Sie ergeben sich meist als unmittelbare Folgen
bekannter Satze über parallele Linien und Ebenen.

\subsubsection{}\myso{Parallelen} Geraden der einen Ebene entsprechen
parallele Geraden der anderen; einem \myso{Parallelogramm} entspricht
also wieder ein \myso{Parallelogramm}.\footnote
  {Die Ebenen, die zwei parallele Geraden von $\varepsilon$ mit $S_0$ verbinden,
  sind nämlich in diesem Fall parallel und schneiden daher auch $\varepsilon'$ in
  parallelen Geraden.}

\subsubsection{} Die Relation~\ref{subsub:5..1}) des vorigen Paragraphen gilt jetzt für
je \myso{zwei} entsprechende Geraden $g$ und $g'$ beider Ebenen; sind
also $A$, $B$, $C$ drei Punkte einer Geraden $g$, und $A'$, $B'$, $C'$ ihre
entsprechenden Punkte in $\varepsilon'$, so ist stets
\[
AB\colon BC\colon CA = A'B'\colon B'C'\colon C'A'.
\Tag[eq:5.1]{1}
\]
Man kann diese Relation auch in die Form
\[
\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{C'A'}{CA} = \varrho
\Tag[eq:5.2]{2}
\]
setzen; sie sagt dann aus, daß jede Strecke von $g'$ das $\varrho$fache
der entsprechenden Strecke von $g$ ist. Je nach dem Wert von
$\varrho$ erscheinen also die Strecken einer jeden Geraden von $\varepsilon$ in $\varepsilon'$
nach einem konstanten Verhältnis vergrößert oder verkleinert.
Wir nennen $\varrho$ den zugehörigen \myso{Proportionalitätsfaktor}.

\subsubsection{} Der Proportionalitätsfaktor $\varrho$ ist für die einzelnen Geraden
im allgemeinen verschieden; für alle \myso{zueinander
parallelen Geraden hat er den gleichen Wert}. Sind
%%-----File: 021.png---
nämlich $g$ und $f$ zwei parallele Geraden, von $\varepsilon$, und werden auf
ihnen (Fig.~\ref{fig:14})\footnote
  {Die Figur enthält zugleich die Durchdringung eines dreiseitigen
  und eines vierseitigen Prismas. Diese ist also so zu zeichnen, daß Satz~\ref{thm:4.III}
  von §~\ref{section:4} für jedes Paar entsprechender Geraden erfüllt ist. Vgl.\
  auch §~\ref{section:14}, Beispiel~\ref{subsub:14..4}.}
die Punktepaare $AB$ und $CD$ so angenommen,
daß $ABCD$ ein Parallelogramm
ist, so ist auch $A'B'C'D'$ ein
Parallelogramm, also $A'B' =
C'D'$, und daher auch
\[
\frac{A'B'}{AB} = \frac{C'D'}{CD}.
\]

\begin{wrapfigure}{O}{6cm}
\includegraphics[width=6cm]{./images/fig14.pdf}
\caption{}\label{fig:14}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Da in der Schnittlinie $s$
von $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ je zwei entsprechende
Punkte vereinigt liegen,
so hat der Proportionalitätsfaktor
für $s$ den Wert $\varrho = 1$. Nach~\ref{subsub:5..3}.\ gilt dies also auch \myso{für jede zu $s$ parallele Gerade}.

\subsubsection{} Die Gesamtheit aller Strahlen, die durch zwei entsprechende
Punkte $P$ und $P'$ gehen, nennen wir entsprechende
\myso{Strahlenbüschel}. Sind $a$, $a'$ und $b$, $b'$ zwei Paare entsprechender
Strahlen, so werden die von ihnen gebildeten Winkel
($ab$) und ($a'b'$) im allgemeinen voneinander verschieden sein.
Es liegt aber nahe zu fragen, ob diese Winkel für gewisse
Strahlenpaare einander gleich sein können. Dies soll zu einem
Teile beantwortet werden, und zwar beweisen wir folgenden
Satz:

\mytheorem{\myso{In zwei entsprechenden Strahlenbüscheln der
beiden Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ gibt es stets ein Paar entsprechender
rechtwinkliger Strahlen}.}

Dies ist zunächst für den Fall unmittelbar evident, daß
die Richtung der projizierenden Strahlen auf einer der beiden
Ebenen, z.~B.\ auf $\varepsilon'$ senkrecht steht, daß es sich also um eine
\myso{Orthogonalprojektion} (§~\ref{section:1},~\ref{thm:1.II}) handelt. In diesem Fall entsprechen
sich nämlich sowohl die beiden Strahlen, die durch
$P$ und $P'$ parallel zur Achse $s$ laufen, wie auch diejenigen, die
auf ihnen senkrecht stehen. Dies gilt auch dann noch, wenn
die Richtung der projizierenden Strahlen in eine zu $s$ senkrechte
Ebene fällt, sonst aber beliebig ist. Immer sind
in diesen Fällen die Geraden, die parallel und senkrecht
%%-----File: 022.png---
zu $s$ durch $P$ und $P'$ gehen, entsprechende Geraden beider
Ebenen und bilden daher entsprechende rechte Winkel.\footnote
  {Die Geraden, die durch $P$ und $P'$ parallel zu $s$ laufen, sind
  übrigens \myso{stets} entsprechende Geraden.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[width=4cm]{./images/fig15.pdf}
\caption{}\label{fig:15}
\end{wrapfigure}

Wir haben den Beweis also nur noch für den Fall zu
führen, daß die von $P$ und $P'$ auf $s$ gefällten Lote \myso{keine} entsprechenden
Geraden sind. Dazu erinnere man sich, daß sich
je zwei entsprechende Strahlen $a$ und $a'$ gemäß §~\ref{section:4},~\ref{thm:4.II} auf der
Achse $s$ schneiden. Sind also ($uv$) und ($u'v'$) entsprechende
rechte Winkel, so schneiden sich $u$ und $u'$ in einem Punkt $U$
von $s$, und $v$ und $v'$ in einem Punkt $V$, und es sind $UPV$ und
$UP'V$ rechte Winkel. Man drehe nun (Fig.~\ref{fig:15}) die Ebene $\varepsilon'$
um die Achse $s$ in die Ebene $\varepsilon$ hinein,
so werden unserer obigen Annahme gemäß
$P$ und $P'$ nicht auf einer zu $s$ senkrechten
Geraden liegen. Andererseits
liegen $P$ und $P'$ auf dem Kreis mit dem
Durchmesser $UV$. Damit sind aber $U$
und $V$ konstruierbar, nämlich als Schnittpunkte
von $s$ mit demjenigen eindeutig bestimmten Kreis, dessen
Mittelpunkt $M$ zugleich auf $s$ und auf dem zu $PP'$ gehörigen
Mittellot liegt. Es folgt noch, daß wenn $P'$ nicht auf $P$ fällt,
es nur ein solches Punktepaar $U$ und $V$, also auch nur ein Paar
entsprechender rechter Winkel mit $P$ und $P'$ als Scheiteln
geben kann. Damit ist der Satz bewiesen.\footnote
  {Fällt $P$ auf $P'$, so sind \myso{je} zwei entsprechende Winkel beider
  Strahlenbüschel einander gleich.}

\subsubsection{} Um zwei gegebene Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ parallelperspektiv,
aufeinander zu beziehen, genügt es, \myso{einem beliebigen} Punkt
der einen Ebene \myso{einen beliebigen} Punkt der anderen als entsprechend
zuzuweisen; denn diese Punkte $P$ und $P'$ bestimmen
durch ihre Verbindungslinie die Richtung der projizierenden
Strahlen und damit die perspektive Beziehung. Damit ist zu
jedem Punkt $Q$ der Ebene $\varepsilon$ der Bildpunkt $Q'$ von $\varepsilon'$ unmittelbar
bestimmt und ebenso umgekehrt.

\subsubsection{} Wir wollen uns nun vorstellen, daß wir die Ebenen
$\varepsilon$ und $\varepsilon'$ in andere Lagen bringen, aber das durch die perspektive
Beziehung vermittelte Entsprechen der Punkte und Geraden
bestehen lassen. Dann ist klar, daß die unter~\ref{subsub:5..1}.\ bis~\ref{subsub:5..5}.\ genannten
Eigenschaften, da sie nur die in $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ vorhandenen
Strecken und Winkel betreffen, unverändert bestehen bleiben
%%-----File: 023.png---
Dagegen wird die ebengenannte Möglichkeit, zu einem Punkt $Q$
der Ebene $\varepsilon$ den Bildpunkt $Q'$ von $\varepsilon'$ zu konstruieren, hinfällig.
Ihr Ersatz besteht in folgendem Theorem:

\mytheorem{\myso{Zu einem Punkt $P$ der Ebene $\varepsilon$ kann man den
Bildpunkt $P'$ zeichnerisch bestimmen, sobald drei
Paare entsprechender Punkte $A$, $B$, $C$ und $A'$, $B'$, $C'$
bekannt sind}.}

Zieht man nämlich (Fig.~\ref{fig:16} und~\ref{fig:17}) durch $P$ je eine Parallele
zu den Seiten $AB$ und $AC$, sind $B_1$ und $C_1$ ihre Schnittpunkte
mit diesen Seiten,
und $B'$ und $C'$ wieder deren
Bildpunkte in $\varepsilon'$, so hat man
\begin{align*}
  AB_1\colon B_1B &= A'B_1'\colon B_1'B',  \\
  AC_1\colon C_1C &= A'C_1'\colon C_1'C',
\end{align*}

\begin{wrapfigure}{O}{8cm}
  \hfill
  \begin{minipage}[t]{3.75cm}
    \begin{center}
\includegraphics[width=3.5cm]{./images/fig16.pdf}
\caption{}\label{fig:16}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[t]{3.75cm}
    \begin{center}
\includegraphics[width=3.5cm]{./images/fig17.pdf}
\caption{}\label{fig:17}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
\end{wrapfigure}

Damit sind die Punkte $B_1'$
und $C_1'$ konstruktiv bestimmt. Man hat daher nur noch durch
$B_1'$ und $C_1'$ je eine Parallele zu $A' C'$ und $A' B'$ zu ziehen, und
erhält in ihrem Schnittpunkt den Punkt $P'$.\footnote
  {Man kann offenbar irgend zwei entsprechende Seiten der Dreiecke
  $ABC$ und $A'B'\DPtypo{C}{C'}$ zu diesem Zweck benutzen.}

\subsubsection{} Wichtig ist endlich noch, daß man zwei Ebenen $\varepsilon$ und
$\varepsilon'$ in parallelperspektive Lage bringen kann, wenn man weiß,
daß die unter~\ref{subsub:5..1}.\ bis~\ref{subsub:5..5}.\ genannten Eigenschaften für sie erfüllt
sind; es reicht sogar schon die Kenntnis eines Teiles
dieser Eigenschaften hin. Es besteht nämlich der Satz:

\mytheorem{\myso{Sind zwei Ebenen so aufeinander bezogen, daß
für sie die unter~\ref{subsub:5..1}. und~\ref{subsub:5..2}. genannten Eigenschaften
bestehen, und daß in ihnen mindestens ein Paar entsprechender
Geraden existiert, für das der Proportionalitätsfaktor
den Wert $\varrho = 1$ hat, so können sie in
parallelperspektive Lage gebracht werden}.}

Ist nämlich $s$ und $s'$ ein Geradenpaar, für das $\varrho = 1$ ist,
so daß also für drei Paare seiner Punkte $A$, $B$, $C$ und $A'$, $B'$, $C'$
die Gleichungen
\[
AB = A'B', \quad BC = B'C', \quad CA = C'A'
\]
bestehen, so bringe man $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ \myso{irgendwie} in eine solche
Lage (Fig.~\ref{fig:18}), daß $s'$ auf $s$ fällt, und $A'$, $B'$, $C'$ auf $A$, $B$, $C$,
was möglich ist. Dann ist, wie sich zeigen wird, die
%%-----File: 024.png---
parallelperspektive Lage bereits hergestellt. Ist nämlich $a$ eine Gerade
von $\varepsilon$, die durch den Punkt $A$ von $s$ geht, und sind
$A_1$, $A_2$, $A_3 \dotsc$ irgendwelche Punkte auf ihr, so geht auch $a'$
durch $A$, und man hat überdies gemäß~\ref{eq:5.2}.\ die Relation
\[
A A_1\colon A_1 A_2 \colon A_2 A_3 \ldots
  = A A_1'\colon A_1' A_2' \colon A_2' A_3' \ldots
\]
Daher bilden die Verbindungslinien
$A_1 A_1'$, $A_2 A_2'$, $A_3 A_3'$ $\dotsc$ ein Büschel paralleler Strahlen.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig18.pdf}
\caption{}\label{fig:18}
\end{wrapfigure}

Denkt man sich nun die beiden Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ durch
Strahlen der so bestimmten Richtung parallelperspektiv aufeinander
bezogen, und bezeichnet den so zu einem jeden Punkt $P$
zugeordneten Punkt zunächst durch $P''$, so ist nur noch zu
zeigen, daß $P''$ mit $P'$ identisch ist. Dazu verbinde man $P$
mit einem Punkt $B$ von $s$ und einem Punkt $A_n$ von $a$ so, daß
$PBAA_n$ ein Parallelogramm ist, dann ist nach Voraussetzung
auch $P'BAA'_n$ ein Parallelogramm, und ebenso ist gemäß 1.\ %
$P''BAA''_n$ ein Parallelogramm. Da nun $A_n'$ mit $A_n''$ identisch
ist, so gilt dies auch für $P'$ und $P''$, womit der Beweis erbracht
ist.\label{anhanglink:5}\footnote
  {Vgl.\ den Anhang,~\ref{anhang:5}.}

\subsubsection{} Hieraus folgern wir endlich noch, daß zwei Ebenen,
denen die im Satz~\ref{thm:5.III} vorausgesetzten Eigenschaften zukommen,
auch alle übrigen in diesem Paragraphen genannten Eigenschaften
besitzen.


\section{Die unendlichfernen Elemente.}

Die Theorie der sogenannten \myso{unendlichfernen} Elemente
hat sich im Anschluß an die Lehre von der perspektiven Beziehung
entwickelt. Wir werden daher ebenfalls diesen Weg
einschlagen und gehen zu der in §~\ref{section:4} erörterten perspektiven
Beziehung zurück. Naturgemäß soll es sich hier in erster
Linie um eine systematische Darlegung handeln.

Sei $p_0$ ein zur Ebene $\varepsilon$ paralleler Strahl des Strahlenbündels
$S_0$, so ist er zu $\varepsilon'$ \myso{nicht} parallel und wird daher $\varepsilon'$
in einem Punkt $P'$ schneiden, während ein eigentlicher Schnittpunkt
mit $\varepsilon$ nicht vorhanden ist.\footnote
  {Die Bezeichnung weicht in diesem Paragraph von der früheren ab.}
\myso{Die in §~\ref{section:4} dargelegte
%%-----File: 025.png---
Grundlage der perspektiven Beziehung, die jedem
Punkt der einen Ebene einen Punkt der anderen zuordnet,
erleidet also für den Strahl $p_0$ zunächst eine
Ausnahme}. Wir beseitigen sie, indem wir auch zwei parallelen
Geraden \myso{einen} und \myso{nur einen} gemeinsamen Punkt beilegen;
wir nennen ihn \myso{ihren unendlichfernen} Punkt. Die Bedeutung
und die Tragweite dieser Festsetzung erhellt aus folgendem.

Zunächst folgern wir, daß \myso{allen} einander parallelen Geraden
\myso{derselbe} unendlichferne Punkt beizulegen ist. Ist nämlich
$G_\infty$ der gemeinsame Punkt zweier parallelen Geraden $g$ und $g_1$
und ist auch $g_2$ zu $g$ parallel, so haben unserer Festsetzung
gemäß auch $g$ und $g_2$ ihren unendlichfernen Punkt gemein,
und da es für jede Gerade nur einen geben soll, so geht sowohl
$g_1$ als auch $g_2$ durch $G_\infty$ hindurch.

Nun denke man sich in der Ebene $\varepsilon$ irgendeine Gerade
$p$ gezogen, die zu dem oben angenommenen Strahl $p_0$ parallel
ist, so haben auch diese beiden Geraden ihren unendlichfernen
Punkt gemein; es geht also $p_0$ durch den unendlichfernen
Punkt $P_\infty$ von $p$ hindurch. Die obenerwähnte Ausnahmestellung
des Strahles $p_0$ ist damit beseitigt; er hat jetzt mit $\varepsilon$
und $\varepsilon'$ je einen Punkt gemein, nämlich $P'$ und $P_\infty$ und ordnet
auch diese Punkte einander zu.

Übrigens ist, was zu bemerken ist, der zu $P'$ so zugeordnete
Punkt $P_\infty$ davon unabhängig, welche zu $p_0$ parallele Gerade
von $\varepsilon$ wir zu seiner Definition benutzen; in der Tat gehen
alle diese Geraden durch denselben
Punkt $P_\infty$ hindurch.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig19.pdf}
\caption{}\label{fig:19}
\end{wrapfigure}

Sei nun wieder (Fig.~\ref{fig:19}) $\eta_0$
diejenige durch $S_0$ gehende Ebene,
die zu $\varepsilon$ parallel ist, so wird sie $\varepsilon'$
in einer Geraden $h'$ schneiden,
während eine Schnittlinie mit $\varepsilon$
zunächst fehlt. Um diese Ausnahme
zu beseitigen, legen wir
auch den Ebenen $\varepsilon$ und $\eta_0$ eine
\myso{ihnen gemeinsame} Gerade bei, die wir ihre \myso{unendlichferne
Gerade} nennen und durch $h_\infty$ bezeichnen. Wie oben,
folgern wir zunächst wieder, daß alle zueinander parallelen
Ebenen \myso{dieselbe} unendlichferne Gerade enthalten.

Wesentlich ist weiter, daß die so eingeführte unendlichferne
Gerade $h_\infty$ die allgemeine Eigenschaft besitzt, die einer
%%-----File: 026.png---
Schnittlinie zweier Ebenen zukommt, daß sie nämlich Ort aller
in $\varepsilon$ enthaltenen unendlichfernen Punkte ist. Falls nämlich
wieder $p$ irgendeine Gerade von $\varepsilon$ ist, und $p_0$ der durch $S_0$
gehende zu $p$ parallele Strahl, so liegt $p_0$ in $\eta_0$, und daher
gehört der Punkt $P_\infty$, den $p_0$ mit $\varepsilon$ gemein hat, zu den Punkten,
die $\eta_0$ mit $\varepsilon$ gemein hat; er ist also in der Tat ein Punkt
von $h_\infty$. Der Schnittpunkt $P'$ von $p_0$ mit $\varepsilon'$ liegt aus demselben
Grund auf $h'$. In Übereinstimmung mit §~\ref{section:2} bezeichnen
wir $h'$ als die \myso{Fluchtlinie} von $\varepsilon'$.

Ebenso kann man in der Ebene $\varepsilon'$ eine unendlichferne
Gerade $k_\infty'$ definieren; sie entspricht der Geraden $k$ von $\varepsilon$, in
der $\varepsilon$ von der zu $\varepsilon'$ parallelen durch $S_0$ laufenden Ebene geschnitten
wird, und die die Fluchtlinie von $\varepsilon$ darstellt.

Man folgert endlich noch unmittelbar den folgenden Satz:

\mytheorem{\myso{Bei parallelperspektiver Beziehung zweier Ebenen
$\varepsilon$ und $\varepsilon'$ entspricht dem unendlichfernen Punkt
einer Geraden $g$ von $\varepsilon$ der unendlichferne Punkt ihrer
Bildgeraden in $\varepsilon'$, und der unendlichfernen Geraden
von $\varepsilon$ die unendlichferne Gerade von $\varepsilon'$}.}

Die so eingeführten unendlichfernen Punkte und Geraden
bezeichnet man auch als \myso{uneigentliche} Elemente.

Ihre allgemeine Bedeutung ist die, daß sie für die Geometrie
eine ähnliche Rolle spielen, wie die irrationalen oder
komplexen Zahlen für die Arithmetik. \myso{Sie verbürgen die
Ausnahmslosigkeit der Grundgesetze und bewirken
dadurch die Abgeschlossenheit des Lehrgebäudes}. Ich
will dies für die einfacheren grundlegenden Sätze hier ausführen.%
\label{anhanglink:6}\footnote
  {Vgl.\ den Anhang,~\ref{anhang:6}.}

Beschränken wir uns auf eine Ebene, so gelten jetzt für
sie ausnahmslos die folgenden Sätze:

\subsubsection{} Zwei Geraden bestimmen einen Punkt, nämlich ihren
Schnittpunkt, und \subsubsection{} zwei Punkte bestimmen eine Gerade, nämlich
ihre Verbindungsgerade.

Sind nämlich im ersten Fall beide Geraden eigentliche
Geraden, so haben sie entweder einen endlichen oder einen
unendlichen Punkt gemein; ist aber eine der beiden Geraden
uneigentlich, so hat sie mit der eigentlichen Geraden deren
unendlichfernen Punkt gemein.

Sind zweitens von den Punkten beide eigentlich, so bestimmen
sie eine eigentliche Gerade, und ebenso erhellt, daß
%%-----File: 027.png---
zwei uneigentliche Punkte die unendlichferne Gerade als Verbindungslinie
bestimmen. Ist endlich der eine Punkt ein
eigentlicher Punkt $P$, und der andere ein uneigentlicher Punkt
$Q_\infty$, so ist dieser seiner Definition gemäß der unendlichferne
Punkt einer Geraden $q$ bestimmter Richtung, und die durch
$P$ zu $q$ gezogene Parallele ist die Verbindungslinie beider
Punkte. Die Grundgesetze bleiben also in der Tat für die
uneigentlichen Punkte und Geraden in Kraft. Hiermit ist zugleich
die Berechtigung ihrer Einführung nachgewiesen. Zugleich
erfährt so das in §~\ref{section:1} aufgestellte zeichnerische Grundgesetz
eine nachträgliche Motivierung.

In ähnlicher Weise kann man auch für den Raum uneigentliche
Elemente definieren und die \myso{Permanenz der Grundgesetze}
für sie darlegen. Ich beschränke mich auf die Angabe
der grundlegenden Festsetzungen. Diese sind:

\setcounter{subsection}{1}
\setcounter{subsubsection}{0}
\subsubsection{} Alle zueinander parallelen Geraden haben einen und
denselben uneigentlichen Punkt miteinander gemein, nämlich
ihren unendlichfernen.

\subsubsection{} Alle zueinander parallelen Ebenen haben eine und dieselbe
uneigentliche Gerade miteinander gemein, nämlich ihre
unendlichferne.

\subsubsection{} Alle zu einer Geraden parallelen Ebenen enthalten den
unendlichfernen Punkt dieser Geraden.

\subsubsection{} Alle die Geraden und Ebenen, die gemäß den Sätzen
\ref{subsub:6.I.1}.\ und~\ref{subsub:6.I.3}.\ durch einen unendlichfernen Punkt hindurchgehen,
hat man als die sämtlichen Strahlen und Ebenen eines Strahlenbündels
anzusehen, dessen Scheitel $S_0$ sich ins Unendliche entfernt
hat. Die Parallelperspektive erscheint also auch bei
dieser Betrachtung als derjenige Spezialfall der allgemeinen
Perspektive, bei dem der Scheitel ins Unendliche gerückt ist.

\subsubsection{} Die Gesamtheit aller unendlichfernen Punkte und Geraden
des Raumes hat man als die unendlichferne Ebene des
Raumes einzuführen.\label{anhanglink:7}\footnote
  {Vgl.\ den Anhang,~ref{anhang:7}.}


\section{Anwendung auf einige zeichnerische Aufgaben.}

Für die folgenden Zwecke denken wir uns die Ebene $\varepsilon$
wieder \myso{horizontal} und $\varepsilon'$ \myso{vertikal}, und fassen zunächst
die Achse, die Fluchtlinien und die unendlichfernen Geraden
%%-----File: 028.png---
ins Auge. Sie bilden drei Paare entsprechender Geraden,
nämlich (Fig.~\ref{fig:20})
\[
1.\ h_\infty, h', \quad
2.\ s = s' \text{ und } \quad
3.\ k, k_\infty'.
\]
Diese Geraden teilen die Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ in drei entsprechende
Teile, die wir durch I, II, III und I$'$, II$'$, III$'$, bezeichnen
wollen. Wir denken uns nun, daß eine Figur $\Sigma'$ sich in der
Ebene $\varepsilon'$ bewegt, und betrachten
die Bewegung der entsprechenden
Figur $\Sigma$ in $\varepsilon$. Sobald die Figur $\Sigma'$
die Fluchtlinie $h'$ erreicht, wird
sich die entsprechende Figur $\Sigma$
in $\varepsilon$ zunächst bis ins Unendliche
dehnen, und wenn $\Sigma'$ die Fluchtlinie
$h'$ überschreitet, also aus dem
Teil I$'$ in den Teil III$'$ übertritt,
wird $\Sigma$ das Unendliche durchsetzen
und ebenfalls teils zu I teils zu II gehören, also scheinbar
in zwei getrennte Stücke zerfallen. Die Permanenz der Gesetze,
die wir für beide Ebenen zugrunde legen, führt uns aber
dazu, auch die Figur der Ebene $\varepsilon$ \myso{durch das Unendliche
hindurch als zusammenhängend} zu betrachten. Dies ist
nichts anderes als was wir in §~\ref{section:6} für die Gerade $g$ einführten;
auch sie soll im Punkte $G_\infty$ ebenso zusammenhängen, wie die
Bildgerade $g'$ im Fluchtpunkt $G$\footnote
  {Die zueinander parallelen Geraden $g$, $g_1$, $g_2 \dotsc$ von $\varepsilon$ bezeichnet
  man deshalb auch als \myso{Parallelstrahlenbüschel} und nennt $G_\infty$ seinen
  \myso{Scheitel}. Die ihnen entsprechenden Geraden bilden in $\varepsilon'$ einen gewöhnlichen
  Strahlenbüschel mit dem Seheitel $G$.}.
Hiervon wollen wir nun
einige Anwendungen machen.

\begin{wrapfigure}[10]{O}{2in}
\includegraphics[width=2in]{./images/fig20.pdf}
\caption{}\label{fig:20}
\end{wrapfigure}

Sei zunächst $K'$ ein im Gebiet II$'$ von $\varepsilon'$ enthaltener
\myso{Kreis}, so wird ihm in der Ebene $\varepsilon$ eine im Gebiet II enthaltene
\myso{Ellipse} entsprechen; die sämtlichen Strahlen, die den Punkt $S_0$
mit den Punkten von $K'$ verbinden, bilden nämlich einen Kegel
zweiter Ordnung, und sein Schnitt mit der Ebene $\varepsilon$ stellt die
ebengenannte Ellipse dar\footnote
  {Ich setze als bekannt voraus, daß jeder Kegel, der durch Projektion
  eines Kreises vom Punkte $S_0$ aus entsteht, durch eine Ebene in
  einer Kurve zweiter Ordnung geschnitten wird.}.
Wenn wir jetzt den Kreis $K'$ so
annehmen, daß er die Fluchtlinie $h'$ berührt, so wird die in $\varepsilon$
gelegene Ellipse in eine \myso{Parabel} übergehen, und wenn $K'$
die Fluchtlinie $h'$ kreuzt, so erhalten wir in $\varepsilon$ eine \myso{Hyperbel}.
%%-----File: 029.png---
Wir haben uns also vorzustellen, daß auch Parabel und Hyperbel
\myso{geschlossene Kurven} sind, daß die Parabel von der unendlich
fernen Geraden \myso{berührt} wird, und daß die beiden Äste der Hyperbel
im \myso{Unendlichen zusammenhängen}. Die Einheitlichkeit
der Auffassung wird hierdurch außerordentlich gesteigert.
Überhaupt besteht der allgemeine Nutzen der perspektiven
Betrachtung darin, daß wir lernen, in den verschiedenen
Einzelfällen das Gleichbleibende und Unveränderliche zu erkennen
und die Einzelfälle zu einer höheren Einheit zusammenzufassen.

Es leuchtet ohne weiteres ein, daß wir die vorstehenden
Tatsachen benutzen können, um analog zu §~\ref{section:3} Ellipsen, Parabeln
und Hyperbeln zeichnerisch herzustellen; nur tritt für die
praktische Ausführung eine kleine Modifikation ein. Wir wollen
nämlich, wie eben geschehen ist, den gegebenen Gegenstand
in der Ebene $\varepsilon'$ liegend annehmen, und in $\varepsilon$ die ihm entsprechende
Figur herstellen. Dabei gehen wir wieder so zu
Werke, daß wir die Ebene $\varepsilon$ um die Achse $s$ in die Zeichnungsebene
$\varepsilon'$ hineingedreht denken, haben aber nun, um zu einem
Punkt $P'$ von $\varepsilon'$ den ihm entsprechenden Punkt $P$ von $\varepsilon$ zu
finden, die in §~\ref{section:3} angegebene Vorschrift in \myso{umgekehrter}
Reihenfolge auszuführen. Sind also jetzt (Figur~\ref{fig:8}, S.~\pageref{fig:8}) $P'$, $L$ und
$R$ gegeben, so ziehen wir zunächst $l' = LP'$ und $r' = LR'$, bestimmen
die Schnittpunkte mit $s$, und ziehen durch sie unter $45^\circ$
die Geraden $l$ und $r$, die in ihrem Schnittpunkt den Punkt $P$ liefern.
In dieser Weise sind die folgenden Figuren gezeichnet worden.

\begin{figure}[h]
  \hfill
  \begin{minipage}[t]{.25\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{./images/fig21.pdf}
\caption{}\label{fig:21}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[t]{.25\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{./images/fig22.pdf}
\caption{}\label{fig:22}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[t]{.40\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.25]{./images/fig23.pdf}
\caption{}\label{fig:23}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
\end{figure}

Die Figuren~\ref{fig:21},~\ref{fig:22} und~\ref{fig:23} enthalten die dem Dreiecke
$A'B'C'$ entsprechenden Dreiecke $ABC$ der Ebene $\varepsilon$. Sie entstehen
unmittelbar, indem man zu $A'B'C'$ in der ebengenannten
%%-----File: 030.png---
Art die Bildpunkte konstruiert\footnote
  {Die Hilfslinien sind in den Figuren nachträglich wieder getilgt
  worden. Übrigens sind auch die nicht sichtbaren Punkte $A$ für die
  Zeichnung benutzt worden.}.
In Fig.~\ref{fig:22} liegt eine seiner
Ecken im Unendlichen, in Fig.~\ref{fig:23} zieht sich die Dreiecksfläche mit
der Spitze $C$ durch das Unendliche hindurch; man zeichnet es am
besten so, daß man auf $A'C'$ und $B'C'$ je einen Punkt $D'$
und $E'$ beliebig auswählt und deren Bilder $D$ und $E$ konstruiert.
Damit sind die Richtungen von $AG$ und $BC$ bestimmt.

Ich schließe mit einigen Winken, die die Zeichnung von
Ellipse, Parabel und Hyperbel betreffen. Die Zeichnung kann
zunächst in der Weise erfolgen,
daß man zu einer
Reihe von Punkten des
Kreises die ihnen in $\varepsilon$ entsprechenden
Punkte konstruiert,
und die diese
Punkte verbindende Kurvenlinie
annäherungsweise
herstellt. Um ein möglichst
gutes Kurvenbild zu
erhalten, können folgende
Hinweise dienen (Fig.~\ref{fig:24}):

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig24.pdf}
\caption{}\label{fig:24}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Den beiden zur
Achse parallelen Tangenten
$p'$ und $p_1'$ des Kreises
entsprechen zwei zur Achse
parallele Tangenten $p$ und
$p_1$ des Kegelschnitts; sollte
der Kreis die Fluchtlinie $h'$
berühren, so daß der Kegelschnitt
eine Parabel ist, so
ist eine dieser Kegelschnitttangenten
die unendlichferne
Gerade.

\subsubsection{} Dem Kreisdurchmesser $d'$, der die Berührungspunkte
der ebengenannten Tangenten enthält, entspricht deshalb ein
Durchmesser $d$ des Kegelschnitts.

\subsubsection{} Einer Sehne $A'B'$ des Kreises, die auf diesem Durchmesser
$d$ senkrecht steht, entspricht gemäß §~\ref{section:4} eine Sehne $AB$ des
Kegelschnitts, die durch den Durchmesser $d$ halbiert wird.

%%-----File: 031.png---

\subsubsection{} Ist der Kegelschnitt eine Ellipse, so erhält man den
zu $d$ konjugierten Durchmesser $d_1$ und die zu $d$ parallelen Tangenten
$t$ und $t_1$ der Ellipse wie folgt. Da $t$ und $t_1$ unter sich
und mit $d$ parallel sind, so schneiden sich die entsprechenden
Tangenten $t'$ und $t_1'$ des Kreises auf der Fluchtlinie $h'$ und gehen
insbesondere durch den Schnitt von $h'$ und $d'$. Diese beiden
Kreistangenten sind aber in $\varepsilon'$ leicht konstruierbar. Man hat
daher nur die ihnen in $\varepsilon$ entsprechenden Geraden zu bestimmen,
und auf ihnen noch die Punkte $P$ und $Q$, die den Berührungspunkten
$P'$ und $Q'$ der Kreistangenten entsprechen.

\subsubsection{} Ist der Kegelschnitt eine Hyperbel, und sind $E'$ und $F'$
die Punkte, in denen der Kreis $K'$ die Fluchtlinie kreuzt, so
entsprechen den Kreistangenten in $E'$ und $F'$ die Asymptoten
der Hyperbel.

Eine zweite Methode besteht darin, die Kurven als Enveloppen
ihrer Tangenten aufzufassen, und zu einer Reihe von
Kreistangenten die Bildgeraden zu zeichnen. In allen Fällen
wird man übrigens auf die Symmetrie der Figuren in erster
Linie bedacht sein und alle Vorteile benutzen, die aus ihr fließen
(vgl.\ §~\ref{section:3},~\ref{subsub:3..5}).\footnote
  {Es ist sehr zu empfehlen, die Zeichnung von Parabel und Hyperbel
  selbst auszuführen, sowohl nach der ersten, wie nach der zweiten Methode.
  Man kann übrigens auch beide Methoden verbinden.}


\section{Die allgemeinen Gesetze der ebenen Darstellung
räumlicher Figuren.}
\SetRunningHeads{§~\thesection. Allgemeinen Gesetze der ebenen Darstellung
räumlicher Figuren.}

Die allgemeinen Gesetze und Vorschriften von §~\ref{section:1} gelten
ihrer Ableitung nach auch, für die zeichnerische Darstellung
\myso{beliebiger räumlicher Figuren}. Wir werden daher auch
im Baum Punkte und Geraden als die einfachsten Gebilde betrachten,
mit denen wir zeichnerisch operieren, stellen den Punkt
wieder als Schnitt zweier durch ihn gehender Geraden und die
Gerade als Verbindungslinie zweier ihrer Punkte, insbesondere
von \myso{Spur} und \myso{Fluchtpunkt} dar, und suchen zunächst wieder
solche Geraden, denen besonders einfache zeichnerische Eigenschaften
zukommen. Die Bildebene $\beta$ denken wir uns nach
wie vor \myso{vertikal}. Unter den horizontalen Ebenen des Raumes
wählen wir eine aus, die den Fußboden darstellen soll, und
die wir die \myso{Grundebene} $\gamma$ nennen; ihre Schnittlinie mit der
%%-----File: 032.png---
Bildebene heiße wieder \myso{Grundlinie} und werde durch $a$ bezeichnet.
Die Gerade von $\beta$, die die Fluchtpunkte aller in
der Grundebene liegenden Geraden enthält, nennen wir wieder
den \myso{Horizont} $h$; er hat die gleiche allgemeine Bedeutung
wie in §~\ref{section:2}. Insbesondere behalten auch die Punkte $N$, $L$, $R$
ihre in §~\ref{section:2} dargelegte theoretische und praktische Bedeutung.
\myso{Zusammen mit der Grundlinie $a$ sind sie diejenigen in
der Zeichnungsebene $\beta$ enthaltenen geometrischen Elemente,
die die Lage des Auges zum Bild und zur Grundebene
festlegen, und zwar ebenso wie in §~\ref{section:2}.}

Als zeichnerisch ausgezeichnete Geraden können wir --- abgesehen
von den Geraden $l$ und $r$ --- solche betrachten, die zu
einer der beiden Ebenen $\beta$ und $\gamma$ parallel oder senkrecht verlaufen.
Über sie gilt folgendes\footnote
  {Man vergleiche die Figuren~\ref{fig:5} bis~\ref{fig:8}.}:

\subsubsection{} Der Fluchtpunkt einer zu $\gamma$ \myso{parallelen} Geraden $g$
liegt auf dem Horizont $h$. Denn in $\gamma$ gibt es eine zu $g$ parallele
Gerade $g_1$, und gemäß §~\ref{section:6} haben alle zueinander parallelen
Geraden denselben unendlichfernen Punkt, also auch denselben
Fluchtpunkt.

\subsubsection{} Ist $p$ eine Gerade, die zu $\beta$ \myso{parallel} ist, so ist \myso{die
Bildgerade $p'$ zu $p$ parallel}. Dies folgt unmittelbar daraus,
daß $p$ und $p'$ in einer durch $S_0$ gehenden Ebene $\pi_0$ liegen,
und ihr gemeinsamer Punkt auch gemeinsamer Punkt von $\beta$
und $p$ ist.

%% Is this a ref to 2.1,2.2 or 2.I,2.II?
Für zwei solche Geraden $p$ und $p'$ gelten daher auch
die Sätze \ref{eq:2.1}.~und~\ref{eq:2.2}.\ von §~\ref{section:2}; sie bestehen ja für je zwei entsprechende
parallele Geraden. Für solche Geraden geht also der
Halbierungspunkt wieder in den Halbierungspunkt über.

Ist $p$ insbesondere horizontal, so ist auch $p'$ horizontal;
\myso{horizontale Linien, die zur Bildebene parallel sind,
bleiben also auch im Bilde horizontal.}

\subsubsection{} Sei $v$ eine Gerade, die auf $\gamma$ \myso{senkrecht} steht. Eine
solche Gerade ist zu $\beta$ parallel, und damit steht gemäß~\ref{eq:2.2}.\ auch
die Bildgerade $v'$ auf $\gamma$ senkrecht. Dies ist aber, da $v'$ in $\beta$
liegt, nur so möglich, daß $v'$ auf der Grundlinie $a'$ senkrecht
steht. Jeder Geraden $v$ entspricht also eine zu $a$ senkrechte
Gerade $v'$; \myso{vertikale Linien bleiben also auch im Bilde
vertikal}. In der Tat erscheint alles Vertikale dem Auge ebenfalls
vertikal.

