% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% The Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides, by 
% François de Salvert                                                     %
%                                                                         %
% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
% with this eBook or online at www.gutenberg.org                          %
%                                                                         %
%                                                                         %
% Title: Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides                     %
%        Thèses Présentées à la Faculté des Sciences de Paris pour        %
%        Obtenir le Grade de Docteur ès Sciences Mathématiques            %
%                                                                         %
% Author: François de Salvert                                             %
%                                                                         %
% Release Date: July 5, 2010 [EBook #33083]                               %
%                                                                         %
% Language: French                                                        %
%                                                                         %
% Character set encoding: ISO-8859-1                                      %
%                                                                         %
% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FLUIDES ***                   %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\def\ebook{33083}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%                                                                  %%
%% Packages and substitutions:                                      %%
%%                                                                  %%
%% book:     Required.                                              %%
%% inputenc: Standard DP encoding. Required.                        %%
%% fontenc:  Font encoding, for boldface smallcaps. Required.       %%
%%                                                                  %%
%% babel:    French language features. Required.                    %%
%%                                                                  %%
%% ifthen:   Logical conditionals. Required.                        %%
%%                                                                  %%
%% amsmath:  AMS mathematics enhancements. Required.                %%
%% amssymb:  Additional mathematical symbols. Required.             %%
%% mathrsfs: Script math font. Required.                            %%
%%                                                                  %%
%% alltt:    Fixed-width font environment. Required.                %%
%%                                                                  %%
%% perpage:  Start footnote numbering on each page. Required.       %%
%%                                                                  %%
%% calc:     Length calculations. Required.                         %%
%% fix-cm:   Very large font on title page. Optional.               %%
%%                                                                  %%
%% fancyhdr: Enhanced running headers and footers. Required.        %%
%%                                                                  %%
%% geometry: Enhanced page layout package. Required.                %%
%% hyperref: Hypertext embellishments for pdf output. Required.     %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Producer's Comments:                                             %%
%%                                                                  %%
%%   Changes are noted in this file with [** TN: Note]s.            %%
%%                                                                  %%
%% Compilation Flags:                                               %%
%%                                                                  %%
%%   The following behavior may be controlled by boolean flags.     %%
%%                                                                  %%
%%   ForPrinting (true by default):                                 %%
%%   Compile a print-optimized PDF file. Set to false for screen-   %%
%%   optimized file (pages cropped, one-sided, blue hyperlinks).    %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% PDF pages: 55 (if ForPrinting set to true)                       %%
%% PDF page size: A4                                                %%
%% PDF bookmarks: created, point to ToC entries                     %%
%% PDF document info: filled in                                     %%
%%                                                                  %%
%% Summary of log file:                                             %%
%% * One overfull hbox (1.8pt too wide).                            %%
%% * Two underfull hboxes.                                          %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% Compile History:                                                 %%
%%                                                                  %%
%% July, 2010: adhere (Andrew D. Hwang)                             %%
%%             texlive2007, GNU/Linux                               %%
%%                                                                  %%
%% Command block:                                                   %%
%%                                                                  %%
%%     pdflatex x2                                                  %%
%%                                                                  %%
%%                                                                  %%
%% July 2010: pglatex.                                              %%
%%   Compile this project with:                                     %%
%%   pdflatex 33083-t.tex ..... TWO times                           %%
%%                                                                  %%
%%   pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6)                 %%
%%                                                                  %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\listfiles
\documentclass[12pt,a4paper,leqno]{book}[2005/09/16]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PACKAGES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[latin1]{inputenc}[2006/05/05]
\usepackage[T1]{fontenc}[2005/09/27]        % the font encoding

\usepackage[french]{babel}[2005/11/23]      % the language

\usepackage{ifthen}[2001/05/26]  %% Logical conditionals

\usepackage{amsmath}[2000/07/18] %% Displayed equations
\usepackage{amssymb}[2002/01/22] %% and additional symbols
\usepackage{mathrsfs}[1996/01/01]%% AMS script math font

\usepackage{alltt}[1997/06/16]   %% boilerplate, credits, license

\usepackage{perpage}[2006/07/15]

\usepackage{calc}[2005/08/06]

\newlength{\MySkip}
\IfFileExists{fix-cm.sty}{%      %% For larger title page fonts
  \usepackage{fix-cm}[2006/03/24]%
  \newcommand{\MyHuge}{\fontsize{38}{48}\selectfont}%
  \setlength{\MySkip}{0.375in}%
}{% else
  \newcommand{\MyHuge}{\Huge}%
  \setlength{\MySkip}{0.25in}
}

% for running heads
\usepackage{fancyhdr}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%% Interlude:  Set up PRINTING (default) or SCREEN VIEWING %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% ForPrinting=true (default)           false
% Asymmetric margins                   Symmetric margins
% Black hyperlinks                     Blue hyperlinks
% Start Preface, ToC, etc. recto       No blank verso pages
%
% Chapter-like ``Sections'' start both recto and verso in the scanned
% book. This behavior has been retained.
\newboolean{ForPrinting}

%% COMMENT the next line for a SCREEN-OPTIMIZED VERSION of the text %%
\setboolean{ForPrinting}{true}

%% Initialize values to ForPrinting=false
\newcommand{\Margins}{hmarginratio=1:1}     % Symmetric margins
\newcommand{\HLinkColor}{blue}              % Hyperlink color
\newcommand{\PDFPageLayout}{SinglePage}
\newcommand{\TransNote}{Notes sur la transcription}
\newcommand{\TransNoteText}{%
  Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell
  University Library: Historical Mathematics Monographs collection.
  \bigskip

  Ce fichier est optimisé pour être lu sur un écran, mais peut être
  aisément reformaté pour être imprimé. Veuillez consulter le
  préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
}

%% Re-set if ForPrinting=true
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \renewcommand{\Margins}{hmarginratio=2:3} % Asymmetric margins
  \renewcommand{\HLinkColor}{black}         % Hyperlink color
  \renewcommand{\PDFPageLayout}{TwoPageRight}
  \renewcommand{\TransNoteText}{%
    Ce livre a été préparé à l'aide d'images fournies par la Cornell
    University Library: Historical Mathematics Monographs collection.
    \bigskip

    Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément
    reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le
    préambule du fichier \LaTeX\ source pour les instructions.
  }
}{% If ForPrinting=false, don't skip to recto
  \renewcommand{\cleardoublepage}{\clearpage}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  End of PRINTING/SCREEN VIEWING code; back to packages  %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}{%
  \usepackage[body={5.25in,8.4in},\Margins]{geometry}[2002/07/08]
}{%
  \setlength{\paperwidth}{7.5in}%
  \setlength{\paperheight}{10in}%
  \usepackage[body={5.25in,8.4in},\Margins,includeheadfoot]{geometry}[2002/07/08]
}

\providecommand{\ebook}{00000}    % Overridden during white-washing
\usepackage[pdftex,
  hyperref,
  hyperfootnotes=false,
  pdfstartview=Fit,    % default value
  pdfstartpage=1,      % default value
  pdfpagemode=UseNone, % default value
  bookmarks=true,      % default value
  linktocpage=false,   % default value
  pdfpagelayout=\PDFPageLayout,
  pdfdisplaydoctitle,
  pdfpagelabels=true,
  bookmarksopen=true,
  bookmarksopenlevel=1,
  colorlinks=true,
  linkcolor=\HLinkColor]{hyperref}[2007/02/07]

\hypersetup{pdftitle={The Project Gutenberg eBook \#\ebook: Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides},
  pdfauthor={\texorpdfstring{François}{Francois} de Salvert},
  pdfkeywords={Joshua Hutchinson, \texorpdfstring{Sébastien}{Sebastien} Blondeel,
    Project Gutenberg Online Distributed Proofreading Team,
    Cornell University Historical Mathematical Monographs Collection}}

% Re-crop screen-formatted version, accommodating wide displays
\ifthenelse{\boolean{ForPrinting}}
  {}
  {\hypersetup{pdfpagescrop= 16 60 577 808}}% 4:3


%%%% Fixed-width environment to format PG boilerplate %%%%
\newenvironment{PGtext}{%
\begin{alltt}
\fontsize{9.2}{10.5}\ttfamily\selectfont}%
{\end{alltt}}

\newlength{\TmpLen} % Length for local, ad hoc needs

% Miscellaneous style tweaks
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}% No hrule in page header
\setlength{\headheight}{15pt}

\DeclareMathSizes{12}{11}{8}{6}

\fancyhf{}
\fancyhead[C]{( \thepage\ )}

\emergencystretch1.5em % Loosen the spacing

% Top-level footnote numbers restart on each page
\MakePerPage{footnote}

% Loosen vertical and horizontal spacing; for ad hoc local use
\newcommand{\vloose}{\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}}
\newcommand{\hloose}{\spaceskip 0.75em}

% Surround footnote markers with upright parentheses
\makeatletter
\renewcommand\@makefnmark%
  {\mbox{\small\,\upshape(\@textsuperscript{\normalfont\@thefnmark})}}

\renewcommand\@makefntext[1]%
  {\noindent\makebox[2.4em][r]{\@makefnmark\,}#1}
\makeatother

% Semantic and convenience macros
\newcommand{\DPtypo}[2]{#2} % For corrections.

\newcommand{\tb}[1][4cm]{\rule{#1}{0.5pt}} % thought break
\newcommand{\Ord}[2]{#1\textsuperscript{#2}} % ordinal

\newcommand{\const}{\text{\upshape const.}}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\tsum}{\mathop{\textstyle\sum}\nolimits}

\newcommand{\vol}{\mathrm{v}}

\DeclareMathOperator{\opS}{\mathbf{S}}% operator S
\DeclareMathOperator{\tang}{tang}

\newcommand{\scrF}{\mathscr{F}}
\newcommand{\scrX}{\mathscr{X}}
\newcommand{\scrY}{\mathscr{Y}}
\newcommand{\scrZ}{\mathscr{Z}}

% Use upright capitals in math mode
\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{`A}
\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{`B}
\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{`C}
\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{`D}
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\DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{`X}
\DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{`Y}
\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{`Z}

\DeclareInputText{176}{\ifmmode{{}^\circ}\else\textdegree\fi}
\DeclareInputText{183}{\ifmmode\centerdot\else\textperiodcentered\fi}

% page separators
\newcommand{\DPPageSep}[1]{}

% upright parentheses
\renewcommand{\(}{\textup(}
\renewcommand{\)}{\textup)}

% Sectional units
\newcounter{myunit}
\newcommand{\Chapter}[2]{%
  \cleardoublepage
  \noindent\hrule
  \refstepcounter{myunit}%
  \phantomsection\pdfbookmark[0]{#1}{unit:\themyunit}%
  \vspace*{30pt}
  \section*{\LARGE\centering\MakeUppercase{#1}}
  \begin{center}
    \tb[2cm]
  \end{center}
  \ifthenelse{\not\equal{#2}{}}{%
    \subsection*{\large\centering #2}
    \begin{center}
      \tb[1cm]
    \end{center}
    \vspace*{2\baselineskip}
  }{}%
}

\newcommand\Section[3]{%
  \section*{\centering\normalsize #1\MakeUppercase{#2}}
  \refstepcounter{myunit}
  \phantomsection%
  \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{%
    \pdfbookmark[1]{Section #1}{unit:\themyunit}%
  }{}%
  \ifthenelse{\not\equal{#3}{}}{%
    \subsection*{\centering\footnotesize\scshape\MakeLowercase{#3}}
  }{}%
}


% Marginal notes
\newcommand{\MarginBox}[2][]{%
  \mbox{}\marginpar{\centering\scriptsize #2}%
  \ifthenelse{\not\equal{#1}{}}{\phantomsection\label{#1}}{}%
}
\newcommand{\marge}[2][]{%
  \bigskip\par\MarginBox[#1]{#2}%
}


% Theorems et al.
\newenvironment{thm}[1]{%
  \bigskip\par{\scshape Théorème #1\@.}\phantomsection\label{thm:#1} ---\itshape}%
{\upshape\bigskip}

% No "Théorème heading, but provides guillemets
\newenvironment{theorem}{\medskip\par«~\itshape}{\upshape~»\medskip}

\newenvironment{lem}[1]{%
  \bigskip\par{\scshape Lemme\phantomsection\label{lem:#1} #1\@.} ---\itshape}%
{\upshape\bigskip}


% Macros for the Faculté des sciences page
\newcommand{\TitleRow}[1]{%
%[** TN: Manually set widest row; similarly in other macros below]
  \settowidth{\TmpLen}{\bfseries\footnotesize PROFESSEURS HONORAIRES}%
  \parbox{\TmpLen}{{\bfseries\footnotesize\hangindent1em#1\dotfill}}%
}

\newcommand{\NameBox}[1]{%
  \settowidth{\TmpLen}{\footnotesize\bfseries MILNE EDWARDS, Professeur.}%
  \parbox{\TmpLen}{\footnotesize\textbf{#1}}%
}

\newcommand{\Name}[2][]{%
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% Cross-referencing
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% START OF DOCUMENT %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\pagestyle{empty}
\pagenumbering{Alph}

\phantomsection
\pdfbookmark[-1]{Matière Préliminaire.}{Preliminaire}

%%%% PG BOILERPLATE %%%%
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{PG Boilerplate.}{Boilerplate}

\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\small
\begin{PGtext}
The Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides, by 
François de Salvert

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Étude sur le Mouvement Permanent des Fluides
       Thèses Présentées à la Faculté des Sciences de Paris pour
       Obtenir le Grade de Docteur ès Sciences Mathématiques

Author: François de Salvert

Release Date: July 5, 2010 [EBook #33083]

Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FLUIDES ***
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}

\clearpage


%%%% Credits and transcriber's note %%%%
\begin{center}
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{PGtext}
Produced by Sébastien Blondeel, Joshua Hutchinson, and the
Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net
(This file was produced from images from the Cornell
University Library: Historical Mathematics Monographs
collection.)
\end{PGtext}
\end{minipage}
\end{center}
\vfill

\begin{minipage}{0.85\textwidth}
\small
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{Note sur la Transcription.}{Transcription}
\subsection*{\centering\normalfont\scshape%
\normalsize\MakeLowercase{\TransNote}}%

\raggedright
\TransNoteText
\end{minipage}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FRONT MATTER %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\frontmatter
\pagestyle{empty}

\DPPageSep{001.png}{}%
\iffalse
Production Note

Cornell University Library
produced this volume to replace
the irreparably deteriorated
original. It was scanned using
Xerox software and equipment at
600 dots per inch resolution
and compressed prior to storage
using CCITT Group 4
compression. The digital data
were used to create Cornell's
replacement volume on paper
that meets the ANSI Standard
Z39.48-1984. The production of
this volume was supported in
part by the Commission on
Preservation and Access and the
Xerox Corporation. 1990.
\fi
\DPPageSep{002.png}{}%
\DPPageSep{003.png}{}%
% Title page

\begin{center}
\noindent\makebox[\linewidth][c]{%
\settowidth{\TmpLen}{\footnotesize\No d'ordre}%
\rlap{\parbox[b]{\TmpLen}{\centering\footnotesize%
    \No d'ordre  \\
    \textbf{352} \\[-0.5\baselineskip]
    $\underbrace{\rule{\TmpLen}{0pt}}_{}$}}
\hfill\MyHuge \textbf{THÈSES}\hfill}
\setlength{\TmpLen}{6pt}%

\footnotesize PRÉSENTÉES \\[2\TmpLen]
\makebox[0pt][c]{\Large\bfseries À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS} \\[3\TmpLen]
\scriptsize POUR OBTENIR \\[2\TmpLen]
\small\bfseries LE GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES MATHÉMATIQUES, \\[3\TmpLen]
\normalsize\textbf{PAR M.~\textsc{François} DE SALVERT}, \\[2\TmpLen]
\scriptsize ANCIEN ÉLÈVE DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE. \\[2\TmpLen]
\tb[2cm] \\[2\TmpLen]
\small%
\begin{tabular}{r@{\ }c@{\ }l}
\textbf{\Ord{1}{re} THÈSE.} & --- &
    {\footnotesize \textsc{Étude sur le mouvement permanent des fluides. }}\\
\textbf{\Ord{2}{e\ } THÈSE.} & --- &
    {\footnotesize \textsc{Propositions données par la faculté.}}\\
\end{tabular} \\[3\TmpLen]
\tb \\[2\TmpLen]
\textbf{Soutenues le\qquad\qquad 1874, devant la Commission d'Examen}. \\[2\TmpLen]
\tb
\begin{align*}%[** TN: Non-semantic expedient to use amsmath braces]
  \text{\footnotesize MM.\ }
  & \left.\text{\footnotesize PUISEUX,\quad \emph{Président}}\right. \\
  & \left.\begin{aligned}
      &\text{\footnotesize BOUQUET,} \\
      &\text{\footnotesize BONNET,}
    \end{aligned}\right\} \text{\emph{\footnotesize Examinateurs}}
\end{align*}

\tb
\vfill
\Large\textbf{PARIS,} \\[2\TmpLen]
\large GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE \\[2\TmpLen]
\scriptsize DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, DU BUREAU DES LONGITUDES, \\[2\TmpLen]
\footnotesize \textbf{SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER},\\[2\TmpLen]
Quai des Augustins, 55.\\
\tb[1cm]\\[2\TmpLen]
\textbf{\Large 1874}
\end{center}
\DPPageSep{004.png}{}%
\newpage

\begin{center}
\setlength{\TmpLen}{4pt}%
\Large\textbf{ACADÉMIE DE PARIS} \\
\tb \\[2\TmpLen]
\large\textbf{FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS.} \\[\TmpLen]
\tb[1cm]
\vfill
%[** TN: Force centering of wide box]
\makebox[0pt][c]{%
$
%[** TN: Non-semantic expedient to use amsmath braces]
\renewcommand{\arraystretch}{0.8}% Tighten vertical spacing
\begin{aligned}
\TitleRow{DOYEN} &
\quad\begin{array}{l}\Name[MM.]{MILNE EDWARDS, Professeur}\end{array}
\Dept{Zoologie, Anatomie, Physiologie comparée.} \\
%
\TitleRow{PROFESSEURS HONORAIRES} &
\left\{
\begin{array}{l}\NameBox{DUMAS.} \\\NameBox{BALARD.}\end{array}
\right. \\[4pt]
%
\TitleRow{PROFESSEURS} &
\left\{
\begin{array}{l}
\Name{DELAFOSSE} \Dept{Minéralogie.} \\
\Name{CHASLES}   \Dept{Géométrie supérieure.}\\
\Name{LE VERRIER}\Dept{Astronomie.} \\
\Name{P. DESAINS}\Dept{Physique.} \\
\Name{LIOUVILLE} \Dept{Mécanique rationnelle.} \\
\Name{PUISEUX}   \Dept{Astronomie.} \\
\Name{HÉBERT}    \Dept{Géologie.} \\
\Name{DUCHARTRE} \Dept{Botanique.} \\
\Name{JAMIN}     \Dept{Physique.} \\
\Name{SERRET}    \Dept{Calcul différentiel et intégral.} \\
\Name{H.~S\textsuperscript{te}-CLAIRE DEVILLE} \Dept{Chimie.} \\
\Name{PASTEUR}   \Dept{Chimie.} \\
\Name{DE LACAZE-DUTHIERS} \Dept{Anatomie, Physiologie comparée, Zoologie.}\\
\Name{BERT}      \Dept{Physiologie.} \\
\Name{HERMITE}   \Dept{Algèbre supérieure.} \\
\Name{BRIOT}     \Dept{Calcul des probabilités, Physique mathématique.}\\
\Name{BOUQUET}   \Dept{Mécanique et physique expérimentale.}
\end{array}
\right. \\[4pt]
%
\TitleRow{AGRÉGÉS} &
\left\{
  \begin{array}{l}
    \left.
      \begin{aligned}
        & \Name{BERTRAND} \\
        & \Name{J. VIEILLE}
      \end{aligned}
    \right\}
    \Dept{Sciences mathématiques.} \\
    \Name{PELIGOT} \Dept{Sciences physiques.}
  \end{array}
\right. \\
%
\TitleRow{SECRÉTAIRE}
%[** TN: Spacing hack]
& \quad\begin{array}{l}\NameBox{PHILIPPON.}\end{array}
\end{aligned}
$}
\vfill
\noindent\hrule
\medskip

