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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
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\begin{verbatim}
The Project Gutenberg EBook of Zur Geschichte der Theorie der Elliptischen
Transcendenten, by Leo Koenigsberger

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: Zur Geschichte der Theorie der Elliptischen Transcendenten
       In den Jahren 1826-29

Author: Leo Koenigsberger

Release Date: September 16, 2009 [EBook #30005]

Language: German

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN TRANSCENDENTEN ***
\end{verbatim}
\pagebreak
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
Produced by Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online
Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This
file was produced from images from the Cornell University
Library: Historical Mathematics Monographs collection.)
\end{center}

\begin{center}\textsc{Anmerkungen zur Transkription}
\end{center}
Zitate wurden im schmäleren Block als im Original gesetzt und der nachfolgende Absatz
eingezogen, von ganz wenigen Ausnahmen abgesehen.

Mehrere heute nicht mehr übliche französische Pluralformen wurden
unverändert übernommen:
coefficiens, fondemens, indépendans, intéressans, suivans.
Außer wenigen trivialen Druckfehlern wurde einmal »zu« nach »als« verändert:
\begin{itemize}
\item \ldots und die Auflösung dieser Gleichung, welche in
transcendenter Form \textbf{als}
Lösungen die $\phi$-Functionen der
getheilten Perioden hat, führt \Person{Abel} vermöge allgemeiner
Principien, die er für die Theorie der algebraischen Gleichungen
entwickelt hat, auf die Auflösung \Emphasis{einer} Gleichung
$2n + 2^\text{ten}$ Grades und von $2n + 2$ Gleichungen $n^\text{ten}$ Grades
zurück.
\end{itemize}
\clearpage

\pagebreak

\selectlanguage{german}
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%-----File: 002..png---
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%-----File: 005..png---

\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vfill

{\large ZUR GESCHICHTE DER THEORIE}
\bigskip

{\small DER}
\bigskip

{\LARGE ELLIPTISCHEN TRANSCENDENTEN}
\bigskip

IN DEN JAHREN 1826--29
\bigskip

{\small VON}
\bigskip

\textbf{LEO KOENIGSBERGER.}
\end{center}
\bigskip
\bigskip
\bigskip
\bigskip
\bigskip
\bigskip


{\small
\hfill
\parbox{.5\textwidth}{»Mais un philosophe comme lui aurait dû
savoir que le but unique de la science,
c'est l'honneur de l'esprit humain, et que
sous ce titre, une question des nombres
vaut autant qu'une question du système
du monde.«}

\vskip3pt
\hfill
(\Person{Jacobi} à \Person{Legendre}, Koenigsberg le 2 juillet 1830.)
}

\vfill

\begin{center}

\vfill

LEIPZIG,
\medskip

{\small DRUCK UND VERLAG VON B.~G.~TEUBNER.}
\medskip

1879.

\end{center}
\vfill

\clearpage
%-----File: 006..png---
%===Following is the Cornell funding blurb===
%
\iffalse
\thispagestyle{empty}
\mbox{}\vfill

\begin{center}
{\fboxrule=2pt \fboxsep=10pt
\fbox{\parbox{20em}
{\begin{center}
{\Large\boldmath $\mathfrak{Cornell\ University\ Library}$}

\rule[.5ex]{5em}{.2pt}

{\small BOUGHT WITH THE INCOME\\
FROM THE}
\medskip

{\large SAGE \ ENDOWMENT \ FUND}
\smallskip

{\small THE GIFT OF}
\medskip

{\Large\boldmath $\mathfrak{Henry\ W.\ Sage}$}

\textbf{1891}
\medskip

$\mathcal A.49154$
\hfill\texttt{MATHEMATICS} \hfill
25/1/93
\\[-.8\baselineskip]
\dotfill
\end{center}}}}
\end{center}
\vfill

\clearpage
\fi
%-----File: 007..png---
\thispagestyle{empty}
\bigskip
\begin{center}
\Large{Vorwort.}\\
\smallskip
\rule{2em}{1pt}\\
\medskip
\end{center}

Veranlasst durch das fünfzigjährige Jubiläum, das in
diesem Jahre die »\Titel{Fundamenta nova theoriae functionum
ellipticarum}« von \Person{Jacobi} feiern, deren Erscheinen
zusammenfiel mit dem Tode \Person{Abel}'s, des andern grossen
Schöp\-fers der Theorie der Transcendenten, habe ich in einer
kurzen freien Zeit aus früheren Notizen die vorliegende Zusammenstellung
gemacht, die vielleicht denen nicht unwillkommen
sein wird, welche selbst nicht Zeit und Lust haben,
die historische Entwicklung dieser mathematischen Disciplin
genauer zu verfolgen.

Dass ich nur die Jahre 1826--29 zugleich mit den
dieser Theorie an\-ge\-hö\-ri\-gen Arbeiten von \Person{Legendre} und
\Person{Gauss} zum Gegenstande meiner kurzen Darstellung genommen
habe, mag dadurch gerechtfertigt erscheinen, dass nicht
bloss die Anfänge, sondern ein beträchtlicher Theil der
ganzen grossen Theorie der elliptischen Transcendenten, wie
wir sie jetzt besitzen, dem Inhalte und der Form nach in
jenen Jahren geschaffen wurden.

\Place{Reichenau} bei Wien, im August 1879.

\hfill \textbf{Leo Koenigsberger.}\break
\vfill

\clearpage
%-----File: 008..png---
%-----File: 009..png---
\thispagestyle{empty}

Die zahlreichen und zum Theil wichtigen Arbeiten von
\Person{Fagnano}, \Person{Maclaurin}, \Person{d'Alembert} und \Person{Landen}
in der
Theorie der Integrale algebraischer Irrationalitäten, speciell
der Quadratwurzeln aus Polynomen dritten und vierten Grades
waren theils auf die Ermittlung geometrischer Beziehungen
gerichtet, welche zwischen den Bögen der Ellipse, der Hyperbel
und anderer durch einfache algebraische Gleichungen
definirter Curven bestehen, theils lieferten sie analytische
Relationen zwischen den Gränzen additiv mit einander verbundener
Integrale algebraischer Differentiale und Reductionsformeln
für solche Integrale auf Integrale von Quadratwurzeln
gewisser specieller Polynome dritten oder vierten
Grades. In keiner dieser Arbeiten ist jedoch auch nur die
Vermuthung zu finden, dass man es hier mit den Anfängen
einer grossen, in ihrer Fortbildung die gesammte Analysis
beherrschenden Disciplin zu thun habe. \Person{Euler} war der
erste, der auf Grund seiner ausgedehnten geometrischen und
analytischen Untersuchungen in der Theorie der elliptischen
Integrale und nach Auffindung seines berühmten Additionstheorems
dieser Transcendenten mit der ihm eigenen mathematischen
Divinationsgabe voraussah, dass mit Hülfe einer
passenden Bezeichnung die Berechnung der Ellipsenbögen
und anderer analoger Transcendenten von fast ebenso allgemeiner
Anwendung werden könnte als die der Kreisbögen
und Logarithmen, und \Person{Legendre}, der sich vom Jahre 1786
an anhaltend mit den hierher gehörigen Untersuchungen beschäftigte,
rechtfertigte diese Voraussagung.

%-----File: 010..png---

Derselbe veröffentlichte vor der Zusammenfassung seiner
Resultate in der Theorie der elliptischen Integrale einige
grössere Arbeiten über diesen Gegenstand:
\begin{quote}
1) \Titel{Mémoire sur les intégrations par
d'arcs d'ellipse} (mém.~de l'Acad.\ des Sciences de Paris~1786), I,~II,
\end{quote}
worin nicht nur die durch die Arbeiten von \Person{Fagnano},
\Person{Euler} und \Person{Landen} bekannten Sätze bewiesen wurden, sondern
zugleich schon ein Beginn der Transformationstheorie
der elliptischen Integrale in der analytischen Auffassung
dieser Sätze sich kundgab, indem gezeigt wird, wie man die
Rectification der Ellipse auf die von zwei andern aus einer
unendlichen Reihe willkührlich gewählten Ellipsen reduciren
kann, und
\begin{quote}
2) \Titel{Mémoire sur les Transcendantes elliptiques} (Paris 1793),
\end{quote}
in welchem bereits die Eintheilung der elliptischen Integrale
in solche verschiedener Gattungen, die Reduction der
Integrale der einzelnen Gattungen auf ihre einfachsten Normalformen
und die Auswerthung der elliptischen Integrale
durch eine möglichst genaue Annäherung gegeben ist.

\Person{Legendre} fasste sodann alle diese Untersuchungen in
dem Werke:
\begin{quote}
\Titel{Exercices de calcul intégral sur divers ordres de Transcendantes
et sur les Quadratures} (Paris~1811--19)
\end{quote}
und später in dem
\begin{quote}
\Titel{Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes}
(Paris~1825--26, 2~vols.)
\end{quote}
zusammen, welches letztere Werk sich im Wesentlichen durch
neue Resultate nur in den Cap.~28, 29, 30, 31, vor allem
durch eine neue Modulnkette von dem ersteren unterscheidet.

Wenn auch das Erscheinen und Bekanntwerden des
\Titel{traité} schon mit den ersten Arbeiten \Person{Abel}'s und \Person{Jacobi}'s
in der Theorie der elliptischen Transcendenten zusammenfällt,
so ziehen wir es doch vor, schon an dieser Stelle von
jenem grossen Werke zu reden, weil man einerseits den
%-----File: 011..png---
\Titel{traité} als das Sammelwerk der Entdeckungen \Person{Legendre}'s
in der Theorie der elliptischen Integrale zu betrachten hat,
andererseits aber auch, wie \Person{Legendre} in seinem Briefe vom
30.~November~1827 an \Person{Jacobi} angiebt, der erste Theil
desselben bereits~1825 gedruckt und am 12.~September~1825
der Pariser Akademie vorgelegt, der zweite Theil schon
1826 gedruckt, also vor dem Eintreten der beiden grossen
Mitarbeiter in der Theorie der elliptischen Transcendenten
vollendet war; man wird sich bei Besprechung der weiteren
Entwicklung der Theorie jedoch stets zu vergegenwärtigen
haben, dass \Person{Abel} und \Person{Jacobi} zur Zeit der Veröffentlichung
ihrer ersten Arbeiten, wie noch später näher
ausgeführt werden soll, nur die \Titel{exercices} und nicht den \Titel{traité}
von \Person{Legendre} kannten, also nicht im Besitze grade jener
Zusätze zu den \Titel{exercices} waren, welche in der That einen
wesentlichen Fortschritt in der Theorie kennzeichneten und
in der verallgemeinerten Auffassung von \Person{Abel} und \Person{Jacobi}
für den ganzen weiteren Verlauf der Transcendentenlehre von
so grosser Bedeutung werden sollten.

\begin{quote}
»Es ist \Person{Legendre}'s unvergänglicher Ruhm, -- so
charakterisirt \Person{Dirichlet} in seiner Gedächtnissrede auf \Person{Jacobi}
das grosse Werk \Person{Legendre}'s -- in den eben erwähnten
Entdeckungen (von \Person{Fagnano}, \Person{Euler}, \Person{Landen},
\Person{Lagrange}) die Keime eines wichtigen Zweiges der Analysis
erkannt und durch die Arbeit eines halben Lebens auf
diesen Grundlagen eine selb\-stän\-dige Theorie errichtet zu
haben, welche alle Integrale umfasst, in denen keine andere
Irrationalität enthalten ist als eine Quadratwurzel, unter
welcher die Veränderliche den vierten Grad nicht übersteigt.
Schon \Person{Euler} hatte bemerkt, mit welchen Modificationen
sein Satz auf solche Integrale ausgedehnt werden kann;
\Person{Legendre}, indem er von dem glücklichen Gedanken ausging,
alle diese Integrale auf feste canonische Formen zurückzuführen,
gelangte zu der für die Ausbildung der Theorie
%-----File: 012..png---
so wichtig gewordenen Erkenntniss, dass sie in drei wesentlich
verschiedene Gattungen zerfallen. Indem er dann jede
Gattung einer sorg\-fäl\-tigen Untersuchung unterwarf, entdeckte
er viele ihrer wichtigsten Eigenschaften, von welchen
namentlich die, welche der dritten Gattung zukommen,
sehr verborgen und ungemein schwer zugänglich waren.
Nur durch die andauerndste Beharrlichkeit, die den grossen
Mathematiker immer von Neuem auf den Gegenstand
zurückkommen liess, gelang es ihm hier, Schwierigkeiten zu
besiegen, welche mit den Hülfsmitteln, die ihm zu Gebote
standen, kaum über\-wind\-lich scheinen mussten.«
\end{quote}

Die nachfolgende Darstellung der Arbeiten von \Person{Abel}
und \Person{Jacobi} macht es nöthig, wenn auch nur kurz, auf eine
Analyse der von \Person{Legendre} in dem ersten Theile seines
Werkes niedergelegten Untersuchungen einzugehen, um so
mehr, als wir danach den unmittelbaren Einfluss dieser
Untersuchungen auf die von \Person{Abel} und \Person{Jacobi} bei der Behandlung
der elliptischen Transcendenten befolgten Methoden
besser werden wahrnehmen und schätzen können.

Nachdem \Person{Legendre} nachgewiesen, dass das Integral
\[
\int \frac{P\,dx}{R},
\]
worin $P$ eine rationale Function von $x$ und
\[
R = \sqrt{\alpha + \beta x + \gamma x^2 + \delta x^3 + \epsilon x^4}
\]
ist, auf die festen Grundformen
\[
\int\frac{dx}{R},\quad
\int\frac{x\,dx}{R},\quad
\int\frac{x^2\,dx}{R},\quad
\int\frac{dx}{(1+nx)R}
\]
reducirt werden kann, schafft er mit Hülfe der linearen
Transformation
\[
x=\frac{p + qy}{1 + y}
\]
die ungraden Potenzen der Variablen des Polynoms $R^2$
heraus, und führt die leicht herstellbare Form des allgemeinen
elliptischen Integrales
%-----File: 013..png---
\[
\int\frac{Q\,d\phi}{\sqrt{1-c^2\sin^2\phi}}
\]
von einem algebraischen Theile abgesehen auf die drei
Normalformen der »\Emphasis{elliptischen Functionen oder Transcendenten}«
\[
\int\frac{d\phi}{\Delta} = F,\quad
\int\Delta\,d\phi = E,\quad
\int\frac{d\phi}{(1+u
\sin^2\phi)\Delta} = \Pi
\]
zurück.

Mit dieser Reduction auf feste Normalformen ist aber
das Fundament der Theorie der elliptischen Integrale gelegt;
es sind die wesentlichen irreductibeln Integrale gefunden,
welche der Quadratwurzel aus einem Polynome vierten
Grades zugehören, und es ist damit eine Reduction geleistet,
die später mit Zuhülfenahme der Eigenschaft dieser drei
Integralklassen, entweder garnicht, oder nur in der Unendlichkeit
algebraisch oder in zwei verschiedenen Punkten
logarithmisch unendlich zu werden, die Veranlassung zur
Eintheilung der allgemeinen \Person{Abel}'schen Integrale in solche
erster, zweiter und dritter Gattung geworden ist.

Die zunächst folgenden Untersuchungen \Person{Legendre}'s
sind dem Additionstheorem der elliptischen Integrale gewidmet,
jener grossen und so folgenreichen Entdeckung
\Person{Euler}'s, die \Person{Legendre} in der Einleitung zu seinem \Titel{traité}
mit den Worten charakterisirt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»\Person{Euler} par une combinaison qu'on peut regarder comme
fort heureuse, quoique ces hazards n'arrivent qu'à ceux qui
savent les faire naître, trouva l'intégrale algébrique complète
d'une équation différentielle composée de deux termes
séparés, mais semblables, dont chacun n'est intégrable que
par des arcs de sections coniques. Cette découverte importante
donna lieu à son auteur de comparer d'une manière
plus générale qu'on ne l'avait fait avant lui, non-seulement
les arcs d'une même ellipse, d'une même hyperbole, ou d'une
même lemniscate, mais en général toutes les transcendantes
%-----File: 014..png---
contenues dans la formule $\int\frac{P\,dx}{R}$, où~$P$ est une fonction
rationelle de~$x$, et~$R$ la racine quarrée d'un polynome en~$x$
du quatrième degré.«
\end{quote}

Für die Integrale erster Gattung wird der \Person{Euler}'schen
Differentialgleichung die Integralgleichung
\[
F(\phi) + F(\psi) = F(\mu)
\]
substituirt, und als äquivalente algebraische Relation zwischen
den trigonometrischen Functionen der Amplituden die
Gleichung
\[
\sin\mu = \frac{\sin\phi \cos\psi \,\Delta\psi + \sin\psi \cos\phi \,\Delta\phi}
{1-c^2 \sin^2\phi \sin^2\psi}
\]
gefunden; eine Ausdehnung des \Person{Euler}'schen Additionstheorems
für Integrale erster Gattung sah \Person{Legendre}
darin, dass man die Gleichung
\[
0 = \frac{m\,dx}{\sqrt{R(x)}}
  + \frac{n\,dy}{\sqrt{R(y)}}
  + \frac{p\,dz}{\sqrt{R(z)}}
  + \cdots
\]
zu Grunde legt, die nach dem \Person{Euler}'schen Satze offenbar
ebenfalls ein algebraisches Integral hat, und darin für~$z,\ldots$
algebraische Functionen von~$x$ und~$y$ annimmt, war
dagegen der Ansicht, dass die Untersuchungen von \Person{Lagrange}
(\Titel{Mélanges de la société royale de Turin}, tome IV),
welcher die Fälle der algebraischen Integration der Gleichung
\[
\frac{dx}{\sqrt{X}} + \frac{dy}{\sqrt{Y}} = 0
\]
ermitteln wollte, in denen $X$ und $Y$ nicht gleichartige
Functionen verschiedener Variabeln sind, nicht über die
\Person{Euler}'sche Gleichung hinausführen können, wie es ihm
denn überhaupt sehr zweifelhaft erschien, ob mit zwei Termen
allein die Verallgemeinerung der \Person{Euler}'schen Gleichung
nach irgend einer Richtung hin möglich sei. Man
sieht, dass \Person{Legendre} weit von der Erkenntniss entfernt
war, dass sehr allgemeine algebraische Beziehungen für in
einander transformirbare elliptische Differentialien existiren,
%-----File: 015..png---
und dass ihm ebenso die Existenz des berühmten Theorems,
durch welches \Person{Abel} später der Integralrechnung eine so
grosse und unerwartete Ausdehnung gegeben, und mit dessen
Geschichte wir uns später zu beschäftigen haben werden,
völlig verborgen geblieben.

Das Additionstheorem der elliptischen Integrale erster
Gattung führte \Person{Legendre} zur Behandlung der Multiplicationsgleichung
\[
F(\phi_n) = nF(\phi),
\]
welche er durch die Recursionsformel
\[
\sin \phi_{n+1} + \sin\phi_{n-1}
= \frac{2\Delta \cos\phi \sin\phi_n}
   {1-c^2 \sin^2\phi \sin^2\phi_n}
\]
auflöst. Die Division des unbestimmten Integrales erster
Gattung wird auf die Auflösung einer Gleichung $n^2{}^\text{ten}$ Grades,
die Division für das vollständige Integral~$F^1$ auf eine
Gleichung $\frac{n^2-1}2{}^\text{ten}$ Grades zurückgeführt; für die speciellen
Fälle, in denen~$c^2=2(\sqrt2-1)$, $c^2=\frac12$ und~$c^2=\frac14(2\pm\sqrt3)$
ist, und die später durch die Untersuchungen von \Person{Abel} eine
hervorragende Bedeutung bekamen, löst \Person{Legendre} das
Problem der Dreitheilung des voll\-stän\-digen Integrales mit
Hülfe von Quadratwurzeln.

Das Additionstheorem der elliptischen Integrale zweiter
Gattung giebt \Person{Legendre} Gelegenheit, die längst bekannten
Sätze über Ellipsen~ und Hyperbelbögen aus einem einheitlichen
analytischen Gesichtspunkte herzuleiten, und die
Untersuchung der Beziehungen der vollständigen Integrale
zweiter Gattung zu denen erster Gattung führt ihn zu der
nach ihm benannten Relation
\[
FE' - F'E - FF' = \tfrac\pi2,
\]
welche erst nach einem halben Jahrhundert eine Erweiterung
auf hyperelliptische Integrale in dem berühmten
\Place{Braunsberger} Schulprogramm durch \Person{Weierstrass} erhalten
und sodann von \Person{Riemann} mit Hülfe allgemeiner
%-----File: 016..png---
functionentheoretischer Betrachtungen auf alle \Person{Abel}'schen
Integrale ausgedehnt worden ist. Zugleich entwickelt \Person{Legendre}
auch für die voll\-stän\-di\-gen Integrale erster und zweiter
Gattung Differentialgleichungen zweiter Ordnung, deren allgemeine
Integrale er angiebt, und die später von \Person{Jacobi}
weiter verwerthet wurden.

Die Untersuchungen über die Integrale erster und zweiter
Gattung schliessen mit der Reihenentwicklung der vollständigen
Integrale ab.

Weit grössere Schwierigkeiten bereiten \Person{Legendre} die
Integrale dritter Gattung vermöge des Hinzutretens einer
dritten sie bestimmenden Grösse, des Parameters, sowohl
bei der Aufstellung der Additionstheoreme für das Argument
und den Parameter, als auch bei der numerischen Berechnung
derselben, da für dieselben Tafeln mit doppeltem Eingange
erst wieder anwendbar wurden durch die später zu besprechende,
grosse Entdeckung \Person{Jacobi}'s, der zufolge die
Integrale dritter Gattung sich durch $\vartheta$-Functionen ausdrücken
liessen, in deren Argument das zugehörige Integral erster
Gattung eintritt.

Nachdem \Person{Legendre} die Beziehung entwickelt, die zwischen
zwei elliptischen Integralen dritter Gattung mit dem
Parameter~$n$ und dem Parameter~$\frac{c^2}{n}$ besteht, und die sich
in zwei irreductible Fälle sondert, je nachdem~$n > 0$ oder~$n < 0$
und~$(n) \ge c^2$, und~$n < 0$ und~$(n) < c^2$ ist -- wonach
die beiden zu diesen reellen Parametern gehörigen elliptischen
Integrale dritter Gattung sich von einem Integrale
erster Gattung abgesehen im ersten Falle um eine arc.\ tg-Function,
im zweiten um einen Logarithmus unterscheiden
-- wird das Additionstheorem für die Integrale dritter
Gattung und die allgemeinen elliptischen Integrale hergestellt.

Hier tritt nun in dem grossen Werke eine neue, von
allem früheren wesentlich verschiedene und für die weitere
%-----File: 017..png---
Entwicklung der Theorie der Transcendenten so folgenreiche
Anschauung zu Tage. \Person{Legendre} wendet sich der Untersuchung
der \Person{Landen}'schen Transformation zu, nach welcher
die Substitution~$~\sin (2\phi'-\phi) = c \sin \phi$ die Beziehung
ergiebt
\[
F(c', \phi') = \frac{1+c}{2}\,  F(c,\phi),
\]
wenn $c' = \frac{2\sqrt{c}}{1+c}$ gesetzt ist, und stellt eine entsprechende
Relation für die zu dem ursprünglichen und transformirten
Integralmodul gehörigen elliptischen Integrale zweiter Gattung
auf; er zeigt, dass sich aus dieser einfachen analytischen
Beziehung die Sätze von \Person{Landen}, wonach sich ein
Hyperbelbogen durch zwei Ellipsenbögen ausdrücken lässt
etc., unmittelbar ergeben, dass aber weit wichtiger als alle
diese geometrischen Folgerungen das in der erwähnten Substitution
liegende Transformationsprincip sei, wonach durch
wiederholte Anwendung dieser Substitution eine Kette von
unendlich vielen Moduln hergestellt werden kann, welche
Veranlassung geben zu einfachen Methoden für die Berechnung
der vollständigen und unvollständigen elliptischen Integrale
erster Gattung, zu Ausdrücken, wie z.~B.
\[
F^1 (c) = \frac\pi2 (1 + c^0) (l + c^{00}) (l + c^{000}) \dots
\]
und ähnlichen Annäherungsformeln für die Berechnung der
Integrale zweiter Gattung.

Mit Recht wundert sich \Person{Legendre} darüber, dass diese
Substitution sowie überhaupt der analytische Gesichtspunkt
für die Verwandlung elliptischer Integrale in einander den
früheren Mathematikern völlig fremd geblieben:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Mais beaucoup d'autres substitutions peuvent conduire
à de semblables résultats, et quand on considère combien
de transformations analytiques ont été employées par \Person{Maclaurin}
et \Person{d'Alembert}, dans leurs recherches sur les intégrales
%-----File: 018..png---
qui peu\-vent être exprimées par des arcs de sections
coniques, on a lieu de s'étonner que la transformation, qui met
en évidence les propriétés nombreuses de l'échelle des modules,
leur ait enti\-ère\-ment échappé et que cette découverte
ait été réservée à \Person{Landen} qui d'ailleurs n'en a tiré qu'un
médiocre parti et qui n'a pas même vu qu'elle fournissait
une méthode très simple pour calculer par approximation
les arcs des sections coniques. On s'étonnera moins que
la même découverte ait échappé à \Person{Euler}, si on observe
que la belle intégrale due à ce grand géomètre l'a conduit
à comparer entre elles les diverses valeurs d'une même
transcendante, comme on compare les arcs d'une même
courbe, ce qu'il a fait avec une élégance et une généralité
qui ne laissent rien à désirer. Mais on ne voit dans aucun
de ses Mémoires, qu'il ait fait varier les constantes ou les
paramètres de ses fonctions, et qu'il ait ainsi passé d'une
courbe à une autre, comme on le fait dans les comparaisons
qui dépendent de l'échelle des modules.«
\end{quote}

Und gleichsam zur Entschuldigung des von ihm hochverehrten
\Person{Euler} fügt \Person{Legendre} später hinzu:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»En terminant ces observations nous signalerons comme
un fait digne de remarque, qu'\Person{Euler} n'ait rien écrit à
l'occasion du Mémoire de \Person{Landen} imprimé dans les Transactions
philosophiques de~1775, d'où il faut conclure que
ce Mémoire n'est pas parvenu à sa connaissance; car dans
la hypothèse contraire, cet illustre Géomètre aurait sans
doute, suivant son usage, publié ses propres réflexions
sur une découverte analytique qui devait particulièrement
l'intéresser.«
\end{quote}

Einer Fortsetzung dieser der Transformationstheorie
angehörigen Untersuchungen werden wir schon in einem
der nächsten Kapitel des \Titel{traité} begegnen; zunächst wird
jedoch eine Beziehung zwischen zwei Integralen dritter
Gattung mit verschiedenen reellen Parametern aufgestellt,
%-----File: 019..png---
nach welcher sich dieselben nur um Integrale erster und
zweiter Gattung unterscheiden, und nach Zurückführung
der Integrale dritter Gattung mit imaginärem Parameter auf
zwei ähnliche Integrale mit reellem Parameter, durch welche
der eben ausgesprochene Satz allgemeine Gültigkeit erlangt,
die noch nachher zu besprechende Relation hergeleitet, welche
als der Satz von der Vertauschung des Arguments und des
Parameters bezeichnet und später auf alle \Person{Abel}'schen Integrale
ausgedehnt wurde.

Die behandelten Substitutionen gaben \Person{Legendre} Gelegenheit,
einige Integrale mit dritten oder vierten Wurzeln
aus Polynomen zweiten und dritten Grades, sowie mit
Quadratwurzeln aus gewissen Polynomen höhe\-ren Grades
auf elliptische Integrale zu reduciren, Untersuchungen, die
später in allgemeinerer Form wieder aufgenommen werden,
nachdem erst die Theorie der Transformation eine wesentliche
Erweiterung erfahren. Unter anderem hatte \Person{Legendre}
das Integral
\[
\int\frac{ dz }{\bigl( \sqrt[3]{1-z^3} \bigr)^2}
\]
auf doppelte Art auf ein elliptisches Integral reducirt und
dadurch die Beziehung gefunden
\[
F(b,\omega) = \sqrt{3}\cdot F(c,\phi) ,
\]
worin $b = \sqrt{1-c^2}$ und
\[
\sin\omega =
\frac{\sin \phi \bigl(2\sqrt{3} + (2-\sqrt{3}) \sin^2 \phi\bigr)}
   {2 + \sqrt{3}\cdot\sin^2 \phi}
\]
ist, war somit auf eine Substitution dritten Grades geführt
worden, die unmittelbar die allgemeine Transformation dritten
Grades mit der Modularbeziehung~$\sqrt{bb_1}+\sqrt{cc_1} = 1$ ergab
und somit eine neue Modulnkette und neue Annäherungsformeln
für die Berechnung der elliptischen Integrale lieferte.
\Person{Legendre} erkannte sogleich die Wichtigkeit dieser Entdeckung,
%-----File: 020..png---
sah aber das Eigenthümliche seines Resultates
nicht in der später von \Person{Jacobi} aufgedeckten analytischen
Bedeutung für die Umkehrungsfunction des elliptischen Integrales
erster Gattung, sondern vielmehr in seiner Beziehung
zur Integralrechnung, in seiner Bedeutung für die
numerische Auswerthung der elliptischen Integrale und
vorzüglich in dem merkwürdigen Umstande, dass man durch
eine unendliche Reihe von Substitutionen immer wieder
dieselbe analytische Form des vorgelegten Integrales
erhält:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»c'est sans doute un résultat très remarquable, que
cette
multitude infinie de transformations, qu'on peut faire subir
à la même fonction~$F(c, \phi)$, sans changer sa nature et en
conservant le même rapport entre la fonction et sa transformée
pour toutes les valeurs de l'amplitude; on chercherait
vainement dans la variété infinie des transcendantes
un second exemple d'une fonction qui se reproduirait sous
tant de formes différentes et à laquelle on pourrait appliquer
plus justement qu'à la spirale logarithmique, la devise
que lui avait donné \Person{Jacques Bernoulli}: eadem mutata
resurgit«.
\end{quote}

Endlich ist noch, indem aus zwei Transformationen
dritten Grades die Multiplication mit dem Factor~3 zusammengesetzt
wird, -- ein Weg, den auch \Person{Jacobi}, ohne die
Methode von \Person{Legendre} zu kennen, später zur Verallgemeinerung
der \Person{Legendre}'schen Untersuchungen eingeschlagen
-- nachgewiesen, dass die Auflösung der Gleichung
$9^\text{ten}$ Grades für die Dreitheilung auf die Auflösung von
zwei Gleichungen dritten Grades zu\-rück\-ge\-führt werden kann,
ein Problem, das wiederum von \Person{Abel} später aufgenommen
und in seiner ganzen Allgemeinheit gelöst wurde.

Nunmehr werden ganze Klassen von Integralen höherer
algebraischer Irrationalitäten untersucht, die auf elliptische
Integrale reducirbar sind, und von denen vorzüglich diejenigen,
%-----File: 021..png---
welche dritte oder vierte Wurzeln aus Polynomen
dritten oder vierten Grades oder Quadratwurzeln aus reciproken
Polynomen sechsten Grades enthalten, später für
die allgemeine Theorie der Integrale von Bedeutung geworden
sind.

Im Uebrigen enthält der erste Band des \Titel{traité} abgesehen
von den Entwicklungen der elliptischen Integrale
nach den sinus und cosinus der Amplitude und von der
Berechnung einiger bestimmter Integrale, die durch elliptische
Integrale ausgedrückt werden können, noch eine Reihe
von Anwendungen der entwickelten Theorie der elliptischen
Integrale auf die Behandlung von geometrischen und mechanischen
Problemen, die uns im Folgenden nicht interessiren.