%%-----File: 033.png---

\subsubsection{} Sei endlich $n$ eine zu $\beta$ \myso{senkrechte} Gerade. Sie ist
alsdann zu $\gamma$ parallel und eine Gerade der ersten Gattung, hat
aber noch einige besondere Eigenschaften. Zunächst ist ihr
Fluchtpunkt der Augenpunkt $N$. Ihr Spurpunkt $N'$ spielt ebenfalls
die Rolle eines ausgezeichneten Punktes; sein Abstand von
der Grundlinie bestimmt nämlich unmittelbar die Höhe der Geraden
$n$ über der Grundebene (Fig.~\ref{fig:25}); er liegt also \myso{über,
auf oder unter} dem Horizont $h$, je nachdem
die Gerade $n$ \myso{über, auf oder unter}
der Augenebene $\eta_0$ liegt\footnote
  {Die Geraden $p$, $v$, $n$ stellen drei zueinander senkrechte Richtungen
  dar, was ebenfalls ihre bevorzugte Benutzung erklärt.}.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig25.pdf}
\caption{}\label{fig:25}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Eine besondere Rolle spielen endlich
auch diejenigen Geraden des Raumes,
die durch $S_0$ gehen. Allen ihren Punkten
entspricht auf $\beta$ \myso{derselbe Punkt}, nämlich
ihr Durchdringungspunkt mit $\beta$. Fragt man
nun, was diese Geraden zeichnerisch bedeuten, so ist die Antwort
sehr leicht. Sie sind sozusagen \myso{verbotene Gebilde}.
Man wird sich bei der Betrachtung eines Körpers kaum so
stellen, daß Geraden des Körpers als Punkte erscheinen; man
wird daher auch für die Zeichnung die Stellung des Auges
nicht so wählen, daß dies eintritt.\footnote
  {Für Darstellungen, die nur die Bedeutung konstruktiver Hilfsmittel
  besitzen, geschieht dies allerdings doch. Vgl.\ §~\ref{section:12}.}

Liegt der Punkt $S_0$ im \myso{Unendlichen}, haben wir es also
mit einer \myso{Parallel}projektion zu tun, so kommen noch einige
weitere einfache Eigenschaften hinzu.

Erstens besteht jetzt für je drei Punkte $A$, $B$, $C$ einer
\myso{jeden} Geraden und ihre Bildpunkte die Relation~\ref{eq:2.2} von §~\ref{section:2}, also
\[
AB\colon BC\colon CA = A'B'\colon B'C'\colon C'A',
\]
und es geht der Halbierungspunkt in den Halbierungspunkt
über; handelt es sich insbesondere um eine zur Bildebene
parallele Gerade $p$, so geht die Proportionalität in Gleichheit
über. Jede zu $\beta$ parallele Strecke ist also ihrem Bilde gleich.

Sind zweitens $g$ und $g_1$ parallele Geraden, so sind auch
ihre Bildgeraden in $\beta$ einander parallel, was eines Beweises
nicht bedarf.

Auf diesen Tatsachen beruht die leichtere Herstellbarkeit
und damit auch die Bevorzugung der Bilder, die nach den
%%-----File: 034.png---
Methoden der Parallelprojektion, hergestellt werden. Ihre \myso{zeichnerische
Zweckmäßigkeit} liegt, wie in §~\ref{section:1} erwähnt wurde,
darin, daß es dem Auge besonders leicht wird, sich auf unendliche
Sehweite einzustellen. Es ist sehr zu empfehlen, bei der Betrachtung
der Parallelprojektionen dem Auge diese Einstellung zu
geben; man wird dann leicht den Eindruck der Körperlichkeit
erhalten. (Vgl.\ auch %%
S.~\pageref{fn:59-2}\ Anm.~\ref{fn:59-2}%%
%%S.~59 Anm. 2
.)


\section{Die zeichnerische Darstellung der räumlichen
Figuren.}

Um das ebene Bild einer räumlichen Figur $\Sigma$ zeichnerisch
herzustellen, denken wir uns zunächst wieder die Bildebene $\beta$
durch Drehung um die Achse in die Grundebene $\gamma$ hineingedreht,
in derselben Weise wie in §~\ref{section:3}; auch nehmen wir
wieder die Grundlinie $a$, sowie die Distanzpunkte $L$ und $R$ als
gegeben an. Alle in §~\ref{section:2} und~\ref{section:3} \myso{abgeleiteten Regeln und
Sätze bleiben dann unmittelbar für denjenigen Teil der
Figur $\Sigma$ bestehen, der in der Grundebene $\gamma$ enthalten
ist}. Also folgt als erstes Resultat:

\mytheorem{\myso{Diejenige Teilfigur von $\Sigma$, die in der Grundebene
enthalten ist, ist nach den Vorschriften von §~\ref{section:3}
zeichnerisch bestimmbar}.}

Da die Grundebene $\gamma$ in §~\ref{section:8} beliebig gewählt werden konnte,
überträgt sich dies sofort auf jede horizontale Ebene, vorausgesetzt,
daß man mit ihr ebenso operiert, wie mit der Grundebene
$\gamma$. Dazu ist offenbar notwendig und hinreichend, daß
die Schnittlinie dieser Ebene mit $\beta$ (und selbstverständlich die
in ihr enthaltene Teilfigur) bekannt ist. Nennen wir sie ihre
\myso{Spur}, so folgt:

\mytheorem{\myso{Jede in einer horizontalen Ebene liegende Teilfigur
von $\Sigma$ kann gemäß §~\ref{section:3} gezeichnet werden, sobald
ihre Spur in $\beta$ bekannt ist}.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig26.pdf}
\caption{}\label{fig:26}
\end{wrapfigure}

Diese Spur ist eine horizontale Gerade; sie ist daher bestimmt,
sobald man einen ihrer Punkte kennt. Einen solchen
Punkt stellt z.~B.\ der Durchdringungspunkt einer in ihr liegenden
Geraden mit der Bildebene $\beta$ dar.

Beachten wir noch, daß jede Vertikale des Gegenstandes $\Sigma$
gemäß §~\ref{section:8} im Bilde vertikal bleibt, so können wir bereits einfachere
Beispiele erledigen. Ein solches bilden die
%%-----File: 035.png---
nebenstehend gezeichneten Würfel (Fig.~\ref{fig:26}), von denen zwei bis
an die Bildebene heranreichen. Die in der Bildebene liegenden
Flächen $ABCD$ und $BCFE$ stellen sich daher in ihrer natürlichen
Größe dar. Die Ecken $S$, $T$, $U$, $V$ des oberen Würfels
sollen in die Mitten der Quadrate fallen, auf denen er steht.

In Anlehnung an §~\ref{section:3} (Fig.~\ref{fig:10}) können wir die Zeichnung
in diesem Fall sogar direkt ausführen, ohne die in der Grundebene
und den andern Horizontalebenen vorhandenen Teilfiguren
zu benutzen. Wir zeichnen zunächst das der Grundebene entsprechende
Bild in der gleichen Weise wie bei Figur~\ref{fig:10}.\footnote
  {Die nicht sichtbaren Linien sind nachträglich getilgt worden.}
Gemäß Satz~\ref{thm:9.II} verfahren wir dann ebenso mit der Ebene, die
die Bildebene in der Geraden
$DCF$ schneidet. Wir
verbinden also die Punkte
$C$, $D$, $F$ mit $L$, $N$ und $R$,
ziehen durch die Schnittpunkte
die Parallelen zur
Achse, und erhalten so das
Bild der oberen vier Würfelflächen;
übrigens kann man
für ihre Zeichnung auch den
Umstand benutzen, daß je
zwei Punkte der oberen und
der unteren Flächen auf einer
Vertikalen liegen.\footnote
  {Zur Kontrolle der Zeichnung wird man dies immer benutzen;
  vgl.\ §~\ref{section:3},~\ref{subsub:3..5}.}
Da die
Mitten $S$, $T$, $U$, $V$ dieser
Würfelflächen zugleich vier Ecken des obersten Würfels sind,
hat man nur noch dessen obere Fläche $WXYZ$ zu zeichnen.
Deren Ecken liegen zunächst wieder auf den durch $S$, $T$, $U$, $V$
gehenden Vertikalen. Wir bestimmen nun noch die Bildgeraden
der in dieser Fläche enthaltenen Diagonalen $WY$ und $XZ$, deren
Fluchtpunkte $R$ und $L$ sind. Dazu sind nur ihre Spuren $P$
und $Q$ zu ermitteln; wir erhalten sie unmittelbar, indem wir
die Kanten $AD$ und $EF$ um sich selbst bis $P$ und $Q$ verlängern.
Die so bestimmten Geraden liefern in ihrem Schnitt mit den
eben genannten Vertikalen bereits die Punkte $W$, $X$, $Z$ und $Y$.
Eine Überbestimmung liegt darin, daß $W$, $X$ und $Z$, $Y$ auf
je einer Parallelen zur Achse liegen.

%%-----File: 036.png---

Ähnlich kann man auch eine Reihe von Würfeln zeichnen,
die so hinter einander liegen, daß ihre Grundflächen ein Rechteck
bilden.

\begin{figure}[h]
\centering
\begin{tabular}{cc}

\begin{minipage}{0.35\textwidth}
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig27.pdf}
\caption{}\label{fig:27}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig28.pdf}
\caption{}\label{fig:28}
\end{minipage}

&

\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig29.pdf}
\caption{}\label{fig:29}
\end{minipage}

\end{tabular}
\end{figure}

Wir erörtern nun die allgemeine Frage, wie wir das Bild $P'$
eines gegebenen Raumpunktes $P$ in $\beta$ zu zeichnen haben. Dies
kann offenbar auf verschiedene Art geschehen, je nach der
Wahl der Geraden, als deren Schnitt wir ihn betrachten. Drei
Fälle wollen wir besonders hervorheben:

\subsubsection{} Zunächst betrachten wir ihn als Schnittpunkt einer zu $\gamma$
senkrechten Geraden $v$ und einer zu $\beta$ senkrechten Geraden $n$
(Fig.~\ref{fig:27}). Sei $P_1$ der Schnitt von $v$ mit $\gamma$,
$P_2$ der von $n$ mit $\beta$, und $P_1P_0$ das von $P_1$
auf die Grundlinie gefällte Lot, so bilden die
vier Punkte $P P_1 P_0 P_2$ ein Rechteck, und es ist
\[
P P_1 = P_2 P_0.
\Tag[eq:9.1]{1}
\]
Diese einfache Tatsache läßt uns leicht erkennen,
daß wir die Bildgeraden $v'$ und $n'$ und damit auch den
Bildpunkt $P'$ von $P$ zeichnen können, sobald uns \myso{seine Projektion
$P_1$ und die Höhe $PP_1$ gegeben sind} (Fig.~\ref{fig:28}).
Die Bildgerade $v'$ ist nämlich, erstens
senkrecht zur Grundlinie $a$ (nach §~\ref{section:8}) und
zweitens geht sie durch den Bildpunkt $P_1'$
von $P_1$, der gemäß~\ref{thm:9.I} bestimmbar ist; sie
ist also selbst zeichnerisch bestimmt.
Ferner geht die Gerade $n'$ erstens durch
den Augenpunkt $N$ und zweitens durch
den Punkt $P_2$, der ihr Durchdringungspunkt
mit $\beta$ ist, und infolge der Relation~\ref{eq:9.1}
ebenfalls zeichnerisch bestimmt
ist. Damit ist die Behauptung bewiesen. Wir erhalten also
folgende Konstruktionsvorschrift.

\mytheorem{\myso{Um das Bild eines Punktes $P$ zu zeichnen,
dessen Projektion $P_1$ in der Grundebene und dessen
Höhe $PP_1$ über der Grundebene bekannt sind, zeichne
man gemäß §~\ref{section:3} den Bildpunkt $P_1'$ von $P_1$ ziehe durch
$P_1'$ die Gerade $v'$ senkrecht zur Grundlinie, bestimme
auf dem von $P_1$ auf die Grundlinie gefällten Lot $P_1 P_0$
den Punkt $P_2$, so daß $P_0 P_2 = P P_1$ ist, und verbinde
endlich $P_2$ mit dem Augenpunkt $N$, so schneidet diese
Verbindungslinie $n'$ die Gerade $v'$ im Bildpunkt $P'$}.}
%%-----File: 037.png---

Ein Beispiel einfachster Art ist das folgende. Eine quadratische
Säule von gegebener Höhe zu zeichnen, deren Grundfläche
in der Grundebene liegt (Fig.~\ref{fig:29}). Sei $ABCD$ die
untere und $EFGH$ die obere
Fläche unserer Säule; wir wollen
sie so annehmen, daß $AB$
der Achse parallel laufe. Wir
zeichnen dann gemäß §~\ref{section:3} das
Bild $A'B'C'D'$, errichten in
$A'$ eine Vertikale $v'$, fällen
von $A$ das Lot $A A_0$ auf die
Achse, verlängern es um die
gegebene Höhe bis $A_2$, verbinden
$A_2$ mit dem Augenpunkt
$N$, und erhalten im
Schnitt dieser Verbindungslinie
mit $v'$ den Bildpunkt $E'$.
Ebenso kann man die Punkte
$F'$, $G'$ und $H'$ zeichnen. Man
beachte zugleich, daß $E'F'$
und $G'H'$ zur Achse parallel
sind; man kann also $G'$ und $H'$ einfacher als Schnitt dieser
Parallelen mit den in $C'$ und $D'$ errichteten Vertikalen finden\footnote
  {Man kann auch $F'$ selbst so zeichnen; der Genauigkeit halber
  wird man aber auch mit $B' N$ operieren.}.

\begin{wrapfigure}{O}{1.25in}
\includegraphics[width=1.25in]{./images/fig30.pdf}
\caption{}\label{fig:30}
\end{wrapfigure}
\subsubsection{} Enthält die Figur $\Sigma$ Scharen von \myso{parallelen} horizontalen
Geraden, die nicht auf der Bildebene $\beta$ senkrecht stehen,
so liegt es nahe, sie in der gleichen Weise
zu benutzen, wie die Geraden $n$; analog zu
dem, was wir am Schluß von §~\ref{section:2} ausgeführt
haben. In der Tat läßt sich die obige Regel
ohne weiteres auf alle Richtungen verallgemeinern,
\myso{die zur Grundebene parallel}
sind. Man betrachte also jetzt (Fig.~\ref{fig:30}) den Punkt $P$ als
Schnittpunkt einer Geraden $v$ mit einer zur Grundebene parallelen
Geraden $f$; $P_1$ sei wieder der Schnitt von $v$ mit $\gamma$, und
$F_2$ derjenige von $f$ mit $\beta$. Zieht man nun in $\gamma$ durch $P_1$
eine zu $f$ parallele Gerade $f_1$ und nennt ihren Schnitt mit der
Grundlinie $F_0$, so ist $P P_1 F_0 F_2$ wieder ein Rechteck, also
$P P_1 = F_2 F_0$. Alles übrige ergibt sich wie oben. Mithin
ergibt sich folgende Regel (Fig.~\ref{fig:31}).
%%-----File: 038.png---

\mytheorem{\myso{Ist der Fluchtpunkt $F$ einer zur Grundebene parallelen
Geraden $f$ bekannt, so kann man das Bild eines
Punktes $P$, dessen Projektion $P_1$ in der Grundebene
und dessen Höhe $PP_1$ über der
Grundebene bekannt sind, wie
folgt konstruieren. Man zeichne
gemäß §~\ref{section:3} den Bildpunkt $P_1'$ von
$P_1$ ziehe durch $P_1'$ die Gerade $v'$
senkrecht zur Grundlinie und
durch $P_1$ eine zu $f$ parallele Gerade
$f_1$, errichte in ihrem Schnittpunkt
$F_0$ mit der Grundlinie ein
Lot $F_0 F_3$ gleich $P_1 P$, und verbinde
$F_3$ mit dem Fluchtpunkt $F$
von $f$, so schneidet diese Verbindungslinie
die Gerade $v'$ im Bildpunkte $P'$}.}

\subsubsection{} Eine dritte oft brauchbare Regel erhalten wir folgendermaßen.
Sei $e$ eine zweite horizontale Gerade, deren Fluchtpunkt
$E$ bekannt ist, so gilt das vorstehende auch für sie. Die
beiden zu $f$ und $e$ zugehörigen Punkte $F_2$ und $E_2$ liegen daher
auf einer zur Grundlinie parallelen Geraden,
und zwar stellt diese Gerade den
Durchschnitt von $\beta$ mit der Ebene dar,
die durch $P$ parallel zur Grundebene
verläuft. Daraus folgt sofort (Fig.~\ref{fig:32}):
\begin{figure}[hb]%[** TN: Set side by side to improve placement]
\begin{minipage}[b]{1.75in}
\includegraphics[width=1.75in]{./images/fig31.pdf}
\caption{}\label{fig:31}
\end{minipage}
\hfil
\begin{minipage}[b]{1.75in}
\raisebox{0.5in}{\includegraphics[width=1.75in]{./images/fig32.pdf}}
\caption{}\label{fig:32}
\end{minipage}
\end{figure}

\mytheorem{\myso{Kennt man die Spur $d$ einer
zur Grundebene parallelen Ebene $\delta$
mit der Bildebene $\beta$, sowie die
Fluchtpunkte $E$ und $F$ zweier horizontalen Richtungen
$e$ und $f$, so kann man das Bild eines Punktes
$P$ von $\delta$, dessen Projektion $P_1$ in der Grundebene bekannt
ist, folgendermaßen zeichnen. Man ziehe durch
$P_1$ je eine zu $e$ und $f$ parallele Gerade, bestimme ihre
Schnittpunkte $E_0$ und $F_0$ mit der Grundlinie, errichte
in ihnen die Lote $E_0 E_3$ und $F_0 F_9$ bis zum Schnitt mit
der Spur $d$, verbinde $E_2$ mit $E$ und $F_2$ mit $F$, und erhält
im Schnittpunkt dieser Verbindungslinien den
Bildpunkt $P'$}.}

Diesen Satz wird man besonders dann mit Vorteil anwenden,
wenn es sich um die Zeichnung einer in der Ebene $\delta$
enthaltenen Teilfigur von $\Sigma$ handelt. Man sieht leicht, daß
%%-----File: 039.png---
die Art, in der wir die Figur~\ref{fig:26} herstellten, bereits der in ihm
enthaltenen Regel entspricht. Übrigens dienen die verschiedenen
Möglichkeiten, die den Sätzen \ref{thm:9.I},~\ref{thm:9.II},~\ref{thm:9.III} entsprechen, der
stets notwendigen zeichnerischen Überbestimmung.

In dieser Weise wollen wir folgende Aufgaben behandeln.

\setcounter{subsection}{1}
\setcounter{subsubsection}{0}
\subsubsection{} Einen parallelepipedischen Kasten darzustellen, dessen
Grundfläche $ABCD$ in der Grundebene enthalten ist; $A_1 B_1 C_1 D_1$
sei die obere zu $ABCD$ kongruente Fläche. (Figur~\ref{fig:33}.)

\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig33.pdf}
\caption{}\label{fig:33}
\end{figure}

Man nehme die Fluchtpunkte $E$ und $F$ der Geraden
$AB = e$ und $AC = f$ willkürlich an, und zeichne mit ihnen
zunächst wieder das Bild $A'B'C'D'$ von $ABCD$. Dann errichte
man in den Punkten, in denen die Seiten von $ABCD$ die
Grundlinie schneiden, Vertikalen gleicher Länge (die die Kastenhöhe
darstellt), und verbinde ihre Endpunkte mit den Fluchtpunkten
$E$ und $F$, so ergibt sich unmittelbar das Bild der oberen
Fläche $A_1 B_1 C_1 D_1$ des Kastens. Eine Überbestimmung besteht
darin, daß die Kanten $A'A_1'$, $B'B_1'$, $C'C_1'$ und $D'D_1$, vertikal sind.

Wird nun noch innerhalb $ABCD$ das Rechteck $RSTU$ gezeichnet,
so kann man in gleicher Weise das Bild $R_1'S_1'T_1'U_1'$
der oberen Fläche und die von ihm nach unten gehenden
inneren Kanten zeichnen.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig34.pdf}
\caption{}\label{fig:34}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Einen auf der Grundfläche stehenden Tisch zu zeichnen.
Auch hier wird am einfachsten mit den Fluchtpunkten der
Tischkanten operiert; die Ausführung selbst ist aus der Figur
unmittelbar zu entnehmen (Fig.~\ref{fig:34}).

%%-----File: 040.png---

\subsubsection{} Ähnlich zeichnet
man auch einige nebeneinanderstehende
sechseckige
Säulen gegebener
Höhe. Hier können zunächst
die Fluchtpunkte
zweier Sechseckseiten willkürlich
gewählt werden.

Für alle diese Figuren
hat man die in
§~\ref{section:3} angegebenen Bemerkungen
über die Kontrolle der Zeichnung zu beachten.\footnote
  {Die Reihenfolge, in der man die einzelnen Punkte und Geraden
  des Bildes erhält, ist stets Sache des Zeichners, bedarf also, um die
  Zeichnung möglichst zu kürzen, in jedem Fall besonderer Erwägung.}

\section{Herstellung der Bilder aus Grundriß und Aufriß.}

Zur Darstellung weniger einfacher Raumfiguren reichen
die vorstehenden Methoden nicht mehr aus; hierzu bedürfen
wir neuer Hilfsmittel. Zu diesem Zweck müssen wir der Frage
näher treten, wie man überhaupt eine Raumfigur $\Sigma$ durch
zeichnerische Daten, die in der Zeichnungsebene enthalten sind,
in ihrer räumlichen Lage und Gestalt bestimmen kann; denn
andere als zeichnerische Bestimmungsarten kommen für uns
nicht in Frage.

Dies geschieht durch \myso{Grundriß} und \myso{Aufriß}. Ähnlich
wie in der analytischen Geometrie gehen wir von zwei zueinander
senkrechten Koordinatenebenen aus, auf die wir alle
Punkte des Raumes der Lage nach beziehen. Sind $P_1$ und $P_2$
die Projektionen von $P$ in diesen Ebenen (vgl.\ Fig.~\ref{fig:27}, S.~\pageref{fig:27}),
so ist $P$ eindeutig bestimmt, wenn die Lage von $P_1$ und $P_2$
gegeben ist, und zwar als Schnittpunkt der beiden in $P_1$ und
$P_2$ auf diesen Ebenen errichteten Lote. Die Ebenen sollen
\myso{Projektionsebenen} heißen und durch $\pi_1$ und $\pi_2$ bezeichnet
werden. Die eine denken wir uns wieder \myso{horizontal} und
nennen sie \myso{Grundrißebene} oder \myso{erste} Projektionsebene, die
andere, die \myso{vertikal} ist, nennen wir \myso{Aufrißebene} oder \myso{zweite}
Projektionsebene. Ihre Schnittlinie nennen wir wieder \myso{Achse}
und bezeichnen sie durch $a$. Wird jeder Punkt und jede Gerade
einer Raumfigur $\Sigma$ auf diese beiden Ebenen orthogonal
%%-----File: 041.png---
projiziert, so entsteht in der Grundrißebene der \myso{Grundriß}
oder die Grundrißprojektion, in der Aufrißebene der \myso{Aufriß}
oder die Aufrißprojektion. Die Grundebene $\gamma$ und die Bildebene
$\beta$ stellen ein Paar solcher Ebenen dar.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig35.pdf}
\caption{}\label{fig:35}
\end{wrapfigure}

Da Grundriß und Aufriß Parallelprojektionen sind, so
gelten für sie alle Sätze, die wir am Schluß von §~\ref{section:8} für solche
Projektionen abgeleitet haben. \myso{Sie können daher auch
selbst als geometrische Bilder räumlicher Objekte
gelten}, und kommen auch vielmals als solche in Betracht.
Hier soll jedoch wesentlich nur ihre Verwendung für die zeichnerische
Herstellung des perspektivischen Bildes in der Bildebene
$\beta$ erörtert werden.

Wir denken uns dazu in gewohnter Weise die Grundrißebene
um.\ die Achse in die Aufrißebene umgelegt, und leiten zunächst
eine elementare, aber grundlegende Eigenschaft für die
so entstehende Figur ab. Sie beruht darauf,
daß die Ebene der drei Punkte $P P_1 P_2$ auf der
Achse $a$ senkrecht steht; ist also $P_0$ ihr Schnitt
mit $a$, so ist $P P_1 P_0 P_2$ ein Rechteck. Bei der
Umlegung der Grundrißebene bleibt daher $P_0 P_2$
zur Achse senkrecht, und es fallen deshalb
$P_1$, $P_0$, $P_2$ \myso{nach erfolgter Umlegung} in
eine Gerade (Fig.~\ref{fig:35}); d.~h.:

\mytheorem{\myso{Die Verbindungslinie der beiden Projektionen $P_1$
und $P_2$ schneidet die Achse $a$ senkrecht}.}\footnote
  {Diese Verbindungslinie pflegt meist punktiert gezeichnet zu
  werden. Vgl.\ die Anm.~\ref{fn:44}\ auf S.~\pageref{fn:44}.}
%%\ auf S.~44

Liegt $P$ insbesondere in der Grundrißebene, so ist $P$ mit
$P_1$ identisch, während $P_2$ auf $P_0$ fällt; ebenso fällt $P_1$ in $P_0$,
falls $P$ in der Aufrißebene liegt, also mit $P_2$ identisch ist.\footnote
  {Für unsere Zwecke kommen nur solche Raumfiguren $\Sigma$ in Betracht,
  die sich vom Auge aus \myso{hinter} der Bildebene und \myso{über} der
  Grundebene befinden; die Lage von $P_1$ und $P_2$, ist alsdann immer so,
  daß $P_1$ \myso{unter} und $P_2$ \myso{über} der Achse liegt. Läßt man allgemeinere
  Lagen von $\Sigma$ zu, so können auch $P_1$ und $P_2$ andere Lagen in der
  Zeichnungsebene annehmen. Dies bleibt aber hier außer Betracht; für
  die dadurch bedingten Verhältnisse muß ich auf die ausführlicheren
  Lehrbücher verweisen. Dort pflegt man sich den Gegenstand im allgemeinen
  \myso{vor} der Aufrißebene stehend zu denken, nimmt die Grundrißebene
  als Zeichnungsebene und legt die Aufrißebene in die Grundrißebene
  um.\ Alsdann sind diejenigen Teile des Gegenstandes im Aufriß
  stark zu zeichnen, die von der Aufrißebene den größten Abstand haben;
  vgl.\ den Schluß von §~\ref{section:10}.}
%%-----File: 042.png---

In den einfachsten Fällen kann die Herstellung von Grundriß
und Aufriß ohne weiteres ausgeführt werden. Dies zeigen
folgende Beispiele:

\subsubsection{} Grundriß und Aufriß einer quadratischen Pyramide zu
zeichnen, deren Grundfläche in der Grundebene steht. Der
Grundriß besteht (Fig.~\ref{fig:36}) aus dem Quadrat $A_1 B_1 C_1 D_1$ und
seinen sich in $O_1$ schneidenden Diagonalen, die die ersten Projektionen
der Kanten darstellen. Im Aufriß fallen $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$
in die Achse, während die
Spitze $O_2$ auf der durch $O_1$,
gehenden Vertikalen beliebig
angenommen werden kann.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{2.75cm}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig36.pdf}
\caption{}\label{fig:36}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{2.75cm}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig37.pdf}
\caption{}\label{fig:37}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Grundriß und Aufriß
eines regulären Oktaeders so
zu zeichnen (Fig.~\ref{fig:37}), daß eine
Hauptdiagonale auf der Grundrißebene
senkrecht steht. Sei
$ABCDEF$ das Oktaeder und
$AF$ diese Hauptdiagonale.

Wir können das Oktaeder
als eine Doppelpyraramide mit der Grundfläche $BCDE$ und der
Höhe $AF$ betrachten und erkennen sofort, daß der Grundriß
aus dem zu $BCDE$ kongruenten Quadrat $B_1 C_1 D_1 E_1$ und seinen
Diagonalen besteht; im Mittelpunkt des Quadrates fallen $A_1$
und $F_1$ zusammen\DPtypo{}{.} Die Lage von $B_1 C_1 D_1 E_1$ in der Grundebene
wählen wir beliebig.

Um die Aufrißprojektion zu zeichnen, wollen wir zunächst
festsetzen, daß der Punkt $A$ in der Grundebene enthalten ist;
dann fällt $A_2$ auf die Achse $a$. Da die Höhe $AF$ zur Aufrißebene
parallel ist, so ist $A_2 F_2 = AF$; damit ist auch der
Punkt $F_2$ bestimmt. Endlich fallen die Projektionen $B_2$, $C_2$,
$D_2$, $E_2$ sämtlich in eine zur Achse $a$ parallele Gerade, die
$A_2 F_2$ halbiert.\footnote
  {Die von $E$ ausgehenden Kanten sind nicht gezeichnet, sie sind
  unsichtbar. Dies wirkt stärker räumlich als die Figur~\ref{fig:36}.}

\subsubsection{} Ein \myso{Parallelepipedon} beliebiger Stellung in Grundriß
und Aufriß zu zeichnen.

Wir haben zunächst zu überlegen, wie man die räumliche
Lage eines Parallelepipedons überhaupt festlegt. Man kann dazu
einen Punkt $A$ des Raumes und drei von ihm ausgehende
Kanten $AB$, $AC$, $AD$ beliebig annehmen; aus ihnen entsteht
%%-----File: 043.png---
das Parallelepipedon durch bloßes Ziehen von Parallelen. Handelt
es sich also nur darum, \myso{irgendein} Parallelepipedon zu
zeichnen --- und dies soll hier der Fall sein --- so kann man
(Fig.~\ref{fig:38}) die Projektionen $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ und $A_2$,
$B_2$, $C_2$, $D_2$
beliebig wählen (naturgemäß in Übereinstimmung mit Satz~\ref{thm:10.I});
die Projektionen der übrigen Punkte ergeben
sich aus ihnen durch Ziehen der noch
fehlenden Parallelen, wie die Figur es erkennen
läßt.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig38.pdf}
\caption{}\label{fig:38}
\end{wrapfigure}

Um nun aus Grundriß und Aufriß in
der Ebene $\beta$ das Bild $\Sigma'$ einer Raumfigur
$\Sigma$ zu zeichnen, treffen wir zunächst
die naheliegende Festsetzung, daß die \myso{Bildebene
  $\beta$ zugleich als Aufrißebene
  und die Grundebene $\gamma$ als Grundrißebene
  betrachtet werden sollen}. Grundlinie, Horizont
und Distanzpunkte betrachten wir wieder als gegeben. Ferner
genügt es, die Herstellung des Bildpunktes $P'$ für einen
beliebigen
Punkt $P$ zu leisten, und zwar naturgemäß wieder
unter der Voraussetzung, daß wir die Grundrißebene in die
Aufrißebene hineingedreht haben. Die Aufgabe, die zu lösen
ist, ist also die, aus dem in der Zeichnungsebene gegebenen
Grundrißpunkt $P_1$ und dem ebenso gegebenen Aufrißpunkt $P_2$
den Bildpunkt $P'$ zu finden. Hierzu hat man sich aber nur
zu vergegenwärtigen, daß die Lote $PP_1$ und $PP_2$ eine Gerade $v$
und eine Gerade $n$ im Sinne von §~\ref{section:9} darstellen (Fig.~\ref{fig:26}), und
daß die hier benutzten Punkte $P_1$ und $P_2$ mit den dort
eingeführten
identisch sind. Infolgedessen überträgt sich auch die
dort unter~\ref{thm:9.III} gegebene Regel auf den vorliegenden Fall; sie
vereinfacht sich noch dadurch, daß hier der Punkt $P_2$ bereits
bekannt ist. Also folgt (Fig.~\ref{fig:27}).

\mytheorem{\myso{Um aus der Grundrißprojektion $P_1$ und der
  Aufrißprojektion
  $P_2$ eines Punktes $P$ den in der Aufrißebene
  liegenden Bildpunkt $P'$ zu erhalten, zeichne man zunächst
  gemäß §~\ref{section:3} den Bildpunkt $P_1'$ von $P_1$ ziehe durch
  ihn eine Vertikale und verbinde $P_2$ mit dem Augenpunkt
  $N$, so ist der Schnittpunkt beider Geraden der
  Punkt $P'$}.}

Einen zweiten nützlichen Satz erhalten wir, indem wir an
den Satz~\ref{thm:9.V} von §~\ref{section:9} anknüpfen. Er betrifft die Zeichnung einer
Figur $PQ \dotsc$, die in einer zur Grundebene parallelen Ebene $\gamma'$
%%-----File: 044.png---
enthalten ist, und fließt unmittelbar aus der Erwägung, daß
die dort benutzte Spur $d$ der Ebene $\gamma'$ diejenige Gerade ist,
auf der die Aufrißprojektionen $P_2$, $Q_2 \dotsc$ liegen. Sind also
wieder $E$ und $F$ die Fluchtpunkte zweier horizontalen Richtungen
$e$ und $f$, so folgt für die Konstruktion der Bilder solcher
Punkte folgende Regel:

\mytheorem{\myso{Durch die Grundrißprojektionen $P_1$, $Q_1 \dotsc$ der
  Punkte $P$, $Q \dotsc$ lege man je eine Gerade $e$ und $f$, wie
  in §~\ref{section:9}, übertrage deren Schnittpunkte mit der Achse
  $a$ lotrecht auf die Gerade, die die Aufrißprojektionen
  $P_2$, $Q_2 \dotsc$ enthält, und verbinde die so entstehenden
  Punkte mit den Fluchtpunkten $E$ und $F$, so liefern diese
  Geraden in ihren bezüglichen Schnittpunkten die Bildpunkte
  $P'$, $Q' \dotsc$}}

Als Beispiel behandeln wir die Zeichnung einer geraden
Pyramide mit quadratischer Grundfläche und quadratischem
Sockel; die Grundfläche
falle in die Grundrißebene
$\gamma$.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig39.pdf}
\caption{}\label{fig:39}
\end{wrapfigure}

Sei $ABCD$ die
Grundfläche und $EFGH$
die obere Fläche des
Sockels, $UVWZ$ die
untere Fläche der Pyramide
und $O$ ihre Spitze.
Dann besteht der Grundriß
(Fig.~\ref{fig:39}) aus den
beiden ineinander liegenden
Quadraten $A_1B_1C_1D_1$
und $U_1V_1W_1Z_1$,
und den Diagonalen des
inneren, und zwar ist
$A_1B_1C_1D_1$ zugleich die
Grundrißprojektion des
Quadrats $EFGH$. Die
Lage dieser Quadrate in der Grundrißebene haben wir beliebig
gewählt; man beachte aber, daß damit die Stellung der Pyramide
zur Bildebene festgelegt ist. Der Aufriß ergibt sich unmittelbar
auf Grund davon, daß die zweiten Projektionen der
Quadrate in je eine zur Achse $a$ parallele Gerade fallen; die
%%-----File: 045.png---
Höhe des Sockels und der Pyramide haben wir beliebig
angenommen\footnote
  {Sind sie gegeben, so beachte man, daß sie sich in der Aufrißebene
  gemäß §~\ref{section:5} in ihrer natürlichen Größe darstellen.}.

%%* Are refs below to thm:10.I,II or thm:3.I,II?
Um nun das Bild der Pyramide in der Bildebene $\beta$ zu
zeichnen, nehme man den Horizont $h$ und die Fluchtpunkte
$E$ und $F$ der Quadratseiten beliebig an\footnote
  {Erst nachträglich bemerke ich, daß die Buchstaben $E$ und $F$
  doppelt vorkommen. Auch steht die Pyramide wegen Platzmangel der
  Bildebene zu nahe, um einen guten Eindruck hervorzubringen.},
und konstruiere zunächst
das Bild $A'B'C'D'$ der Grundfläche $ABCD$ gemäß §~\ref{section:3}.
Dann zeichne man gemäß dem vorstehenden Satz~\ref{thm:10.II} die Punkte
$E'$, $F'$, $G'$, $H'$ und ebenso die Punkte $U'$, $V'$, $W'$, $Z'$. Den
Punkt $O'$ haben wir jedoch mittels des Augenpunktes $N$ gemäß
Satz~\ref{thm:10.I} konstruiert. Diesen müssen wir aber erst bestimmen.
Wir erhalten ihn z.~B.\ als Fluchtpunkt der Geraden $B_1B_2$,
indem wir also $B_2B'$ mit dem Horizont $h$ zum Schnitt bringen.
Die von ihm ausgehende Gerade $NF_2$ liefert für ihn eine
überbestimmung.\footnote
  {Die Figur würde besser sein, wenn die Pyramide nicht --- aus
  Platzmangel --- der Bildebene zu nahe stände.}

Analog hat man zu verfahren, wenn man das perspektivische
Bild zu den Figuren~\ref{fig:37} und~\ref{fig:38} zeichnen will.\footnote
  {Es empfiehlt sich, die Bilder zu den Figuren~\ref{fig:35} und~\ref{fig:36} selbst
  zu zeichnen.}
Im
Fall des Parallelepipedons kann man die Konstruktion auch dadurch
etwas kürzen, daß man zunächst die Bilder zweier parallelen
Geraden, z.~B.\ diejenigen von $AB$ und $CE$, bestimmt; man
erhält dann ihren Fluchtpunkt und kann ihn für die Zeichnung
der anderen ihnen parallelen Geraden benutzen. Ist z.~B.\ das
Bild $D'$ des Punktes $D$ gefunden, und soll der Bildpunkt $F'$
gezeichnet werden, so hat man nur den Bildpunkt $F_1'$ von $F_1$
gemäß §~\ref{section:3} zu zeichnen, in ihm eine Vertikale zu errichten
und dann den Punkt $D'$ mit dem genannten Fluchtpunkt zu
verbinden, so stellt der Schnitt der Vertikalen mit dieser
Verbindungslinie
den Punkt $F'$ dar.\label{anhanglink:8}\footnote
  {Vgl.\ den Anhang,~\ref{anhang:8}.}

Ich schließe mit einigen zeichnerischen Bemerkungen.

\setcounter{subsection}{1}
\setcounter{subsubsection}{0}
\subsubsection{} Erstens kann man fragen, welche der obigen Zeichnungsvorschriften
in den einzelnen Fällen am besten anzuwenden ist.
Hierauf kann, wie auch sonst in der Kunst, eine allgemeine
Antwort nicht gegeben werden. Jeder wird so zeichnen, wie
%%-----File: 046.png---
es ihm am bequemsten scheint und am geläufigsten ist; auch
wird man zweckmäßig mit überbestimmungen operieren.

\subsubsection{} In den Figuren~\ref{fig:36},~\ref{fig:37} und~\ref{fig:38} sind einige Linien stark,
einige nur gestrichelt oder überhaupt nicht gezeichnet. Die
ersten sollen den Kanten entsprechen, die man sieht, die anderen
denen, die durch die Körper selbst verdeckt sind, vorausgesetzt,
daß man sie als undurchsichtig betrachtet. Dies geschieht, damit
man die räumliche Stellung der dargestellten Gegenstände
möglichst leicht und sicher beurteilen kann. Welche Linien
stark oder gestrichelt zu zeichnen sind, hängt davon ab, wo
sich der Gegenstand $\Sigma$ und das Auge des Beschauers befinden.