\footnotesize%
\makebox[0pt][c]{\textsc{1067\quad Paris. --- Imprimerie de GAUTHIER-VILLARS, successeur de
MALLET-BACHELIER,}} \\
\textsc{Quai des Augustins, 55.}
\end{center}
\DPPageSep{005.png}{}%
\newpage
% Dedication

\setlength{\TmpLen}{12pt}%
\begin{center}
\null\vfill
\small À MON VÉNÉRÉ PROFESSEUR \\[3\TmpLen]
{\Huge \bfseries\scshape\hloose Le P.~JOUBERT,}  \\[\TmpLen]
\scriptsize DE L'ÉCOLE SAINTE-GENEVIÈVE,
\end{center}
\vspace*{6\TmpLen}

\begin{flushright}
\settowidth{\TmpLen}{\scriptsize D'AFFECTUEUSE RECONNAISSANCE.}%
\parbox{\TmpLen}{\scriptsize\qquad HOMMAGE \\[4pt]
D'AFFECTUEUSE RECONNAISSANCE.} \\[30pt]
\small F.~DE SALVERT.\hspace*{2em}
\end{flushright}
\vfill
\DPPageSep{006.png}{}%
\DPPageSep{007.png}{}%


\mainmatter
\phantomsection\pdfbookmark[-1]{Matière Primaire.}{Main Matter}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}


\Chapter{Première Thèse.}
{ÉTUDE \\[12pt] {\scriptsize SUR LE} \\[12pt] MOUVEMENT PERMANENT DES FLUIDES.}

\Section{}{Introduction.}{}

\marge[ExposeSujet]{Exposé du sujet}
Nous n'envisageons dans ce travail que l'hypothèse particulière
connue sous le nom de \emph{mouvement permanent des fluides}. Ce cas, en
effet, en même temps qu'il est le plus fréquent dans la pratique et le
plus intéressant au point de vue des applications, est aussi, par une
coïncidence heureuse qui se présente dans un grand nombre de
questions, beaucoup plus facile à étudier que le cas général, et cela
par un double motif: d'abord, au point de vue analytique, la disparition
des dérivées relatives au temps introduit une simplification
notable dans les équations du mouvement, et la difficulté de leur
intégration en est certainement diminuée, quoiqu'elle reste toujours
fort grande; en second lieu, et c'est pour nous le point le plus important,
la réduction des quatre variables indépendantes aux trois
seules coordonnées $x$,~$y$,~$z$ permet de substituer aux procédés purement
analytiques une étude géométrique fondée sur la considération
\DPPageSep{008.png}%
de surfaces représentatives, ainsi qu'on le fait dans une foule de questions
de Mécanique ou de Physique mathématique, telles que la rotation
des corps, l'équilibre des fluides, ou les problèmes de chaleur et
d'électricité.

En effet, supposons que l'on ait déterminé la fonction de $x$,~$y$ et~$z$,
qui représente chacun des cinq éléments dont dépend la connaissance
du mouvement, et soit, par exemple,
\[
p = f(x,y,z)
\]
$p$~représentant la pression; on voit que, si l'on pose
\[
f(x,y,z) = \const,
\]
on aura une famille de surfaces analogues aux \emph{surfaces de niveau}, auxquelles
elles se réduisent dans le cas de l'équilibre, ou encore aux
\emph{surfaces isothermes}, famille qui sera définie par cette propriété qu'en
tous les points d'une même surface la pression aura la même valeur,
et qu'on pourra appeler par conséquent \emph{surfaces d'égale pression}.

On pourra considérer de même des surfaces d'égale densité, d'égale
force vive, ou toute autre analogue définie par la constance d'un élément
quelconque du mouvement, et l'on comprend que la considération
directe de ces surfaces pourra, jusqu'à un certain point, remplacer
les procédés analytiques pour arriver à la découverte des propriétés
du mouvement.

C'est à ce point de vue, à la fois géométrique et analytique, que
nous allons nous placer dans ce travail, et nous baserons cette étude
sur la considération des \emph{surfaces de nulle résistance}, que nous allons
maintenant définir, et dont nous montrerons les propriétés remarquables.


\Section{I.}{ --- Surfaces de Nulle Résistance}
{Définitions; Propriétés Caractéristiques.}

\marge[ResistanceMouvementFluide]{Résistance\\au mouvement\\d'un fluide.}
Lorsqu'un fluide est en équilibre, et qu'on vient à introduire une
paroi solide au sein de sa masse, la pression supportée par chaque
élément de cette paroi est précisément égale a celle que supportait
\DPPageSep{009.png}%
la molécule fluide primitivement située au même point, et qu'on
nomme \emph{pression hydrostatique} relative à ce point; mais, si le fluide
est en mouvement, il n'en sera plus ainsi. Chaque élément de la
paroi supportera, dans ce cas, non-seulement la pression hydrostatique~$p$,
qui s'exerce sur ses deux faces (et qu'il supporterait seule,
s'il participait au mouvement du fluide), mais encore un effort provenant
du mouvement même du fluide, et dirigé suivant ce mouvement,
lequel variera évidemment en chaque point avec la grandeur
et la direction de la vitesse. Cet effort, qui tend à entraîner la paroi
dans le mouvement du fluide, ou, ce qui est la même chose au sens
près, la résistance qu'elle oppose au mouvement lorsqu'on la maintient
fixe, ont tous deux pour expression, en grandeur absolue,
$\rho\omega V^2 \cos\theta$,\Pagelabel{page:5} $\rho$~étant la densité, $V$~la vitesse, $\omega$~l'élément de paroi, et
$\theta$~l'angle aigu que forme la normale à la paroi avec la vitesse du
fluide\footnotemark.
\footnotetext{Voir \bsc{Duhamel}, \textit{Cours de Mécanique}, 3\ieme~édition, liv.~IV, §~193 et suiv.}
Il résulte immédiatement de cette expression, ce qui du
reste est presque évident \textit{a~priori}, que si $\theta = 90°$, c'est-à-dire si le plan
de la paroi contient la direction de la vitesse, la résistance dont
nous parlons sera nulle, et, par conséquent, une surface dont tous les
éléments satisferaient à cette condition n'opposerait aucune résistance
au mouvement du fluide. Cette condition, en particulier, se trouve
forcément remplie par les parois fixes du vase ou du réservoir qui
contient un fluide en mouvement.

\marge[SurfacesNulleResistance]{Surfaces\\de nulle résistance}
D'après cela, nous appellerons \emph{surface de nulle résistance {\upshape«\;}une surface
telle qu'en chacun de ses points la vitesse du fluide soit située dans le
plan tangent{\upshape\;»}}.

On conclura immédiatement de cette définition:

\primo Que si l'on considère un point du fluide, une surface de nulle
résistance passant par ce point, et la molécule qui y est actuellement,
son mouvement tout entier s'effectuera sur cette surface, en sorte que
les surfaces de nulle résistance contiennent les trajectoires de toutes
les molécules fluides;

\secundo Qu'aucune molécule fluide ne peut traverser cette surface, puisque,
pour cela, il faudrait qu'au moment de son passage sa vitesse fit
\DPPageSep{010.png}%
un angle fini avec la surface, en sorte que toutes les molécules situées
actuellement à l'intérieur de cette surface y resteront constamment, et
de même les molécules actuellement extérieures le seront aussi indéfiniment.

On peut donc dire qu'une surface de nulle résistance partage la
masse fluide en deux portions telles, que le mouvement n'opère entre
elles aucun échange d'éléments.

\marge{Propriétés relatives:}
Il résulte de là deux propriétés importantes que nous allons établir.

\marge[ProprietesEllipsoideCentral]{(\textit{a}) à l'ellipsoïde\\central d'inertie}
La considération du centre de gravité d'un système en mouvement
est assez familière en Dynamique pour que nous n'ayons pas à la rappeler
ici; mais nous pousserons plus loin l'analogie dans la même voie,
et nous considérerons ce que nous appellerons \emph{plans principaux, moments},
et \emph{ellipsoïde d'inertie} d'un système à une époque donnée, c'est-à-dire
les plans principaux, moments et ellipsoïde d'inertie qu'il y
aurait lieu de considérer, si le système venait à être solidifié dans la
figure qu'il offre à cette époque.

D'après cela, de même que le centre de gravité du système, à une
époque quelconque, sera déterminé par la condition que, en prenant ce
point pour origine des coordonnées, les sommes
\[
\opS mx, \quad \opS my, \quad \opS mz,
\]
étendues à toutes les molécules~$m$ du système, soient nulles à cette
époque, de même les plans principaux d'inertie, relatifs au même
point, seront déterminés par la condition jointe à la précédente que,
en les prenant pour plans coordonnés, les sommes
\[
\opS myz, \quad \opS mzx, \quad \opS mxy,
\]
soient également nulles à la même époque; enfin les sommes
\[
\opS m(y^2+z^2), \quad
\opS m(z^2+x^2), \quad
\opS m(x^2+y^2),
\]
prises dans les mêmes conditions, seront pour nous les moments principaux
d'inertie, relatifs au centre de gravité, pour la même époque.

Si l'on applique maintenant ces considérations à une portion de la
masse fluide délimitée actuellement par une surface choisie arbitrairement,
\DPPageSep{011.png}%
il est facile de voir qu'en général ces divers éléments varieront
de grandeur ou de position avec le temps. En effet, supposons que
l'on ait déterminé ces différents éléments pour la position actuelle de
la masse considérée, et prenons le centre de gravité et les plans principaux
d'inertie, relatifs à cette position, pour origine et plans fixes de
coordonnées. Parmi les sommes ci-dessus, les six premières seront
nulles par hypothèse; mais, si nous calculons leurs valeurs pour les
époques successives, elles varieront forcément avec le temps; car, en
raison de la continuité du fluide, ce sont en réalité des intégrales
triples par rapport à $x$,~$y$,~$z$ dont les limites varient à chaque instant
avec la configuration extérieure de la masse considérée. Elles ne resteront
donc pas constamment nulles, et, conséquemment, l'origine et
les plans coordonnés ne seront pas constamment le centre de gravité
et les plans principaux d'inertie du système considéré. La valeur des
moments principaux d'inertie variera en même temps par la même
raison, et, par conséquent, l'ellipsoïde central qu'il y aurait lieu de
considérer variera à chaque instant de grandeur et de position.

Il en serait tout autrement si nous considérions une portion de la
masse fluide délimitée actuellement par des surfaces de nulle résistance;
car, en vertu de la remarque faite plus haut, la configuration
extérieure de cette masse restera invariablement la même, et, conséquemment,
les limites d'intégration ne variant plus, les différentes
sommes ci-dessus seront alors des constantes. L'origine et les plans
coordonnés seront donc alors constamment le centre de gravité et les
plans principaux d'inertie relatifs à ce point; et d'ailleurs les moments
d'inertie relatifs au même point conserveront constamment la même
grandeur. Nous pourrons, en conséquence, énoncer la propriété suivante:

\begin{thm}{I}
L'ellipsoïde central d'inertie, relatif à une portion du
fluide limitée par des surfaces de nulle résistance, reste invariable de forme
et de position pendant le mouvement.
\end{thm}

Ces conclusions sont d'ailleurs presque évidentes dans ce cas, puisque,
d'une part, en vertu de l'hypothèse de la permanence, les densités
sont constantes en chaque point, et que, d'autre part, en vertu du
choix de la surface limitative, on considère toujours les mêmes points
\DPPageSep{012.png}%
de l'espace. L'assimilation de la masse fluide à un solide invariable de
position s'impose alors d'elle-même à l'esprit; le centre de gravité et
l'ellipsoïde central du système sont, à un instant quelconque, le centre
de gravité et l'ellipsoïde central de ce solide, et par conséquent, comme
lui, invariables de position aussi bien que de grandeur.

Nous allons maintenant montrer une seconde propriété des surfaces
de nulle résistance qui est précisément relative à ce \emph{solide représentatif}.

\marge[ProprietesSoliceRepresentatif]{(\textit{b}) au solide\\représentatif}
Conformément à ce qui précède, nous appellerons \emph{solide représentatif}
correspondant à une portion du fluide un solide continu qui,
occupant la même étendue de l'espace, offrirait en chaque point la
même densité que le fluide considéré, et nous énoncerons cette nouvelle
propriété:

\begin{thm}{II}
Le solide représentatif correspondant à une portion
de la masse fluide limitée par des surfaces de nulle résistance, serait en
équilibre sous l'action des forces qui sollicitent cette masse.
\end{thm}

En effet, désignons par $m\scrX$,~$m\scrY$,~$m\scrZ$ les composantes de la force
\emph{totale}~$m\scrF$, qui sollicite la molécule de masse~$m$, c'est-à-dire la résultante
des actions tant intérieures qu'extérieures qui s'exercent sur cette
molécule, en y comprenant les liaisons qui proviennent de la constitution
même du fluide, en sorte que l'on puisse considérer chaque
molécule comme entièrement libre; les équations de son mouvement
seront
\[
\Tag{(1)}
\frac{d^2x}{dt^2} = \scrX, \quad
\frac{d^2y}{dt^2} = \scrY, \quad
\frac{d^2z}{dt^2} = \scrZ.
\]
Nous en conclurons, par une combinaison facile,
\begin{align*}
z \frac{d^2y}{dt^2} - y \frac{d^2z}{dt^2} &= \scrY z - \scrZ y, \\
x \frac{d^2z}{dt^2} - z \frac{d^2x}{dt^2} &= \scrZ x - \scrX z, \\
y \frac{d^2x}{dt^2} - x \frac{d^2y}{dt^2} &= \scrX y - \scrY x;
\end{align*}
puis, en multipliant par~$m$ et faisant la somme de ces différentes équations
\DPPageSep{013.png}%
pour toutes les molécules~$m$ de la masse considérée, nous obtiendrons
celles-ci:
\begin{gather*}
\begin{aligned}
\opS m\frac{d^2 x}{dt^2} &= \opS m\scrX, \\
\opS m\frac{d^2 y}{dt^2} &= \opS m\scrY, \\
\opS m\frac{d^2 z}{dt^2} &= \opS m\scrZ;
\end{aligned}
\displaybreak[1] \\
\begin{aligned}
\opS m\left(z\frac{d^2 y}{dt^2} - y\frac{d^2 z}{dt^2}\right)
  &= \opS m(\scrY z - \scrZ y),\\
\opS m\left(x\frac{d^2 z}{dt^2} - z\frac{d^2 x}{dt^2}\right)
  &= \opS m(\scrZ x - \scrX z),\\
\opS m\left(y\frac{d^2 x}{dt^2} - x\frac{d^2 y}{dt^2}\right)
  &= \opS m(\scrX y - \scrY x).
\end{aligned}
\end{gather*}

Le fluide étant supposé continu, chacune de ces sommes est une
intégrale triple, et, suivant une remarque déjà faite, les limites de
l'intégration, c'est-à-dire la surface extérieure de la masse considérée,
étant invariables avec le temps, ainsi que la masse de chaque molécule,
on peut écrire
\begin{gather*}
\begin{aligned}
\opS m\frac{d^2 x}{dt^2} &= \frac{d^2 \opS mx}{dt^2}, \\
\opS m\frac{d^2 y}{dt^2} &= \frac{d^2 \opS my}{dt^2}, \\
\opS m\frac{d^2 z}{dt^2} &= \frac{d^2 \opS mz}{dt^2};
\end{aligned}
\displaybreak[1] \\
\begin{aligned}
\opS m\left(z\frac{d^2 y}{dt^2} - y\frac{d^2 z}{dt^2}\right)
  &= \frac{d}{dt} \opS m\left(z\frac{dy}{dt} - y\frac{dz}{dt}\right),\\
\opS m\left(x\frac{d^2 z}{dt^2} - z\frac{d^2 x}{dt^2}\right)
  &= \frac{d}{dt} \opS m\left(x\frac{dz}{dt} - z\frac{dx}{dt}\right),\\
\opS m\left(y\frac{d^2 x}{dt^2} - x\frac{d^2 y}{dt^2}\right)
  &= \frac{d}{dt} \opS m\left(y\frac{dx}{dt} - x\frac{dy}{dt}\right).
\end{aligned}
\end{gather*}

Or, si l'on considère les sommes
\begin{gather*}
\opS mx,\quad  \opS my,\quad \opS mz, \\
%
\opS m\left(z\frac{dy}{dt} - y\frac{dz}{dt}\right),\quad
\opS m\left(x\frac{dz}{dt} - z\frac{dx}{dt}\right),\quad
\opS m\left(y\frac{dx}{dt} - x\frac{dy}{dt}\right)
\end{gather*}
\DPPageSep{014.png}%
comme des intégrales triples par rapport à $x$,~$y$,~$z$, elles seront évidemment
indépendantes du temps, puisque d'une part le temps n'entre
point explicitement sous le signe somme, et que d'autre part les
limites de l'intégration n'en dépendent pas elles-mêmes. Les seconds
membres des six équations que nous venons d'écrire sont donc nuls,
et par conséquent aussi ceux des six autres qui les précèdent, d'où,
en définitive, les six équations suivantes:
\[
\Tag{(2)}
\left\{
\begin{aligned}
&\opS m\scrX = 0,  &
&\opS m\scrY = 0, &
&\opS m\scrZ = 0, \\
&\opS m(\scrY z - \scrZ y) = 0 &
&\opS m(\scrZ x - \scrX z) = 0 &
&\opS m(\scrX y - \scrY x) = 0
\end{aligned}
\right.
\]

On reconnaît immédiatement dans ces équations la forme très-connue
des équations d'équilibre des solides. Ces équations, qui comprennent
toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, qui sollicitent
la masse fluide, expriment donc parfaitement l'équilibre du
solide représentatif, supposé soumis à l'action de ces forces, ce qui
justifie la proposition énoncée.

Toutefois, il convient de remarquer, dès maintenant, que les forces
\emph{intérieures}, c'est-à-dire celles qui s'exercent entre deux molécules quelconques
de la masse considérée, étant égales deux à deux, et de signes
contraires, disparaîtront de ces équations, en sorte qu'il n'y entrera
plus en réalité que les forces \emph{extérieures}, et les forces de liaison ou
pressions, qui proviennent de la partie du fluide extérieure à celle que
l'on aura considérée.