Der zweite Theil liefert eine Theorie der \Person{Euler}'schen
Integrale und der Kugelfunctionen, »damit das neue Werk
als eine ziemlich vollständige Bearbeitung der nächst den
Kreisbögen und den Logarithmen bekanntesten und nützlichsten
Transcendenten betrachtet werden könne,« und
giebt ausserdem Methoden für die Berechnung der Integrale
erster und zweiter Gattung und auf Grund dieser construirte
Tafeln:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»pour que l'usage des Fonctions elliptiques puisse être
introduit dans l'analyse à l'instar des Fonctions circulaires
et logarithmiques. Il ne peut être question de réduire en
tables les fonctions de la troisième espèce, puisqu'elles contiennent
deux constantes arbitraires outre la variable principale,
et qu'ainsi il faudrait que ces tables fussent à
triple entrée, chose tout-à-fait inexécutable«.
\end{quote}

Das grosse Werk \Person{Legendre}'s besitzt nicht bloss dadurch
seinen Werth und seine bleibende Bedeutung, dass
es der Theorie der elliptischen Integrale eine selbständige
Stellung in der Analysis geschaffen und die Veranlassung
zur Gründung der Lehre von den Transcendenten und der
%-----File: 022..png---
allgemeinen Functionentheorie geworden, sondern dass in
demselben auch eine grosse Reihe von Gesichtspunkten gegeben,
Resultate hergeleitet und Methoden entwickelt sind,
die ein bleibender Besitz der Analysis geworden und genau
in der von \Person{Legendre} gegebenen Form die Ausgangspunkte
für die späteren Arbeiten \Person{Abel}'s und \Person{Jacobi}'s gebildet
haben. Ich hebe dies hier besonders hervor, weil eine Aeusserung
\Person{Jacobi}'s, die uns \Person{Dirichlet} berichtet, leicht zu
Missverständnissen Veranlassung geben kann; \Person{Jacobi} antwortete
einem Freunde, der ihn eines Tages auffallend verstimmt
fand und nach dem Grunde dieser Verstimmung
fragte: »Sie sehen mich eben im Begriff, dieses Buch (\Person{Legendre}'s
\Titel{exercices})
auf die Bibliothek zurückzuschicken, mit
welchem ich entschiedenes Unglück habe. Wenn ich sonst
ein bedeutendes Werk studirt habe, hat es mich immer zu
eignen Gedanken angeregt und ist dabei immer etwas für
mich abgefallen. Diesmal bin ich ganz leer ausgegangen
und nicht zum geringsten Einfall inspirirt worden«.

Es war eben das Fremdartige des Stoffes, das \Person{Legendre}
länger als zwanzig Jahre hindurch keinen Mitarbeiter
in diesem Zweige der Analysis finden liess.

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Après m'être occupé pendant un grand nombre d'années,
sagt \Person{Legendre} in der Vorrede zum ersten Supplement
des \Titel{traité},
de la théorie des fonctions elliptiques,
dont l'immortel \Person{Euler} avait posé les fondemens,
j'ai cru
devoir rassembler les résultats de ce long travail dans un
Traité, qui a été rendu public au mois de janvier 1827.
Jusque là les géomètres n'avaient pris presque aucune part
à ce genre de recherches; mais à peine mon ouvrage avait-il
vu le jour, à peine son titre pouvait-il être connu des
savans étrangers, que j'appris avec autant d'étonnement
que de satisfaction, que deux jeunes géomètres, M.~M.~\Person{Jacobi}
(C.--G.--J.)
de Koenigsberg et \Person{Abel} de Christiania,
avaient réussi, par leurs travaux particuliers, à perfectionner
%-----File: 023..png---
considérablement la théorie des fonctions elliptiques dans
ses points les plus élevés.«
\end{quote}

Und \Person{Abel} und \Person{Jacobi} haben für ihre Arbeiten, wie
schon oben hervorgehoben, nicht nur Anknüpfungspunkte
an die \Person{Legendre}'schen Untersuchungen gefunden, sondern
eine Reihe von Methoden und Gesichtspunkten aus dem
\Titel{traité} von \Person{Legendre} entnehmen können, auf Grund deren
sie freilich mit Hinzufügung grosser und überraschender
Gedanken, neuer und überaus fruchtbarer Methoden den
gewaltigen und ungeahnten Ausbau der Theorie der elliptischen
Transcendenten bewerkstelligt haben. Dies hat aber
auch \Person{Jacobi} nachher selbst in vollem Umfange anerkannt;
er schreibt am~27.~Mai~1832 an \Person{Legendre}:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»dans une annonce que j'en ai faite à la fin du huitième
volume de M.~\Person{Crelle}, j'ai cherché à relever les mérites
impérissables du Géomètre qui, outre les découvertes nombreuses
et importantes dont il a enrichi la science, est
parvenu à fonder deux disciplines grandes et étendus par
les travaux glorieux de sa vie, lesquelles formeront désormais
l'$\alpha$ et l'$\omega$ de toute étude mathématique. J'ai profité en
même temps de cette occasion pour parler d'\Person{Abel} et de son
grand théorème, que vous avez encore le mérite d'avoir approfondi
le premier, et d'avoir montré à la postérité que son
développement est la grande tâche qui lui reste à remplir $\ldots$«
\end{quote}

Es ist interessant, über die in den \Titel{exercices} vereinigten
Untersuchungen \Person{Legendre}'s einige Worte aus dem
Munde des im Lobe nie über\-schwäng\-li\-chen Mathematikers
zu vernehmen, der wie kein anderer competent war, über
die Bedeutung der in der Theorie der elliptischen Transcendenten
gemachten Entdeckungen ein Urtheil abzugeben; in
einem Briefe von \Person{Gauss} an \Person{Schumacher} heisst es:

\begin{quote}
\selectlanguage{german}
»Geneigt, wie ich von jeher gewesen bin, jeden neuen
originellen oder genialen Gedanken mit Liebe
aufzunehmen${}^\ast)$,
%-----File: 024..png---
wurde ich von der wirklich neuen Idee in Mossotis Aufsatz
bei meiner ersten Lecture frappirt.

\begin{small}${}^\ast)$\ Ich brauche Ihnen wohl nicht zu sagen, dass die neuliche
wunderliche Recension von \Person{Legendre}'s \Titel{Exercices de calcul Intégral}
in unseren G.~A. (Gött.\ gel.\ Anz.\ 1817. Aug.~14) nicht von
mir ist, da dieses Werk so manches der oben erwähnten Art enthält.«
\end{small}
\end{quote}

Wollte ich nunmehr streng historisch verfahren, so
müsste ich nach der Besprechung des \Person{Legendre}'schen
\Titel{traité} an der Hand der aus dem Nachlasse von \Person{Gauss} veröffentlichten
Untersuchungen aus der Theorie der elliptischen
Transcendenten, die fast sämmtlich aus einer viel
früheren Zeit als die Entdeckungen \Person{Abel}'s und \Person{Jacobi}'s,
ja selbst als ein Theil derer von \Person{Legendre} stammen, die
Theorie, wie sie sich \Person{Gauss} zum grossen Theil schon am
Ende des vorigen Jahrhunderts aufgebaut hatte, zu entwickeln
suchen; ich ziehe es jedoch vor, einerseits im Interesse
der grösseren Klarheit in der Darlegung der verschiedenen
Theile der Theorie der elliptischen Transcendenten,
andererseits um die gewaltige, das ganze Gebiet der Transcendenten
umfassende Ausdehnung der \Person{Gauss}'schen Resultate
deutlicher hervortreten zu lassen, die Untersuchungen
von \Person{Gauss} erst nach Besprechung der Arbeiten von \Person{Abel}
und \Person{Jacobi} darzulegen, und somit eine Vergleichung anstellen
zu können zwischen dem Umfange der Leistungen
und der Tragweite der Methoden dieser drei grossen Mathematiker
unseres Jahrhunderts. Doch muss jedenfalls schon
hier auf die bekannte Stelle in den im Jahre~1801 veröffentlichten
»\Titel{disquisitiones arithmeticae}« hingewiesen werden,
welche den Mathematikern die Richtung der \Person{Gauss}'schen
Untersuchungen in der Theorie der elliptischen Integrale
zu erkennen gab und \Person{Abel} vielleicht sogar den Weg
vorzeichnete, auf welchem er die algebraischen Theile der
elliptischen Transcendenten ausbaute; sie lautet:

\begin{quote}
»Ceterum principia theoriae, quam exponere aggredimur,
multo latius patent, quam hic extenduntur. Namque
%-----File: 025..png---
non solum ad functiones circulares sed pari successu ad
multas alias functiones transcendentes applicari possunt, e.~g.~ad
eas, quae ab integrali $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}$ pendent, praetereaque
etiam ad varia congruentiarum genera: sed quoniam de
illis functionibus transcendentibus amplum opus peculiare
paramus, de congruentiis autem in continuatione disquisitionum
arithmeticarum copiose tractabitur, hoc loco solas
functiones circulares considerare visum est. Imo has quoque,
quas summa generalitate amplecti liceret, per subsidia
in art.~sq.\ exponenda ad casum simplicissimum reducemus,
tum brevitati consulentes, tum ut principia plane nova
huius theoriae eo facilius intelligantur;«
\end{quote}

und es mag zur Würdigung der Bedeutung dieser Stelle
auf die Worte hingewiesen werden, welche lange vor der
Veröffentlichung des \Person{Gauss}'\-schen Nachlasses aus der Theorie
der elliptischen Functionen von \Emphasis{dem} Mathematiker gesprochen
worden, der auf dem andern grossen Gebiete der
Mathematik, welches ebenfalls \Person{Legendre} zu einer selbständigen
Disciplin gemacht und welches gleichfalls \Person{Gauss}
zu einer ungeahnten Höhe und Ausdehnung erhoben, ein
würdiger Nachfolger dieser beiden grossen Mathematiker
gewesen ist:

\begin{quote}
\selectlanguage{german}
»In der Einleitung zum letzten Abschnitte der \Titel{disquis.
arithm.}, welcher der Kreistheilung gewidmet ist, sagt \Person{Dirichlet}
in seiner Gedächtnissrede auf \Person{Jacobi}, hatte \Person{Gauss}
im Vorbeigehen bemerkt, dass dasselbe Princip, worauf
seine Kreistheilung beruht, auch auf die Theilung der Lemniscate
anwendbar sei; und in der That liegt das \Person{Gauss}'sche
Princip, nach welchem die Wurzeln der zu lösenden
Gleichung so in einen Cyclus zu bringen sind, dass jede
von der vorhergehenden auf dieselbe Weise abhängt, der
Abhandlung \Person{Abel}s über die Theilung der Lemniscate
wesentlich zu Grunde. Wenn aber für die Kreistheilung
%-----File: 026..png---
längst bekannte Eigenschaften der trigonometrischen Functionen
ge\-nüg\-ten, um die Wurzeln dem \Person{Gauss}'schen Princip
ge\-mäss zu ordnen, so war für den Fall der Lemniscate
zu einer ähn\-li\-chen Anordnung, ja um nur die Möglichkeit
einer solchen zu erkennen, eine Einsicht in die Natur der
Wurzeln erforderlich, welche nur das Princip der doppelten
Periodicität gewähren konnte. Die vorher erwähnte Aeusserung
ist also durch \Person{Abel}'s Abhandlung zu einem unwidersprechlichen
Zeugnisse geworden, dass \Person{Gauss} seiner
Zeit weit vorauseilend, schon zu Anfang des Jahrhunderts,
das Princip der doppelten Periode erkannt hatte. Dieses
Zeugniss ist jedoch erst durch die spätere Arbeit \Person{Abel}'s
bekannt geworden und thut daher seinem und \Person{Jacobi}'s
Anrecht an diese Erfindung keinen Abbruch«.
\end{quote}

Bei der folgenden Darstellung der in den Jahren~1826--29
von \Person{Abel} und \Person{Jacobi} in der Theorie der elliptischen
Transcendenten gemachten Entdeckungen, welche den
eigentlichen Gegenstand dieser Blätter bilden soll, werde
ich die historische Folge ziemlich streng festzuhalten suchen,
um einerseits den stetigen Fortschritt der beiden genannten
Mathematiker in der Bewältigung jener schwierigen analytischen
Aufgaben, welche, um mich einer Wendung \Person{Richelot}'s
zu bedienen, diesem Jahrhundert zur Lösung anheimfielen,
besser verfolgen, andererseits aber auch die
gegenseitigen Beziehungen der Arbeiten dieser beiden Mathematiker
zu einander klarer hervortreten lassen zu können.

Zuvor mag nur noch in Betreff der im Folgenden gebrauchten
Benennungen bemerkt werden, dass die Unterscheidung
zwischen elliptischen Integralen und elliptischen
Functionen, wie sie \Person{Jacobi} in die Analysis eingeführt,
und wie sie jetzt seit nunmehr~50 Jahren allgemein üblich
ist, gleich vom Beginne der nachfolgenden Darstellung an
festgehalten werden soll, wenn auch gerade in der Zeit, mit
welcher sich diese Blätter beschäftigen, eine Einigung der
%-----File: 027..png---
Mathematiker in der Wahl der Worte und Bezeichnungen
nicht erfolgt war. Wir wissen aus dem nunmehr ver\-öf\-fent\-lich\-ten
Briefwechsel zwischen \Person{Legendre} und \Person{Jacobi}, wie
entschieden ersterer sich dagegen sträubte, dass die Mathematiker
von der durch seine Schriften üblich gewordenen
Benennung und Bezeichnung abgingen;

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Je devrais borner là ma lettre,« schreibt \Person{Legendre}
am~16.~Juli 1829 nach Veröffentlichung der \Titel{Fundamenta
nova} an \Person{Jacobi}, »et ne vous point parler des changements
de nomenclature que vous proposez dans votre art.~17.\ pag.~31;
mais comme d'autres personnes pourraient vous représenter
qu'en cela vous avez fait une chose qui doit m'être
désagréable, je ne vois pas pourquoi je vous cacherais ce que
je pense de cette proposition. Je vous dirai donc franchement
que je n'approuve pas votre idée et que je ne vois
pas de quelle utilité elle peut être pour vous et pour la
science. La plus simple des fonctions elliptiques savoir
l'intégrale~$\int\frac{d\phi}{\sqrt{1-\kappa^2\sin^2\phi}}$
jouit de tant et de si belles propriétés,
considérée seule, elle est liée par de si beaux rapports
avec les deux autres fonctions dites de la seconde et
de la troisième espèce que l'ensemble de ces trois fonctions
forme un système complet auquel on pourrait donner un
autre nom que celui de fonctions elliptiques, mais dont
l'existence est indépendante de toute autre fonction. La
nomenclature méthodique que j'ai proposée des~1793 dans
mon mémoire sur les \Emphasis{transcendantes elliptiques} a été
adoptée généralement, vous l'avez trouvée établie; quelles sont
donc vos raisons pour vous écarter de l'usa\-ge général?
Vous faites schisme avec M.~\Person{Abel} et avec moi, vous faites
schisme avec vous-même, puisqu' après avoir appelé \Emphasis{fonctions
elliptiques} les sinus, cosinus et autres fonctions trigonométriques
de l'amplitude vous êtes encore obligé d'appeler
\Emphasis{fonctions de troisième espèce} celles que je désignes ous
%-----File: 028..png---
le même nom. N'est ce pas que veut dire le titre de l'art.~56 pag.~160? Pourquoi désignez-vous comme moi la fonction
de 3\up{e} espèce tantôt par~$\Pi(u, a)$, tantôt par~$\Pi(u,
a + K',\kappa')$? Quelle liaison y a-t-il entre ces fonctions et la
première qui n'est plus suivant vous qu'un argument de
fonction? Je vous laisse à expliquer toutes ces choses. Du
reste je vous fait part confidentiellement de ces observations
don't vous ferez tel usage que vous voudrez et auxquelles
je ne donnerai jamais aucune publicité. Il me suffira de
vous avoir témoigné ma surprise sur l'inconvenance et la
bizarrerie de votre idée; elle n'altérera en rien les sentimens
d'estime et d'affection que j'ai conçus pour vous et
dont je vous renouvelle l'assurance«.
\end{quote}

\Person{Jacobi}, auf der Reise nach Paris begriffen, sucht sich
in der Antwort vom~19.~August~1829 von Frankfurt aus
mit den Worten zu rechtfertigen:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Il me fallait absolument une dénomination pour les
fonctions sin am, cos am, etc., dont les propriétés répondent
parfaitement à celles des fonctions sin, cos, dites circulaires.
D'un autre côté, l'application importante qu'on fait de la
théorie des Fonctions Elliptiques an Calcul intégral rendait
nécessaires les distinctions et les dénominations que vous
avez introduites dans l'Analyse, et qui ont été accueillies
par tous les Géomètres. J'ai donc trouvé convenable d'appeler
les intégrales auxquelles vous donnez le nom de \Emphasis{Fonctions
Elliptiques de la première}, \Emphasis{seconde}, \Emphasis{troisième espèce},
\Emphasis{Intégrales Elliptiques de la première}, \Emphasis{seconde}, \Emphasis{troisième
espèce} et d'étendre ou d'attribuer de pré\-fé\-rence la
dénomination de Fonctions Elliptiques aux $\sin\am$, $\cos\am$,
$\Delta\am$, analogiquement comme on nomme Fonctions Circulaires
les sinus, cosinus, etc. Si cela vous déplaît, toute
autre dé\-no\-mi\-na\-tion me sera agréable. Dans tous les cas je
crois que nous deviendrons aisément d'accord sur cet objet«;
\end{quote}

aber trotzdem scheint sich \Person{Legendre} selbst nach der
%-----File: 029..png---
persönlichen Bekanntschaft mit \Person{Jacobi} bis zu seinem Tode
nicht mehr mit der Wahl der \Person{Jacobi}'schen Benennungen
befreundet zu haben; sein letzter Brief an denselben vom~30.~Juni~1832
enthält die Worte:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»J'aurais un double plaisir, si ces nouveaux résultats
étaient obtenues par le secours de nos fonctions elliptiques
qui vous appartiennent autant qu'à moi, quoique vous ne
vouliez pas exprimer la même chose par le même nom«.
\end{quote}

\begin{center}
  \rule{.2\textwidth}{.2pt}
\end{center}

Der Herausgeber der im Jahre 1839 erschienenen
\Titel{\oe{}uvres complètes} von \Person{Abel}, \Person{Holmboe} sagt in den notices
sur la vie de l'auteur:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»En juillet 1825 il sollicita auprès du gouvernement un
bénéfice de~600~Sp.\ par an pour continuer ses recherches
dans l'étranger, et notamment à Paris, pendant deux ans. On
lui accorda aussitôt sa demande, et le même été il partit
pour Berlin, suivi de quelques jeunes littérateurs et savants
Norvégiens« --
\end{quote}

und fügt im Avertissement des zweiten Bandes hinzu:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Tous les mémoires contenus dans ce volume out été
écrits avant que notre auteur commençât ses voyages, excepté
les mémoires~XV, XVI et~XXII, dont malheureusement
le premier n'est pas terminé«.
\end{quote}

Wir dürfen somit die aus dem Nachlasse von \Person{Abel}
im zweiten Bande der \Titel{\oe{}uvres complètes} veröffentlichten
Untersuchungen als die ersten bedeutenden Arbeiten über
diesen Gegenstand nach \Person{Legendre} betrachten, und gerade
diese werden uns am besten einen Ueberblick über die Ausdehnung
der von \Person{Abel} in der Theorie der elliptischen Transcendenten
schon zu der Zeit angestellten Untersuchungen
gewähren, in der er seine ersten Arbeiten veröffentlichte.

Die älteste Arbeit aus dem Nachlasse \Person{Abel}'s: \Titel{Propriétés
remarquables de la fonction~$y=\phi(x)$ déterminée par l'équation\hfill\break
$f(y)\,dy - dx\sqrt{(a-y)(a_1-y)\cdots(a_m-y)} = 0$, $f(y)$ étant}
%-----File: 030..png---
\Titel{une fonction quelconque de y, qui ne devient pas zéro ou infinie
lorsque~$y = a, a_1, a_2 \dots a_m$}, untersucht die Umkehrung
der Integralfunction
\[
\int\frac{f(y)\,dy}{(a-y)(a_1-y)\cdots(a_m-y)} = x,
\]
und zeigt, wenn auch durch Schlüsse, die in der kurzen
Aufzeichnung weder allgemein noch streng erscheinen, dass,
wenn~$y = \phi(x)$ gesetzt wird, $\phi(v + 2n\alpha + 2n_1\alpha_1 + \cdots
+ 2n_m\alpha_m) = \phi(v)$ sein müsste, wenn~$n + n_1 + n_2 + \cdots
+ n_m = 0$ und
\[
\alpha_r = \int^{\alpha_r} \frac{f(y)\,dy}{(a-y)(a_1-y)\cdots(a_m-y)}
\]
ist, und bestimmt die Nullen und Unendlichen dieser Function.
\Person{Abel} war somit schon im Sommer~1825, von dem Umkehrungsproblem
der hyperelliptischen Integrale ausgehend, zur
Feststellung der doppelten Periodicität der elliptischen
Functionen gelangt, scheint jedoch nicht zu der Erkenntniss
gekommen zu sein, die uns erst viel später von \Person{Jacobi}
eröffnet worden, dass es ein Umkehrungsproblem der
hyperelliptischen Integrale in dem oben definirten Sinne
überhaupt nicht giebt, weil eindeutige Functionen einer
Variabeln oder vieldeutige von endlicher Mehrdeutigkeit
mit mehr als zwei Perioden nicht existiren, und die obige
Gleichung in~$\phi$ eine Function definiren würde, welche
eine unendlich kleine Periode hat -- erst einer späteren
Zeit als der in diesen Blättern zu behandelnden gehört die
grosse und berühmte Arbeit \Person{Jacobi}'s an, in welcher der
Weg vorgezeichnet wird, auf dem das Umkehrungsproblem
der hyperelliptischen Integrale gelöst werden kann, wiewohl
die Inangriffnahme dieses schwierigen Problems, wie wir
später sehen werden, schon in die erste Zeit der wissenschaftlichen
Thätigkeit \Person{Jacobi}'s fällt.

Während sich die obige Arbeit \Person{Abel}'s ganz von dem
Gange und den Methoden der \Person{Legendre}'schen Untersuchungen
%-----File: 031..png---
entfernt und zeigt, dass \Person{Abel} durch Umkehrung
der Integralfunction der Theorie der elliptischen Transcendenten
völlig neue und umfassende analytische Ideen
zuzuführen im Begriff war, schliessen sich die folgenden,
noch vor dem Sommer~1825 niedergeschriebenen Arbeiten,
deren Resultate später zum Theil von \Person{Abel} selbst in
dem Journal: \Titel{Det kongelige norske Videnskabersselskabs
Skrifter}, Trondhjem~1827 veröffentlicht wurden, mehr den
Untersuchungen von \Person{Legendre} über die Integrale dritter
Gattung an. Aber man erkennt auch hier das Streben
\Person{Abel}'s, allgemeinere Integralklassen zu behandeln als die
der elliptischen Integrale; nachdem er in dem Aufsatze: »\Titel{Sur
une propriété remarquable d'une classe très étendue de fonctions
transcendantes}« für die Differentialgleichung~$0=sy + t \frac{dy}{dx}$,
in welcher~$s = f(x)$, $t = \phi(x)$, $y = \psi(x)$ gesetzt wird, bei
gehöriger Bestimmung der unteren Grenzen eine Beziehung
erwiesen, welche, wenn~$f(x) = \frac12 \phi'(x)$, also~$\psi(x) =
\frac{1}{\sqrt{\phi(x)}}$ gesetzt wird, in die Relation
\[
\begin{split}
\sqrt{\phi(a)} \int\frac{dx}{(x-a)\sqrt{\phi(x)}}
- \sqrt{\phi(x)} \int\frac{da}{(a-x)\sqrt{\phi(a)}}\\[0.5em]
= \sum \tfrac12 (n-m) \,\alpha_{m+n+2}
\int \frac{x^n\,dx}{\sqrt{\phi(x)}} \int\frac{a^m\,da}{\sqrt{\phi(a)}},
\end{split}
\]
also in den Satz von der Vertauschung des Argumentes
und des Parameters für hyperelliptische Integrale übergeht,
wendet er sich in einem »\Titel{Extension de la théorie précédente}«
betitelten Aufsatze zu der Untersuchung der analogen
Eigenschaft für die Integrale der linearen Differentialgleichung
\[
0 = sy + s_1 \frac{dy}{dx} + s_2 \frac{d^2y}{dx^2} + \dots
+ s_m \frac{d^my}{dx^m},
\]
und findet dieselbe in einer eleganten, symmetrisch geformten
Beziehung, aus der sich die obigen Formeln als specielle
Fälle herleiten lassen.
%-----File: 032..png---

Es kann kein Zweifel obwalten, dass \Person{Abel} schon im
Jahre~1825 nicht etwa nur an einer erweiterten und auf
neuer Grundlage aufgebauten Theorie der elliptischen Transcendenten
arbeitete, sondern dass sein Streben von vornherein,
wesentlich anders als es bei \Person{Jacobi} der Fall war,
darauf sich richtete, eine allgemeine Theorie der Integrale
algebraischer Differentiale zu entwickeln, wie zum Theil schon
die oben erwähnten Arbeiten, die sich auf jene allgemeineren
Integralfunctionen bezogen, erkennen liessen. Wir finden
nämlich noch in seinem Nachlasse aus jenem Jahre einen
Aufsatz, betitelt: \Titel{Sur la comparaison des fonctions transcendantes},
der die Ausdehnung des \Person{Euler}'schen Additionstheorems
für elliptische Integrale auf beliebige Integrale algebraischer
Differentiale zum Gegenstande hat. Wenn die
Gleichung
\[
0 = \alpha + \alpha_1y + \alpha_2y^2 + \dots + \alpha_my^m
\]
gegeben ist, in der die $\alpha$ ganze Functionen von $x$ sind, und
man stellt mit dieser Gleichung eine andere
\[
0 = q + q_1y + \dots + q_{m-1}y^{m-1}
\]
zusammen, in welcher die $q$ ganze Functionen von $x$ mit
den unbestimmten Coefficienten~$a, a_1, \dots$ bedeuten, so gilt
für die Lösungen~$x_1, x_2, \dots x_n$ der durch Elimination der
Grösse~$y$ erhaltenen Gleichung~$s = 0$ die Integralbeziehung
\[
\int^{x_1}f(x,y)\,dx + \int^{x_2}f(x,y)\,dx + \dots + \int^{x_n}f(x,y)\,dx = C + \varrho,
\]
worin $\varrho$ eine algebraisch-logarithmische Function der~$a$ bedeutet,
und \Person{Abel} fügt hinzu:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»il n'est pas difficile de se convaincre que, quel que soit
le nombre~$\mu$, on peut toujours faire en sorte que~$n - \mu$
devienne indépendant de~$\mu$«.
\end{quote}

Wir sehen hier das berühmt gewordene Theorem, das
wohl mit Recht als das Fundamentaltheorem der neueren
Analysis bezeichnet werden darf, schon in dem Jahre~1825
%-----File: 033..png---
genau in derselben Gestalt aufgezeichnet, wie es in den späteren
Ver\-öffent\-li\-chun\-gen \Person{Abel}'s stets wiederkehrt; auf eine
Besprechung des Inhaltes desselben und des Schicksales seiner
Ver\-öffent\-li\-chung werde ich später zurückzukommen Gelegenheit
haben.

Endlich finden wir noch aus der ersten Hälfte des
Jahres~1825 in dem Nachlasse von \Person{Abel} eine Arbeit, welche
im Keime die erst nach einigen Jahren im »\Titel{Précis d'une
théorie des fonctions elliptiques}« veröffentlichten Untersuchungen
enthält, zunächst jedoch wenigstens in dem
ausgeführten Theile als eine Vorarbeit zu der ersten von
\Person{Abel} im \Person{Crelle}'schen Journal veröffentlichten und gleich
nachher zu besprechenden Arbeit zu betrachten ist und die
Ueberschrift trägt: \Titel{Théorie des transcendantes elliptiques}.
Die Arbeit, welche sich eng an die \Person{Legendre}'schen
Entwicklungen an\-schliesst, beschäftigt sich zunächst mit
der Reduction des elliptischen Integrales
\[
\int \frac{P\,dx}{\sqrt{R}},
\]
worin $R = \alpha + \beta x + \gamma x^2 + \delta x^3 + \varepsilon x^4$,  auf die Grundformen
\[
\int \frac{dx}{\sqrt{R}},\quad
\int \frac{x\,dx}{\sqrt{R}},\quad
\int \frac{x^2\,dx}{\sqrt{R}},\quad
\int \frac{dx}{(x-a)\sqrt{R}},
\]
und mit der allgemeinsten zwischen elliptischen Integralen
bestehenden Relation, die in der Gestalt
\[
\begin{split}
k\int \frac{dx}{\sqrt{R}}
+k'\int \frac{x\,dx}{\sqrt{R}}
+L\int \frac{dx}{(x-a)\sqrt{R}}
+\dots
+L^{(\nu)}\int \frac{dx}{(x-a_\nu)\sqrt{R}}\\
=A \log \frac{P+Q\sqrt{R}}{P-Q\sqrt{R}}
+A' \log \frac{P'+Q'\sqrt{R}}{P'-Q'\sqrt{R}}
+\cdots
\end{split}
\]
gefunden wird. Dann wendet sich \Person{Abel} zu Untersuchungen,
die ihn in den verschiedensten Formen beständig beschäftigt
haben, und auf die wir in seinen späteren grossen Arbeiten
noch ausführlich werden zu\-rück\-kom\-men müssen, nämlich
zur Behandlung der Fragen von der Reduction elliptischer
Integrale auf algebraisch-logarithmische Functionen. Als
%-----File: 034..png---
noth\-wen\-dige Bedingung dafür, dass elliptische Integrale von
der Gestalt
\[
\int\frac{x^m + k^{(m-1)}x^{m-1} + \cdots + k'x + k}
  {x^m + l^{(m-1)}x^{m-1} + \cdots + l'x + l}
 \,\, \frac{dx}{\sqrt{R}}
\]
auf eine logarithmische Function der Form
\[
A \log \frac{P+Q\sqrt{R}}{P-Q\sqrt{R}}
\]
reducirbar sind, findet er, dass die Lösungen des Nenners
einer Gleichung von der Form
\[
P^2-Q^2R = 0
\]
genügen müssen; das Problem, alle Integrale von der Form
$\int\frac{(k+x)\,dx}{\sqrt{R}}$ zu finden, welche auf jenen logarithmischen
Ausdruck zurückführbar sind, wird mit der Auflösung einer
Gleichung der Form~$P^2-Q^2R=1$ in Verbindung gebracht,
und diese Auflösung wiederum mit der Periodicität
der Kettenbruchentwicklung von~$\sqrt{R}$ in Beziehung gesetzt.
Endlich wird auf

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»une relation remarquable qui existe entre plusieurs
intégrales de la forme
\[
\int\frac{dx}{\sqrt{R}},\quad
\int\frac{x\,dx}{\sqrt{R}},\quad
\int\frac{x^2\,dx}{\sqrt{R}},\quad
\int\frac{dx}{(x-a)\sqrt{R}}\quad\text{«}
\]
\end{quote}
hingewiesen, indem gezeigt wird, dass, wenn diese Integrale
auch im Allgemeinen irreductibel sind, nichts destoweniger
das Integral $\int\frac{dx}{(x-a)\sqrt{R}}$ zwischen passenden Grenzen genommen --
und zwar sind dies die Lösun\-gen der Gleichung~$R=0$
-- durch die drei anderen Integrale ausdrückbar ist.