Da sich der Punkt $S_0$, für den das in der Aufrißebene
entstehende
perspektivische Bild hergestellt wird, \myso{vor} der Aufrißebene
befindet, und der Gegenstand $\Sigma$ \myso{hinter} der Aufrißebene,
so wird man von $S_0$ aus diejenigen Punkte des Gegenstandes $\Sigma$
sehen können, die der Aufrißebene am \myso{nächsten} liegen; dies
sind diejenigen, deren \myso{Grundrißprojektionen von der
  Achse den kleinsten Abstand haben}.\footnote
  {Man beachte, daß die Figuren durch Hineindrehen der Grundrißebene
  in die Aufrißebene entstehen.}
Sie sollen auch
im Aufriß stark gezeichnet werden. \myso{Alle Teile des
  Gegenstandes,
  die für das perspektivische Bild sichtbar sind,
  sind daher aus dem Aufriß unmittelbar zu entnehmen}.\footnote
  {Da sich der Zeichner ebenfalls vor resp.\ über der Aufrißebene
  befindet, sind dies zugleich diejenigen, die er selbst sieht.}

Dies ist an den einzelnen Figuren leicht zu erkennen.
Beispielsweise ist in Fig.~\ref{fig:38} der Punkt $A$ derjenige, dessen
Grundrißprojektion den kleinsten Wert hat; er liegt deshalb
der Aufrißebene am nächsten, und die von ihm ausgehenden
Kanten $AB$, $AC$, $AD$ nebst den durch sie bestimmten Flächen
sind von $S_0$ aus sichtbar. Sie sind daher stark gezeichnet.
Dagegen ist der Punkt $H$ nebst den von ihm ausgehenden
Kanten durch den Körper verdeckt. Ebenso ist in Fig.~\ref{fig:37} $C$
die Ecke, die man von $S_0$ aus sieht, während $E$ verdeckt
ist.\footnote
  {Um Grundriß und Aufriß als gute körperliche Bilder aufzufassen,
  hat man das Auge auf unendliche Sehweite einzustellen. Vgl.\ %%
%%  S.~59 Anm.~2
  S.~\pageref{fn:59-2}\ Anm.~\ref{fn:59-2}.}

Was den Grundriß betrifft, so zeichnen wir ihn immer so,
daß wir den Gegenstand von \myso{oben} betrachten; es sind also
diejenigen Teile des Gegenstandes sichtbar, die am \myso{weitesten}
von der Grundrißebene entfernt sind, deren Aufrißprojektionen
%%-----File: 047.png---
also den \myso{größten} Abstand von der Achse haben. In Fig.~\ref{fig:38}
sind dies die von dem Punkt $F$ ausgehenden Kanten und die
durch sie bestimmten Flächen.

\section{Punkt, Gerade und Ebene in Grundriß und Aufriß.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig40.pdf}
\caption{}\label{fig:40}
\end{wrapfigure}

Die Eigenschaften von Grundriß und Aufriß, die hier zu
erörtern sind, betreffen wesentlich die in der Zeichnungsebene
vorhandene \myso{Gesamtfigur}, die sich durch Umlegen der einen
Ebene in die andere ergibt. Sie sind dadurch bedingt, daß
Grundriß und Aufriß als Projektionen einer und derselben
Raumfigur $\Sigma$ nicht unabhängig voneinander sind. Sie sind
durchaus elementarer Natur. Nur insofern haftet ihnen eine
gewisse Schwierigkeit an, als man genötigt ist, bald die
tatsächliche
Lage der Figur $\Sigma$ zu den Projektionsebenen, bald die in
der Zeichnungsebene vorhandene Gesamtfigur in Betracht zu
ziehen und miteinander zu vergleichen; vielfach hat man von
der einen zur anderen überzugehen und von den Eigenschaften
der einen auf die der anderen zu schließen. Es ist dringend
zu empfehlen, sich neben dem zeichnerischen Bilde stets auch
die Lage der zugehörigen Figur $\Sigma$ vorzustellen, bis man den
übergang von dem einem zum anderen leicht ausführen kann.

Ich beginne mit \myso{Punkt}, \myso{Gerade} und \myso{Ebene} und ihren
gegenseitigen Beziehungen. Zweierlei kommt hier in Betracht.
Erstens sind die Eigenschaften der einzelnen Figuren zu entwickeln;
zweitens kann es sich darum handeln, Zeichnungen und
Konstruktionen für gegebene geometrische Gebilde herzustellen.

\subsubsection{} \myso{Die Gerade}. Das erste unmittelbar
ersichtliche Resultat lautet, daß zwei \myso{beliebig}
in den Projektionsebenen $\pi_1$ und $\pi_2$ angenommene
Geraden $g_1$ und $g_2$ stets die Projektionen
einer eindeutig bestimmten Raumgeraden
$g$ darstellen (Fig.~\ref{fig:40}). Sie ist Schnittlinie
der beiden Ebenen, die man durch $g_1$
und $g_2$ senkrecht zu $\pi_1$ und $\pi_2$ konstruiert.
Diese beiden Ebenen heißen auch \myso{projizierende
Ebenen} der Geraden $g$; wir werden sie durch $\gamma_1$
und $\gamma_2$ bezeichnen.

\begin{figure}[b]
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.45\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig41.pdf}
\caption{}\label{fig:41}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.4\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig42.pdf}
\caption{}\label{fig:42}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
\end{figure}

Jede Gerade $g$ ist durch zwei Punkte bestimmt; man kann
hierzu insbesondere ihre Schnitte mit den Projektionsebenen
%%-----File: 048.png---
wählen, die wir wieder ihre \myso{Spuren} nennen und jetzt durch
$\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ bezeichnen wollen (Fig.~\ref{fig:41}). Da
$\mathbf{G}_1$ in $\pi_1$ liegt, so
fällt die zweite Projektion von $\mathbf{G}_1$ auf die Achse $a$;
sie möge
$G_{10}$ heißen.\footnote
  {Diese Bezeichnung weicht zwar von dem allgemeinen Schema
  etwas ab, sie wird aber nur an dieser Stelle vorübergehend
  benutzt.}
Ebenso fällt die erste Projektion
von $\mathbf{G}_2$ auf die Achse (Fig.~\ref{fig:42}); sie heiße
$G_{20}$. Daher sind
$\mathbf{G}_1 G_{20}$ und $\mathbf{G}_2 G_{10}$
die Projektionen der
Geraden.

Hieraus ergibt
sich unmittelbar die
Lösung der Aufgabe,
die Spuren
einer gegebenen Geraden zu zeichnen, deren Projektionen $g_1$
und $g_2$ gegeben sind. Man hat nur ihre Schnittpunkte mit
der Achse zu konstruieren und in ihnen die Lote zu errichten;
sie schneiden $g_1$ und $g_2$ in den Spurpunkten.

Wir betrachten endlich die Projektionen einiger Geraden
ausgezeichneter Lage. Man erkennt unmittelbar die Richtigkeit
folgender Tatsachen:

Ist $g$ zur Achse parallel, so sind auch $g_1$ und $g_2$ zur Achse
parallel.

Ist $g$ zur Grundrißebene $\pi_1$ parallel, so ist $g_1$ zu $g$
parallel,
während $g_2$ zur Achse parallel ist; analog ist es, wenn $g$ zu $\pi_2$
parallel ist.

Die Grundrißprojektion einer Vertikalen $v$ reduziert sich
auf einen Punkt, nämlich auf ihre Spur in $\pi_1$, während $v_2$ zur
Achse senkrecht ist. Analog steht die erste Projektion einer
auf $\pi_2$ senkrechten Geraden $n$ auf der Achse senkrecht, während
sich $n_2$ auf die Spur von $n$ in $\pi_2$ reduziert.

\subsubsection{} \myso{Die Ebene}. Eine Ebene kann entweder als begrenztes
Flächenstück oder aber als unbegrenztes Raumgebilde in Frage
kommen. Im ersten Fall sind die Projektionen des Flächenstücks
durch die Projektionen seiner Begrenzung unmittelbar
gegeben.

\begin{figure}[h]
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.45\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig43.pdf}
\caption{}\label{fig:43}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.4\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig44.pdf}
\caption{}\label{fig:44}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
\end{figure}

Um im zweiten Fall die Ebene $\varepsilon$ zeichnerisch zu bestimmen,
genügt es, ihre Schnittlinien mit den Projektionsebenen
zu kennen (Fig.~\ref{fig:43} und~\ref{fig:44}). Wir nennen sie ihre \myso{Spuren}
%%-----File: 049.png---
und bezeichnen sie durch $\mathbf{E}_1$ und $\mathbf{E}_2$\footnote
  {\label{fn:44}Diese Spuren pflegt man vielfach so zu zeichnen, wie es oben
  geschehen ist, nämlich aus Strichen und Punkten. Es ist ein Haupterfordernis
  einer guten Figur, daß man aus der Art, in der die einzelnen
  Linien gezeichnet sind, ihre Bedeutung und damit die Gestalt der bezüglichen
  Raumfigur leicht zu entnehmen vermag. Ich habe deshalb die
  früher ziemlich allgemein gebräuchliche Zeichnungsart benutzt.}.
Es ist klar, daß sie
sich auf der Achse schneiden, und zwar in dem Punkt, der zugleich
Schnittpunkt der
drei Ebenen $\pi_1$, $\pi_2$, und $\varepsilon$
ist. Wir bezeichnen ihn
durch $E_0$. Auch ist ersichtlich,
daß zwei beliebige,
sich auf der Achse
schneidende Geraden $\mathbf{E}_1$
und $\mathbf{E}_2$ stets Spuren einer
eindeutig durch sie bestimmten
Ebene sind.

Als ausgezeichnete Lagen einer Ebene haben wir solche zu betrachten,
die zu einer \myso{Projektionsebene oder zur Achse parallel}
oder \myso{senkrecht} liegen; über sie ergibt sich leicht das Folgende:

Ist die Ebene $\varepsilon$ zur Grundrißebene $\gamma$ parallel, so verschwindet
$\mathbf{E}_1$ ins Unendliche, und $\mathbf{E}_2$ ist zur Achse $a$ parallel.
Analog ist es, wenn $\varepsilon$ zur Ebene $\beta$ parallel ist.

Steht $\varepsilon$ auf der Grundrißebene senkrecht, so ist $\mathbf{E}_2$ auf der
Achse senkrecht, und die Gerade $\mathbf{E}_1$ liefert mit der Achse den
Neigungswinkel von $\varepsilon$ und $\beta$ (Fig.~\ref{fig:45} und~\ref{fig:46}).

\begin{figure}[h]
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.425\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig45.pdf}
\caption{}\label{fig:45}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.425\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig46.pdf}
\caption{}\label{fig:46}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
\end{figure}

Ist $\varepsilon$ zur Aufrißebene senkrecht, so ist $\mathbf{E}_1$
auf $a$ senkrecht, während
$\mathbf{E}_2$ mit $a$ den Neigungswinkel
von $\varepsilon$ und $\beta$ bestimmt.

Steht $\varepsilon$ auf der Achse $a$
senkrecht, so sind $\mathbf{E}_1$ und
$\mathbf{E}_2$ auf $a$ senkrecht, beide
Schnittlinien liegen also
in einer Geraden.

Ist endlich $\varepsilon$ zur Achse parallel, so sind auch $\mathbf{E}_1$ und $\mathbf{E}_2$
zur Achse $a$ parallel.

\subsubsection{} \myso{Punkt und Gerade}. Liegt ein Punkt $P$ auf der Geraden
$g$, so liegt die Projektion $P_1$ auf $g_1$ und ebenso $P_2$ auf $g_2$
was der Vollständigkeit halber erwähnt werden möge.

%%-----File: 050.png---

Wird $P_1$ auf $g_1$, aber $P_2$ nicht auf $g_2$ angenommen, so
heißt dies nur, daß $P$ in der projizierenden Ebene $\gamma_1$ enthalten
ist, die durch $g_1$ geht und auf der ersten Projektionsebene $\pi_1$
senkrecht steht (Fig.~\ref{fig:40}). Analog ist es, wenn $P_2$ auf $g_2$, aber
$P_1$ nicht auf $g_1$ liegt.

\begin{figure}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.425\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig47.pdf}
\caption{}\label{fig:47}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.425\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig48.pdf}
\caption{}\label{fig:48}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
\end{figure}

\subsubsection{} \myso{Zwei sich schneidende Geraden}. Ist $P$ Schnittpunkt
zweier Geraden $g$ und $f$, so müssen sich (Fig.~\ref{fig:47}) die
ersten Projektionen $g_1$ und $f_1$ in $P_1$ schneiden, ebenso $g_2$ und $f_2$
in $P_2$. \myso{Die Verbindungslinie der Schnittpunkte $(g_1, f_1)$
und $(g_2, f_2)$ kreuzt daher die Achse
senkrecht}. Hierauf ist Bedacht zu
nehmen, wenn die Projektionen zweier
sich schneidender Geraden gezeichnet werden
sollen. Beispielsweise können $g_1, f_1$
und $g_2$ beliebig gewählt werden; damit
ist $P_1 = (g_1, f_1)$ bestimmt, also auch der
Punkt $P_2$ auf $g_2$ und durch ihn kann $f_2$
noch beliebig gezeichnet werden\footnote
  {Sind $g$ und $f$ windschief, so ist der Schnittpunkt $(g_1, f_1)$ die erste
  Projektion desjenigen Punktes, in dem $f$ die projizierende Ebene $\gamma_1$ kreuzt.
  Die analoge Bedeutung hat der Punkt $(g_2, f_2)$.}.

Ein besonderer Fall ist der, daß die
beiden Geraden in eine Ebene fallen, die
auf einer Projektionsebene senkrecht steht. Ist dies z.~B.\ die
Grundrißebene, \myso{so sind $g_1$ und $f_1$ identisch}. Die Projektionen
$g_2$ und $f_2$ liefern dann in ihrem Schnittpunkt ($g_2$, $f_2$)
die Projektion $P_2$, woraus sich weiter $P_1$
auf $g_1 = f_1$ ergibt.

Sei endlich $\varepsilon$ die durch $g$ und $f$ bestimmte
Ebene. Ein sie darstellendes
Flächenstück (Viereck) ergibt sich unmittelbar,
indem man auf $g$ und $f$ die
Punkte $G'$, $G''$ und $F'$, $F''$ beliebig annimmt.
Um ferner die Spur von $\varepsilon$ zu
zeichnen, beachte man, daß wenn eine Gerade
$g$ in einer Ebene $\varepsilon$ liegt, die Spuren
von $g$ auf den Spuren von $\varepsilon$ (Fig.~\ref{fig:48}) liegen.

Man erhält daher in den Geraden $F_1 G_1$ und $F_2 G_2$ die gesuchten
Spuren $\mathbf{E}_1$ und $\mathbf{E}_2$.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig49.pdf}
\caption{}\label{fig:49}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} \myso{Zwei sich schneidende Ebenen}. Schneiden sich
%%-----File: 051.png---
die Ebenen $\varepsilon$ und $\delta$ in der Geraden $g$, so sind (Fig.~\ref{fig:49}) die
Spuren $\mathbf{G}_1$ und $\mathbf{G}_2$ von $g$ mit den Punkten identisch, in denen
die Spuren $\mathbf{E}_1$, $\mathbf{D}_1$ und die Spuren $\mathbf{E}_2$, $\mathbf{D}_2$ einander schneiden.
Sind also $\varepsilon$ und $\delta$ durch ihre Spuren
gegeben, so können die Projektionen ihrer
Schnittlinie $g$ gemäß §~\ref{section:8} unmittelbar gezeichnet
werden. Man hat von den Schnittpunkten
($\mathbf{E}_1$, $\mathbf{D}_1$) und ($\mathbf{E}_2$, $\mathbf{D}_2$) die Lote auf
die Achse zu fällen und deren Fußpunkte
mit den Spuren zu verbinden.

\subsubsection{} \myso{Eine Gerade in einer Ebene}.
Um die Projektionen einer Geraden $g$ zu
zeichnen, die in einer Ebene $\varepsilon$ liegt, kann
eine dieser beiden Projektionen beliebig
angenommen werden; die andere ist bestimmt. Wird nämlich
$g_1$ beliebig gewählt, so wird damit festgesetzt, daß $g$ in
der durch $g_1$ gehenden projizierenden Ebene $\gamma_1$ liegt (Fig.~\ref{fig:40}),
also Schnitt von $\gamma_1$ und $\varepsilon$ ist. Durch $g_1$ ist also $g$ und damit
auch $g_2$ bestimmt. Analog ist es, wenn man $g_2$ beliebig
wählt.

\begin{figure}[hb]
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.425\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig50.pdf}
\caption{}\label{fig:50}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.425\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig51.pdf}
\caption{}\label{fig:51}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
\end{figure}

Um die zweite Projektion $g_2$ zu zeichnen, haben wir wieder
zu unterscheiden, ob die Ebene $\varepsilon$ durch ihre Spuren oder als
begrenztes Flächenstück gegeben ist. Im ersten Fall kann man
folgendermaßen verfahren (Fig.~\ref{fig:50}). Da, wie oben erwähnt, die
Spuren von $g$ auf den
Spuren von $\varepsilon$ liegen,
erhält man im Schnitt
von $g_1$ mit $\mathbf{E}_1$ die
Spur $\mathbf{G}_1$ von $g$; errichtet
man dann im
Schnitt von $g_1$ mit
der Achse das Lot,
so erhält man in seinem
Schnitt mit der
Spur $\mathbf{E}_2$ die Spur $\mathbf{G}_2$
von $g$ und damit
auch $g_2$. Wenn dagegen die Ebene als begrenztes Flächenstück
$\Phi$ gegeben ist, und $\Phi_1$ und $\Phi_2$ dessen Projektionen sind,
so zeichne man wieder (Fig.~\ref{fig:51}) $g_1$ in $\pi_1$ beliebig, und hat sofort
in den Schnittpunkten $A_1$ und $B_1$ von $g_1$ mit $\Phi_1$ die ersten
Projektionen der Schnittpunkte von $g$ mit $\Phi$ und daraus in
%%-----File: 052.png---
bekannter Weise die zweiten Projektionen, also auch die Gerade
$g_2$.\footnote
  {Mittels des obenerwähnten Satzes löst man auch leicht die
  Aufgabe, die Spuren einer Ebene zu zeichnen, die durch drei Punkte $A$,
  $B$, $C$ geht, wenn die Projektionen dieser Punkte gegeben sind. Mit den
  Projektionen von $A$, $B$, $C$ sind nämlich auch die Projektionen ihrer
  Verbindungelinien gegeben, man braucht also nur deren Spuren in
  $\pi_1$ und in $\pi_2$ zu konstruieren und zu verbinden, um die Spuren der
  Ebene zu erhalten. Übrigens genügt es, die Spuren von zwei Geraden
  zu konstruieren. Der Kontrolle wegen wird man es aber auch für die
  dritte tun.

  Ähnlich konstruiert man auch die Spuren einer durch eine Gerade
  und einen Punkt bestimmten Ebene.}

\subsubsection{} \myso{Ein Punkt in einer Ebene}. Soll ein in einer Ebene $\varepsilon$
liegender Punkt gezeichnet werden, so kann wieder eine Projektion
beliebig angenommen werden; es sei $P_1$. Um $P_2$ zu
zeichnen, benutzt man am besten eine in $\varepsilon$
liegende Gerade $g$, die durch $P$ geht. Man
nehme also (Fig.~\ref{fig:52}) die Projektion $g_1$ so an,
daß sie durch $P_1$ geht, konstruiere gemäß~\ref{subsub:11..6}.\
die Projektion $g_2$ und erhält auf ihr gemäß~\ref{subsub:11..3}.\
die Projektion $P_2$.\footnote
  {Die Figur betrifft nur den Fall eines Flachenstücks $\Phi$.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig52.pdf}
\caption{}\label{fig:52}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} \myso{Kreuzungspunkt einer Geraden
mit einer Ebene}. Die Bestimmung des
Kreuzungspunktes $K$ einer gegebenen Geraden
$g$ mit einer gegebenen Ebene $\varepsilon$ ist die
\myso{wichtigste Aufgabe}, die hier zu erörtern ist. Wir lösen
sie, indem wir sie auf die Aufgabe~\ref{subsub:11..4}.\ zurückführen, also eine
zweite durch den Punkt $K$ gehende Gerade zu Hilfe nehmen.
Wir wählen dazu am besten die Schnittlinie $f$ von $\varepsilon$ mit der
projizierenden Ebene $\gamma_1$; die auf $\pi_1$ längs $g_1$ senkrecht steht.
Für sie ist gemäß~\ref{subsub:11..4}.\ $f_1 = g_1$; es handelt sich also nur noch
darum, die zweiten Projektionen dieser Geraden $f$ zu konstruieren.

Wir betrachten zunächst den Fall, daß $\varepsilon$ als begrenztes
Flächenstück $\Phi$ gegeben ist. Da $f_1 = g_1$ ist, hat man in den
Schnittpunkten von $g_1$ mit $\Phi_1$ zugleich die ersten Projektionen
der Schnittpunkte von $f$ mit $\Phi$, und da ihre zweiten Projektionen
auf $\Phi_2$ liegen, so ist damit auch $f_2$ zeichnerisch bestimmt.

Ist z.~B.\ $\Phi$ ein Parallelogramm $ABCD$, so hat man (Fig.~\ref{fig:53})
die Schnittpunkte $P_1$ und $Q_1$ von $g_1$ mit $A_1 B_1 C_1 D_1$ zu zeichnen,
%%-----File: 053.png---
sodann auf $A_2B_2C_2D_2$ die zweiten Projektionen $P_2$ und $Q_2$,
und dann den Schnittpunkt $K_2$ von $g_2$ mit $P_2Q_2 = f_2$. Aus
ihm erhält man endlich
gemäß~\ref{subsub:11..3}.\ auch
den Punkt $K_1$ auf $g_1$.

\begin{figure}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.425\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig53.pdf}
\caption{}\label{fig:53}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[b]{0.425\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig54.pdf}
\caption{}\label{fig:54}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
\end{figure}

Ist dagegen die
Ebene $\varepsilon$ durch ihre
Spuren gegeben, so
konstruiere man
(Fig.~\ref{fig:54}) zunächst die
Spuren von $\gamma_1$; ihre
erste Spur $\mathbf{C}_1$ ist gemäß
\ref{subsub:11..4}.\ ebenfalls mit
$g_1$ identisch, ihre
zweite $\mathbf{C}_2$ ist zur Achse $a$ senkrecht. Die Projektion $f_2$ ergibt
sich nunmehr gemäß~\ref{subsub:11..5}., indem man $f$ als Schnitt von $\varepsilon$ und $\gamma_1$
ansieht; es ist also $\mathbf{F}_1 = (\mathbf{C}_1, \mathbf{E}_1)$ und $\mathbf{F}_2 = (\mathbf{C}_2, \mathbf{E}_2)$.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig55.pdf}
\caption{}\label{fig:55}
\end{wrapfigure}

Übrigens wird man es meist nur mit dem ersten Fall zu tun
haben. Um z.~B.\ ein Parallelepipedon zu zeichnen, das von einer
Geraden gekreuzt wird, können wir
folgenderma{\ss}en verfahren. Die beiden
Flächen, in denen die Kreuzung erfolgen
soll, wählen wir beliebig aus,
es seien (Fig.~\ref{fig:55}) $ABCE$ und $ABDF$.
Wir zeichnen dann am einfachsten in
$A_1B_1D_1F_1$ irgendeine Gerade, z.~B.\ die
Diagonale $B_1D_1$, nehmen auf ihr $K_1$
beliebig an und zeichnen $K_2$ auf $B_2D_2$.
Ebenso verfährt man mit den Projektionen
$A_1B_1C_1E_1$ und $A_2B_2C_2E_2$. Damit hat man auch $g_1$
und $g_2$ als Verbindungslinien der Kreuzungspunkte.

\section{Metrische Verhältnisse im Grundriß und Aufri\ss.}

Die Aufgaben, die hier zu erörtern sind, betreffen hauptsächlich
die zeichnerische Darstellung von Strecken und Winkeln
\myso{gegebener} Grö{\ss}e.

In den einfachsten Fällen kommen wir ohne Kenntnis besonderer
Methoden zum Ziel, wie das folgende Beispiel zeigt:

Grundriß und Aufriß eines Würfels von gegebener
%%-----File: 054.png---
Kantenlänge herzustellen, wenn eine Hauptdiagonale auf der Grundebene
$\pi_1$ senkrecht steht.

\begin{wrapfigure}{O}{1in}
\includegraphics[width=1in]{./images/fig56.pdf}
\caption{}\label{fig:56}
\end{wrapfigure}

Die eine Ecke $A$ des Würfels denken wir uns der Einfachheit
halber in der Grundebene liegend; die zur Grundebene
senkrechte Hauptdiagonale sei $AH$. Sind dann $AB$, $AC$, $AD$,
$HE$, $HF$, $HG$ die von $A$ und $H$ ausgehenden Würfelkanten,
so bilden die Punkte $B$, $C$, $D$ und $E$, $F$, $G$ je ein
gleichseitiges Dreieck; die Ebenen dieser Dreiecke
liegen zur Grundebene parallel und teilen die Hauptdiagonale
in drei gleiche Teile. Daraus folgt, daß
die Kante $s$ des Würfels, die Flächendiagonale $d$
und die Hauptdiagonale $h$ in der Weise ein rechtwinkliges
Dreieck $ABH$ bilden (Fig.~\ref{fig:56}), daß der
Höhenfußpunkt $U$ die Hypotenuse im Verhältnis $1 \colon 2$ teilt. Damit
ist $h$ zeichnerisch bestimmt.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig57.pdf}
\caption{}\label{fig:57}
\end{wrapfigure}

Wir zeichnen nun zunächst den \myso{Grundriß} (Fig.~\ref{fig:57}). Aus
der Symmetrie des Würfels folgt, daß alle Kanten gegen die
die Diagonale $AH$ und damit auch gegen die
Grundrißebene gleich geneigt sind.\footnote
  {Dies folgt zunächst für die Kanten durch $A$ und $H$, und damit
  auch für die andern, die diesen parallel sind.}
Der Grundriß
besteht daher aus den Seiten und Diagonalen
eines regelmäßigen Sechsecks, dessen Ecken die
Projektionen der Punkte $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ sind,
während die Projektionen $A_1$ und $H_1$ in seinen
Mittelpunkt fallen. Überdies stellt in Fig.~\ref{fig:56}
offenbar $BU$ die Länge der Grundrißprojektion
von $AB$ und zugleich den Radius des dem Sechseck
umgeschriebenen Kreises dar. Damit ist,
so lange die Stellung des Würfels zur Aufrißebene
beliebig bleibt, was hier geschehen soll,
der Grundriß bestimmt.

Für den \myso{Aufriß} erhalten wir zunächst den Punkt $H_2$,
indem wir $A_2 H_2 = AH$ machen. Wir haben dann nur noch
$A_2 H_2$ in drei gleiche Teile zu teilen, durch die Teilpunkte
Parallelen zur Achse zu ziehen und zu beachten, daß die Projektionen
$B_2$, $C_2$, $D_2$ auf der unteren und $E_2$, $F_2$, $G_2$ auf der
oberen Parallele liegen; endlich sind noch die Verbindungslinien
zu zeichnen, die den Kanten entsprechen.

Um andere Aufgaben in einfacher Weise zu behandeln, bedürfen
wir neuer methodischer Hilfsmittel. Ein erstes bildet das
%%-----File: 055.png---
\myso{Verfahren der Umlegung}. Es besteht darin, eine Ebene $\varepsilon$
um ihren Schnitt mit einer Projektionsebene so lange zu
drehen, bis sie in die Projektionsebene hineinfällt. Alle in $\varepsilon$
vorhandenen Figuren fallen dann in ihrer natürlichen Größe
in die Projektionsebene. \myso{Ist also die durch Umlegung
entstehende Figur zeichnerisch bestimmbar, so sind
damit auch die in der Ebene $\varepsilon$ vorhandenen Strecken
und Winkel bekannt und umgekehrt}.\footnote
  {Dies Verfahren ist nichts anderes als eine Anwendung der allgemeinen
  Methode, alle Ebenen in die Zeichnungsebene hineinzudrehen.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig58.pdf}
\caption{}\label{fig:58}
\end{wrapfigure}

Dies Verfahren kommt besonders für zwei Aufgaben in
Betracht. Diese sind:

\subsubsection{} die Neigungswinkel einer durch ihre Spuren gegebenen
Ebene $\varepsilon$ gegen die Projektionsebenen zu bestimmen, und umgekehrt
die zweite Spur einer Ebene zu zeichnen, deren Neigung
gegen eine Projektionsebene gegeben ist, und

\subsubsection{} für ein gegebenes Dreieck $ABC$, dessen Grundlinie $BC$
in eine Projektionsebene fällt, Grundriß und Aufriß herzustellen,
wenn seine Neigung gegen die Projektionsebene bekannt ist.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig59.pdf}
\caption{}\label{fig:59}
\end{wrapfigure}

Es genüge, beidemal die Grundrißebene
$\pi_1$ ins Auge zu fassen. Seien wieder
(Fig.~\ref{fig:58}) $\mathbf{E}_1$, und $\mathbf{E}_2$ die Spuren der Ebene $\varepsilon$.
Wir nehmen irgendeine Ebene $\delta$ an, die
auf der Spur $\mathbf{E}_1$ senkrecht steht; sie schneidet
die Ebenen $\pi_1$, $\pi_2$ und $\varepsilon$ in einem rechtwinkligen
Dreieck $E_2 E_1 D_0$, in dem der
Winkel $E_1$ der gesuchte Neigungswinkel ist.
Da die Seiten $E_1 D_0$ und $E_2 D_0$ bekannt sind, so ist das Dreieck
zeichnerisch bestimmt. Dieses Dreieck denken wir uns nun
in die Ebene $\pi_1$ umgelegt, so daß es in die
Lage $E_1 D_0 E'$ komme, alsdann können wir
aus ihm den Neigungswinkel entnehmen.
In der Zeichnungsebene konstruiert man also
so, daß man (Fig.~\ref{fig:59}) irgendeine Gerade $E_1 D_0$
senkrecht zur Spur $\mathbf{E}_1$ legt, in $D_0$ die Vertikale
$D_0 E_3$ errichtet, und nun das Dreieck
$E_1 D_0 E'$ so zeichnet, daß $D_0 E' = D_0 E_2$ ist.

Ist umgekehrt die Spur $\mathbf{E}_1$ und der
Neigungswinkel $\alpha$ von $\varepsilon$ gegen $\pi_1$ gegeben,
und $\mathbf{E}_2$ zu finden, so entnimmt man dem durch
$E_1 D_0$ und $\alpha$ bestimmten Dreieck $E_1 D_0 E'$ die Länge der
%%-----File: 056.png---
Seite $D_0 E'$, macht $D_0 E_2 = D_0 E'$, und hat damit die Spur $\mathbf{E}_2$,
von $\varepsilon$ in $\pi_2$.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig60.pdf}
\caption{}\label{fig:60}
\end{wrapfigure}

Auch die zweite Aufgabe behandeln wir so, daß wir die
Grundrißebene als Projektionsebene wählen. Sei $AD$ die Höhe
des Dreiecks, und $w$ das in der
Grundrißebene $\pi_1$ auf $BC$ in $D$
errichtete Lot (Fig.~\ref{fig:60}), so enthält
die durch $AD$ und $w$ bestimmte
Ebene $\delta$ wieder den Neigungswinkel.
Wird nun $ABC$ um
$BC$ in die Ebene $\pi_1$ umgelegt, so beschreibt $A$ einen Kreis in
der Ebene $\delta$ und fällt deshalb in einen Punkt $A'$ der Geraden
$w$. Andererseits liegt auch die Projektion $A_1$ auf $w$.
Dies soll zunächst als Satz ausgesprochen werden:

\mytheorem{\myso{Wird ein Dreieck $ABC$, dessen Grundlinie $BC$
in eine Projektionsebene $\pi_1$ fällt, um $BC$ in die Projektionsebene
umgelegt, und gelangt dabei $A$ in den
Punkt $A'$, so liegt die Projektion $A_1$ von $A$ auf dem
Lot, das von $A'$ auf die Grundlinie $BC$ gefällt wird}.}

%[** TN: Moved up one paragraph]
\begin{wrapfigure}{O}{1.5in}
\includegraphics[width=1.5in]{./images/fig61.pdf}
\caption{}\label{fig:61}
\end{wrapfigure}
In dem rechtwinkligen Dreieck $ADA_1$ ist $AD$ und der
Winkel $D$ bekannt, es ist also zeichnerisch bestimmt. Zugleich
gibt $AA_1$ die Länge der Aufrißprojektion des Punktes $A$. Benutzen
wir nun die Umlegungsmethode noch einmal in der Weise, daß
wir das Dreieck $ADA_1$ um $DA_1$ in die Ebene $\pi_1$ umlegen, und
ist $A'' DA_1$ seine neue Lage, so entnehmen wir ihm unmittelbar
den Punkt $A_1$; zugleich liefert uns $A'' A_1$, wie eben erwähnt,
die Länge der zweiten Projektion $A_2 A_0$ des Punktes $A$. Damit
ist die Aufgabe erledigt.

Die Ausführung der Zeichnung gestaltet sich folgendermaßen
(Fig.~\ref{fig:61}): Man konstruiere $A_1 B_1 C_1 \cong ABC$, fälle das Lot
$A' D_1$, konstruiere das Dreieck $A_1 D_1 A''$ so, daß
$D_1 A'' = D_1 A'$ und $D_1$ der gegebene Winkel ist,
und zeichne zu $A_1$ die zweite Projektion $A_2$ in
der Weise, daß $A_2 A_0 = A'' A_1$ ist.

Es ist klar, daß man das vorstehende Verfahren
auch benutzen kann, um den Neigungswinkel
des Dreiecks $ABC$ gegen die Grundrißebene
zu ermitteln, wenn seine Projektionen
gegeben sind. Man hat nur in umgekehrter
Reihenfolge vorzugehen. Ich gehe jedoch hierauf
nicht näher ein, weil in dieser Schrift
%%-----File: 057.png---
immer die \myso{Herstellung der Zeichnungen} in erster Linie in
Frage kommt.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig62.pdf}
\caption{}\label{fig:62}
\end{wrapfigure}

\setcounter{subsection}{1}
\setcounter{subsubsection}{0}
Beispiel \subsubsection{} Einen Kasten mit rechtwinkliger Grundfläche
zu zeichnen, dessen Dachflächen unter gleichen Winkeln gegen
die Wände geneigt sind. Die Grundfläche
$ABCD$ befinde sich in der Grundebene,
$EFGH$ sei die obere Rechteckfläche und
$ST$ die Dachkante. (Fig.~\ref{fig:62}).

Man kann so verfahren, daß man je
eine Ebene zu Hilfe nimmt, die auf der
Grundfläche und auf zwei parallelen Seiten
des Rechtecks $ABCD$ senkrecht steht, und
sie in die Grundebene umlegt; zunächst
eine für die grö{\ss}eren Seiten $AD$ und $BC$.
Der Durchschnitt ist zeichnerisch bestimmt;
sein höchster Punkt $U$ ist ein Punkt der
Dachkante $ST$.\footnote
  {Um den Grundriß nicht zu stören, ist die Ebene durch $AB$
  selbst gelegt worden.}
Mittels der Umlegung
dieser Ebene ergeben sich also die Projektionen
$U_1$ und $U_2$; übrigens genügt es den Teil des Durchschnitts
zu zeichnen, der dem Dach angehört und durch $A_1B_1U'$ dargestellt
ist. Dann benutzt man zweitens eine Ebene, die durch den
Punkt $U$ geht, und auf den Seiten $AC$ und $BD$ senkrecht
steht. Ihre Durchschnittsfigur ist jetzt ebenfalls zeichnerisch
bestimmt; durch ihre Umlegung ergeben sich also auch die
Projektionen $S_2$ und $T_2$. Auch hier genügt es den Teil umzulegen,
der dem Dach selbst angehört.

\subsubsection{} Grundriß und Aufriß eines regulären Dodekaeders zu
zeichnen, von dem eine Fläche $ABCDE$ in die Grundebene
fällt (Fig.~\ref{fig:63} u.~\ref{fig:64}).

Folgende Eigenschaften, die die Gestalt des Dodekaeders
betreffen, kommen hier in Betracht, Seine 20 Ecken verteilen
sich auf vier zur Grundebene parallele Ebenen, so daß sie in
jeder ein regelmä{\ss}iges Fünfeck bilden. Diese Fünfecke seien
der Reihe nach $ABCDE$, $A'B'C'D'E'$, $A''B''C''D''E''$,
$A'''B'''C'''D'''E'''$. Von ihnen sind das erste und vierte kongruent,
und ebenso das zweite und dritte. Sie liegen so zueinander,
daß ihre Grundri{\ss}projektionen zwei regelmä{\ss}ige Zehnecke
bilden.

%%-----File: 058.png---

\begin{figure}[h]
  \begin{minipage}[t]{.4\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{./images/fig63.pdf}
\caption{}\label{fig:63}
    \end{center}
  \end{minipage}\hfill
  \begin{minipage}[t]{.4\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{./images/fig64.pdf}
\caption{}\label{fig:64}
    \end{center}
  \end{minipage}
\end{figure}

Um den Grundriß herzustellen, kann man die Lage der
Grundfläche $ABCDE$, also auch das Zehneck, dem seine Ecken
angehören, beliebig annehmen; das von den Projektionen der
beiden anderen Fünfecke gebildete Zehneck ist jedoch zu konstruieren.
Ist $BB'$ die von $B$ ausgehende Kante des Dodekaeders,
so muß ihre Grundri{\ss}projektion aus Symmetriegründen
in die Gerade fallen, die mit $AB$ und $BC$ gleiche Winkel
bildet; auf dieser Geraden liegt also der Punkt $B'$. Denkt man
sich nun die an $BC$ ansto{\ss}ende Fläche in die Grundri{\ss}ebene
umgelegt, so fällt $B'$ auf $A$; gemäß~\ref{thm:12.I}.\ liegt daher $B'_1$ auch auf
dem Lot, das man von $A_1$ auf $B_1C_1$ fallen kann. Damit ist $B'_1$
bestimmt, also auch das zweite Zehneck. Man zieht noch diejenigen
Verbindungslinien, die den Kanten des Dodekaeders entsprechen.

Im Aufriß fallen die Projektionen von $ABCDE$ in die
Achse, und die Projektionen der drei anderen Fünfecke in je
eine Gerade, die zur Achse parallel ist. Der Aufriß ist daher
bestimmt, sobald wir je einen Punkt dieser drei Parallelen
kennen. Ihre Konstruktion hängt davon ab, welche Lage zur
Achse wir dem Fünfeck $ABCDE$ in der Grundfläche geben.
Am einfachsten ist es, eine Seite des Fünfecks senkrecht zur
Achse zu wählen. Ist dies $AB$, so ist die Kante $DD'$ der
Aufri{\ss}ebene parallel, und das gleiche gilt für die durch $D''$
%%-----File: 059.png---
gebende Mittellinie des an $AB$ angrenzenden Fünfecks; ihre
Aufri{\ss}projektionen sind ihnen daher gleich. Damit sind die
Projektionen $D'_2$ und $D''_2$ zeichnerisch bestimmt, also auch die
beiden Parallelen, auf denen sie liegen. Die oberste Parallele
erhält man am einfachsten durch die Erwägung, daß die
Kanten $D''D'''$ und $DD'$ einander parallel sind; daher sind
es auch ihre Projektionen. Damit ist auch $D'''_2$ bestimmt. Man
hat nun noch die Projektionen aller Ecken des Dodekaeders,
sowie diejenigen Verbindungslinien zu zeichnen, die Kanten
entsprechen.