Si, au lieu d'appliquer les six équations précédentes au solide représentatif,
on les applique à la masse fluide elle-même, on arrive à une
remarque intéressante déjà faite dans le Cours de Mécanique. On sait
que les six équations dites d'\emph{équilibre des solides} sont nécessaires pour
l'équilibre d'un système quelconque; mais elles ne sont suffisantes que
dans le cas d'un système invariable\footnotemark.
\footnotetext{Voir \bsc{Delaunay}, \textit{Traité de Mécanique rationnelle} (3\ieme~édition), §~183, p.~304, et §~185, p.~308.}
Si l'on eût douté de cette
dernière proposition, le résultat ci-dessus en aurait fourni une preuve
péremptoire en montrant un système en mouvement, pour lequel elles
sont néanmoins vérifiées.
\DPPageSep{015.png}%

\marge[ExamenCasGeneral]{Examen du cas\\général.}
Afin de bien montrer que cette propriété est réellement caractéristique
des surfaces de nulle résistance, nous allons l'établir d'une
autre façon, en cherchant d'une manière générale quelles forces il faudrait
appliquer à un solide représentatif quelconque, pour le maintenir
en équilibre sous l'action de ces forces jointes à celles qui sollicitent
le fluide.

\marge[DemonstrationSynthetiqueI]{Démonstration synthétique.}
Pour cela, appliquons d'abord aux molécules fluides contenues à
l'intérieur d'une surface quelconque les deux théorèmes généraux
de la Dynamique relatifs aux quantités de mouvement d'un système
matériel.

En effet, isolons par la pensée, au sein d'un fluide en mouvement,
une portion de la masse circonscrite par une surface quelconque
$ABCD\dots$; et soit $A'B'C'D'\dots$ la surface infiniment voisine qui renferme
la même masse au bout du temps infiniment petit~$dt$. Les volumes
compris sous ces deux surfaces se composeront d'une partie finie commune,
et de calottes infiniment minces qui appartiendront exclusivement
à l'une ou à l'autre. Parmi ces calottes, les unes renfermeront
les molécules qui sont sorties de la première surface, les autres celles
qui y sont entrées, de sorte que si, en chaque point de cette surface,
on projette sur la normale \emph{intérieure} la vitesse du fluide relative à ce
point, la projection ou \emph{vitesse normale}~$V_n$ sera positive pour tous les
points de certaines calottes, et négative pour tous les points des autres,
et par conséquent nulle pour tous les points des lignes de séparation,
c'est-à-dire pour les intersections des deux surfaces.

Cela posé, appliquons au déplacement infiniment petit que nous
venons de définir le théorème des quantités de mouvements projetées
sur un axe, lequel consiste en ce que l'accroissement de la somme des
quantités de mouvement du système est égal à la somme des impulsions
des forces extérieures appliquées au système pendant le temps considéré.

Écrivons d'abord le second membre de cette équation, c'est-à-dire la
somme de ces impulsions, qui se forme sans difficulté.

Les forces extérieures sont ici:

\primo Les forces extérieures données, qui s'exercent sur toute l'étendue
de la masse considérée, et donneront par conséquent un terme tel, que
\DPPageSep{016.png}%
$\opS\varpi R_p\, dt$, $R_p$~étant la composante de ces forces dirigées suivant l'axe considéré,
et rapportée à l'unité de masse, $\varpi$~désignant l'élément de masse,
et $\opS$~une sommation s'étendant à tout le volume de la masse considérée.

\secundo Les pressions provenant des molécules fluides extérieures à la
masse que nous considérons. Ces forces, s'exerçant seulement sur la
surface qui limite cette masse, donneront un terme tel, que $\tsum \omega p \cos\delta · dt$,
où $\delta$~représente l'angle de la normale intérieure à cette surface avec
l'axe considéré, $\omega$~l'élément de surface, et $\tsum$~une sommation s'étendant
à toute la surface extérieure de la masse considérée. Le second membre
de l'équation à former, ou la somme des impulsions, sera donc
\[
\opS \varpi R_p\, dt + \tsum \omega p \cos\delta · dt.
\]

Passons maintenant au premier membre, ou à l'accroissement de la
quantité de mouvement du système.

Si l'on désigne par~$V_p$ la projection de la vitesse sur l'axe considéré,
il faudra former la somme $\opS \varpi V_p$ relative aux deux positions successives
de la masse fluide, et faire la différence des deux résultats. Or il
est facile de voir que, en vertu de la permanence du mouvement, toute
la portion commune aux deux surfaces n'interviendra pas dans ce
résultat, car les molécules fluides reprenant par hypothèse la même
vitesse et la même densité en passant au même point, les éléments
correspondant à ces points seront les mêmes dans les deux sommes,
et disparaîtront par conséquent du résultat. La différence cherchée se
réduit donc à la différence entre la somme des quantités de mouvement
des portions qui sont sorties de la surface, et la somme des quantités
de mouvement des portions qui y sont entrées.

Considérons les premières pour lesquelles, comme nous l'avons déjà
remarqué, la vitesse normale~$V_n$ est négative. Si nous découpons la
portion correspondante de la surface en éléments infiniment petits~$\omega$,
on voit que le volume du fluide qui est sorti de la surface par un de ces
éléments peut être considéré comme un cylindre droit de base~$\omega$, dont
la hauteur serait $-V_n\,dt$, la masse $-\rho \omega V_n\, dt$, et par conséquent la
quantité du mouvement projetée $-\rho \omega V_n\, dt\, V_p$. Or, comme la réunion
de tous ces volumes élémentaires constitue évidemment la portion de
la masse fluide qui est sortie de la surface, la quantité de mouvement
correspondant à cette portion sera $-\tsum_1 \rho \omega V_n\, dt\, V_p$, en désignant par~$\tsum_1$
\DPPageSep{017.png}%
une sommation s'étendant à toutes les portions de la surface par
lesquelles il est sorti du fluide.

Si nous calculons de même la quantité de mouvement correspondant
à la portion de masse fluide qui est entrée dans la surface, il est
évident que nous obtiendrons une expression tout analogue, sauf
qu'ici $V_n$~étant positif, la longueur du cylindre sera $+V_n\, dt$, et par
conséquent l'expression résultante sera $+\tsum_2 \rho\omega V_n\, dt\, V_p$, la sommation~$\tsum_2$
s'étendant cette fois aux portions de surface par lesquelles il est
entré du fluide.

Comme il faut faire maintenant la différence de ces deux expressions,
nous trouverons en définitive que l'accroissement total de la quantité
de mouvement du système sera
\[
-\tsum_1 \omega\rho V_n\, dt\, V_p -\tsum_2 \omega\rho V_n\, dt\, V_p
  = -\tsum \omega\rho V_n\, dt\, V_p,
\]
la sommation~$\tsum$ s'étendant désormais à toute la surface. En rapprochant
les deux membres que nous avons ainsi évalués, l'équation que nous
voulions établir sera
\[
\opS \varpi R_p\, dt + \tsum \omega p \cos\delta · dt
  = -\tsum \omega\rho V_n\, dt\, V_p
\]
ou en faisant passer tous les termes dans le premier membre, et supprimant le facteur commun~$dt$,
\[
\opS \varpi R_p + \tsum \omega p \cos\delta + \tsum \omega\rho V_n V_p = 0.
\]

Cela posé, si l'on désigne, conformément à l'usage, par $u$,~$v$,~$w$ les
composantes de la vitesse suivant les axes coordonnés; par $X$,~$Y$,~$Z$ les
composantes suivant ces axes de la force extérieure donnée, rapportées
à l'unité de masse; enfin par $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ les angles que forme avec les
mêmes axes la normale \emph{intérieure} à la surface considérée, et que l'on
prenne successivement pour axe de projection les trois axes coordonnés,
l'équation ci-dessus donnera lieu aux trois suivantes:
\[
\Tag{(3)}
\left\{
  \begin{aligned}
    \opS \varpi X &+ \tsum \omega p \cos \alpha + \tsum \omega\rho u\, V_n = 0,\\
    \opS \varpi Y &+ \tsum \omega p \cos \beta  + \tsum \omega\rho v\, V_n = 0,\\
    \opS \varpi Z &+ \tsum \omega p \cos \gamma + \tsum \omega\rho w V_n = 0.
  \end{aligned}
\right.
\]

Ayant ainsi formé une première fois la quantité de mouvement et
les impulsions des forces extérieures correspondant à chaque élément
\DPPageSep{018.png}%
de la masse considérée, si au lieu de les projeter sur les trois axes coordonnés
nous en prenons les moments par rapport à ces axes, nous
trouverons, à l'aide des mêmes raisonnements, et en appliquant l'autre
théorème général de la Dynamique qui est relatif à cet objet, les trois
autres équations suivantes:
\[
\Tag{(4)}
\left\{
  \begin{aligned}
  \opS \varpi (Yz - Zy)
  &+ \tsum\omega p(z\cos\beta - y\cos\gamma)
  + \tsum\omega\rho(vz\, - wy)V_n = 0,\\
  \opS \varpi (Zx - Xz)
  &+ \tsum\omega p(x\cos\gamma - z\cos\alpha)
  + \tsum\omega\rho(wx -\, uz)V_n = 0,\\
  \opS \varpi(Xy - Yx)
  &+ \tsum\omega p(y\cos\alpha - x\cos\beta)
  + \tsum\omega\rho(uy\, -\, vz)V_n = 0.
\end{aligned}
\right.
\]

Les équations \Eqno{(3)}~et~\Eqno{(4)}, un peu longues à établir, sont intéressantes
en ce qu'elles indiquent quelles forces il faudrait appliquer au solide
représentatif correspondant à une surface quelconque, pour le maintenir
en équilibre, conjointement avec les forces qui sollicitent la masse
fluide.

En effet, on reconnaît encore dans la forme de ces équations les
conditions qui expriment l'équilibre des trois systèmes de force suivants:

\primo Une force appliquée à chaque élément de la masse considérée, et
dont les composantes seraient $\varpi X$,~$\varpi Y$,~$\varpi Z$, c'est-à-dire l'ensemble des
forces extérieures données.

\secundo Une force égale à~$p$ appliquée à chaque élément de la surface
extérieure de la masse considérée, et suivant la normale intérieure à
cette surface, c'est-à-dire l'ensemble des actions exercées par les parties
extérieures du fluide sur la portion de masse considérée.

Ces deux premiers systèmes réunis tiennent lieu dans les équations (3)~et~(4)
de l'ensemble des forces qui sollicitent la masse considérée;
car, en vertu d'une remarque déjà faite, les forces intérieures,
c'est-à-dire celles qui s'exercent entre deux molécules de cette masse
ne donneraient aucun terme dans ces équations, comme étant deux à
deux égales et de signes contraires, en sorte que l'ensemble des deux
premiers termes de ces mêmes équations représente exactement le
premier membre des \Eqref[équations]{(2)}\Pagelabel{EquationsDeux}.

\tertio Enfin une force appliquée également à chaque élément de la
surface, et dont les composantes seraient respectivement
\[
\omega\rho u V_n,\quad \omega\rho v V_n,\quad \omega\rho w V_n.
\]
\DPPageSep{019.png}%

Il est facile d'interpréter la signification de ce dernier système; car,
si l'on désigne respectivement par $\lambda$,~$\mu$,~$\nu$ et~$\theta$ les angles de la vitesse
avec les trois axes coordonnés et la normale intérieure de la surface,
on aura
\begin{gather*}
\Tag{(5)}
u = V \cos\lambda, \quad v = V \cos\mu, \quad w = V \cos\nu, \\
\DPtypo{V}{V_n} = V \cos \theta,
\end{gather*}
et, par conséquent, en substituant,
\begin{align*}
  \omega \rho u V_n &= \omega \rho V^2 \cos\theta · \cos\lambda, \\
  \omega \rho v V_n &= \omega \rho V^2 \cos\theta · \cos\mu, \\
  \omega \rho w V_n &= \omega \rho V^2 \cos\theta · \cos\nu.
\end{align*}
Or, si l'on se reporte à ce que nous avons dit \Pageref[page]{page:5}, sur la résistance
d'un élément, de surface au mouvement du fluide, on voit que le facteur
$\omega \rho V^2 \cos\theta$ représente en grandeur absolue la résistance de l'élément~$\omega$,
et que, d'ailleurs, ce facteur sera positif ou négatif, suivant
que l'angle~$\theta$ sera plus petit ou plus grand que $90$~degrés, ou, en
d'autres termes, suivant que la vitesse sera dirigée vers l'intérieur de
la surface ou vers l'extérieur. D'après cela, les trois composantes ci-dessus
seront, dans tous les cas, celles d'une force égale à la résistance
de l'élément, dirigée suivant la vitesse en ce point, et dans celui des
deux sens qui correspond à l'intérieur de la surface.

Les équations \Eqno{(3)}~et~\Eqno{(4)} pourront donc se traduire par le théorème
suivant:

\begin{thm}{III}
Le solide représentatif correspondant à une portion
quelconque de la masse fluide serait en équilibre sous l'action des forces
qui sollicitent cette masse, si l'on appliquait sur chaque élément de la
surface extérieure, suivant la direction de la vitesse en ce point, et dans
celui des deux sens qui correspond à l'intérieur de la surface, un effort
égal à la résistance que cet élément supposé solidifié opposerait au mouvement
du fluide.
\end{thm}

De cette proposition découle immédiatement comme corollaire la
précédente, à savoir que \emph{pour les surfaces de nulle résistance le solide
représentatif serait en équilibre sous l'action des forces qui sollicitent la
masse fluide}.
\DPPageSep{020.png}%

Nous avons vu, en établissant le théorème qui précède, que, si l'on
considère deux positions infiniment voisines d'une même masse fluide,
la vitesse normale~$V_n$ sera nulle pour tous les points de leur intersection.
Il en sera évidemment de même pour le lieu de ces intersections,
d'où cette nouvelle propriété:

\begin{thm}{IV}
L'enveloppe des positions successives d'une même
masse fluide est une surface de nulle résistance.
\end{thm}

Il est bien entendu d'ailleurs que la surface dont nous parlons n'appartient
pas forcément à un type géométrique unique et déterminé,
mais qu'elle pourra se composer de parties appartenant à des types ou
des individualités distinctes, dont chacune vérifiera séparément la condition
$V_n = 0$, et rentrera par conséquent dans la catégorie des surfaces
de nulle résistance.

\marge[DemonstrationAnalytiqueI]{Démonstration analytique.}
Les théorèmes relatifs au solide représentatif, que nous venons de
démontrer de deux manières différentes, ont été établis en invoquant
seulement les principes généraux de la dynamique. Comme ils présentent
une certaine importance, il ne sera pas indifférent de montrer
comment on peut aussi les déduire analytiquement des équations du
mouvement.

Pour cela, rappelons d'abord que les quatre équations communes à tous
les fluides sont les suivantes:
\begin{gather*}
\Tag{(6)}
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dx}
  &= X - u\frac{du}{dx} - v\frac{du}{dy} - w\frac{du}{dz}, \\
  \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dy}
  &= Y - u\frac{dv}{dx} - v\frac{dv}{dy} - w\frac{dv}{dz}, \\
  \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dz}
  &= Z - u\frac{dw}{dx} - v\frac{dw}{dy} - w\frac{dw}{dz};
\end{aligned} \right. \\
\Tag{(7)}
\frac{d · \rho u}{dx} + \frac{d · \rho v}{dy} + \frac{d · \rho w}{dz} = 0,
\end{gather*}
dont les trois premières résultent immédiatement du théorème de
d'Alembert, et la quatrième exprime la continuité de la masse fluide.
Pour compléter les données du problème, il faudrait y ajouter une
cinquième équation définissant la nature du fluide; mais cette équation
\DPPageSep{021.png}%
n'intéresse pas l'objet que nous avons en vue, et qui doit s'appliquer
à tous les fluides indistinctement.

Cela posé, multiplions la première des \Eqref[équations]{(6)} par~$\rho$, \Eqref[l'équation]{(7)}
par~$u$, et ajoutons en faisant passer tous les termes dans le
second membre, nous obtiendrons ainsi
\[
\rho X - \frac{dp}{dx}
  - \frac{d · \rho u^2}{dx}
  - \frac{d · \rho u v}{dy}
  - \frac{d · \rho u w}{dz} = 0;
\]
puis, ayant multiplié tous les termes de cette dernière équation
par $dx\,dy\,dz$, intégrons-les dans l'intérieur d'une surface fermée quelconque,
le résultat pourra s'indiquer de la façon suivante:
\begin{multline*}
\iiint \rho X\, dx\, dy\, dz
 - \iiint \frac{dp}{dx}\, dx\, dy\, dz
 - \iiint \frac{d · \rho u^2}{dx}\, dx\, dy\, dz \\
 - \iiint \frac{d · \rho uv}{dy}\, dx\, dy\, dz
 - \iiint \frac{d · \rho uw}{dz}\, dx\, dy\, dz = 0.
\end{multline*}

La première de ces intégrales est ce que nous avons déjà désigné
sous une notation plus simple par $\opS \varpi X$, c'est-à-dire la somme des projections
sur l'axe des~$x$ de toutes les forces extérieures appliquées au
système considéré. Dans chacune des autres intégrales triples, nous
pourrons effectuer une intégration et écrire, par conséquent, l'équation
précédente sous la forme suivante:
\begin{multline*}
  \opS \varpi X  - \iint (p)_{1}^{2}\, dy\, dz \\
  - \iint (\rho u^2)_{1}^{2}\, dy\, dz
  - \iint (\rho u v)_{1}^{2}\, dz\, dx
  - \iint (\rho u w)_{1}^{2}\, dx\, dy = 0;
\end{multline*}
en indiquant, suivant une notation connue, par un crochet affecté de
deux indices la différence des substitutions correspondant aux deux
limites de l'intégration.

Or, si nous appelons encore $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ les angles de la normale intérieure
avec les axes et $\omega$~un élément de surface, on pourra prendre
dans ces équations
\[
dy\,dz = \omega \cos\alpha,\quad
dz\,dx = \omega \cos\beta, \quad
dz\,dx = \omega \cos\gamma,
\]
\DPPageSep{022.png}%
ou bien
\[
dy\,dz = -\omega \cos\alpha,\quad
dz\,dx = -\omega \cos\beta, \quad
dx\,dy = -\omega \cos\gamma,
\]
suivant qu'on entrera dans la surface ou qu'on en sortira, en s'avançant
à partir de l'élément~$\omega$ dans les directions respectives des~$x$, des~$y$
et des~$z$, ou, en d'autres termes, suivant que l'élément~$\omega$ appartiendra
à la portion de la surface à laquelle se rapporte l'indice~$1$, ou à celle
à laquelle se rapporte l'indice~$2$.

Il suit de là que, si l'on désigne par~$\tsum$ un signe de sommation s'étendant
à tous les éléments de la surface, l'équation précédente pourra
s'écrire
\[
\opS \varpi X + \tsum \omega p\cos\alpha
+ \tsum \omega\rho u^2\cos\alpha
+ \tsum \omega\rho uv \cos\beta
+ \tsum \omega\rho uw \cos\gamma =0,
\]
ou, en réunissant les termes semblables,
\[
\opS \varpi X + \tsum \omega p\cos\alpha
+ \tsum \omega\rho u (u\cos\alpha + v\cos\beta + w\cos\gamma) = 0;
\]
mais, comme nous avons appelé~$V_n$ la projection de la vitesse sur la
normale intérieure, nous avons, par définition,
\[
V_n = u \cos\alpha + v \cos\beta + w \cos\gamma,
\]
et, par conséquent, en reportant dans l'équation précédente, celle-ci
prendra la forme
\[
\opS \varpi X + \tsum \omega p\cos\alpha + \tsum \omega \rho u V_n = 0,
\]
ce qui est précisément la première des \Eqref[équations]{(3)}. On obtiendrait
les deux autres par un calcul tout semblable.