Die weiteren dieser Arbeit angehörigen Abschnitte
zeigen deutlich, dass \Person{Abel} schon im Jahre~1825 damit umging,
eine systematische Theorie der elliptischen Transcendenten
zu veröffentlichen, indem er auch solche Abschnitte
in den Entwurf aufnahm, deren Inhalt er zum Theil nur
%-----File: 035..png---
durch die Ueberschrift andeutete, und für welche er lediglich
auf die \Titel{exercices} von \Person{Legendre} verwies.

Nachdem ich aus dem Nachlasse \Person{Abel}'s das Wesentlichste
von dem, was sich auf die Theorie der elliptischen
Transcendenten bezieht und dem Jahre~1825 angehört, hervorgehoben
habe, gehe ich dazu über, die grosse Reihe von
Untersuchungen zu besprechen, durch welche in den Jahren~1826--29
in wunderbarer, wechselseitiger Arbeit von \Person{Abel}
und \Person{Jacobi} der mathematischen Wissenschaft neue und
grosse Gebiete erobert wurden.

Die erste hierher gehörige Arbeit \Person{Abel}'s, ursprünglich in
französischer Sprache geschrieben, findet sich in's Deutsche
übersetzt unter dem Titel »\Titel{Ueber die Integration der
Differentialformel~$\frac{\varrho\,dx}{\sqrt{R}}$, wenn~$R$ und~$\varrho$
ganze Functionen sind}« im ersten Bande des \Person{Crelle}'schen Journals,
welcher im Jahre~1826 ausgegeben wurde. \Person{Abel} stellt sich in
dieser Arbeit die Aufgabe, alle Differentialien von der Form
$\frac{\varrho\,dx}{\sqrt{R}}$, wo~$\varrho$ und~$R$ ganze Functionen
von~$x$ sind, zu finden, deren
Integrale durch eine Function von der Form~$\log\bigl(\frac{p+q\sqrt{R}}
{p-q\sqrt{R}}\bigr)$ ausgedrückt werden können, indem er am Ende der Arbeit
hinzufügt, dass dieses Problem das allgemeinste für die Reduction
derartiger Integrale auf logarithmische Functionen
sei, da er einen Satz bewiesen habe, nach welchem, wenn
ein Integral~$\int\frac{\varrho\,dx}{\sqrt{R}}$ auf Logarithmen reducirbar
ist, der logarithmische Ausdruck stets in der
Form~$A\log\bigl(\frac{p+q\sqrt{R}}{p-q\sqrt{R}}\bigr)$
darstellbar sein müsse, worin~$A$ eine Constante, $p$ und~$q$
ganze Functionen von~$x$ bedeuten, ein Satz, welcher ein
specieller Fall eines später von \Person{Abel} in seinem »\Titel{précis}«
entwickelten sehr allgemeinen Theorems ist.

\Person{Abel} führt die Lösung der gestellten Aufgabe auf die
%-----File: 036..png---
Behandlung der unbestimmten Gleichung $p_1^2N-q^2R_1 = 1$
zurück, in welcher $R = N\cdot R_1$ ist, und findet, dass, wenn man
die Kettenbruchentwicklung
\[
  \sqrt{ \frac{R_1}{N} }
= t_1 + \frac{1}{ 2\mu   + \rlap{$
        \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{\raisebox{-2ex}{\ $\ddots$}} }$} }
\mspace{100 mu}
\]
aufstellt, die Auflösungen der Gleichung
\[
  p_1^2N - q^2R_1 = (-1)^{m-1} s_m,
\]
in welcher die Grösse $s$ in einer bestimmten Beziehung zu
den $\mu$-Grössen steht, durch den Kettenbruch gegeben sind:
\[
  \frac{p_1}{q}
= t_1 + \frac{1}{ 2\mu   + \rlap{$
        \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{\raisebox{-2ex}{\ $\ddots$}
                                 \raisebox{-2.5ex}{\!\!$
    {}+ \frac{1}{ 2\mu_{m-1} }.$}} }$} }
\mspace{150 mu}
\]
Soll nun $p_1^2 N-q^2 R_1 = a$, worin $a$ eine Constante bedeutet,
aufgelöst werden, so muss eine der $s$-Grössen constant
sein, und setzt man daher eine derselben, welche alle, wenn
$R$ ein Polynom $2n^\text{ten}$ Grades, vom $n-1^\text{ten}$ Grade sind,
gleich einer solchen constanten Grösse, so erhält man $n-1$
Bedingungen zwischen den Coefficienten von $R$; die Function
$\rho$ wird dann vom $n-1^\text{ten}$ Grade sein. Ist $N = 1$, also
\[
  \sqrt{R}
= r + \frac{1}{ 2\mu   + \rlap{$
      \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{\raisebox{-2ex}{\ $\ddots$}} }$} }
\mspace{100 mu}
\]
so lautet der merkwürdige von \Person{Abel} entwickelte Satz:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Lorsqu' il est possible de trouver pour $\rho$ une fonction
entière telle que
\[
  \int \frac{\rho\,dx}{\sqrt{R}}
= \log \left( \frac{y+\sqrt{R}}{y-\sqrt{R}} \right),
\]
la fraction continue résultant de $\sqrt{R}$ sera périodique, et aura
la forme suivante:
%-----File: 037..png---
\[
  \sqrt{R}
= r + \frac{1}{ 2\mu   + \rlap{$
      \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{\raisebox{-2ex}{$\ \ddots$}
                               \raisebox{-2.5ex}{$\!\!
  {}+ \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{$
      \frac{1}{ 2\mu   + \rlap{$
      \frac{1}{ 2r     + \rlap{$
      \frac{1}{ 2\mu   + \rlap{$
      \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{\raisebox{-2ex}{$\ \ddots$}} }
  $} }$} }$} }$} }$}} }$} }
\mspace{200 mu}
\]
et réciproquement, lorsque la fraction continue résultant de
$\sqrt R$ a cette forme, il est toujours possible de trouver pour
$\rho$ une fonction entière qui satisfait à l'équation
\[
  \int\frac{\rho\,dx}{\sqrt R}
= \log \left( \frac{y+\sqrt R}{y-\sqrt R} \right).
\]
La fonction $y$ est donnée par l'expression suivante:
\[
  y = r + \frac{1}{ 2\mu   + \rlap{$
          \frac{1}{ 2\mu_1 + \rlap{\raisebox{-2ex}{$\ \ddots$}
                                   \raisebox{-2.5ex}{$\!\!
      {}+ \frac{1}{ 2\mu   + \rlap{$
          \frac{1}{ 2r }$«.} }$}} }$} }
\mspace{150 mu}
\]
\end{quote}

Es mag noch hinzugefügt werden, dass, wie sich aus
späteren Aufzeichnungen ergiebt, \Person{Abel} sich ursprünglich
ein viel allgemeineres Problem als das in der eben erwähnten
Abhandlung behandelte gestellt hat, indem er überhaupt
die Bedingungen für die Reducirbarkeit der Integrale
algebraischer Differentiale auf Integrale niederer Ordnung
aufsuchte, ein Problem, dessen Lösung er freilich in dieser
Allgemeinheit trotz der mannigfachen und wunderbar reichen
Mittel, die er sich selbst schuf, schon in den ersten Anfängen
aufgeben musste.

Die eben besprochene Arbeit ist wahrscheinlich auf der
Reise nach Paris von \Person{Abel} persönlich in Berlin \Person{Crelle}
für sein eben gegründetes Journal überreicht worden, also,
wie sich auch schon aus der oben erwähnten Nachlassarbeit
%-----File: 038..png---
ergiebt, jedenfalls vor der Abreise aus Norwegen vollendet
worden.

Auf seiner Reise nach Berlin, Wien, Paris hat sich
\Person{Abel} anhaltend mit den verschiedensten und weitestgehenden
Studien, die Theorie der Transcendenten betreffend, beschäftigt.

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»\Person{Abel} me dit, sagt \Person{Holmboe}, que lors de son séjour
à Paris en 1826, il avait déjà achevé la partie essentielle
des principes qu'il avançait dans la suite sur ces fonctions,
et qu'il aurait bien voulu remettre la publication de ses
découvertes jusqu'à ce qu'il en eût pu composer une théorie
complète, si en attendant Mr.\ \Person{Jacobi} ne s'était mis sur
les rangs«.
\end{quote}

Ein an \Person{Crelle} aus Paris vom 9.~August 1826 gerichteter
Brief kommt wieder auf das allgemeine Additionstheorem
zurück, das, wie wir oben sahen, bereits vor der
Mitte des Jahres 1825 von \Person{Abel} gefunden und aufgezeichnet
war,

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»une propriété générale des fonctions dont la différentielle
est algébrique, consiste en ce que la somme d'un
nombre \Emphasis{quelconque} de fonctions peut être exprimée par
un nombre dé\-ter\-mi\-né des mêmes fonctions« ---
\end{quote}

und an \Person{Holmboe} schreibt \Person{Abel} über dasselbe Theorem
aus Paris am 24.~October 1826:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»je viens de finir un grand traité sur une certaine
classe de fonctions transcendantes pour le présenter à
l'institut, ce qui aura lieu lundi prochain. J'ose dire sans
ostentation que c'est un traité dont on sera satisfait. Je
suis curieux d'entendre l'opinion de l'institut là-dessus. Je
ne manquerai pas de t'en faire part«.
\end{quote}

\Person{Abel} hatte sich in der Bedeutung und Tragweite dieses
fundamentalen Satzes nicht getäuscht; doch unterblieb
in der Pariser Akademie die Beurtheilung dieser Arbeit,
so dass \Person{Abel} sich veranlasst sah, drei Jahre später,
%-----File: 039..png---
am 6.~Januar 1829, von Christiania aus an \Person{Crelle} eine
Arbeit unter dem Titel: \Titel{Démonstration d'une propriété
générale d'une certaine classe de fonctions transcendantes}
zu senden, die 1829 im 4.~Bande des Journals
für Mathematik veröffentlicht wurde, deren kurze Darstellung
genau der im Nachlass befindlichen oben berührten
Aufzeichnung entspricht und nur noch mit dem Zusatze
versehen ist:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Je me propose de développer dans une autre occasion
de nombreuses applications de ce théorème, qui jetteront
un grand jour sur la nature des fonctions transcendantes
dont il s'agit.«
\end{quote}

Leider ist von den Anwendungen dieses allgemeinen,
von \Person{Jacobi} mit dem Namen des \Person{Abel}'schen Theorems
bezeichneten Satzes nichts von \Person{Abel} veröffentlicht, auch bis
jetzt nichts darauf bezügliches aus seinem Nachlasse bekannt
geworden.

\Person{Abel} selbst ist in seinem späteren Briefwechsel mit
\Person{Legendre} nie auf die der Akademie eingereichte Arbeit
zurückgekommen; noch in einem vom 25.~November 1828
aus Christiania datirten Briefe an \Person{Legendre} sagt er, ohne
sich auf dieselbe zu beziehen:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Les fonctions elliptiques jouissent d'une certaine propriété
bien remarquable et que je crois nouvelle \dots Vous
verrez que rien n'est plus simple que d'établir cette propriété
générale. Elle m'a été fort utile dans mes recherches
sur les fonctions elliptiques. En effet j'ai fondé sur elle
toute la théorie de ces fonctions«.
\end{quote}

\Person{Jacobi} aber erkannte sofort nach der Veröffentlichung
im \Person{Crelle}'schen Journal die ganze Bedeutung dieses Fundamentaltheorems
der Analysis, und gab seiner Bewunderung
in einem aus Königsberg vom 14.~März 1829 datirten
Briefe an \Person{Legendre} in den Worten Ausdruck:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Quelle découverte de M.~\Person{Abel} que cette généralisation
%-----File: 040..png---
de l'intégrale d'\Person{Euler!} A-t-on jamais vu pareille chose!
Mais comment s'est-il fait que cette découverte, peut-être la
plus importante de ce qu'a fait dans les Mathé\-ma\-tiques le
siècle dans lequel nous vivons, étant communiquée à votre
Académie il y a deux ans, elle a pu échapper à l'attention
de vous et de vos confrères?«
\end{quote}

Diese Frage \Person{Jacobi}'s beantwortet \Person{Legendre} in einem
Schreiben vom 8.~April 1829 mit den Worten:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Je ne terminerai pas cette lettre sans répondre à l'article
de la vôtre qui concerne le beau mémoire de M.~\Person{Abel}
qui a été imprimé dans le cahier précédent du Journal de
\Person{Crelle}, et qui avait été présenté à l'académie par son auteur
dans les derniers mois de 1826. M.~\Person{Poisson} était alors
président de l'académie, les commissaires nommés pour
examiner le mémoire furent M.~\Person{Cauchy} et moi. Nous nous
aperçumes que le mémoire n'était presque pas lisible, il était
écrit en encre très-blanche, les caractères mal formés; il
fut convenu entre nous qu'on demanderait à l'auteur une
copie plus nette et plus facile à lire. Les choses en sont
restées là; M.~\Person{Cauchy} a gardé le manuscrit jusqu'ici sans
s'en occuper, l'auteur M.~\Person{Abel} paraît s'en être allé sans s'occuper
de ce que devenait son mémoire, il n'a pas fourni
de copie et il n'a pas été fait de rapport. Cependant j'ai
demandé à M.~\Person{Cauchy}, qu'il me remette le manuscrit qui
n'a jamais été entre mes mains, et je verrai ce qu'il y a à
faire, pour réparer, s'il est possible, le peu d'attention qu'il
a donné, à une production qui méritait sans doute un meilleur
sort«.
\end{quote}

Und \Person{Jacobi} sowohl wie \Person{Legendre} bedienten sich
sehr bald des \Person{Abel}'\-schen Theorems als eines besonders
wirksamen Hülfsmittels zur Erweiterung der Grenzen der
Analysis. Am 2.~Juli 1830 schreibt \Person{Jacobi} an \Person{Legendre}:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»En ce qui regarde mes propres occupations, j'ai entrepris
un bon nombre de recherches sur différentes matières
%-----File: 041..png---
et que je voudrais avoir finies avant de retourner aux
Fonctions Elliptiques et aux transcendantes d'un ordre supérieur
qui sont de la forme $\int\frac{dx}{\sqrt{a+a_1x+\dots+a_nx^n}}$. Je
crois entrevoir à présent que toutes ces transcendantes
jouissent des propriétés admirables et inattendues auxquelles
on peut être conduit par le théorème d'\Person{Abel}, qui
établit une relation entre plusieurs de ces transcendantes qui
répondent à différentes valeurs de $x$,«
\end{quote}

und nicht lange darauf beschäftigte sich auch \Person{Legendre},
wie das dritte Supplement zu seinem \Titel{traité} zeigt, eingehend
mit dem \Person{Abel}'schen Theoreme für hyperelliptische Integrale;

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»en travaillant pour mon propre compte, schreibt er
am 24.~März 1832 an \Person{Crelle}, j'ai éprouvé une grande
satisfaction, de rendre un éclatant hommage au génie de
Mr.~\Person{Abel}, en faisant sentir tout le mérite du beau théorème
dont l'invention lui et due, et auquel on peut appliquer
la qualification de \Emphasis{monumentum aere perennius}«.
\end{quote}

In der Besprechung dieses dritten Supplementes von
\Person{Legendre} im $8^\text{ten}$ Bande des \Person{Crelle}'schen Journals finden
sich noch die schönen und denkwürdigen Worte \Person{Jacobi}'s:

\begin{quote}
\selectlanguage{german}
»Wir halten es (das \Person{Abel}'sche Theorem), wie es in
einfacher Gestalt ohne Apparat von Calcul den tiefsten und
umfassendsten mathematischen Gedanken ausspricht, für die
grösste mathematische Entdeckung unserer Zeit, obgleich
erst eine künf\-ti\-ge, vielleicht späte grosse Arbeit ihre ganze
Bedeutung aufweisen kann«.
\end{quote}

\Person{Jacobi} selbst war es, der nach einer Reihe von
Jahren nachwies, wie das \Person{Abel}'sche Theorem die Wege
ebnete zur Erweiterung der Analysis in der Herstellung der
Umkehrungsfunctionen der höheren Integrale und der Behandlung
der vielfach periodischen Functionen mehrerer
%-----File: 042..png---
Variabeln, und somit die grossen analytischen Arbeiten von
\Person{Weierstrass} und \Person{Riemann} ermöglichte.

Im Jahre 1841 veröffentlichte \Person{Libri} in den Memoiren
der Pariser Akademie den von \Person{Abel} im Jahre 1826 derselben
überreichten Aufsatz. Nachdem darin ähnlich wie
in den anderen kurzen Darstellungen des berühmten Theorems
die Existenz der Gleichung
\[
  \int f(x_1, y_1)\,dx_1 + \int f(x_2, y_2)\,dx_2 + \dots
+ \int f(x_\mu, y_\mu)\,dx_\mu = v
\]
erwiesen, und eine doppelte Methode zur Bestimmung der
von den eingeführten Parametern $a$, $a'$, $a''$, \ldots\ algebraisch-logarithmisch
abhängigen Function $v$ entwickelt worden,
zeigt \Person{Abel}, dass sich eine beliebige Anzahl von gleichartigen
Integralen algebraischer Differentiale auf eine
feste Anzahl eben solcher Integrale zurückführen lässt, und
liefert Methoden zur Bestimmung dieser unveränderlichen
Zahl, ähnlich denen, welche den neueren algebraischen Untersuchungen
über die Entwicklung der Lösungen algebraischer
Gleichungen in unendliche Reihen zu Grunde liegen; endlich
geht \Person{Abel} noch zur Specialisirung seines Theorems für diejenigen
Integrale über, für welche die algebraische Irrationalität
unter dem Integral die Lösung einer binomischen
algebraischen Gleichung ist und leitet daraus die expliciten
Ausdrücke des Additionstheorems für die elliptischen und
hyperelliptischen Integrale her.

Nachdem ich zum Zwecke einer abschliessenden Darstellung
der Geschichte des \Person{Abel}'schen Theorems in der
Zeit um einige Jahre vorgegriffen, gehe ich nunmehr wieder
zu den anderweitigen, auf die Theorie der Transcendenten
bezüglichen Arbeiten, mit denen sich \Person{Abel} in Paris beschäftigte,
zurück, zu deren Charakterisirung ein Brief desselben
an \Person{Holmboe} aus Paris vom December 1826 dient:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»J'ai écrit un grand mémoire sur les fonctions elliptiques
qui renferme des choses assez curieuses et qui ne
%-----File: 043..png---
manquera pas, je m'en flatte, de fixer l'attention du monde
littéraire. Entre autres choses il traite de la division de
l'arc de la lemniscate. Ah, qu'il est magnifique! tu verras.
J'ai trouvé qu'avec le compas et la règle on peut diviser
la lemniscate en $2^n + 1$ parties égales, lorsque ce nombre
$2^n + 1$ est premier. La division dépend d'une équation du
degré $(2^n + 1)^2 - 1$; mais j'en ai trouvé la solution complète
à l'aide des racines carrées. Cela m'a fait pénétrer
en même temps le mystère qui a enveloppé la théorie de
Mr.~\Person{Gauss} sur la division de la circonférence du cercle. Je
vois clair comme le jour; comment il y est parvenu«;
\end{quote}

und ein zweiter Brief aus Paris vom 4.~December 1826
an \Person{Crelle}, der auf dieselben Untersuchungen hinweist; in
beiden Briefen spricht \Person{Abel} ausdrücklich die Meinung aus,
dass \Person{Gauss} auf demselben Wege wie er zu den Sätzen gelangt
ist, in deren Besitz zu sein dieser, wie wir oben gesehen,
in dem letzten Abschnitte seiner \Titel{disquisitiones arithmeticae}
behauptet -- und wir werden später durch \Person{Gauss}
selbst diese Ansicht bestätigt finden.

Endlich thut \Person{Abel} in einem auf der Rückreise in seine
Heimath aus Berlin vom 4.~März 1827 datirten Briefe an
\Person{Holmboe} noch einer grösseren Arbeit, die er vollendet hat,
in den Worten Erwähnung:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Mais voici le mémoire qui l'emporte sur tous les autres:
\Titel{Théorie des fonctions transcendantes en général et
celle des fonctions elliptiques en particulier}; mais
différons de t'en faire part jusqu'à mon retour«.
\end{quote}

Nun erst, nachdem \Person{Abel} wieder nach Norwegen zurückgekehrt,
beginnt der grossartige Wettkampf zwischen
ihm und \Person{Jacobi}, der erst seit ganz kurzer Zeit sich mit
der Theorie der elliptischen Transcendenten be\-schäf\-tig\-te.

In den »\Titel{Extraits de deux lettres de Mr.~\Person{Jacobi} de
l'Université de Koenigsberg à l'éditeur}« vom 13.~Juni und
2.~August 1827 veröffentlicht \Person{Jacobi} in der im September
%-----File: 044..png---
1827 ausgegebenen No.~123 der astronomischen Nachrichten
von \Person{Schumacher} seine erste Entdeckung in der Theorie
der Transformation der elliptischen Integrale.

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Les intégrales de la forme $ \int\frac{d\phi}{\sqrt{1-cc\sin\phi^2}}$ appartiennent
d'après la diversité du module $c$ à des transcendantes
diverses. On ne connait qu'un seul système de modules
qu'on peut réduire l'un à l'autre, et Mr.~\Person{Legendre} dans
ses Exercices dit même qu'il n'y avait que ce seul. Mais
en effet il-y-a autant de ces systèmes qu'il-y-a de nombres
premiers, c'est-à-dire il-y-a un nombre infini de ces systèmes
indépendans l'un de l'autre, dont chacun repond à un
nombre premier, et dont le système connu repond au nombre
premier~2.«
\end{quote}

\Person{Jacobi} spricht hier bereits ohne Beweis den allgemeinen
Satz von der Transformation der elliptischen Integrale
erster Gattung aus: $\sin\phi = \frac{u}{v}$ gesetzt, worin $u$ eine
gewisse unpaare Function $n^\text{ten}$ Grades von $\sin\psi$, $v$ eine gewisse
paare Function $n-1^\text{ten}$ Grades dieser Grösse bedeutet,
liefert die Beziehung
\[
   \int\frac{d\phi}{1-c^2sin^2\phi}
= m\int\frac{d\psi}{1-k^2sin^2\psi},
\]
was auch $n$ für eine unpaare Zahl sein mag, und hebt ferner
hervor, dass man jetzt $\sin \psi$ auf fast analoge Art durch
$\sin \theta$ ausdrücken kann, und durch Zusammensetzung der
beiden Integralgleichungen die Beziehung
\[
   \int\frac{d\phi  }{1-c^2sin^2\phi}
= n\int\frac{d\theta}{1-c^2sin^2\theta}
\]
erhält, in welcher sich $\sin \phi$ durch einen Bruch darstellt,
dessen Zähler die unpaaren Potenzen von $\sin \theta$ bis zur $n^\text{2\,ten}$,
der Nenner die paaren bis zur $n^2-1^\text{ten}$ enthält.

Dieser ohne Beweis und im ersten Briefe auch noch
ohne Angabe des allgemeinen analytischen Transformationsausdruckes
%-----File: 045..png---
mitgetheilte Satz ist weiter für die Transformation
dritten und fünften Grades wirklich ausgeführt und
mit der Multiplication und Division für die Zahlen 3 und
5 in Verbindung gesetzt, von der \Person{Jacobi} sagt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»ainsi je donne ici pour la première fois la solution
algébrique de l'équation du $9^\text{ième}$ degré, dont la trisection
de notre transcendante dépend«.
\end{quote}

Die Transformation dritten Grades war jedoch inzwischen
von \Person{Legendre} in dem im Januar 1827 ausgegebenen
\Titel{traité des fonctions elliptiques}, wie schon oben hervorgehoben,
veröffentlicht worden, ohne dass \Person{Jacobi} zur Zeit
der Veröffentlichung seiner Arbeit noch davon Kenntniss
hatte. Als \Person{Legendre} diese ersten Briefe \Person{Jacobi}'s an
\Person{Schumacher} kennen lernte, war er durch die Existenz
einer Transformation fünften Grades in hohem Grade überrascht
und konnte sich mit dem Gedanken von der Existenz
einer zu einem beliebigen Grade gehörigen algebraischen
Transformation so wenig vertraut machen, dass er bestimmt
glaubte, wie er dies in dem aus Paris vom 30.~November
1827 an \Person{Jacobi} gerichteten Schreiben ausdrücklich erklärt,
dass derselbe durch eine Induction irregeführt worden, wiewohl
\Person{Jacobi} in dem zugleich veröffentlichten Briefe vom
2.~August 1827 auch den allgemeinen analytischen Transformationsausdruck,
wenn auch ohne Beweis, wirklich hinstellte
und zwar in der Form
\begin{gather*}
  \tg \left( 45^\circ-\frac{\psi}{2} \right)
= \frac{ \tg \left( \dfrac{\phi'   - \phi}{2} \right) }
       { \tg \left( \dfrac{\phi'   + \phi}{2} \right) }
  \frac{ \tg \left( \dfrac{\phi''' + \phi}{2} \right) }
       { \tg \left( \dfrac{\phi''' - \phi}{2} \right) } \dotsm
\\[1ex]
  \frac{ \tg \left( \dfrac{\phi^{(p-2)} \pm \phi}{2} \right) }
       { \tg \left( \dfrac{\phi^{(p-2)} \mp \phi}{2} \right) }
  \tg \left( 45^\circ \mp \frac{\phi}{2} \right)
\end{gather*}
angab, worin die Amplituden $\phi^{(m)}$ durch die Gleichung
%-----File: 046..png---
\[
  F(k, \phi^{(m)}) = \frac{m}{p}  F(k, 90^\circ)
\]
definirt waren, wenn $p$ eine beliebige unpaare Zahl bedeutet.

Aber \Person{Legendre} hatte nicht ganz Unrecht, an der
Strenge der Schlüsse \Person{Jacobi}'s zu zweifeln, ja sogar er
hatte sich zu schnell durch einen gleich näher zu besprechenden
Brief desselben davon überzeugen lassen, dass die
allgemeinen Transformationsausdrücke auch wirklich auf
strengem Wege hergeleitet und verificirt worden waren;
denn auf die von \Person{Legendre} an \Person{Jacobi} gerichtete Bitte,
ihm die leitenden Ideen anzugeben, die ihn einerseits zu
dem Satze geführt, dass jedem Transformationsgrade auch
immer eine rationale Transformation entspricht, andererseits
ihm die analytischen Ausdrücke für eben diese Transformation
geliefert haben, antwortet \Person{Jacobi} in einem aus
Königsberg vom 12.~April 1828 datirten Briefe in einer
für die Geschichte der elliptischen Functionen interessanten
und denkwürdigen Stelle:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Vous auriez voulu que j'eusse donné la chaîne des
idées qui m'a conduit à mes théorèmes. Cependant la route
que j'ai suivie n'est pas susceptible de rigueur % original: riguéur
géométrique.
La chose étant trouvée, on pourra y substituer une autre
sur laquelle on aurait pu y parvenir rigoureusement. Ce
n'est donc que pour vous, Monsieur, que j'ajoute le suivant:
La première chose que j'avais trouvée (dans le mars 1827),
c'était l'équation  $T = V \frac{dU}{dx} - U \frac{dV}{dx}$;  de là je reconnus
que, pour un nombre $n$ quelconque, la transformation était
un problème d'Analyse algébrique \Emphasis{dé\-ter\-miné}, le nombre des
constantes arbitraires égalant toujours celui des conditions.
Au moyen des coefficients indéterminés, je formai les transformations
relatives aux nombres 3 et 5. L'équation du
quatrième degré à laquelle me mena la première ayant
presque la même forme que celle qui sert à la trisection,
%-----File: 047..png---
j'y soupçonnais quelque rapport. Par un tâtonnement heureux,
je remarquais dans ces deux cas l'autre transformation
complémentaire pour la multiplication. Là j'écrivis ma première
lettre à Mr.~\Person{Schumacher}, la méthode étant générale
et vérifiée par des exemples. Depuis, examinant plus de
proche les deux substitutions $z = \frac{ay+by^3}{1+cy^2}$, $y = \frac{a'x+b'x^3}{1+c'x^2}$
sous la forme présentée dans ma première lettre, je vis
qu'étant mis $x = \sin\am \frac{2K}{3}$, $z$ devra s'évanouir, et comme,
dans ladite forme, $\frac{b}{a}$ était positif, j'en conclus que $y$ devra
s'évanouir aussi. De cette manière je trouvai par induction
la résolution en facteurs, laquelle étant confirmée par des
exemples, je donnai le théorème général dans ma seconde
lettre à Mr.~\Person{Schumacher}. Ensuite, ayant remarqué l'équation
$\sin\am (i\xi, \kappa) = i \tg\am (\xi, \kappa')$, j'en tirai la transformation
de $\kappa'$ en $\lambda'$. J'avais donc deux transformations différentes,
l'une de $\kappa$ dans un module plus petit $\lambda$, l'autre de $\kappa'$ dans
un module plus grand $\lambda'$. De là je fis la conjecture qu'en
échangeant entre eux $\kappa'$ et $\lambda$, $\kappa$ et $\lambda'$, on aurait l'expression
analytique de la transformation complémentaire. Tout étant
confirmé par des exemples, j'eus la hardiesse de vous adresser
une première lettre, qui a été accueillie de vous avec tant de
candeur. Les démonstrations n'out été trouvées que ci-après«;
\end{quote}

und ebenso lehrreich und interessant ist die Antwort
\Person{Legendre}'s, die er in einem Briefe vom 16.~Juni 1828 von
Paris aus \Person{Jacobi} giebt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Je n'ai pu que toucher très-légèrement dans ma dernière
lettre ce que j'avais à vous dire sur la communication
pleine de franchise, que vous m'avez faite de la filiation des
idées qui vous ont conduit à vos belles découvertes sur les
fonctions elliptiques, je vois que nous avons couru tous deux
des dangers, \Emphasis{vous} en annonçant des découvertes qui n'étaient
pas encore revêtues du sceau d'une démonstration rigoureuse,
%-----File: 048..png---
et \Emphasis{moi} en leur donnant publiquement et sans restriction mon
approbation tout entière. Nous n'avons pas à nous repentir
ni l'un ni l'autre de ce que nous avons fait. D'ailleurs nous
avions chacun nos raisons de nous conduire ainsi; je ne
dirai rien des vôtres, quant à moi je voyais très-clairement
que des résultats tels que ceux que vous aviez obtenus, ne
pouvaient être l'effet ni du hasard, ni d'une induction trompeuse,
mais bien d'une théorie profonde et appuyée sur la
nature des choses \dots«.
\end{quote}

Der oben erwähnte von \Person{Jacobi} am 5.~August 1827 an
Legendre gerichtete Brief, der mit den schönen Worten
beginnt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Monsieur, un jeune Géomètre ose vous présenter quelques
découvertes faites dans la théorie des Fonctions Elliptiques,
auxquelles il a été conduit par l'étude assidue de vos
beaux écrits. C'est à vous, Monsieur, que cette partie brillante
de l'Analyse doit le haut degré de perfectionnement
auquel elle a été portée, et ce n'est qu'en marchant sur les
vestiges d'un si grand maître, que les Géomètres pourront
parvenir à la pousser au delà des bornes qui lui ont été
prescrites jusqu'ici. C'est donc à vous que je dois offrir
ce qui suit comme un juste tribut d'admiration et de reconnaissance«,
\end{quote}

hatte jedoch \Person{Legendre} -- wenn auch, wie wir eben
gesehen haben, nicht ganz mit Recht -- davon überzeugt,
dass \Person{Jacobi} durch strenge Analyse zu seinem Theorem geführt
worden, und liess denselben am 5.~November 1827
mit grosser Wärme der französischen Akademie Bericht erstatten
über die von \Person{Jacobi} gemachten Entdeckungen.