\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig65.pdf}
\caption{}\label{fig:65}
\end{figure}

Die so gezeichnete Figur hat allerdings den Mangel, daß sich
einige Dodekaederflächen im Aufriß in eine Gerade projizieren.
Nachdem aber die Aufri{\ss}projektion für die besondere hier
vorausgesetzte Lage des Dodekaeders konstruiert ist, kann sie
für jede Lage ausgeführt werden, bei der eine Grundfläche in
die Grundri{\ss}ebene fallt, die also entsteht, wenn man das
Dodekaeder um eine zur Grundri{\ss}ebene senkrechte Achse
dreht. Bei dieser Drehung bleibt nämlich jeder Punkt in einer
Ebene, die zur Grundri{\ss}ebene parallel ist; daher verteilen sich
die Aufri{\ss}projektionen der Dodekaederpunkte auf die nämlichen
Parallelen, wie für die erste Lage. Denken wir uns also das
%%-----File: 060.png---
Dodekaeder in der Weise gedreht, wie es Fig.~\ref{fig:63} entspricht,
so können wir, nachdem der Grundriß hergestellt ist, den Aufri\ss
so zeichnen, daß wir uns zunächst die Lage der Aufri{\ss}parallelen
herstellen und dann auf ihnen die zweiten Projektionen,
wie es Figur~\ref{fig:62} erkennen lä{\ss}t.

Ich schlie{\ss}e damit, auf Grund der Figur~\ref{fig:64} noch das perspektivische
Bild des Dodekaeders zu zeichnen, unter Annahme
des Augenpunktes $N$ und der Distanzpunkte. (Fig.~\ref{fig:65}) Die
Zeichnung schlie{\ss}t sich direkt an Satz~\ref{thm:9.V} von §~\ref{section:9} an; wir
konstruieren der Reihe nach die Bilder der vier Fünfecke, indem
wir beachten, da{\ss} sie in je einer Horizontalebene enthalten
sind, und zwar mittels der Fluchtpunkte $L$ und $R$.

\section{Die Einführung neuer Projektionsebenen.}

Eine zweite allgemeine Methode, zu der wir jetzt übergehen,
besteht in der Einführung neuer Projektionsebenen. Sie
läuft der Einführung neuer Koordinatenebenen in der analytischen
Geometrie parallel; doch gehen wir hier so vor, da{\ss}
wir schrittweise immer nur \myso{je eine} neue Projektionsebene annehmen,
und zwar so, da{\ss} \myso{die neue Ebene auf einer der
vorhandenen senkrecht steht}. Ein zweiter wichtiger Gesichtspunkt
ist der, da{\ss} wir die neuen Projektionsebenen möglichst
den darzustellenden Strecken und Winkeln \myso{parallel}
wählen; ist dies erreicht, so \myso{stellen sich deren Projektionen
in ihrer natürlichen Grö{\ss}e dar}.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
  \begin{minipage}[t]{.325\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig66.pdf}
\caption{}\label{fig:66}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[t]{.325\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig67.pdf}
\caption{}\label{fig:67}
    \end{center}
  \end{minipage}
\end{wrapfigure}

Wie man in der analytischen Geometrie zuvörderst die
Formeln für die Transformation der Koordinaten zu behandeln
hat, entsteht hier zunächst die Aufgabe, die Projektionen in
den neuen Projektionsebenen aus den alten herzustellen. Wir
gehen dazu von Grundri{\ss} und Aufri{\ss} aus, und denken uns
eine Projektionsebene $\pi_3$,
die auf der Grundri{\ss}ebene
$\pi_1$ senkrecht steht, während
sie mit $\pi_2$ einen
beliebigen Winkel bilde.
(Fig.~\ref{fig:66}). Es sind dann
auch $\pi_1$ und $\pi_3$ zwei
Ebenen, die als Grundri{\ss}- und Aufri{\ss}ebene benutzt werden
können, und wir haben, wenn $P_3$ die Projektion eines Punktes
$P$ in $\pi_3$ ist, $P_3$ aus $P_1$ und $P_2$ abzuleiten.

%%-----File: 061.png---

Sei dazu $O$ der Schnitt der drei Ebenen, sei jetzt $a_{12}$
die Achse für $\pi_1$ und $\pi_2$, und $a_{13}$ diejenige
für $\pi_1$ und $\pi_3$
so daß $O$ zugleich Schnitt von $a_{12}$ und $a_{13}$ ist. Wir denken
uns nun auch die Ebene $\pi_3$ in die Ebene $\pi_1$ umgelegt (Fig.~\ref{fig:67}),
und zwar durch Drehung um $a_{13}$, so besteht auch für die Projektionen
$P_1$ und $P_3$ der Satz~\ref{thm:10.I} von §~\ref{section:10}; und man hat, wenn
jetzt die Schnittpunkte von $P_1 P_2$ und $P_1 P_3$ mit den Achsen
durch $P_{12}$ und $P_{13}$ bezeichnet werden, unmittelbar die Gleichung
\[
PP_1 = P_2 P_{12} = P_3 P_{13}.
\Tag[eq:13.1]{1}
\]
\myso{Diese einfache Gleichung ist die einzige Tatsache, die
hier in Frage kommt}\footnote
  {Dies ist identisch mit der obenerwähnten Tatsache, daß die
  Aufrißprojektionen ihrer Länge nach ungeändert bleiben, wenn man den
  Gegenstand $\Sigma$ um eine zur Grundrißebene vertikale Achse dreht. Seine
  so entstehende Lage zur Aufrißebene kann man nämlich auch dadurch
  herstellen, daß man ihn festhält und die Aufrißebene dreht, und dies
  bedeutet wiederum die Einführung einer neuen Projektionsebene.}.
Wir schließen aus ihr sofort, daß
die Projektion $P_3$ aus $P_1$ und $P_2$ zeichnerisch bestimmbar ist;
man hat nur von $P_1$ auf $a_{13}$ das Lot $P_1 P_{13}$ zu fällen, und auf
ihm $P_3$ so zu bestimmen, daß $P_3 P_{13} = P_2 P_{12}$ ist. Dies pflegt
man so auszuführen, daß man (Fig.~\ref{fig:67}) in $O$ auf $a_{12}$ und $a_{13}$
je ein Lot $n_2$ und $n_3$ errichtet, zu $a_{12}$ durch $P_2$ eine Parallele
bis $n_2$ zieht, dann den bis $n_3$ reichenden Kreisbogen schlägt,
und durch seinen Endpunkt wieder die Parallele zu $a_{13}$ zieht\footnote
  {Die Zeichnung soll auch hier durch besondere Wahl und Art
  der Linien ihre Bedeutung erkennen lassen; vgl.\ %
%%S.~44 Anm
  S.~\pageref{fn:44}\ Anm.~\ref{fn:44}.}.
Wir sprechen das gefundene Resultat folgendermaßen als Satz aus:

\mytheorem{\myso{Wählt man die Projektionsebene $\pi_3$ senkrecht auf
$\pi_1$, so ergibt sich die Projektion $P_3$ aus $P_1$ und $P_2$ in
der Weise, daß man von $P_1$ auf die Achse $a_{13}$ der
Ebenen $\pi_1$ und $\pi_3$ ein Lot $P_1 A_{13}$ fällt und auf ihm die
Strecke $A_{13}P_3$ gleich $A_{12}P_2$ abträgt, wenn $A_{12}$ Schnitt
der Achse $a_{12}$ mit $P_1 P_2$ ist}.}

Die Einführung einer dritten Projektionsebene $\pi_3$ kann
zunächst den Zweck haben, zu bewirken, daß die Raumfigur $\Sigma$
eine vorgegebene Lage zu den Projektionsebenen besitzt. Dies
wollen wir zunächst an einigen einfachen Beispielen ausführen.

\subsubsection{} Die Projektion des in Fig.~\ref{fig:37} gezeichneten Oktaeders
auf einer zur Aufrißebene senkrechten Ebene $\pi_3$ herzustellen.
Die Ausführung erfolgt unmittelbar nach dem eben gegebenen Konstruktionsschema
und bedarf keiner weiteren Erläuterung (Fig.~\ref{fig:68}).
%%-----File: 062.png---

\subsubsection{} Die zweite oben gegebene Darstellungsart des Dodekaeders
so vorzunehmen, daß man die Ebene $\pi_3$ auf $\pi_1$, senkrecht
wählt. Auch diese Aufgabe ist unmittelbar nach dem
angegebenen Schema zu behandeln (Fig.~\ref{fig:69})\label{anhanglink:9}\footnote
  {Vgl.\ den Anhang,~ref{anhang:9}.}.

\begin{figure}[h]
 \hfill
  \begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig68.pdf}
\caption{}\label{fig:68}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}[t]{.45\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig69.pdf}
\caption{}\label{fig:69}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \hfill
\end{figure}

Die Einführung neuer Projektionsebenen la{\ss}t sich wiederholen;
man kann eine Ebene $\pi_4$ einführen, die auf einer der
Ebenen $\pi_1$ oder $\pi_3$ senkrecht steht, und kann dies beliebig
lange fortsetzen. Man erhält dadurch Grundri{\ss}- und Aufri{\ss}- projektionen
für immer neue Stellungen einer Figur zu den
Projektionsebenen. Dabei ist zweierlei zu bemerken. Erstens
bedarf es nur zweier Schritte, um eine gegebene Ebene $\varepsilon$ zur
Projektionsebene zu machen. Ist nämlich $\mathbf{E}_1$ die Spur von $\varepsilon$
in $\pi$, so wähle man $\pi_3$ senkrecht auf $\mathbf{E}_1$, und kann nun, da
$\pi_3$ auf $\varepsilon$ senkrecht steht, $\varepsilon$ als Ebene $\pi_4$ einführen. Zweitens
beachte man, daß bei der Einführung von $\pi_4$ ein praktischer
Fortschritt nur so entsteht, daß man $\pi_4$ senkrecht zu $\pi_3$ annimmt,
so daß $\pi_3$ und $\pi_4$ die neue Grundri{\ss}ebene und Aufri{\ss}ebene
darstellen. Würde man nämlich $\pi_4$ senkrecht auf $\pi_1$
wählen, so ist $\pi_3$ überflüssig; man hätte von vornherein $\pi_4$
statt $\pi_3$ als neue Ebene benutzen können.

Welche Ebenen man in den einzelnen Fällen einführt, hängt
ganz von der Natur der Aufgabe und von dem Zweck ab, den
man erreichen will. \myso{Ihre Wahl muß getroffen sein, ehe man
an die zeichnerische Darstellung geht}; die Vorstellung der
Figur mit allen ihren Projektionsebenen und die richtige Auswahl
dieser Ebenen ist das Problem, das in jedem einzelnen
Fall zu lösen ist; die Herstellung der neuen Projektionen ist ein
mechanisches Verfahren, das immer in der gleichen Weise erfolgt.
%%-----File: 063.png---

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
  \begin{minipage}[t]{.325\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig70.pdf}
\caption{}\label{fig:70}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[t]{.325\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig71.pdf}
\caption{}\label{fig:71}
    \end{center}
  \end{minipage}
\end{wrapfigure}

Ich erörtere schließlich noch kurz den Fall, daß man eine
neue Projektionsebene einführt, die zu einer vorhandenen parallel
ist. An dem Satz~\ref{thm:13.I} wird
dann nichts geändert. Sei
z.~B.\ $\pi_3 \parallel \pi_2$ (Fig.~\ref{fig:70}), so daß
$a_{12}$ und $a_{13}$ parallel sind, so
besteht immer noch die Gleichung~\ref{eq:13.1};
die einzige Modifikation
die auftritt, ist die,
daß $P_1P_2$ und $P_1P_3$ in dieselbe
Gerade fallen. Man erhält
also auch hier $P_3$ so, daß man $P_{13}P_3 = P_{12}P_2$ macht (Fig.~\ref{fig:71}).\footnote
  {Eine praktische Folge hiervon ist, daß das Zeichnen der Achse
  $a$ entbehrlich ist. Bei Festhaltung der Aufrißebene bedeutet dies die
  Zulassung einer variablen Lage für die Grundrißebene.}

Ich schließe mit folgender Bemerkung. Wie in der analytischen
Geometrie können auch hier für die Behandlung der
einzelnen Probleme zwei grundverschiedene Gesichtspunkte
maßgebend sein. Man kann die Koordinatenebenen und die
Projektionsebenen so \myso{einfach} wie möglich, man kann sie aber
auch so \myso{allgemein} wie möglich wählen. Beides hat seine
Berechtigung; das zweite dient mehr den theoretischen, das
erste mehr den praktischen Zwecken. An dieser Stelle steht
jedoch der praktische Zweck im Vordergrund; die Aufgabe,
die sich in so engem Rahmen allein behandeln läßt, kann nur
dahin gehen, \myso{auf die einfachste Weise zum Entwerfen
richtiger Bilder} zu gelangen. Demgemäß haben wir die Lage
der Gegenstände zu den Projektionsebenen stets so angenommen,
daß ihre zeichnerische Herstellung so leicht wie möglich ausfällt,
haben uns überdies auf Aufgaben einfacherer Art beschränkt,
und die übrigen Probleme nur in aller Kürze gestreift.



\section{Die Axonometrie.}

Die Figuren der räumlichen analytischen Geometrie pflegt
man folgendermaßen zu zeichnen. Man nimmt die drei Richtungen,
die die Koordinatenachsen darstellen sollen, \myso{beliebig} an, und
zeichnet die Koordinaten eines jeden Punktes so, daß sie diesen
drei Geraden \myso{parallel} sind. Das allgemeine Prinzip, das hierin
zum Ausdruck kommt, bildet den sogenannten \myso{Grundsatz der
%%-----File: 064.png---
Axonometrie}; es steht im Mittelpunkt aller zeichnerischen
Methoden. Sein Inhalt und seine Begründung bedarf ausführlicher
Erörterung.

Da die Koordinaten eines jeden Punktes durch Parallelen
zu den drei Koordinatenachsen dargestellt werden, so ist das
so hergestellte Bild eine \myso{Parallelprojektion}. Damit ist
jedoch der Inhalt unseres Satzes noch nicht erschöpft. In
präziser Formulierung lautet er folgendermaßen:

\mytheorem{\myso{Werden in einer Ebene $\varepsilon'$ drei von einem Punkt $O'$
ausgehende Strecken $O'A'$, $O'B'$, $O'C'$ so angenommen,
daß ihre Endpunkte ein Dreieck $A'B'C'$ bilden, so
können sie stets als Parallelprojektion eines rechtwinkligen
gleichseitigen räumlichen Dreikants $OABC$
auf $\varepsilon'$ betrachtet werden}.}\footnote
  {Der Satz gilt auch dann noch, wenn zwei Seiten des Dreiecks
  $A'B'\DPtypo{C}{C'}$ zusammenfallen.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig72.pdf}
\caption{}\label{fig:72}
\end{wrapfigure}

Wir betrachten zunächst denjenigen besonders einfachen
Fall, der der gewöhnlichen Koordinatendarstellung entspricht.
Das Dreikant liegt dann so, daß eine seiner Ebenen (die $xz$-Ebene)
zu $\varepsilon'$ parallel ist. Die zur Ebene $\varepsilon'$ parallelen Kanten $OA$ und
$OC$ erscheinen alsdann in der Projektionsfigur in $\varepsilon'$ in ihrer
natürlichen Länge, während die dritte Kante $OB$ (die der
$y$-Achse entspricht) eine Verkürzung erfährt. Für diesen Fall
ist der Satz geradezu evident; geht man nämlich von zwei
zueinander gleichen rechtwinkligen Strecken
$O'A'$ und $O'C'$ aus (Fig.~\ref{fig:72}), während $O'B'$
mit ihnen einen beliebigen Winkel bildet, so
kann diese Figur in der Tat als Projektion
eines so gelegenen Dreikants $OABC$ aufgefaßt
werden. Die zugehörige Richtung der projizierenden
Strahlen ergibt sich unmittelbar
in der Weise, daß man auf der Zeichnungsebene ein Lot
$O'B''= OB$ errichtet, und $B''$ mit $B'$ verbindet. Man bezeichnet
diese Art der Darstellung auch als \myso{schiefe Projektion}.
Übrigens bleibt das Vorstehende auch dann noch in
Kraft, wenn $O'B'$ mit einer der Geraden $O'A'$ oder $O'C'$ zusammenfällt;
dies bedeutet nämlich nur, daß die projizierenden
Strahlen zu der Seitenfläche $OAB$ oder $OBC$ des Dreikants
parallel sind.\footnote
  {\label{fn:59-2}
  Bei Bildern, die mittels einer Parallelprojektion gezeichnet werden,
  müssen wir uns gemäß §~\ref{section:1} vorstellen, daß sich das betrachtende Auge in
%%-----File: 065.png---
  unendlicher Entfernung befindet, und zwar in der Richtung, die durch
  die projizierenden Strahlen angegeben wird. Um einen möglichst guten
  optischen Eindruck eines axonometrisch gezeichneten Bildes zu erhalten,
  haben wir daher das Auge auf Unendlich einzustellen und ihm überdies
  die Lage zur Bildebene zu geben, die durch die projizierenden
  Strahlen gefordert wird. Bei einer Orthogonalprojektion muß es also
  senkrecht über dem Bilde stehen. Der optische Eindruck wird um so
  besser werden, je weiter man das Auge von der Zeichnungsebene entfernt.}

Dem Beweis des allgemeinen Satzes schicke ich einen
Hilfssatz voraus, der in seiner einfachsten Formulierung ein
Satz über ein gerades dreiseitiges Prisma ist und folgendermaßen
ausgesprochen werden kann:

\mytheorem{\myso{Jedes gerade dreiseitige Prisma kann durch eine
Ebene $\varepsilon$ so geschnitten werden, daß die Schnittfigur
einem gegebenen Dreieck ähnlich ist}.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig73.pdf}
\caption{}\label{fig:73}
\end{wrapfigure}

Ist $A'B'C'$ die Grundfläche des Prismas (Fig.~\ref{fig:73}), und
$ABC$ die in $\varepsilon$ entstehende Schnittfigur, so ist zu zeigen, daß
bei geeigneter Lage von $\varepsilon$ das Dreieck $ABC$
einem gegebenen Dreieck $A_0B_0C_0$ ähnlich ist.
Zweierlei schicke ich voraus. Erstens ist klar,
daß, wenn eine Ebene $\varepsilon$ dem Satze genügt,
auch jede zu ihr parallele Ebene dies tut;
zweitens können wir $A_0B_0C_0$ durch irgendein
ihm ähnliches Dreieck ersetzen; wir dürfen es
deshalb auch so wählen, daß $A_0B_0 = A'B'$ ist.
Dies wird im folgenden geschehen. Die Ebene, die die Grundfläche
$A'B'C'$ enthält, sei $\varepsilon'$.

Der Beweis geht so vor, daß er direkt die Lage der Ebene $\varepsilon$
bestimmt; dazu ist erstens ihre \myso{Schnittlinie} mit $\varepsilon'$ und zweitens
die \myso{Neigung} beider Ebenen zu ermitteln. Wir stützen ihn auf
die in §~\ref{section:5} enthaltenen Sätze über Parallelperspektive. Wir können
nämlich $\varepsilon'$ und $\varepsilon$ durch Strahlen, die auf $\varepsilon'$ senkrecht stehen,
parallelperspektiv so aufeinander beziehen, daß $A'B'C'$ und
$ABC$ einander entsprechen. Nun gibt es in den so bezogenen
Ebenen gemäß §~\ref{section:5},~\ref{thm:5.I} durch $C$ und $C'$ je ein Paar entsprechender
rechtwinkliger Strahlen $u$, $v$ und $u'$, $v'$; und da es sich um eine
\myso{orthogonale} Projektion handelt, so läuft der eine von ihnen
der Schnittlinie $s$ beider Ebenen parallel, während der andere
auf ihr senkrecht steht. Man folgert also umgekehrt, daß $s$
\myso{einem dieser Strahlen parallel sein muß}; um die Richtung
von $s$ zu ermitteln, haben wir daher zunächst die ebengenannten
Strahlenpaare zu bestimmen.

%%-----File: 066.png---

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig74.pdf}
\caption{}\label{fig:74}
\end{wrapfigure}

Dazu denken wir uns eine besondere Ebene $\varepsilon_0$, die das
Dreieck $A_0B_0C_0$ enthalten soll, und beziehen sie in der Weise
ähnlich (§~\ref{section:4}) auf $\varepsilon$, daß $ABC$ und $A_0B_0C_0$ einander entsprechen.
Dann bestehen die in §~\ref{section:5},~\ref{subsub:5..1} und~\ref{subsub:5..2} genannten Eigenschaften
sowohl für $\varepsilon$ und $\varepsilon'$, als auch, für $\varepsilon$ und $\varepsilon_0$, sie bestehen also
auch für $\varepsilon_0$ und $\varepsilon'$, und da nach Annahme $A'B' = A_0A_0$
ist, so gibt es in $\varepsilon'$ und $\varepsilon_0$ auch ein Geradenpaar, dessen
Proportionalitätsfaktor $\rho = 1$ ist. Gemäß §~\ref{section:5},~\ref{subsub:5..8} u.~\ref{subsub:5..9} gelten also
für $\varepsilon_0$ und $\varepsilon'$ alle dort abgeleiteten Sätze.

Seien nun $u_0$ und $v_0$ die Geraden durch $C_0$, die in $\varepsilon_0$ den Geraden
$u$ und $v$ von $\varepsilon$ entsprechen, so bilden auch sie einen rechten
Winkel. Daher sind $u_0$, $v_0$ und $u'$, $v'$ auch für $\varepsilon_0$ und $\varepsilon'$ die den
Punkten $C_0$ und $C'$ zugehörigen rechten Winkel. Um sie zu bestimmen,
hat man gemäß §~\ref{section:5} in der Ebene $\varepsilon'$ das Dreieck $A_0B_0C_0$
so zu zeichnen (Fig.~\ref{fig:74}), daß $A_0B_0$ auf $A'B'$ fällt, dann den
Kreis zu schlagen, der durch $C_0$ und $C'$ geht, und dessen Mittelpunkt
auf $A'B'$ liegt, und die Punkte $U'$ und $V'$, in denen er
$A'B'$ schneidet, mit $C'$ zu verbinden. Damit ist die Lage der
Strahlen $u'$ und $v'$ bereits bekannt.

Es fragt sich nun noch, welcher dieser beiden Strahlen
derjenige ist, dem die Schnittlinie $s$ beider Ebenen parallel
läuft. Um die Begriffe zu fixieren, bezeichnen wir diesen durch
$u'$; es ist also sowohl $u'$ als auch $u$
zu $s$ parallel, während $v'$ auf $s$ senkrecht
steht. Wir gehen nun wieder
zu den Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ zurück, und
denken uns die Ebene $\varepsilon$ so in die
Ebene $\varepsilon'$ um die Achse $s$ umgelegt
(Fig.~\ref{fig:74}), daß die Dreiecke $ABC$ und
$A'B'C'$ auf \myso{verschiedenen} Seiten
von $s$ liegen.\footnote
  {Dies geschieht der Übersichtlichkeit der Figur wegen.}
Dann wird, da $\varepsilon'$ eine
\myso{Orthogonal}projektion von $\varepsilon$ ist, die
Verbindungslinie von je \myso{zwei} entsprechenden
Punkten $P$ und $P'$ beider Ebenen die Achse $s$
senkrecht schneiden; sei $S$ der Punkt, in dem sich die Geraden
$c'=A'B'$ und $c = AB$ auf der Achse $s$ schneiden, und
$W$ der Schnitt von $s$ mit $VV'$. Dann ist
\[
V'W:SW= V'C': U'C',
\Tag[eq:14.1]{1}
\]
%%-----File: 067.png---
und ebenso folgt, wenn wir noch beachten, daß $\varepsilon_0$ und $\varepsilon$ ähnliche
Ebenen sind,
\[
VW:SW = VC:UC = V_0C_0:U_0C_0.
\Tag[eq:14.2]{2}
\]
Nun ist aber $V'W$ die Projektion von $VW$, folglich ist
\[
VW > V'W.
\Tag[eq:14.3]{3}
\]

Die linke Seite von~\ref{eq:14.2} ist daher grö{\ss}er als die linke
Seite von~\ref{eq:14.1}; zwischen ihren rechten Seiten muß daher dasselbe
Grö{\ss}enverhältnis bestehen. Da nun gemäß unserer Konstruktion
$U_0$ mit $U'$ und $V_0$ mit $V'$ identisch ist, so ergibt
sich schlie{\ss}lich
\[
V'C_0:U'C_0 > V'C':U'C'.
\Tag[eq:14.4]{4}
\]
\myso{Durch diese Ungleichung werden die beiden Punkte
$U'$ und $V'$, also auch die Strahlen $u'$ und $v'$ voneinander
getrennt}. Damit ist der Strahl $u'$, dem $s$ parallel läuft, \myso{eindeutig}
bestimmt. Die \myso{Richtung} der Geraden $s$ in $\varepsilon'$ ergibt
sich also \myso{eindeutig.}

Es ist also nur noch die \myso{Neigung} von $\varepsilon$ gegen $\varepsilon'$ zu
ermitteln. Sie ist bekannt, sobald man die Länge von $V'W$
kennt. Diese ergibt sich aber wieder aus~\ref{eq:14.1}, denn $SW$, $V'C'$
und $U'C'$ sind Strecken von $\varepsilon'$, die zeichnerisch bestimmbar
sind. Die \myso{Neigung} von $\varepsilon$ gegen $\varepsilon'$ ist daher ebenfalls \myso{eindeutig}
bestimmt; ihr entsprechen jedoch \myso{zwei verschiedene}
Ebenen, die \myso{symmetrisch} gegen die Ebene $\varepsilon'$ liegen. Damit
ist unser Satz bewiesen. Wir finden sogar \myso{zwei} Scharen von
Ebenen, die ihm genügen.

Die Konstruktion gestaltet sich demnach folgenderma{\ss}en.
In der Ebene $\varepsilon'$ zeichne man $A'B'C_1$ ähnlich zu dem gegebenen
Dreieck $A_0B_0C_0$, schlage den durch $C_0$ und $C_1$ gehenden Kreis,
dessen Zentrum auf $A'B'$ liegt, und benenne seine Schnittpunkte
$U'$ und $V'$ mit $A'B'$ gemäß der Proportion~\ref{eq:14.4}. Man
zeichne dann die Gerade $WS$ senkrecht zu $U'C'$, und bestimme
$V'W$ gemäß Proportion~\ref{eq:14.1}, so ist damit sowohl die Schnittlinie
der Ebene $\varepsilon'$ mit $\varepsilon$ als auch ihre Neigung gegen $\varepsilon$ und
damit ihre Lage im Raume festgelegt.

Wir gehen nun zum Beweis des Satzes~\ref{thm:14.I} über, dem wir
noch dadurch einen allgemeineren Inhalt geben können, daß wir
das rechtwinklige gleichseitige Dreikant durch ein beliebiges
Dreikant ersetzen. So gelangen wir zu folgendem, als Satz
von \myso{Pohlke} bezeichneten Theorem:

%%-----File: 068.png---

\mytheorem{\myso{Ist ein Dreikant $OABC$ und ein ebenes Viereck
$O_0A_0B_0C_0$ beliebig gegeben, so kann man eine
Ebene $\varepsilon'$ und eine Projektionsrichtung so bestimmen,
daß die in $\varepsilon'$ entstehende Parallelprojektion $O'A'B'C'$
des Dreikants dem Viereck $O_0A_0B_0C_0$ ähnlich ist}.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig75.pdf}
\caption{}\label{fig:75}
\end{wrapfigure}

Wir nehmen zunächst wieder an, daß eine Ebene $\varepsilon'$ und
eine Projektionsrichtnng, wie sie der Satz verlangt, vorhanden ist.
Ferner sei $\varepsilon$ die durch das Dreieck $ABC$ bestimmte
Ebene, und $O_1$ (Fig.~\ref{fig:75}) derjenige Punkt,
in dem sie von dem durch $O$ gehenden projizierenden
Strahl getroffen wird, so ist klar, da\ss
die Projektionsrichtung bekannt ist, sobald man
den Punkt $O_1$ kennt. Nun befinden sich $\varepsilon$ und $\varepsilon'$
in der Weise in parallelperspektiver Lage, da\ss
$ABCO_1$ und $A'B'C'O'$ entsprechende Punkte
sind, und au{\ss}erdem sind $O'A'B'C'$ und $O_0A_0B_0C_0$
ähnliche Figuren. Wir können daher wieder, wie
beim Beweis des Hilfssatzes, die das Viereck
$O_0A_0B_0C_0$ enthaltende Ebene $\varepsilon_0$ ähnlich so auf $\varepsilon'$
beziehen, daß $O_0A_0B_0C_0$ und $O'A'B'C'$ einander
entsprechen, und schlie{\ss}en wieder genau wie oben,
daß nun auch die Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon_0$ in der in §~\ref{section:5} erörterten Beziehung
stehen; und zwar sind $O_1ABC$ und $O_0A_0B_0C_0$ entsprechende
Punkte. Gemäß §~\ref{section:5},~\ref{subsub:5..7} können wir daher den Punkt $O_1$ mit
Hilfe der gegebenen Punkte $ABC$ und $A_0B_0C_0$ konstruieren. Damit
ist die Richtung der projizierenden Strahlen bereits bestimmt.

Nun sei $\varepsilon_2$ irgendeine zu dieser Richtung \myso{senkrechte}
Ebene, und $A_2$, $B_2$, $C_2$ ihre Schnittpunkte mit den durch
$A$, $B$, $C$ gehenden projizierenden Strahlen. Dann kann man
$A_2B_2C_2$ als die Grundfläche eines geraden Prismas auffassen,
das von der Ebene $\varepsilon'$ so geschnitten werden soll, daß die
Schnittfigur $A'B'C'$ zu $A_0B_0C_0$ ähnlich ist. Unserem Hilfssatz
gemäß kann daher die Ebene $\varepsilon'$ dieser Bedingung gemä\ss
bestimmt werden.\footnote
  {Es gibt auch hier zwei solche Ebenenscharen.}
Man sieht auch noch, daß nicht blo\ss
$A'B'C' \sim A_0B_0C_0$ ist, sondern auch $O_1A'B'C'$ ähnlich zu
$O_0A_0B_0C_0$, denn die zwischen unseren Ebenen festgesetzten
Beziehungen betreffen stets die ganzen Ebenen, d.~h.\ also die
sämtlichen in ihnen enthaltenen einander entsprechenden Figuren.
Damit ist der Beweis geliefert.

%%-----File: 069.png---

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig76.pdf}
\caption{}\label{fig:76}
\end{wrapfigure}

Gemäß dem so bewiesenen Grundsatz kann man also die
Richtungen und Längen dreier von einem Punkt ausgehender
Geraden stets als axonometrische Bilder der drei Kanten eines
räumlichen Dreikants auffassen, insbesondere auch eines orthogonalen
gleichseitigen. Für \myso{diesen Fall} bevorzugt man meist
die oben genannte schiefe Projektion, besonders die Falle, daß die
$y$-Achse einen Winkel von $45^\circ$ oder $30^\circ$ mit der $x$-Achse bildet
(\myso{Kavalierperspektive}). Die anschaulichsten Bilder erhält man
vielfach so, daß man auch die $x$-Achse nicht senkrecht gegen die $z$-Achse
annimmt. Die $z$-Achse nimmt man im allgemeinen vertikal an.


Als Beispiele können zunächst alle Figuren dienen, die im
vorstehenden dem axonometrischen Grundsatz gemäß gezeichnet
worden sind; eine Reihe anderer möge hier folgen.

\subsubsection{} Eine sechseckige reguläre Säule so zu zeichnen, daß
ihre Kanten vertikal werden (Fig.~\ref{fig:76}). Beliebig wählbar sind
die beiden Geraden, die zwei Seiten der Grundfläche
entsprechen; sie mögen durch $AB$ und
$AF$ dargestellt werden. Zieht man nun durch
$B$ eine Parallele zu $AF$, und durch $F$ eine
Parallele zu $AB$, so hat man in ihrem Schnittpunkt
$M$ das Bild des Mittelpunktes des dem
Sechseck umschriebenen Kreises. Durch Verlängerung
von $AM$, $BM$, $FM$ über $M$ um
sich selbst erhält man daher die Punkte $D$, $E$, $G$. Gleichlange
Vertikalen in $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ liefern endlich die Punkte der
oberen Grundfläche.\footnote
  {Man kann das Sechseck auch so zeichnen, daß man zunächst
  diejenigen Geraden beliebig annimmt, die irgend zwei von $M$ ausgehenden
  Strecken entsprechen.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig77.pdf}
\caption{}\label{fig:77}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Die acht Ecken eines Würfels
lassen sich in zwei Gruppen von je vieren
zerlegen, die je ein reguläres Tetraeder
bilden; jedes Tetraeder enthält sechs
Flächendiagonalen als Kanten. In Fig.~\ref{fig:77}
sind $AEFG$ und $HBCD$ zwei solche
Tetraeder\footnote
  {Die ursprünglich gezeichneten Würfelkanten sind nachträglich
  getilgt worden.}
Man soll ihre \myso{Durchdringungsfigur}
zeichnen.

Man zeichne zunächst den Würfel
selbst in irgend einer axonometrischen
%%-----File: 070.png---
Darstellung. Man beachte nun, daß jeder Mittelpunkt einer
Würfelfläche Schnittpunkt zweier Flächendiagonalen ist, also
der Durchdringungsfigur beider Tetraeder angehört. Damit
sind die Durchdringungsgeraden beider Tetraeder bestimmt;
sie bilden das Oktaeder, dessen Ecken in die Mitten der Würfelflächen
fallen. Nur vier von ihnen sind sichtbar; nämlich
diejenigen, die von der Mitte der vorderen Würfelfläche ausgehen.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig78.pdf}
\caption{}\label{fig:78}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} \myso{Ein reguläres Rhombendodekaeder} zu zeichnen.
Eine Ebene, die durch die Mitte eines Würfels geht und zwei
Kanten enthält, werde als \myso{Diagonalebene} bezeichnet. Dann entsteht
das Rhombendodekaeder so aus dem Würfel, daß man durch
jede der zwölf Würfelkanten eine Ebene legt, die auf der hindurchgehenden
Diagonalebene senkrecht steht. Diese Ebenen sind
die 12 Begrenzungsflächen des Rhombendodekaeders; aus der
Symmetrie des Würfels folgt, daß die in ihnen entstehenden
Begrenzungspolygone kongruente Rhomben sind. Je vier, die
durch die vier Kanten einer Würfelfläche gehen, bilden überdies
eine quadratische Pyramide mit dieser
Würfelfläche als Grundfläche, und zwar ist
leicht ersichtlich, daß ihre Höhe gleich der
halben Würfelkante ist. Die Ecken des
Rhombendodekaeders bestehen also aus den
sechs Spitzen dieser Pyramide und den acht
Würfelecken.

Man erhält es daher am einfachsten, indem
man vom Würfel ausgeht, auf seine
Flächen vom Mittelpunkt $M$ die Lote fällt, und diese um sich
selbst verlängert (Fig.~\ref{fig:78}).\footnote
  {In der Figur ist diese Konstruktion nur für die obere und untere
  Grundfläche des Würfels angedeutet worden.}

\subsubsection{} Einen \myso{vierseitigen Pyramidenstumpf} zu zeichnen
(Fig.~\ref{fig:79}). Wir gehen von einer dreiseitigen Pyramide aus, deren
Spitze $O$, deren Grundfläche $ABC = \gamma$ und deren Kanten $a$, $b$, $c$
seien; eine gewisse, noch unbestimmt bleibende Ebene $\gamma_1$ möge sie
in dem Dreieck $A_1B_1C_1$ schneiden. Aus dem \myso{Pohlke}schen Satz
folgt zunächst, daß die axonometrischen Bilder von $O'$, $A'$, $B'$, $C'$
und damit auch die Bilder $a'$, $b'$, $c'4$ beliebig wählbar sind.
Ebenso können wir aber auch die Bildpunkte $A'_1$, $B'_1$, $C'_1$ auf
$a'$, $b'$, $c'$ beliebig annehmen; ihnen entsprechen stets gewisse
Raumpunkte $A_1$, $B_1$, $C_1$ so daß durch die Wahl von $A'_1$, $B'_1$, $C'_1$
%%-----File: 071.png---
die Ebene $\gamma_1$ festgelegt ist.\footnote
  {Wir konnten daher die Figur~\ref{fig:13} (S.~\pageref{fig:13}) als Bild eines drei
  seitigen Pyramidenstumpfes betrachten.}
Die Punkte $D$ und $D_1$, die von $\gamma$
und $\gamma_1$ auf einer \myso{vierten} durch $O$ gehenden Kante bestimmt
werden, sind jedoch nicht mehr beide willkürlich; vielmehr ergibt
sich alles weitere auf Grund des in §~\ref{section:4} abgeleiteten Satzes von
\myso{Desargues}. Aus ihm folgt zunächst, daß die drei Schnittpunkte
\[
A_0 = (B'C',B_1'C_1'),\quad
B_0 = (C'A',C_1'A_1'),\quad
C_0 = (A'B',A_1'B_1')
\]
auf einer Geraden $s_0$ liegen, die das axonometrische Bild der
Schnittlinie von $\gamma$ und $\gamma_1$ ist.\footnote
  {In Fig.~\ref{fig:79} fallt $C_0$ in den unendlich fernen Punkt von $s_0$.}
Auf ihr können wir nun einen
Punkt $D_0$ beliebig annehmen und festsetzen, daß er Schnittpunkt
von $s_0$ mit der durch $O$ gehenden Ebene $(ad) = \delta$ sein
soll, und können außerdem auch die Bildkante $d'$ beliebig zeichnen;
sie muß notwendig Bild einer gewissen in $\delta$ liegenden Kante $d$
sein. Um endlich $D'$ und $D_1'$ zu finden, haben wir wieder $D_0$ mit $A'$
und $A_1'$ zu verbinden und die Schnittpunkte dieser Geraden
mit $d'$ zu bestimmen. Sie liefern uns die Punkte $D'$ und $D_1'$.
Übrigens schneiden sich auch die Geraden $B'D'$ und $B_1'D_1'$,
sowie $C'D'$ und $C_1'D_1'$ auf $s_0$, was zeichnerische Überbestimmungen
liefert.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig79.pdf}
\caption{}\label{fig:79}
\end{center}
\end{figure}

Ebenso kann man mit jeder weiteren durch $O'$ angenommenen
Kante verfahren und den zugehörigen Stumpf leicht
konstruieren.