De même, pour obtenir la première des \Eqref[équations]{(4)}, multiplions
la deuxième des \Eqref[équations]{(6)} par~$z$, la troisième par~$y$, et retranchons
l'une de l'autre après avoir ajouté de part et d'autre le terme~$vw$, le
résultat pourra se mettre sous la forme
\[
\frac{1}{\rho} \left(z\frac{dp}{dy} - y\frac{dp}{dz}\right)
= Yz - Zy \\
- u\frac{d(vz - wy)}{dx}
- v\frac{d(vz - wy)}{dy}
- w\frac{d(vz - wy)}{dz}.
\]
Puis, multipliant cette dernière équation par~$\rho$, et l'ajoutant à \Eqref[l'équation]{(7)}
\DPPageSep{023.png}%
multipliée par le facteur $(vz - wy)$, on formera la suivante:
\begin{multline*}
  \rho(Yz - Zy) - \left(z\frac{dp}{dy} - y\frac{dp}{dz}\right) \\
  - \frac{d · \rho u(vz - wy)}{dx}
  - \frac{d · \rho v(vz - wy)}{dy}
  - \frac{d · \rho w(vz - wy)}{dz} = 0,
\end{multline*}
qui, par l'intégration dans les mêmes conditions que précédemment,
conduira à celle-ci:
\begin{multline*}
  \opS \varpi (Yz - Zy)
  + \tsum\omega p(z\cos\beta - y\cos\gamma) \\
  + \tsum\omega \rho(vz - wy) (u\cos\alpha + v\cos\beta + w\cos\gamma) = 0,
\end{multline*}
ou, sous une forme plus abrégée,
\[
\opS \varpi (Yz - Zy)
  + \tsum \omega  p(z\cos\beta - y\cos\gamma)
  + \tsum \omega \rho(vz - wy) V_n = 0,
\]
ce qui est la première des \Eqref[équations]{(4)}, et les deux autres s'obtiendraient
évidemment d'une façon analogue.

Nous retrouvons ainsi directement par le calcul les équations \Eqno{(3)}~et~\Eqno{(4)}
qui constituent le \ThmRef{III}\@. Si maintenant nous y introduisons
la supposition $V_n = 0$, ce qui revient à considérer une portion de
la masse fluide limitée par des surfaces de nulle résistance, ces
équations se réduiront par la disparition des derniers termes aux
suivantes:
\begin{gather*}
\begin{aligned}
  \opS \varpi X + \tsum \omega p \cos\alpha &= 0, \\
  \opS \varpi Y + \tsum \omega p \cos\beta  &= 0, \\
  \opS \varpi Z + \tsum \omega p \cos\gamma &= 0,
\end{aligned}
\displaybreak[1] \\
\begin{aligned}
  \opS \varpi (Yz - Zy) + \tsum\omega p (z\cos\beta  - y\cos\gamma) &= 0, \\
  \opS \varpi (Z x-X z) + \tsum\omega p (x\cos\gamma - z\cos\alpha) &= 0, \\
  \opS \varpi (X y-Y x) + \tsum\omega p (y\cos\alpha - x\cos\beta)  &= 0,
\end{aligned}
\end{gather*}
lesquelles coïncident exactement avec le \Eqref[système]{(2)}, ainsi que nous
avons eu déjà occasion de le remarquer (\Pageref{EquationsDeux}).

On retrouve donc en même temps, par le calcul, la propriété caractéristique
des surfaces de nulle résistance exprimée par le \ThmRef{II},
et c'est ainsi qu'au début de nos recherches nous avions établi cette
\DPPageSep{023.png}%
propriété dans une Note insérée aux \textit{Comptes rendus de l'Académie des
Sciences} (t.~XL, séance du 29~mai 1865).

Voyons maintenant comment on déterminera les surfaces de nulle
résistance.


\Section{II.}{ --- Recherche Analytique des Surfaces de Nulle Résistance.}
{Équation aux Différences Partielles. --- Solutions
Complètes. --- Équation Générale en Termes Finis.}

\marge[EquationDifferencesPartielles]{Équation\\aux différences\\partielles.}
La définition que nous avons donnée des surfaces de nulle résistance
est susceptible d'une traduction analytique fort simple. En effet, en
désignant, suivant l'usage, par $p$~et~$q$ les dérivées partielles $\dfrac{dz}{dx}$ et $\dfrac{dz}{dy}$
il faudra exprimer que, pour une pareille surface, la normale dont les
cosinus sont proportionnels à $\mathrm{p}$,~$\mathrm{q}$ et~$-1$ est perpendiculaire à la
droite dont les cosinus sont proportionnels à $u$,~$v$,~$w$, ce qui donne
immédiatement l'équation
\[
\Tag{(8)}
 u\mathrm{p} + v\mathrm{q} = w,
\]
équation aux différences partielles du premier ordre qui s'intégrera
par les procédés habituels.

Pour obtenir l'équation en $x$,~$y$,~$z$, il faudra donc préalablement
connaître les expressions de $u$,~$v$,~$w$ à l'aide de ces mêmes variables,
et, comme l'intégration des équations du mouvement est en général
impossible, il semble tout d'abord qu'il n'y ait pas lieu de rechercher
une équation générale qui convienne à ces surfaces.

On aurait tort de s'arrêter là néanmoins, car il est possible que les
équations de ces surfaces puissent s'exprimer à l'aide des éléments $u$,~$v$,~$w$,
$p$,~$\rho$, ou tout autre défini à l'avance, sans qu'il soit nécessaire de
connaître leur détermination en $x$,~$y$ et~$z$; et il y aurait dès lors intérêt,
au point de vue géométrique, à connaître cette expression, bien qu'elle
ne se prêtât à aucune application numérique. C'est pourquoi, au lieu
de rechercher la solution générale de l'équation ci-dessus, laquelle
doit renfermer une fonction arbitraire, nous envisagerons d'abord les
\DPPageSep{025.png}%
solutions particulières, connues sous le nom de \emph{solutions  complètes}, c'est-à-dire
celles qui renferment seulement une constante arbitraire, et qui,
par conséquent, peuvent être mises sous la forme
\[
\Phi(x,y,z) = \const,
\]
où $\Phi$~est une fonction parfaitement déterminée, mais actuellement
inconnue, que nous allons nous proposer de rechercher.

Pour cela, nous déduirons de cette dernière équation les valeurs
de~$p$ et de~$q$, et nous les reporterons dans \Eqref[l'équation]{(8)}, ce qui nous
donnera la suivante:
\[
\Tag{(9)}
u\frac{d\Phi}{dx} + v\frac{d\Phi}{dy} + w\frac{d\Phi}{dz} = 0,
\]
ainsi que nous aurions pu d'ailleurs l'écrire immédiatement.

\marge[InterpretationMecanique]{Interprétation\\mécanique\\de cette équation.}
Or cette seconde forme, outre sa symétrie, a un avantage considérable:
elle exprime immédiatement une propriété importante du mouvement,
à savoir que l'élément caractérisé par la fonction $\Phi(x,y,z)$
conserve invariablement la même grandeur pour une même molécule.
En effet, le temps n'entrant pas explicitement dans la fonction~$\Phi$, sa
dérivée totale, prise en considérant $x$,~$y$,~$z$ comme des fonctions de~$t$,
sera
\[
\left(\frac{d\Phi}{dt}\right)
  = \frac{d\Phi}{dx}\, \frac{dx}{dt}
  + \frac{d\Phi}{dy}\, \frac{dy}{dt}
  + \frac{d\Phi}{dz}\, \frac{dz}{dt}\quad\footnotemark,
\]
\Pagelabel{TermeParentheses}%
\footnotetext{Nous écrivons ce terme entre parenthèses pour marquer une dérivée totale prise par
  rapport au temps, lequel n'entre explicitement dans aucune des expressions considérées.}%
ce qui n'est autre chose que le premier membre de \Eqref[l'équation]{(9)}, en
raison des définitions admises
\[
\Tag{(10)}
u = \frac{dx}{dt},\quad v = \frac{dy}{dt},\quad w = \frac{dz}{dt},
\]
et, par conséquent, la fonction~$\Phi$ considérée pour une même molécule
ne varie pas avec le temps.

La question est donc réduite à rechercher quels sont les éléments
\DPPageSep{026.png}%
caractéristiques d'une molécule qui restent invariables dans son mouvement.

\marge[PremiereSolution]{Première solution complète.}
Il en est un tout d'abord qui se présente tout naturellement à l'esprit:
c'est sa masse; et il résulte immédiatement de ce qui précède
qu'en égalant son expression à une constante nous obtiendrons une
première famille de surfaces de nulle résistance.

\marge[CasLiquides]{Cas des liquides.}
En effet, si le fluide est incompressible, la molécule qui occupe
actuellement le volume~$\vol$ conservera indéfiniment ce même volume;
il s'ensuit qu'en un point quelconque de sa trajectoire sa masse aura
pour expression~$\vol\rho$, laquelle expression devra, en vertu de la remarque
faite plus haut, vérifier \Eqref[l'équation différentielle]{(9)}, et l'on doit avoir
par conséquent, en supprimant le facteur constant~$\vol$, l'équation
\[
\Tag{(11)}
u\frac{d\rho}{dx} + v\frac{d\rho}{dy} + w\frac{d\rho}{dz} = 0,
\]
qui est bien effectivement une des équations du problème dans le cas
des liquides hétérogènes.

Il suit de là que l'équation
\[
\Tag{(12)}
\rho = \const
\]
est alors une des solutions cherchées, et que, par conséquent, les \emph{surfaces
d'égale densité} constituent dans ce cas une première famille de
surfaces de nulle résistance.

\marge[CasFluides]{Cas des fluides compressibles.}
Si, au contraire, le fluide est compressible, la molécule qui occupe
actuellement le volume infiniment petit~$\vol$ occupera, au bout d'un
certain temps, le volume $\vol' = \vol(1 + \Delta)$, la quantité~$\Delta$, qui peut être
positive ou négative, mesurant la dilatation relative au déplacement
considéré. Or, comme il y a intérêt à pouvoir comparer les dilatations
correspondant à divers déplacements de la même molécule, ou même
des différentes molécules entre elles, il convient de compter ces déplacements
et les dilatations auxquelles ils donnent lieu, à partir d'une
position définie pour chaque molécule, par exemple à partir de son
passage sur une même surface, arbitrairement choisie, qui rencontre
\DPPageSep{027.png}%
toutes les trajectoires fluides, et que nous pourrons appeler, à cause
de cela, \emph{surface origine des dilatations}.

\marge[DefinitionDilatation]{Définition de la dilatation.}
Nous définirons donc la quantité $\Delta$ par cette condition que, $\vol_0$~étant
le volume de la molécule lors de son passage sur cette surface, son
volume en un point quelconque de sa trajectoire soit exprimé par la
quantité
\[
\Tag{(13)}
\vol = \vol_0 (1 + \Delta),
\]
qu'il s'agisse de positions antérieures ou postérieures à son passage sur
cette surface. La quantité~$\Delta$, que nous appellerons \emph{dilatation}, aura alors
une valeur parfaitement déterminée en chaque point, et nous montrerons
tout à l'heure comment on obtiendra son expression en $x$,~$y$ et~$z$;
mais on comprend dès maintenant que la connaissance de cette fonction
permettra d'apprécier les dilatations correspondant à un déplacement
quelconque; car, si nous considérons successivement deux
positions de la même molécule, où les volumes soient respectivement
$\vol$~et~$\vol'$, et les dilatations $\Delta$~et~$\Delta'$, des deux équations
\[
\vol  = \vol_0 (1 + \Delta) \quad\text{et}\quad
\vol' = \vol_0 (1 + \Delta'),
\]
on tirera sans difficulté
\[
\vol' - \vol = \vol_0 (\Delta' - \Delta),
\]
et par conséquent\Pagelabel{page:23}
\[
\frac{\vol' - \vol}{\vol}
  = \frac{\Delta' - \Delta}{1 + \Delta},
\]
rapport qui exprime la dilatation correspondant au déplacement
considéré.

Il convient en même temps de préciser le sens que nous devons attacher
au mot \emph{molécule}, que nous avons employé jusqu'ici pour désigner
une portion quelconque infiniment petite de la masse fluide; car, du
moment que nous nous proposons de trouver une expression de la
masse moléculaire en chaque point, il importe de définir comment
nous comprenons la division de la masse fluide en portions infiniment
petites, auxquelles nous attribuons le nom de \emph{molécules}. C'est ce que
nous ferons, en entendant désormais par ce mot «\;\emph{toute portion de la
\DPPageSep{028.png}%
masse fluide qui occupait un même volume infiniment petit~$\vol_0$, lors de son
passage sur la surface prise pour origine des dilatations}.\;» Il est évident,
d'ailleurs, que cette définition correspondrait, pour le cas des liquides,
à la division de la masse en volumes infiniment petits, tous égaux à~$\vol_0$.

\marge[ExpressionMasseMoleculaire]{Expression\\de la\\masse moléculaire.}
À l'aide de ces deux conventions, le volume de la molécule étant
exprimé en un point quelconque par la quantité $\vol_0(1 + \Delta)$, sa masse\Pagelabel{MasseMoleculaire}
le sera de même par la quantité $\rho \vol_0(1 + \Delta)$, $\rho$~et~$\Delta$ étant les valeurs
de la densité et de la dilatation relatives à ce point. Cette quantité
devant demeurer constante dans le mouvement de la molécule, il s'ensuit
qu'on devra avoir, comme nous l'avons déjà expliqué,
\[
u\frac{d · \rho \vol_0(1 + \Delta)}{dx} +
v\frac{d · \rho \vol_0(1 + \Delta)}{dy} +
w\frac{d · \rho \vol_0(1 + \Delta)}{dz} = 0,
\]
ou, en supprimant le facteur commun~$\vol_0$,
\[
\Tag{(14)}
u\frac{d · \rho(1 + \Delta)}{dx} +
v\frac{d · \rho(1 + \Delta)}{dy} +
w\frac{d · \rho(1 + \Delta)}{dz} = 0.
\]

Cette équation donne lieu aux observations suivantes:

En premier lieu, la dilatation~$\Delta$, dont la connaissance permet seule
d'apprécier les variations de volume éprouvées par les différentes parties
de la masse fluide, doit être considérée comme une nouvelle fonction
inconnue de $x$,~$y$ et~$z$, analogue aux fonctions $u$,~$v$,~$w$, $p$~et~$\rho$, qui
figurent dans les équations \Eqno{(6)}~et~\Eqno{(7)}, et l'équation précédente, analogue
à \Eqref[l'équation]{(11)} dans le cas des liquides, est précisément celle
qui permettra d'arriver à sa détermination\footnotemark;
\setlength{\TmpLen}{\parindent}%[** TN: Save manually for use in \footnotetext]
\footnotetext{\setlength{\parindent}{\TmpLen}Si l'on développe \Eqref[l'équation]{(14)} de la façon suivante:
  \[
  \frac{1}{1 + \Delta}
  \left[ u\frac{d(1 + \Delta)}{dx}
    +    v\frac{d(1 + \Delta)}{dy}
    +    w\frac{d(1 + \Delta)}{dz} \right]
  = -\frac{1}{\rho}
  \left(u\frac{d\rho}{dx}
    +   v\frac{d\rho}{dy}
    +   w\frac{d\rho}{dz} \right),
  \]
  et qu'on la rapproche de \Eqref[l'équation]{(7)} préparée de la même
  manière, c'est-à-dire mise sous la forme
  \[
  \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dy} + \frac{dw}{dz}
  = -\frac{1}{\rho}
  \left(u\frac{d\rho}{dx}
    +   v\frac{d\rho}{dy}
    +   w\frac{d\rho}{dz} \right),
  \]
  % [** TN: Next line indented in original]
  obtiendra immédiatement par comparaison la suivante:
  \[
  \Tag[(14bis)]{(14 \textit{bis})}
    u\frac{d · l(1 + \Delta)}{dx}
  + v\frac{d · l(1 + \Delta)}{dy}
  + w\frac{d · l(1 + \Delta)}{dz}
  = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dy} + \frac{dw}{dz},
  \]
  qui ne diffère de celle donnée par Cauchy (réduite au cas du mouvement permanent) que par
  le changement de~$\Delta$ en~$l(1 + \Delta)$, et se confond par conséquent avec elle, si l'on suppose~$\Delta$ très-petit
  (voir \textit{Exercices de Mathématiques}, t.~III, p.~130).

  Cette hypothèse est effectivement contenue dans les raisonnements que présente l'illustre
  géomètre pour établir cette équation, bien qu'il ne l'énonce pas explicitement.

  Pour le montrer, adoptons, pour un instant, ses notations, c'est-à-dire désignons, non plus
  par~$\Delta$, mais par~$\upsilon$ la \emph{dilatation} que nous nous proposons de déterminer, et par~$\Delta$ une simple
  caractéristique de différentiation. La fonction~$\upsilon$, pour avoir un sens, devra nécessairement
  exprimer une grandeur comptée pour chaque molécule à partir d'une position fixe et déterminée
  $(x_0, y_0, z_0)$; il en résulte que la dilatation correspondant à un déplacement fini, compté
  à partir d'un point quelconque $(x, y, z)$ jusqu'à un point $(x', y', z')$, sera exprimée par le
  rapport $\dfrac{\upsilon' - \upsilon}{1 + \upsilon}$, ainsi que nous l'avons établi, \Pageref[page]{page:23}; d'où il suit que la \emph{dilatation instantanée},
  c'est-à-dire celle correspondant à un déplacement infiniment petit quelconque aura pour
  expression
  \[
  \Tag[(14ter)]{(14 \textit{ter})}
  \theta\, \Delta t = \frac{\Delta \upsilon}{1 + \upsilon},
  \]
  et l'on ne pourrait prendre $\theta\, \Delta t = \Delta\upsilon$, comme le fait Cauchy, que pour le premier instant, à
  partir de la position prise pour origine, ou à la condition de supposer $\upsilon$ constamment très-petit.

  Si l'on n'admet pas cette hypothèse, les raisonnements formulés par Cauchy conduisent
  alors avec la valeur~\Eqno[(14ter)]{(14~\textit{ter})} à l'équation ci-dessus~\Eqno[(14bis)]{(14~\textit{bis})}, qui concorde parfaitement, comme
  nous venons de le voir, avec \Eqref[l'équation]{(14)}, à laquelle nous avons été conduit par une autre
  méthode.}
car, si l'on suppose
connue l'expression de $u$,~$v$,~$w$ et~$\rho$, à l'aide des équations \Eqno{(6)}~et~\Eqno{(7)},
$\Delta$~sera déterminé par la condition de vérifier \Eqref[l'équation]{(14)}, et, en
\DPPageSep{029.png}%
outre, de se réduire à zéro tout le long de la surface prise pour origine
des dilatations. On peut dire de la sorte que le problème du mouvement
d'un fluide comporte dans tous les cas la détermination de cinq
inconnues, à l'aide des cinq équations \Eqno{(6)},~\Eqno{(7)} et~\Eqno{(14)}, puisque, dans
le cas des liquides, la dilatation disparaissant, les équations \Eqno{(11)}~et~\Eqno{(14)}
se confondent, et que, dans le cas des fluides compressibles, la pression
et la densité étant fonction l'une de l'autre ne forment plus à proprement
parler qu'une seule inconnue.