Wenn $p$ eine beliebige ungerade Zahl ist, führt \Person{Jacobi}
in diesem Briefe aus, so kann man durch eine Substitution
\[
x = \frac{ z \Bigl( A + A'z^2 + \dotsb
                  + A^{\frac{p^2-1}{2}} z^{p^2-1} \Bigr) }
         { B + B'z^2 + \dotsb + B^{\frac{p^2-1}{2} }z^{p^2-1} }
\]
%-----File: 049..png---
zur Gleichung gelangen
\[
    \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-\kappa^2 x^2)}}
= p \frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-\kappa^2 z^2)}},
\]
und diese Substitution kann wiederum ersetzt werden durch
\begin{align*}
  x &= \frac{ y \Bigl( a + a'y^2 + \dotsb
                     + a^{\frac{p-1}{2}} y^{p-1} \Bigr) }
            { b + b'y^2 + \dotsb + b^{\frac{p-1}{2}} y^{p-1} },
\\[1ex]
  y &= \frac{ z \Bigl( \alpha + \alpha'z^2 + \dotsb
                     + \alpha^{\frac{p-1}{2}} z^{p-1} \Bigr) }
            { \beta + \beta'z^2 + \dotsb + \beta^{\frac{p-1}2} z^{p-1} },
\end{align*}
welche den Differentialbeziehungen
\begin{gather*}
  \frac{   dx}{ \sqrt{(1-x^2) (1- \kappa^2 x^2)} }
= \frac{M\,dy}{ \sqrt{(1-y^2) (1-\lambda^2 y^2)} },
\\[1ex]
              \frac{dy}{ \sqrt{(1-y^2) (1-\lambda^2 y^2)} }
= \frac{p}{M} \frac{dz}{ \sqrt{(1-z^2) (1- \kappa^2 z^2)} }
\end{gather*}
zugehören; dadurch ist aber die Existenz einer unendlichen
Anzahl von Modulnketten erwiesen. Nach Ausführung der
in den beiden früheren Briefen an \Person{Schumacher} veröffentlichten
Formeln für die primäre und supplementäre Transformation
bemerkt \Person{Jacobi}:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Il n'y a que très-peu de temps que ces recherches
ont pris naissances. Cependant elles ne sont pas les seules
entreprises en Allemagne sur le même objet. M.~\Person{Gauss},
ayant appris de celles-ci, m'a fait dire qu'il avait développé
déjà en 1808 les cas de 3~sections, 5~sections et de 7~sections,
et trouvé en même temps les nouvelles échelles de modules
qui s'y rapportent. Cette nouvelle, à ce qui me paraît, est
bien intéressante«.
\end{quote}

Durch diese Mittheilung veranlasst, hat sich \Person{Legendre},
der für \Person{Gauss} schon in Folge von Prioritätsstreitigkeiten
mit demselben nicht günstig gestimmt war, in der am
30.~November 1827 an \Person{Jacobi} gerichteten Antwort zu den
Worten hinreissen lassen:
%-----File: 050..png---

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Comment se fait-il que M.~\Person{Gauss} ait osé vous faire
dire que la plupart de vos théorèmes lui étaient connus et
qu'il en avait fait la découverte dès 1808? Cet excès d'impudence
n'est pas croyable de la part d'un homme, qui a
assez de mérite personnel pour n'avoir pas besoin de s'approprier
les découvertes des autres \dots«;
\end{quote}

und doch beruhten nicht bloss die Angaben von \Person{Gauss},
wie sich jetzt aus seinem Nachlasse unzweifelhaft ergiebt,
auf Wahrheit, \Person{Gauss} war vielmehr schon seit langer Zeit
allen bisher auf diesem Gebiete gemachten Entdeckungen
weit vorausgeeilt. \Person{Jacobi} nimmt auch in einem späteren
Briefe an \Person{Legendre} vom 12.~April 1828 \Person{Gauss} gegen
die Vorwürfe \Person{Legendre}'s in Schutz, freilich ohne die Grösse
der Entdeckungen, die \Person{Gauss} schon dreissig Jahre zuvor
gemacht, auch nur zu ahnen:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Quant à M.~\Person{Gauss}, il n'a rien encore publié sur les
Fonctions Elliptiques, mais il est certain, qu'il a eu de jolies
choses. S'il a été prévenu et peut-être surpassé, c'est une
juste peine de ce qu'il a répandu un voile mystique sur
ses travaux. Je ne le connais pas personnellement, ayant
étudié la philologie à Berlin, où il n'y a pas des géomètres
de distinction«.
\end{quote}

Aber \Person{Legendre} kann nicht glauben, dass man Entdeckungen
von einer solchen Tragweite unveröffentlicht lässt,
wie es \Person{Gauss} leider in Wirklichkeit gethan;

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»si M.~\Person{Gauss}, heisst es in einem Briefe \Person{Legendre}'s
an \Person{Jacobi} vom 14.~April 1828, était tombé sur de pareilles
découvertes, qui surpassent à mes yeux, tout ce qui a
été fait jusqu'ici en Analyse, bien sûrement il se serait empressé
de les publier«.
\end{quote}

Wir werden nachher Gelegenheit haben, auf die grossartigen
und unvergleichlichen Arbeiten von \Person{Gauss} in dieser
Disciplin zurückzukommen und näher auszuführen, wie ein
%-----File: 051..png---
grosser Theil der Entdeckungen in der Theorie der elliptischen
Transcendenten, die in den nächsten Jahren von \Person{Abel}
und \Person{Jacobi} gemacht wurden, von \Person{Gauss} seit langer Zeit
bereits vorweg genommen war.

Zugleich mit den eben besprochenen Arbeiten \Person{Jacobis}
erschien im September 1827 im zweiten Heft des
2.~Bandes des \Person{Crelle}'schen Journals der erste Theil der
»\Titel{Recherches sur les fonctions elliptiques}«
von \Person{Abel}, der bei
Abfassung der beiden Theile dieses Memoirs von den vorher
behandelten Untersuchungen \Person{Jacobi}'s, wie er selbst
in einem Zusatze zu dem am 12.~Februar 1828 \Person{Crelle} übersandten
zweiten Theile dieses Aufsatzes erklärt, noch keine
Kenntniss genommen:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Avant terminé le mémoire précédent sur les fonctions
elliptiques, une note sur les mêmes fonctions par Mr.\ C.~G.~J.
\Person{Jacobi}, inserée dans le No.~123 année 1827 du recueil de Mr.\
\Person{Schumacher},
qui a pour titre »\Titel{Astronomische Nachrichten}«,
m'est venu sous les yeux. Mr.~\Person{Jacobi} donne le théorème
suivant: \dots\ Ce théorème élégant, que M.~\Person{Jacobi} donne
sans démonstration est contenu comme cas particulier dans
la formule~(227) du mémoire précédent, et au fond il est
le même que celui de la formule~(270). Nous allons démontrer
cela«.
\end{quote}

Nach allen Vorarbeiten \Person{Abel}'s, die aus seinem Nachlasse
bekannt geworden, nach dem Charakter der einen, im
ersten Bande des \Person{Crelle}'schen Journals veröffentlichten Arbeit,
nach der Form sowie dem Inhalte der \Titel{recherches} kann
es nicht wohl zweifelhaft sein, dass \Person{Abel} schon seit fast
zwei Jahren in dem Besitze einer allgemeinen und umfassenden
Theorie der elliptischen Transcendenten war, und
dass ihm daher jedenfalls in sehr vielen Punkten, wie auch
\Person{Jacobi} anerkannte, die Priorität der Entdeckung wird zugesprochen
werden müssen, wenn auch wiederum \Person{Jacobi}
das Verdienst einer neuen und \Emphasis{selbständigen} Construction der
%-----File: 052..png---
Theorie der elliptischen Functionen nie wird aberkannt werden
können.

Wir haben es in den \Titel{recherches} mit einer grossen, in
sich vollendeten Theorie der elliptischen Transcendenten zu
thun. Nachdem die Umkehrungsfunction des Integrales
\[
  \alpha = \int_0^x \frac{dx}{\sqrt{ (1-c^2x^2) (1+e^2x^2) }},\
  x = \phi(\alpha)
\]
definirt, das Additionstheorem dieser Function und der beiden
zu\-ge\-hö\-rigen
\[
  f(\alpha) = \sqrt{1 - c^2 \phi^2(\alpha)},\
  F(\alpha) = \sqrt{1 + e^2 \phi^2(\alpha)}
\]
entwickelt worden, die doppelte Periodicität festgestellt, und
die Nullen und Unendlichen dieser Functionen bestimmt
sind, geht \Person{Abel} zur Entwicklung der Multiplicationsformeln
für $\phi(n\alpha)$, $f(n\alpha)$, $F(n\alpha)$ in rationale Functionen von $\phi(\alpha)$,
$f(\alpha)$, $F(\alpha)$ über.

Der Behandlung des Multiplicationsproblems folgt die
Lö\-sung der schwierigen Aufgabe der Division der elliptischen
Functionen. \Person{Abel} weist die algebraische Ausdrückbarkeit
der Functionen
$\phi \left( \frac{\alpha}{2n+1} \right)$,
$f    \left( \frac{\alpha}{2n+1} \right)$,
$F    \left( \frac{\alpha}{2n+1} \right)$
als Functionen von $\phi(\alpha)$, $f(\alpha)$, $F(\alpha)$ in der Form nach:
\begin{gather*}
  \phi(\beta) = \frac{1}{2n+1} \left\{ \phi_1(\beta)
+ \sqrt[2n+1]{ C_1 + \sqrt{ C_1^2 - D_1^{2n+1} }} + \dots \right.
\\[1ex]
+ \left. \sqrt[2n+1]{ C_{2n} + \sqrt{ C_{2n}^2 - D_{2n}^{2n+1} }}\ \right\},
\end{gather*}
wenn
\begin{gather*}
  \phi_1(\beta) = \phi(2n+1)\beta + \frac{1}{2n+1} \left\{
\sqrt[2n+1]{ A_1 + \sqrt{ A_1^2-B_1^{2n+1} }} + \dotsb \right.
\\[1ex]
+ \left. \sqrt[2n+1]{ A_{2n} + \sqrt{ A_{2n}^2 - B_{2n}^{2n+1} }}\ \right\},
\end{gather*}
und die Grössen $C$, $D$ rationale Functionen von $\phi_1(\beta)$, die
Grössen $A$, $B$ ebensolche Functionen von $\phi(2n+1)\beta$ sind.

Für diese schöne und folgenreiche Entdeckung schreibt
%-----File: 053..png---
\Person{Jacobi} die Priorität unbedingt \Person{Abel} zu; auf eine Anfrage
\Person{Legendre}'s, die auf einem Missverständniss einer Mittheilung
\Person{Jacobi}'s beruhte, antwortet letzterer am 14.~März 1829
aus Königsberg:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Vous supposez que j'ai trouvé des moyens à exprimer
al\-géb\-riquement les fonctions trigonométriques des amplitudes
que vous désignez par $\alpha_m$, en ajoutant que sans cela
ma formule contiendrait des coefficients que je ne pourrai
déterminer. Mais, Monsieur, ce que vous désirez est une
chose \Emphasis{tout à fait impossible} dans le cas général, et qui ne
s'exécute que pour des valeurs spéciales du module. Ma
formule qui donne l'expression algébrique de $\sin\am(u)$ au
moyen de $\sin\am(nu)$ suppose connue la section de la fonction
entière. C'est ainsi qu'on savait résoudre algébriquement
depuis plus d'un siècle les équations qui se rapportent à
la division d'un arc de cercle, toutefois en supposant connue
celle de la circonférence entière, cette dernière n'étant donnée
généralement que dans ces derniers temps par les travaux
de M.~\Person{Gauss} $\ldots\,\ldots$ Vous voyez donc Monsieur, que
M.~\Person{Abel} a prouvé ce théorème important, comme vous le
nommez, dans son premier
\Titel{Mémoire sur les Fonctions
Elliptiques}, quoiqu'il n'y ait pas traité de la transformation,
et qu'il ne paraît pas même avoir songé, du temps qu'il
le composa, que ses formules et ses théorèmes trouveront
une pareille application. Quant à moi, je n'ai pas trouvé
nécessaire de reproduire cette démonstration dans les écrits
que j'ai publiés jusqu'ici sur cette matière, car il me reste
trop à faire pour ne pas épargner mon temps le plus que
possible«.
\end{quote}

Die in den oben angegebenen algebraischen Ausdrücken
vorkommenden Grössen
\[
  \phi \left( \frac{m\omega  }{2n+1} \right) ,\ \
  \phi \left( \frac{m\varpi i}{2n+1} \right)
\]
stellen sich als Lösungen einer unmittelbar aus der Divisionsgleichung
%-----File: 054..png---
her\-vorgehenden Gleichung $(2n+1)^2 - 1^\text{ten}$
Grades dar, und die Auflösung dieser Gleichung, welche in
transcendenter Form als
Lösungen die $\phi$-Functionen der
getheilten Perioden hat, führt \Person{Abel} vermöge allgemeiner
Principien, die er für die Theorie der algebraischen Gleichungen
entwickelt hat, auf die Auflösung \Emphasis{einer} Gleichung
$2n + 2^\text{ten}$ Grades und von $2n + 2$ Gleichungen $n^\text{ten}$ Grades
zurück. Die Gleichungen $n^\text{ten}$ Grades sind algebraisch auflösbar
nach Methoden, die \Person{Gauss} für die Kreis\-thei\-lung entwickelt
hat, die Gleichung $2n+2^\text{ten}$ Grades ist es jedoch
im Allgemeinen nicht, mit Ausnahme von speciellen Fällen
wie $e = c$, welche die Sätze von der Theilung der Lemniscate
durch Zirkel und Lineal liefern, die im zweiten Theile
der \Titel{recherches} eingehend behandelt werden. Auch den Beweis
oder eigentlich die Behauptung von der algebraischen
Unauflösbarkeit dieser Gleichung will \Person{Jacobi} ganz \Person{Abel}'s
Verdienst zugeschrieben wissen; in seinem vom 14.~März
1829 datirten Briefe an \Person{Legendre} schreibt er:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»J'ai été convaincu, et M.~\Person{Abel} l'a confirmé, qu'il
n'est pas possible de résoudre algébriquement ces équations
du degré $n+1$; aussi, comme M.~\Person{Abel} sait établir des
critères nécessaires et suffisants pour qu'une équation algébrique
peut être résolue, il pourra sans doute prouver
cela avec toute la rigueur analytique. Quant aux cas spéciaux,
comme, M.~\Person{Abel} a promis en plusieurs lieux d'en
traiter, je ne me suis pas encore occupé beaucoup de cet
objet, sans doute très intéressant $\ldots\,\ldots$ Le module transformé
ou, ce qui revient an même, le régulateur qui y répond
étant supposé connu, il faut encore résoudre une
équation du degré $\frac{n-1}{2}$ pour parvenir aux quantités $\sin^2\am 2p\omega$,
ou à la section de la fonction entière. Donc vous n'aviez
eu qu'à résoudre une équation du second degré dans le cas
de $n = 5$. M.~\Person{Abel} a prouvé que la méthode de M.~\Person{Gauss}
%-----File: 055..png---
s'applique presque mot à mot à la résolution de ces équations,
de sorte que ce ne sont que les équations aux modules
qu'on ne sait pas résoudre algébriquement«.
\end{quote}

Von der Lösung des Multiplications- und Divisionsproblems
ausgehend, wird $\phi(2n+1)\beta$ von \Person{Abel} als Quotient
von zwei Doppelproducten dargestellt, deren Factoren
linear aus $\phi(\beta)$ zusammengesetzt sind,

»il faut remonter aux formules analytiques concernant
la multiplication, données la première fois par M.~\Person{Abel}«,
sagt \Person{Jacobi} in einem Briefe an \Person{Legendre} vom 12.~April 1828,

und daraus, indem $\beta = \frac{\alpha}{2n+1}$ und $n=\infty$ gesetzt wird,
die Entwicklung der Umkehrungsfunction des elliptischen
Integrales erster Gattung $\phi(\alpha)$ Doppelproducte und
Doppelsummen hergeleitet, deren Factoren linear in $\alpha$ sind,
somit ein eindeutiger analytischer Ausdruck für die bisher
nur durch ihre Eigenschaften definirte Function gefunden;
die Zurückführung der Doppelproducte und Doppelsummen
auf einfache Producte und einfache Summen, die Product-Entwicklung
und Partialbruch-Zerlegung der elliptischen
Functionen erfolgt sodann ohne weitere Schwierigkeiten.

Mit der Veröffentlichung der \Titel{recherches} greift \Person{Abel}
plötzlich weit über die durch \Person{Jacobi} bekannt gewordenen
Untersuchungen in der Theorie der elliptischen Transcendenten
hinaus, wenn auch in diesem ersten Theile der Arbeit
das Transformationsproblem der elliptischen Integrale
noch keine Berücksichtigung gefunden. \Person{Gauss} schreibt am
30.~Mai 1828 an \Person{Schumacher} über diese Arbeit \Person{Abel}'s:

\begin{quote}
\selectlanguage{german}
»die, Ihnen gesagt, mir von meinen eignen Untersuchungen
wohl $\nicefrac13$ vorweggenommen hat, und mit diesen
zum Theil selbst bis auf die gewählten bezeichnenden Buchstaben
übereinstimmt«,
\end{quote}

und \Person{Crelle} theilt am 18.~Mai 1828 \Person{Abel} mit:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Voici ce que m'écrit Mr.~\Person{Gauss} de Goettingue que
%-----File: 056..png---
j'avais également prié de m'envoyer quelque chose sur les
fonctions elliptiques dont il s'occupe, comme j'ai appris,
plus de 30 ans. »»D'autres occupations m'empêchent pour le
moment de rédiger ces recherches. Mr.~\Person{Abel} m'a prévenu
au moins d'un tiers. Il vient d'enfiler précisément la même
route dont je suis sorti en 1798. Ainsi je ne m'étonne
nullement de ce que, pour la majeure partie, il en soit
venu aux mêmes résultats. Comme d'ailleurs dans sa déduction
il a mis taut de sagacité de pénétration et d'élégance,
je me crois par cela même dispensé de la rédaction
de mes propres recherches««.
\end{quote}

Derselbe Band von \Person{Crelle}'s Journal, der den ersten
Theil der \Titel{recherches} brachte, enthält noch in dem am Ende
des Jahres 1827 ausgegebenen dritten Hefte unter dem
Titel: \Titel{Aufgaben und Lehrsätze}
kurz ohne weitere Angabe
des Beweises resp.\ der Auflösungsmethode das Theorem:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Si l'équation différentielle séparée
\[
  \frac{a\,dx}{\sqrt{ \alpha + \beta x + \gamma x^2 + \delta x^3 + \epsilon x^4 }}
= \frac{   dy}{\sqrt{ \alpha + \beta y + \gamma y^2 + \delta y^3 + \epsilon y^4 }},
\]
où $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\epsilon$, $a$ sont des quantités \Emphasis{réelles}, est algébriquement
intégrable, il faut nécessairement, que la quantité $a$
soit un nombre \Emphasis{rationnel}«,
\end{quote}

und das Problem:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Trouver une intégrale \Emphasis{algébrique} des deux équations
sé\-pa\-rées
\[
  \frac{dx\sqrt 3}{\sqrt{ 3+3x^2+x^4 }}
= \frac{dy       }{\sqrt{ 3-3y^2+y^4 }},\quad
  \frac{dx\sqrt 3}{\sqrt{ 1+ x^2+x^4 }}
= \frac{dy       }{\sqrt{ 1- y^2+y^4 }}.\text{«}
\]
\end{quote}

Das erwähnte Theorem zeigt deutlich, dass, wenn auch
\Person{Abel} in dem ersten Theile der \Titel{recherches} des Transformationstheorems
noch keine Erwähnung thut, er, wie er
später selbst sagt, doch zur Zeit schon im Besitz nicht
bloss der Theorie der von \Person{Jacobi} behandelten rationalen,
sondern der allgemeinen algebraischen Transformation gewesen,
während die gestellte Aufgabe die Kenntniss eines
%-----File: 057..png---
Satzes voraussetzt, den \Person{Abel} in einer weit späteren Arbeit
veröffentlicht, und ihre Lösung sich auf Periodenbetrachtungen
stützt, welche wiederum die allgemeine Transformationstheorie
in sich schliessen.

Noch bevor \Person{Jacobi} die vorher besprochene grosse, im
September 1827 erschienene Arbeit \Person{Abel}'s gelesen hatte,
veröffentlichte er aus Königsberg am 18.~November 1827
unter dem Titel: \Titel{demonstratio theorematis ad theoriam functionum
ellipticarum spectantis}
in Nr.~127 von \Person{Schumacher}'s
\Titel{astron.\ Nachrichten}, welche im December 1827 ausgegeben
wurde, einen Beweis des in dem zweiten Briefe an \Person{Schumacher}
ausgesprochenen allgemeinen rationalen Transformationstheorems
mit den einleitenden Worten:

\begin{quote}
»Proprietates functionum ellipticarum quasdam in
Nr.~123 Astr.~N. tradidi, quae novae atque attentione geometrarum
non indignae videbantur. Disquisitiones, quibus
illae originem debent, exinde ulterius continuatae sunt, egregiamque,
ni fallor, amplificationem theoriae ab \Person{Legendre}
datae praebent. Cum autem tempus, quo tractaui, hasce
disquisitiones complectenti, finem imponere licebit, definire
nondum queo; geometris non ingratum fore spero, si fragmentum
harum disquisitionum, demonstrationem scilicet
theorematis, in doctrina de transformatione functionum ellipticarum
fundamentalis, hic breviter exponam. Multifariis
idem modis variari posse, quisquis, perlecta demonstratione,
facile intelliget«.
\end{quote}

Der Beweis beruhte, wie wir wissen, auf der Abzählung
der Constanten in der rationalen Substitution $y = \frac{U}{V}$ und der
Aufstellung der Bedingungen, welche dadurch entstehen, dass
diese Substitution die Gleichung
\begin{gather*}
  \frac{dy}{\sqrt{ (1-\alpha y)(1-\alpha'y)(1-\alpha''y)(1-\alpha'''y) }} \\
= \frac{dx}{M\sqrt{ (1-\beta x)(1-\beta'x)(1-\beta''x)(1-\beta'''x) }}
\end{gather*}
%-----File: 058..png---
nach sich ziehen soll; indem \Person{Jacobi}, unabhängig von
\Person{Abel}, die eindeutige Umkehrungsfunction des elliptischen
Integrals einführt, die $\phi$-Function von \Person{Abel}, die \Person{Jacobi}
als sin am bezeichnet, spricht er, wie er es genau ebenso
später in den Fundamenten thut, das Theorem aus, dass
der Differentialgleichung
\[
    \frac{dx}{\sqrt{ (1-x^2)(1- \kappa^2x^2) }}
= M \frac{dy}{\sqrt{ (1-y^2)(1-\lambda^2y^2) }}
\]
durch den Ausdruck
\[
1-y = \frac{ (1\mp x)
            \raisebox{-1ex}{$ \left( \raisebox{1ex}{$
              1\pm \dfrac{x}{\sin\co\am \dfrac{2K}{2n+1}} $} \right)^2 $} \!\!\dotsm
            \raisebox{-1ex}{$ \left( \raisebox{1ex}{$
              1 - \dfrac{x}{\sin\co\am \dfrac{2nK}{2n+1}} $} \right)^2 $} }
           { \left( 1-\kappa^2 \sin^2 \am \dfrac{2K}{2n+1} x^2 \right) \dotsm
             \left( 1-\kappa^2 \sin^2 \am \dfrac{2nK}{2n+1}\cdot x^2 \right) }
\]
genügt wird und leitet daraus den Werth für $y$ ab, mit
Hinzufügung der Worte:

\begin{quote}
»Theorema hoc generaliter valet, non tamen omnes
problematis solutiones amplectitur. Ulteriores vero huius
argumenti disquisitiones in tractatu supra nominato reperientur«;
\end{quote}

zugleich wird aber auch der analytische Ausdruck für
$\sqrt[4]\lambda$ durch $\sqrt[4]\kappa$ gegeben, über den sich \Person{Legendre} in seinem
ersten Supplemente zu dem \Titel{traité} folgendermassen äusserte:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Lorsque deux fonctions de cette nature peuvent être
exprimées l'une par l'autre, on peut supposer qu'elles appartiennent
à la même échelle, et alors il existe entre leurs
modules une équation très simple, quoique sous forme transcendante,
laquelle tient lieu d'une équation algébrique, qui
est en général d'une recherche très difficile. Cette équation
transcendante peut être regardée comme l'un des théorèmes
les plus beaux et les plus féconds de cette branche d'analyse«.
\end{quote}

Der eben erwähnte, ohne Angabe der Ideenverbindung
aufgestellte analytische Ausdruck von $1-y$, für den nur
nachträglich die Verification gegeben wird, veranlasste \Person{Legendre}
%-----File: 059..png---
in dem aus Paris vom 9.~Februar 1828 datirten
Briefe mit Recht zu den Worten:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Vous verrez dans ma note que cette belle démonstration
m'aurait paru plus satisfaisante, si vous y eussiez
joint quelques détails sur la série des idées qui vous ont
conduit à la valeur supposée pour $1-y$; vous pourrez
avoir égard à mon observation dans les autres parties de
vos recherches qui vous restent à publier«;
\end{quote}

doch erkannte er die grosse und fundamentale Bedeutung
der \Person{Jacobi}'schen Arbeit so sehr an, dass er in einer
\Titel{Note sur les nouvelles propriétés des fonctions elliptiques découvertes
par M.~Jacobi}
(Paris le 6~Février 1828) in der im
Februar 1828 ausgegebenen Nr.~130 der \Person{Schumacher}'schen
\Titel{astr.~Nachrichten} die von \Person{Jacobi} in demselben Journal
veröffentlichten Transformationsarbeiten ausführlich bespricht;
auch hier wieder, wie wiederholt schon früher, kann
er seine Verwunderung darüber nicht unterdrücken, dass
Transformationen beliebigen Grades ein elliptisches Integral
in ein gleichgestaltetes verwandeln:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»ce qui multipliéra d'une manière encore plus prodigieuse
les transformations de la fonction $F$, véritable Protée
analytique«.
\end{quote}

Aber bei aller Bewunderung für die \Person{Jacobi}'schen Entdeckungen
wiederholt sich auch die wohl berechtigte Klage
über die Undurchsichtigkeit des \Person{Jacobi}'schen Beweises:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Ici on doit regretter que l'auteur remplisse la tâche
qu'il s'est imposée par une sorte de divination, sans nous
mettre dans le secret des idées dont la filiation l'a amené
progressivement à la forme que doit avoir $1-y$ pour
satisfaire aux conditions du problème. Au reste cette suppression
des idées intermédiaires s'explique assez naturellement
par la nécessité de ne pas donner trop d'étendue à
une démonstration, qui devoit être insérée dans un journal
scientifique; et il est à croire que quand l'auteur donnera
%-----File: 060..png---
un libre cours au développement de ses idées, dans un
ouvrage composé ad hoc, il rétablira les intermédiaires dont
l'absence se fait remarquer«,
\end{quote}

und er fügt am Schlusse eine schon früher in einem
Briefe an \Person{Jacobi} angedeutete Verification der Transformationsformel
hinzu.