%%-----File: 072.png---

In gleicher Weise kann man auch den Schnitt eines
geraden Zylinders oder geraden Kegels mit einer Ebene punktweise
konstruieren.\footnote
  {Eine andere Konstruktion ist in §~\ref{section:15} angegeben.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig80.pdf}
\caption{}\label{fig:80}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Ein reguläres \myso{Kubooktaeder} zu zeichnen (Fig.~\ref{fig:80}).
Ein Kubooktaeder entsteht so aus einem Oktaeder, daß man die
sechs Ecken des Oktaeders mittels eines ihm
konzentrischen und koaxialen regulären Würfels
abschneidet. Man erhält es also am
einfachsten, indem man an jeder Oktaederecke
auf den vier von ihr ausgehenden
Kanten die nämliche Strecke abschneidet.
Die auf den Oktaederflächen entstehenden
Begrenzungspolygone sind im allgemeinen
Sechsecke; bei besonderer Wahl des Würfels
werden sie Quadrate.\label{anhanglink:10}\footnote
  {Vgl.\ den Anhang,~\ref{anhang:10}.}

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig81.pdf}
\caption{}\label{fig:81}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Einen \myso{Kugeloktanten} in schiefer Projektion zu zeichnen
(Fig.~\ref{fig:81}). Seien $OA$, $OB$, $OC$ die drei aufeinander senkrechten
Radien, die den Oktanten bestimmen, und $OA$, $OB'$, $OC$ ihre
axometrischen\DPnote{** TN: [sic]} Bilder, so handelt es sich um
die Herstellung der Bilder der in den Ebenen
$OBC$ und $OAC$ liegenden Kreisbogen. Sie
sind Teile von Ellipsen, die punktweise konstruiert
werden müssen. Sie ergeben sich
leicht auf Grund der Tatsache, daß bei der
axonometrischen Darstellung alle zueinander
parallelen Ordinaten eines Kreises gemäß §~\ref{section:5},~\ref{subsub:5..3} in demselben
Maße verkürzt werden. Zur Ausführung der Zeichnung können
wir jeden Kreisbogen benutzen, der dazu tauglich ist. Um
z.~B.\ den Ellipsenbogen $\widehat{AB'}$ zu erhalten, gehen wir von dem
Kreisquadranten $OAC$ aus, errichten in einem beliebigen Punkt
$Q$ von $OA$ das Lot $QP$ und konstruieren $P'$ so, daß $QP' \parallel  OB'$
und $PP' \parallel B'C$ ist, und machen dies für so viele Punkte, als
nötig ist. Analog erhält man den Ellipsenbogen $B'C$.\footnote
  {Die Ellipsenbogen selbst enthält z.~B.\ Figur~\ref{fig:83}.}

%%** TN: Not sure about reference below. Normally a reference in this
%% style would be to a theorem
Wichtig ist, daß die Tangenten dieser Ellipsenbogen in
den Endpunkten nicht gegen die ihnen zukommende Richtung
verstoßen (§~\ref{section:1},~\ref{sub:1.III}). Sie sind Projektionen der bezüglichen Kreistangenten;
daher müssen die Tangenten des Bogens $\widehat{AB'}$ in $A$ und
%%-----File: 073.png---
$B'$ den Geraden $OB'$ und $OA$ parallel sein, und die des Bogens
$B'C$ in $B'$ und $C$ parallel zu $OC$ und $OB'$ (vgl.\ Fig.~\ref{fig:83}).

\subsubsection{} \myso{Die Durchdringungsfigur zweier kongruenten
Kreiszylinder} zu zeichnen, deren Grundflächen so in zwei
zueinander senkrechten Ebenen liegen, daß ihre Mittelpunkte
zusammenfallen (Fig.~\ref{fig:82}).

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
  \begin{minipage}[t]{.325\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig82.pdf}
\caption{}\label{fig:82}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[t]{.325\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig83.pdf}
\caption{}\label{fig:83}
    \end{center}
  \end{minipage}
\end{wrapfigure}

Wir beschränken uns auf einen Oktanten und konstruieren
zunächst gemäß~\ref{subsub:14..6}.\ den Ellipsenbogen $B'A$, der dem Kreisbogen
der Ebene $OAB$
entspricht. Zieht
man nun in einem
Punkt $Q$ von $OA$
die Geraden $QP \parallel OC$
und $QP' \parallel OB'$,
und bestimmt den
Punkt $R$ so, da\ss
$PR \parallel QP'$ und
$P'R \parallel QP$ ist, so
ist $R$ ein Punkt der Durchdringungskurve. Sie ist offenbar
eine Ellipse.

\subsubsection{} \myso{Die Durchdringung einer Kugel mit einem Kreiszylinder}
zu zeichnen, dessen Grundkreis $k$ den halben Kugelradius
als Radius hat, und von dem eine Erzeugende $l$ durch
den Mittelpunkt der Kugel geht (Fig.~\ref{fig:83}).

Wir beschränken uns wieder auf einen Oktanten, wählen
die Erzeugende $l$ als $z$-Achse und den Grundkreis $k$ des Zylinders
als $xy$-Ebene, und zeichnen zunächst wieder die dem Kugeloktanten
entsprechenden Ellipsenbogen $OAB'$ und $OCB'$, wie
auch die dem Grundkreis $k$ entsprechende Ellipse. Ist $S'$ ein
Punkt dieser Ellipse, so kann man das \myso{innerhalb} des
Kugeloktanten liegende Stück $S'P'$ der durch $S'$ gehenden
Zylinderkante so zeichnen, daß man sich durch $S$ eine zu $OAC$
parallele Ebene gelegt denkt. Sie schneidet die Kugel in einem
Kreis, der den Punkt $P$ enthält, und dessen axonometrisches
Bild ebenfalls ein Kreis ist; man hat also nur den Radius
dieses Kreises zu finden. Zieht man nun durch $S$ die Gerade
$TU \parallel OA$, und durch $T$ die Gerade $TV \parallel OC$, so ist $TU = TV$
dieser Radius. Er ergibt sich wieder in der unter~\ref{subsub:14..6}.\ genannten Art.

\subsubsection{} Endlich ist noch die Herstellung der axonometrischen
Bilder aus den Koordinatenwerten oder aus Grundriß und Aufri\ss
zu erörtern.

%%-----File: 074.png---

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig84.pdf}
\caption{}\label{fig:84}
\end{wrapfigure}

Man wird diese Methode immer dann wählen \myso{müssen},
wenn die zu zeichnenden Gegenstände nur durch ihre Koordinaten
gegeben sind; man verfährt dann in üblicher
Weise so, daß wenn $x$, $y$, $z$ die Koordinaten
sind, man einen Streckenzug $OPQR$ konstruiert,
dessen Seiten den Achsen parallel sind,
und deren Länge sich so ergibt, daß man die
gegebenen Koordinatenwerte mit den ihnen entsprechenden
Verkürzungsfaktoren multipliziert.
(Fig.~\ref{fig:84}). Beispielsweise kann man auf diese Weise den Mittelpunkt
des Kugeloktanten im letzten Beispiel finden. Für ihn
hat man $x = y = z = 1/\sqrt{3}$, und kann daher den Streckenzug
leicht herstellen.

Ebenso kann man verfahren, wenn ein Gegenstand durch
Grundriß und Aufriß gegeben ist. Durch sie sind freilich nur
zwei Koordinaten bestimmt. Nimmt man aber eine zur Achse
senkrechte Gerade beliebig an, so kann man sie als Spur einer
dritten zur Grundri\ss- und Aufri{\ss}ebene senkrechten Ebene betrachten,
und erhält in den Abständen von ihr die dritten Koordinaten.
Auf Beispiele dieser Art kommen wir in §~\ref{section:15} zurück.

Die wesentlichste Aufgabe des Zeichners besteht auch
hier in der überlegung, wie man am einfachsten zu den
Bildfiguren gelangt. Will man z.~B.\ in Aufgabe~\ref{subsub:14..6}.\ noch die
Kreise zeichnen, die die Winkel des Oktanten halbieren, so
wird man am besten jeden mittels eines solchen Kreises herstellen,
der in der Zeichnungsebene liegt, was möglich ist.

\section{Der scheinbare Umri\ss.}

Wir wenden uns zu einem letzten Gesetz allgemeiner Art,
das für jede ebene Perspektive Abbildung in gleicher Weise
erfüllt ist, und schicken einige einfache Tatsachen voraus.

Eine Kugel, die wir betrachten, erscheint uns stets unter
dem Bild einer Kreisfläche. Jede auf der Kugel verlaufende
Kurve muß daher im Bilde ganz \myso{innerhalb} dieser Fläche
liegen. Der die Kreisfläche umrandende Kreis hei{\ss}t deshalb
\myso{scheinbarer Umri\ss} der Kugel. Hierin ist ein allgemeines
Gesetz enthalten, zu dessen Erörterung wir nun übergehen.\footnote
  {Die Beweisgründe sind im folgenden teilweise der Anschauung
  entnommen.}

%%-----File: 075.png---
\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig85.pdf}
\caption{}\label{fig:85}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Ist $P$ ein Punkt einer \myso{krummen Fläche $\Omega$}, so existiert
in ihm eine \myso{Tangentialebene $\tau$}, die folgendermaßen
definiert ist: Wird durch den Punkt $P$ auf der Fläche $\Omega$ eine
Kurve $c$ gezogen, und im Punkte $P$ ihre Tangente $t$
konstruiert, so fällt diese, \myso{welches auch die
Kurve $c$ sein mag}, in die Ebene $\tau$ (Fig.~\ref{fig:85}).
Enthält also die Fläche insbesondere eine durch
$P$ gehende \myso{Gerade}, so ist diese als ihre eigene
Tangente zu betrachten und muß daher \myso{ganz} in $\tau$ enthalten sein.

\subsubsection{} Die Ebene, die eine Kegelfläche $\Phi$ in einem Punkte $P$
einer ihrer Kanten $k$ berührt, enthält diese Kante und ist zugleich
Tangentialebene der Kegelfläche in \myso{jedem anderen}
Punkt dieser Kante $k$. Sie geht überdies durch den Scheitel
des Kegels.

\subsubsection{} Auf dem Kegel $\Phi$ denke man sich nun eine durch den
Punkt $P$ gehende Kurve $c$ und schneide aus dem Kegel durch
eine Ebene $\varepsilon'$, die nicht durch seine Spitze $S$ gehen soll,
die Kurve $c'$ aus, so kann man sie als Projektion der Kurve $c$
von $S$ auf $\varepsilon'$ auffassen. Sei $P'$ wieder der Punkt von $\varepsilon'$, der
dem Punkt $P$ der Kurve $c$ entspricht. Dann besteht der Satz:

\mytheorem{\myso{Die Tangente der ebenen Kurve $c'$ im Punkt $P'$ ist
die Projektion der Tangente $t$, die die Kurve $c$ im
Punkte $P$ berührt}.}

Die Tangentialebene $\tau$, die den Kegel in $P$ berührt und die
Tangente $t$ enthält, geht nämlich gemäß~\ref{subsub:15..2}.\ durch den Scheitel $S$
des Kegels; mithin ist die Projektion von $t$ in $\varepsilon'$ die Schnittlinie
von $\varepsilon'$ mit $\tau$. Andererseits ist die Tangente der ebenen Kurve $c'$
in $P'$ gemäß~\ref{subsub:15..2}.\ ebenfalls in $\tau$ enthalten, und da sie auch in $\varepsilon'$
liegen muß, so ist sie gleichfalls Schnittlinie von $\varepsilon'$ mit $\tau$. Damit
ist der Satz bewiesen. Man kann ihn kurz so aussprechen,
daß \myso{die Tangente der Projektion gleich der Projektion
der Tangente} ist.

\subsubsection{} Der vorstehende Satz kann allerdings eine Ausnahme
erleiden, nämlich dann, wenn die Tangente $t$ der Kurve $c$ in
die Kegelkante $k$ fällt. Die Projektion von $t$ reduziert sich
dann auf den Punkt $P'$ selbst. Die Gestalt der Kurve $c'$ im
Punkt $P'$ hängt alsdann davon ab, ob die Kegelkante $k$ für
die Kurve $c$ eine gewöhnliche oder eine Wendetangente ist.
Im ersten Fall hat $c'$ offenbar im Punkte $P'$ eine Spitze.

\subsubsection{} Sei nun $\Omega$ die Oberfläche eines Körpers $\Sigma$, der ebenflächig
oder krummflächig begrenzt sein kann, und sei wieder
%%-----File: 076.png---
$S_0$ das im Auge liegende perspektivische Zentrum. Dann lassen
sich alle durch $S_0$ gehenden Strahlen in zwei Gattungen teilen,
je nachdem sie mit $\Sigma$ mindestens einen oder keinen Punkt gemein
haben. Die ersten erfüllen einen gewissen Raumteil $V$
des Bündels $S_0$, dessen Oberfläche eine kegelartige Fläche $\Phi$
mit dem Scheitel $S_0$ ist, und zwar enthält jede Kegelkante
mindestens einen Punkt der Oberfläche $\Omega$ von $\Sigma$. Sie kann
unter Umständen auch mehr als einen Punkt von $\Sigma$ enthalten.\footnote
  {Ist z.~B.\ $\Sigma$ ein Polyeder, und geht eine Ebene dieses Polyeders
  durch $S_0$, so gibt es Kegelkanten, die in diese Ebene fallen, und denen
  ein ganzes Stück der Oberfläche $\Phi$ angehört.}
Ist $\Omega$ insbesondere eine \myso{krumme Fläche}, so ist der Kegel $\Phi$
nichts anderes als der von $S_0$ an die Fläche gelegte \myso{Tangentialkegel},
und jede Tangentialebene dieses Kegels ist zugleich eine
Tangentialebene der Fläche $\Omega$.

\subsubsection{} Die Gesamtheit aller Punkte der Oberfläche $\Omega$, die zugleich
dem Kegel $\Phi$ angehören, wollen wir durch $u$ bezeichnen.
Da dieser Kegel seine Spitze in $S_0$ hat, so liefert uns sein
Schnitt mit der Bildebene $\beta$ die Bildkurve $u'$ von $u$. Wir
bezeichnen sie als den \myso{scheinbaren Umriß} oder als \myso{Umrißkurve};
offenbar schließt sie dasjenige Flächenstück der Bildebene
$\beta$ ein, in dem die Bildpunkte der sämtlichen Punkte
von $\Sigma$ enthalten sind.

\subsubsection{} Ist $\Omega$ eine krumme Fläche, was wir von nun an ausschließlich
annehmen, so ist $u$ die Kurve, längs deren der Tangentialkegel
$\Phi$ die Fläche $\Omega$ berührt.\footnote
  {Da ein Irrtum nicht entstehen kann, wird auch $u$ als Umrißkurve
  bezeichnet werden.}
Beide Flächen haben
daher in jedem Punkt $P$ dieser Kurve dieselbe Tangentialebene;
mit anderen Worten, die Tangentialebene $\tau$ der Fläche $\Omega$ in
einem Punkt $P$ von $u$ geht stets durch den Scheitel $S_0$.

\subsubsection{} Sei nun $c$ irgendeine auf der Fläche $\Omega$ verlaufende Kurve,
die ebenfalls durch $P$ geht, und $c'$ ihre Bildkurve in $\beta$, so
wird $c'$ jedenfalls durch den Punkt $P'$ gehen. Es läßt sich
aber auch zeigen, daß sich die beiden Kurven $c'$ und $u'$ im
allgemeinen in $P'$ \myso{berühren}. Sind nämlich $t_c$ und $t_u$ die
Tangenten der Kurven $c$ und $u$ im Punkte $P$, so liegen sie
gemäß~\ref{subsub:15..1}.\ beide in der Tangentialebene $\tau$. Diese Tangentialebene
geht aber, wie wir eben sahen, durch $S_0$ hindurch, und
das heißt nichts anderes, als daß $\tau$ die Ebene ist, deren Schnitt
mit $\beta$ sowohl das Bild $t_c'$ von $t_c$ als auch das Bild $t_u'$ von
%%-----File: 077.png---
$t_u$ ergibt. Daher sind $t_c'$ und $t_u'$ identisch, womit der Satz
bewiesen ist. Also folgt:

\mytheorem{\myso{Die auf der Oberfläche $\Omega$ von $\Sigma$ verlaufenden
Kurven $c$ haben im allgemeinen die Eigenschaft, daß
ihre Bildkurven den scheinbaren Umriß berühren}.}

Eine Ausnahme kann nur eintreten, wenn die Tangente $t_c$
durch $S_0$ geht; nur dann versagt die vorstehende Beweisführung.
Dann reduziert sich das Bild $t_c$ in $\beta$ auf einen Punkt, und die
Kurve $c'$ kann in $P'$ eine Spitze erhalten. Ein Kreuzen beider
Kurven ist aber ausgeschlossen, denn aus der Definition von $u'$
folgt unmittelbar, daß $c'$ ganz dem durch $u'$ begrenzten Flächenstück
angehören muß.

Die einfachsten Beispiele erhalten wir, wenn wir zur Darstellung
durch Grundriß und Aufriß oder zur axonometrischen
Darstellung übergehen.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
  \begin{minipage}[t]{.262\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig86.pdf}
\caption{}\label{fig:86}
    \end{center}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[t]{.241\textwidth}
    \begin{center}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig87.pdf}
\caption{}\label{fig:87}
    \end{center}
  \end{minipage}
\end{wrapfigure}

\setcounter{subsection}{1}
\setcounter{subsubsection}{0}
\subsubsection{} Eine \myso{Schraubenlinie} in Grundriß und Aufriß darzustellen
(Fig.~\ref{fig:86}). Wird die Grundrißebene auf den Zylinderkanten
senkrecht gewählt, so ist der Grundriß mit dem Grundkreis
$k$ des Zylinders identisch.
Den Aufriß konstruiert man
punktweise, indem man den
Grundkreis in $n$ gleiche Teile
teilt, und die den Teilpunkten
entsprechenden Aufrißprojektionen
proportional zunehmen
läßt. Sind $A$, $B$, $C$, $D$ $\dotsc$ die Teilpunkte
auf dem Kreise, und ist $d$
eine beliebige Länge, so hat man
\[
B_2B_0 = d,\quad
C_2C_0 = 2d,\quad D_2D_0 = 3d \ldots
\]
zu machen. Der scheinbare Umriß besteht
aus zwei Geraden, die Projektionen zweier
Zylindergeraden sind; sie werden von der
Schraubenlinie abwechselnd berührt, und zwar in Punkten,
die im konstanten Abstand $2h$ aufeinanderfolgen, wenn $h$ die
Höhe eines halben Schraubenganges ist. Der Aufriß ist in
diesem Fall eine einfache Wellenlinie.

\subsubsection{} Um dieselbe Schraubenlinie in derjenigen schiefen Projektion
zu zeichnen, bei der die $y$-Achse in die Richtung der
negativen $z$-Achse fällt, verfährt man am einfachsten in der
%%-----File: 078.png---
Weise, daß man sich zunächst gemäß §~\ref{section:14} die Ellipse $k'$ punktweise
herstellt, die Bild des Grundkreises $k$ ist. (Fig.~\ref{fig:87}) Ist
dann $P_1'$ der Bildpunkt des Punktes $P_1$ von Figur~\ref{fig:86}\footnote
  {Man beachte, daß sich der Zylinder unsern Festsetzungen gemäß
  (§~\ref{section:10}) \myso{hinter} der Aufrißebene befindet, so daß der Grundriß beim
  Zurückdrehen hinter die Ebene des Papiers tritt.},
so erhält
man den Bildpunkt $P'$ des Schraubenlinienpunktes $P$ in
der Weise, daß man die $z$-Koordinate $P_0P_2$ um die Strecke $P_0'P_1'$
verkürzt, also $P_1'P' = P_0P_2$ macht. Auch hier berührt das
Bild der Schraubenlinie den von den beiden äußersten Erzeugenden
gebildeten scheinbaren Umriß.

Wird die Projektionsrichtung so gewählt, daß sie der Tangente
im Punkte $S$ parallel ist, so erhält die Bildkurve in $S'$
eine Spitze, die senkrecht gegen die Zylindergerade verläuft.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig88.pdf}
\caption{}\label{fig:88}
\end{wrapfigure}

In dieser Weise kann man auch mit andern auf dem
Zylinder verlaufenden Kurven verfahren, deren Grundriß und
Aufriß leicht herstellbar ist. Um z.~B.\ eine Ellipse zu zeichnen,
die durch eine Ebene $\varepsilon$ ausgeschnitten wird, wähle man die
Aufrißebene zu $\varepsilon$ senkrecht; dann reduziert sich der Aufriß
auf eine Gerade, nämlich auf den Schnitt von $\varepsilon$ mit der Aufrißebene.
Ähnlich kann man auch Kurven zeichnen, die auf einem
geraden Kegel verlaufen.

\subsubsection{} Eine \myso{Kreisscheibe} mit einem in der Mitte befindlichen
zylindrischen Loch zu zeichnen (Fig.~\ref{fig:88}).

Wir erhalten die einfachste Darstellung, indem wir wiederum
die $y$-Achse in die Richtung der negativen $z$-Achse fallen
lassen.

Bei dieser Darstellung werden die beiden Kreise $G$ und $H$,
die die äußere zylindrische Fläche begrenzen, zu kongruenten
Ellipsen, deren Mittelpunkte vertikal übereinanderliegen, und das
gleiche gilt für die Grenzkreise $g$ und $h$
des inneren Zylindermantels. Man erhält
sie wie im vorstehenden Paragraphen. Es
gibt einen äußeren und einen inneren
scheinbaren Umriß. Der \myso{äußere} besteht
aus Teilen der Ellipsen $G$ und $H$
und zwei parallelen Geraden; diese sind
Bilder der beiden Zylinderkanten, längs
deren die Tangentialebenen des Zylinders zur $yz$-Achse parallel
sind. Diese beiden Geraden müssen daher die Ellipsen
%%-----File: 079.png---
berühren. In den \myso{inneren} scheinbaren Umriß gehen im vorliegenden
Fall nur Teile von $g$ und $h$ ein. Zu beachten ist, daß die
bezüglichen Teile von $g$ und $h$ in der Figur unter einem \myso{spitzen
Winkel} zusammentreffen; die \myso{Kreuzungspunkte} müssen deshalb,
um einen deutlichen Gesichtseindruck hervorzubringen,
scharf zu erkennen sein.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig89.pdf}
\caption{}\label{fig:89}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Eine Kugel \myso{mit einigen ihrer grö{\ss}ten
Kreise} in \myso{orthogonaler} Projektion zu
zeichnen (Fig.~\ref{fig:89}).

Derjenige grö{\ss}te Kreis, der zur Bildebene
parallel liegt, liefert den scheinbaren Umri\ss.
Die anderen grö{\ss}ten Kreise berühren ihn; man erhält ihre
Bilder gemäß §~\ref{section:14}.\footnote
  {Das Auge ist durchaus gewöhnt, Bilder, die sich auf die Kugel
  beziehen, in orthogonaler Projektion dargestellt zu sehen. Wahrscheinlich
  beruht es darauf, daß die Kugel dem Auge von jedem Punkte aus
  gleich erscheint, und zwar so, daß ihr wirklicher Umriß $u$ ein Kreis ist.
  Es wünscht daher auch den scheinbaren Umriß $u'$ als Kreis zu sehen.
  Dies ist aber nur für die orthogonale Projektion der Fall. Bei schiefer
  Projektion ist der scheinbare Umriß eine Ellipse, doch projiziert sich
  auch bei ihr der zur Bildebene parallele grö{\ss}te Kreis in seiner naturlichen
  Form. Ihn pflegt man deshalb bei schiefer Projektion im Bilde
  zu zeichnen. Er wird aber von den Bildern der anderen grö{\ss}ten Kreise
  im allgemeinen nicht berührt, sondern gekreuzt. Ein derartiges Bild entsteht
  z.~B., wenn wir in Figur~\ref{fig:83} den Kreisbogen $AC$ zum ganzen Kreis
  und die Ellipsenbogen $AB'$ und $CB'$ zu den ganzen Ellipsen vervollständigen.
  Die Ellipse, die in diesem Fall den scheinbaren Umriß darstellt,
  würde diese Kurven wieder berühren. Doch ist ein so gezeichnetes
  Bild dem Auge trotz setner Richtigkeit aus den genannten Gründen
  ungewohnt und wird deshalb besser vermieden. Für einzelne Teile der
  Kugel ist dies, wie die Figuren zeigen, nicht der Fall.}%endfootnote

\subsubsection{} Der scheinbare Umriß ergab sich bisher unmittelbar in
der Weise, daß wir die Bilder der in ihn eingehenden Kurven
direkt zeichnen konnten. In den weniger einfachen Fällen wird
er jedoch, wie es seiner Natur entspricht, nur als \myso{Enveloppe}
konstruierbar sein. Ich gebe auch hierzu noch einige einfachere
Beispiele.

\begin{figure}[hbtp]
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig90.pdf}
\caption{}\label{fig:90}
\end{figure}

Um zunächst einen \myso{Kreisring} in derselben axonometrischen
Darstellung zu zeichnen, die vorher benutzt wurde, geht man
am besten von einer Figur aus (Fig.~\ref{fig:90}), die den Schnitt des
Ringes mit einer durch die Rotationsachse ($z$-Achse) gehenden
Ebene darstellt; die so entstehende Schnittfigur besteht aus
den beiden Kreisen $k_1$ und $k_2$. Wir zeichnen nun zunächst wieder
%%-----File: 080.png---
die axonometrischen Bilder der Kreise $a_1$ und $a_2$\footnote
  {Der Index~1 entspricht hier und im folgenden dem inneren, der
  Index~2 dem äußeren Kreis.},
in denen
der Ring von der Äquatorebene geschnitten wird, sowie die
Bilder des oberen und unteren Berührungskreises $b_1$ und $b_2$.
Die Durchmesser
dieser Kreise sind
aus der Durchschnittfigur
unmittelbar zu entnehmen;
ihre Bilder
sind Ellipsen,
die wir ebenso wie
bei den vorstehenden
Aufgaben, zu
konstruieren
haben.\footnote
  {Das Bild des Kreises $b_2$ fehlt in der Figur, da er unsichtbar ist.}


Um den scheinbaren
Umriß zu
erhalten, wollen
wir diesmal einige
seiner Punkte direkt
konstruieren,
und zwar solche,
die Punkten der $yz$-Ebene entsprechen. Die Richtung der projizierenden
Parallelstrahlen nehmen wir in bestimmter Weise als
gegeben an. Sei $\phi$ der Winkel, den sie mit der $z$-Achse bilden.
Zeichnet man dann in der Durchschnittfigur die Geraden, die mit
der $z$-Achse den Winkel $\phi$ bilden und die Kreise $k_1$ und $k_2$ berühren,
so bestimmen diese Berührungspunkte, wie leicht ersichtlich,
\myso{diejenigen Parallelkreise} $u_1$, $u_2$ und $v_1$, $v_2$ \myso{des Kreisrings,
deren in der $yz$-Ebene liegende Punkte den Umrißkurven
angehören}. Die Durchmesser dieser Parallelkreise
sind aus der Figur unmittelbar zu entnehmen. Deren Bilder
zeichnen wir ebenfalls axonometrisch und können nunmehr die
Umrißkurven als \myso{Enveloppen der sämtlichen vorhandenen
Ellipsen} herstellen. Jede dieser Ellipsen besitzt Punkte, die
dem scheinbaren Umriß angehören.

Auch hier ist zu beachten, daß der innere Teil des scheinbaren
Umrisses, wie im vorigen Beispiel, in zwei Teile zerfällt,
%%-----File: 081.png---
die unter einem \myso{spitzen Winkel} zusammenstoßen. Gerade
diese Eigenschaft des Bildes ist für das Hervorbringen eines
guten optischen Eindruckes wesentlich.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig91.pdf}
\caption{}\label{fig:91}
\end{wrapfigure}

\subsubsection{} Ein \myso{Rotationshyperboloid} $H$
axonometrisch in schiefer Projektion
zu zeichnen. (Fig.~\ref{fig:91}).

Sind $k_1$ und $k_2$ zwei Kreise des
Hyperboloids, deren Ebenen vom
Mittelpunkt gleichen Abstand haben,
so wird jede Gerade des Hyperboloids
diese Kreise in zwei solchen Punkten
$P_1$ und $P_2$ schneiden, daß die Ebenen,
die $P_1$ und $P_2$ mit der Hauptachse
verbinden, einen konstanten Winkel
einschließen. Darauf beruht die
folgende Konstruktion.

Man zerlege $k_1$ und $k_2$ in gleich viele Teile, bezeichne die
senkrecht übereinanderliegenden Teilpunkte durch gleiche Ziffern
und konstruiere gemäß §~\ref{section:14} deren axonometrische Bilder. Dann
verbinde man den Punkt 1 von $k_1'$ mit dem Punkt $\nu$ von $k_2'$,
ebenso 2 von $k_1'$ mit $\nu+1$ von $k_2'$ und fahre so fort, so erhält
man das Bild der einen Geradenschar.\footnote
  {In der obigen Figur ist $\nu = 9$.}
Die andere erhält man
ebenso, wenn man die Punkte $1, 2,\ldots$ von $k_2'$ mit $\nu, \nu + 1,\ldots$
von $k_1'$ verbindet. Alle diese Geraden müssen den scheinbaren
Umriß berühren. Dieser ist daher nichts anderes als die \myso{Enveloppe
unserer Geradenscharen}. Um die Figur anschaulich
zu machen, sind nur diejenigen Stücke der Geraden gezeichnet
worden, die auf dem vom Auge $S_0$ sichtbaren Teil des
Hyperboloids liegen.

\section{Die stereographische Projektion.}

Außer den auf der Perspektive beruhenden bildlichen Darstellungen
sind für besondere Zwecke andere Abbildungsmethoden
im Gebrauch. Eine der wichtigsten ist die \myso{stereographische
Projektion}.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig92.pdf}
\caption{}\label{fig:92}
\end{wrapfigure}

Die stereographische Projektion kann noch als Sonderfall
der allgemeinen Perspektive angesehen werden, mit der Maßgabe,
daß \myso{nur die Punkte einer Kugelfläche} der Abbildung
%%-----File: 082.png---
unterworfen werden. Man fasse auf der Kugel (Fig.~\ref{fig:92})\footnote
  {Die Figur enthält von der Kugel nur den größten Kreis $N\,A\,S$.}
zwei Endpunkte eines Durchmessers in Betracht, die wir Nordpol
$N$ und Südpol $S$ nennen wollen, lege im Südpol $S$ die
Tangentialebene $\varepsilon'$, betrachte den Nordpol
$N$ als den Scheitel der perspektiven
Beziehung und die Tangentialebene $\varepsilon'$
als die Bildebene, ziehe durch $N$ einen
beliebigen Strahl, der die Kugel in einem
Punkt $A$ und die Tangentialebene in $A'$
schneide, und hat damit dem Punkt $A$
der Kugel den Bildpunkt $A'$ der Ebene
$\varepsilon$ zugewiesen. \myso{Jedem} durch $N$ gehenden
Strahl, der die Kugel noch in einem zweiten von $N$ verschiedenen
Punkt schneidet, entspricht so ein Bildpunkt $A'$, während umgekehrt
auch zu jedem Punkt $B'$ der Ebene ein Punkt $B$ der Kugel
gehört, nämlich der stets vorhandene Punkt $B$, in dem der
Strahl $NB'$ die Kugel außer in $N$ durchdringt. Der Punkt $S$ ist
mit seinem Bildpunkt identisch.

Eine Ausnahme tritt nur für den Punkt $N$ selbst ein und
für die Strahlen, die die Kugel in $N$ berühren. Sie sind der
Ebene $\varepsilon'$ parallel. Will man auch hier das Gesetz des eineindeutigen
Entsprechens ausnahmslos gestalten, muß man
wieder uneigentliche Punkte der Ebene $\varepsilon'$ einführen; im Gegensatz
zu §~\ref{section:6} hat dies aber hier so zu geschehen, daß man der
Ebene nur \myso{einen} uneigentlichen Punkt beilegt und ihn dem
Punkt $N$ als Bildpunkt zuweist. Dies erweist sich in der Tat
als zulässig.\label{anhanglink:11}\footnote
  {Vergleiche den Anhang,~\ref{anhang:11}.}

Näher hierauf einzugehen, ist nicht nötig, da es für die
praktischen Zwecke, die wir hier im Auge haben, nicht in Betracht
kommt. Hat man nämlich eine stereographische Abbildung
eines solchen Teiles der Oberfläche herzustellen, der den
Nordpol enthält, so wird man den Punkt $S$ als Zentrum der
Projektion und als Bildebene $\varepsilon'$ die Tangentialebene in $N$ wählen.

Die Wichtigkeit und Nützlichkeit der stereographischen
Projektion beruht auf folgenden zwei Sätzen:

\mytheorem{\myso{Jedem Kugelkreis $k$ entspricht als ebenes Bild
ein Kreis $k'$}.}

\mytheorem{\myso{Zwei Kugelkreise schneiden sich unter denselben
Winkeln, wie ihre Bildkreise}.}

%%-----File: 083.png---

Den ersten Satz beweisen wir so, daß wir zeigen, daß
gewissen Gruppen von vier Punkten $A$, $B$, $C$, $D$ der Kugel,
die auf einem Kreise $k$ liegen, vier Bildpunkte entsprechen, die
ebenfalls auf einem Kreise liegen.

Verbindet man (Fig.~\ref{fig:92}) $S$ mit $A$, so ist $SA$ eine Höhe des
rechtwinkligen Dreiecks $NSA'$, und daher besteht die Relation
\[
NS^2 = NA · NA'.
\Tag[eq:16.1]{1}
\]

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig93.pdf}
\caption{}\label{fig:93}
\end{wrapfigure}

Sei nun $k$ ein auf der Kugel liegender Kreis, $\eta$ die ihn
enthaltende Ebene, und $e$ die Schnittlinie der Ebenen $\eta$ und $\varepsilon'$.
Wir nehmen auf dem
Kreis $k$ vier Punkte $A$,
$B$, $C$, $D$ so an, daß
(Fig.~\ref{fig:93})\footnote
  {Die Figur soll nur die Lage der Geraden und Ebenen erkennen
  lassen. Die Gerade $e$ ist in ihr nicht gezeichnet.}
die Sehnen
$AB$ und $CD$ sich auf $e$
in einem Punkte $O$
schneiden, und ziehen
die vier Strahlen
\begin{center}
  $NAA'$, \quad $NBB'$,\\
  $NCC'$, \quad $NDD'$.
\end{center}

Ist dann $\alpha$ die Ebene $NAB$, und $\gamma$ die Ebene $NCD$, so
schneiden sich die drei Ebenen $\varepsilon'$, $\alpha$ und $\gamma$ ebenfalls in $O$; daher
gehen durch ihn auch die Schnittlinien von je zweien
dieser Ebenen hindurch, also auch die von $\alpha$ und $\varepsilon'$ und die
von $\gamma$ und $\varepsilon'$. Auf der ersten liegen die Punkte $A'$ und $B'$,
auf der zweiten $C'$ und $D'$, und wir folgern so, daß $OA'B'$
und $OC'D'$ je eine Gerade bilden. Wird nun die Relation~\ref{subsub:16..1})
auf die Strahlen $NA$ und $NB$ angewandt, so folgt
\[
NA · NA' = NB · NB',
\Tag[eq:16.2]{2}
\]
und dies bedeutet, daß die vier Punkte $A$, $B$, $A'$, $B'$ auf einem
gewissen Kreise $k_a$ liegen. Andererseits schneiden sich $AB$
und $A'B'$ in $O$, und daher folgt aus dem Sehnensatz für diesen
Kreis $k_a$ weiter
\[
OA · OB = OA' · OB'.
\Tag[eq:16.3]{3}
\]
In derselben Weise ergibt sich
\[
OC · OD = OC' · OD'.
\]
%%-----File: 084.png---

Nun ist aber, da $A$, $B$, $C$, $D$ Punkte des Kreises $k$ sind,
\[
OA · OB = OC · OD,
\Tag[eq:16.4]{4}
\]
also folgt schließlich
\[
OA' · OB' = OC' · OD';
\Tag{5}
\]
es liegen also in der Tat auch die Punkte $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ auf
einem Kreise. Da eine solche Relation für je zwei durch $O$
gehende Geraden abgeleitet werden kann, ist damit das Bild $k'$
von $k$ als Kreis erwiesen.

Das Bild eines jeden durch $N$ und $S$ gehenden Meridians
ist insbesondere eine durch $S$ gehende Gerade, und das Bild
jedes Parallelkreises ein Kreis mit dem Mittelpunkt $S$. Den
Mittelpunkt eines beliebigen Kreises $k'$ findet man auf Grund
davon, daß es einen Durchmesser des Kreises $k$ gibt, der in
einen Durchmesser des Kreises $k'$ übergeht, nämlich denjenigen,
den die durch $NS$ gehende auf $k$ senkrechte Ebene enthält.

Um den Satz~\ref{thm:16.II} zu beweisen, schicken wir zunächst folgende
evidente Tatsachen voraus.

\subsubsection{} Sind $k$ und $k_1$ zwei Kugelkreise, die sich in den Punkten
$P$ und $P_1$ schneiden, so sind die Winkel, die sie in $P$ und $P_1$
bilden, einander gleich, und zwar sind diese Winkel identisch
mit den Winkeln, die ihre Tangenten in $P$ und $P_1$ bilden.
Das gleiche gilt für zwei ebene Kreise.

\subsubsection{} Sind $k$, $k_1$, $k_2 \ldots$ Kugelkreise, die sich im Punkte $P$
berühren, also in diesem Punkte dieselbe Tangente $t$ haben, so
berühren sich die Bildkreise $k'$, $k_1'$, $k_2' \ldots$ sämtlich in $P'$, und
haben in $P'$ die Bildgerade $t'$ als Tangente.

Man sieht nun zunächst, daß der Satz~\ref{thm:16.II} in dem Fall evident
ist, daß die Kugelkreise $k$ und $k_1$ beide durch den Südpol
$S$ gehen, also ihre Tangenten $t$ und $t_1$ in der Ebene $\varepsilon'$ liegen.
Dann gehen nämlich auch die Bildkreise $k'$ und $k_1'$ durch $S$, und
deren Tangenten $t'$ und $t_1'$ sind mit $t$ und $t_1$ \myso{identisch}, woraus
die Behauptung unmittelbar folgt.

Hieraus ergibt sich der Beweis des allgemeinen Falles
folgendermaßen. Seien $k$ und $l$ irgend zwei Kugelkreise, die
sich im Punkte $P$ schneiden, sei $(k,l)$ der von ihnen gebildete
Winkel\footnote
  {Es gibt zwei solcher Winkel für $k$, $l$ und $k'$, $l'$; die obige Relation
  gilt naturgemäß für jedes Paar entsprechender Winkel.},
und seien $k'$ und $l'$ die Bildkreise, so ist zu zeigen, daß
\[
\measuredangle(k,l) =  \measuredangle(k'\DPtypo{}{,}l')
\Tag[eq:16.1b]{1}
\]
%%-----File: 085.png---
ist. Gemäß~\ref{subsub:16..1}.\ und~\ref{subsub:16..2}.\ schließen wir dann zunächst, daß es
zwei Kreise $k_1$  und $l_1$ gibt, die in $P$ dieselben Tangenten haben,
wie $k$ und $l$, und überdies durch $S$ gehen, und es ist
\[
\measuredangle(k,l) = \measuredangle(k_1,l_1).
\Tag[eq:16.2b]{2}
\]
Die Bildkreise $k_1'$ und $l_1'$ gehen dann ebenfalls durch $S$, und
gemäß~\ref{subsub:16..1}.\ und~\ref{subsub:16..2}.\ ist auch
\[
\measuredangle(k',l') = \measuredangle(k_1',l_1').
\Tag[eq:16.3b]{3}
\]
Da nun aber auf Grund des eben bewiesenen Sonderfalles
\[
\measuredangle(k_1,l_1) = \measuredangle(k_1',l_1').
\Tag[eq:16.4b]{4}
\]
ist, so folgt damit auch die Richtigkeit der Relation~\ref{eq:16.1}. Damit
ist der Satz~\ref{thm:16.II} in vollem Umfange bewiesen.

Die durch die stereographische Projektion vermittelte Abbildung
wird deshalb als \myso{winkeltreu} bezeichnet. Denkt man
sich auf der Kugel ein sehr kleines Kugeldreieck, so entspricht
ihm ein ebenes Kreisdreieck mit \myso{gleichen} Winkeln, und da
man diese Dreiecke in der Annäherung als geradlinig betrachten
kann, so sagt man, daß die Abbildung in den \myso{kleinsten
Teilen ähnlich} ist. Abbildungen dieser Art heißen auch
\myso{konform}.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig94.pdf}
\caption{}\label{fig:94}
\end{wrapfigure}

Als Beispiel behandeln wir diejenige Kugelteilung, die
durch die sechs Diagonalebenen eines der Kugel einbeschriebenen
Würfels entsteht. Durch jeden Würfeleckpunkt gehen drei von
ihnen; wir haben also auf der Kugel sechs größte Kreise, die
sich zu je dreien in einem Punkt schneiden. Den Würfel
denken wir uns in der Stellung, die Figur~\ref{fig:57} zeigt; die Diagonale
$AH$ fällt also mit der Achse $NS$
zusammen.