\marge[SurfacesEgaleMasse]{Surfaces\\d'égale masse.}
En second lieu, \Eqref[l'équation]{(14)} exprime que l'équation
\[
\Tag{(15)}
\rho(1 + \Delta) = \const
\]
satisfait à \Eqref[l'équation]{(9)}, c'est-à-dire à l'équation différentielle des surfaces
\DPPageSep{030.png}%
de nulle résistance. Or, si l'on suppose dans cette équation $\rho$~et~$\Delta$
exprimés en $x$,~$y$,~$z$, on aura une famille de surfaces telles, que la
masse moléculaire, dont nous avons donné tout à l'heure l'expression
(\Pageref{MasseMoleculaire}), aura la même grandeur en tous les points d'une même
surface, et qu'on pourra conséquemment appeler \emph{surfaces d'égale masse
moléculaire}, ou simplement \emph{surfaces d'égale masse}. D'ailleurs, \Eqref[l'équation]{(15)}
se réduisant à \Eqref[l'équation]{(12)} par la supposition $\Delta = 0$, la
solution relative au cas des liquides se trouve comprise dans celle-ci,
en sorte que l'on peut dire, dans tous les cas, que les \emph{surfaces d'égale
masse}, représentées par \Eqref[l'équation]{(15)}, constituent une première famille
de surfaces de nulle résistance.

\marge{Définitions:}
Avant d'en montrer une seconde, nous allons compléter les définitions
qui précèdent par deux autres qui s'y rattachent immédiatement.

\marge[DefinitionVolumePrimitif]{(\textit{a}) du volume\\primitif,}
D'abord il résulte de \Eqref[l'équation]{(13)} que la molécule qui occupe
actuellement le volume~$\vol$ occupait, lors de son passage sur la surface
origine des dilatations, le volume
\[
\vol_0 = \frac{\vol}{1 + \Delta},
\]
qu'on peut appeler en raison de cela son volume primitif. Étendant
cette même locution à une portion finie quelconque de la masse fluide,
nous appellerons \emph{volume primitif}\Pagelabel{VolumePrimitif} de cette masse la somme des volumes
primitifs de tous les éléments qui la composent, ou, en d'autres termes,
l'intégrale $\ds\iiint\frac{dx\,dy\,dz}{1 + \Delta}$ étendue à tout le volume actuel de la masse
considérée; on voit que ce volume est précisément celui qu'occuperait
cette masse, si chacun des éléments qui la composent avait conservé
le volume qu'il occupait lors de son passage sur la surface origine des
dilatations.

\marge[DefinitionDilatationTotale]{(\textit{b}) de la dilatation\\totale.}
En second lieu, l'accroissement de volume subi par la molécule,
depuis son passage sur la surface origine des dilatations jusqu'à sa
position actuelle, est mesuré par la différence
\[
\vol - \vol_0
  = \vol - \frac{\vol}{1 + \Delta}
  = \vol \left(1 - \frac{1}{1 + \Delta}\right)
  = \vol \frac{\Delta}{1 + \Delta}.
\]
\DPPageSep{031.png}%

La somme des accroissements analogues correspondant à tous les
éléments d'une portion finie de la masse sera ce que nous appellerons
la \emph{dilatation totale}\Pagelabel{DilatationTotale} de cette masse. On voit qu'elle aura pour expression
l'intégrale $\ds\iiint \frac{\Delta}{1 + \Delta}\, dx\, dy\, dz$ étendue à tout le volume de la masse
considérée, et qu'elle exprime la différence entre son volume actuel et
ce que nous avons appelé son \emph{volume primitif}.

Ces définitions posées, poursuivons maintenant la recherche des surfaces
de nulle résistance.

\marge[DeuxiemeSolution]{Deuxième solution complète.}
Il existe un autre élément caractéristique de la molécule, qui reste
invariable pendant le mouvement, et qui, par conséquent, devra fournir
une nouvelle solution de \Eqref[l'équation]{(9)}, c'est l'\emph{énergie}; car cette
expression, empruntée à la théorie mécanique de la chaleur, est définie
précisément par cet énoncé du théorème des forces vives que, \emph{dans le
mouvement d'un point matériel, son énergie reste constante}. Nous n'aurons
donc qu'à former l'équation des forces vives pour la molécule
fluide, et, en égalant à un paramètre arbitraire l'ensemble des termes
variables (ou énergie moléculaire), nous aurons une nouvelle famille
de surfaces de nulle résistance.

Or, si l'on conserve les notations déjà employées, celle équation est
la suivante:
\[
\frac{1}{2}\, m (V^2 - V_0^2)
  = \int_0^t m (\scrX\, dx + \scrY\, dy + \scrZ\, dz),
\]
en affectant de l'indice o les termes relatifs à la position initiale.

La force totale qui sollicite la molécule, et dont les composantes
figurent dans cette équation, se compose, comme l'on sait, de deux
éléments: les forces extérieures qui s'exercent sur toute sa masse, et
dont nous avons déjà représenté les composantes par $mX$,~$mY$,~$mZ$,
et les forces intérieures ou pressions qui s'exercent sur la surface de
la molécule seulement. Le procédé par lequel on évalue ces dernières
forces est fort connu; nous ne le rappellerons donc pas ici, et nous
poserons immédiatement
\[
m\scrX = m\left(X - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dx} \right),\quad
m\scrY = m\left(Y - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dy} \right),\quad
m\scrZ = m\left(Z - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dz} \right);
\]
\DPPageSep{032.png}%
car c'est précisément en égalant ces composantes à zéro que l'on obtient
les équations d'équilibre des fluides.

Si l'on substitue ces valeurs dans l'équation qui précède, on pourra
faire sortir du signe~$\ds\int$ le facteur~$m$, qui est, par hypothèse, constant
par rapport au temps, ce qui donnera l'équation
\[
\frac{1}{2}\, m\left(V^2  - V_0^2 \right)
  = m\int_0^t \left[
      \left( X  - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dx} \right) dx
    + \left( Y  - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dy} \right) dy
    + \left( Z  - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dz} \right) dz
  \right],
\]
ou, sous une forme plus concise,
\[
\Tag{(16)}
\frac{1}{2}\, m(V^2  - V_0^2) = m(q - q_0),
\]
en posant, pour simplifier l'écriture,
\[
q = \int \left[
    \left(X  - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dx} \right) dx
  + \left(Y  - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dy} \right) dy
  + \left(Z  - \frac{1}{\rho}\, \frac{dp}{dz} \right) dz
\right],
\]
ou, ce qui revient au même,
\[
q = \int (X\, dx + Y\, dy + Z\, dz)
  - \int \frac{1}{\rho}
    \left(\frac{dp}{dx}\, dx
        + \frac{dp}{dy}\, dy
        + \frac{dp}{dz}\, dz \right).
\]

Or, si l'on considère les différentielles totales correspondant à un
accroissement du temps~$dt$, et que l'on suppose, suivant l'usage, que
les composantes des forces extérieures soient les dérivées partielles
d'une même fonction $F(x, y, z)$, on aura
\[
\Tag{(17)}
\left\{
  \begin{aligned}
   \frac{dp}{dx}\, dx + \frac{dp}{dy}\, dy + \frac{dp}{dz}\, dz &= dp, \\
   X\, dx + Y\, dy + Z\, dz &= dF,
 \end{aligned}
\right.
\]
de sorte que la fonction~$q$, à laquelle nous donnerons tout à l'heure un
nom, pourra s'écrire simplement
\[
\Tag{(18)}
q = F(x, y, z) - \int \frac{dp}{\rho},
\]
et il n'y aura qu'à substituer cette expression dans \Eqref[l'équation]{(16)}
pour avoir l'équation des forces vives.
\DPPageSep{033.png}%

Il est à remarquer que l'intégrale qui figure dans cette dernière
expression peut toujours s'exprimer en termes finis; car, d'une part, si
le fluide est incompressible, le facteur~$\rho$ étant alors constant par rapport
au temps pourra sortir du signe~$\ds\int$, en sorte que l'intégrale se réduira
simplement à~$\dfrac{p}{\rho}$; et si, d'autre part, le fluide est compressible,
la densité étant alors liée à la pression par une équation de la forme
$\rho = f(p)$, l'intégrale $\ds\int \frac{dp}{\rho}$ a alors un sens parfaitement déterminé\Pagelabel{SensIntegrale},
qu'on peut supposer exprimé par une fonction finie~$\scrF(p)$. On voit
d'ailleurs que, pour l'intelligence de la formule~(18), on peut faire
abstraction de la considération du temps qui a servi à l'établir, et supposer
dès lors que les signes $\ds\int$~et~$d$ qui y figurent se rapportent simplement
à la variable~$p$, considérée pour un instant comme variable indépendante;
car on obtient de cette façon pour la valeur de~$q$ les
mêmes expressions que nous venons d'établir. L'expression~(18) de~$q$
prend alors une signification intrinsèque parfaitement précise, qui est
celle que nous lui attribuerons désormais.

\marge{Définitions:}
Cela posé, arrêtons-nous quelques instants sur cette \Eqref[équation]{(16)},
pour établir encore quelques définitions qui nous seront utiles dans le
paragraphe suivant:

\marge[DefinitionForceVive]{(\textit{a}) de la force vive,}
\primo Le premier membre de cette équation représentant le demi-accroissement
de la force vive de la molécule de masse~$m$ dans le déplacement
considéré, la force vive moléculaire a pour expression en
un point quelconque~$mV^2$, et la somme d'expressions analogues correspondant
à tous les éléments d'une portion finie du fluide constituerait
la force vive totale\Pagelabel{ForceViveI} de cette masse; mais, afin de n'introduire dans
notre analyse que des quantités finies, nous considérerons, au lieu et
place de la force vive moléculaire, son rapport à la masse moléculaire~$m$,
c'est-à-dire la quantité
\[
\Tag{(19)}
V^2 = u^2 + v^2 + w^2,
\]
que nous appellerons \emph{force vive au point} $(x, y, z)$, ou simplement la
\emph{force vive}, de même que, dans l'évaluation des pressions, on appelle
\DPPageSep{034.png}%
\emph{pression au point} $(x, y, z)$ le rapport de la pression effective qui s'exerce
sur un élément situé en ce point à l'aire de cet élément.

D'ailleurs, la force vive moléculaire relative à un élément de masse
quelconque $\varpi = \rho\, dx\, dy\, dz$ ayant ainsi pour expression
\[
\varpi V^2 = \rho V^2\, dx\, dy\, dz,
\]
la \emph{force vive totale}\Pagelabel{ForceViveII} correspondant à une portion déterminée du fluide
sera exprimée par la somme
\[
\opS \varpi V^2 = \iiint \rho V^2\, dx\, dy\, dz,
\]
étendue à tout le volume de cette portion du fluide.

\marge[DefinitionTravail]{(\textit{b}) du travail,}
\secundo Le second membre de cette même \Eqref[équation]{(16)} exprime le travail
accompli par la molécule~$m$ dans son déplacement. La quantité
que nous avons appelée~$q$ étant une fonction parfaitement déterminée
en $x$,~$y$ et~$z$, il suit de là que, si nous considérons l'ensemble des points
$(x_0, y_0, z_0)$ qui satisfont à l'équation $q_{0} = 0$, le second membre de
\Eqref[l'équation]{(16)}, qui se réduit alors à~$mq$, représentera le travail produit
par la molécule de masse~$m$ en arrivant à sa position actuelle, à
partir de son passage sur la surface $q_{0} = 0$, que nous appellerons à
cause de cela \emph{surface origine du travail}. Si donc nous convenons de
ne considérer que des déplacements comptés à partir de cette surface,
le travail moléculaire aura pour expression~$mq$; et, si nous nous laissons
guider par les mêmes considérations que précédemment à propos
de la force vive, la quantité~$q$ pourra s'appeler le \emph{travail au point}
$(x, y, z)$, ou simplement le \emph{travail}. Une somme de travaux moléculaires
pris dans les mêmes conditions, ou, en d'autres termes, l'intégrale
\[
\opS \varpi q = \iiint q\rho\, dx\, dy\, dz,
\]
étendue à tout l'intérieur d'une surface quelconque, sera par ailleurs
ce que nous appellerons le \emph{travail total}\Pagelabel{TravailTotal} correspondant à cette surface.

\marge[DefinitionEnergie]{(\textit{c}) de l'énergie.}
\tertio Enfin, si l'on sépare dans \Eqref[l'équation]{(16)} les termes variables des
termes constants, en l'écrivant de la façon suivante:
\[
\Tag{(20)}
m\left(\tfrac{1}{2} V^2 - q\right) = m\left(\tfrac{1}{2} V_0^2 - q_0\right),
\]
\DPPageSep{035.png}%
le premier membre sera ce que dans la théorie de la chaleur on appellerait
l'\emph{énergie moléculaire}, et la somme d'expressions analogues, correspondant
à tous les éléments d'un système, serait l'énergie du système.
Adoptant donc cette locution et agissant comme nous l'avons
fait pour la force vive et le travail, nous considérerons plus spécialement
le rapport de l'énergie moléculaire à la masse moléculaire, c'est-à-dire
la fonction
\[
\Tag{(21)}
\varphi = \tfrac{1}{2} V^2 - q,
\]
que nous appellerons \emph{énergie au point} $(x, y, z)$, ou simplement \emph{énergie};
et l'\emph{énergie totale}\Pagelabel{EnergieTotale}, correspondant à une partie définie du fluide, sera
de même l'intégrale
\[
\opS \varpi\varphi = \iiint \varphi\rho\, dx\, dy\, dz,
\]
étendue à tout le volume de la masse considérée.

Si l'on remplace d'ailleurs, dans \Eqref[l'équation de définition]{(21)}, $q$~et~$V^2$
par leurs valeurs \Eqno{(18)}~et~\Eqno{(19)}, l'énergie~$\varphi$ sera exprimée au moyen des
éléments habituellement considérés de la façon suivante:
\[
\Tag{(22)}
\varphi = \tfrac{1}{2} ( u^2 + v^2 + w^2) - F(x, y, z) + \int \frac{dp}{\rho}.
\]

\marge[SurfacesEgaleEnergie]{Surfaces\\d'égale énergie.}
Ces nouvelles définitions étant admises, revenons à l'objet que nous
avons plus particulièrement en vue dans ce paragraphe, qui est la recherche
des surfaces de nulle résistance.

Si l'on divise par~$m$ les deux membres de \Eqref[l'équation]{(20)}, cette équation
pourra s'écrire
\[
\tfrac{1}{2} V^2 - q = \tfrac{1}{2} V_0^2 - q_0,
\]
ou plus simplement, à l'aide de la notation que nous venons d'adopter,
\[
\Tag{(23)}
\varphi = \const,
\]
la fonction~$\varphi$ étant définie par les équations \Eqno{(21)}~ou~\Eqno{(22)}.

Si d'ailleurs on différentie cette dernière équation par rapport au
\DPPageSep{036.png}%
temps, on aura, en vertu des \Eqref[équations]{(10)}
\[
\Tag{(24)}
\left(\frac{d\varphi}{dt}\right)
  = u \frac{d\varphi}{dx}
  + v \frac{d\varphi}{dy}
  + w \frac{d\varphi}{dz} = 0\footnotemark,
\]
\footnotetext{Même remarque qu'à la \Pageref[page]{TermeParentheses}.}%
c'est-à-dire que \Eqref[l'équation]{(23)} vérifiera \Eqref[l'équation différentielle]{(9)};
et par conséquent, en considérant~$\varphi$ comme une fonction déterminée
de $x$,~$y$ et~$z$, la famille de surfaces représentée par cette équation, que
l'on peut appeler \emph{surfaces d'égale énergie}, constituera une deuxième
famille de surfaces de nulle résistance.

\marge[IntegraleForcesVives]{Intégrale\\des forces vives.}
Avant de déduire des résultats que nous avons déjà acquis les conséquences
qu'ils renferment, revenons un instant sur ce qui précède
pour établir d'une autre façon l'équation si importante des \emph{forces vives}.
Nous l'avons formée immédiatement tout à l'heure, en appliquant le
théorème du travail au mouvement de la molécule fluide; mais on sait
que cette équation est une intégrale des équations du mouvement,
toutes les fois que le temps n'entre pas explicitement dans l'expression
des liaisons. Cette condition étant évidemment remplie dans le
cas actuel, par suite de l'hypothèse de la permanence, il y a intérêt
à montrer comment on peut obtenir analytiquement cette équation par
l'intégration directe des équations du mouvement: c'est ce que nous
allons faire en peu de mots.

Pour cela il faut, comme l'on sait, multiplier les équations du mouvement
respectivement par $dx$,~$dy$,~$dz$ et faire la somme, et l'on doit
arriver ainsi à une différentielle exacte; mais, dans le cas actuel, cette
forme n'apparaît pas immédiatement, parce que, pour établir les \Eqref[équations]{(6)},
on a remplacé partout dans l'expression des forces d'inertie
$\dfrac{dx}{dt}$ par~$u$, $\dfrac{dy}{dt}$ par~$v$, $\dfrac{dz}{dt}$ par~$w$, il faut donc, pour que cette forme apparaisse,
rétablir à la place de $u$,~$v$,~$w$ leurs valeurs~(10), ou, ce qui
revient au même, remplacer dans le calcul $dx$,~$dy$,~$dz$ par leurs valeurs
\[
dx = u\, dt,\quad dy = v\, dt,\quad dz = w\, dt;
\]
d'où, en conséquence, la série d'opérations suivantes.
\DPPageSep{037.png}%

Multiplions les \Eqref[équations]{(6)} respectivement par $u\, dt$, $v\, dt$, $w\, dt$, et
ajoutons en rapprochant les termes situés sur une même colonne verticale,
et, faisant ressortir les facteurs communs, nous obtiendrons
ainsi
\begin{align*}%[** TN: Re-breaking this display and next]
\frac{1}{\rho} \left(
  \frac{dp}{dx} u\, dt + \frac{dp}{dy} v\, dt + \frac{dp}{dz} w\, dt
  \right)
  &= Xu\, dt + Yv\, dt + Zw\, dt \\
  &\quad -u\left(u\frac{du}{dx} + v\frac{dv}{dx} + w\frac{dw}{dx}\right) dt \\
  &\quad -v\left(u\frac{du}{dy} + v\frac{dv}{dy} + w\frac{dw}{dy}\right) dt \\
  &\quad -w\left(u\frac{du}{dz} + v\frac{dv}{dz} + w\frac{dw}{dz}\right) dt,
\end{align*}
ou, en remettant à présent $dx$,~$dy$,~$dz$ à la place de leurs valeurs $u\, dt$,
$v\, dt$, $w\, dt$,
\begin{align*}
\frac{1}{\rho} \left(
  \frac{dp}{dx}\, dx + \frac{dp}{dy}\, dy + \frac{dp}{dz}\, dz
  \right)
  &= X\, dx + Y\, dy + Z\, dz \\
  &\quad -\left(u\frac{du}{dx} + v\frac{dv}{dx} + w\frac{dw}{dx}\right) dx \\
  &\quad -\left(u\frac{du}{dy} + v\frac{dv}{dy} + w\frac{dw}{dy}\right) dy \\
  &\quad -\left(u\frac{du}{dz} + v\frac{dv}{dz} + w\frac{dw}{dz}\right) dz,
\end{align*}

Si nous représentons maintenant par la caractéristique~$d$ une différentielle
totale prise en considérant $x$,~$y$,~$z$ comme des fonctions de la
variable indépendante~$t$, et que nous ayons égard aux \Eqref[équations]{(17)},
celle qui précède pourra s'écrire simplement
\[
\frac{dp}{\rho} = dF - d\tfrac{1}{2} (u^2 + v^2 + w^2).
\]
Sous cette forme, le caractère de différentielle exacte est manifeste,
car $\rho$~étant, ainsi que nous l'avons déjà dit, ou constant par rapport au
temps, qui est ici la variable indépendante, ou fonction de~$p$, le premier
membre est, dans tous les cas, la différentielle de l'expression
\DPPageSep{038.png}%
$\ds\int\frac{dp}{\rho}$ entendue comme nous l'avons expliqué (\Pageref{SensIntegrale}), et par conséquent
l'équation précédente donnera par l'intégration, en faisant
passer tous les termes dans un même membre,
\[
\int\frac{dp}{\rho} - F(x,y,z) + \tfrac{1}{2}(u^2 + v^2 + w^2) = \const,
\]
équation qui, eu égard à la valeur~(22) de~$\varphi$, se confond bien avec
\Eqref[l'équation]{(23)}, à laquelle nous avions été conduit directement.