Merkwürdig ist es, dass \Person{Legendre} in diesem Aufsatze
mit keinem Worte der Untersuchungen \Person{Abel}'s in der Theorie
der elliptischen Functionen Erwähnung thut, zu deren Kenntniss
er, wie wir aus dem vom 9.~Februar 1828 an \Person{Jacobi}
gerichteten Briefe ersehen, bereits gekommen war;

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»J'avais déjà connaissance du beau travail de M.~\Person{Abel}
inséré dans le Journal de \Person{Crelle}. Mais vous m'avez fait
beaucoup de plaisir de m'en donner une analyse dans votre
langage, qui est plus rapproché du mien«.
\end{quote}

Es ist eine eigenthümliche Thatsache, dass die so klar
durchdachten, gut geschriebenen und übersichtlich geordneten
Arbeiten \Person{Abel}'s im Allgemeinen der mathematischen
Welt weniger zugänglich erschienen als die \Person{Jacobi}'s; in
einem vom 16.~Juni 1828 datirten Briefe an \Person{Jacobi} sagt
\Person{Legendre}:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Je trouve comme vous que ces résultats qui sont
fort in\-tér\-es\-sants, ont été présentés par leur jeune et
ingénieux auteur, d'une manière fort méthodique, mais
un peu embrouillée; je ne vois pas par exemple, pourquoi
il s'est si fort appesanti sur les propriétés des fonctions
qu'il désigne par $f$ et $F$; sans doute il aurait pu atteindre
son but sans le secours de ces fonctions«;
\end{quote}

und noch unumwundener spricht \Person{Legendre} sein Unbehagen
bei der Lectüre \Person{Abel}'scher Arbeiten in einem am
8.~April 1829 an \Person{Jacobi} gerichteten Schreiben in den
Worten aus:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»car votre manière d'écrire est plus claire pour moi que
celle de M.~\Person{Abel}, qui en général ne me paraît pas suffisamment
%-----File: 061..png---
développée et laisse au lecteur beaucoup de difficultés
à résoudre«.
\end{quote}

Die von \Person{Legendre} so gern angenommene Erläuterung
der grossen Arbeit \Person{Abel}'s, des ersten Theiles der \Titel{recherches},
giebt \Person{Jacobi} in einem aus Königsberg am 12.~Januar 1828
an \Person{Legendre} gerichteten Briefe und zeigt das grosse Interesse,
welches \Person{Jacobi} dieser Arbeit entgegenbringt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Depuis ma dernière lettre, des recherches de la plus
grande importance ont été publiées sur les Fonctions Elliptiques
de la part d'un jeune géomètre, qui peut-être vous
sera connu personnellement. C'est la première partie d'un
Mémoire de M.~\Person{Abel}, à Christiania, qu'on m'a dit avoir été
à Paris il y a deux ou trois ans, inséré dans le second
cahier du second volume du \Titel{Journal des Mathématiques
pures et appliquées} publié à Berlin par M.~\Person{Crelle}. La
continuation doit avoir été publiée dans ces jours dans le
cahier troisième dudit Journal; mais elle ne m'est parvenue
pas encore. Comme je suppose, que ce Mémoire ne vous
soit pas encore connu, je vous en veux raconter les détails
les plus intéressants. Mais, pour plus de commodité, j'avancerai
le mode de notation dont je me sers ordinairement«;
\end{quote}

und dieses Interesse wurde auch von andern Mathematikern
getheilt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Depuis quelque temps, schreibt \Person{Crelle} am 18.~Mai 1828
an \Person{Abel}, on commence à apprécier vos ouvrages de plus en
plus. Mr.~\Person{Fuss} m'écrit de St.~Pétersbourg qu'il en a été ravi«,
\end{quote}

und \Person{Legendre} schreibt nicht lange darauf am 12.~August
1828 in der Vorrede zu dem ersten Supplemente\footnote
  {Ich gehe auf das erste Supplement des \Titel{traité} in diesen
  Blättern nicht näher ein, da es im Wesentlichen nur eine Reproduction
  der von \Person{Jacobi} veröffentlichten Arbeiten enthält, bisweilen
  mit Abänderungen in einzelnen Beweismethoden, die auch von \Person{Jacobi}
  später, so z.~B.\ in Nr.~22 der \Titel{fundamenta}, benutzt worden, im
  Uebrigen nur mit Zusätzen, welche sich auf die Umgestaltung der
  Formeln zum Zwecke bequemerer numerischer Berechnung beziehen.}
seines \Titel{traité}:
%-----File: 062..png---

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Une connaissance approfondie des plus belles méthodes
de l'analyse et l'heureux emploi de plusieurs idées fort
in\-gén\-ieuses se font remarquer dans les productions de ces
deux jeunes géomètres. La science a pris dans leurs mains
un tel essor, qu'il est à croire que les résultats qu'ils ont
déjà obtenus seront suivis d'un grand nombre d'autres non
moins intéressans.«
\end{quote}

\Person{Jacobi} hebt in jenem Briefe besonders die Lösung des
Divisionsproblems hervor, durch welche \Person{Abel} die Theilung
einer beliebigen elliptischen Function auf die Theilung der
ganzen Function $K$ zurückführt, bemerkt jedoch dass sich
die algebraische Auflösung der Divisionsgleichung einfacher
als es bei \Person{Abel} geschehen, so darstellen lässt, dass man,
um hier die \Person{Abel}'schen Zeichen zu gebrauchen, die Beziehung
entwickelt
\[
  \sum_{m=-n}^{+n} \sum_{\mu=-n}^{+n}
  \phi \biggl( \beta + \frac{2m\omega+2\mu\varpi i}{2n+1} \biggr) p^m q^\mu
= \sqrt[2n+1]{ A+Bf(2n+1)\beta F(2n+1)\beta },
\]
in welcher $p$ und $q$ $2n+1^\text{te}$ Einheitswurzeln, $A$ und $B$ ganze
Functionen von $\phi(2n +1)\beta$ sind, und durch Variation der
Grössen $p$ und $q$ die Posten der linken Seite durch die rechten
Seiten der so erhaltenen Gleichungen ausdrückt -- ein Resultat,
das \Person{Jacobi} grade in dieser Form in einer aus Königsberg
vom 25.~Januar 1828 an \Person{Crelle} gerichteten Zuschrift im
1.~Hefte des 3.~Bandes von dessen Journal veröffentlicht,
und auf dessen Beweis auch \Person{Abel} in einer vom 27.~August
1828 aus Christiania datirten und im 2.~Hefte des 4.~Bandes
des \Person{Crelle}'schen Journals veröffentlichten Arbeit, \Titel{Théorèmes
sur les fonctions elliptiques},
näher eingeht, indem er
den allgemeinen zwischen elliptischen Functionen mit getheilten
Perioden gültigen Satz zu Grunde legt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Soit $\psi(\theta)$ une fonction entière quelconque de la quantité
$\phi(\theta + m\alpha + \mu\beta)$ qui reste la même en changeant $\theta$
en $\theta + \alpha$ et en $\theta + \beta\bigl(\alpha = \frac{2\omega}{2n+1},\ \beta = \frac{2\varpi i}{2n+1}\bigr)$. Soit $\nu$ le
%-----File: 063..png---
plus grand exposant de la quantité  $\phi(\theta)$ dans la fonction
$\psi(\theta)$, on aura toujours $\psi(\theta) = p + qf(2n+1)\theta$. $F(2n+1)\theta$,
où $p$ et $q$ sont deux fonctions \Emphasis{entières} de $\phi(2n+1)\theta$,
la première du degré $\nu$ et la seconde du degré $\nu-2$«,
\end{quote}

und ähnliche Sätze allgemeiner Natur.

\Person{Jacobi} kommt auf die algebraische Auflösbarkeit der
Divisionsgleichungen und zugleich auf die der Transformationsgleichungen
in einem aus Königsberg vom 18.~Januar
1829 datirten und an \Person{Legendre} gerichteten, sehr interessanten
Schreiben in den folgenden Zeilen wieder zurück:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Après que vous aviez résolu le premier l'équation du
neuv\-ième degré, de laquelle dépend la trisection des Fonctions
Elliptiques, nous remarquâmes en même temps, Mr.~\Person{Abel}
et moi, que l'on peut généralement réduire l'équation algébrique
du degré $n^2$, de laquelle dépend la $n^\text{ième}$ section, à
deux équations du $n^\text{ième}$ degré seulement. Ce résultat était
une conséquence de la remarque que j'avais faite que l'on
peut parvenir à la multiplication en appliquant à la Fonction
Elliptique deux transformations l'une après l'autre. En lisant
avec attention le premier
\Titel{Mémoire de M.~Abel sur les
Fonctions Elliptiques}, on reconnaît aisément qu'il a effectivement
suivi la même route sans cependant soupçonner,
lors du temps qu'il composa son Mémoire, que c'était le
\Emphasis{medium} des transformations par lequel il passa. Soit
$z=\sin\am nu$, $x=\sin\am u$, $n$ étant un nombre impaire
quelconque, si l'on a
\begin{align*}
(1)\quad  z &
= \frac{ b'y + b'''y^3 + \dotsb + b^{(n)}  y^n     }
       { b   + b'' y^2 + \dotsb + b^{(n-1)}y^{n-1} },
\\[1ex]
(2)\quad  y &
= \frac{ a'x + a'''x^3 + \dotsb + a^{(n)}  x^n     }
       { a   + a'' x^2 + \dotsb + a^{(n-1)}x^{n-1} },
\end{align*}
$y$ étant le \Emphasis{sinus amplitude} de la fonction transformée, il
faut, d'après ce que je viens de dire, pour avoir $x$ en $z$,
exprimer en premier lieu $x$ en $y$, en résolvant algébriquement
l'équation~(2); puis, en résolvant encore l'équation~(1),
%-----File: 064..png---
il faut exprimer par $z$ toutes les fonctions de $y$ qui se trouveront
sous les radicaux. Or comme on a toujours plusieurs
transformations qui répondent à un même nombre $n$,
on trouvera de cette manière différentes formules algébriques
pour la $n$\textsuperscript{ième} section d'après les différentes transformations
par lesquelles on est passé à la multiplication. On pouvait
cependant soupçonner qu'il y avait une manière d'exprimer
$x$ en $z$ plus simple et qui n'était qu'unique. J'ai fait connaître
cette forme la plus simple sous laquelle on peut présenter
les expressions algébriques pour la $n$\textsuperscript{ième} section dans une
petite \Titel{Addition} faite au premier \Titel{Mémoire de M.~Abel sur
les Fonctions Elliptiques}, et laquelle se trouve dans le 3\ieme{}
vol.\ du Journal de M.~\Person{Crelle}. Elle est fondée sur une formule
très-remarquable, et don't je veux vous parier en peu
de mots«,
\end{quote}
worauf die Mittheilung derjenigen Methode folgt, die datirt
aus Königsberg den 11.~Januar 1829 von \Person{Jacobi} im 2.~Hefte
des 4.~Bandes des Journals für Mathematik in der:
\Titel{Suite des notices sur les fonctions elliptiques} veröffentlicht
wurde, und vermittels welcher $\sin\am(u, \kappa)$ durch
$\sin\am(\frac{u}{M},\lambda)$,
und $\sin\am(\frac{u}{M}, \lambda)$ durch $\sin\am(nu, \kappa)$ ausgedrückt
wird; aus der algebraischen Auflösbarkeit der
Transformationsgleichung leitet \Person{Jacobi} die Divisionsformeln
in der oben erwähnten Gestalt ab, die in einfachster Form
das Theorem aussprechen, für welches \Person{Legendre} in seiner
Antwort an \Person{Jacobi} vom 9.~Februar 1829 in den Worten:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Je n'aurais jamais imaginé qu'il fût possible de résoudre
ainsi explicitement une équation du degré $nn$, et de
former d'une manière practicable les différents termes de
la formule«
\end{quote}
seine Bewunderung ausspricht; und grade auf diese letzteren
Resultate legte auch \Person{Jacobi} einen sehr grossen Werth:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Mais le but principal de ce premier \Titel{Mémoire}, sagt er
%-----File: 065..png---
in einem nach Beendigung des Druckes der \Titel{fundamenta} am
23.~Mai 1829 an \Person{Legendre} gerichteten Briefe, est de préparer
tout ce qui est nécessaire, pour que je puisse établir
dans les \Titel{Mémoires} suivants, avec toute la rigueur nécessaire
et en partant des premiers éléments, cette théorie des Transformations
irrationelles ou inverses et de la section des
Fonctions Elliptiques, qui me paraît être le comble de toutes
mes recherches sur cette matière«.
\end{quote}

Nach dieser kurzen Abschweifung, welche die weitere
Entwickelung des Divisionsproblems zum Gegenstande hatte,
kehre ich wieder zu jenem interessanten Briefe \Person{Jacobi}'s
vom 12.~Januar 1828 zurück, welcher zum Theil der Darstellung
der \Person{Abel}'schen Entdeckungen gewidmet war, in
welchem wir aber auch eigne, für den weiteren Ausbau der
Theorie der elliptischen Functionen überaus wichtige Resultate
finden. \Person{Jacobi} spricht in demselben bereits von
den allgemeinen algebraischen Modulargleichungen zwischen
den vierten Wurzeln der Integralmoduln, jenen Gleichungen,
die eine Brücke bildeten zwischen der Theorie der elliptischen
Transcendenten einerseits, der Algebra und Zahlentheorie
andererseits, hebt dort schon den Satz hervor, dass
die zu einem beliebigen Transformationsgrade gehörigen
Modulargleichungen ein und derselben Differentialgleichung
dritter Ordnung genügen »un résultat curieux qui d'abord
m'a frappé un peu« und fügt endlich noch die Bemerkung
hinzu:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Aussi j'ai trouvé que, dans certains cas, on retombe
sur le même module $\ldots$ Ce sera dans tous les cas où le
nombre $n$ est la somme de deux carrés, $n=a^2+4b^2$, $\kappa$ étant $\sqrt{\frac{1}{2}}$;
la Fonction Elliptique se trouve alors multipliée par $a\pm 2bi\dots$
C'est un genre de multiplication qui n'a pas son analogie
dans les arcs de cercle«;
\end{quote}

wie \Person{Jacobi} zu diesen letzteren Sätzen gelangt, wie er dieselben
unmittelbar aus den Principien von \Person{Abel} hergeleitet,
%-----File: 066..png---
werden wir gleich nachher bei einer noch zu besprechenden
Arbeit desselben darlegen.

Während nun \Person{Jacobi} die Natur der doppelperiodischen
Functionen tiefer zu ergründen und, wie wir nachher sehen
werden, durch Einführung der Fundamentalfunction der elliptischen
Transcendenten, der späteren $\theta$-Function, der ganzen
Theorie eine neue Basis zu schaffen bemüht ist, vollendet
\Person{Abel} am 12.~Februar 1828 den zweiten Theil seiner
\Titel{recherches}, der sogleich im 2.~Hefte des dritten Bandes des
\Person{Crelle}'schen Journals veröffentlicht wurde. Es handelt
sich vor Allem um die algebraische Ausdrückbarkeit der
Function $\phi\left(\frac{\omega}{n}\right)$ für gewisse Beziehungen von $e$ zu $c$:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»C'est ce qui arrive toujours, si $\phi\left(\frac{\tilde\omega i}{n}\right)$ peut être exprimé
rationellement par $\phi\left(\frac{\omega}{n}\right)$ et des quantités connues,
ce qui a lieu pour une infinité de valeurs de $\frac ce$. Dans tous
ces cas l'équation $P_n = 0$ peut être résolue par une seule
et même méthode uniforme, qui est applicable à une infinité
d'autres équations de tous les degrés. J'exposerai cette
méthode dans un mémoire séparé, et je me contenterai pour
le moment à considérer le cas le plus simple, et qui résulte
de la supposition $e = c = 1$ et $n = 4\nu + 1$«.
\end{quote}

Nachdem für diesen Fall die algebraische Auflösbarkeit
der Gleichung für die durch $4\nu+1$ und $2^\nu$ getheilten Perioden
gezeigt ist, wird der schöne Satz ausgesprochen:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»La valeur de la fonction $\phi\left(\frac{m\omega}{n}\right)$ peut être exprimée
par \Emphasis{des racines carrées} toutes les fois que n est un nombre
de la forme $2^n$ ou $1 + 2^n$, le dernier nombre étant premier,
ou même un produit de plusieurs nombres de ces deux formes«,
\end{quote}

und daraus geschlossen:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Donc dans ce cas on peut construire les points de
division à l'aide de la règle et du compas seulement, ou ce
%-----File: 067..png---
qui revient an même, par l'intersection de lignes droites
et de cercles«.
\end{quote}

Ohne noch Kenntniss von den in \Person{Schumacher}'s
\Titel{astr.~Nachrichten} veröffentlichten Arbeiten \Person{Jacobi}'s über
die Transformation zu haben, wie \Person{Abel} am Schlusse des
\Titel{Memoirs} ausdrücklich hervorhebt, und was auch \Person{Jacobi} in
einem an \Person{Legendre} gerichteten Briefe vom 9.~September
1828 in den Worten:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Vous y aurez vu que M.~\Person{Abel} a trouvé de son coté
la théorie générale de la Transformation, dans la publication
de laquelle je l'ai prévenu de six mois. Le second
\Titel{Mémoire}, inséré dans le Recueil de M.~\Person{Schumacher}, No.~138,
contient une \Emphasis{déduction} rigoureuse des théorèmes de transformation,
dont le défaut s'était fait sentir dans mes annonces
sur le même objet. Elle est au-dessus de mes éloges
comme elle est au-dessus de mes propres travaux«
\end{quote}

nochmals anzuerkennen sich veranlasst sieht, geht \Person{Abel}
zur Bearbeitung der allgemeinen rationalen Transformation
der elliptischen Integrale über:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»M.~\Person{Legendre} a fait voir dans ses \Titel{exercices de calc.\
int.}, comment l'intégrale
$\int \frac{d\phi}{\sqrt{ 1-c^2 sin^2\phi }}$,
qui, en faisant
$\sin\phi = x$, se change en
$\int \frac{dx}{\sqrt{ (1-x^2)(1-c^2x^2) }}$,
peut être
transformée en d'autres intégrales de la même forme avec
un module différent. Je suis parvenu à généraliser cette
théorie par le théorème suivant: Si l'on désigne par $\alpha$ la
quantité $\frac{(m+\mu)\omega + (m-\mu)\varpi i}{2n+1}$, où au moins l'un des deux
nombres entiers $m$ et $\mu$ est premier avec $2n+1$, on aura
\[
     \int \frac{dy}{\sqrt{ (1-c_1^2y^2)(1+e_1^2y^2) }}
= ±a \int \frac{dx}{\sqrt{ (1-c^2  x^2)(1+e^2  x^2) }},
\]
où \hfill$
  y = f\cdot x
      \dfrac{ (\phi^2\alpha-x^2) \dotsm (\phi^2n\alpha-x^2) }
            { (1+e^2c^2\phi^2 \alpha x^2) \dotsm
              (1+e^2c^2\phi^2n\alpha x^2)                   }
,\,\ldots$«; \hfill\quad
\end{quote}

er liefert die Ausdrücke für den transformirten Integralmodul
%-----File: 068..png---
in den verschiedensten Formen und bestimmt die
Anzahl der jedem Grade entsprechenden Transformationen.

Zugleich lässt er aber auch die umfassende Bedeutung
der rationalen Transformation für das Problem der allgemeinsten
Beziehungen zwischen elliptischen Integralen in
den folgenden Worten erkennen:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Pour avoir une théorie complète de la transformation
des fonctions elliptiques, il faudrait connaître toutes les
transformations possibles; or je suis parvenu à démontrer,
qu'on les obtient toutes en combinant celle de M.~\Person{Legendre}
avec celles, contenues dans la formule ci-dessus, \Emphasis{même en
cherchant la relation la plus générale entre un
nombre quelconque de fonctions elliptiques}. Ce
théorème dont les conséquences embrassent presque toute
la théorie des fonctions elliptiques, m'a conduit à un très
grand nombre de belles propriétés de ces fonctions,«
\end{quote}

und weist so auf eine Reihe von Untersuchungen hin,
die er erst in einer späteren Arbeit näher ausführt, und welche
weit über die in dieser Richtung von \Person{Jacobi} angestellten
Untersuchungen hinausgehen. Aber auch nach einer anderen
Richtung hin erweiterte er die Theorie der Transformation
oder besser der Multiplication; in dem Abschnitte:
\Titel{Sur l'intégration de l'équation séparée
$ \frac{   dy}{\sqrt{ (1-y^2)(1+\mu^2y^2) }}
= \frac{a\,dx}{\sqrt{ (1-x^2)(1+\mu^2x^2) }}$}
spricht er das Theorem aus:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»En supposant $a$ réel, et l'équation intégrable algébriquement,
il faut nécessairement que $a$ soit un nombre rationel;
en supposant $a$ \Emphasis{imaginaire}, et l'équation intégrable \Emphasis{algébriquement},
il faut nécessairement que $a$ soit de la forme
$m ± \sqrt{-1}\cdot \sqrt n$, où $m$ et $n$ sont des nombres rationnels.
Dans ce cas la quantité $\mu$ n'est pas arbitraire; il faut qu'elle
satisfasse à une équation qui a une infinité de racines réelles
et imaginaires. Chaque valeur de $\mu$ satisfait à la question«,
\end{quote}
%-----File: 069..png---

und fügt hinzu:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»La démonstration de ces théorèmes fait partie d'une
théorie très étendue des fonctions elliptiques, dont je m'occupe
actuellement, et qui paraîtra aussitôt qu'il me sera possible«.
\end{quote}

Der schon im nächsten Jahre erfolgte Tod \Person{Abel}'s vereitelte
die Absicht, eine zusammenhängende Theorie der
elliptischen Transcendenten zu veröffentlichen.

\Person{Jacobi} hatte inzwischen von den Multiplicationsformeln
ausgehend, wie er sie mit Hülfe der von ihm eingeführten
Umkehrungsfunction gestaltet hatte, eine von \Person{Legendre}
als »fort ingenieux« bezeichnete Anwendung auf das Problem
gemacht, die Relation zwischen der Distanz der Mittelpunkte
und den Radien zweier Kreise zu finden, von denen der
eine einem unregelmässigen Polygone eingeschrieben, der
andere demselben umgeschrieben ist, und unter dem Titel:
\Titel{Ueber die Anwendung der elliptischen Transcendenten
auf ein bekanntes Problem der Elementargeometrie}
mit dem Datum vom 1.~April 1828 im 4.~Hefte
des dritten Bandes d.~J.~f.~M. veröffentlicht. Eine
weitere, für die Theorie der elliptischen Transcendenten überaus
wichtige, aus einem Briefe vom 2.~April 1828 an \Person{Crelle}
entnommene Arbeit erschien unter dem Titel: \Titel{Note sur les
fonctions elliptiques}
im zweiten Hefte des dritten Bandes desselben
Journals, und ist ohne Kenntniss des zweiten Theiles
der \Person{Abel}'schen, in demselben Hefte veröffentlichten \Titel{recherches}
geschrieben. An die Darstellung der Sinus-ampl.\
als Quotienten zweier \Person{Fourier}'schen Reihen, der $\Theta$
und $H$, oder der späteren $\theta_0$- und $\theta_1$-Function, reiht
sich die Entwicklung von $\sqrt{\frac{2K}{\pi}}$ nach den Potenzen von
$q=e^{-\frac{\pi K'}{K}}$, deren Exponenten die Quadrate der natürlichen
Zahlen sind, und von der \Person{Jacobi} in dem am 9.~September
1828 an \Person{Legendre} gerichteten Briefe sagt:
%-----File: 070..png---

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»$\dots$ me paraît être l'un des résultats les plus brillants
de toute la théorie.
\end{quote}

Das Verdienst der Auffindung dieser merkwürdigen Beziehung
zwischen der Periode und der $\theta$-Function sowie einer
Reihe anderer hierher gehöriger Relationen gebührt \Person{Jacobi}
allein; \Person{Abel}, der dieselben zum Theil in der »\Titel{Note sur quelques
formules elliptiques}«,
welche 1828 an \Person{Crelle} geschickt,
und 1829 im ersten Hefte des vierten Bandes veröffentlicht
wurde, ebenfalls ableitet, sagt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»formule dûe à M.~\Person{Jacobi} (Tome~III.\@pag.~193, où
ce géomètre en présente plusieurs autres très remarquables
et très élég\-antes)«.
\end{quote}

Es folgt weiter in jener Arbeit \Person{Jacobi}'s die für die
algebraischen Untersuchungen der neueren Zeit so wichtig
gewordene Entwicklung für $\sqrt \kappa$ als Quotient von zwei nach
quadratischen Exponenten von $q$ und $q^{\frac{1}{4}}$ fortschreitenden
Reihen, von denen \Person{Jacobi} in dem oben erwähnten Briefe
an \Person{Legendre} vom 9.~September 1828 sagt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Toutes les racines des équations modulaires se trouvent
par là développées dans des séries d'une élégance et
d'une convergence sans exemple dans l'Analyse«.
\end{quote}

\Person{Legendre} begrüsst diese schönen Entdeckungen \Person{Jacobi}'s
in einem am 15.~October 1828 an denselben gerichteten
Briefe mit den Worten:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Du reste je les (les belles séries en fonctions de $q$,
que vous êtes parvenu à sommer) regarde comme un nouveau
titre que vous avez acquis à l'estime des savants et
il en est de même de vos nouvelles fonctions $\Theta(x)$ et
$H(x)$« $\ldots$,
\end{quote}

und glaubt die Bedeutung dieser Entdeckung am besten
durch die Worte zu charakterisiren:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»L'envahisseur M.~G.\,\dots\ ne s'avisera point, je pense, d'écrire
qu'il avait trouvé tout cela longtemps avant vous, car s'il
disait pareille chose, il se ferait moquer de lui«;
\end{quote}
%-----File: 071..png---

und doch war \Person{Gauss} auch im Besitze aller dieser Resultate
schon seit dem Ende des vorigen Jahrhunderts.

Weiter findet sich in jener fundamentalen Arbeit \Person{Jacobi}'s
das auch von \Person{Abel} nur in etwas anderer Form im
zweiten Theil der \Titel{recherches} veröffentlichte Resultat, dass
einem gegebenen Modul für einen Primzahlgrad der Transformation
immer $n+1$ andere transformirte Moduln entsprechen,
die man erhält, wenn statt $q$
\[
q^n, q^\frac{1}{n}, \alpha q^\frac{1}{n},\cdots\alpha^{n-1} q^\frac{1}{n}
\]
gesetzt wird, und $\alpha^{n} = 1$ ist, zu welchem Satze \Person{Jacobi} in
dem am 9.~September 1828 an \Person{Legendre} gerichteten Briefe
die Bemerkung hinzufügt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»M.~\Person{Abel} verra donc que les transformations imaginaires
ne m'étaient pas échappées«.
\end{quote}

\Person{Jacobi} wendet sich sodann der Theorie der Modulargleichungen
zu, stellt die schon in dem Briefe an \Person{Legendre}
erwähnte Differentialgleichung dritter Ordnung auf und hebt
die Fundamentaleigenschaften der Modulargleichungen für
die Anwendung zweier linearer Transformationen auf den
ursprünglichen und transformirten Modul hervor.

Endlich geht derselbe in jener Arbeit auf das von \Person{Abel}
in seinen »\Titel{Aufgaben und Lehrsätze}« (\Person{Crelle}'s J.\ B.~II) ausgesprochene
Theorem näher ein und schliesst mit den Worten:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Tout cela découle immédiatement des principes établis
par Mr.~Abel«.
\end{quote}

Unmittelbar darauf theilt \Person{Jacobi} von Königsberg
aus am 12.~April 1828, auch noch ohne Kenntniss des
zweiten Theiles der \Titel{recherches}, \Person{Legendre} die in der eben
besprochenen Arbeit ausgeführten Entwicklungsformen der
sin am, des Integralmoduls und der Periode $K$ mit, und weist
darauf hin, dass der Zähler und Nenner seiner sin am den
mathematischen Physikern Frankreichs bereits bekannte
Functionen sind:
%-----File: 072..png---

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Quant à l'importance de ces formales, vous la sentirez
mieux que je ne pourrais le dire. Aussi elles ne seront
pas sans intérêt pour les célèbres géomètres qui s'occupent
du mouvement de la chaleur; les numérateurs et les dénominateurs
des fractions par lesquelles on a exprimé les
fonctions trigonométriques de l'amplitude étant souvent rencontrés
dans la dite question«.
\end{quote}

Dieser durch Inhalt und Form interessante Brief \Person{Jacobi}'s
kreuzte sich mit einem Briefe von \Person{Legendre} vom
14.~April 1828, in welchem derselbe erwähnt, dass er von
\Person{Schumacher} und dieser von Bessel die Mittheilung erhalten
habe, \Person{Jacobi} sei mit der Abfassung eines grossen
Memoires über die Theorie der elliptischen Functionen beschäftigt,
und hinzufügt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»mais je vous engage de ne pas trop tarder à publier
les parties essentielles de ce travail«.
\end{quote}

Noch im zweiten Hefte des dritten Bandes d.~J.~f.~M.
finden wir eine vom 24.~April 1828 datirte Arbeit \Person{Jacobi}'s,
\Titel{Note sur la décomposition d'un nombre donné en quatre quarrés},
welche eine zahlentheoretische Anwendung der eben gefundenen
Reihenentwicklungen nach Potenzen der Grösse
$q$ enthält.

Wir befinden uns jetzt schon mitten in der Zeit des
wunderbaren Wettkampfes der beiden grossen Mathematiker,
wir sehen das gegenseitige Ineinandereingreifen, das sich
Stützen des Einen auf die Resultate und Methoden des
Andern;

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»je puis me reposer sur le zèle de deux athlètes infatigables
tels que vous et M.~\Person{Abel},«
\end{quote}
sagt \Person{Legendre}
in einem an \Person{Jacobi} gerichteten Briefe vom 15.~October
1828,

und später in einem Briefe vom 8.~April 1829:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Je me félicite néanmoins d'avoir vécu assez longtemps
pour être témoin de ces luttes généreuses entre deux jeunes
%-----File: 073..png---
athlètes également vigoureux, qui font tourner leurs efforts
au profit de la science dont ils reculent de plus en plus
les limites«.
\end{quote}

\Person{Abel} sucht das Transformationsproblem, in dessen
Veröffentlichung ihm \Person{Jacobi} zuvorgekommen, zu verallgemeinern,
indem er die Frage nach allen möglichen algebraischen
Transformationen eines elliptischen Integrales in
ein anderes aufwirft:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»mais on peut envisager cette théorie, sagt \Person{Abel} in
seinem aus Christiania vom 27.~Mai 1828 datirten, in
Nr.~138 der astr.\ Nachr.\ im Juni 1828 erschienenen Aufsatze,
sous un point de vue beaucoup plus général, en se
proposant comme un problème d'analyse indéterminée de
trouver toutes les transformations possibles d'une fonction
elliptique, qui peuvent s'effectuer d'une certaine manière.
Je suis parvenu à résoudre % needs accent
complètement un grand nombre
de problèmes de cette espèce. Parmi eux est le suivant,
qui est d'une grande importance dans la théorie des fonctions
elliptiques: »Trouver tous les cas possibles dans
les quels on pourra satisfaire à l'équation différentielle~(1)
$       \frac{dy}{\sqrt{ (1 - {c_1}^2 y^2) (1 - {e_1}^2 y^2) }}
= \pm a \frac{dx}{\sqrt{ (1 -  c^2    x^2) (1 -  e^2    x^2) }}$,
en mettant
pour $y$ une fonction algébrique de $x$, rationelle ou
irrationelle«. Ce problème vu la généralité de la fonction
$y$ parait au premier coup d'oeil bien difficil, mais on peut
le ramener au cas où l'on suppose $y$ rationelle. En effet on
peut démontrer que si l'équation~(1) a lieu pour une valeur
irrationelle de $y$, on en pourra toujours déduire une autre
de la même forme, dans laquelle $y$ est rationelle en changeant
convenablement le coëfficient~$a$, les quantités $c_1$, $e_1$, $c$, $e$
restant les mêmes. La méthode qui s'offre d'abord pour
résoudre % accent added
le problème dans le cas où $y$ est rationelle est
celle des coëfficiens
indéterminés; or on seroit bientôt fatigué
à cause de l'extrême complication des équations à satisfaire.
%-----File: 074..png---
Je crois donc que le procédé suivant, qui conduit de
la manière la plus simple à une solution complète, doit
peut-être mériter l'attention des géomètres«.
\end{quote}

Der Satz von der Zurückführbarkeit des allgemeinen
Transformationsproblems auf das rationale ist jedoch in
dieser Arbeit ohne Beweis ausgesprochen, das rationale
Transformationsproblem selbst dagegen auf Grund von
Periodenbetrachtungen für die ursprüngliche und transformirte
elliptische Function in strenger Weise behandelt,
die Zerlegbarkeit desselben in einfachere analoge Probleme
nachgewiesen für den Fall, dass die charakteristische Transformationszahl
eine zusammengesetzte ist, und die Transformationsgleichung
selbst als eine algebraisch auflösbare
bezeichnet. Endlich geht \Person{Abel} noch auf den sehr wichtigen
Fall der Gleichheit der transformirten Integralmoduln
näher ein, der schon von Anfang an in allen seinen Untersuchungen
wiederkehrt und sich später zur Theorie der
complexen Multiplication der elliptischen Functionen ausgebildet
hat; der Multiplicator $a$ der Transformation wird
in der nothwendigen Form $\mu' + \sqrt{-\mu}$ gefunden, worin $\mu'$
und $\mu$ zwei rationale Zahlen bedeuten, von denen die letztere
wesentlich \Emphasis{positiv} sein muss, und hinzugefügt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Si l'on attribue à $a$ une telle valeur, on pourra trouver
une infinité de valeurs différentes pour $e$ et $c$, qui rendent
le problème possible. Toutes ces valeurs sont exprimables
par des \Emphasis{radicaux}.«
\end{quote}

Die Verallgemeinerung des rationalen Transformationsproblems
auf das algebraische hält \Person{Jacobi} für das wesentlichste
Verdienst \Person{Abel}'s um die Transformationstheorie;

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Je remarque, à cette occasion, sagt er in seinem Briefe
vom 14.~Juni 1829 an \Person{Legendre}, que le mérite principal
d'\Person{Abel}, dans la théorie de la Transformation, consiste dans
sa démonstration que \Emphasis{nos formules embrassent toutes}
%-----File: 075..png---
\Emphasis{les substitutions algébriques possibles}, ce qui donne
un haut degré de perfection à cette théorie«.
\end{quote}