Die drei durch $NS = HA$ gehenden
Kreise projizieren sich (Fig.~\ref{fig:94}) in je
eine durch $A$ gehende Gerade; jede von
ihnen enthält die Bilder von zweien der
Ecken $B$, $C$, $D$ und $E$, $F$, $G$. Nur die
Längen $AB_1$ und $AE_1$ sind noch zu ermitteln.
Offenbar erhalten wir $AB_1$, indem
wir in Figur~\ref{fig:56} $HB$ bis zum
Schnitt $B_1$ mit der durch $A$ gehenden Horizontalen verlängern;
analog ergibt die Verlängerung von $AB$ his zum Schnitt mit
der durch $H$ gehenden Horizontalen die Lange von $AE_1$. Die
%%-----File: 086.png---
Kreise durch $B_1C_1E_1F_1$, $C_1D_1F_1G_1$ und $B_1D_1E_1G_1$ liefern
die Bilder der drei gesuchten Diagonalkreise unserer Kugelteilung.\label{anhanglink:12}\footnote
  {Vgl.\ den Anhang,~\ref{anhang:12}.}



\section{Die Relief- und Theaterperspektive.}

Um zwei Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$ parallelperspektiv aufeinander
zu beziehen\footnote
  {Es ist für das Folgende bequemer, die sonst immer durch $\varepsilon$ und
  $\varepsilon'$ bezeichneten Ebenen jetzt $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$ zu nennen.},
genügt es gemäß §~\ref{section:5},~\ref{subsub:5..6} einem \myso{beliebigen}
Punkt $P$ der Ebene $\varepsilon$ einen \myso{beliebigen} Punkt $P_1$ von $\varepsilon_1$ als
entsprechenden zuzuweisen; die Verbindungslinie von $P$ und $P_1$
bestimmt die Richtung der projizierenden Strahlen. Ferner
schneiden sich gemäß Satz~\ref{thm:4.II} von §~\ref{section:4} je zwei entsprechende
Geraden $g$ und $g_1$ beider Ebenen auf ihrer Schnittlinie $s$, die
eine sich selbst entsprechende Gerade ist.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig95.pdf}
\caption{}\label{fig:95}
\end{wrapfigure}

Wird die Ebene $\varepsilon_1$ um die Achse $s$ in die Ebene $\varepsilon$ hineingedreht,
so wird $g_1$ im allgemeinen nicht mit $g$ zusammenfallen.
Es ist aber leicht, ein Paar entsprechender Geraden
von $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$ zu finden, das diese Eigenschaft
besitzt. (Fig.~\ref{fig:95}). Dazu braucht
man nur, nachdem man $\varepsilon_1$ in $\varepsilon$ hineingedreht
hat, $P_1$ und $P$ zu verbinden,
so stellt diese Verbindungslinie ein Paar
zusammenfallender Geraden dar. Ist nämlich
$G$ ihr Schnittpunkt mit $s$, so ist
$G = G_1$ und die Geraden $GP$ und $G_1P_1$ sind daher auch für
die ursprüngliche Lage von $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$ entsprechende Geraden
beider Ebenen. Wir bezeichnen sie durch $p$ und $p_1$.

Auf diesen Geraden $p$ und $p_1$ gibt es außer dem Punkt
$G = G_1$ noch ein zweites Paar entsprechender Punkte, das bei
der Vereinigung von $\varepsilon_1$ mit $\varepsilon$ zusammenfällt, nämlich ihre unendlichfernen.
Da wir es nämlich mit einer parallelperspektiven
Beziehung zu tun haben, so sind (§~\ref{section:6},~\ref{thm:6.I}) die unendlichfernen
Punkte von $p$ und $p_1$ entsprechende Punkte beider Ebenen,
andererseits ist klar, daß sie bei der Vereinigung von $\varepsilon_1$ mit $\varepsilon$
zusammenfallen. Gibt es auf $p$ und $p_1$ noch ein drittes Paar
derartiger Punkte $A$ und $A_1$, so müssen alle Paare entsprechender
Punkte zusammenfallen; denn man hat $GA = G_1A_1$, und der
%%-----File: 087.png---
zu $p$ und $p_1$ gehörige Proportionalitätsfaktor $\varrho$ hat daher den
Wert~1. Dies wollen wir jedoch ausdrücklich ausschlie{\ss}en;
insbesondere wird also auch der Punkt $P_1$ nicht mit $P$ zusammenfallen.

Sei jetzt $Q$ \myso{irgendein} Punkt von $\varepsilon$, so können wir durch
ihn eine Gerade $q$ \myso{parallel} zu $p$ legen. Dann ist auch $q_1$ parallel
zu $p_1$, und da sich $q$ und $q_1$ überdies in einem Punkt
von $s$ schneiden, so bilden auch $q$ und $q_1$ ein Paar entsprechender
Geraden, das bei der vereinigten Lage von $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$ zusammenfällt.
Für die \myso{vereinigte} Lage ist also $q = q_1$ eine
Gerade, die sowohl den Punkt $Q$ wie auch den Punkt $Q_1$ enthält
und au{\ss}erdem durch den unendlichfernen Punkt von $p$ geht.
Bezeichnen wir diesen Punkt noch durch $S_\infty$, so ergibt sich nunmehr
das folgende Resultat:

\mytheorem{\myso{Die beiden vereinigt liegenden Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$
sind so aufeinander bezogen, daß sich je zwei entsprechende
Geraden auf der Achse $s$ schneiden, und
je zwei entsprechende Punkte auf einem durch ein
festes Zentrum $S_\infty$ gehenden Strahl liegen. Der Punkt
$S_\infty$ und jeder Punkt der Achse $s$ entspricht sich selbst,
ebenso jeder durch $S_\infty$ gehende Strahl}.}\footnote
  {Im allgemeinen entpricht also einem Punkt der einen Ebene
  ein von ihm verschiedener Punkt der anderen, nur $S_\infty$ und die Punkte
  von $s$ machen eine Ausnahme und entsprechen sich selbst.}

Von den vereinigt liegenden Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$ sagen wir
auch jetzt, daß sie sich in \myso{parallelperspektiver} Lage befinden,
und nennen $s$ die Achse und $S_\infty$ das \myso{Zentrum} der
\myso{Perspektivität}. Statt Perspektivität sind auch die Bezeichnungen
\myso{kollineare} Lage, \myso{Kollineationsachse} und \myso{Kollineationszentrum}
im Gebrauch.

Um eine solche Beziehung zu vermitteln, konnten wir in
der \myso{ursprünglichen} Lage von $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$ ein Punktepaar $P$, $P_1$
beliebig einander zuweisen. Au{\ss}erdem ist auch die Schnittlinie
$s$ als gegeben zu betrachten. Dies überträgt sich analog
auf die \myso{vereinigte} Lage. Hat man nämlich für die vereinigte
Lage eine Achse $s$ und ein Punktepaar $P$, $P_1$ beliebig ausgewählt,
und wird dann die vereinigte Lage durch Auseinanderdrehen
von $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$ um $s$ als Achse zunächst wieder aufgehoben,
so ist durch das Punktepaar $P$, $P_1$ eine Projektionsrichtung
und damit eine parallelperspektive Beziehung
vermittelt. Damit ist jedem Punkt der einen Ebene ein
%%-----File: 088.png---
entsprechender der anderen zugewiesen, und dies bleibt bestehen,
wenn wir die vereinigte Lage wieder herstellen. Da nun in
der vereinigten Lage durch das Punktepaar $P$, $P_1$ auch der
Punkt $S_\infty$ bestimmt ist, können wir dies folgenderma{\ss}en als
Satz aussprechen:

\mytheorem{\myso{Um zwei vereinigte Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$ in parallelperspektive
Beziehung zubringen, kann mau die Achse $s$,
das Zentrum $S_\infty$ und auf irgendeinem durch $S_\infty$ gehenden
Strahl ein Paar entsprechender Punkte $P$ und $P_1$
beliebig annehmen}.}

Unser Beweis ging so vor, daß wir die Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$,
um einen beliebigen Winkel auseinander drehten. Man kann
daher fragen, ob die sich für die vereinigte Lage einstellende
parallelperspektive Beziehung von diesem Winkel abhängt.
Dies ist jedoch nicht der Fall; vielmehr ist die so hergestellte
perspektive Beziehung der vereinigten Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$ durch
$s$, $S_\infty$ und das Punktepaar $P$, $P_1$ \myso{eindeutig} bestimmt. Um
dies nachzuweisen, ist nur zu zeigen, daß sich zu einem gegebenen
Punkt $Q$ von $\varepsilon$ der zugehörige Punkt $Q_1$ von $\varepsilon_1$ eindeutig
konstruieren lä{\ss}t (Fig.~\ref{fig:95}). Man ziehe hierzu durch $Q$
die Gerade $q$ parallel zur Geraden $p = PP_1$ und au{\ss}erdem die
Gerade $QP$; ist $G$ ihr Schnitt mit $s$, so liegt $Q_1$ erstens auf
$q_1 = q$ und zweitens auf der Geraden $g_1 = GP_1$, die der Geraden
$g = GP$ entspricht. Damit ist $Q_1$ eindeutig bestimmt und der
Beweis geliefert.

Sei endlich $e$ eine durch $P$ gehende Gerade von $\varepsilon$, die zu
$s$ parallel ist, also durch den unendlichfernen Punkt von $s$ geht,
so entspricht ihr in $\varepsilon_1$ eine Gerade $e_1$, die ebenfalls durch
diesen Punkt geht, also ebenfalls zu $s$ parallel ist. Jeder zu $s$
parallelen Geraden der einen Ebene entspricht also eine ebensolche
Gerade der anderen. Unter den zu $s$ parallelen Geraden
von $\varepsilon$ befindet sich insbesondere auch die unendlichferne Gerade
$h_\infty$ von $\varepsilon$; ihr entspricht daher eine zu $s$ parallele Gerade
$h_1$ von $\varepsilon_1$, und ebenso gibt es in $\varepsilon$ eine zu $s$ parallele Gerade $k$;
die der unendlichfernen Geraden von $\varepsilon_1$ entspricht. Wir finden
so die Resultate wieder, die wir analog schon in §~\ref{section:7} abgeleitet haben.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig96.pdf}
\caption{}\label{fig:96}
\end{wrapfigure}

Wir unterwerfen die Ebene $\varepsilon$ nunmehr der in §~\ref{section:2} erörterten
Abbildung, und zwar in der Weise, daß die Ebenen $\varepsilon$
und $\varepsilon'$ sich in der Achse $s$ schneiden mögen.\footnote
  {Die Ebene $\varepsilon$ entspricht also der Ebene $\gamma$ und $\varepsilon'$ der Bildebene $\beta$.}
Dabei entspricht
%%-----File: 089.png---
dem Punkt $S_\infty$ der Ebene $\varepsilon$ ein auf dem Horizont von $\varepsilon'$
liegender Fluchtpunkt $S$, und wir erhalten für die Bildebene $\varepsilon'$
unmittelbar folgenden Tatbestand. In ihr befinden sich zwei
Ebenen $\varepsilon'$ und $\varepsilon'_1$ in der Weise in vereinigter Lage, daß je zwei
entsprechende Punkte $P'$ und $P'_1$ auf einem durch $S$ gehenden
Strahl liegen, und je zwei entsprechende Geraden $g'$ und $g'_1$
sich auf der Achse $s$ schneiden. Der Punkt $S$ und jeder
Punkt der Achse $s$ entspricht sich wieder selbst. Auch jetzt
sagen wir, daß sich $\varepsilon'$ und $\varepsilon'_1$ in \myso{perspektiver} oder \myso{kollinearer}
Lage befinden, und nennen $s$ die \myso{Achse} und $S$ das
\myso{Zentrum} der perspektiven oder kollinearen Lage. Auch von
dem Satz~\ref{thm:17.II} erkennen wir leicht, daß er sich auf diesen allgemeineren
Fall der perspektiven Lage
überträgt. Wird nämlich (Fig.~\ref{fig:96}) in
der Ebene $\varepsilon'$ eine Gerade $s$, ein Punkt $S$
und auf einem durch $S$ gehenden Strahl
ein Punktepaar $P'$, $P'_1$ beliebig angenommen,
so können wir die Ebene $\varepsilon'$ so
als Bildebene einer Ebene $\varepsilon$ auffassen,
daß sich $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ in $s$ schneiden, und daß dem Punkt $S$ in $\varepsilon$
ein unendlichferner Punkt $S_\infty$ entspricht; man hat hierzu das
perspektive Zentrum $S_0$, das die Beziehung von $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ vermittelt,
nur so zu wählen, daß der Horizont von $\varepsilon'$ durch $S$
geht. Wir haben also den Satz:

\mytheorem{\myso{Um für zwei vereinigte Ebenen $\varepsilon'$ und $\varepsilon'_1$ eine perspektive
Lage herzustellen, kann man die Achse $s$ und
das Zentrum $S$ der Perspektivität, sowie auf einem
durch $S$ gehenden Strahl ein Paar entsprechender
Punkte $P'$ und $P'_1$ beliebig annehmen}.}

Gemäß §~\ref{section:4} gehen bei jeder perspektiven Beziehung zweier
Ebenen $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ Geraden, die der Achse $s$ parallel sind, in
Geraden über, die ebenfalls zu $s$ parallel sind. Betrachtet man
daher die in $\varepsilon$ liegenden zu $s$ parallelen Geraden einerseits als
Geraden von $\varepsilon$ und andererseits als Geraden von $\varepsilon_1$ so sind
die ihnen entsprechenden Geraden von $\varepsilon'$ und $\varepsilon'_1$ ebenfalls
sämtlich zu $s$ parallel; wir folgern also, daß allen zur Achse
\myso{parallelen} Geraden von $\varepsilon'$ die zu $s$ \myso{parallelen} Geraden
von $\varepsilon'_1$ entsprechen.

Hieraus ziehen wir zwei Folgerungen. Erstens gibt es
wieder in $\varepsilon'$ eine zu $s$ parallele Gerade $h'$, die der unendlichfernen
Geraden von $\varepsilon'_1$ entspricht, und in $\varepsilon'_1$ eine zu $s$ parallele
%%-----File: 090.png---
Gerade $k'_1$, die der unendlichfernen Geraden von $\varepsilon'$ entspricht.
Wir wollen sie wieder als \myso{Fluchtlinien} bezeichnen, und zwar
$h'$ als Fluchtlinie von $\varepsilon'$ und $k'_1$ als Fluchtlinie von $\varepsilon'_1$. Eine
zweite Folgerung flie{\ss}t aus der überlegung, daß insbesondere
auch die beiden parallelen Geraden einander entsprechen müssen,
die durch $P'$ und $P'_1$ gehen. Wir können daher den Satz~\ref{thm:17.III}
so abändern, daß wir die Punkte $P'$ und $P'_1$ durch irgend zwei
einander entsprechende zu $s$ parallele Geraden von $\varepsilon'$ und $\varepsilon'_1$
ersetzen. Ein solches Paar entsprechender Geraden wird insbesondere
durch die Fluchtlinie der einen Ebene und die unendlichferne
Gerade der anderen gebildet, und so erhalten wir
schlie{\ss}lich den Satz:

\mytheorem{\myso{Um für zwei vereinigte Ebenen $\varepsilon'$ und $\varepsilon'_1$ die perspektive
Lage herzustellen, kann man die Achse $s$ und
das Zentrum $S$ der Perspektivität, sowie eine zu $s$
parallele Gerade als Fluchtlinie der einen Ebene beliebig
wählen}.}

Das Vorstehende wollen wir nun sinngemäß auf den Raum
übertragen. Doch mag es genügen, die tatsächlichen Verhältnisse,
soweit sie hier in Frage kommen, darzustellen. Ihre
volle Analogie mit den Sätzen der Ebene mag für ihre Richtigkeit
sprechen.

\begin{wrapfigure}{O}{0em}
\includegraphics[scale=0.3]{./images/fig97.pdf}
\caption{}\label{fig:97}
\end{wrapfigure}

Wir denken uns zunächst den Raum doppelt, bezeichnen
den einen durch $\Sigma$, den anderen durch $\Sigma_1$, und wollen $\Sigma$ und
$\Sigma_1$ in der Weise einander zuordnen, daß an die Stelle des
Punktes $S$ und der Achse $s$ ein Punkt $S$ und eine Ebene $\sigma$
von analoger Eigenschaft treten. Es soll also jeder Punkt
von $\sigma$ sich selbst entsprechen, und es sollen je zwei entsprechende
Punkte auf einem durch $S$ gehenden Strahl liegen.
Ist daher $\varepsilon$ irgendeine Ebene von $\Sigma$, so müssen sich $\varepsilon$ und
$\varepsilon_1$ in einer Geraden von $\sigma$ schneiden, und ist $g$ eine Gerade
von $\Sigma$, so müssen sich auch die Geraden
$g$ und $g_1$ in einem Punkt von $\sigma$ treffen.
Diese Beziehung von $\Sigma$ und $\Sigma_1$ lä{\ss}t sich
auch hier so bewirken, daß wir (Fig.~\ref{fig:97})
den Punkt $S$, die Ebene $\sigma$ sowie ein
Paar entsprechender Punkte $P$ und $P_1$
auf einem durch $S$ gehenden Strahl
$p = p_1$ beliebig annehmen. Man kann
nämlich zu einem Punkt $Q$ von $\Sigma$ den entsprechenden Punkt
$Q_1$ von $\Sigma_1$ ganz analog konstruieren, wie oben. Zieht man
%%-----File: 091.png---
zunächst den Strahl $QS = q$, so muß wegen $q = q_1$ der Punkt
$Q_1$ auf ihm liegen. Wird ferner durch $Q$ und $P$ die Gerade
$y$ gezogen, und ist $G$ ihr Schnitt mit $\sigma$, so ist $G = G_1$, also
geht $g_1$ durch $G$ und $P_1$, ist also konstruktiv bestimmt und
enthält ebenfalls den Punkt $Q_1$.

Es ist nur noch zu zeigen, daß sich die beiden Geraden $q_1$
und $g_1$, die den Punkt $Q_1$ bestimmen sollen, wirklich schneiden.
Dies tun sie aber in der Tat, da alle hier benutzten Geraden
$p$, $q$, $g$ und $g_1$ in einer und derselben Ebene liegen, und zwar
in derjenigen, die durch $p$ und $q$ bestimmt ist.\footnote
  {Man sieht leicht, daß die beiden Strahlen $p$ und $q$ in $\Sigma$ und $\Sigma_1$
  ein Ebenenpaar $\varepsilon$ und $\varepsilon_1$ bestimmen, das sich selbst entspricht, und da\ss
  für dieses Paar vereinigt liegender Ebenen die Perspektive Lage gemä\ss
  Satz~\ref{thm:17.III} vorhanden ist.}

Von den so aufeinander bezogenen Räumen $\Sigma$ und $\Sigma_1$
sagen wir wiederum, daß sie sich in \myso{perspektiver} oder
\myso{kollinearer} Lage befinden, und nennen $S$ das \myso{Zentrum} und
$\sigma$ die \myso{Ebene} der \myso{Perspektivität} oder \myso{Kollineation}. Dann
besteht der Satz:

\mytheorem{\myso{Um zwei Räume $\Sigma$ und $\Sigma_1$ perspektiv aufeinander
zu beziehen, kann man das Zentrum $S$ und die Ebene $\sigma$
der Perspektivität, sowie auf einem durch $S$ gehenden
Strahl ein Paar entsprechender Punkte $P$ und $P_1$ beliebig
annehmen}.}

\begin{wrapfigure}{O}{1in}
\includegraphics[width=1in]{./images/fig98.pdf}
\caption{}\label{fig:98}
\end{wrapfigure}

Wie oben, folgern wir auch hier, daß der Ebene $\pi$, die
durch $P$ geht und parallel zu $\sigma$ liegt, eine durch $P_1$ gehende
zu $\sigma$ parallele Ebene $\pi_1$ entspricht, daß ferner \myso{jeder} zu $\sigma$
parallelen Ebene des einen Raumes eine ebenfalls zu $\sigma$ parallele
Ebene des anderen Raumes entspricht, und daß man die
perspektive Beziehung auch in der Weise herstellen
kann, daß man irgendein Paar von Ebenen, die
zu $\sigma$ parallel sind, in $\Sigma$ und $\Sigma_1$ einander entsprechen
lä{\ss}t. Insbesondere entspricht auch wieder
der unendlichfernen Ebene $\eta_\infty$ von $\Sigma$ in $\Sigma_1$ eine
zu $\sigma$ parallele \myso{Fluchtebene} $\eta_1$ und der unendlichfernen
Ebene von $\Sigma_1$ eine zu $\sigma$ parallele \myso{Fluchtebene}
von $\Sigma$, und man kann die perspektive Beziehung auch
mittels eines dieser Ebenenpaare festlegen (Fig.~\ref{fig:98}). Also folgt:

\mytheorem{\myso{Um zwei Räume $\Sigma$ und $\Sigma_1$ perspektiv aufeinander
zu beziehen, kann man das Zentrum $S$ und die Ebene $\sigma$
%%-----File: 092.png---
der Perspektivität, sowie eine zu $\sigma$ parallele Ebene
als Fluchtlinie des einen Raumes beliebig auswählen}.}

Dies sind die Tatsachen, die der geometrischen Theorie
der \myso{Reliefperspektive} und der \myso{Theaterperspektive} zugrunde
liegen.

Eine auf dem Vorstehenden beruhende Reliefdarstellung
hat so zu geschehen, daß der darzustellende Körper $R$ dem
Raum $\Sigma$ angehört, während sein Bild $R_1$ Teil des Raumes $\Sigma_1$
ist. Sie ist ferner so herzustellen, daß das perspektivische
Zentrum $S$ das Auge des Beschauers vorstellt, und die Ebene,
auf der sich das Relief $R_1$ erhebt, die Fluchtebene $\eta_1$ des
Raumes $\Sigma_1$ ist. Dies bewirkt, daß das Relief unendliche Tiefenausdehnung
zu besitzen scheint; es ist ja das Abbild eines sich
bis zur unendlichfernen Ebene $\eta_\infty$ von $\Sigma$ erstreckenden Raumteils.
Die Perspektivitätsebene $\sigma$, die die Räume $\Sigma$ und $\Sigma_1$ entsprechend
gemeinsam haben, befindet sich zwischen dem Auge
$S$ und der Ebene $\eta_1$; das Relief $R_1$ selbst ist ganz zwischen
den Ebenen $\sigma$ und $\eta_1$ enthalten. Je näher also das Relief $R_1$
der Ebene $\sigma$ kommt, um so geringer ist die Verzerrung, die
seine obersten Teile erleiden. Aus unserem allgemeinen Satz
folgt noch, daß $S$, $\sigma$, $\eta_1$ beliebig wählbar sind, daß aber mit
ihnen die Abbildung bestimmt ist.\footnote
  {Die Fluchtebene von $\Sigma$, die also in $\Sigma$ der unendlichfernen
  Ebene von $\Sigma_1$ entspricht, heißt auch \myso{Verschwindungsebene}. Beide
  Fluchtebenen werden auch \myso{Gegenebenen} genannt.}

Es ist klar, daß eine so ausgeführte Reliefdarstellung nur
auf ein in $S$ befindliches Auge einen guten bildmäßigen Eindruck
machen würde. Aus diesem Grunde stützt sich die Darstellung,
die der Künstler schafft, teilweise auf andere Grundlagen,
und zwar wesentlich auf künstlerische Motive; sie ist
weit mehr, als die malerische Darstellung, durch Rücksichten
anderer Art bedingt. Immerhin wird die Kenntnis der oben
dargelegten geometrischen Gesetze dem Beschauer das Beschauen
des Reliefs erleichtern.

Ähnlich steht es mit den geometrischen Gesetzen, die
für die Herstellung der Theaterkulissen die Grundlage bilden.
Hier stellt der Vorhang die Ebene $\sigma$ dar, in der die wirkliche
Welt und die Bühnenwelt zusammenstoßen; $S$ ist wieder das
Auge des Zuschauers. Soll der Eindruck entstehen, daß sich
die Bühnentiefe bis ins Unendliche erstreckt, so muß ihr Hintergrund
die Fluchtebene darstellen; so wird erreicht, daß die
%%-----File: 093.png---
Bühne als Bild des ganzen Raumes erscheinen kann, der sich
vom Vorhang aus ins Unendliche ausdehnt. Sollen die Bühnenkulissen
nur einen endlichen Teil dieses Raumes vorstellen,
so hat man die Fluchtebene in geeigneter Entfernung \myso{hinter}
die Bühne zu verlegen, und die einzelnen Kulissen so zu
zeichnen, wie es diejenige Perspektive Darstellung erfordert,
die der angenommenen Lage des Auges $S$, dem Vorhang als
Ebene $\sigma$ und der gewählten Lage der Fluchtebene $\eta_1$ entspricht.
Daß es sich auch hier nur um gewisse allgemeine Grundlagen
handeln kann, und daß der bildliche Eindruck des Beschauers
überdies von seiner Stellung zur Bühne abhängt, ist klar.
Immerhin darf man die Tatsache nicht au{\ss}er acht lassen, da\ss
auf den Seiten- und Deckenkulissen die Bilder aller parallelen
Geraden nach der Fluchtebene konvergieren müssen. Für ihre
richtige Zeichnung ist die angenommene Lage der Fluchtebene
hier ebenso entscheidend, wie bei der ebenen malerischen Darstellung.

%%-----File: 094.png---


\Anhang

\begin{anhangitems}
\item[1.]\label{anhang:1} S.~\pageref{anhanglink:1}. Das Auge enthält mehrere brechende Flächen. Die es
durchdringenden Strahlen unterliegen daher den allgemeinen Gesetzen,
die \myso{Gau\ss} über solche Systeme abgeleitet hat.\footnote{
  Vgl.\ Gesammelte Werke, Bd.~5. S.~245 ff.}
Dies bewirkt, da\ss
es nicht einen, sondern zwei Knotenpunkte $K_1$ und $K_2$ gibt, durch
die alle von $P$ ausgehenden Strahlen hindurch gehen; der geradlinige
Strahl $PKP_n$ ist daher genauer durch einen gebrochenen Linienzug
$PK_1K_2P_n$ zu ersetzen, und zwar sind $PK_1$ und $K_2P_n$ \myso{parallele} Geraden,
während $K_1K_2$ mit ihnen einen Winkel bildet. Es ist $K_1K_2 = 0,416~..~\text{mm}$.

Die Lage des Knotenpunktes hängt au{\ss}erdem von der Entfernung
des Punktes $P$ vom Auge ab; das Auge oder vielmehr die Lage der
lichtbrechenden Medien akkommodiert sich nämlich stets so, daß gerade
die von diesem Punkt ausgehenden Lichtstrahlen sich auf der Netzhaut
vereinigen.

\item[2.]\label{anhang:2} S.~\pageref{anhanglink:2}. Hier kommen insbesondere folgende Tatsachen in Betracht.

\begin{itemize}
\item[1.] Die Wahrnehmung der räumlichen Objekte kommt durch die
Gesichtseindrücke \myso{zweier} Augen zustande; bekanntlich ist die richtige
Beurteilung der Entfernung der Objekte zu einem erheblichen Teil
durch das \myso{binokulare} Sehen bedingt.\footnote{
  Die räumliche Wirkung des Stereoskops beruht bekanntlich
  darauf, daß es zwei Bilder benutzt; eines, das für das linke, und eines,
  das für das rechte Auge hergestellt ist.}
Dagegen wird das Bild nur
mit Rücksicht auf ein einziges Auge hergestellt.

\item[2.] Da die Herstellung des Bildes so erfolgt, daß wir die sämtlichen
Sehstrahlen mit der Bildebene zum Schnitt bringen, so wird damit
von selbst eine \myso{bestimmte Stellung des Auges und des Gegenstandes
zur Bildebene} vorausgesetzt. Das Auge vermag aber die
Treue des Bildes auch dann noch zu erkennen, wenn es seine Stellung
zur Bildebene ändert; freilich wird sich diese Änderung in gewissen
Schranken halten müssen, damit der gute Eindruck erhalten bleibt.\footnote{
  Man erkennt dies z.~B., wenn man in Fig.~\ref{fig:39} (S.~\pageref{fig:39}) das Auge
  von links nach rechts über die Figur wandern lä{\ss}t. Dabei ändern sich
  die scheinbaren Dimensionen des Sockels erheblich. Ebenso ist es mit
  dem Bild des Kastens in Fig.~\ref{fig:33} (S.~\pageref{fig:33}).}
Durch diesen Umstand wird die Zweckmä{\ss}igkeit der zeichnerischen
Annahmen bedingt, die für die gegenseitige Stellung des Auges und
des Körpers $\Sigma$ zur Bildebene ma{\ss}gebend sind (vgl.\ §~\ref{section:3}).

%%-----File: 095.png---

\item[3.] Das Akkommodationsvermögen des Auges muß auch deshalb
helfend eintreten, weil die Knotenpunkte der Sehstrahlen, die einerseits
vom Körper $\Sigma$ und andererseits vom Bild $\Sigma'$ ins Auge gelangen,
gemäß der vorstehenden Anmerkung tatsächlich verschieden voneinander
sind. Die Lage des Knotenpunkts hängt nämlich von der Entfernung
des betrachteten Gegenstandes vom Auge ab; Bild und Gegenstand
haben aber verschiedenen Abstand vom Auge.
\end{itemize}

\item[3.]\label{anhang:3} S.~\pageref{anhanglink:3}. Das Auge ist stets geneigt, Geraden, die im Bilde
einen Schnittpunkt haben, einen solchen auch in der Wirklichkeit
beizulegen. Die vorn genannte Zeichnungsart soll daher vor der
Entstehung unrichtiger Vorstellungen bewahren; sie erreicht dies besonders
dadurch, daß sie den Sachverhalt im Bilde etwas übertreibt
und dadurch die Aufmerksamkeit steigert.\footnote{
  In den Figuren dieser Schrift ist dies manchmal in zu starkem
  Maße geschehen.}

\item[4.]\label{anhang:4} S.~\pageref{anhanglink:4}. Da der Desarguessche Satz in neuerer Zeit durch
Hilberts Untersuchungen (Grundlagen der Geometrie, Leipzig,
2.~Aufl., 1903) eine erhöhte Wichtigkeit erlangt hat, mögen hier
einige Ausführungen über ihn folgen.

Er folgt unmittelbar aus den grundlegenden Tatsachen des
Schneidens und Verbindens für Punkte, Gerade und Ebene (a.~a.~O.\
S.~2ff). Ferner steht er sich selbst dualistisch gegenüber; man
beweist daher ganz analog, daß Dreiecke, deren Seiten die in ihm
genannte Eigenschaft besitzen, so liegen, daß die Verbindungslinien
ihrer Ecken durch einen Punkt gehen. Von den beiden Eigenschaften,
daß die Ecken auf drei Strahlen durch einen Punkt liegen, und daß
die Seiten sich in drei Punkten einer Geraden schneiden, zieht also
die eine die andere nach sich.

Da die Figur, die man zum Desarguesschen Satz zeichnet, eine
ebene Figur ist, so gilt dies alles auch für die in dieser Figur enthaltenen
\myso{derselben Ebene} angehörigen Dreiecke. Ob es aber auch
für \myso{je zwei} analoge Dreiecke einer Ebene gilt, bedarf der Untersuchung.
Den Beweis kann man zunächst unmittelbar dem Grundsatz
der Axonometrie in §~\ref{section:14} entnehmen, wie aus dem dort durchgeführten
Beispiel~\ref{subsub:14..4} hervorgeht. Man kann ihn aber auch mittels
seiner Schnittpunktsätze ableiten; indem man im Raum eine Desarguessche
Figur konstruiert, deren Projektionen die ebenen Dreiecke sind.
Einen Beweis findet man z.~B.\ bei F.~Enriques, Vorlesungen über
projektive Geometrie, Leipzig, 1903, §~10.

Endlich hat Hilbert gezeigt, daß der Desarguessche Satz für
eine ebene Geometrie, in der die grundlegenden Sätze des Schneidens
und Verbindens gelten, nicht erfüllt zu sein braucht, wenn man nur
in der Ebene operiert; also von allen räumlichen Konstruktionen
absieht (a.~a.~O.\ S.~49).

%%-----File: 096.png---

\item[5.]\label{anhang:5} S.~\pageref{anhanglink:5}. Der Umstand, daß man der Ebene $\varepsilon'$ noch eine
beliebige Neigung gegen $\varepsilon$ geben darf, beruht darauf, daß zwei
parallelperspektiv bezogene Ebenen in dieser Beziehung verbleiben,
wenn man sie um die Perspektivitätsachse dreht; nur die Richtung
der projizierenden Strahlen erfährt dabei eine Änderung. Einen Beweis
enthalten die Ausführungen von §~\ref{section:17}.

\item[6.]\label{anhang:6} S.~\pageref{anhanglink:6}. Die Sätze, die hier in Frage kommen, sind die des
Schneidens und Verbindens (vgl.\ Hilbert, Grundlagen der Geometrie,
Leipzig, 2.~Aufl., 1903, S.~2). Allerdings müßten auch die Sätze
der Anordnung (a.~a.~O.\ S.~4) in ähnlicher Weise berücksichtigt
werden; doch sind diese Begriffe vorher so zu formulieren, daß sie
sich auf geschlossene Kurven, wie z.~B.\ den Kreis beziehen. Gemäß
§~\ref{section:7} bildet ja die Gerade eine geschlossene Kurve.

\item[7.]\label{anhang:7} S.~\pageref{anhanglink:7}. Die Vervollkommnung unserer geometrischen Raumauffassung,
die durch die konsequente Einführung der uneigentlichen,
unendlichfernen Elemente bewirkt wird, verdanken wir wesentlich
\myso{J.~V.~Poncelet}, den wir überhaupt als den eigentlichen Begründer
der projektiven Denkweise zu betrachten haben. Sie ist in seinem
Traité des propriétés projectives des figures, Paris 1822 (2.~Aufl.,
1865) enthalten; vgl.\ besonders §~49\,ff. Die Notwendigkeit, für die
so eingeführten Elemente das Bestehen der grundlegenden Schnittpunktsätze
zu erweisen, erkannte wohl zuerst \myso{G.~K.~Gh.~v.~Staudt};
vgl.\ seine Geometrie der Lage, Nürnberg 1847, p.~23. Den Ausdruck
Permanenz der Grundgesetze entnehme ich \myso{H.~Hankel}, der
ihn auf arithmetischem Gebiet (Permanenz der formalen Gesetze) zu
dem gleichen Zweck und mit der gleichen Bedeutung einführte. Vgl.\
Theorie der komplexen Zahlsysteme, Leipzig 1867, p.~10.

\item[8.]\label{anhang:8} S.~\pageref{anhanglink:8}. Bei Bildern, die man frei nach der Natur entwirft,
pflegt man so zu verfahren, daß man die Fluchtpunkte der einzelnen
Geraden oder Richtungen durch wirkliches Visieren ermittelt. Man
stellt dazu das Auge auf den unendlichfernen Punkt der Geraden
ein und fixiert zugleich den Durchdringungspunkt der Sehrichtung
mit der Bildebene.

\item[9.]\label{anhang:9} S.~\pageref{anhanglink:9}. Die Gleichwertigkeit dieser Methode mit der von
§~\ref{section:12} beruht auf der Relativität aller Bewegung. Die Drehung des
Dodekaeders gegen die Aufrißebene kann man so mitmachen, daß man
sich in die Aufrißebene oder auch in das Dodekaeder hineinbegibt.
Dem ersten Fall entspricht eine Drehung des Dodekaeders gegen die
als fest erscheinende Aufrißebene, dem zweiten die Einführung einer
neuen Aufrißebene bei fest bleibendem Dodekaeder.

\item[10.]\label{anhang:10} S.~\pageref{anhanglink:10}. Das Kubooktaeder gehört, wie auch das Rhombendodekaeder
zu der großen Klasse der sogenannten Kristallformen.
Alle Kristallformen pflegt man axonometrisch zu zeichnen. Vielfach
sind sie nur so bestimmt, daß man für jede ihrer Flächen ihre »Indizes«
kennt, das sind die reziproken Werte der von ihnen auf den
%%-----File: 097.png---
axonometrischen Achsen abgeschnittenen Stücke (ihre Ebenenkoordinaten
im Sinne der analytischen Geometrie). Aus ihnen sind
die Kristallformen zu zeichnen, und zwar so, daß man jede Kante
als Schnittlinie der beiden Ebenen konstruiert, die durch sie hindurchgehen.

Das allgemeine Prinzip, nach dem man dies auszuführen hat,
ist das folgende. Wir wollen die drei Geraden, die axonometrisch
die drei Grundrichtungen darstellen, als $x$-, $y$-, $z$-Achse bezeichnen.
Sind dann $\varepsilon$ und $\varepsilon'$ zwei Ebenen, die eine Kante $k$ bestimmen, so
sind mit den Indizes dieser Ebenen zugleich ihre Schnittpunkte mit
den drei Grundrichtungen und damit auch ihre Spuren in den drei
Grundebenen gegeben. Sind $E_x$, $E_y$, $E_z$ und $E_x'$, $E_y'$, $E_z'$ die Schnittpunkte,
so schneiden sich die Spuren $E_y E_z$ und $E_y' E_z'$ in einem in
der $yz$-Ebene enthaltenen Punkt der Kante $k$, und ebenso liefern
$E_x E_z$, und $E_x' E_z'$ sowie $E_x E_y$ und $E_x' E_y'$ je einen Punkt von $k$.
Damit ist auch $k$ selbst bestimmt.

Naturgemäß handelt es sich bei diesen Konstruktionen immer
um die geeignete Auswahl derjenigen Kanten, die man zuerst zeichnet
und mit denen man die übrigen der Reihe nach bestimmt. Es empfiehlt
sich, das Rhombendodekaeder auch aus den Spuren seiner Flächen
herzustellen.

\item[11.]\label{anhang:11} S.~\pageref{anhanglink:11}. Die Geometrie, die durch stereographische Projektion
in der Ebene entsteht, ist genau genommen eine Geometrie,
in der die Punkte und Kreise die Elementargebilde darstellen (Kreisgeometrie).
Analog ist ja auch die Kugelfläche Träger einer derartigen
Geometrie. Die Geraden der Ebene kommen daher nur als Grenzfälle
von Kreisen in Betracht.

\item[12.]\label{anhang:12} S.~\pageref{anhanglink:12}. Die stereographische Projektion wird besonders
benutzt, um die Eigenschaften der Kugelteilung und die an sie anschließenden
Satze der Funktionentheorie zu illustrieren. Auch für
die Zwecke der Kristallographie wird sie aus diesem Grunde vielfach
verwendet.
\end{anhangitems}
%%-----File: 098.png---

\newpage
\Katalog

\begin{center}
\textbf{Von \underline{A. Schoenflies} erschien ferner im gleichen Verlage:}
\end{center}

\Title{Die Entwicklung
der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten.}
{Bericht, erstattet der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.}

\begin{Info}
In zwei Teilen, gr.~8. Geh. \\
Teil I: [V u.\ 251 S.] 1900. n. $\mathcal{M.}$ 8.--- \\
Teil II: Mit 26 Figuren. [X u.\ 431 S.] 1908. n. $\mathcal{M.}$ 12.---
\end{Info}

\begin{backmatterdesc}
Die Mengenlehre hat sich längst als ein unentbehrliches Hilfsmittel fast der gesamten
höheren Mathematik erwiesen; Analysis und Geometrie haben ihren befruchtenden Einfluß in
gleicher Weise erfahren. Sie hat unsere Anschauung geklärt, unser mathematisches Denken
vertieft und überall außerordentliche Resultate gezeitigt.