\marge[EquationGeneraleTermesFinis]{Équation générale\\en termes finis.}
Nous avons donc, en résumé, trouvé deux familles de surfaces de
nulle résistance, les surfaces d'\emph{égale masse} et les surfaces d'\emph{égale énergie},
dont les équations constituent deux solutions complètes de l'équation
différentielle de cette classe de surfaces. Or, cette équation étant
du premier ordre, ce résultat suffit pour en obtenir l'intégrale générale.

En effet, si l'on désigne par~$\Psi$ une fonction arbitraire, l'équation
\[
\Psi\bigl[ \rho (1 + \Delta ), \varphi\bigr] = 0
\]
donnera évidemment
\begin{multline*}
u\frac{d\Psi}{dx} + v\frac{d\Psi}{dy} + w\frac{d\Psi}{dz} \\
  = \frac{d\Psi}{d · \rho (1 + \Delta)}
  \left[ u\frac{d · \rho (1 + \Delta)}{dx}
       + v\frac{d · \rho (1 + \Delta)}{dy}
       + w\frac{d · \rho (1 + \Delta)}{dz} \right] \\
 + \frac{d\Psi}{d\varphi}
  \left( u\frac{d\varphi}{dx}
       + v\frac{d\varphi}{dy}
       + w\frac{d\varphi}{dz} \right) = 0;
\end{multline*}
car les deux facteurs entre parenthèses, qui figurent dans le second
membre, sont identiquement nuls, en vertu des équations \Eqno{(14)}~et~\Eqno{(24)}.

L'équation ci-dessus vérifie donc l'équation aux différences partielles
\Eqno{(9)}~ou~\Eqno{(8)}, et comme elle renferme d'ailleurs une fonction arbitraire
permettant de réduire~$z$ à une fonction donnée de~$y$ pour $x=0$,
c'est bien l'intégrale générale de \Eqref[l'équation]{(8)}.

Si on la résout par rapport à~$\varphi$, et qu'on remplace ensuite cette fonction
par sa valeur~\Eqno{(22)}, cette même équation pourra s'écrire sous la
\DPPageSep{039.png}%
forme plus explicite
\[
\tfrac{1}{2}(u^2 + v^2 + w^2) - F(x, y, z) + \int \frac{dp}{\rho}
  = \psi\bigl[\rho (1 + \Delta)\bigr],
\]
en désignant par~$\psi$ une fonction arbitraire.

Telle est l'équation générale des surfaces \emph{de nulle résistance}, exprimée
à l'aide des éléments habituellement considérés du mouvement.


\Section{III.}{ --- Étude Particulière des Surfaces D'égale Masse
et D'égale Énergie.}
{Représentation Géométrique Du Mouvement. --- Propriétés
De Maximum et de Minimum.}

\marge{Détermination géométrique:}
Les deux grandes familles de surfaces que nous avons rencontrées
dans le paragraphe précédent, et dont les équations sont les solutions
complètes de l'équation différentielle des surfaces de nulle résistance,
fournissent immédiatement une image très-nette du mouvement, ce
qui était le but que nous nous étions proposé en commençant cette
étude.

\marge[DeterminationGeometriqueTrajectoire]{(\textit{a}) de la trajectoire,}
En effet, chaque molécule étant assujettie à rester séparément sur
l'une des surfaces appartenant à chacune des deux familles, puisque ce
sont toutes deux des surfaces de \emph{nulle résistance}, nous pouvons formuler
immédiatement la proposition suivante:

\begin{thm}{V}
La trajectoire de chaque molécule est l'intersection des
deux surfaces d'égale masse et d'égale énergie, qui contiennent sa position
initiale.
\end{thm}

\marge[DeterminationGeometriqueVitesse]{(\textit{b}) de la vitesse.}
On voit ainsi comment ces deux familles de surfaces partagent la
masse fluide en couches infiniment minces dont les intersections constituent
précisément ces \emph{filets fluides}, constants de forme et d'apparence,
qui ne sont autre chose que la succession des molécules soumises aux
mêmes influences.
%[** TN: Omit extra vertical space in original]

La trajectoire de la molécule étant ainsi définie par l'intersection de
deux surfaces, son mouvement serait complètement déterminé, si l'on
\DPPageSep{040.png}%
avait un moyen simple de se représenter la vitesse en chaque point.
Cette seconde image nous sera fournie par le théorème suivant, que
nous établirons, comme les précédents, de deux façons différentes:

\begin{thm}{VI}
La grandeur de la vitesse est moyenne proportionnelle
entre le rayon de courbure de la section normale de la surface d'égale
énergie qui contient sa direction, et la composante de la force totale qui
sollicite l'unité de masse, dirigée suivant la normale à cette surface.
\end{thm}

\marge[DemonstrationSynthetiqueII]{Démonstration synthétique.}
Pour établir cette proposition, décomposons dans le plan osculateur
de la trajectoire a force totale~$m\scrF$ qui sollicite la molécule~$m$ en
deux composantes, l'une \emph{tangentielle}, et l'autre \emph{normale} ou \emph{centripète};
on sait que cette dernière aura pour expression
\[
m\scrF_{c} = \frac{mV^2}{R_0},\quad\text{ou pour l'unité de masse}\quad
 \scrF_{c} = \frac{V^2}{R_0},
\]
$R_0$~étant le rayon de courbure de la trajectoire situé dans le plan osculateur.
Or, si nous considérons en même temps que ce plan la section
normale de la surface d'\emph{égale énergie} qui contient la direction de la
vitesse, nous aurons, d'après le théorème de Meunier\footnotemark,
\footnotetext{\emph{Voir} \bsc{Sturm}, \textit{Cours d'analyse de l'École Polytechnique}, t.~II, \no 698, p.~202.}%
en appelant~$R_n$
le rayon de courbure de cette section, et $\varepsilon$~l'angle de ces deux plans,
ou encore l'angle de ces rayons entre eux,
\[
R_0 = R_{n} \cos\varepsilon,
\]
et par conséquent, en substituant dans l'équation précédente,
\[
\scrF_{c}=\frac{V^2}{R_{n} \cos\varepsilon},\quad\text{d'où}\quad
V^{2}= R_{n} \scrF_{c} \cos\varepsilon.
\]
Or $\scrF_{c} \cos\varepsilon$ n'est autre chose que la composante de la force totale~$\scrF$ suivant
la normale à la surface, et que nous représentons par~$\scrF_n$. En effet,
pour obtenir la composante d'une force suivant une droite, on peut
projeter d'abord cette force sur un plan quelconque passant par la
droite, puis projeter ensuite cette projection sur la droite elle-même.
Or si l'on considère le plan normal à la trajectoire au point considéré,
\DPPageSep{041.png}%
lequel contient à la fois la normale principale de la trajectoire et la
normale à la surface d'égale énergie, $\scrF_c$~sera évidemment la projection
de la force totale~$\scrF$ sur ce plan, et de même $\scrF_c \cos\varepsilon$ sera dans ce plan la
projection de cette projection sur la normale à la surface au point considéré.

L'équation précédente peut donc s'écrire
\[
\Tag{(25)}
V^2 = R_n \scrF_n,
\]
ce qui justifie la proposition énoncée.

\marge[DemonstrationAnalytiqueII]{Démonstration analytique.}
On peut aussi déduire ce résultat des équations du mouvement;
car de même que \Eqref[l'équation]{(24)}, qui est la dérivée totale de \Eqref[l'équation]{(23)}
par rapport au temps, exprime une propriété différentielle
du premier ordre, c'est-à-dire relative au plan tangent des surfaces
d'égale énergie, de même la dérivée seconde devra exprimer une
propriété différentielle du second ordre, c'est-à-dire relative à la courbure
des mêmes surfaces.

On trouve, en effet, en différentiant \Eqref[l'équation]{(24)},
\begin{multline*}
\qquad\qquad %[** TN: Squeeze to improve visual appearance]
  \left( \frac{d^2 \varphi}{dt^2} \right)
  = u\, \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dx} \right)}{dt}
  + v\, \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dy} \right)}{dt}
  + w\, \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dz} \right)}{dt} \\
  + \frac{du}{dt}\, \frac{d\varphi}{dt}
  + \frac{dv}{dt}\, \frac{d\varphi}{dt}
  + \frac{dw}{dt}\, \frac{d\varphi}{dt} = 0.\qquad\qquad
\end{multline*}

Or, comme on a, en vertu des équations \Eqno{(10)}~et~\Eqno{(1)},
\begin{gather*}
\left\{
\begin{aligned}
  \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)}{dt}
   &= u\, \frac{d^2 \varphi}{dx^2}
    + v\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dy}
    + w\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dz}, \\
  \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dy}\right)}{dt}
   &= u\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dy}
    + v\, \frac{d^2 \varphi}{dy^2}
    + w\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dz}, \\
  \frac{d\left(\dfrac{d\varphi}{dz}\right)}{dt}
   &= u\, \frac{d^2 \varphi}{dx\, dz}
    + v\, \frac{d^2 \varphi}{dy\, dz}
    + w\, \frac{d^2 \varphi}{dz^2},
\end{aligned}\right. \\[4pt]
\frac{du}{dt} = \scrX,\quad
\frac{dv}{dt} = \scrY,\quad
\frac{dw}{dt} = \scrZ,
\end{gather*}
\DPPageSep{042.png}%
si l'on ajoute ces équations respectivement multipliées par $u$,~$v$,~$w$,
$\dfrac{d\varphi}{dx}$, $\dfrac{d\varphi}{dy}$, $\dfrac{d\varphi}{dz}$, l'équation précédente pourra s'écrire
\begin{multline*}
    u^2 \frac{d^2\varphi}{dx^2}
  + v^2\frac{d^2\varphi}{dy^2}
  + w^2\frac{d^2\varphi}{dz^2}
  + 2vw \frac{d^2\varphi}{dy\, dz}
  + 2wu \frac{d^2\varphi}{dz\, dx}
  + 2uv \frac{d^2\varphi}{dx\, dy} \\
 + \scrX\frac{d\varphi}{dx}
 + \scrY\frac{d\varphi}{dy}
 + \scrZ\frac{d\varphi}{dz} = 0,
\end{multline*}
forme très-symétrique, analogue à celle de \Eqref[l'équation]{(24)}, mais d'un
degré plus élevé.

Pour trouver la signification de cette équation, il n'y a qu'à remplacer
les composantes $u$,~$v$,~$w$ par leurs valeurs~(5), et à diviser tous les
termes par
$\sqrt{\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)^2
      +\left(\dfrac{d\varphi}{dy}\right)^2
      +\left(\dfrac{d\varphi}{dz}\right)^2}$. On obtient ainsi, en séparant
en deux membres et supposant que le radical emporte avec lui son
signe,
\begin{gather*}
\makebox[0pt][c]{%[** TN: Force centering of wide expression]
$-V^2\, \dfrac{
    \dfrac{d^2\varphi}{dx^2} \cos^2\lambda
  + \dfrac{d^2\varphi}{dy^2} \cos^2\mu
  + \dfrac{d^2\varphi}{dz^2} \cos^2\nu %\\
  + 2 \dfrac{d^2\varphi}{dy\, dz} \cos\mu \cos\nu
  + 2 \dfrac{d^2\varphi}{dz\, dx} \cos\nu \cos\lambda
  + 2 \dfrac{d^2\varphi}{dx\, dy} \cos\lambda \cos\mu}
{\sqrt{\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)^2
     + \left(\dfrac{d\varphi}{dy}\right)^2
     + \left(\dfrac{d\varphi}{dz}\right)^2}}$} \\
  = \frac{\scrX\dfrac{d\varphi}{dx}
        + \scrY\dfrac{d\varphi}{dy}
        + \scrZ\dfrac{d\varphi}{dz}}
{\sqrt{\left(\dfrac{d\varphi}{dx}\right)^2
     + \left(\dfrac{d\varphi}{dy}\right)^2
     + \left(\dfrac{d\varphi}{dz}\right)^2}}
\end{gather*}

Sous cette forme, on reconnaît au premier membre, dans le coefficient
de~$V^2$, l'expression de la courbure de la section normale de la
surface $\varphi = \const$, qui contient la direction $(\lambda, \mu, \nu)$, c'est-à-dire la
vitesse\footnotemark,
\footnotetext{\emph{Voir} \bsc{Moigno}, \textit{Leçons de Calcul différentiel et de Calcul intégral}, t.~II (3\ieme~Leçon)
  §~186, p.~350.}%
et dans le second membre la composante de la force totale
suivant la normale à la même surface.

Cette équation peut donc s'écrire, en empruntant la notation déjà
usitée,
\[
V^2\, \frac{1}{R_n} = \scrF_{n},
\]
\DPPageSep{043.png}%
et par conséquent coïncide avec \Eqref[l'équation]{(25)}, qui exprime le \ThmRef{VI}\@.

Notons d'ailleurs que cette proposition n'a rien de spécial aux surfaces
d'égale énergie, et nous eussions pu tout aussi bien, pour le but
que nous avions en vue, considérer les surfaces d'égale masse, ou toute
autre surface d'égale résistance. Si nous avons spécifié les surfaces
d'égale énergie dans l'énoncé de notre théorème, c'est qu'elles sont les
seules qui subsistent dans tous les cas, et que nous allons avoir à faire
usage de cette propriété, spécialement dans le cas des liquides homogènes,
où elles subsistent seules, et que nous allons maintenant examiner.

\marge[CasParticulierLiquidesHomogenes]{Cas particulier des liquides homogènes.}
La considération des surfaces d'égale masse et d'égale énergie, jointe
à la connaissance de la force totale qui sollicite la molécule, fournira
donc, en général, une représentation très-simple et très-nette du mouvement
de cette molécule. Cette image fait malheureusement défaut,
du moins telle que nous venons de la présenter dans le cas particulier
des liquides homogènes; car alors, d'une part, la dilatation étant
constamment nulle à cause de l'incompressibilité du fluide, et, de
l'autre, la densité se réduisant à une constante à cause de son homogénéité,
la première des deux familles de surfaces de nulle résistance
disparaît; mais, même encore dans ce cas, il est facile d'obtenir une
représentation très-simple du mouvement au moyen des mêmes éléments.

Pour cela, remarquons tout d'abord que, d'une part, \Eqref[l'équation]{(21)}
pouvant s'écrire $V^2 = 2(\varphi + q)$, et s'énoncer par cette formule: «\;\emph{La force
% [** TN: \( \) = Upright ()]
vive \(ou le carré de la vitesse\) est le double de la somme de l'\textsc{énergie} et du
\textsc{travail}}\;»; que, d'autre part, le travail~$q$ étant alors le \emph{potentiel} de la
force totale qui sollicite l'unité de masse, il en résulte qu'on connaîtra
immédiatement la grandeur de la vitesse, si l'on suppose connues
l'énergie et la force totale en chaque point.

Il n'y a donc à déterminer réellement, dans ce cas, que la trajectoire.
Or la connaissance de la grandeur de la vitesse suffit, par le moyen du
\ThmRef{VI}, pour déterminer en même temps sa direction; car les surfaces
d'égale énergie existant toujours, et la trajectoire de la molécule
étant contenue tout entière sur l'une de ces surfaces, il est facile de
\DPPageSep{044.png}%
déterminer sa direction en chaque point par l'angle qu'elle forme avec
une autre direction définie sur cette surface, par exemple celle des
lignes de courbure.

En effet, \Eqref[l'équation]{(25)} donnant immédiatement l'expression du
rayon de courbure de la section normale qui contient la vitesse, savoir
\[
R_n = \frac{V^2}{\scrF_n},
\]
la connaissance de ce rayon de courbure suffit à déterminer la direction
de cette section; car, si dans le plan tangent et du point considéré
comme centre on trace d'une part l'\emph{indicatrice} relative à ce point,
ayant pour axes les racines carrées des rayons de courbure principaux,
et d'autre part un cercle avec la quantité~$\sqrt{R_n}$ pour rayon, la direction
de la vitesse sera nécessairement l'un des deux diamètres communs à
ces deux courbes: la continuité indiquant suffisamment, d'ailleurs, laquelle
de ces deux directions on devra prendre en chaque point, puisqu'au
point initial la direction de la vitesse est une des données de la
question.

En d'autres termes, si l'on désigne par $R'$~et~$R''$ les deux rayons de
courbure principaux, et par~$r$ l'angle de la section normale considérée
avec l'une des sections principales, on aura
\[
\frac{1}{R_n} = \frac{1}{R'} \cos^2 r + \frac{1}{R''} \sin^2 r;
\]
et par conséquent, eu substituant dans l'équation précédente,
\[
\frac{1}{R'} \cos^2 r + \frac{1}{R''} \sin^2 r = \frac{\scrF_n}{V^2},
\]
ou, en résolvant par rapport à l'angle cherché~$r$,
\[
\tang r = ± \sqrt{
  \frac{\dfrac{\scrF_n}{V^2} - \dfrac{1}{R'}}
       {\dfrac{1}{R''} - \dfrac{\scrF_n}{V^2}}},
\]
équation qui détermine en chaque point la direction de la vitesse par
rapport aux lignes de courbure de la surface d'\emph{égale énergie}, et qu'on
\DPPageSep{045.png}%
peut considérer en quelque sorte comme l'équation de la trajectoire
sur cette surface.

On pourrait aussi appliquer ce dernier mode de représentation au
cas des fluides compressibles, puisque le travail~$q$ est encore, dans ce
cas, le potentiel relatif à la force totale qui sollicite la molécule; mais
il vaut mieux se figurer le mouvement à l'aide du procédé que nous
avons décrit tout d'abord, et qui est à la fois plus simple, plus élégant
et plus général, et réserver celui que nous venons d'exposer pour le
cas des liquides homogènes, qui est le seul pour lequel le premier procédé
se trouve en défaut.