Nach einer Reihe kleinerer Notizen, welche die Transformationstheorie
betreffen, und in welchen beide Mathematiker
zum Theil dieselben Sätze finden, sich aber abwechselnd
in der Veröffentlichung derselben zuvorkommen,
wendet sich \Person{Jacobi} der weiteren Ausführung der Theorie
der elliptischen Functionen zu, wie sie, da \Person{Abel} schon nach
einem Jahre starb, dem Inhalte und der Form nach für die
Zukunft massgebend geworden und bis auf unwesentliche
Aenderungen selbst in ihren Bezeichnungen noch heute
fortbesteht. In der »\Titel{Suite des notices sur les fonctions
elliptiques}«
(Auszug aus einem Briefe an \Person{Crelle} vom
21.~Juli 1828), welche in dem dritten Hefte des dritten
Bandes des \Person{Crelle}'schen Journals veröffentlicht ist, führt
Jacobi die $\Theta$- und $H$-Functionen als selbständige Fundamentalfunctionen,
welche erst den elliptischen Functionen
ihre Entstehung geben, in die Theorie der elliptischen Transcendenten
ein, ein Gedanke, auf den auch wiederum \Person{Abel}
gleichzeitig geführt worden, und dem er in einem am 25.~November
1828 an \Person{Legendre} gerichteten Schreiben in den
Worten Ausdruck gegeben:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»La théorie des fonctions elliptiques m'a conduit à
considérer deux nouvelles fonctions qui jouissent de plusieurs
propriétés remarquables«.
\end{quote}

Abel wollte genau dem von \Person{Jacobi} in jener Arbeit
entwickelten Principe analog die Eigenschaften dieser neuen
Transcendenten gesondert von der Umkehrungsfunction des
elliptischen Integrals behandeln, muss jedoch letzterem unstreitig
die Priorität der Veröffentlichung dieser Entdeckung
überlassen, da die Ausarbeitung des zweiten Theiles des
später noch zu besprechenden »\Titel{précis d'une théorie des fonctions
elliptiques}«,
welcher alle diese Untersuchungen enthalten sollte,
durch den plötzlichen Tod \Person{Abel}'s unterblieb.
%-----File: 076..png---

Es folgen in der oben erwähnten Arbeit \Person{Jacobi}'s die
schönen und fruchtbaren Sätze, nach welchen die elliptischen
Integrale zweiter und dritter Gattung sich durch $\theta$-Functionen
ausdrücken lassen, in deren Argument das Integral erster
Gattung linear eintritt, und die in der Theorie der allgemeinen
\Person{Abel}'schen Integrale ihr Analogon gefunden haben.
In Betreff der Reductionsformel des Integrales dritter Gattung
mit Hülfe der $\theta$-Functionen hebt \Person{Jacobi} in einem
vom 9.~September 1828 datirten Briefe an \Person{Legendre} eine
charakteristische Eigenschaft besonders hervor:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»d'ailleurs elle montre que les Fonctions Elliptiques de
trois\-ième espèce dans lesquelles entrent trois variables se
ramènent à d'autres transcendantes qui n'en ont que deux,
découverte qui vous intéressera beaucoup,«
\end{quote}

und grade diese Entdeckung \Person{Jacobi}'s greift auch \Person{Legendre}
mit grossem Interesse auf; doch die Unterscheidung
des reellen und imaginären Parameters bereitet ihm Schwierigkeiten
und er schreibt am 16.~Januar 1829 an \Person{Abel},
dass durch Einführung eines imaginären Parameters dennoch
wieder drei unabhängige Grössen in das Integral
dritter Gattung eintreten,

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»il y aurait donc par le fait quatre espèces de fonctions
elliptiques au lieu de trois, et la quatrième serait bien plus
composée que la troisième. C'est un point qui mérite d'être
examiné et mis au clair. Je le recommande à votre investigation
et à celle de M.~\Person{Jacobi}«.
\end{quote}

\Person{Jacobi} wiederholt die oben erwähnte Behauptung in
der vom 11.~Januar 1829 datirten und im 2.~Hefte des
4.~Bandes von \Person{Crelle}'s Journal veröffentlichten Arbeit
»\Titel{Suite des notices sur les fonctions elliptiques}«
bei Aufstellung
der Beziehung
\[
  \Pi(u, a) = uZ(a) + \log\sqrt{ \frac{\vartheta(u-a)}{\vartheta(u+a)} },
\]
\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»cette dernière formule fait voir que les fonctions elliptiques
%-----File: 077..png---
de la troisième espèce, lesquelles dépendent de trois
éléments,
peuvent être réduites à d'autres transcendantes qui
n'en ont que deux«,
\end{quote}

und \Person{Legendre} ersah auch daraus die Möglichkeit,
Tafeln mit doppeltem Eingange für die Integrale dritter Gattung
à paramètre logarithmique zu construiren, wogegen ihm
dies für die Integrale à paramètre circulaire nicht glückte,

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»quoique vous en ayez annoncé la possibilité, schreibt
\Person{Legendre} am 8.~April 1829 an \Person{Jacobi}; je serais trèsaise
de m'être trompé, et je réparerais avec grand plaisir
mon erreur si vous m'indiquiez le moyen de résoudre la
difficulté et d'exprimer par deux variables seulement, cette
seconde division des fonctions de troisième espèce. Ce serait
à mon avis la plus grande découverte qu'il est possible
d'espérer dans la théorie des fonctions elliptiques, puisqu'elle
rendrait l'usage de ces fonctions presqu'aussi facile,
dans tous les cas, que celui des fonctions circulaires et
logarithmiques«.
\end{quote}

\Person{Jacobi} bezeichnet in dem am 23.~Mai 1829 an \Person{Legendre}
gerichteten Schreiben die von \Person{Legendre} getroffene
Unterscheidung der Integrale dritter Gattung als eine nicht
in der analytischen Natur dieser Functionen begründete:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»En ce qui regarde les Intégrales Elliptiques de la
troisième espèce à paramètre circulaire, vous avez complètement
raison; elles ne jouissent pas d'une réduction analogue
à celle de l'autre espèce logarithmique. Si j'ai annoncé
une pareille chose, comme vous le dites dans votre lettre,
cela n'a pu être que dans le sens général et analytique,
où l'on ne distingue pas entre les valeurs réelles et imaginaires,
et qu'on fait abstraction de l'évaluation numérique.
Sous ce point de vue, une même formule embrasse tous les
cas, de sorte qu'on n'a pas besoin de distinguer entre les
espèces, ce qui devient nécessaire aussitôt qu'on veut appliquer
les formules qui s'y rapportent au calcul numérique
%-----File: 078..png---
ou qu'on ne veut considérer que des quantités réelles.
Toutefois cette sorte d'inconvénient, qui tient à la nature
intime de l'objet, et nullement à un défaut de notre part,
me paraît ajouter de mérite à votre division des Intégrales
Elliptiques de la troisième espèce en deux classes, auxquelles
se ramènent tous les autres cas«;
\end{quote}

aber \Person{Legendre} bedauert, dass dies in der Natur der
Sache liege und grade dem, was er sich als Ziel seiner
Untersuchungen gesetzt, hinderlich in den Weg trete:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»mais, comme vous dites, cela tient à la nature des
choses et nous ne pouvons rien y changer, sagt er in einem
Briefe vom 4.~Juni 1829 an \Person{Jacobi}. Vous vous en consolez
plus aisément que moi, vous et M.~\Person{Abel}, qui êtes
tous deux éminemment spéculatifs, mais moi qui ai toujours
eu pour but d'introduire dans le calcul de nouveaux éléments $\ldots\,\ldots$«,
\end{quote}

worauf \Person{Jacobi} am 14.~Juni 1829 erwidert:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Quant au calcul numérique des Intégrales Elliptiques
de troisième espèce à paramètre circulaire, je vous demande
pardon d'avoir fait naître en vous une espérance, qui n'a
pas été réalisée depuis. Cependant je crois que vous n'avez
pas à regretter trop l'inconvénient, que ces fonctions ne
peuvent être réduites en tables à double entrée«.
\end{quote}

Wir haben noch immer nicht den reichen Inhalt der
oben erwähnten Arbeit \Person{Jacobi}'s erschöpft; es wird ferner
auf die Transformation der $\theta$-Functionen hingewiesen und gezeigt,
wie man daraus die Transformationsformeln der elliptischen
Functionen unmittelbar herleiten kann, was von
\Person{Jacobi} in der vom 11.~Januar 1829 datirten Arbeit im
zweiten Hefte des vierten Bandes d.~J.~f.~M. auf die Aufstellung
der Transformationsformeln für die Integrale zweiter
und dritter Gattung ausgedehnt wird,

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»On peut aussi parvenir directement de la fonction
$\Theta(u)$ aux formules de transformation en partant de son développement
%-----File: 079..png---
en produit infini, comme nous l'avons montré
dans le troisième volume de ce journal. De là, en suivant
une marche inverse de celle qu'on vient de présenter, on
tire sur le champ les formules relatives à la transformation
des fonctions elliptiques de la première et de la troisième
espèce et en différentiant, celles de transformation des
fonctions elliptiques de la seconde espèce«.
\end{quote}

Die hierauf bezüglichen Untersuchungen wollte \Person{Jacobi}
im Zusammenhange veröffentlichen; nachdem er mit Bezug
auf seine früheren Arbeiten am 9.~September 1828 an
\Person{Legendre} geschrieben:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Mes recherches seront rassemblées dans un petit
Ouvrage d'environ 200 pages in 4\textsuperscript{o} qui sera imprimé à part
et dont l'impression vient d'être commencée. Il aura pour
titre: \Titel{Fundamenta nova Theoriae Functionum Ellipticarum}, $\ldots\,\ldots$\
Cependant la fin de mon \Titel{Ouvrage} ne doit
pas être celle de mes recherches $\ldots\,\ldots$«
\end{quote}

erklärt er in der Abhandlung, die wir eben besprechen:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Les résultats dont je viens de donner ici une exposition
rapide, font partie de ceux qu'on trouvera dans la seconde
partie de mon ouvrage sur les fonctions elliptiques. La
première partie de cet ouvrage paroitra incessament.«
\end{quote}

Aber wiewohl \Person{Legendre} in einem Briefe vom 9.~Februar
1829 \Person{Jacobi} zur Herausgabe einer zusammenhängenden
Darstellung aller seiner Arbeiten in der Theorie der elliptischen
Transcendenten mit den Worten ermunterte:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»il (\Person{Abel}) obtient ainsi sur vous une sorte d'avantage,
parce que vous n'avez guère publié jusqu'à présent que des
notices qui ne font pas connaître vos méthodes. C'est une
raison pour que vous vous hâtiez de prendre possession de
ce qui vous appartient en faisant paraître votre ouvrage le
plus tôt qu'il vous sera possible«,
\end{quote}

hatte sich dennoch \Person{Jacobi} schon unmittelbar darauf,
als der Druck des ersten Theiles der \Titel{fundamenta} eben beendigt
%-----File: 080..png---
war, entschlossen, einen zweiten Theil dieses Werkes,
fürs erste wenigstens, nicht folgen zu lassen, und schreibt
am 23.~Mai 1829 an \Person{Legendre}:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»L'impression de celui-ci étant achevée, je me suis empressé
de vous le faire parvenir et je vous prie de l'accueillir
avec cette bonté, dont vous m'avez donné des
preuves si éclatantes. Cependant je crains, qu'il ne soit
beaucoup au-dessous de la bonne opinion que vous avez
voulu concevoir de mes travaux, et je crains cela d'autant
plus, puisqu'il ne contient que les fondements de mes recherches
et qu'il me faut encore une longue série de travaux
pour établir aux yeux de Géomètres leur ensemble«.
\end{quote}

Jene kurze, aber überaus inhaltreiche Arbeit \Person{Jacobi}'s
im 3.~Hefte des 3.~Bandes von \Person{Crelle}'s Journal entwickelt
weiter die partielle Differentialgleichung der $\theta$-Functionen
als Function des Argumentes und des $\theta$-Moduls und daraus
die Potenzreihen für diese Transcendenten; die Herstellung
des eleganten Ausdruckes für den Multiplicator der Transformation
\[
M^2 = \frac{n(\kappa - \kappa^3)}{(\lambda - \lambda^3)} \,\frac{d\lambda}{d\kappa}
\]
führt auf die Definition der Multiplicatorgleichungen und
auf jene merk\-würdige Eigenschaft der Lösungen derselben,
wonach man für einen primzahligen Transformationsgrad
die Hälfte der Werthe von $\sqrt{M}$ linear mit Hülfe der andern
Hälfte ausdrücken kann,

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»cela donne le théorème énoncé, un des plus importants
dans la théorie algébrique de la transformation et de
la division des fonctions elliptiques«;
\end{quote}

und in der That zeigen die algebraischen Arbeiten der
neueren Zeit die ganze Tragweite und Bedeutung jenes
Satzes, die \Person{Jacobi} sogleich erkannt und die derselbe in
dem am 14.~März 1829 an \Person{Legendre} gerichteten Briefe,
demselben in den Worten anzudeuten suchte:
%-----File: 081..png---

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Aussi j'ai découvert une propriété tout à fait singulière
de ces équations, dont les racines sont les régulateurs,
comme vous l'aurez lu dans le 3\ieme{} cahier du vol.~III: c'est
qu'on peut exprimer linéairement leurs \Emphasis{racines carrées} au
moyen de la moitié de leur nombre, propriété qui m'est
d'autant plus remarquable que je ne l'ai trouvée que par
les développements en séries qui me sont propres et que
je ne vois pas comment on peut la prouver en quantités
finies, ce qui pourtant doit être possible. Cette propriété
servira sans doute à approfondir un jour la vraie nature
de ces équations du degré $n+1$«.
\end{quote}

Von nun an trennen sich die Richtungen der beiden
grossen Mathematiker immer mehr, vielleicht begründet
durch die Natur ihrer Anlagen und die verschiedenartigen
Ausgangspunkte ihrer Arbeiten, vielleicht aber auch veranlasst
durch das Streben, ihre Untersuchungen nicht gegenseitig
zu kreuzen; wir finden in Bezug hierauf in dem
Schreiben \Person{Jacobi}'s an \Person{Legendre} vom 14.~März 1829 die
interessanten Worte:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Je ne veux ni reproduire ni prévenir les travaux de
M.~\Person{Abel}: presque tout ce que j'ai publié dans ces derniers
temps sur les Fonctions Elliptiques contient des vues nouvelles;
ce ne sont pas des amplifications de matières dont
M.~\Person{Abel} a traité ou même promis de s'en occuper«.
\end{quote}

Während sich \Person{Abel} mehr der Untersuchung der Integrale
und der Frage der Reduction der allgemeinen \Person{Abel}'schen
Integrale auf niedere Transcendenten zuwendet, sucht
\Person{Jacobi} tiefer die Eigenschaften der elliptischen Functionen
zu ergründen und wird dadurch zu Untersuchungen von
sehr allgemeiner und rein functionentheoretischer Natur
geführt;

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»les fonctions elliptiques, sagt er in der vorher besprochenen
Arbeit, diffèrent essentiellement des transcendantes
%-----File: 082..png---
ordinaires. Elles ont une manière d'être pour ainsi
dire absolue. Leur caractère principal est d'embrasser tout
ce qu'il y a de périodique dans l'analyse. En effet les
fonctions trigonométriques ayant une période réelle, les exponentielles
une période imaginaire, les fonctions elliptiques
embrassent les deux cas. $\ldots$ D'ailleurs on démontre aisément,
qu'une fonction analytique ne saura avoir plus que
deux périodes, l'une réelle et l'autre imaginaire ou l'une et
l'autre imaginaires«,
\end{quote}

Sätze, die erst in einer späteren Zeit von \Person{Jacobi} veröffentlicht
und von demselben zur Grundlage einer Theorie
der hyperelliptischen Functionen gemacht wurden.

Während nun \Person{Abel} und \Person{Jacobi} diesen weitgehenden
Untersuchungen ihre Hauptthätigkeit zuwenden, veröffentlichen
sie noch kleinere, auf die früher behandelten Gegenstände
bezügliche Arbeiten. \Person{Abel} kommt auf die Ausführung
der allgemeinen algebraischen Transformation zurück,
die er schon früher als den eigentlichen Ausgangspunkt für
die Transformationstheorie bezeichnet hatte, und zwar jetzt
für reelle Integralmoduln, stellt sich in einer vom 25.~September
1828 datirten, in Nr.~147 der astr.\ Nachr.\ im November
1828 veröffentlichten Arbeit die Aufgabe:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Trouver tous les cas possibles où l'on pourra satisfaire
à l'équation différentielle
\[
\frac{d\,y}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - {c_1}^2 y^2)}} = a \frac{d\,x}{\sqrt{(1 - x^2) (1 - c^2 x^2)}}
\]
par une \Emphasis{équation algébrique} entre les variables $x$ et $y$,
en supposant les modules $c$ et $c_1$ moindres que l'unité et le
coëfficient a réel ou imaginair«.
\end{quote}

Die Lösung dieser Aufgabe wird mit Hülfe der Periodenbeziehungen
geleistet, die zwischen zwei in einer algebraischen
Beziehung stehenden elliptischen Functionen mit verschiedenen
Moduln stattfinden müssen, daraus werden für den
Multiplicator nothwendige Formen und Ausdrücke durch
%-----File: 083..png---
die Periodenquotienten hergeleitet und endlich die für
reelle Integralmoduln gültige complexe Multiplication behandelt.

Ferner bespricht \Person{Abel} noch kurz in einer im 4.~Hefte
des 3.~Bandes des \Person{Crelle}'schen Journals veröffentlichten
Arbeit: »\Titel{Sur le nombre des transformations différentes, qu'on
peut faire subir à une fonction elliptique par la substitution
d'une fonction donnée de premier degré}« die Anzahl der verschiedenen
Transformationen sowie die sechs Hauptfälle
der linearen Transformation und verweist auf eben diese
Darlegung in einem aus Christiania am 25.~November 1828
an \Person{Legendre} gerichteten Briefe, welcher die Beantwortung
der von letzterem an ihn gerichteten Frage zum Gegenstande
hat, wie es möglich sei, dass \Person{Abel} $6(n + 1)$ Transformationen
finde, während die Modulargleichung nur
vom $n + 1^\textrm{ten}$ Grade sei. Ausser der linearen Transformation
behandelt jene Note noch das bereits von \Person{Jacobi} bewiesene
Theorem, nach welchem man nur $q^n$, $q^\frac{1}{n}$, $\alpha q^\frac{1}{n}$,
$\cdots\alpha^{n-1} q^\frac{1}{n}$ statt $q$ in den Ausdruck für $\kappa$ zu setzen braucht,
um alle transformirten Moduln zu erhalten, wenn man von
den linearen Transformationen absieht.

Endlich veröffentlichte \Person{Abel} noch gleichzeitig mit dieser
Note ein Memoire: »\Titel{Théorème général sur la transformation
des fonctions elliptiques de la seconde et de la troisième espèce}«,
worin er die von \Person{Jacobi} schon früher in anderem Sinne
behandelte Aufgabe von der Transformation der Integrale
zweiter und dritter Gattung wieder aufnimmt und das Theorem
ausspricht:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Si une intégrale algébrique $f(y, x) = 0$ satisfait à
l'équation $\frac{d\,y}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - c'^2 y^2)}} = \frac{a\,d\,x}{\sqrt{(1 - x^2)(1 - c^2 x^2)}}$, on aura
toujours:
%-----File: 084..png---
\begin{gather*}
\int \frac{A + B x^2}{1 - \frac{x^2}{n^2}} \frac{d\,x}{\sqrt{(1 - x^2) (1 - c^2 x^2)}}\\
= \int\frac{A' + B' y^2}{1 - \frac{y^2}{m^2}}\frac{d\,y}{\sqrt{(1 - y^2)(1 - c'^2 y^2)}}  + k \log p,
\end{gather*}
où $A$, $B$, $n$ sont des quantités données, $A'$, $B'$, $m$, $k$ des
quantités constantes, fonctions des premières, et $p$ une certaine
fonction algébrique de $y$ et $x$. Il est très remarquable
que les paramètres $m$ et $n$ sont liés entre eux par la même
équation, que $y$ et $x$, savoir $f(m, n) = 0$.«
\end{quote}

Im Uebrigen wendet sich \Person{Abel} in seinen weiteren Arbeiten
ganz den allgemeinen Untersuchungen zu, welche die
Theorie der Integrale algebraischer Differentiale betreffen,
von denen er ursprünglich ausging, und die das Fundament
all' seiner Betrachtungen in der Theorie der Transcendenten
bilden.

Dasselbe Heft des \Person{Crelle}'schen Journals bringt unter
dem Titel »\Titel{Remarques sur quelques propriétés générales d'une
certaine sorte de fonctions transcendantes}« die Specialisirung
und vollständige Ausführung des der Pariser Akademie im
Jahre 1826 eingereichten Aufsatzes über das sogenannte
\Person{Abel}'sche Theorem für hyperelliptische Integrale;

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Il me semble que dans la théorie des fonctions transcendantes
les géomètres se sont bornés aux fonctions de
cette forme. Cependant il existe encore pour une classe
très étendue d'autres fonctions une propriété analogue à celle
des fonctions elliptiques. Je veux parler des fonctions qui peuvent
être regardées comme \Emphasis{intégrales de différentielles
algébriques quelconques}. Si l'on ne peut pas exprimer
la somme d'un nombre quelconque de fonctions données, par
une seule fonction de la même espèce, comme dans le cas
des fonctions elliptiques, au moins on pourra exprimer dans
tous les cas une pareille somme par la somme d'un nombre
%-----File: 085..png---
déterminé d'autres fonctions de la même nature que les premières,
en y ajoutant une certaine expression algébrique et
logarithmique. Nous démontrerons cette propriété dans l'un
des cahiers suivans de ce journal. Pour le moment je vais
considérer un cas particulier qui embrasse en même temps
les fonctions elliptiques, savoir les fonctions contenues dans
la formule $\psi(x) = \int\frac{r\,dx}{\sqrt{R(x)}}$, $R$ étant une fonction rationnelle
et entière quelconque, et $r$, une fonction rationnelle«.
\end{quote}

Der Satz von der Addition einer Anzahl gleichartiger
hyperelliptischer Integrale, deren Summe ein algebraisch-logarithmischer
Ausdruck ist, wird zuerst für Integrale von
der Form
\[
\psi(x) = \int\frac{f(x)\,dx}{(x - \alpha)\sqrt{\phi(x)}}
\]
bewiesen, wonach, wenn $f(x)$ und $\phi(x)$ ganze Functionen,
\begin{align*}
\phi(x) &= \phi_1(x) \cdot \phi_2(x),\\
\Theta(x)^2 \phi_1(x) - \Theta_1(x)^2 \phi_2(x) &= A(x - x_1)^{m_1} (x - x_2)^{m_2} \cdots (x - x_\mu)^{m_\mu}
\end{align*}
gesetzt wird, und $\epsilon_1, \epsilon_2, \cdots \epsilon_\mu$ positive oder negative Einheiten
bedeuten,
\begin{gather*}
\epsilon_1 m_1 \psi(x_1) + \epsilon_2 m_2 \psi(x_2) + \cdots + \epsilon_\mu m_\mu \psi(x_\mu)\\
= C - \frac{f(\alpha)}{\sqrt{\phi(\alpha)}}
\log\bigg\{\frac{\Theta(\alpha)\sqrt{\phi_1(\alpha)} + \Theta_1(\alpha)\sqrt{\phi_2(\alpha)}}
{\Theta(\alpha)\sqrt{\phi_1(\alpha)} - \Theta_1(\alpha)\sqrt{\phi_2(\alpha)}}\bigg\}\\
+ \prod\frac{f(x)}{(x - \alpha)\sqrt{\phi(x)}}
\log\bigg\{\frac{\Theta(x)\sqrt{\phi_1(x)}  + \Theta_1(x)\sqrt{\phi_2(x)}}
{\Theta(x)\sqrt{\phi_1(x)} - \Theta_1(x)\sqrt{\phi_2(x)}}\bigg\}
\end{gather*}
ist, und hieraus die analogen Sätze für Integrale der Form
\[
\int\frac{f(x)\,dx}{\sqrt{\phi(x)}}  \textrm{ und } \int\frac{dx}{(x-\alpha)^k \sqrt{\phi(x)}},
\]
woraus das Theorem für das allgemeine Integral
\[
\psi(x) = \int\frac{r\,dx}{\sqrt{\phi(x)}},
\]
worin $r$ eine beliebige rationale Function von $x$ bedeutet,
zusammengesetzt wird. Den Schluss der Arbeit bildet die
Zurückführung der Summe einer beliebigen Anzahl von gleichartigen
%-----File: 086..png---
hyperelliptischen Integralen auf eine feste Anzahl
ebensolcher Integrale.

Diese fundamentale Arbeit \Person{Abel}'s, die wieder in ihren
Resultaten und Bezeichnungen massgebend geworden ist
für den weiteren Ausbau der Integralrechnung, liess sehr
bald auch \Person{Legendre} die Bedeutung des \Person{Abel}'schen Theorems
erkennen.

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Mais le mémoire imprimé sous le n\textsuperscript{o} 30 ayant pour titre:
\Titel{Remarques sur quelques propriétés générales} etc.,
sagt \Person{Legendre} in dem am 16.~Januar 1829 an \Person{Abel} gerichteten
Briefe, me paraît surpasser tout ce que vous avez
publié jusqu'à présent par la profondeur de l'analyse qui y
règne, ainsi que par la beauté et la généralité des résultats.
Ce mémoire occupe peu de place, mais il contient un grand
nombre de choses; il est rédigé en général avec beaucoup
d'élégance et de concision; s'il eût pu être plus développé,
j'aurais préféré que vous eussiez suivi un ordre inverse en
finissant par les cas les plus généraux\ldots.«
\end{quote}

und \Person{Legendre} sucht jetzt auf Grund dieses Theorems
selbständige Untersuchungen anzustellen, die er, wie wir
schon oben sahen, im dritten Supplemente zu seinem \Titel{traité}
veröffentlichte.

Gleichzeitig mit der eben besprochenen Arbeit \Person{Abel}'s
erschien im 4.~Hefte des 3.~Bandes d.~J.~f.~M.\ unter dem
Titel: »\Titel{suite des notices sur les fonctions elliptiques}« eine aus
Königsberg vom 3.~October 1828 datirte Arbeit \Person{Jacobi}s,
in welcher er einerseits darauf hinweist, dass die früher gemachte
wichtige Entdeckung von der Zurückführung der
Integrale dritter Gattung auf andere Transcendenten mit
nur zwei Variabeln die Theorie der elliptischen Integrale
dritter Gattung aus den Eigenschaften dieser Fundamentaltranscendenten
herzuleiten gestatte, und mit zwei linearen
Transformationsformeln der $\theta$-Functionen die in seinem Briefe
vom 12.~Januar 1828 an \Person{Legendre} als »théorème fondamental
%-----File: 087..png---
de M.~\Person{Abel}« bezeichnete Relation $\sin\am (iu, k) =
i \tg \am (u, k')$ zusammenstellt, andererseits auf die Coefficientenbestimmung
der allgemeinen Transformations- und
Multiplicationsformeln des elliptischen Integrales erster Gattung
näher eingeht;

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Je suis parvenu à résoudre un problème dont
la difficulté avoit éludé longtemps tous mes efforts, savoir
de trouver l'expression générale et algébrique des
formules de multiplication \ldots Or $z = \frac{U}{V}$  étant une
Substitution rationelle quelconque qui sert ou à la transformation
ou à la multiplication des fonctions elliptiques
de première espèce, je suis parvenu à sommer par parties
le numérateur et le dénominateur de la substitution à
faire et à définir l'un et l'autre au moyen d'une équation
à différences partielles entre $x$ et $k$. Dans le cas de la
multiplication on tire de cette équation les expressions générales
de $A', A'', A''',\ldots$ On trouve très facilement chaque
terme $A^{(m)}$ par les deux termes $A^{(m - 2)}$, $A^{(m - 4)}$, qui le précèdent«.
\end{quote}

\Person{Jacobi} führt diese Andeutung in der aus Königsberg
vom 11.~Januar 1829 datirten, im 2.~Hefte des 4.~Bandes
des \Person{Crelle}'schen Journals veröffentlichten Arbeit »\Titel{Suite
des notices sur les fonctions elliptiques}« näher aus, indem,
wenn $\alpha = \frac{1 + \kappa^2}{\kappa}$, $x = \sqrt{\kappa}\cdot\sin\am (u, \kappa)$  gesetzt wird,
»les fonctions $U$, $V$ satisferont l'une et l'autre à l'équation
aux différences partielles suivante:
\begin{gather*}
n(n-1)x^2 z + (n-1)(\alpha x - 2x^3)\frac{\partial z}{\partial x}
+ (1 - \alpha x^2 + x^4) \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\\
= 2n(\alpha^2 - 4)\frac{\partial z}{\partial \alpha},\text{«}
\end{gather*}

und sagt in Bezug auf diese Untersuchung in einem
Briefe an \Person{Legendre} vom 14.~März 1829:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Vous trouverez même dans le 2\ieme{} cahier du vol.~IV du
Journal de M.~\Person{Crelle} une formule à différences partielles
%-----File: 088..png---
très remarquable
qui sert à exprimer \Emphasis{généralement} ces coefficients
par les deux modules, en supposant connue l'équation
aux modules; de sorte que la formation algébrique des
substitutions à faire pour parvenir à une transformation
quelconque est entièrement réduite à la recherche des
équations aux modules, formule qui donne en même temps
comme cas spécial les expressions algébriques et générales
pour la multiplication par un nombre $n$ quelconque \Emphasis{indéfini}:
chose très difficile et dont vous avez dû remarquer les premiers
exemples dans le 4\ieme{} cahier du vol.~III dudit Recueil.
Il sera de même, si l'on fait tout dépendre de l'équation
dont les racines donnent les valeurs de ce que vous appelez
le \Emphasis{régulateur}, et cela conviendra peut-être encore mieux,
ces dernières semblant être plus simples«.
\end{quote}

Die letzte oben erwähnte Arbeit schliesst mit dem
Theorem:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Étant supposés connus tous les modules dans lesquels
on peut transformer un module donné $\kappa$ à l'aide
d'une transformation correspondante au nombre $n$, on peut
exprimer par ces modules toutes les quantités de la forme
$\sin\am\frac{2mK + 2m'iK'}{n}$, $m$, $m'$ étant des nombres quelconques,
sans qu'il étoit nécessaire de résoudre une équation
algébrique«.
\end{quote}

Endlich werden von \Person{Jacobi} in der Abhandlung: »\Titel{de
functionibus ellipticis commentatio}«, welche, aus Königsberg
vom April 1829 datirt, im 4.~Hefte des 4.~Bandes von
\Person{Crelle}'s Journal veröffentlicht wurde, die Transformationsformeln
der Integrale zweiter und dritter Gattung in Verbindung
mit den Transformationsausdrücken der $\theta$-Function
hergestellt, die gewöhnlichen Differentialgleichungen dritter
Ordnung, denen $U$ und $V$ genügen, entwickelt,

\begin{quote}
»quod sane est theorema memorabile, satis reconditum,
numeratorem et denominatorem substitutionis $U$, $V$ singulos
%-----File: 089..png---
definiri posse per aequationem differentialem tertii ordinis \ldots
Integrale completum aequationum differentialium tertii ordinis,
quibus functiones $U$, $V$ definiuntur, in promtu esse
non videtur«,
\end{quote}

und schliesslich die mit einer quadratischen Exponentialgrösse
multiplicirte $\theta$-Function in Beziehung auf ihre Perioden
und ihre Zusammensetzung zu den elliptischen Functionen
näher untersucht.