Von dieser Erkenntnis aus hat die Deutsche Mathematiker-Vereinigung vor einer Reihe
von Jahren den Verfasser aufgefordert, den damals noch zerstreuten Stoff zu sammeln und
einheitlich zu verarbeiten. Dies ist durch den obigen Bericht in ausführlicher und eingehender
Weise geschehen: Wenn auch knapp gehalten, soll er den Suchenden in lesbarer Weise über
Probleme und Resultate orientieren. An verschiedenen Stellen hat der Verfasser die Behandlung
der Probleme selbständig weiterzuführen versucht.

Der erste Teil, der 1900 erschien, enthält die allgemeinen Sätze der Mengenlehre, die
Theorie der Punktmengen und ihre Anwendung auf die Analysis der reellen Funktionen. Der
zweite, 1908 erschienene, enthält, von einigen Zusätzen zum ersten Teil abgesehen, wesentlich
die Anwendungen auf die Geometrie. Die mengentheoretische Klärung der geometrischen
Grundbegriffe ist nur sehr allmählich erfolgt; erst jetzt war sie so weit fortgeschritten, daß
wenigstens ein Teil einer zusammenhängenden Darstellung fähig wurde. Es ist derjenige,
der im Mittelpunkt der Analysis Situs steht und zugleich die Hilfsmittel für den Aufbau der
Riemannschen Funktionentheorie bildet; in ihm kommen wesentlich die gestaltlich invarianten
Eigenschaften der geometrischen Gebilde zum Ausdruck, insbesondere diejenigen, die den Kurvenbegriff
und die Kurvenmengen betreffen.

Wenn der Bericht auch auf absolute Vollständigkeit keinen Anspruch machen kann, ist
ihm doch ein abgerundeter, umfassender Inhalt gegeben worden.
\end{backmatterdesc}


\Title{Geometrie
der Bewegung in synthetischer Darstellung.}{}

\begin{Info}
Mit Figuren im Text. [VI u.\ 195 S.] gr.~8. 1886. Geh.~n.$\mathcal{M.}$ 4.---
\end{Info}

\begin{backmatterdesc}
Das Buch gibt die Geometrie der Bewegung auf rein geometrischer Basis, ohne Sätze
über Geschwindigkeit und Beschleunigung der bewegten Punkte zu benutzen, indem die Gestalt
der durch Bewegung entstehenden Raumgebilde, mit deren Eigenschaften sich die
Geometrie der Bewegung beschäftigt, einzig und allein von dem Gesetz abhängt, nach welchem
die Bewegung vor sich geht, d.~h.\ von den verschiedenen Lagen, welche der bewegliche Körper
der Reihe nach im Raume einnimmt, und nicht von der größeren oder geringeren Geschwindigkeit,
mit der die Bewegung vor sich geht. Dabei erscheint die Geometrie der Bewegung als ein
spezieller Zweig der synthetischen Geometrie, indem in der Tat die projektive Beziehung der
Lagen, in welche der bewegliche Körper der Reihe nach gelangt, eine einfache Ableitung der
darzustellenden Lehren gestattet.
\end{backmatterdesc}


\Title{Kristallsysteme und Kristallstruktur.}{}

\begin{Info}
Mit 73 Figuren im Text. [XII u.\ 639 S.] gr.~8. 1891. Geh.~n. $\mathcal{M.}$ 12.---
\end{Info}

\smallskip
\begin{backmatterdesc}
Der erste Teil der Schrift gibt eine konsequente und möglichst einfache Ableitung der
32 durch ihre Symmetrie voneinander verschiedenen im ganzen möglichen Kristallsysteme.
Die Hilfsmittel der Darstellung sind hierbei durchaus elementar, zu ihnen gehört vor allem der
Gruppenbegriff, der, wenn auch erst jüngeren Datums, doch zu den einfachsten Grundbegriffen
der Mathematik zählt.

Der zweite Teil enthält eine ausführliche Erörterung der Theorien der Kristall\myso{struktur}
auf Grund der Hypothese, daß die Struktur der Kristalle ihren Ausdruck in der regelmäßigen
Anordnung der Kristallmolekeln findet. Es ergibt sich, daß geometrisch noch zwei Theorien
im Rahmen dieser Hypothese möglich sind, die sich an die Namen Bravais bzw. Wiener und
Sohncke knüpfen.
\end{backmatterdesc}

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%[**Note: ]
% a) In the scanned image is a line indicating that "Burmester" wrote two
%    books; I've replaced this line by 5 dashes.
% b) Instead of '"' as in the scanned original, I've duplicated the word
%    "Teil" (cf. Fiedler's book)

\begin{description}
\item[Beyel, Dr. Chr.] Privatdozent an dem eidgenössischen Polytechnikum zu
Zürich, \myso{darstellende Geometrie}. Mit einer Sammlung von 1800
Dispositionen zu Aufgaben aus der darstellenden Geometrie. Mit
1 Tafel. [XII u.\ 189 S.] gr.~8. 1901. In Leinwand geb.~n. $\mathcal{M.}$ 3.60.

\item[Burmester, Dr. L.] Professor an der Kgl. Technischen Hochschule zu
München,
\begin{itemize}
\item \myso{Theorie und Darstellung der Beleuchtung gesetzmäßig
gestalteter Flächen}, mit besonderer Rücksicht auf
die Bedürfnisse technischer Hochschulen. 2. Ausgabe. Mit einem Atlas
von 14 lithogr. Tafeln (in qu.\ Fol.\ in Mappe). [XVI u.\ 386 S.] gr.~8.
1875. Geh.~n. $\mathcal{M.}$ 8.---

\item \myso{Grundzüge der Reliefperspektive nebst Anwendung
zur Herstellung reliefperspektivischer Modelle.} Als Ergänzung
zum Perspektiv-Unterricht an Kunstakademien, Kunstgewerbeschulen
und technischen Lehranstalten bearbeitet. Mit 3 lithograph.\
und 1 Lichtdrucktafel. [IV u.\ 30 S.] gr.~8. 1883. Geh.~n. $\mathcal{M.}$ 2.---
\end{itemize}

\item[v.~Dalwigk, Prof. Dr. F.] Privatdozent an der Universität Marburg a. L.,
\myso{Vorlesungen über darstellende Geometrie.} 2 Bände. Mit zahlreichen
Figuren im Text und mit Tafeln, gr.~8. 1908. In Leinw.\ geb.%
\begin{backmatterdesc}

\begin{quote}[Band I erscheint im Oktober 1908.]\centering\end{quote}

\myso{Der erste Band} behandelt die Parallelprojektion. Den größten Umfang nimmt die
Orthogonalprojektion mit Grund und Aufriß ein, dann folgen die schiefe Parallelperspektive
und ein kurzer Aufriß der Axonometrie. Kotierte Projektion und Beleuchtangslehre sind neben
einigen anderen kleinen Kapiteln in den Anhang verwiesen.

\myso{Der zweite Band} bringt die wesentlichen Methoden der malerischen Perspektive,
dann (kürzer) die freie Perspektive und die ebene Zentralkollineation mit Anwendungen auf
die Kegelschnitte als Kreisprojektionen. Den Schluß bilden die Grundzüge der Reliefperspektive
und der Photogrammetrie.---Über die Vorlesungen des Verfassers und damit auch über den
Inhalt und die Anordnung des Buches finden sich nähere Angaben im Jahresbericht der
deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1906 S. 349 ff., besonders 354--57. Übrigens bildet das Buch
nur einen Teil von »geometrischen Vorlesungen aus der reinen und angewandten Mathematik«,
von denen zunächst zwei weitere Bande rasch folgen sollen.
\end{backmatterdesc}

\item[Fiedler, Dr. W.] vorm. Professor am eidgenössischen Polytechnikum zu
Zürich, \myso{die darstellende Geometrie} in organischer Verbindung
mit der Geometrie der Lage. Für Vorlesungen und zum Selbststudium.
3 Teile, gr.~8. Geh.~n. $\mathcal{M.}$ 40.30, geb.~n. $\mathcal{M.}$ 43.80.

\begin{backmatterdesc}
\begin{description}
\item[I. Teil] \myso{Die Methoden der darstellenden Geometrie und die Elemente der
projektivischen Geometrie.} 4. Auflage. Mit zahlreichen Figuren im Text
und auf 2 lithogr. Tafeln. [XXIV u.\ 431 S.] 1904. Geh.~n. $\mathcal{M.}$ 10.---, in Leinwand
geb.~n. $\mathcal{M.}$ 11.---

\item[II. Teil] \myso{Die darstellende Geometrie der krummen Linien und Flächen.}
3. Auflage. Mit zahlreichen Figuren im Text und 16 lithogr. Tafeln, [XXXIII
u. 560 S.] 1885. Geh.~n. $\mathcal{M.}$ 14.---, in Leinwand geb.~n. $\mathcal{M.}$ 15.40.

\item[III. Teil] \myso{Die konstruierende und analytische Geometrie der Lage.} 3. Auflage.
Mit zahlreichen Figuren im Text und l lithogr. Tafel. [XXX u.\ 660 S.] 1888.
Geh.~n. $\mathcal{M.}$ 16.---, in Leinwand geb.~n. $\mathcal{M.}$ 17.40.
\end{description}
\end{backmatterdesc}

\item[Hempel, J.] Lehrer an der staatlichen Baugewerkschule zu Hamburg,
\myso{Schattenkonstruktionen.} Für den Gebrauch an Baugewerkschulen
und ähnlichen Lehranstalten sowie zum Selbstunterricht. Mit
51 Textfiguren und 20 Tafeln praktischer Beispiele in Lichtdruck.
[IV u.\ 60 S.] quer Folio. 1906. In Leinw.\ geb.~n. $\mathcal{M.}$ 5.---

\begin{backmatterdesc}
Von der Voraussetzung ausgehend, daß ganz allein ein klares sicheres Erfassen des
Raumvorgangs den praktischen Zeichner zum schnellen und bewußt sicheren Konstruieren befähigen
kann, nicht etwa auswendig gelernte Gesetze oder Beweise noch auch mechanisch
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eingeprägte Lösungen, gibt der Verf.\ in dem Werkchen nach einem einleitenden Text mit 61 Fig.\
zu, 20 Tafeln mit zahlreichen praktischen, dem Baugewerbe entnommenen übungsbeispielen
kurze Erläuterungen der angewandten Lösungsverfahren unter möglichster Vermeidung verwirrender
Ziffern und Buchstabenbezeichnungen.---Den parallelprojektiven Schattenkonstruktionen
ist, den Forderungen der Praxis Folge leistend, noch eine kleinere Gruppe perspektivischer
Schattenkonstruktionen, die zugleich das Wichtigste über Linearperspektive enthält,
angefügt.
\end{backmatterdesc}

\item[Holzmüller, Prof. Dr. G.] vorm. Direktor der Provinzialgewerbeschule zu
Hagen i.~W., \myso{Einführung in das stereometrische Zeichnen},
Mit Berücksichtigung der Kristallographie und Kartographie. Mit
16 lith. Tafeln. [VI u.\ 102 S.] 1886. gr.~8. Kart.~n. $\mathcal{M.}$ 4.40.

\item[Loria, Dr. G.] Professor an der Universität Genua, \myso{Vorlesungen über
darstellende Geometrie}. Autorisierte, nach dem italienischen
Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe von \myso{Fr.\ Schütte}, Oberlehrer
am Gymnasium zu Düren. In 2 Teilen.

\begin{backmatterdesc}
\begin{description}
\item[I. Teil] Die Darstellungsmethoden. Mit 163 Figuren im Texte. [XI u.\ 219 S.] gr.~8 1907.
In Leinwand geb.~n. $\mathcal{M.}$ 6.80.
\end{description}

Das vorstehende Werk über darstellende Geometrie, aus mehrjährigen Vorlesungen des
Verfassers hervorgegangen, setzt nur elementare Kenntnisse der projektiven und analytischen
Geometrie voraus. Der zunächst vorliegende erste Band behandelt die \myso{Darstellungsmethoden}.
Er beginnt mit einem kurzen Abriß der Geometrie des Zirkels und der Geometrographie und
geht dann in den drei ersten Büchern zur Darlegung der Methoden der Orthogonalprojektion,
Zentralprojektion und kotierten Ebenen über. Jede dieser Darstellungsmethoden wird in umfangreicher
Weise zur Lösung der wichtigsten Aufgaben über Punkte, Geraden und Ebenen herangezogen.
Das 4.\ Buch behandelt die Axonometrie, das 5., zum erstenmal in einem elementaren
Lehrbuche, die Photogrammetrie.
\end{backmatterdesc}

\item[Müller, Dr. C.~H.] {\loosen Professor am Kgl.\ Kaiser-Friedrichs-}Gymnasium zu
Frankfurt a.~M., und \textbf{O. Presler}, Professor an der Städtischen Oberrealschule
zu Hannover, \myso{Leitfaden der Projektionslehre}. Ein
Übungsbuch der konstruierenden Stereometrie.

\begin{backmatterdesc}
\begin{description}
\item[Ausgabe A.] Vorzugsweise für Realgymnasien und Oberrealschulen. Mit 233 Figuren im
Text. [VIII u.\ 320 S.] gr.~8. 1903. geb.~n. $\mathcal{M.}$ 4.---

\item[Ausgabe B.] Für Gymnasien und sechsstufige Realanstalten. Mit 122 Figuren im Text
[VI u.\ 138 S.] gr.~8. 1903. geb.~n. $\mathcal{M.}$ 2.---
\end{description}
\end{backmatterdesc}

\item[Müller, Dr. E.] Professor an der k.k. Technischen Hochschule zu Wien,
\myso{Lehrbuch der darstellenden Geometrie für technische Hochschulen}.
In 2 Bänden.

\begin{backmatterdesc}
\begin{description}
\item[I. Band.] Mit 273 Figuren und 3 Tafeln. [XIV u.\ 368 S.] gr.~8. 1908 In Leinwand
geb.~n. $\mathcal{M.}$ 12.---
\end{description}

Der vorliegende erste Band behandelt auf Grund der Darstellung durch zugeordnete
Normalrisse (Orthogonalprojektion auf zwei zueinander senkrechte Ebenen) die Elementaraufgaben
und die Kurven und Flächen (abwickelbare Flächen, Kugelfläche, Dreh- und Schraubenflächen,
windschiefe und »graphische« Flächen), während die kotierte Projektion, Dachausmittlung
Axonometrie, schiefe Projektion und Perspektive den Inhalt des zweiten Bandes bilden werden,
Die Anpassung an das praktische technische Zeichnen zeigt sich in dem vorliegenden Bande.\
unter anderem darin, daß das Konstruieren mit Hilfe von Auf- und Kreuzriß stets mitberücksichtigt,
die Verwendung der Projektionsachsen und damit der Spurelemente von Geraden und
Ebenen vermieden wird, daß ferner bei zahlreichen Konstruktionen möglichst mit einem Ri\ss
gearbeitet oder, besser gesagt, die verwendeten anderen Risse in jenen hineingelegt werden.
Das Konstruieren der Schatten an technischen Gegenständen liefert, neben deren axonometrischer
Darstellung, wohl den besten Übungsstoff zur Ausbildung in der räumlichen Vorstellung in der
beabsichtigten Richtung. Hauptsächlich aus diesem Grunde, neben ihrer praktischen Anwendung,
erfahren die Schattenkonstruktionen eine eingehendere Behandlung als sonst in Lehrbüchern
ähnlichen Umfangs.

Obgleich das Buch mit den Elementen beginnt, so wird doch eine vorangegangene Beschäftigung
mit dem Gegenstand, also eine gewisse Denk- und Konstruktionsfertigkeit, vorausgesetzt.
Der Verfasser war bestrebt, soweit es die mathematische Vorbildung des angehenden
Technikers zula{\ss}t, allgemeine Methoden zu verwenden und höhere Gesichtspunkte zu gewinnen.
\end{backmatterdesc}

%%-----File: 101.png---

\item[Richter, Dr. O.], Oberlehrer am König-Albert-Gymnasium zu Leipzig,
\myso{Kreis und Engel in senkrechter Projektion}. Für den Unterricht
und zum Selbststudium. Mit 147 Figuren im Text. [X u.\ 188 S.]
gr.~8. 1908. Geh.~n. $\mathcal{M.}$ 4.40, in Leinwand geb.~n. $\mathcal{M.}$ 4.80.

\begin{backmatterdesc}
Angesichts des oft und seit langem beklagten Übelstandes, daß die für die Schulung
des Baumanschauungsvermögens so wichtige \myso{Darstellung der Kugel und ihrer Kreise}
nicht nur im stereometrischen Unterrichte hintangesetzt, sondern sogar in der \myso{darstellenden
Geometrie} wenig gepflegt und selbst schematisiert wird, hat der Verfasser den Versuch gemacht,
eine Anzahl der in der Raumlehre häufig auftretenden Körper in allgemeiner Lage
gezeichnet darzubieten und die genaue Bildherstellung zu begründen und unter Hinweis auf
die obwaltenden \myso{mathematischen Beziehungen} und bei möglichster \myso{Beschränkung
auf eine einzige Bildtafel}, um die Verwendung der Konstruktionen im Unterrichte zu
erleichtern. Dabei sind au{\ss}er der Kugel nicht nur Zylinder und Kegel, sondern auch andere
aus Kugel, Zylinder und Kegel ableitbare Raumgebilde berücksichtigt worden, z.~B. Prismen
und Pyramiden, Platonische und Archimedische Körper nebst einigen Durchdringungen. Die
rechtwinklige Axonometrie, von der Kugel abgeleitet, die Haupt- und Nebenkreise der Kugel
nebst ihren Polen werden ausführlich betrachtet, die nichteuklidische Geometrie auf der Kugel
wenigstens gestreift. Eine vollständige Begründung der hauptsächlich benutzten Ellipseneigenschaften
leitet das Buch ein, Anwendung auf die Rotationskörper, auf die Schraubenlinien von
Zylinder, Kegel, Kugel, sowie auf die Erd- und Himmelskunde beschlie{\ss}en es. Vorausgesetzt
wird die Kenntnis der elementaren Planimetrie und Stereometrie, einschlie{\ss}lich der harmonischen
Eigenschaften des Kreises, an einigen Stellen auch der Trigonometrie und der Algebra.
\end{backmatterdesc}

\item[Schilling, Dr. Fr.] Professor an der Technischen Hochschule zu Danzig,
\myso{über die Anwendungen der darstellenden Geometrie, insbesondere
über die Photogrammetrie}. Mit einem Anhang:
Welche Vorteile gewährt die Benutzung des Projektionsapparates im
mathematischen Unterricht? Vorträge, gehalten bei Gelegenheit des
Ferienkurses für Oberlehrer der Mathematik und Physik, Göttingen,
Ostern 1904. Mit 151 Figuren und 5 Doppeltafeln. [VI u.\ 198 S.]
gr.~8. 1904. Geh.~n. $\mathcal{M.}$ 4.60, in Leinwand geb.~n. $\mathcal{M.}$ 5.---

\item[Schüßler, Dr. B.] Professor an der Technischen Hochschule zu Graz,
\myso{orthogonale Axonometrie}. Ein Lehrbuch zum Selbststudium.
Mit 29 Figurentafeln in besonderem Hefte. [VIII u.\ 170 S.] gr.~8.
1905. In Leinwand geb.~n. $\mathcal{M.}$ 7.---

\item[Schütte, Fr.] Oberlehrer am Gymnasium zu Düren, \myso{Anfangsgründe
der darstellenden Geometrie für Gymnasien}. Mit 54 Textfiguren.
[42 S.] gr.~8. 1905. Steif geh.~n. $\mathcal{M.}$ --.80.

\item[Sturm, Geheimer Regierungsrat Dr. R.] Professor an der Universität
Breslau, \myso{Elemente der darstellenden Geometrie}. 2. umgearbeitete
und erweiterte Auflage. Mit 61 Figuren im Text und
7 lithogr. Tafeln. [V u.\ 157 S.] gr.~8. 1900. In Leinw.\ geb.~n. $\mathcal{M.}$ 5.60.

\item[Weiler, Dr. A.] Professor an der Universität Zürich, \myso{neue Behandlung
der Parallelprojektionen und der Axonometrie}. Mit 109 Figuren
im Text. 2. wohlfeile Ausgabe. [VIII u.\ 210 S.] gr.~8.
1896. Geh.~n. $\mathcal{M.}$ 2.80.

\item[Wiener, Geheimer Hofrat Dr. Chr.] weil. Professor an der Gro{\ss}herzogl.
Polytechnischen Schule zu Karlsruhe, \myso{Lehrbuch der darstellenden
Geometrie}. In 2 Bänden, gr.~8. Geh.~n. $\mathcal{M.}$ 30.---

\begin{backmatterdesc}
\begin{description}
\item[I. Band] \myso{Geschichte der darstellenden Geometrie, ebenflächige Gebilde,
krumme Linien} (I. Teil), \myso{projektive Geometrie}. Mit Figuren im Text.
[XX u.\ 477 S.] (1884.) Unveränderter anastatischer Abdruck 1906 mit hinzugefügtem
Register n. $\mathcal{M.}$ 12.---

\item[II. Band] \myso{Krumme Linien} (II. Teil) \myso{und krumme Flächen Beleuchtungslehre,
Perspektive}. Mit Figuren im Text. [XXX u.\ 649 S.] 1887. n. $\mathcal{M.}$ 18.---
\end{description}
\end{backmatterdesc}

\end{description}

%%-----File: 102.png---
\newpage%[** TN: Size-dependent break]

\Title{Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften}
{mit Einschluß ihrer Anwendungen.}{}

\begin{Info}
Herausgegeben im Auftrage der \\
Akademien der Wissenschaften zu Göttingen, Leipzig, München und Wien, \\
sowie unter Mitwirkung zahlreicher Fachgenossen

In 7 Bänden zu je 6--8 Heften, gr.~8. Geheftet und in Halbfrz.\ geb.
\end{Info}

\begin{tabular}{rp{10cm}}
I& \textbf{Arithmetik und Algebra}, 2 Teile, redigiert
von W. Fr. \myso{Meyer}.\\

II& \textbf{Analysis}, 2 Teile, redigiert von H.
\myso{Burkhardt} und W. \myso{Wirtinger}.\\

III& \textbf{Geometrie}, 3 Teile, redigiert von W.
Fr. \myso{Meyer}.\\

IV& \textbf{Mechanik}, 4 Teilbände, redigiert von
F. \myso{Klein} und C. H. \myso{Müller}.\\

V& \textbf{Physik}, 3 Teile, redigiert von A.
\myso{Sommerfeld}.\\

VI&
1. \textbf{Geodäsie und Geophysik}, 2 Teilbände
redigiert von Ph. \myso{Furtwängler} und
B. \myso{Wiechert}\\

&2. \textbf{Astronomie}, red.\ von K. \myso{Schwarzschild}.\\

VII& \textbf{Geschichte, Philosophie, Didaktik}. (In
Vorbereitung)\\
\end{tabular}

\begin{backmatterdesc}
Aufgabe der Encyklopädie ist es, in knapper, zu rascher Orientierung geeigneter
Form, aber mit möglichster Vollständigkeit eine Gesamtdarstellung der mathematischen
Wissenschaften nach ihrem gegenwärtigen Inhalt an gesicherten Resultaten zu geben
und zugleich durch sorgfältige Literaturangaben die geschichtliche Entwicklung der
mathematischen Methoden seit dem Beginn des 19. Jahrhunderts nachzuweisen. Sie
beschränkt sich dabei nicht auf die sogenannte reine Mathematik, sondern berücksichtigt
auch ausgiebig die Anwendungen auf Mechanik und Physik, Astronomie und Geodäsie,
die verschiedenen Zweige der Technik und andere Gebiete, und zwar in dem Sinne, daß
sie einerseits den Mathematiker darüber orientiert, welche Fragen die Anwendungen an
ihn stellen, andererseits den Astronomen, Physiker, Techniker darüber, welche Antwort
die Mathematik auf diese Fragen gibt. In sieben Banden zu je etwa 640 Druckseiten
sollen die einzelnen Gebiete in einer Reihe sachlich geordneter Artikel behandelt
werden; der letzte Band soll ein ausführliches alphabetisches Register enthalten. Auf
die Ausführung von Beweisen der mitgeteilten Satze muß natürlich verzichtet werden.

Die Ansprüche an die Vorkenntnisse der Leser sind so gehalten, daß das Werk
auch demjenigen nützlich sein kann, der nur über ein bestimmtes Gebiet Orientierung sucht.
\end{backmatterdesc}

\Title{Encyclopédie des sciences mathématiques\\
\normalsize pures et appliquées.}{}

\begin{Info}
Publiée sous les auspices des Académies des sciences \\
\textbf{de Göttingue, de Leipzig, de Munich et de Vienne} \\
avec la collaboration de nombreux savants.
\medskip

\textbf{\sffamily Edition française,} \\
rédigée et publiée d'après l'édition allemande sous la direction de
\textbf{Jules Molk}, professeur à l'université de Nancy.

\smallskip
\myso{En sept tomes}, gr.~8. Geheftet.
\end{Info}

\begin{backmatterdesc}
Durch die günstige Aufnahme veranlaßt, welche die deutsche Ausgabe dieses monumentalen
Werkes in Fachkreisen gefunden hat, und auf vielfache Anregungen hat sich die
Verlagsbuchhandlung entschlossen, die Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften
in Gemeinschaft mit der Firma Gauthier-Villiars in Paris auch in französischer
Sprache erscheinen zu lassen. Das Werk wird, wie schon die ersten Lieferungen zeigen,
seitens der deutschen Bearbeiter viele Änderungen und Zusätze erfahren, und auch die
französischen Mitarbeiter, sämtlich Autoritäten auf ihren Gebieten, haben eine gründliche
Umarbeitung vorgenommen. Zum ersten Male dürfte somit wohl hier der Fall eingetreten
sein, daß sich bei einem so großen Werke die ersten deutschen und französischen Fachgelehrten
zu gemeinsamer Arbeit verbunden haben.
\end{backmatterdesc}

%%-----File: 103.png---

\bigskip\bigskip

\noindent\begin{Large}\textbf{\sffamily Repertorium der höheren Mathematik}\end{Large} (Difinitionen, Formeln,
Theoreme, Literaturnachweise) von \textbf{Ernst Pascal}, ord. Professor an der
Universität Pavia. Deutsche Ausgabe von weil. A. \myso{Schepp} in Wiesbaden.
2. neubearb. Aufl. In zwei Teilen: \textbf{Analysis und Geometrie}, gr.~8. \textbf{I. Teil:}
\myso{Die Analysis}. Herausgegeben von \textbf{P. Epstein}, [ca. 700 S.] 1909.
In Leinwand geb.\ ca.~n. $\mathcal{M.}$ 12.--- (Erscheint im Januar 1909.) \textbf{II. Teil:}
\myso{Die Geometrie}. Herausgegeben von \textbf{H. E. Timerding}, [ca. 800 S.] 1909.
In Leinwand geb.\ ca.~n. $\mathcal{M.}$ 14.--- [Erscheint Ostern 1909.]

\begin{backmatterdesc}
Der Zweck des Buches ist, auf einem möglichst kleinen Raum die wichtigsten
Theorien der neueren Mathematik zu vereinigen, von jeder Theorie nur so viel zu bringen,
daß der Leser imstande ist, sich in ihr zu orientieren, und auf die Bücher zu verweisen,
in welchen er Ausführlicheres finden kann. Für den Studierenden der Mathematik soll
es ein »Vademekum« sein, in dem er, kurz zusammengefaßt, alle mathematischen Begriffe
und Resultate findet, die er während seiner Studien sich angeeignet hat oder noch aneignen
will. Die Anordnung der verschiedenen Teile ist bei jeder Theorie fast immer dieselbe:
zuerst werden die Definitionen und Grundbegriffe der Theorie gegeben, alsdann die
Theoreme und Formeln (ohne Beweis) aufgestellt, welche die Verbindung zwischen den
durch die vorhergehenden Definitionen eingeführten Dingen oder Größen bilden, und
schließlich ein kurzer Hinweis auf die Literatur über die betreffende Theorie gebracht.
\end{backmatterdesc}

\bigskip
\bigskip

\noindent\begin{Large}\textbf{\sffamily Vocabulaire Mathématique}\end{Large}, français-allemand et allemand-français.
Mathematisches Vokabularium, französisch-deutsch und deutsch-französisch.
Enthaltend die Kunstausdrücke aus der reinen und angewandten
Mathematik. Von Professor Dr. \textbf{Felix Müller}. [XV u.\ 316 S.]
Lex.-8. 1900/1901. In Leinw.\ geb.~n. $\mathcal{M.}$ 20.--- Wurde in 2 Lieferungen
ausgegeben: I. Lieferung. [IX u.\ 132 S.] 1900. geb.~n. $\mathcal{M.}$ 8.--- II. Lieferung.
[S. IX--XV u.\ 133--316.] 1901. geb.~n. $\mathcal{M.}$ 11.---

\begin{backmatterdesc}
Das Vokabularium enthält in alphabetischer Folge mehr als 12000 Kunstausdrücke
aus der reinen und angewandten Mathematik in französischer und deutscher Sprache und
soll in erster Linie eine Ergänzung der gebräuchlichen Wörterbücher für die beiden
genannten Sprachen sein. Da das Vokabularium zugleich als Vorarbeit zu einem Mathematischen
Wörterbuche dienen soll, so sind auch zahlreiche Nominalbenennungen aufgenommen,
deren Anführung aus rein sprachlichem Interesse überflüssig erscheinen
dürfte. Z. B. Gaußsche Abbildung (einer Fläche auf eine Kugel] (Gauß 1887) [inf. Geom.]
représentation de Gauss; Clairauts Satz (über die geodätischen Linien auf Umdrehungsflächen)
(Clairaut 1793) [inf. Geom.] théorème de Clairaut. Aus den beigefügten Zusätzen
ist zu ersehen, daß das Vokabularium mehr bietet, als der Titel erwarten laut.
\end{backmatterdesc}

\bigskip
\bigskip

\noindent\begin{Large}\textbf{\sffamily Vorlesungen über Geschichte der Mathematik}\end{Large}. von
\textbf{Moritz Cantor}. In 4 Bänden, gr.~8. \textbf{I. Band}. \myso{Von den ältesten Zeiten
bis zum Jahre} 1200 n. Chr. 3. \myso{Aufl.} Mit 114 Figuren im Text und
l lithogr. Tafel. [VI u.\ 941 S.] 1907. geb.~n. $\mathcal{M.}$ 24.---, in Halbfranz
geb.~n. $\mathcal{M.}$ 26.--- \textbf{II. Band}. \myso{Vom Jahre 1200 his zum Jahre 1668.
2. verb.\ u.\ verm. Aufl.} Mit 190 Figuren im Text. [XII u.\ 943 S.]
gr.~8. 1900. geb.~n. $\mathcal{M.}$ 26.---, in Halbfranz geb.~n. $\mathcal{M.}$ 28.--- \textbf{III. Band}.
\myso{Vom Jahre 1668 bis zum Jahre 1758. 2. verb.\ u.\ verm.\ Aufl.} Mit
146 Figuren im Text. [X u.\ 923 S.] gr.~8. 1901. geb.~n. $\mathcal{M.}$ 25.---,
in Halbfranz geb.~n. $\mathcal{M.}$ 27.--- \textbf{IV. Band}. \myso{Vom Jahre 1759 his zum
Jahre 1799}. Herausgegeben unter Mitwirkung der Herren \textbf{V. Bobynin,
A. v. Braunmühl, F. Cajori, S. Günther, V. Kommerell, G. Loria, E. Netto,
G. Vivanti}, und \textbf{C. R. Wallner} von \textbf{M. Cantor}. Mit 100 Figuren im Text.
[VI uv 1113 S.] 1908. geb.~n. $\mathcal{M.}$ 32.---, in Halbfranz geb.~n. $\mathcal{M.}$ 35.---

\begin{backmatterdesc}
»Einen hervorragenden Platz unter den neueren Veröffentlichungen über die
Geschichte der Mathematik nimmt die zusammenfassende Darstellung ein, die uns Moritz
Cantor geschenkt hat.

Mit rastlosem Fleiß, mit nie ermüdender Geduld, mit der unverdrossenen Liebe
des Sammlers, der auch das scheinbar Geringe nicht vernachlässigt, hat Moritz Cantor
dies kolossale Material gesammelt, kritisch gesichtet, durch eigene Forschungen ergänzt,
nach einheitlichen Grundsätzen und einheitlichem Plan zu einem Ganzen verschmolzen,
und indem er in seltener Unparteilichkeit bei strittigen Fragen, deren die Geschichte der
Mathematik so viele hat, auch die abweichenden Ansichten zu Wort kommen ließ, hat er
ein Werk geschaffen, das die reichste Quelle der Belehrung, der Anregung für einen jeden
ist, der sich über einen geschichtlichen Fragepunkt Rat holen, der an der Geschichte der
Mathematik mitarbeiten will\ldots«%
\hfill%
\textbf{(Aus den Göttingischen gelehrten Anzeigen.)}
\end{backmatterdesc}

%%-----File: 104.png---

\bigskip\bigskip

\Title{Encyklopädie
der Elementar-Mathematik.}{}

\begin{Info}
\textbf{Ein Handbuch für Lehrer und Studierende von} \\
\textbf{\large\sffamily Dr. Heinrich Weber}
und
\textbf{\large\sffamily Dr.\ Joseph Wellstein}, \\
\scriptsize Professoren an der Universität Stra{\ss}burg i.~E.
\footnotesize
\bigskip

In drei Bänden, gr.~8. In Leinw.\ geb.
\end{Info}

\textbf{I. Elementare Algebra und Analysis.} Bearbeitet von \textbf{H. Weber}. 2. Auflage. Mit
88 Textfiguren. [XVIII u 539 S.] 1906. n. $\mathcal{M.}$ 9.60.

\textbf{II. Elemente der Geometrie.} Bearbeitet von \textbf{H. Weber, J. Wellstein} und \textbf{W. Jacobsthal}.
2. Auflage. Mit 261 Textfiguren [XII u.\ 596 S.] 1907. n. $\mathcal{M.}$ 12.---

\textbf{III. Angewandte Elementar-Mathematik.} Bearbeitet von \textbf{H. Weber, J. Wellstein}
und \textbf{R.~H. Weber} (Rostock). Mit 358 Textfiguren. [XIII u.\ 666 S.] 1907 n. $\mathcal{M.}$ 14.---

\bigskip

Das Werk verfolgt das Ziel, den künftigen Lehrer auf einen wissenschaftlichen
Standpunkt zu stellen, von dem aus er imstande ist, das, was er
später zu lehren hat, tiefer zu erkennen und zu erfassen und damit den Wert
dieser Lehren für die allgemeine Geistesbildung zu erhöhen.---Das Ziel dieser
Arbeit ist nicht in der Vergrö{\ss}erung des Umfanges der Elementar-Mathematik
zu ersehen oder in der Einkleidung höherer Probleme in ein elementares
Gewand, sondern in einer strengen Begründung und leicht fa{\ss}lichen Darlegung
der Elemente. Das Werk ist nicht sowohl für den Schüler selbst als für den
Lehrer und Studierenden bestimmt, die neben jenen fundamentalen Betrachtungen
auch eine für den praktischen Gebrauch nützliche, wohlgeordnete Zusammenstellung
der wichtigsten Algorithmen und Probleme darin finden werden.

\medskip

\begin{backmatterdesc}
»\ldots Zwei Momente müssen hervorgehoben werden, die dem Buche das Gepräge verleihen.
Das eine liegt darin, daß die grundlegenden Fragen der Geometrie eine eingehende Behandlung
erfahren, in einem Umfange, wie er in zusammenfassenden Werken sonst nicht anzutreffen ist\ldots.
Das zweite Moment ist in dem Umstande zu erblicken, daß die Verfasser es nicht darauf angelegt
haben, eine pragmatische Vorführung des üblichen Vorrats an geometrischen Sätzen, Konstruktionen
und Rechnungen zu geben, sondern daß es ihnen mehr darum zu tun war, an ausgewähltem
Material die wissenschaftlichen Methoden der Geometrie zur Geltung zu bringen und
überall auf die Grundfragen einzugehen. Ist so die theoretische Seite, namentlich in einigen
Abschnitten, stark zum Ausdruck gekommen, so ist doch auch auf die praktischen Bedürfnisse
Rücksicht genommen, die freilich erst mit dem dritten Bande ihre endgültige Befriedigung finden
sollen, doch ist dafür an verschiedenen Stellen, so in der Trigonometrie und in der analytischen
Geometrie schon vorgearbeitet worden\ldots. So darf der Inhalt des zweiten Bandes der »Encyklopädie
der Elementar-Mathematik« als ein sehr reichhaltiger bezeichnet werden, der über die
Grenzen dessen, was an der Schule geboten werden kann, erheblich hinausführt, der aber auch---und
das ist noch wichtiger und offenkundig der Hauptzweck des Werkes---eine Vertiefung des
geometrischen Wissens vermittelt. Jüngere Lehrer der Mathematik werden das Buch gewiß oft
und mit Nutzen zu Rate ziehen, namentlich wenn sie im Unterrichte zu prinzipiell wichtigen
Fragen kommen, um sich über die leitenden Gedanken zu orientieren.%« %[**TN: Removed for consistency]

Eines verdient noch besonders hervorgehoben zu werden das ist die reiche Ausstattung
mit schönen, sehr instruktiv gezeichneten Figuren. Der schwierigen Vorstellung der verschiedenen
Formen sphärischer Dreiecke kommen die stereographischen Bilder der Euler'schen, Möbius'schen
und Study'schen Dreiecke sehr zu statten.«%
\hfill
\textbf{(Zeltschrift für das Realschulwesen.)}

\smallskip
»\ldots Daß ein Hochschullehrer von der Bedeutung des Verfassers die Elementar-Mathematik
von höherer Warte aus behandelt und mustergültig darstellt, ist selbstverständlich. Jeder Lehrer, jeder
Studierende muß das Werk, welches nicht nur in methodischer, sondern auch in systematischer Hinsicht
von Bedeutung und daher eine wichtige Erscheinung der elementaren mathematischen
Literatur ist, besitzen und studieren.«%
\hfill
\textbf{(Zeitschrift für lateinlose höhere Schulen.)}

\smallskip
»\ldots Die Encyklopädie will kein Schulbuch im gewöhnlichen Sinne des Wortes sein, ist
aber zur Vorbereitung auf den Unterricht, namentlich in den oberen Klassen, den Lehrern der
Mathematik dringend zu empfehlen, welche die bezüglichen Originalarbeiten nicht alle selbst
studiert haben, sich aber doch orientieren wollen, wie vom Standpunkte der modernen Wissenschaft
die Begriffsbildungen, Methoden und Entwicklungen der Elementar-Mathematik zu gestalten
sind.«
\begin{flushright}\textbf{(C.\ Färber Im Archiv der Mathematik und Physik.)}\end{flushright}
\end{backmatterdesc}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\cleardoublepage

\backmatter
\pagenumbering{Alph}
\pdfbookmark[1]{PG Lizenz.}{Lizenz}
\SetRunningHeads{Lizenz}

\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of Einführung in die Hauptgesetze der
Zeichnerischen Darstellungsmethoden, by Artur Schoenflies

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK EINFÜHRUNG IN DIE HAUPTGESETZE ***

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Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{PGtext}

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% End of the Project Gutenberg EBook of Einführung in die Hauptgesetze der%
% Zeichnerischen Darstellungsmethoden, by Artur Schoenflies               %
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% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK EINFÜHRUNG IN DIE HAUPTGESETZE ***
%                                                                         %
% ***** This file should be named 33202-t.tex or 33202-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
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% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

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\dth@everypar=\toks24
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks25
\inpenc@posthook=\toks26
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/germanb.ldf
Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count100
\U@D=\dimen114
)
\l@austrian = a dialect from \language\l@german 
Package babel Info: Making " an active character on input line 91.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/calc.sty
Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
\calc@Acount=\count101
\calc@Bcount=\count102
\calc@Adimen=\dimen115
\calc@Bdimen=\dimen116
\calc@Askip=\skip51
\calc@Bskip=\skip52
LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75.
LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76.
\calc@Ccount=\count103
\calc@Cskip=\skip53
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks27
\footnotemargin=\dimen117

LaTeX Warning: Command \@footnotetext  has changed.
               Check if current package is valid.