\marge[ProprietesMaximumMinimum]{Propriétés\\de maximum\\et de minimum.}
Enfin, outre les propriétés générales qui caractérisent toutes les surfaces
de nulle résistance, et que nous avons exposées dans le premier
paragraphe, les deux familles que nous nous sommes proposé d'étudier
spécialement dans celui-ci possèdent encore des propriétés intéressantes
de maximum et de minimum qui leur appartiennent en
propre et que nous allons établir en terminant ce travail.

Ces deux familles, en effet, en même temps qu'elles appartiennent
à la classe importante des surfaces de \emph{nulle résistance}, rentrent aussi
dans la catégorie des surfaces dites \emph{représentatives}, c'est-à-dire de celle
dont l'équation s'obtient en égalant à un paramètre arbitraire une
fonction déterminée de $x$,~$y$ et~$z$. Or ces différentes surfaces, que l'on
est amené à considérer dans une foule de questions de Mécanique ou
de Physique mathématique, telles que la théorie de l'attraction (surfaces
de \emph{niveau} ou d'\emph{égal potentiel}), de la chaleur (surfaces \emph{isothermes}
ou d'\emph{égale température}), offrent, par suite de leur origine commune,
une même propriété, qui se traduit différemment suivant les différentes
théories auxquelles elles sont relatives, et qui découle immédiatement
des deux propositions suivantes, que nous allons maintenant démontrer.

\begin{lem}{I}
\MarginBox[LemmesRelatifsSurfacesRepresentatives]{Lemmes relatifs\\aux surfaces\\représentatives.}
Si $V$ représente une fonction de $x$,~$y$ et~$z$, et que l'on compare
entre elles les valeurs que prend l'intégrale $\ds\iiint V\, dx\, dy\, dz$ à l'intérieur
de différentes surfaces, la valeur maximum ou minimum de cette
intégrale correspondra précisément à la surface $V = 0$.
\end{lem}
\DPPageSep{046.png}%

En effet, posons
\[
 I = \iiint V\, dx\, dy\, dz,
\]
et calculons~$\delta I$ suivant les procédés habituels du calcul des variations;
nous trouverons successivement
\vspace*{\abovedisplayskip}
\[
\makebox[0pt][c]{%[** TN: Force centering of wide display]
$\begin{aligned}
\delta I
  &= \iiint \delta(V\, dx\, dy\, dz) \\
  &= \iiint \bigl[\delta V · dx\, dy\, dz + V\, \delta(dx\, dy\, dz)\bigr] \\
  &= \iiint \left[ \left(
     \frac{dV}{dx}\, \delta x
   + \frac{dV}{dy}\, \delta y
   + \frac{dV}{dz}\, \delta z \right) dx\, dy\, dz
   + V(dy\, dz\, \delta\, dx + dz\, dx\, \delta\,dy + dx\, dy\, \delta\,dz)
   \right] \\
  &= \iiint \left(
     \frac{dV}{dx}\, \delta x
   + \frac{dV}{dy}\, \delta y
   + \frac{dV}{dz}\, \delta z \right) dx\, dy\, dz
   + \iiint V \left(
     \frac{d\, \delta x}{dx}
   + \frac{d\, \delta y}{dy}
   + \frac{d\, \delta z}{dz} \right) dx\, dy\, dz,
\end{aligned}$}
\]
ou, en intégrant par parties le second terme et faisant la réduction
avec le premier,
\[
 \delta I
 = \iint (V\, \delta x)_{1}^{2}\, dy\, dz
 + \iint (V\, \delta y)_{1}^{2}\, dz\, dx
 + \iint (V\, \delta z)_{1}^{2}\, dx\, dy,
\]
le crochet marqué des indices $1$~et~$2$ signifiant, suivant une notation
connue, la différence des valeurs du terme qu'il renferme pour les deux
limites de l'intégration.

On peut mettre ces intégrations sous une forme plus saisissante, en
remplaçant les intégrales qui y figurent par une sommation relative
aux éléments de la surface elle-même. En désignant par $\alpha$,~$\beta$,~$\gamma$ les
angles de la normale extérieure avec les axes coordonnés, par~$\omega$ l'élément
de surface, et par~$\tsum$ une sommation s'étendant à toute la surface
considérée, une transformation déjà usitée permettra d'écrire
\[
\delta I = \tsum \omega
  V(\delta x \cos\alpha + \delta y \cos\beta + \delta z \cos\gamma).
\]
Or, sous cette forme, la condition du maximum et du minimum est évidente.
En effet, cette condition étant, comme l'on sait, que la variation~$\delta I$
soit nulle, quels que soient $\delta x$,~$\delta y$ et~$\delta z$, il s'ensuit qu'il faut que
l'on ait $V = 0$, ce qui justifie la proposition énoncée.

Il sera toujours facile, d'ailleurs, de distinguer si l'on obtient ainsi
\DPPageSep{047.png}%
un maximum ou un minimum, car on voit tout de suite que l'on aura
l'un ou l'autre suivant que la fonction~$V$ prendra des valeurs négatives
ou positives, pour les points extérieurs à la surface $V= 0$, et très-voisins
de cette surface.

En effet, ayant calculé la valeur de l'intégrale proposée à l'intérieur
de cette surface, pour obtenir la valeur de la même intégrale à l'intérieur
d'une autre surface infiniment voisine, il faudra ajouter les
termes correspondant aux portions de la seconde surface \emph{extérieures} à
la première et retrancher les termes correspondant aux portions \emph{intérieures}
à la première surface, mais qui n'appartiennent pas à la seconde.
Or, dans la première hypothèse, les premiers termes seront négatifs,
les seconds positifs; la seconde valeur de l'intégrale sera donc toujours
plus petite que la première et, par conséquent, on aura un maximum:
ce serait le contraire dans l'autre cas. Ce raisonnement légèrement
modifié suffirait, au reste, pour établir \textit{a~posteriori} l'existence de
la proposition elle-même.

La proposition que nous venons de démontrer n'est pas susceptible
toutefois d'une application immédiate, sous la forme où nous l'avons
établie, parce que le maximum ou le minimum qu'elle considère est un
maximum ou minimum \emph{absolu}; mais elle devient féconde, en conséquence,
pour les surfaces représentatives, si on la modifie par l'introduction
des maxima et des minima \emph{relatifs}, qui se ramènent aux premiers,
comme l'on sait, d'une façon fort simple.

C'est ce que nous allons faire dans le lemme suivant:

\begin{lem}{II}
Si $U$~et~$W$ représentent deux fonctions déterminées de $x$,~$y$
et~$z$, et que l'on compare entre elles les valeurs que prend l'intégrale
$\ds\iiint U\, dx\, dy\, dz$, à l'intérieur de différentes surfaces, sous la condition
que l'intégrale $\ds\iiint W\, dx\, dy\, dz$ prise entre les mêmes limites conserve
une valeur constante, la valeur maximum ou minimum de cette intégrale
correspondra à l'une des surfaces représentées par l'équation
$\dfrac{U}{W} = \const$%[** TN: [sic], \const adds its own period]
\end{lem}

En effet, si l'on recherche à l'intérieur de quelle surface l'intégrale
\DPPageSep{048.png}%
$\ds\iiint U\, dx\, dy\, dz$ prend une valeur maximum ou minimum, sous la condition
que l'intégrale $\ds\iiint W\, dx\, dy\, dz$ ait une valeur donnée, il faudra,
en vertu de la théorie des maxima ou minima relatifs, rechercher le
maximum ou minimum absolu de l'expression
\[
\iiint U\, dx\, dy\, dz + C \iiint W\, dx\, dy\, dz
   = \iiint (U + CW)\, dx\, dy\, dz,
\]
$C$~étant une constante. Or, pour l'obtenir, il n'y aura qu'à faire dans le
lemme précédent
\[
V = U + CW,
\]
et la solution nous sera fournie immédiatement par l'équation
\[
U + CW = 0,
\]
où $C$~est une constante qui sera déterminée précisément par la condition
donnée, relative à la seconde intégrale. On voit ainsi que le problème
est résolu par l'une des surfaces appartenant à la famille de surfaces
représentatives dont l'équation est
\[
\Tag{(26)}
\frac{U}{W} = \const
\]

Il est bien évident, d'ailleurs, que la proposition est réversible, et
que l'on arriverait à la même conclusion si l'on cherchait le maximum
ou le minimum de l'intégrale $\ds\iiint W\, dx\, dy\, dz$ sous la condition que
l'intégrale $\ds\smash[t]{\iiint} U\, dx\, dy\, dz$ conservât une valeur donnée.
\bigskip

Pour montrer la fécondité de la proposition qui précède, et avant de
revenir au mouvement des fluides, qui fait l'objet de ce travail, nous
allons l'appliquer comme exemple à un problème emprunté à la théorie
de la chaleur.

Imaginons un corps ou milieu dont tous les points étaient originairement
à une même température, que nous prendrons pour zéro, et
qui, soumis ensuite à l'action de sources constantes de froid ou de chaleur,
a fini par arriver à un état d'équilibre de température. Si nous
\DPPageSep{049.png}%
considérons en particulier une portion de ce corps limitée par une
surface quelconque, et que nous désignions encore sa densité en chaque
point par~$\rho$, sa masse sera exprimée par l'intégrale $\ds\iiint \rho\, dx\, dy\, dz$, et
la quantité totale de chaleur perdue ou gagnée, en passant de l'état
initial à l'état final, par l'intégrale $c\ds\iiint \rho\Theta\, dx\, dy\, dz$, $\Theta$~désignant la
température et $c$~le calorique spécifique, que nous supposerons constant.
Si l'on se propose de déterminer par quelle surface il faudrait
limiter cette portion du corps, pour que, avec une masse donnée, la
quantité de chaleur perdue ou gagnée soit maximum ou minimum, il
n'y aura qu'à faire dans ce qui précède $U = c \rho\Theta$, et $W = \rho$, ce qui donnera
pour solution $\Theta = \const$, c'est-à-dire une \emph{surface isotherme}. Ces
surfaces jouissent donc de la propriété nouvelle et intéressante de
limiter les portions du corps qui, offrant une masse donnée, ont gagné
ou perdu dans les conditions précitées une quantité de chaleur
maximum ou minimum.

\marge{Application\\aux surfaces:}
Ces préliminaires établis, appliquons les considérations qui précèdent
aux diverses surfaces représentatives qui se présentent dans
l'étude du mouvement permanent des fluides. Nous en déduirons sans
peine une série de propriétés intéressantes, dont l'ensemble nous paraît
jeter un nouveau jour sur la théorie si obscure du mouvement, et
dont l'énumération terminera notre travail.

\marge[ApplicationSurfacesEgaleDensite]{(\textit{a}) d'égale densité,}
\primo Si l'on prend, pour les deux intégrales considérées dans le
\LemRef{II}, la masse et le volume de la portion du fluide renfermée à
l'intérieur d'une même surface, ou, en d'autres termes, si l'on prend
$U = \rho$ et $W = 1$, \Eqref[l'équation]{(26)} se réduit à $\rho = \const$, d'où la conclusion:

\begin{thm}{VII}
Les surfaces d'égale densité sont celles qui, pour un
volume donné, renferment une masse maximum ou minimum.
\end{thm}

\marge[ApplicationSurfacesEgaleDilatation]{(\textit{b}) d'égale dilatation,}
\secundo Si, au lieu de la masse et du volume d'une portion du fluide, on
prend pour les deux intégrales considérées les quantités que nous avons
appelées \emph{dilatation totale} et \emph{volume primitif} (\emph{voir} \Pagerefs{DilatationTotale}{VolumePrimitif}) de cette
\DPPageSep{050.png}%
même masse, ou, en d'autres termes, si l'on prend $U = \dfrac{\Delta}{1 + \Delta}$ et
$W = \dfrac{1}{1 + \Delta}$, \Eqref[l'équation]{(26)} se réduit à $\Delta = \const$, d'où la conclusion:

\begin{thm}{VIII}
Les surfaces d'égale dilatation sont celles qui, pour
un volume primitif donné, renferment une dilatation totale maximum ou
minimum.
\end{thm}

Si l'on se rappelle, d'ailleurs, que d'après nos définitions la dilatation
totale exprime la différence entre le volume actuel et le volume
primitif d'une même masse, on voit immédiatement qu'on pourra énoncer
la propriété précédente sous cette autre forme:

%[** TN: Guillemets added by environment; mask newlines to prevent line breaks]
\begin{theorem}%
Les \textsc{surfaces d'égale dilatation} sont celles qui, pour un \textsc{volume
primitif} donné, renferment un \textsc{volume} maximum ou minimum.%
\end{theorem}

Ou encore sous celle-ci:

\begin{theorem}%
Les \textsc{surfaces d'égale dilatation} sont celles qui, pour un \textsc{volume}
donné, renferment une \textsc{dilatation totale} maximum ou minimum.%
\end{theorem}

Notons, en outre, que les surfaces d'\emph{égale dilatation} se confondraient
évidemment avec les surfaces d'\emph{égale densité}, si l'on avait pris pour \emph{origine
des dilatations} l'une de ces dernières surfaces.

La première des deux propositions que nous venons d'énoncer s'applique
évidemment aussi bien au cas de l'équilibre qu'au cas du mouvement
permanent, et, dans ce cas, elle exprime une propriété nouvelle
et intéressante des \emph{surfaces de niveau}, qui sont en même temps, comme
l'on sait, surfaces d'\emph{égale pression}, et surfaces d'\emph{égale densité}. La seconde
trouvera aussi son application à l'état d'équilibre, si on l'entend
des modifications qu'a dû subir, pour arriver à cet état, un fluide compressible
primitivement homogène, et soumis ensuite à des actions permanentes.
Seulement, dans ce dernier cas, les surfaces d'égale dilatation
se confondant évidemment avec les surfaces d'égale densité ou
surfaces de niveau, les deux théorèmes ci-dessus n'expriment plus en
réalité qu'une seule et même propriété, ainsi qu'il est facile de s'en
convaincre avec un instant de réflexion.

Les propositions suivantes, au contraire, n'ont de signification que
dans le cas du mouvement.
\DPPageSep{051.png}%

\marge[ApplicationSurfacesEgaleForceVive]{(\textit{c}) d'égale force\\vive,}
\tertio Prenons, pour les deux intégrales du \LemRef{II}, la \emph{force vive totale}
(\Pagerefs{ForceViveI}{ForceViveII}) et la masse d'une même portion du fluide, c'est-à-dire
prenons $U = \rho V^2$ et $W = \rho$, \Eqref[l'équation]{(26)} se réduira à $V^2 = \const$;
d'où la conclusion:

\begin{thm}{IX}
Les surfaces d'égale force vive \(ou d'égale vitesse\) %[** TN: \( \) = Upright ()]
sont celles qui, pour une masse donnée, renferment une force vive totale
maximum ou minimum.
\end{thm}

\marge[ApplicationSurfacesEgalTravail]{(\textit{d}) d'égal travail,}
\quarto Prenant encore la masse pour l'une des deux intégrales, prenons
pour l'autre ce que nous avons appelé le \emph{travail total} (\emph{voir} \Pageref{TravailTotal}), correspondant
à la même portion du fluide, ou, en d'autres termes, faisons
$U = q\rho$ et $W = \rho$; \Eqref[l'équation]{(26)} se réduira à $q = \const$, et par conséquent,
en nous reportant aux définitions de la \Pageref[page]{TravailTotal}, nous pourrons
formuler cette proposition:

\begin{thm}{X}
Les surfaces d'égal travail sont celles qui, pour une
masse donnée, renferment un travail total maximum ou minimum.
\end{thm}

Il est à remarquer que dans le cas des fluides compressibles, et aussi
dans celui des liquides homogènes, $q$~est un potentiel, et les surfaces
d'égal travail dont il est question dans ce théorème sont alors les surfaces
de niveau relatives aux actions totales qui sollicitent la molécule
fluide.

\marge[ApplicationSurfacesEgaleMasse]{(\textit{e}) d'égale masse,}
\FrenchEnumerate5 Pour revenir, en terminant, aux deux grandes familles de surfaces
de nulle résistance qui font objet plus spécial de ce dernier paragraphe,
considérons en même temps la masse et le volume primitifs d'une même
portion du fluide, et faisons, dans le \LemRef{II}, $U = \rho$ et $W = \dfrac{1}{1 + \Delta}$;
\Eqref[l'équation]{(26)} deviendra $\rho (1 + \Delta) = \const$, et par conséquent, en
nous reportant aux définitions du paragraphe précédent, nous pourrons
énoncer cette propriété:

\begin{thm}{XI}
Les surfaces d'égale masse sont celles qui, pour un
volume primitif donné, renferment une masse maximum ou minimum.
\end{thm}

Notons seulement que, dans le cas des liquides, les surfaces d'égale
masse n'étant autres que les surfaces d'égale densité, cette propriété
se confond pour ce cas avec le \ThmRef{VII}\@.
\DPPageSep{052.png}%

\marge[ApplicationSurfacesEgaleEnergie]{(\textit{f}) d'égale énergie.}
\FrenchEnumerate6 Enfin considérons, en même temps que la masse, l'\emph{énergie totale}
(\Pageref{EnergieTotale}) d'une certaine portion du fluide, c'est-à-dire faisons à la fois
$U = \varphi\rho$ et $W = \rho$; \Eqref[l'équation]{(26)} se réduira à $\varphi = \const$, ce qui nous
donnera cette dernière proposition:

\begin{thm}{XII}
Les surfaces d'égale énergie sont celles qui, pour
une masse donnée, renferment une énergie totale maximum ou minimum.
\end{thm}

\marge[Conclusion]{Conclusion.}
Ces propriétés remarquables, jointes à la représentation que nous
avons donnée du mouvement, font comprendre l'importance du rôle
que les surfaces d'\emph{égale masse} et d'\emph{égale énergie} jouent dans la théorie,
et l'intérêt qu'elles empruntent à leur double caractère de surfaces \emph{représentatives},
et de surfaces de \emph{nulle résistance}. C'est pourquoi nous
nous sommes proposé, dans ce travail, d'appeler sur elles l'attention
des géomètres, dans la pensée que peut-être leur considération pourrait
servir de point de départ à un analyste plus habile, pour aborder le
problème si difficile de l'intégration des équations de l'Hydrodynamique.
\vfil

\begin{center}
\tb[3cm]
\end{center}
\vfil\vfil
\DPPageSep{053.png}%

\Chapter{Résumé Analytique.}{}

\ToCRow{\textsc{Introduction}. --- Exposé du sujet}{ExposeSujet}

\ToCSection{I\@. --- Surfaces de nulle résistance.}

\ToCSubsection{Définitions. --- Propriétés caractéristiques.}

\ToCRow{Résistance au mouvement d'un fluide}{ResistanceMouvementFluide}
%
\ToCRow{Surfaces de nulle résistance}{SurfacesNulleResistance}
%
\ToCRow{Propriétés relatives: (\textit{a}) à l'ellipsoïde central d'inertie}{ProprietesEllipsoideCentral}
%
\ToCRow{\Ditto{Propriétés relatives:} (\textit{b}) au solide représentatif}{ProprietesSoliceRepresentatif}
%
\ToCRow{Examen du cas général}{ExamenCasGeneral}
%
\ToCRow{Démonstration synthétique}{DemonstrationSynthetiqueI}
%
\ToCRow{Démonstration analytique}{DemonstrationAnalytiqueI}