Während nun \Person{Jacobi} zumeist mit der Zusammenfassung
seiner Resultate für die Herausgabe der \Titel{fundamenta}
beschäftigt war, deren Druck im April 1829 beendet
wurde\footnote{
Es mag an dieser Stelle noch des zweiten Supplementes zu
dem \Titel{traité} von \Person{Legendre} Erwähnung gethan werden, dessen Vorrede
das Datum des 15.~März 1829 trägt; dasselbe liefert ähnlich wie
das erste eine Zusammenfassung der im Laufe des letzten Jahres von
\Person{Abel} und \Person{Jacobi} gemachten Entdeckungen und beschäftigt sich
hauptsächlich mit der Darstellung der elliptischen Functionen, mit
der Summirung gewisser Reihen durch elliptische Functionen, der
Behandlung der $\theta$-Functionen, der Darstellung der Integrale
zweiter und dritter Gattung durch diese Transcendenten und endlich
der Entwicklung des \Person{Abel}'schen Theorems für hyperelliptische
Integrale.},
hatte auch \Person{Abel} an der Darstellung einer
zusammenhängenden Theorie der elliptischen Integrale und
Functionen gearbeitet;

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Je prépare, schreibt er am 18.~October 1828 aus Christiania
an \Person{Crelle}, dans ce moment un mémoire sur les
fonctions elliptiques, où j'ai considéré la théorie de ces
fonctions sous un point de vue très général. Ce mémoire
sera divisé en deux parties. \ldots«
\end{quote}

und eine ähnliche Ankündigung seiner grossen und
bedeutungsvollen Resultate, die wir nachher besprechen
werden, richtete \Person{Abel} auch an \Person{Legendre} am 3.~October
1828;

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Je vous félicite, antwortet ihm \Person{Legendre} am 25.~October
1828, bien cordialement des grands succès que
%-----File: 090..png---
vous avez obtenus dans vos travaux sur la théorie des
fonctions elliptiques \dots\ mais ce qu'il y a de sûr, c'est que
je n'ai aucune idée des moyens que vous avez pu employer
pour vaincre de pareilles difficultés. Quelle tête que celle
d'un jeune Norvégien!\dots\ Peut-être n'êtes vous pas à portée
maintenant de publier un semblable ouvrage (wie \Person{Jacobi})
qui contienne l'ensemble de vos découvertes; il nous intéresserait
beaucoup, Monsieur«,
\end{quote}

und am 25.~November 1828 erwidert ihm \Person{Abel}:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Les circonstances ne me permettent point de publier
un ouvrage de quelque étendue que j'ai composé depuis
peu; car ici je ne trouverai personne qui fera l'imprimer à
ses frais«.
\end{quote}

Und so überschickte er denn den ersten Theil seiner
Arbeit unter dem Titel: »\Titel{Précis d'une théorie des fonctions elliptiques}«
\Person{Crelle} zur Veröffentlichung, der dieselbe im 3.\ und
4.~Hefte des 4.~Bandes, welcher 1829 ausgegeben wurde,
abdrucken liess; leider musste \Person{Crelle} dieser Arbeit die
Schlussworte beifügen:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»c'est jusqu'ici que ce mémoire est parvenu à l'éditeur.
M.~\Person{Abel} est mort (6.~April 1829) sans l'avoir fini«.
\end{quote}

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Surtout j'ai cherché, sagt \Person{Abel} in der Einleitung zu
seiner grossen Arbeit, welche die Resultate aller seiner
Untersuchungen zusammenfassen und zugleich den Weg zu
weiteren Forschungen auf dem Gebiete der Transcendenten
weisen sollte, à donner de la généralité à mes recherches,
en me proposant des problèmes d'une vaste étendue. Si
je n'ai été assez heureux de les résoudre complètement, au
moins j'ai proposé les moyens pour y parvenir. L'ensemble
de mes recherches sur cet objet formera un ouvrage de
quelque étendue, mais que les circonstances ne me permettent
pas encore de publier. C'est pourquoi je vais donner
ici un Précis de la méthode que j'ai suivie avec les résultats
généraux, auxquelles elle m'a conduit.«
\end{quote}
%-----File: 091..png---

Der erste Theil des \Titel{précis} beschäftigt sich mit zwei
grossen und weitgreifenden Fragen, welche die Theorie der
Integrale algebraischer Differentiale und speciell der elliptischen
Integrale betreffen. Auf sein allgemeines Additionstheorem
für elliptische Integrale der drei Gattungen in der
\Person{Legendre}'schen Normalform sich stützend wirft \Person{Abel} die
Frage nach der Form auf, welche man dem Integrale eines
algebraischen Differentiales geben kann, wenn dieses sich
durch algebraisch-logarithmische Functionen und elliptische
Integrale ausdrücken lässt und beweist ein Theorem

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»qui est d'un grand usage dans tout le calcul intégral,
à cause de sa grande généralité«,
\end{quote}

und das in der That die Basis geworden ist für alle weiteren
Untersuchungen, welche Reductionsfragen für Integrale
algebraischer Differentialien zum Gegenstande haben. Besteht,
wenn $y$ eine algebraische Function von $x$ ist, eine
Beziehung von der Form
\begin{gather*}
\int^x y\,dx = \int^{x_1} f_1\bigl(x,\Delta(x,c_1)\bigr)\,dx
+ \int^{x_2} f_2\bigl(x,\Delta(x,c_2)\bigr)\,dx + \ldots\\
  + u + A_1 \log v_1 + A_2 \log v_2 + \cdots + A_\rho \log v_\rho,
\end{gather*}
in welcher $x_1, x_2,\ldots u, v_1, v_2,\ldots$ algebraische Functionen von
$x$, $A_1$, $A_2,\ldots A_\rho$ Constanten bedeuten, so lässt sich, wie
\Person{Abel} durch eine überaus geniale Deduction zeigt, daraus
eine Relation herleiten:
\begin{gather*}
\delta\int^x y\,dx = \int^{\xi_1} f_1\bigl(x,\Delta(x,c_1)\bigr)\,dx
+ \int^{\xi_2} f_2\bigl(x,\Delta(x,c_2)\bigr)\,dx + \cdots\\
+ U + B_1 \log V_1 + B_2 \log V_2 +\cdots B_\sigma \log V_\sigma,
\end{gather*}
in welcher $\delta$ eine ganze Zahl, $\xi_1, \xi_2,\ldots, \Delta(\xi_1,c_1)$,
$\Delta(\xi_2,c_2),\ldots$, $U$, $V_1$, $V_2,\ldots V_\sigma$ rationale Functionen von
$x$ und $y$, $B_1, B_2,\ldots B_\sigma$ Constanten bedeuten; und daraus
folgt:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Si $\int \frac{r\,dx}{\Delta(x,c)}$, où $r$ est une fonction rationnelle quelconque
de $x$, est exprimable par des fonctions algébriques et
%-----File: 092..png---
logarithmiques et par les fonctions elliptiques $\psi, \psi_1, \psi_2,\ldots$,
on pourra toujours supposer
\begin{gather*}
\int\frac{r\,dx}{\Delta(x,c)} = p \Delta(x,c) + \alpha\psi(y) + \alpha'\psi_1(y_1) +\cdots\\
+ A_1 \log\biggl(\frac{q_1 + q'_1\Delta(x,c)}{q_1 - q'_1\Delta(x,c)}\biggr) +\cdots
\end{gather*}
où toutes les quantités $p, q_1, q_2,\ldots q_1',\ldots y, y_1, y_2,\ldots$ sont
des fonctions \Emphasis{rationnelles} de $x$«,
\end{quote}

ein Satz, den \Person{Abel} schon kannte, als er seine erste
Arbeit über die Reduction der hyperelliptischen Integrale
auf Logarithmen veröffentlichte.

Folgerungen und Erweiterungen dieser Sätze bringt
der veröffentlichte Theil des précis nicht mehr, wohl schon
desshalb, weil \Person{Abel} sich in dieser Arbeit nur mit der
Theorie der \Emphasis{elliptischen} Integrale zu beschäftigen beabsichtigte,
aber er benutzt diese wichtigen und umfassenden
Sätze, um eine zweite wesentliche Frage aufzuwerfen,
die so lautet:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»trouver tous les cas possibles dans lesquels on peut
satisfaire à une équation de la forme:
\begin{gather*}
\textrm{(a)}\ldots\alpha\varpi(x_1,c_1) +\cdots + \alpha_n\varpi(x_n,c_n) + \alpha_1'\varpi_0(x_1',c_1') +\cdots\\
+ \alpha_m' \varpi(x_m',c_m') + \alpha_1'' \Pi(x_1'',c_1'',a_1) +\cdots + \alpha_{\mu}'' \Pi(x_{\mu}'',c_{\mu}'',a_{\mu})\\
= u + A_1 \log v_1 +\cdots + A_{\nu} \log v_{\nu},
\end{gather*}
où $\alpha_1,\ldots \alpha_n$, $\alpha_1',\ldots \alpha_m'$, $\alpha_1'',\ldots \alpha_{\mu}''$, $A_1,\ldots A_{\nu}$ sont des quantités
constantes, $x_1,\ldots x_n$, $x_1',\ldots x_m'$, $x_1'',\ldots x_{\mu}''$ des variables
liées entre-elles par des équations algébriques, et $u, v_1, v_2\ldots v_{\nu}$
des fonctions algébriques de ces variables«,
\end{quote}

und findet den überaus fruchtbaren Satz:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Si une équation quelconque de la forme (a) a lieu,
et qu'on désigne par $c$ un quelconque des modules qui y
entrent, il y en aura parmi les autres an moins un module
$c'$ tel, qu'on puisse satisfaire à l'équation différentielle:
$\frac{yd}{\Delta(y,c')} = \epsilon\frac{dx}{\Delta(x,c)}$, en mettant pour $y$ une fonction \Emphasis{rationnelle}
de $x$ et vice versa«,
\end{quote}

%-----File: 093..png---
und so wird \Person{Abel} von der allgemeinsten additiven
Beziehung zwischen elliptischen Integralen auf das rationale
Transformationsproblem der elliptischen Integrale erster
Gattung, somit wieder auf die früher veröffentlichten Untersuchungen
zurückgeleitet.

Auf Grund der gegebenen Reduction kann \Person{Abel} leicht
die allgemeinste Relation aufstellen, die zwischen elliptischen
Integralen mit demselben Modul besteht, und findet für dieselbe
eine additive Verbindung von Integralen dritter Gattung,
welche zu Coefficienten ganze Zahlen haben, mit einem
Integrale erster Gattung von algebraisch-logarithmischen
Theilen abgesehen, deren Discontinuitäten die Unstetigkeitswerthe
der Integrale dritter Gattung liefern.

Es folgt endlich eine ausführliche Behandlung des
rationalen Transformationsproblems und die Discussion der
Auflösung der algebraischen Transformationsgleichung.

Der zweite Theil des \Titel{précis}, der auch in seinen Aufzeichnungen
nicht in die Oeffentlichkeit gekommen, sollte
nach der von \Person{Abel} gegebenen Inhaltsangabe die elliptischen
Integrale mit einem Modul, der reell und kleiner
als 1 ist, behandeln, und sich mit der Umkehrungsfunction
des elliptischen Integrales erster Gattung und den
Integralen zweiter und dritter Gattung als Functionen
dieser beschäftigen; die doppelte Periodicität, die Bestimmung
der Nullwerthe der Umkehrungsfunction, das
Additionstheorem, die Division dieser Functionen sollten
in der schon aus den Arbeiten \Person{Abel}'s bekannten Art dargestellt
werden. Aber \Person{Abel} wollte auch in diesem Theile
nochmals auf das allgemeine algebraische Transformationsproblem
zurückkommen, ausgehend von den periodischen
Eigenschaften der elliptischen Umkehrungsfunction, und
den schon früher behandelten Satz beweisen:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Si deux fonctions réelles peuvent être transformées
l'une en l'autre, il faut qu'on ait entre les fonctions complètes
%-----File: 094..png---
$\varpi$, $\omega$, $\varpi'$, $\omega'$ cette relation: $\frac{\varpi'}{\omega'} = \frac{n'}{m} \cdot  \frac{\varpi}{\omega}$, où $n'$ et $m$
sont des nombres entiers«.
\end{quote}

Die weiteren Untersuchungen sollten sich mit der
Theorie der Modulargleichungen beschäftigen:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Si deux modules $c'$ et $c$ peuvent être transformés l'un
dans l'autre, ils auront entre eux une relation algébrique.
Mais généralement il paraît impossible d'en tirer la valeur
de $c'$ en $c$ à l'aide de radicaux, mais il est remarquable, que
cela a toujours lieu, si $c$ peut être transformé en son complément,
par exemple si $c^2 = \frac12$«;
\end{quote}

endlich sollte noch die Theorie derjenigen Transcendenten
entwickelt werden, welche den Zähler und Nenner
der Umkehrungsfunction des elliptischen Integrales erster
Gattung bilden, und alle Resultate des zweiten Theiles
des \Titel{précis} auf beliebige reelle und imaginäre Integralmoduln
ausgedehnt werden.

Diese grosse und umfassende Theorie der elliptischen
Transcendenten, wie sie \Person{Abel} projectirt hatte, ist leider,
wie wir gesehen, nur in einem kleinen Bruchtheile, der sich
lediglich mit der Theorie der elliptischen \Emphasis{Integrale} beschäftigt,
veröffentlicht worden,

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»dans ce qu'il a fait, sagt \Person{Poisson} in seinem \Titel{rapport
sur l'ouvrage de M.~\Person{Jacobi}} am 21.~December 1829, la
postérité saura reconnaître tout ce qu'il aurait pu faire,
s'il eût vécu davantage«,
\end{quote}

und so war es von überaus grosser Bedeutung, dass
genau zu derselben Zeit, vor nunmehr 50~Jahren, \Person{Jacobi}
durch seine »\Titel{fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum}«
die mathematische Welt zu einem eingehenden Studium der
Theorie der elliptischen Transcendenten und zur Mitarbeit
auf diesem neuen Felde analytischer Forschung veranlasste.

Das Werk beginnt mit der Entwicklung der allgemeinen
rationalen Transformation;
%-----File: 095..png---

\begin{quote}
»Problema, quod nobis proponimus, generale hoc est:
Quaeritur Functio rationalis $y$ elementi $x$ eiusmodi, ut sit:
\[
  \frac{dy}{\sqrt{ A' + B'y + C'y^2 + D'y^3 + E'y^4 }}
= \frac{dx}{\sqrt{ A  + B x + C x^2 + D x^3 + E x^4 }}.
\]
Quod Problema et Multiplicationem videmus amplecti et
Trans\-formationem«;
\end{quote}

und \Person{Jacobi} findet auf dem in seinen ersten Arbeiten
angedeuteten Wege:

\begin{quote}
»Iam igitur demonstratum est, formam
\[
  y
= \frac{ a + a' x + a'' x^2 + \dotsb + a^{(p)} x^p }
       { b + b' x + b'' x^2 + \dotsb + b^{(p)} x^p },
\]
quicunque sit numerus $p$, ita determinari posse, ut prodeat:
\[
  \frac{dy}{\sqrt{ A' + B'y + C'y^2 + D'y^3 + E'y^4 }}
= \frac{dx}{\sqrt{ A  + B x + C x^2 + D x^3 + E x^4 }}.
\]
Quod est Principium in Theoria Transformationum Functionum
Ellipticarum Fundamentale«.
\end{quote}

Nachdem das allgemeine elliptische Differential erster
Gattung durch eine Transformation zweiten Grades auf die
\Person{Legendre}'sche Normalform reducirt, und somit der obige
Transformationssatz auf die Gleichung
\[
  \frac{dy}{  \sqrt{ (1 - y^2) (1 - \lambda^2 y^2) }}
= \frac{dx}{M \sqrt{ (1 - x^2) (1 - \kappa^2  x^2) }}
\]
übertragen ist, werden je nach den Formen
\begin{align*}
  y &= \frac{ x (a + a' x^2 + \dotsb + a^{(m-1)} x^{2m-2}) }
            {    1 + b' x^2 + \dotsb + b^{(m)}   x^{2m}    },
\\
  y &= \frac{ x (a + a' x^2 + \dotsb + a^{(m)} x^{2m}) }
            {    1 + b' x^2 + \dotsb + b^{(m)} x^{2m}  }
\end{align*}
die Transformationen gerader und ungerader Ordnung unterschieden,
und nun Eigenschaften der Functionen $U$ und $V$
in der rationalen Transformation $y = \frac{U}{V}$ entwickelt, welche
sich auf die Substitution $\frac{1}{k x}$ für x und $\frac{1}{\lambda y}$ für $y$ beziehen.
Es folgt die vollständige Ausführung der Transformation
dritten und fünften Grades mit der Entwicklung der zugehörigen
%-----File: 096..png---
Modulargleichungen, und hieran sich schliessend
der Satz, dass zwei nach einander angewandte Substitutionen
bestimmter Art die Multiplication liefern.

Nun führt \Person{Jacobi} die Umkehrungsfunction des Integrales
erster Gattung ein;
\[
  \int_0^x \frac{dx}{\sqrt{ (1-x^2) (1-\kappa^2 x^2) }} = u,\quad
  x = \sin\am u
\]
lautet die Zusammenstellung der beiden Gleichungen, welche
das Umkehrungsproblem der elliptischen Integrale ausdrücken
und aus welchen mit Hülfe des \Person{Euler}'schen Additionstheorems
der Charakter der doppelten Periodicität dieser
Function, ihre Nullwerthe, ihre Unendlichen und ihre Veränderungen
bei Vermehrung um halbe Perioden geschlossen
werden.

Mit Hülfe dieser elliptischen Function werden nun die
expliciten Transformationsausdrücke in den Fundamentalformeln
\begin{gather*}
  U = \frac{x}{M}
      \left( 1- \frac{x^2}{\sin^2\am 4\omega} \right)
      \left( 1- \frac{x^2}{\sin^2\am 8\omega} \right) \dotsm
\\
\dotsm\left( 1- \frac{x^2}{\sin^2\am 2(n-1)\omega} \right).
\\[1ex]
  V = (1 - \kappa^2 \sin^2\am 4\omega \cdot x^2)
      (1 - \kappa^2 \sin^2\am 8\omega \cdot x^2) \dotsm
\\
\dotsm(1 - \kappa^2 \sin^2\am 2(n-1)\omega \cdot x^2)
\\[1ex]
  \lambda = \kappa^n \{ \sin\co\am 4\omega \cdot \sin\co\am 8\omega
                 \dotsm \sin\co\am 2(n-1)\omega \}^4
\\[1ex]
  M = (-1)^{\frac{n-1}{2}}
      \left\{\frac{ \sin\co\am 4\omega \cdot \sin\co\am 8\omega \dotsm
                    \sin\co\am 2(n-1)\omega }
                  { \sin\am 4\omega \cdot \sin\am 8\omega \dotsm
                    \sin\am 2(n-1)\omega   }
      \right\}^2
\end{gather*}
gefunden, indem, wie schon früher hervorgehoben, für die
durch Analogie ermittelten Ausdrücke die Transformationsgleichung
verificirt wird. Hieran schliessen sich weitere
Ausführungen der Transformationstheorie; es werden die
verschiedenen, durch Specialisirung der Werthe $m$ und $m'$
in dem Ausdrucke $\omega = \frac{mK + m'iK'}{n}$ entspringenden Transformationsformeln
%-----File: 097..png---
untersucht, die Zahl der wesentlich verschiedenen
Transformationen bestimmt, und besonders die
den beiden Werthen $\omega = \frac{K}{n}$ und $\omega = \frac{iK'}{n}$ zugehörigen hervorgehoben,
für welche sämmtliche Transformationsausdrücke
sowie die Beziehungen zwischen den ursprünglichen und
transformirten Perioden entwickelt werden; es ergiebt sich
daraus die Erweiterung des früher für die Transformation
dritten und fünften Grades bewiesenen Satzes:

\begin{quote}
»Itaque post transformationem primam adhibita secunda
seu post secundam adhibita prima, Modulus $k$ in se redit,
seu transformationes prima et secunda successive adhibitae,
utro ordine placet, Multiplicationem praebent«;
\end{quote}

daraus folgen dann unmittelbar die allgemeinen analytischen
Formeln für die Multiplication der elliptischen
Functionen.

Nun unterwirft \Person{Jacobi} die oben gefundenen Modulargleichungen
für die Transformation dritten und fünften
Grades einer näheren Betrachtung, und sieht leicht, dass
dieselben unverändert bleiben, wenn beliebige, aber dieselben
Transformationen auf den primären und abgeleiteten Modul
ausgeübt werden. Die von \Person{Legendre} gefundene Differentialgleichung
zweiter Ordnung für die Perioden der elliptischen
Functionen führt ihn zu dem eleganten Ausdrucke
für den Multiplicator der Transformation
\[
  M^2 = \frac{1}{n} \frac{ \lambda (1 - \lambda^2) \,d\kappa  }
                         { \kappa  (1 - \kappa^2)  \,d\lambda }
\]
und zugleich zu jener merkwürdigen Differentialgleichung
dritter Ordnung
\begin{gather*}
  2\, d\kappa\, d\lambda \{ d\lambda\, d^3\kappa - d\kappa\, d^3\lambda \}
- 3 \{ d\lambda^2\, d^2\kappa^2 - d\kappa^2\, d^2\lambda^2 \}
\\
{}+ d\kappa^2\, d\lambda^2 \left\{
   \left( \frac{1 + \kappa^2 }{\kappa  - \kappa^3 } \right) d\kappa^2
 - \left( \frac{1 + \lambda^2}{\lambda - \lambda^3} \right) d\lambda^2
 \right\} = 0,
\end{gather*}
der alle transformirten Moduln genügen.

Die elliptische Umkehrungsfunction trat in die Ausdrücke
für die algebraische Transformation der Integrale
%-----File: 098..png---
ein, aber für die Function selbst waren analytische Darstellungen
noch nicht gefunden; von der Transformation
$n^\text{ten}$ Grades ausgehend gelangt \Person{Jacobi}, indem er $n$ unendlich
gross werden lässt, zur Darstellung der elliptischen
Functionen $\sin\am u$, $\cos\am u$, $\Delta\am u$ in Form von
Quotienten von unendlichen Producten und Partialbrüchen,
und daraus wieder zu den bekannten Formeln für $\kappa$ und $K$,
als Quotienten von unendlichen Producten, die nach den
Potenzen der Grösse $q=e^{\frac{-\pi K'}{K}}$ fortschreiten, sowie zu anderen
interessanten Ausdrücken für diese Grössen durch wiederholte
Anwendung der Transformation zweiten Grades.

Es folgt eine zweite Darstellung der elliptischen Functionen
und zwar durch \Person{Fourier}'sche Reihen, und mit Hülfe
dieser werden wiederum die Summen einer grossen Anzahl
von unendlichen, nach Ausdrücken in $q$ fortschreitenden
Reihen hergeleitet, welche sich durch den Integralmodul
und die Perioden des elliptischen Integrales ausdrücken.
Ebenso werden die Quadrate der elliptischen Functionen
und ihre reciproken Werthe, allgemein die $n^\text{ten}$ Potenzen
derselben sowie deren reciproke Werthe in sinus- und cosinus-Reihen
auf doppelte Weise entwickelt, wobei für die
letzteren Entwicklungen interessante und später in der
Theorie der allgemeinen doppelperiodischen Functionen verwerthete
Methoden benutzt werden, und sodann mit Einführung
der durch die Gleichung
\[
  Z(u) = \frac{F^1E(\phi) - E^1F(\phi)}{F^1}
\]
definirten Function diese Entwicklungen für die Darstellung
der Integrale zweiter Gattung in Form von \Person{Fourier}'schen
Reihen verwendet.

Die Darstellung der Integrale dritter Gattung leitet
\Person{Jacobi} mit den beiden wichtigen Sätzen ein, die schon
oben angedeutet wurden:
%-----File: 099..png---

\begin{quote}
»ita ut tertia species Integralium Ellipticorum, quae ab
elementis tribus pendet, Modulo $\kappa$, Amplitudine $\phi$, Parametro
$\alpha$, revocata sit ad speciem primam et secundam, et
Transcendentem novam
\[
  \int_0^\phi \frac{E(\phi) \,d\phi}{\Delta(\phi)} ,
\]
quae tantum a duobus elementis pendent omnes«,
\end{quote}

und

\begin{quote}
»qua formula Integralia tertiae speciei indefinita revocantur
ad definita, in quibus Amplitudo Parametrum aequat,
ideoque quae ab elementis tribus pendebant, ad alias Transcendentes,
quae tantum duobus constant«,
\end{quote}

endlich mit dem Satze von der Vertauschung der Amplitude
und des Parameters, und giebt dann die \Person{Fourier}'sche
Entwicklung dieser Integrale. Hier tritt nun die neue \Person{Jacobi}'sche
Transcendente $\Theta(u)$ ein, definirt durch die Gleichung
\[
  \Theta(u) = \Theta(0) e^{\int_0^u Z(u)\,du} ,
\]
und wird zugleich das Integral dritter Gattung durch
diese Fundamentaltranscendente ausgedrückt, für welche
analytische Darstellungen entwickelt werden. Die Additionstheoreme
der Integrale dritter Gattung für die Amplitude
und den Parameter werden mit Hülfe der Additionstheoreme
der $\Theta$-function in verschiedenen Formen aufgestellt,
und mit Hülfe gewisser Formeln für die lineare Transformation
der $\Theta$-function auf Grund der von \Person{Legendre} in
dem \Titel{traité} ausgeführten Untersuchungen das Theorem abgeleitet:

\begin{quote}
»Integrale propositum formae
\[
  \int_0^\phi  \frac{d\phi}{ (1 + n \sin^2\phi) \Delta(\phi) } ,
\]
quodcunque sit $n$ et $\phi$, sive reale sive imaginarium, revocari
%-----File: 100..png---
potest ad integralia similia, in quibus et $\phi$ reale et $n$
reale negativum inter 0 et $-1$«.
\end{quote}

Jetzt verlässt \Person{Jacobi} wieder die Theorie der Integrale
und kehrt zu der der elliptischen Functionen zurück; nach
Einführung der $\Theta$-Function, welche den Nenner der $\sin\am$
bildet, soll auch der Zähler derselben als selbständige Transcendente
$H$ der Theorie zu Grunde gelegt werden, die
$\cos\am$ und $\Delta\am u$ drücken sich alsdann als Quotienten
derselben Transcendenten aus nur mit Argumenten, welche
um halbe Perioden von den ersteren verschieden sind; wesentlich
ist nun der durch die Gleichung
\[
  H(u + i K') = i e^{\frac{\pi(K'-2iu)}{4K}} \Theta(u)
\]
definirte Zusammenhang zwischen den beiden Transcendenten,
welcher die ganze Theorie somit auf \Emphasis{eine} Fundamentaltranscendente
zurückführt, und aus welchem eine Reihe weiterer
Beziehungen zwischen diesen Functionen sich unmittelbar
ergiebt.

Für die durch unendliche Producte definirten $\Theta$- und
$H$-Functionen werden die bekannten eleganten Entwicklungen
nach den sinus und cosinus der Vielfachen des Argumentes
durch Benutzung der Beziehungen zwischen jenen
Functionen bei Vermehrung des Argumentes um ganze und
halbe Perioden der elliptischen Functionen hergeleitet, und
aus diesen Entwicklungsformen die berühmten \Person{Jacobi}'schen
Reihen wie
\[
  \sqrt{\frac{2K}{\pi}} = 1 + 2q + 2q^4 + \dotsm
\]
u.~s.~w.\ ermittelt.

Die Darstellung der $\Theta$-Function in einer \Person{Fourier}'schen
Reihe liefert eine dritte Darstellung der Integrale zweiter und
dritter Gattung, und die verschiedenen analytischen Formen
der elliptischen Functionen geben eine Reihe interessanter
Identitäten zwischen unendlichen Producten und unendlichen
%-----File: 101..png---
Reihen, welche nach Potenzen der Grösse $q$ fortschreiten.
Das Werk schliesst mit der Benutzung dieser Beziehungen
zum Beweise des Satzes, dass jede Zahl sich als eine Summe
von vier Quadraten darstellen lasse.

Dies ist in wenigen Worten der reiche Inhalt jenes
grossen Werkes, dessen Entstehung oben eingehend behandelt
worden, und das in Kurzem in den gesammelten
Werken \Person{Jacobi}'s neu erscheinen wird.

\begin{center}\rule[.5ex]{3cm}{.5pt}\end{center}

Von einer Vergleichung der Arbeiten \Person{Abel}'s und
\Person{Jacobi}'s auf dem Gebiete der elliptischen Transcendenten
kann hier nicht wohl die Rede sein; die Jahre 1826--29,
welche uns allein in diesen Blättern beschäftigt haben, bilden
für \Person{Jacobi} die erste Zeit seiner noch zwanzigjährigen
grossartigen und fruchtbringenden Thätigkeit auf allen Gebieten
der mathematischen Wissenschaft, dagegen schliessen
jene drei Jahre die ganze Zeit der wissenschaftlichen Arbeit
des in einem Alter von 27~Jahren der Wissenschaft entrissenen
eminenten Mathematikers \Person{Abel} ein. Nicht bloss
wir, die wir die Keime der Arbeiten \Person{Abel}'s sich haben
entwickeln und so reiche Früchte haben hervorbringen sehen,
staunen bei der Betrachtung seiner tiefen, umfassenden und
für alle Zeiten bahnbrechenden Forschungen, auch die Mitlebenden
waren sich der ganzen Grösse jenes Geistes vollauf
bewusst:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»En fermant cette lettre, sagt \Person{Legendre} in dem am
4.~Juni 1829 an \Person{Jacobi} gerichteten Briefe, je viens d'apprendre
avec une profonde douleur que votre digne émule
M.~\Person{Abel} est mort à Christiania des suites d'une maladie de
poitrine dont il était affecté depuis quelque temps et qui a
été aggravée par les rigueurs de l'hiver. C'est une perte
qui sera vivement sentie de tous ceux qui s'intéressent aux
progrès de l'analyse mathématique considerée dans ce qu'elle
a de plus élevé. Au reste dans le court espace de temps
%-----File: 102..png---
qu'il a vécu il a élevé un monument qui suffira pour rendre
sa memoire durable et donner une idée de ce qu'on aurait
pu attendre de son génie ni fata obstetissent«,
\end{quote}

und \Person{Jacobi} schreibt darauf am 14.~Juni 1829 an
\Person{Legendre}:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Les vastes problèmes qu'il s'était proposés, d'établir
des cri\-tères suffisants et nécessaires pour qu'une équa\-tion
algébrique quelconque soit résoluble, pour qu'une intégrale
quelconque puisse être exprimée en quantités finies, son invention
admirable de la propriété générale qui embrasse toutes
les fonctions qui sont des intégrales de fonctions algébriques
quelconques, etc., marquent un genre de questions tout
à fait particulier, et que personne avant lui n'a osé imaginer.
Il s'en est allé, mais il a laissé un grand exemple«.
\end{quote}

Da ich mir in diesen Blättern nur die Aufgabe gestellt
habe, die Geschichte der Theorie der elliptischen Transcendenten
in den Jahren 1826--29 zu skizziren, so bleibt
mir nur noch übrig, die hierauf bezüglichen \Person{Gauss}'schen
Arbeiten, soweit sie aus seinen Veröffentlichungen oder durch
seinen Nachlass bekannt geworden sind, und die zum grossen
Theil schon aus einer weit früheren Zeit stammen, kurz zu
besprechen, um ihre Beziehungen zu den Arbeiten \Person{Abel}'s
und \Person{Jacobi}'s festzustellen, welche vorher einer eingehenden
Erörterung unterzogen worden sind; ich lege hierbei die
von \Person{Schering} zu jenen Nachlassarbeiten gemachten Zeitbestimmungen
zu Grunde, welche ich für die Besprechung
derselben als massgebend betrachten werde.