\c@pp@next@reset=\count104
\c@@fnserial=\count105
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks28
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count106
))
\Gin@req@height=\dimen118
\Gin@req@width=\dimen119
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/wrapfig/wrapfig.sty
\wrapoverhang=\dimen120
\WF@size=\dimen121
\c@WF@wrappedlines=\count107
\WF@box=\box29
\WF@everypar=\toks29
Package: wrapfig 2003/01/31  v 3.6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/fncylab.sty) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/caption/caption.sty
Package: caption 2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/caption/caption3.sty
Package: caption3 2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
\captionmargin=\dimen122
\captionmarginx=\dimen123
\captionwidth=\dimen124
\captionindent=\dimen125
\captionparindent=\dimen126
\captionhangindent=\dimen127
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/setspace/setspace.sty
Package: setspace 2000/12/01 6.7 Contributed and Supported LaTeX2e package
Package: `setspace' 6.7 <2000/12/01>
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip54
\f@ncyO@elh=\skip55
\f@ncyO@erh=\skip56
\f@ncyO@olh=\skip57
\f@ncyO@orh=\skip58
\f@ncyO@elf=\skip59
\f@ncyO@erf=\skip60
\f@ncyO@olf=\skip61
\f@ncyO@orf=\skip62
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
\Gm@cnth=\count108
\Gm@cntv=\count109
\c@Gm@tempcnt=\count110
\Gm@bindingoffset=\dimen128
\Gm@wd@mp=\dimen129
\Gm@odd@mp=\dimen130
\Gm@even@mp=\dimen131
\Gm@dimlist=\toks30
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen132
\Hy@linkcounter=\count111
\Hy@pagecounter=\count112
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count113
\Field@Width=\dimen133
\Fld@charsize=\dimen134
\Choice@toks=\toks31
\Field@toks=\toks32
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count114
\c@Item=\count115
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count116
)
\TmpLen=\skip63
\c@mytheorem=\count117
(./33202-t.aux)
\openout1 = `33202-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 459.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 459.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/cmr/m/n on input line 459.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 459.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 459.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 459.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 459.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 459.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 459.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 459.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 459.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 459.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 459.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 459.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 459.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 459.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) (/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count118
\scratchdimen=\dimen135
\scratchbox=\box30
\nofMPsegments=\count119
\nofMParguments=\count120
\everyMPshowfont=\toks33
\MPscratchCnt=\count121
\MPscratchDim=\dimen136
\MPnumerator=\count122
\everyMPtoPDFconversion=\toks34
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ragged2e/ragged2e.sty
Package: ragged2e 2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/everysel/everysel.sty
Package: everysel 1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
LaTeX Info: Redefining \selectfont on input line 125.
)
\CenteringLeftskip=\skip64
\RaggedLeftLeftskip=\skip65
\RaggedRightLeftskip=\skip66
\CenteringRightskip=\skip67
\RaggedLeftRightskip=\skip68
\RaggedRightRightskip=\skip69
\CenteringParfillskip=\skip70
\RaggedLeftParfillskip=\skip71
\RaggedRightParfillskip=\skip72
\JustifyingParfillskip=\skip73
\CenteringParindent=\skip74
\RaggedLeftParindent=\skip75
\RaggedRightParindent=\skip76
\JustifyingParindent=\skip77
)
Package caption Info: hyperref package v6.74m (or newer) detected on input line
 459.
-------------------- Geometry parameters
paper: class default
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 36.135pt, 361.34999pt, 36.13501pt
v-parts: 12.90799pt, 618.15999pt, 19.36201pt
hmarginratio: 1:1
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: true
includefoot: true
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  433.62pt
\paperheight 650.43pt
\textwidth  361.34999pt
\textheight 578.15999pt
\oddsidemargin  -36.135pt
\evensidemargin -36.13498pt
\topmargin  -59.362pt
\headheight 15.0pt
\headsep    14.0pt
\footskip   18.0pt
\marginparwidth 90.0pt
\marginparsep   11.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  7.0pt plus 11.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
)
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 459.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count123
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 459.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 459.
(./33202-t.out) (./33202-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `33202-t.out'.

LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmtt on input line 468.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmtt.fd
File: t1cmtt.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
)
Overfull \hbox (2.38618pt too wide) in paragraph at lines 478--478
[]\T1/cmtt/m/n/9 Title: Einführung in die Hauptgesetze der Zeichnerischen Darst
ellungsmethoden[] 
 []

[1{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] [1

] [2] [3


] [4]
Inhaltsverzeichnis
(./33202-t.toc
Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 3
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 11
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 14
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 24
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 28
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 38
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 46
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 52
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 58
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 65
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 71
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 80
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 85
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 88
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 98
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 113
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 116
[] 
 []


Overfull \hbox (23.49426pt too wide) detected at line 117
|  
 []

)
\tf@toc=\write4
\openout4 = `33202-t.toc'.

[5

] <./images/fig01.pdf, id=154, 437.635pt x 275.0275pt>
File: ./images/fig01.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig01.pdf> <./images/fig02.pdf, id=156, 510.90875pt x 273.02pt>
File: ./images/fig02.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig02.pdf> [1


 <./images/fig01.pdf> <./images/fig02.pdf>]
Overfull \vbox (1.44934pt too high) has occurred while \output is active []

[2] <./images/fig03.pdf, id=191, 521.95pt x 398.48875pt>
File: ./images/fig03.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig03.pdf> [3 <./images/fig03.pdf>] <./images/fig04.pdf, id=204, 
360.34625pt x 337.26pt>
File: ./images/fig04.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig04.pdf> [4 <./images/fig04.pdf>] [5] <./images/fig05.pdf, id=2
29, 626.34pt x 388.45125pt>
File: ./images/fig05.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig05.pdf> <./images/fig06.pdf, id=233, 371.3875pt x 372.39125pt>
File: ./images/fig06.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig06.pdf> [6

 <./images/fig05.pdf>]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 966--967
[][]\T1/cmr/m/n/12 II. \T1/cmr/m/it/12 Je-der Schar par-al-le-ler Ge-ra-den
 []

<./images/fig07.pdf, id=246, 497.86pt x 409.53pt>
File: ./images/fig07.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig07.pdf> [7 <./images/fig06.pdf> <./images/fig07.pdf>] [8] <./i
mages/fig08.pdf, id=276, 394.47375pt x 446.66875pt>
File: ./images/fig08.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig08.pdf> [9

 <./images/fig08.pdf>] <./images/fig09.pdf, id=294, 396.48125pt x 437.635pt>
File: ./images/fig09.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig09.pdf> [10 <./images/fig09.pdf>] <./images/fig10.pdf, id=311,
 784.9325pt x 624.3325pt>
File: ./images/fig10.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig10.pdf>
Underfull \hbox (badness 1009) in paragraph at lines 1190--1199
\T1/cmr/m/n/12 re sechs-ecki-ge Tei-lung ge-ge-
 []

<./images/fig11.pdf, id=315, 1101.11375pt x 731.73375pt>
File: ./images/fig11.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig11.pdf> [11 <./images/fig10.pdf>] [12

 <./images/fig11.pdf>] <./images/fig12.pdf, id=338, 748.7975pt x 587.19376pt>
File: ./images/fig12.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig12.pdf>
Underfull \hbox (badness 4699) in paragraph at lines 1254--1265
\OML/cmm/m/it/12 S[]$ \T1/cmr/m/n/12 ge-leg-ter Strahl $\OML/cmm/m/it/12 p[]$
 []


Underfull \hbox (badness 1168) in paragraph at lines 1254--1265
\T1/cmr/m/n/12 sol-len, eben-so wird ei-
 []

[13

 <./images/fig12.pdf>] <./images/fig13.pdf, id=351, 672.5125pt x 553.06625pt>
File: ./images/fig13.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig13.pdf> [14]
Underfull \hbox (badness 2012) in paragraph at lines 1359--1361
\OML/cmm/m/it/12 B$\T1/cmr/m/n/12 , $\OML/cmm/m/it/12 C$ \T1/cmr/m/n/12 ei-ner 
sol-chen Ge-ra-
 []

[15 <./images/fig13.pdf>] <./images/fig14.pdf, id=382, 596.2275pt x 442.65375pt
>
File: ./images/fig14.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig14.pdf> [16

] <./images/fig15.pdf, id=400, 427.5975pt x 228.855pt>
File: ./images/fig15.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig15.pdf> [17 <./images/fig14.pdf> <./images/fig15.pdf>] <./imag
es/fig16.pdf, id=423, 276.03125pt x 178.6675pt>
File: ./images/fig16.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig16.pdf> <./images/fig17.pdf, id=424, 321.2pt x 273.02pt>
File: ./images/fig17.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig17.pdf> [18]
Underfull \hbox (badness 3895) in paragraph at lines 1564--1569
\T1/cmr/m/n/12 Ebe-nen $\OML/cmm/m/it/12 "$ \T1/cmr/m/n/12 und $\OML/cmm/m/it/1
2 "[]$ \T1/cmr/m/n/12 in
 []


Underfull \hbox (badness 3417) in paragraph at lines 1564--1569
\T1/cmr/m/n/12 par-al-lel-per-spek-ti-ve La-
 []

<./images/fig18.pdf, id=441, 519.9425pt x 264.99pt>
File: ./images/fig18.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig18.pdf> [19 <./images/fig16.pdf> <./images/fig17.pdf>]
Underfull \hbox (badness 2653) in paragraph at lines 1616--1620
[][]\T1/cmr/bx/n/12 9. []\T1/cmr/m/n/12 Hieraus fol-gern wir end-lich
 []

[20 <./images/fig18.pdf>] <./images/fig19.pdf, id=470, 567.11874pt x 436.63126p
t>
File: ./images/fig19.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig19.pdf> [21

] [22 <./images/fig19.pdf>] [23] <./images/fig20.pdf, id=504, 581.17125pt x 440
.64626pt>
File: ./images/fig20.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig20.pdf> [24

 <./images/fig20.pdf>] <./images/fig21.pdf, id=519, 257.96375pt x 450.68375pt>
File: ./images/fig21.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig21.pdf> <./images/fig22.pdf, id=520, 271.0125pt x 449.68pt>
File: ./images/fig22.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig22.pdf> <./images/fig23.pdf, id=521, 489.83pt x 509.905pt>
File: ./images/fig23.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig23.pdf> [25 <./images/fig21.pdf> <./images/fig22.pdf> <./image
s/fig23.pdf>] <./images/fig24.pdf, id=547, 715.67375pt x 1150.2975pt>
File: ./images/fig24.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig24.pdf>
Underfull \hbox (badness 1173) in paragraph at lines 1932--1944
\T1/cmr/m/n/12 und $\OML/cmm/m/it/12 p[]$ \T1/cmr/m/n/12 des Krei-ses ent-
 []


Underfull \hbox (badness 1043) in paragraph at lines 1932--1944
\T1/cmr/m/n/12 spre-chen zwei zur Ach-se
 []


Underfull \hbox (badness 5417) in paragraph at lines 1945--1948
[]\T1/cmr/bx/n/12 2. []\T1/cmr/m/n/12 Dem Kreis-durch-
 []


Underfull \hbox (badness 3635) in paragraph at lines 1945--1948
\T1/cmr/m/n/12 mes-ser $\OML/cmm/m/it/12 d[]$\T1/cmr/m/n/12 , der die Be-
 []


Underfull \hbox (badness 1231) in paragraph at lines 1949--1952
[]\T1/cmr/bx/n/12 3. []\T1/cmr/m/n/12 Ei-ner Seh-ne $\OML/cmm/m/it/12 A[]B[]$
 []


Underfull \hbox (badness 3792) in paragraph at lines 1949--1952
\T1/cmr/m/n/12 Ke-gel-schnitts, die durch
 []


Underfull \hbox (badness 1796) in paragraph at lines 1949--1952
\T1/cmr/m/n/12 den Durch-mes-ser $\OML/cmm/m/it/12 d$ \T1/cmr/m/n/12 hal-
 []

[26 <./images/fig24.pdf>] [27] [28

] <./images/fig25.pdf, id=587, 410.53375pt x 304.13625pt>
File: ./images/fig25.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig25.pdf> [29 <./images/fig25.pdf>] [30] <./images/fig26.pdf, id
=618, 654.445pt x 688.5725pt>
File: ./images/fig26.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig26.pdf> [31

 <./images/fig26.pdf>] <./images/fig27.pdf, id=638, 351.3125pt x 225.84375pt>
File: ./images/fig27.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig27.pdf> <./images/fig28.pdf, id=639, 424.58624pt x 424.58624pt
>
File: ./images/fig28.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig28.pdf> <./images/fig29.pdf, id=640, 630.355pt x 835.12pt>
File: ./images/fig29.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig29.pdf>
Overfull \hbox (8.43297pt too wide) in paragraph at lines 2225--2226
 [][] 
 []


LaTeX Warning: `h' float specifier changed to `ht'.

[32] [33 <./images/fig27.pdf> <./images/fig28.pdf> <./images/fig29.pdf>] <./ima
ges/fig30.pdf, id=676, 317.185pt x 209.78375pt>
File: ./images/fig30.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig30.pdf> <./images/fig31.pdf, id=682, 447.6725pt x 522.95375pt>
File: ./images/fig31.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig31.pdf> <./images/fig32.pdf, id=683, 450.68375pt x 324.21124pt
>
File: ./images/fig32.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig32.pdf> [34 <./images/fig30.pdf>] <./images/fig33.pdf, id=702,
 934.49126pt x 753.81625pt>
File: ./images/fig33.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig33.pdf> [35 <./images/fig31.pdf> <./images/fig32.pdf>] <./imag
es/fig34.pdf, id=719, 730.73pt x 482.80376pt>
File: ./images/fig34.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig34.pdf>
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 2418--2422
[][]\T1/cmr/bx/n/12 2. []\T1/cmr/m/n/12 Einen auf der
 []


Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 2418--2422
\T1/cmr/m/n/12 Grund-flä-che ste-hen-den
 []


Underfull \hbox (badness 3815) in paragraph at lines 2418--2422
\T1/cmr/m/n/12 mit den Flucht-punk-ten
 []


Underfull \hbox (badness 3623) in paragraph at lines 2425--2433
[]\T1/cmr/bx/n/12 3. []\T1/cmr/m/n/12 Ähn-lich zeich-net
 []


Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 2425--2433
\T1/cmr/m/n/12 ein-an-der-ste-hen-de sechs-
 []


Underfull \hbox (badness 1259) in paragraph at lines 2425--2433
\T1/cmr/m/n/12 ecki-ge Säu-len ge-ge-be-ner
 []

[36 <./images/fig33.pdf> <./images/fig34.pdf>] [37] <./images/fig35.pdf, id=744
, 284.06125pt x 308.15125pt>
File: ./images/fig35.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig35.pdf> [38

 <./images/fig35.pdf>] <./images/fig36.pdf, id=760, 262.9825pt x 509.905pt>
File: ./images/fig36.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig36.pdf> <./images/fig37.pdf, id=761, 290.08376pt x 481.8pt>
File: ./images/fig37.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig37.pdf>
Overfull \hbox (8.78072pt too wide) in paragraph at lines 2549--2550
 [] 
 []

[39]
Underfull \hbox (badness 1394) in paragraph at lines 2585--2600
[]\T1/cmr/m/n/12 Wir ha-ben zu-nächst zu über-
 []

<./images/fig38.pdf, id=777, 385.44pt x 414.54875pt>
File: ./images/fig38.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig38.pdf> [40 <./images/fig36.pdf> <./images/fig37.pdf> <./image
s/fig38.pdf>] <./images/fig39.pdf, id=804, 748.7975pt x 901.3675pt>
File: ./images/fig39.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig39.pdf>
Overfull \vbox (1.84892pt too high) has occurred while \output is active []

[41]
Underfull \hbox (badness 1215) in paragraph at lines 2699--2717
\T1/cmr/m/n/12 ie-re zu-nächst das Bild
 []


Underfull \hbox (badness 1077) in paragraph at lines 2699--2717
\T1/cmr/m/n/12 Dann zeich-ne man ge-
 []


Underfull \hbox (badness 1028) in paragraph at lines 2699--2717
\T1/cmr/m/n/12 mäÿ dem vor-ste-hen-den
 []


Underfull \hbox (badness 1354) in paragraph at lines 2699--2717
\T1/cmr/m/n/12 wir je-doch mit-tels des
 []

[42 <./images/fig39.pdf>] [43] [44] <./images/fig40.pdf, id=850, 302.12875pt x 
379.4175pt>
File: ./images/fig40.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig40.pdf> <./images/fig41.pdf, id=852, 482.80376pt x 301.125pt>
File: ./images/fig41.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig41.pdf> <./images/fig42.pdf, id=853, 330.23375pt x 384.43625pt
>
File: ./images/fig42.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig42.pdf> [45

 <./images/fig40.pdf>] <./images/fig43.pdf, id=869, 330.23375pt x 429.605pt>
File: ./images/fig43.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig43.pdf> <./images/fig44.pdf, id=870, 329.23pt x 389.455pt>
File: ./images/fig44.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig44.pdf>

LaTeX Warning: `h' float specifier changed to `ht'.

[46 <./images/fig41.pdf> <./images/fig42.pdf>] <./images/fig45.pdf, id=889, 328
.22626pt x 392.46625pt>
File: ./images/fig45.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig45.pdf> <./images/fig46.pdf, id=890, 330.23375pt x 335.2525pt>
File: ./images/fig46.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig46.pdf> [47 <./images/fig43.pdf> <./images/fig44.pdf> <./image
s/fig45.pdf> <./images/fig46.pdf>] <./images/fig47.pdf, id=915, 379.4175pt x 43
6.63126pt>
File: ./images/fig47.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig47.pdf> <./images/fig48.pdf, id=916, 374.39874pt x 449.68pt>
File: ./images/fig48.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig48.pdf> [48 <./images/fig47.pdf> <./images/fig48.pdf>] <./imag
es/fig49.pdf, id=935, 382.42876pt x 442.65375pt>
File: ./images/fig49.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig49.pdf> <./images/fig50.pdf, id=939, 374.39874pt x 491.8375pt>
File: ./images/fig50.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig50.pdf> <./images/fig51.pdf, id=940, 380.42125pt x 491.8375pt>
File: ./images/fig51.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig51.pdf> [49 <./images/fig49.pdf> <./images/fig50.pdf> <./image
s/fig51.pdf>] <./images/fig52.pdf, id=967, 328.22626pt x 435.6275pt>
File: ./images/fig52.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig52.pdf> [50 <./images/fig52.pdf>] <./images/fig53.pdf, id=983,
 405.515pt x 534.99875pt>
File: ./images/fig53.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig53.pdf> <./images/fig54.pdf, id=984, 376.40625pt x 515.9275pt>
File: ./images/fig54.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig54.pdf> <./images/fig55.pdf, id=988, 446.66875pt x 442.65375pt
>
File: ./images/fig55.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig55.pdf> [51 <./images/fig53.pdf> <./images/fig54.pdf> <./image
s/fig55.pdf>] <./images/fig56.pdf, id=1009, 168.63pt x 264.99pt>
File: ./images/fig56.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig56.pdf> <./images/fig57.pdf, id=1011, 302.12875pt x 567.11874p
t>
File: ./images/fig57.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig57.pdf>
Underfull \hbox (badness 2809) in paragraph at lines 3284--3302
[][]\T1/cmr/m/n/12 Wir zeich-nen nun zu-nächst den \T1/cmr/m/it/12 Grund-riÿ
 []

[52

 <./images/fig56.pdf> <./images/fig57.pdf>] <./images/fig58.pdf, id=1028, 364.3
6125pt x 309.155pt>
File: ./images/fig58.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig58.pdf> <./images/fig59.pdf, id=1029, 371.3875pt x 415.5525pt>
File: ./images/fig59.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig59.pdf> [53 <./images/fig58.pdf> <./images/fig59.pdf>] <./imag
es/fig60.pdf, id=1048, 571.13374pt x 221.82875pt>
File: ./images/fig60.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig60.pdf> <./images/fig61.pdf, id=1050, 313.17pt x 474.77374pt>
File: ./images/fig61.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig61.pdf>
Underfull \hbox (badness 1521) in paragraph at lines 3413--3419
[]\T1/cmr/m/n/12 Die Aus-füh-rung der Zeich-nung ge-stal-tet
 []

[54 <./images/fig60.pdf> <./images/fig61.pdf>] <./images/fig62.pdf, id=1069, 39
3.47pt x 642.4pt>
File: ./images/fig62.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig62.pdf> <./images/fig63.pdf, id=1073, 575.14874pt x 862.22125p
t>
File: ./images/fig63.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig63.pdf> <./images/fig64.pdf, id=1074, 524.96124pt x 804.00375p
t>
File: ./images/fig64.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig64.pdf>

LaTeX Warning: `h' float specifier changed to `ht'.

[55 <./images/fig62.pdf>] [56 <./images/fig63.pdf> <./images/fig64.pdf>] <./ima
ges/fig65.pdf, id=1101, 1130.2225pt x 920.43875pt>
File: ./images/fig65.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig65.pdf> [57 <./images/fig65.pdf>] [58] <./images/fig66.pdf, id
=1121, 318.18875pt x 269.005pt>
File: ./images/fig66.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig66.pdf> <./images/fig67.pdf, id=1122, 368.37625pt x 301.125pt>
File: ./images/fig67.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig67.pdf>
Underfull \hbox (badness 1342) in paragraph at lines 3593--3608
[][]\T1/cmr/m/n/12 Wie man in der
 []


Underfull \hbox (badness 2922) in paragraph at lines 3593--3608
\T1/cmr/m/n/12 ana-ly-ti-schen Geo-me-
 []


Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 3593--3608
\T1/cmr/m/n/12 trie zu-vör-derst die
 []


Underfull \hbox (badness 1259) in paragraph at lines 3593--3608
\T1/cmr/m/n/12 for-ma-ti-on der Ko-or-
 []


Underfull \hbox (badness 2027) in paragraph at lines 3593--3608
\T1/cmr/m/n/12 nächst die Auf-ga-be,
 []


Underfull \hbox (badness 4416) in paragraph at lines 3593--3608
\T1/cmr/m/n/12 die Pro-jek-tio-nen in
 []

[59

 <./images/fig66.pdf> <./images/fig67.pdf>] <./images/fig68.pdf, id=1149, 440.6
4626pt x 463.7325pt>
File: ./images/fig68.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig68.pdf> <./images/fig69.pdf, id=1150, 511.9125pt x 532.99126pt
>
File: ./images/fig69.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig69.pdf>

LaTeX Warning: `h' float specifier changed to `ht'.

[60] <./images/fig70.pdf, id=1161, 266.9975pt x 276.03125pt>
File: ./images/fig70.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig70.pdf> <./images/fig71.pdf, id=1162, 338.26375pt x 331.2375pt
>
File: ./images/fig71.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig71.pdf>
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 3730--3745
[][]\T1/cmr/m/n/12 Ich er-ör-te-re
 []


Underfull \hbox (badness 3780) in paragraph at lines 3730--3745
\T1/cmr/m/n/12 den Fall, daÿ man
 []


Underfull \hbox (badness 5787) in paragraph at lines 3730--3745
\T1/cmr/m/n/12 ei-ne neue Pro-jek-ti-
 []


Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 3730--3745
\T1/cmr/m/n/12 zu ei-ner vor-han-de-
 []


Underfull \hbox (badness 1237) in paragraph at lines 3730--3745
\T1/cmr/m/n/12 nen par-al-lel ist. An
 []


Underfull \hbox (badness 2837) in paragraph at lines 3730--3745
\T1/cmr/m/n/12 nichts ge-än-dert. Sei
 []

[61 <./images/fig68.pdf> <./images/fig69.pdf> <./images/fig70.pdf> <./images/fi
g71.pdf>] [62] <./images/fig72.pdf, id=1193, 332.24126pt x 263.98625pt>
File: ./images/fig72.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig72.pdf> [63

 <./images/fig72.pdf>] <./images/fig73.pdf, id=1205, 303.1325pt x 339.2675pt>
File: ./images/fig73.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig73.pdf>
Underfull \hbox (badness 6220) in paragraph at lines 3848--3860
[][]\T1/cmr/m/n/12 Ist $\OML/cmm/m/it/12 A[]B[]C[]$ \T1/cmr/m/n/12 die Grund-fl
ä-che des Pris-mas
 []

<./images/fig74.pdf, id=1210, 486.81876pt x 495.8525pt>
File: ./images/fig74.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig74.pdf> [64 <./images/fig73.pdf>] [65 <./images/fig74.pdf>] <.
/images/fig75.pdf, id=1248, 284.06125pt x 603.25375pt>
File: ./images/fig75.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig75.pdf> [66] <./images/fig76.pdf, id=1265, 304.13625pt x 308.1
5125pt>
File: ./images/fig76.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig76.pdf> [67 <./images/fig75.pdf>] <./images/fig77.pdf, id=1276
, 434.62375pt x 499.8675pt>
File: ./images/fig77.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig77.pdf>
Underfull \hbox (badness 4168) in paragraph at lines 4091--4101
\T1/cmr/m/n/12 zwei-er Flä-chen-dia-go-na-len ist, al-so der
 []

<./images/fig78.pdf, id=1278, 342.27875pt x 401.5pt>
File: ./images/fig78.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig78.pdf> [68 <./images/fig76.pdf> <./images/fig77.pdf>] <./imag
es/fig79.pdf, id=1302, 980.66376pt x 664.4825pt>
File: ./images/fig79.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig79.pdf> [69 <./images/fig78.pdf>] <./images/fig80.pdf, id=1314
, 384.43625pt x 388.45125pt>
File: ./images/fig80.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig80.pdf> <./images/fig81.pdf, id=1317, 335.2525pt x 291.0875pt>
File: ./images/fig81.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig81.pdf> [70 <./images/fig79.pdf> <./images/fig80.pdf>] <./imag
es/fig82.pdf, id=1342, 399.4925pt x 434.62375pt>
File: ./images/fig82.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig82.pdf>
Overfull \hbox (2.41103pt too wide) in paragraph at lines 4251--4252
 [] 
 []

<./images/fig83.pdf, id=1343, 418.56375pt x 424.58624pt>
File: ./images/fig83.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig83.pdf>
Overfull \hbox (8.13245pt too wide) in paragraph at lines 4257--4258
 [] 
 []


Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 4263--4277
[][]\T1/cmr/m/n/12 Wir be-schrän-
 []


Underfull \hbox (badness 5802) in paragraph at lines 4263--4277
\T1/cmr/m/n/12 ken uns auf einen
 []


Underfull \hbox (badness 5245) in paragraph at lines 4263--4277
\T1/cmr/m/n/12 Ok-tan-ten und kon-
 []


Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 4263--4277
\T1/cmr/m/n/12 stru-ie-ren zu-nächst
 []


Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 4263--4277
\T1/cmr/m/n/12 sen-bo-gen $\OML/cmm/m/it/12 B[]A$\T1/cmr/m/n/12 , der
 []


Underfull \hbox (badness 1521) in paragraph at lines 4263--4277
\T1/cmr/m/n/12 dem Kreis-bo-gen der
 []


Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 4263--4277
\T1/cmr/m/n/12 Ebe-ne $\OML/cmm/m/it/12 OAB$ \T1/cmr/m/n/12 ent-
 []


Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 4263--4277
\T1/cmr/m/n/12 spricht. Zieht man
 []

[71 <./images/fig81.pdf> <./images/fig82.pdf> <./images/fig83.pdf>] <./images/f
ig84.pdf, id=1368, 302.12875pt x 284.06125pt>
File: ./images/fig84.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig84.pdf> [72 <./images/fig84.pdf>] <./images/fig85.pdf, id=1383
, 273.02pt x 161.60374pt>
File: ./images/fig85.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig85.pdf> [73

 <./images/fig85.pdf>] [74] <./images/fig86.pdf, id=1410, 317.185pt x 652.4375p
t>
File: ./images/fig86.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig86.pdf> <./images/fig87.pdf, id=1411, 293.095pt x 528.97626pt>
File: ./images/fig87.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig87.pdf>
Underfull \hbox (badness 2277) in paragraph at lines 4489--4502
[][]\T1/cmr/bx/n/12 1. []\T1/cmr/m/n/12 Ei-ne \T1/cmr/m/it/12 Schrau-ben-li-nie
 \T1/cmr/m/n/12 in
 []


Underfull \hbox (badness 1215) in paragraph at lines 4489--4502
\T1/cmr/m/n/12 kreis in $\OML/cmm/m/it/12 n$ \T1/cmr/m/n/12 glei-che Tei-le tei
lt,
 []

[75 <./images/fig86.pdf> <./images/fig87.pdf>] <./images/fig88.pdf, id=1433, 44
5.665pt x 284.06125pt>
File: ./images/fig88.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig88.pdf> [76 <./images/fig88.pdf>] <./images/fig89.pdf, id=1446
, 276.03125pt x 275.0275pt>
File: ./images/fig89.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig89.pdf> <./images/fig90.pdf, id=1450, 921.4425pt x 877.2775pt>
File: ./images/fig90.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig90.pdf> [77 <./images/fig89.pdf>] [78 <./images/fig90.pdf>] <.
/images/fig91.pdf, id=1473, 526.96875pt x 608.2725pt>
File: ./images/fig91.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig91.pdf>
Underfull \hbox (badness 2134) in paragraph at lines 4682--4685
[][]\T1/cmr/bx/n/12 6. []\T1/cmr/m/n/12 Ein \T1/cmr/m/it/12 Ro-ta-ti-ons-hy-per
-bo-lo-id $\OML/cmm/m/it/12 H$
 []


Underfull \hbox (badness 1762) in paragraph at lines 4697--4712
\T1/cmr/m/n/12 ein-an-der-lie-gen-den Teil-punk-te durch
 []

[79 <./images/fig91.pdf>] <./images/fig92.pdf, id=1486, 446.66875pt x 353.32pt>
File: ./images/fig92.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig92.pdf> [80

 <./images/fig92.pdf>] <./images/fig93.pdf, id=1500, 778.91pt x 426.59375pt>
File: ./images/fig93.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig93.pdf>
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 4795--4808
\T1/cmr/m/n/12 der Ku-gel lie-gen-der
 []


Underfull \hbox (badness 2293) in paragraph at lines 4795--4808
\T1/cmr/m/n/12 Schnitt-li-nie der Ebe-
 []


Underfull \hbox (badness 2189) in paragraph at lines 4795--4808
\T1/cmr/m/n/12 die Seh-nen $\OML/cmm/m/it/12 AB$ \T1/cmr/m/n/12 und
 []


Underfull \hbox (badness 2150) in paragraph at lines 4795--4808
\T1/cmr/m/n/12 Punk-te $\OML/cmm/m/it/12 O$ \T1/cmr/m/n/12 schnei-den,
 []

[81 <./images/fig93.pdf>] [82] <./images/fig94.pdf, id=1538, 439.6425pt x 433.6
2pt>
File: ./images/fig94.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig94.pdf> [83 <./images/fig94.pdf>] [84] <./images/fig95.pdf, id
=1569, 440.64626pt x 263.98625pt>
File: ./images/fig95.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig95.pdf> [85

 <./images/fig95.pdf>] [86] <./images/fig96.pdf, id=1590, 469.755pt x 287.0725p
t>
File: ./images/fig96.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig96.pdf> [87 <./images/fig96.pdf>] <./images/fig97.pdf, id=1605
, 452.69125pt x 291.0875pt>
File: ./images/fig97.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig97.pdf> [88]
Underfull \hbox (badness 1824) in paragraph at lines 5208--5213
[]\T1/cmr/m/n/12 Von den so auf-ein-an-der be-zo-ge-nen
 []

<./images/fig98.pdf, id=1614, 203.76125pt x 252.945pt>
File: ./images/fig98.pdf Graphic file (type pdf)
<use ./images/fig98.pdf> [89 <./images/fig97.pdf>] [90 <./images/fig98.pdf>] [9
1] [92

] [93] [94] [95]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+cmss on input line 5510
.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1cmss.fd
File: t1cmss.fd 1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
) [96

]
Underfull \hbox (badness 1953) in paragraph at lines 5618--5621
[]\T1/cmr/m/n/12 Privatdozent an der Uni-ver-si-tät
 []

[97]
Underfull \hbox (badness 1728) in paragraph at lines 5662--5667
\T1/cmr/m/n/12 Ham-burg, \T1/cmr/m/it/12 Schat-ten-kon-struk-tio-nen. \T1/cmr/m
/n/12 Für den Ge-brauch an
 []

[98] [99] [100] [101]
Underfull \hbox (badness 4518) in paragraph at lines 5951--5958
\T1/cmss/bx/n/17.28 Vocabulaire Ma-thé-ma-ti-que\T1/cmr/m/n/12 , français-allem
and et
 []

[102] [103] [104] [1


] [2] [3] [4] [5] [6] [7] (./33202-t.aux)

 *File List*
 amsbook.cls    2004/08/06 v2.20
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 germanb.ldf    2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
    calc.sty    2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
graphicx.sty    1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
graphics.sty    2006/02/20 v1.0o Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
    trig.sty    1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
graphics.cfg    2007/01/18 v1.5 graphics configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
 wrapfig.sty    2003/01/31  v 3.6
 fncylab.sty    
 caption.sty    2007/01/07 v3.0k Customising captions (AR)
caption3.sty    2007/01/07 v3.0k caption3 kernel (AR)
setspace.sty    2000/12/01 6.7 Contributed and Supported LaTeX2e package
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
supp-pdf.tex
ragged2e.sty    2003/03/25 v2.04 ragged2e Package (MS)
everysel.sty    1999/06/08 v1.03 EverySelectfont Package (MS)
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 33202-t.out
 33202-t.out
  t1cmtt.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
./images/fig01.pdf
./images/fig02.pdf
./images/fig03.pdf
./images/fig04.pdf
./images/fig05.pdf
./images/fig06.pdf
./images/fig07.pdf
./images/fig08.pdf
./images/fig09.pdf
./images/fig10.pdf
./images/fig11.pdf
./images/fig12.pdf
./images/fig13.pdf
./images/fig14.pdf
./images/fig15.pdf
./images/fig16.pdf
./images/fig17.pdf
./images/fig18.pdf
./images/fig19.pdf
./images/fig20.pdf
./images/fig21.pdf
./images/fig22.pdf
./images/fig23.pdf
./images/fig24.pdf
./images/fig25.pdf
./images/fig26.pdf
./images/fig27.pdf
./images/fig28.pdf
./images/fig29.pdf
./images/fig30.pdf
./images/fig31.pdf
./images/fig32.pdf
./images/fig33.pdf
./images/fig34.pdf
./images/fig35.pdf
./images/fig36.pdf
./images/fig37.pdf
./images/fig38.pdf
./images/fig39.pdf
./images/fig40.pdf
./images/fig41.pdf
./images/fig42.pdf
./images/fig43.pdf
./images/fig44.pdf
./images/fig45.pdf
./images/fig46.pdf
./images/fig47.pdf
./images/fig48.pdf
./images/fig49.pdf
./images/fig50.pdf
./images/fig51.pdf
./images/fig52.pdf
./images/fig53.pdf
./images/fig54.pdf
./images/fig55.pdf
./images/fig56.pdf
./images/fig57.pdf
./images/fig58.pdf
./images/fig59.pdf
./images/fig60.pdf
./images/fig61.pdf
./images/fig62.pdf
./images/fig63.pdf
./images/fig64.pdf
./images/fig65.pdf
./images/fig66.pdf
./images/fig67.pdf
./images/fig68.pdf
./images/fig69.pdf
./images/fig70.pdf
./images/fig71.pdf
./images/fig72.pdf
./images/fig73.pdf
./images/fig74.pdf
./images/fig75.pdf
./images/fig76.pdf
./images/fig77.pdf
./images/fig78.pdf
./images/fig79.pdf
./images/fig80.pdf
./images/fig81.pdf
./images/fig82.pdf
./images/fig83.pdf
./images/fig84.pdf
./images/fig85.pdf
./images/fig86.pdf
./images/fig87.pdf
./images/fig88.pdf
./images/fig89.pdf
./images/fig90.pdf
./images/fig91.pdf
./images/fig92.pdf
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./images/fig94.pdf
./images/fig95.pdf
./images/fig96.pdf
./images/fig97.pdf
./images/fig98.pdf
  t1cmss.fd    1999/05/25 v2.5h Standard LaTeX font definitions
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 7473 strings out of 94074
 102011 string characters out of 1165154
 155771 words of memory out of 1500000
 9948 multiletter control sequences out of 10000+50000
 32596 words of font info for 80 fonts, out of 1200000 for 2000
 806 hyphenation exceptions out of 8191
 34i,15n,44p,324b,555s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbx12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.
pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi12.pfb></usr/share/tex
mf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/typ
e1/bluesky/cm/cmmi9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.
pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texm
f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pf
b></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
bluesky/cm/cmsy9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.p
fb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbi1200.pfb></usr/share/texmf
/fonts/type1/public/cm-super/sfbx0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/
cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pf
b></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1440.pfb></usr/share/texmf/
fonts/type1/public/cm-super/sfbx1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/c
m-super/sfcc1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0700.pfb
></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/texmf/f
onts/type1/public/cm-super/sfrm0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm
-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1095.pfb>
</usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200.pfb></usr/share/texmf/fo
nts/type1/public/cm-super/sfrm1440.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-
super/sfsx1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfsx1200.pfb><
/usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfsx1440.pfb></usr/share/texmf/fon
ts/type1/public/cm-super/sfsx1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-s
uper/sfti0900.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1000.pfb></
usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/font
s/type1/public/cm-super/sftt0900.pfb>
Output written on 33202-t.pdf (118 pages, 1369321 bytes).
PDF statistics:
 1958 PDF objects out of 2073 (max. 8388607)
 408 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 675 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