\ToCSection{II\@. --- Recherche analytique des surfaces de nulle résistance.}

\ToCSubsection{Équation aux différences partielles. --- Solutions complètes. --- Équation générale en
termes finis.}

\ToCRow{Équation aux différences partielles}{EquationDifferencesPartielles}
%
\ToCRow{Interprétation mécanique de cette équation}{InterpretationMecanique}
%
\ToCRow{Première solution complète}{PremiereSolution}
%
\ToCRow{Cas des liquides}{CasLiquides}
%
\ToCRow{Cas des fluides compressibles}{CasFluides}
%
\ToCRow{Définition de la dilatation}{DefinitionDilatation}
%
\ToCRow{Expression de la masse moléculaire}{ExpressionMasseMoleculaire}
%
\ToCRow{Surfaces d'égale masse}{SurfacesEgaleMasse}
%
\ToCRow{Définitions: (\textit{a}) du volume primitif}{DefinitionVolumePrimitif}
%
\ToCRow{\Ditto{Définitions:} (\textit{b}) de la dilatation totale}{DefinitionDilatationTotale}
%
\ToCRow{Deuxième solution complète}{DeuxiemeSolution}
\DPPageSep{054.png}%
%
\ToCRow{Définitions: (\textit{a}) de la force vive}{DefinitionForceVive}
%
\ToCRow{\Ditto{Définitions:} (\textit{b}) du travail}{DefinitionTravail}
%
\ToCRow{\Ditto{Définitions:} (\textit{c}) de l'énergie}{DefinitionEnergie}
%
\ToCRow{Surfaces d'égale énergie}{SurfacesEgaleEnergie}
%
\ToCRow{Intégrale des forces vives}{IntegraleForcesVives}
%
\ToCRow{Équation générale en termes finis}{EquationGeneraleTermesFinis}


\ToCSection{III\@. --- Étude particulière des surfaces d'égale masse et d'égale énergie.}

\ToCSubsection{Représentation géométrique du mouvement. --- Propriétés de maximum et de minimum.}

\ToCRow{Détermination géométrique: (\textit{a}) de la trajectoire}{DeterminationGeometriqueTrajectoire}
%
\ToCRow{\Ditto{Détermination géométrique:} (\textit{b}) de la vitesse}{DeterminationGeometriqueVitesse}
%
\ToCRow{Démonstration synthétique}{DemonstrationSynthetiqueII}
%
\ToCRow{Démonstration analytique}{DemonstrationAnalytiqueII}
%
\ToCRow{Cas particulier des liquides homogènes}{CasParticulierLiquidesHomogenes}
%
\ToCRow{Propriétés de maximum et de minimum}{ProprietesMaximumMinimum}
%
\ToCRow{Lemmes relatifs aux surfaces représentatives}{LemmesRelatifsSurfacesRepresentatives}
%
\ToCRow{Application aux surfaces (\textit{a}) d'égale densité}{ApplicationSurfacesEgaleDensite}
%
\ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{b}) d'égale dilatation}{ApplicationSurfacesEgaleDilatation}
%
\ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{c}) d'égale force vive}{ApplicationSurfacesEgaleForceVive}
%
\ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{d}) d'égal travail}{ApplicationSurfacesEgalTravail}
%
\ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{e}) d'égale masse}{ApplicationSurfacesEgaleMasse}
%
\ToCRow{\Ditto{Application aux surfaces} (\textit{f}) d'égale énergie}{ApplicationSurfacesEgaleEnergie}\\[\baselineskip]

\ToCRow{\textsc{Conclusion}}{Conclusion}
\vfil

\begin{flushright}
\vloose\small%
\settowidth{\TmpLen}{\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,}}%
\begin{minipage}{\TmpLen}
\centering
\textit{Vu et approuvé.}\qquad\qquad \break
Le 16 juin 1873. \\
\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,} \\
\normalsize MILNE EDWARDS.
\end{minipage}
\end{flushright}
\begin{flushleft}
\vloose\small%
\settowidth{\TmpLen}{\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,}}%
\begin{minipage}{\TmpLen}
\centering
\textit{Permis d'imprimer.}\qquad\qquad \break
\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,} \\
\normalsize A.~MOURIER.
\end{minipage}
\end{flushleft}
\vfil
\DPPageSep{055.png}%


\Chapter{Seconde Thèse.}{PROPOSITIONS DONNÉES PAR LA FACULTÉ.}

\primo Démontrer qu'un ellipsoïde à trois axes inégaux peut être la
figure d'une masse fluide qui tourne uniformément autour d'un axe
fixe, et dont les molécules s'attirent mutuellement en raison inverse du
carré de la distance.
\bigskip

\secundo Propriétés des fonctions doublement périodiques.

\vfill
\begin{flushright}
\vloose\small%
\settowidth{\TmpLen}{\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,}}%
\begin{minipage}{\TmpLen}
\centering
\textit{Vu et approuvé.}\qquad\qquad \break
Le 16 juin 1873. \\
\textsc{Le Doyen de la Faculté des Sciences,} \\
\normalsize MILNE EDWARDS.
\end{minipage}
\end{flushright}
\begin{flushleft}
\vloose\small%
\settowidth{\TmpLen}{\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,}}%
\begin{minipage}{\TmpLen}
\centering
\textit{Permis d'imprimer.}\qquad\qquad \break
\textsc{Le Vice-Recteur de l'Académie de Paris,} \\
\normalsize A.~MOURIER.
\end{minipage}
\end{flushleft}
\vfill

\noindent\hrule
\medskip
\begin{center}
\textsc{\footnotesize Paris. --- Imprimerie de GAUTHIER-VILLARS, Quai des Augustins, 55.}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% GUTENBERG LICENSE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\clearpage\fancyhf{}\cleardoublepage

\backmatter
\phantomsection
\pdfbookmark[-1]{Matière Subsidiere.}{Subsidiere}
\phantomsection
\pdfbookmark[0]{PG License.}{License}
\fancyhead[C]{\textsc{LICENCE}}

\begin{PGtext}
End of the Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Permanent des
Fluides, by François de Salvert

*** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FLUIDES ***

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Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, are critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{PGtext}

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Permanent des
% Fluides, by François de Salvert                                         %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK FLUIDES ***                     %
%                                                                         %
% ***** This file should be named 33083-t.tex or 33083-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/3/3/0/8/33083/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}
###
@ControlwordReplace = (
  ['\\ieme', '^{e}']
  );

@ControlwordArguments = (
  ['\\Ord', 1, 1, '', '', 1, 1, '^{', '}'],
  ['\\DPPageSep', 1, 0, '', ''],
  ['\\Chapter', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\Section', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ' ', 1, 1, '', ''],
  ['\\MarginBox', 0, 0, '', '', 1, 0, '', ''],
  ['\\marge', 0, 0, '', '', 1, 0, '', ''],
  ['\\begin{thm}', 1, 1, 'Théorème ', ''],
  ['\\begin{lem}', 1, 1, 'Lemme ', ''],
  ['\\Titlerow', 1, 1, '', ''],
  ['\\NameBox', 1, 1, '', ''],
  ['\\Name', 0, 1, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\ToCSection', 1, 1, '', ''],
  ['\\ToCSubsection', 1, 1, '', ''],
  ['\\ToCRow', 1, 1, '', ' ..... ', 1, 0, '(00)', ''],
  ['\\Ditto', 1, 0, '', ''],
  ['\\Eqno', 0, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\Eqref', 0, 1, '', '', 1, 1, ' ', ''],
  ['\\Pagelabel', 1, 0, '', ''],
  ['\\Pageref', 0, 0, '', 'page ', 1, 0, '(00)', ''],
  ['\\Pagerefs', 0, 0, '', 'pages ', 1, 0, '(00)--(00)', '', 1, 0, '', ''],
  ['\\ThmRef', 1, 1, 'théorème ', ''],
  ['\\LemRef', 1, 1, 'lemme ', ''],
  ['\\DPtypo', 1, 0, '', '', 1, 1, '', ''],
  ['\\tb', 0, 0, '', '']
  );
###
This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2010.5.6)  5 JUL 2010 02:50
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**33083-t.tex
(./33083-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fontenc.sty
Package: fontenc 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/t1enc.def
File: t1enc.def 2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 43.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count88
\U@D=\dimen103
)
Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen104
\std@mcc=\count89
\dec@mcc=\count90
*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks16
\ex@=\dimen105
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen106
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count91
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count92
\leftroot@=\count93
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count94
\DOTSCASE@=\count95
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen107
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count96
\c@MaxMatrixCols=\count97
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count98
\dspbrk@lvl=\count99
\tag@help=\toks17
\row@=\count100
\column@=\count101
\maxfields@=\count102
\andhelp@=\toks18
\eqnshift@=\dimen108
\alignsep@=\dimen109
\tagshift@=\dimen110
\tagwidth@=\dimen111
\totwidth@=\dimen112
\lineht@=\dimen113
\@envbody=\toks19
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks20
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/mathrsfs.sty
Package: mathrsfs 1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
\symrsfs=\mathgroup6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/alltt.sty
Package: alltt 1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/bigfoot/perpage.sty
Package: perpage 2006/07/15 1.12 Reset/sort counters per page
\c@abspage=\count103
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/calc.sty
Package: calc 2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
\calc@Acount=\count104
\calc@Bcount=\count105
\calc@Adimen=\dimen114
\calc@Bdimen=\dimen115
\calc@Askip=\skip46
\calc@Bskip=\skip47
LaTeX Info: Redefining \setlength on input line 75.
LaTeX Info: Redefining \addtolength on input line 76.
\calc@Ccount=\count106
\calc@Cskip=\skip48
)
\MySkip=\skip49
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/fix-cm.sty
Package: fix-cm 2006/03/24 v1.1n fixes to LaTeX
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ts1enc.def
File: ts1enc.def 2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/fancyhdr/fancyhdr.sty
\fancy@headwidth=\skip50
\f@ncyO@elh=\skip51
\f@ncyO@erh=\skip52
\f@ncyO@olh=\skip53
\f@ncyO@orh=\skip54
\f@ncyO@elf=\skip55
\f@ncyO@erf=\skip56
\f@ncyO@olf=\skip57
\f@ncyO@orf=\skip58
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/geometry/geometry.sty
Package: geometry 2002/07/08 v3.2 Page Geometry
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks21
)
\Gm@cnth=\count107
\Gm@cntv=\count108
\c@Gm@tempcnt=\count109
\Gm@bindingoffset=\dimen116
\Gm@wd@mp=\dimen117
\Gm@odd@mp=\dimen118
\Gm@even@mp=\dimen119
\Gm@dimlist=\toks22
(/usr/share/texmf-texlive/tex/xelatex/xetexconfig/geometry.cfg)) (/usr/share/te
xmf-texlive/tex/latex/hyperref/hyperref.sty
Package: hyperref 2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
\@linkdim=\dimen120
\Hy@linkcounter=\count110
\Hy@pagecounter=\count111
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/pd1enc.def
File: pd1enc.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
) (/etc/texmf/tex/latex/config/hyperref.cfg
File: hyperref.cfg 2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/kvoptions.sty
Package: kvoptions 2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (
HO)
)
Package hyperref Info: Option `hyperfootnotes' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `linktocpage' set `false' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `pdfdisplaydoctitle' set `true' on input line 223
8.
Package hyperref Info: Option `pdfpagelabels' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `bookmarksopen' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Option `colorlinks' set `true' on input line 2238.
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 2288.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 2293.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 2296.
Package hyperref Info: Plain pages OFF on input line 2303.
Package hyperref Info: Backreferencing OFF on input line 2308.
Implicit mode ON; LaTeX internals redefined
Package hyperref Info: Bookmarks ON on input line 2444.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/ltxmisc/url.sty
\Urlmuskip=\muskip11
Package: url 2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
)
LaTeX Info: Redefining \url on input line 2599.
\Fld@menulength=\count112
\Field@Width=\dimen121
\Fld@charsize=\dimen122
\Choice@toks=\toks23
\Field@toks=\toks24
Package hyperref Info: Hyper figures OFF on input line 3102.
Package hyperref Info: Link nesting OFF on input line 3107.
Package hyperref Info: Hyper index ON on input line 3110.
Package hyperref Info: backreferencing OFF on input line 3117.
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 3120.
\Hy@abspage=\count113
\c@Item=\count114
)
*hyperref using driver hpdftex*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/hpdftex.def
File: hpdftex.def 2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
\Fld@listcount=\count115
)
\TmpLen=\skip59
\c@pp@a@footnote=\count116
\c@myunit=\count117
(./33083-t.aux)
\openout1 = `33083-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 461.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 461.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 461.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 461.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 461.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 461.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 461.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 461.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 461.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 461.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 461.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 461.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 461.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for TS1/cmr/m/n on input line 461.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 461.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for PD1/pdf/m/n on input line 461.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 461.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 461.
-------------------- Geometry parameters
paper: a4paper
landscape: --
twocolumn: --
twoside: true
asymmetric: --
h-parts: 87.23615pt, 379.4175pt, 130.85423pt
v-parts: 95.19171pt, 607.06755pt, 142.78758pt
hmarginratio: 2:3
vmarginratio: 2:3
lines: --
heightrounded: --
bindingoffset: 0.0pt
truedimen: --
includehead: --
includefoot: --
includemp: --
driver: pdftex
-------------------- Page layout dimensions and switches
\paperwidth  597.50787pt
\paperheight 845.04684pt
\textwidth  379.4175pt
\textheight 607.06755pt
\oddsidemargin  14.96616pt
\evensidemargin 58.58424pt
\topmargin  -8.95207pt
\headheight 15.0pt
\headsep    19.8738pt
\footskip   30.0pt
\marginparwidth 88.0pt
\marginparsep   7.0pt
\columnsep  10.0pt
\skip\footins  10.8pt plus 4.0pt minus 2.0pt
\hoffset 0.0pt
\voffset 0.0pt
\mag 1000
\@twosidetrue \@mparswitchtrue 
(1in=72.27pt, 1cm=28.45pt)
-----------------------
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/color.sty
Package: color 2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
(/etc/texmf/tex/latex/config/color.cfg
File: color.cfg 2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
)
Package color Info: Driver file: pdftex.def on input line 130.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/pdftex-def/pdftex.def
File: pdftex.def 2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
\Gread@gobject=\count118
(/usr/share/texmf/tex/context/base/supp-pdf.tex
[Loading MPS to PDF converter (version 2006.09.02).]
\scratchcounter=\count119
\scratchdimen=\dimen123
\scratchbox=\box28
\nofMPsegments=\count120
\nofMParguments=\count121
\everyMPshowfont=\toks25
\MPscratchCnt=\count122
\MPscratchDim=\dimen124
\MPnumerator=\count123
\everyMPtoPDFconversion=\toks26
)))
Package hyperref Info: Link coloring ON on input line 461.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/hyperref/nameref.sty
Package: nameref 2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/oberdiek/refcount.sty
Package: refcount 2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
)
\c@section@level=\count124
)
LaTeX Info: Redefining \ref on input line 461.
LaTeX Info: Redefining \pageref on input line 461.
(./33083-t.out) (./33083-t.out)
\@outlinefile=\write3
\openout3 = `33083-t.out'.


Overfull \hbox (2.05862pt too wide) in paragraph at lines 477--477
[]\T1/cmtt/m/n/9.2 The Project Gutenberg EBook of Étude sur le Mouvement Perman
ent des Fluides, by[] 
 []

LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 500.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 500.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+rsfs on input line 500.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/jknapltx/ursfs.fd
File: ursfs.fd 1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
) [1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2

] [1

] [2] [3] [4

] [1

] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] 
[19] [20]
Overfull \hbox (1.79578pt too wide) detected at line 1870
[] \OML/cmm/m/it/11 m [] \OT1/cmr/m/n/11 = \OML/cmm/m/it/11 m [][] [] ;
 []

[21]
Underfull \hbox (badness 1057) in paragraph at lines 1938--1948
[][][][] \T1/cmr/m/n/12 1$[]$Le pre-mier membre de cette équa-tion re-pré-sen-t
ant le demi-
 []

[22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37]
[38]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 2869--2894

 []

[39

] [40] [41

] [42


]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[43

]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[44]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[45]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[46]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[47]
Underfull \vbox (badness 10000) has occurred while \output is active []

[48] [49] (./33083-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
 fontenc.sty
   t1enc.def    2005/09/27 v1.99g Standard LaTeX file
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
mathrsfs.sty    1996/01/01 Math RSFS package v1.0 (jk)
   alltt.sty    1997/06/16 v2.0g defines alltt environment
 perpage.sty    2006/07/15 1.12 Reset/sort counters per page
    calc.sty    2005/08/06 v4.2 Infix arithmetic (KKT,FJ)
  fix-cm.sty    2006/03/24 v1.1n fixes to LaTeX
  ts1enc.def    2001/06/05 v3.0e (jk/car/fm) Standard LaTeX file
fancyhdr.sty    
geometry.sty    2002/07/08 v3.2 Page Geometry
  keyval.sty    1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
geometry.cfg
hyperref.sty    2007/02/07 v6.75r Hypertext links for LaTeX
  pd1enc.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref: PDFDocEncoding definition (HO)
hyperref.cfg    2002/06/06 v1.2 hyperref configuration of TeXLive
kvoptions.sty    2006/08/22 v2.4 Connects package keyval with LaTeX options (HO
)
     url.sty    2005/06/27  ver 3.2  Verb mode for urls, etc.
 hpdftex.def    2007/02/07 v6.75r Hyperref driver for pdfTeX
   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
   color.sty    2005/11/14 v1.0j Standard LaTeX Color (DPC)
   color.cfg    2007/01/18 v1.5 color configuration of teTeX/TeXLive
  pdftex.def    2007/01/08 v0.04d Graphics/color for pdfTeX
supp-pdf.tex
 nameref.sty    2006/12/27 v2.28 Cross-referencing by name of section
refcount.sty    2006/02/20 v3.0 Data extraction from references (HO)
 33083-t.out
 33083-t.out
    umsa.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
    umsb.fd    2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
   ursfs.fd    1998/03/24 rsfs font definition file (jk)
 ***********

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 5824 strings out of 94074
 78652 string characters out of 1165154
 147364 words of memory out of 1500000
 8769 multiletter control sequences out of 10000+50000
 44969 words of font info for 105 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 26i,24n,43p,287b,488s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}</usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1
/bluesky/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.
pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texm
f-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type
1/bluesky/cm/cmr7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr8.pfb
></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-
texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.p
fb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/hoekwater/rsfs/rsfs10.pfb></usr/share/
texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbi1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pu
blic/cm-super/sfbx0700.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx08
00.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/t
exmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/pub
lic/cm-super/sfcc1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc120
0.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0700.pfb></usr/share/te
xmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0800.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publ
ic/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1200
.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfti0800.pfb></usr/share/tex
mf/fonts/type1/public/cm-super/sfti1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publi
c/cm-super/sfti1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sftt0900.
pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfxc1000.pfb></usr/share/texm
f/fonts/type1/public/cm-super/sfxc1200.pfb>
Output written on 33083-t.pdf (55 pages, 625839 bytes).
PDF statistics:
 806 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
 228 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 113 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