\Person{Schering} hebt hervor, dass nach Mittheilung über
eine mündliche Aeusserung von \Person{Gauss} derselbe schon im
Jahre 1794 die Beziehungen zwischen dem arithmetisch-geometrischen
Mittel und den Potenzreihen, in denen die
Exponenten mit den Quadratzahlen fortschreiten, d.~h.\ in
unserer jetzigen Sprache die Entwicklung des ganzen elliptischen
%-----File: 103..png---
Integrales $K$ nach Potenzen von $q$ oder die Gleichung
$K = 2\pi\theta_3^2$, welche oben als eine der schönsten Entdeckungen
\Person{Jacobi}'s bezeichnet wurde, gekannt zu haben
scheint.

Es liegt eine handschriftliche Aufzeichnung von \Person{Gauss}
in den Worten vor:

\begin{quote}
»Functiones Lemniscaticas considerare coeperamus 1797.
Januar~8«;
\end{quote}

derselbe geht in der erweislich frühesten Untersuchung,
welche den Titel trägt: »\Titel{Elegantiores integralis $\int \frac{dx}{\sqrt{ 1-x^4 }}$
proprietates}«, von dem Integrale $\int\frac{dx}{\sqrt{ 1-x^4 }}$ aus, entwickelt,
indem er die Umkehrungsfunction bildet und
\[
  \msl \int \frac{dx}{\sqrt{ 1-x^4 }} = x,\quad
  \mcl \left( \frac{\omega}{2} - \int \frac{dx}{\sqrt{ 1-x^4 }} \right) = x
\]
setzt, die Additionstheoreme für $\msl(a±b)$, $\mcl(a±b)$, bestimmt
die Nullwerthe dieser Lemniscatischen Functionen,
und leitet das Multiplicationstheorem für $\msl(n\phi)$ und $\mcl(n\phi)$,
sowie die nach Potenzen fortschreitenden Entwicklungen für
$\arc\msl x$ und $\msl\phi$ her. Endlich werden der Zähler und Nenner
von $\msl\phi$ als selbständige Transcendente $P(\phi)$ und $Q(\phi)$
eingeführt und ihre Potenzentwicklungen mit Bestimmung
der Convergenzgrenze hergestellt; es sind genau die für
$k^2 = -1$ specialisirten \Person{Weierstrass}'schen Functionen
$\Al(w)_1$ und $\Al(w)_0$.

In einem im Juli 1798 begonnenen Notizbuche wird
unter dem Titel: \Titel{de curva lemniscata}
das algebraische Integral
der Differentialgleichung $\frac{dx}{\sqrt{ 1-x^4 }} + \frac{dx}{\sqrt{ 1-y^4 }} = 0$, und
aus diesem das Additionstheorem für $\msl(p±q)$ hergeleitet,
und sodann für den Zähler und Nenner $P(\phi)$ und $Q(\phi)$
von $\msl(\phi)$ die Entwicklung in einfach unendliche Producte
hergestellt, deren Factoren
%-----File: 104..png---
\[
  1 + \frac{4s^2}{(e^{k\pi} - e^{-k\pi})^2}, \text{ resp. }
  1 - \frac{4s^2}{\left( e^{\frac{ (2k+1)\pi}{2}}
                       + e^{\frac{-(2k+1)\pi}{2}} \right)^2}
\]
sind; \Person{Gauss} bemerkt zu dieser analytischen Darstellung
der transcendenten Functionen:

»id quod rigorose demonstrare possumus« -- und wir
dürfen daher wohl annehmen, dass \Person{Gauss} schon damals
zum Theil in dem Besitze der functionentheoretischen Sätze
war, welche sich auf die Entwicklung einer eindeutigen
Function in unendliche Producte beziehen. Es werden weiter
zwischen $P(\phi)$ und einer neu definirten Function $\mathfrak{P}(\phi)$
(welche das $P(\phi)$ der obigen Definition ist) Relationen von
der Form
\[
  \mathfrak{P}(\psi\omega) = e^{\frac12 \pi\psi^2} P(\psi\omega)
\]
aufgestellt, welche in den jetzt gebräuchlichen Zeichen
\[
  \Al(w)_1 = \frac{1}{\sqrt\kappa}\, e^{-\frac{E\kappa^2}{2\Omega}}\,
             \frac{\theta\left(\frac{2w}{\Omega}\right)_1}{\theta_1}
\]
lauten, und endlich noch die Entwicklung von $\msl(\phi)$ in
Partialbrüche und die von $\log P(\psi\omega)$ nach cosinus der Vielfachen
von $2\psi\pi$ gegeben.

Ein im November 1799 angefangenes Notizbuch bringt
für die Lemniscate die Entwicklung der Functionen $P(\psi\omega)$
und $Q(\psi\omega)$ nach der \Person{Fourier}'schen Reihe und die schon
bei früherer Gelegenheit erwähnte Entwicklung für die Grösse
\[
  \sqrt{\frac{\omega}{\pi}}
= 1 - 2 e^{-\pi} + 2 e^{-4\pi} - \dotsb,
\]
ferner \Person{Fourier}'sche Entwicklungen für $\frac{1}{\msl(\psi\omega)}$, $P^2(\psi\omega)$,
$Q^2(\psi\omega)$ und unter dem Titel: »\Titel{Variae Summationes serierum
absconditae}«
Resultate der Form
\[
  \left[ \frac{2}{ e^{ \pi}+e^{- \pi} } \right]^2
+ \left[ \frac{2}{ e^{2\pi}+e^{-2\pi} } \right]^2
+ \left[ \frac{2}{ e^{3\pi}+e^{-3\pi} } \right]^2 + \dotsb
= \tfrac12 \frac{\omega^2}{\pi^2} - \frac{1}{2\pi} - \frac12
\]
und eine Productentwicklung für die Periode:
%-----File: 105..png---
\[
  \frac{\omega}{2} = \frac{3}{2}\, \frac{4}{5}\, \frac{7}{6}\,
                     \frac{8}{9}\, \frac{11}{10}\, \frac{12}{13}\,
                     \dotsm;
\]
endlich sind mit Hülfe des arithmetisch-geometrischen Mittels,
auf das wir nachher zurückkommen, Formeln für die
Fünftheilung der Lemniscate aufgestellt, die offenbar in
Verbindung stehen mit jenen allgemeinen Sätzen von der
Theilung der Lemniscate, die \Person{Gauss} schon, wie oben hervorgehoben
worden, bei der Veröffentlichung der \Titel{disquisitiones
arithmeticae}
kannte und die erst 30~Jahre später
\Person{Abel} wieder gefunden. Zugleich mit diesen Untersuchungen
über die lemniscatischen Functionen wandte sich aber \Person{Gauss}
schon der Theorie der \Emphasis{allgemeinen} elliptischen Integrale und
Functionen zu. In einem Handbuch, dessen Titelblatt die
Aufschrift trägt: »\Titel{Varia, imprimis de Integrali $\int \frac{du}{\sqrt{ 1 + \mu \mu \sin^2 u }}$,
Novembr.\ 1799}«
finden wir für das allgemeine elliptische
Integral erster Gattung, welches in der von \Person{Legendre} gewählten
Normalform zu Grunde gelegt wird, das Umkehrungsproblem
behandelt, wie es uns erst so viele Jahre später von
\Person{Abel} und \Person{Jacobi} gegeben worden. Vorausgesetzt wird dabei
die Theorie des arithmetisch-geometrischen Mittels oder die
Kenntniss des Satzes, dass, wenn man auf das Integral
\[
  \int_0^{2\pi} \frac{dT}{2\pi \sqrt{ m^2 \cos^2 T + n^2 \sin^2 T }}
\]
die Substitution
\[
  \sin T = \frac{2m\sin T'}{(m + n)\cos^2 T' + 2m\sin^2 T'}
\]
anwendet und
\[
  \frac{m+n}{2} = m',\quad  \sqrt{mn} = n'
\]
setzt, das Integral in
\[
  \int_0^{2\pi} \frac{dT'}{2\pi \sqrt{ m'^2\cos^2 T' + n'^2\sin^2 T' }}
\]
%-----File: 106..png---
übergeht, so dass sich bei Fortsetzung des Verfahrens durch
successive Bildung des arithmetischen und geometrischen
Mittels für $m'$, $n'$, $m''$, $n''$, \dots, welche sich beide der festen
gemeinsamen Grenze $\mu = M(m,n)$ nähern,
\[
  \int_0^{2\pi} \frac{dT}{2\pi \sqrt{ m^2\cos^2T + n^2\sin^2T }}
= \frac{1}{\mu}
\]
ergiebt, Auseinandersetzungen, die \Person{Gauss} viel später zuerst
in der im Januar 1818 erschienenen Arbeit: »\Titel{Determinatio
attractionis, quam in punctum quodvis positionis datae exercet
planeta \ldots}«
veröffentlichte; er sagt in seiner Selbstanzeige
vom 9.~Februar 1818:

\begin{quote}
»Der Verfasser hat indessen diese erste sich ihm darbietende
Gelegenheit benutzt, um die ersten Linien eines
\Emphasis{neuen Algorithmus} zu geben, dessen er sich schon seit
einer langen Reihe von Jahren zur Bestimmung dieser Transcendenten
bedient hat, und worüber er in Zukunft eine ausgedehnte
zu vielen merkwürdigen Resultaten führende Untersuchung
bekannt machen wird.«
\end{quote}

und er deutet auch an, dass er längst im Besitze einer
umfangreichen Theorie der elliptischen Transcendenten ist,
von der die Untersuchungen \Person{Lagrange}'s und \Person{Legendre}'s
nur die Anfänge bilden:

\begin{quote}
»Aufmerksamen Lesern wird es nicht entgehen, wie
viele interessante Aufgaben, die mit den hier betrachteten
Transcendenten zusammenhängen, durch den erklärten Algorithmus
mit grösster Leichtigkeit aufgelöst werden. Als
ein Beispiel führen wir hier die Rectification der Ellipse an.
Setzt man ihre halbe grosse Axe $= n$, so wird die Peripherie:
$\frac{2\pi}{\mu} \{ m'^{\,2} - 2(m''^{\,2} - n''^{\,2}) - 4(m'''^{\,2} - n'''^{\,2}) - \dotsb \}$.
Ein anderes Beispiel giebt die Dauer der Pendelschwingungen
bei endlichen Bogen, welche sich zu der Dauer der
unendlich kleinen Schwingungen verhält, wie die Einheit
%-----File: 107..png---
zu dem arithmetisch-geometrischen Mittel zwischen~$1$ und
dem Cosinus von einem Viertel des ganzen Schwingungsbogens.
Schliesslich muss noch bemerkt werden, dass der
Verfasser diese Resultate, so wie er sie schon vor vielen
Jahren unabhängig von ähnlichen Untersuchungen \Person{Lagrange}'s
und \Person{Legendre}'s gefunden hat, in ihrer ursprünglichen
Form darstellen zu müssen geglaubt hat, obgleich
sie zum Theil aus den Entdeckungen dieser Geometer leicht
hätten abgeleitet werden können, theils weil jene Form ihm
wesentliche Vorzüge zu haben schien, theils weil sie grade
so den Anfang einer viel ausgedehnteren Theorie ausmachen,
wo seine Arbeit eine ganz verschiedene Richtung von der
der genannten Geometer genommen hat«.
\end{quote}

Die Untersuchungen über das arithmetisch-geometrische
Mittel sind von \Person{Gauss} unter dem Titel:
\begin{quote}
\Titel{De origine proprietatibusque generalibus numerorum mediorum
arithmetico-geometricorum}
\end{quote}
und
\begin{quote}
\Titel{De functionibus transcendentibus quae ex differentiatione
mediorum arithmetico-geometricorum
oriuntur}
\end{quote}
fortgesetzt in einem Handbuche, welches vom Jahre 1800
an benutzt wird, und in welchem Reihenentwicklungen für
das arithmetisch-geometrische Mittel, sowie sehr stark convergirende
Reihen für \textit{d.~M.} $(x, y)$ nach den Grössen $x$ und $y$
und den durch die angegebenen Operationen aus diesen abgeleiteten
aufgestellt sind.

Von diesen Untersuchungen über das arithmetisch-geometrische
Mittel ausgehend begründet nun \Person{Gauss} die
Theorie der elliptischen Integrale und deren Umkehrungsfunctionen,
indem er in
\[
  \int \frac{du}{\sqrt{ 1 + \mu^2\sin^2 u }} = \phi
\]
$\mu = \tg v$ substituirt, die Perioden durch die Ausdrücke
definirt:
%-----File: 108..png---
\begin{gather*}
  \frac{\pi      }{M(1, \sqrt{ 1 + \mu^2})}
= \frac{\pi\cos v}{M(1, \cos v)} = \omega
\\[5pt]
  \frac{\pi}{\mu M \left(1, \sqrt{1 + \frac{1}{\mu^2}} \right)}
= \frac{\pi\cos v}{M(1, \sin v)} = \omega',
\end{gather*}
und $\sin u = S(\phi) = S(\psi\omega)$ setzt; für die eindeutige Umkehrungsfunction
giebt er die trigonometrische Entwicklung,
setzt
\[
  S(\psi\omega) = \frac{T(\psi\omega)}{W(\psi\omega)}\,,
\]
worin die $T$ und $W$ bis auf constante Factoren die spätern
$\theta_1$ und $\theta_0$ sind, und entwickelt diese Functionen und ihre
Quadrate in \Person{Fourier}'sche Reihen sowie in unendliche
Producte genau in der Form der von \Person{Abel} und \Person{Jacobi}
gewählten Darstellungen.

Alle diese Untersuchungen waren wahrscheinlich schon
im Jahre 1798 vollendet, wie aus der folgenden Stelle des
schon oben erwähnten Briefes von \Person{Crelle} an \Person{Abel} hervorgeht,
in welchem einer Mittheilung von \Person{Gauss} Erwähnung
gethan wird, in der es heisst:

\begin{quote}
\selectlanguage{french}
»Il (\Person{Abel}) vient d'enfiler précisément la même route
dont je suis sorti en 1798«.
\end{quote}

Unter dem Titel: »\Titel{Einige neue Formeln die Lemniscatischen
Functionen betreffend}«
findet sich in einem im November
1801 begonnenen Handbuche eine Reihe interessanter
Resultate, die wahrscheinlich schon viel früher gefunden
worden; von der complexen Multiplication der lemniscatischen
Function ausgehend wird die Reihenentwicklung
für dieselbe aufgestellt, und die Differentialgleichung für die
Transcendente $P(\phi)$ sowie deren Potenzreihe entwickelt.

Die einzige Veröffentlichung vereinzelter hierher gehöriger
Untersuchungen, wenn wir von der bekannten Stelle
in den \Titel{disquisitiones arithmeticae} absehen, findet sich
in der »\Titel{Summatio quarundam serierum singularium}« betitelten
%-----File: 109..png---
und im September 1808 veröffentlichten Abhandlung, worin
Reihen und Producte untersucht sind, die der Theorie
der elliptischen Functionen angehören, und in der \Titel{determinatio
attractionis} etc.\ vom Januar 1818, worin, wie schon
oben hervorgehoben worden, zuerst das arithmetisch-geometrische
Mittel eingeführt wird.

Vom Jahre 1808 liegt eine Reihe wichtiger Untersuchungen
vor, betitelt: »\Titel{Zur Theorie der transcendenten
Functionen gehörig}«; dort geht \Person{Gauss} von der Definition
der $\theta$-Function, die er mit T bezeichnet, als einer unendlichen
Summe von Exponentialgrössen mit quadratischem
Exponenten aus, entwickelt dieselbe in die bekannte Reihe
nach cosinus
der Vielfachen des Argumentes, stellt Beziehungen
zwischen den verschiedenen $\theta$-Functionen für den
Nullwerth des Argumentes auf, entwickelt die Formel für
eine Transformation zweiten Grades dieser Transcendenten
und behandelt die Theilungsgleichung für 3, 5 und 7; endlich
wird die $\theta$-Function in ein unendliches Doppelproduct
entwickelt und mit Hülfe dieser Entwicklung eine lineare
Transformationsformel für dieselbe aufgestellt; wir wissen
aus dem schon oben erwähnten Briefe \Person{Jacobi}'s an \Person{Legendre}
vom 5.~August 1827, dass \Person{Gauss} im Jahre 1808
ausser der Entwicklung der 3, 5 und 7-Theilung auch die
Modulnketten % changed from 'Moduln-Ketten' for consistency
hergestellt hat, welche diesen Transformationsgraden
entsprechen.

Das am 28.~April 1809 geendigte Handbuch liefert uns
Relationen zwischen den $\theta$-Functionen für den Nullwerth
des Arguments und vielfache Moduln, und auch Beziehungen
zwischen den $\theta$-Functionen mit willkührlichem Argument.
Aber interessantere und wichtigere Untersuchungen, die
wieder in die weit späteren Arbeiten von \Person{Abel} hineinragen,
weist das am 2.~Mai 1809 geendigte Handbuch auf;
wir finden dort unter dem Titel: »\Titel{Fortsetzung der Untersuchungen
über das arithmetisch-geometrische Mittel}« Beziehungen
%-----File: 110..png---
zwischen den $\theta$-Functionen mit dem Modul $\tau$
zu den entsprechenden für die Moduln $4\tau$, $16\tau,\ldots$, die
Reihenentwicklungen der $\theta$-Functionen mit verschwindender
Variabeln, Beziehungen zwischen den verschiedenen
$\theta$-Functionen für den um 1 vermehrten $\theta$-Modul, und die
vollständige lineare Transformation dieser Transcendenten
für den Nullwerth des Argumentes. Sodann werden die
Relationen in Betracht gezogen, welche zwischen den constanten
$\theta$-Functionen für lineare Beziehungen zwischen solchen
$\theta$-Moduln bestehen, welche Lösungen quadratischer
Gleichungen mit derselben negativen Determinante sind,
d.~h.\ für die Moduln complexer Multiplication. Es folgen
endlich die Transformationsformeln zweiten Grades für die
$\theta$-Function, die partielle Differentialgleichung für dieselbe
und die bekannten Formeln für das zweite logarithmische
Differential dieser Transcendenten.

Das im Mai 1809 angefangene Handbuch liefert die
Additions- und Multiplicationsformeln (auch mit complexen
Multiplicatoren) sowie die zum Grade $n$ gehörigen Transformationsausdrücke
für die zu den lemniscatischen Functionen
gehörigen $\theta$-Functionen, und die »\Titel{Hundert Theoreme
über die neuen Transcendenten}«, für deren Abfassung sich nach
\Person{Schering} eine Zeitangabe nicht machen liess, beschäftigen
sich mit der Entwicklung der $\theta$-Functionen, liefern einfache
Transformationsfälle dieser Transcendenten für den Nullwerth
des Arguments und weitere Beziehungen zwischen
dem arithmetisch-geometrischen Mittel und eben diesen
Functionen.

Erst vom 20.~Februar 1817 findet sich eine weitere Aufzeichnung
von \Person{Gauss} über die »\Titel{Lemniscatische Function}«,
welche, indem $\msl X = x$, $\int x^2 \, dX = F(X)$ gesetzt wird, nur
das längst bekannte Additionstheorem der Integrale zweiter
Gattung in der Form $F(a + b) = F(a) + F(b) - \msl a\cdot
\msl b\cdot \msl(a+b)$ enthält.
%-----File: 111..png---

Die Untersuchungen \Person{Abel}'s und \Person{Jacobi}'s bilden für
\Person{Gauss} von Neuem die Veranlassung, zu den längst verlassenen
Studien zurückzukehren. Wie \Person{Schering} hervorhebt,
ist aus den Briefen von \Person{Gauss} an \Person{Schumacher} vom
4.\ und 19.~August 1827 ersichtlich, dass \Person{Schumacher} vor
dem Erscheinen der Briefe \Person{Jacobi}'s in den astronomischen
Nachrichten dieselben im Original \Person{Gauss} überschickte, und
wir finden im Nachlasse von \Person{Gauss}, wahrscheinlich durch
die Lectüre des ersten Briefes von \Person{Jacobi} an \Person{Schumacher}
veranlasst, in einem Aufsatze, betitelt: »\Titel{Allgemeines Theorem
(1827.\ Aug.~6)}«,
die Transformation 2, 3, $7^\text{ten}$ Grades durchgeführt
und zwar mit Hülfe der zu diesen Graden gehörigen
Transformationsformeln für die $P$, $Q$, $R$, $S$, die \Person{Jacobi}'schen
$\theta$-Functionen, somit auf Grund einer Transformationsmethode,
wie sie erst in den weiteren Arbeiten von
\Person{Jacobi} angedeutet und später ausgeführt worden ist. Der
zweite Brief \Person{Jacobi}'s, der den allgemeinen analytischen Ausdruck
für die rationale Transformation liefert, veranlasst \Person{Gauss}
(Aug.~29) zu Untersuchungen, welche die Beziehungen zwischen
den transformirten und ursprüngliche $\theta$-Functionen für den
Nullwerth des Argumentes zum Gegenstand haben, und zur
Aufstellung der Modulargleichung für die Transformation
$5^\text{ten}$ Grades führen auf einem Wege, wie er erst nach langer
Zeit von den Mathematikern wieder betreten worden. Den
Schluss dieser bis in die von uns behandelte Zeit reichenden
Aufzeichnungen bildet die Entwicklung eines Hauptfalles
der linearen Transformation der $\theta$-Functionen und der Convergenzbedingung
derselben, und unmittelbar damit verbunden
ein Satz aus dem Gebiete der Functionentheorie:
\begin{quote}
»Wenn
innerhalb einer begrenzten Figur überall
\[
  \frac{d^2V}{dx^2} + \frac{d^2V}{dy^2} = 0,
\]
an der Grenze hingegen $V$ constant $= A$ ist, so ist nothwendig
auch im ganzen Raume $V = A$«.
\end{quote}
%-----File: 112..png---

Ueberblicken wir die Gesammtheit der durch die Veröffentlichung
des \Person{Gauss}'schen Nachlasses uns zugänglich
gewordenen Untersuchungen dieses unvergleichlich grossen
Mathematikers, so werden wir nicht zu weit gehen, wenn
wir behaupten, dass ein grosser Theil der von \Person{Abel} und
\Person{Jacobi} der mathematischen Wissenschaft zugeführten Resultate
und Methoden in der Theorie der elliptischen Transcendenten
wenigstens in den Grundzügen von \Person{Gauss} fast
30 Jahre früher aufgefunden worden, und dass von grossen
und umfassenden Gebieten in dieser Theorie eigentlich nur
die algebraischen Untersuchungen \Person{Jacobi}'s aus der Theorie
der elliptischen Functionen sowie dessen Entdeckungen, die
Einführung der $\theta$-Functionen in die Theorie der Integrale
zweiter und dritter Gattung betreffend, und die Arbeiten
\Person{Abel}'s über das nach ihm benannte Theorem und die Theorie
der allgemeinen Transformation und Reduction der Integrale
algebraischer Differentiale hiervon ausgenommen werden
können.
\clearpage
\backmatter
\markboth{\textsc{Project Gutenberg Licensing.\hfil}}{\hfil\textsc{Project Gutenberg Licensing.}}

{\small
\begin{verbatim}
End of the Project Gutenberg EBook of Zur Geschichte der Theorie der
Elliptischen Transcendenten, by Leo Koenigsberger

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\end{verbatim}
}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of Zur Geschichte der Theorie der    %
% Elliptischen Transcendenten, by Leo Koenigsberger                       %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN TRANSCENDENTEN *** %
%                                                                         %
% ***** This file should be named 30005-t.tex or 30005-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/3/0/0/0/30005/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

This is pdfTeXk, Version 3.141592-1.40.3 (Web2C 7.5.6) (format=pdflatex 2009.8.25)  16 SEP 2009 12:40
entering extended mode
 %&-line parsing enabled.
**30005-t.tex
(./30005-t.tex
LaTeX2e <2005/12/01>
Babel <v3.8h> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, arabic, farsi, croatian, ukrainian, russian, bulgarian, czech, slov
ak, danish, dutch, finnish, basque, french, german, ngerman, ibycus, greek, mon
ogreek, ancientgreek, hungarian, italian, latin, mongolian, norsk, icelandic, i
nterlingua, turkish, coptic, romanian, welsh, serbian, slovenian, estonian, esp
eranto, uppersorbian, indonesian, polish, portuguese, spanish, catalan, galicia
n, swedish, ukenglish, pinyin, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/leqno.clo
File: leqno.clo 1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk12.clo
File: bk12.clo 2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
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\c@subparagraph=\count85
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\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
\inpenc@prehook=\toks14
\inpenc@posthook=\toks15
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2006/05/05 v1.1b Input encoding file
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\@emptytoks=\toks16
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks17
\ex@=\dimen103
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen104
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsmath/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count88
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count89
\leftroot@=\count90
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count91
\DOTSCASE@=\count92
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen105
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count93
\c@MaxMatrixCols=\count94
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\row@=\count97
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\tagshift@=\dimen108
\tagwidth@=\dimen109
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\lineht@=\dimen111
\@envbody=\toks20
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks21
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/11/23 v3.8h The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/germanb.ldf
Language: germanb 2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/11/23 v3.8h Babel common definitions
\babel@savecnt=\count100
\U@D=\dimen112
)
\l@austrian = a dialect from \language\l@german 
Package babel Info: Making " an active character on input line 91.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen113
\std@mcc=\count101
\dec@mcc=\count102
*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/psnfss/mathpazo.sty
Package: mathpazo 2005/04/12 PSNFSS-v9.2a Palatino w/ Pazo Math (D.Puga, WaS) 
\symupright=\mathgroup6
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/was/fixmath.sty
Package: fixmath 2000/04/11 v0.9 (WaS)
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Gamma on input line 27.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Delta on input line 28.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Theta on input line 29.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Lambda on input line 30.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Xi on input line 31.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Pi on input line 32.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Sigma on input line 33.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Upsilon on input line 34.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Phi on input line 35.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Psi on input line 36.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \Omega on input line 37.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \alpha on input line 38.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \beta on input line 39.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \gamma on input line 40.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \delta on input line 41.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \epsilon on input line 42.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \zeta on input line 43.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \eta on input line 44.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \theta on input line 45.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \iota on input line 46.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \kappa on input line 47.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \lambda on input line 48.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \mu on input line 49.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \nu on input line 50.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \xi on input line 51.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \pi on input line 52.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \rho on input line 53.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \sigma on input line 54.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \tau on input line 55.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \upsilon on input line 56.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \phi on input line 57.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \chi on input line 58.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \psi on input line 59.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \omega on input line 60.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varepsilon on input line 61.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \vartheta on input line 62.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varpi on input line 63.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varphi on input line 64.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varrho on input line 65.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math symbol \varsigma on input line 66.
LaTeX Font Info:    Redeclaring math alphabet \mathbold on input line 67.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbold' in version `normal'
(Font)                  OML/zplm/b/it --> OML/cmm/b/it on input line 67.
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathbold' in version `bold'
(Font)                  OML/zplm/b/it --> OML/cmm/b/it on input line 67.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/units/nicefrac.sty
Package: nicefrac 1998/08/04 v0.9b Nice fractions
\L@UnitsRaiseDisplaystyle=\skip46
\L@UnitsRaiseTextstyle=\skip47
\L@UnitsRaiseScriptstyle=\skip48
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/ifthen.sty
Package: ifthen 2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/footmisc/footmisc.sty
Package: footmisc 2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
\FN@temptoken=\toks22
\footnotemargin=\dimen114
\c@pp@next@reset=\count103
\c@@fnserial=\count104
Package footmisc Info: Declaring symbol style bringhurst on input line 817.
Package footmisc Info: Declaring symbol style chicago on input line 818.
Package footmisc Info: Declaring symbol style wiley on input line 819.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport-robust on input line 823.

Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport* on input line 831.
Package footmisc Info: Declaring symbol style lamport*-robust on input line 840
.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/titlesec/titlesec.sty
Package: titlesec 2005/01/22 v2.6 Sectioning titles
\ttl@box=\box28
\beforetitleunit=\skip49
\aftertitleunit=\skip50
\ttl@plus=\dimen115
\ttl@minus=\dimen116
\titlewidth=\dimen117
\titlewidthlast=\dimen118
\titlewidthfirst=\dimen119
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/titlesec/ttlps.def
File: ttlps.def 2005/01/22
))
No file 30005-t.aux.
\openout1 = `30005-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 130.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 130.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 130.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 130.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 130.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 130.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 130.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 130.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 130.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 130.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 130.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 130.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 130.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OT1+ppl on input line 130.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/ot1ppl.fd
File: ot1ppl.fd 2001/06/04 font definitions for OT1/ppl.
)
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 130.

Overfull \hbox (66.95023pt too wide) in paragraph at lines 155--155
[]\OT1/cmtt/m/n/12 The Project Gutenberg EBook of Zur Geschichte der Theorie de
r Elliptischen[] 
 []


Overfull \hbox (5.2002pt too wide) in paragraph at lines 155--155
[]\OT1/cmtt/m/n/12 This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and 
with[] 
 []


Overfull \hbox (29.9002pt too wide) in paragraph at lines 155--155
[]\OT1/cmtt/m/n/12 almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it
 away or[] 
 []


Overfull \hbox (23.7252pt too wide) in paragraph at lines 155--155
[]\OT1/cmtt/m/n/12 re-use it under the terms of the Project Gutenberg License i
ncluded[] 
 []


Overfull \hbox (11.3752pt too wide) in paragraph at lines 155--155
[]\OT1/cmtt/m/n/12 Title: Zur Geschichte der Theorie der Elliptischen Transcend
enten[] 
 []


Overfull \hbox (60.77522pt too wide) in paragraph at lines 155--155
[]\OT1/cmtt/m/n/12 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN TRANS
CENDENTEN ***[] 
 []

[1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}]
LaTeX Font Info:    Font shape `OT1/ppl/bx/n' in size <12> not available
(Font)              Font shape `OT1/ppl/b/n' tried instead on input line 176.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OML+zplm on input line 177
.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/omlzplm.fd
File: omlzplm.fd 2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OML/zplm.
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMS+zplm on input line 177
.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/omszplm.fd
File: omszplm.fd 2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OMS/zplm.
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OMX+zplm on input line 177
.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/omxzplm.fd
File: omxzplm.fd 2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OMX/zplm.
)
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msa/m/n' will be
(Font)              scaled to size 12.50409pt on input line 177.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msa/m/n' will be
(Font)              scaled to size 9.37807pt on input line 177.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msa/m/n' will be
(Font)              scaled to size 7.29405pt on input line 177.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msb/m/n' will be
(Font)              scaled to size 12.50409pt on input line 177.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msb/m/n' will be
(Font)              scaled to size 9.37807pt on input line 177.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msb/m/n' will be
(Font)              scaled to size 7.29405pt on input line 177.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for OT1+zplm on input line 177
.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/psnfss/ot1zplm.fd
File: ot1zplm.fd 2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OT1/zplm.
) [2]
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msa/m/n' will be
(Font)              scaled to size 11.40997pt on input line 231.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msa/m/n' will be
(Font)              scaled to size 8.33606pt on input line 231.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msa/m/n' will be
(Font)              scaled to size 6.25204pt on input line 231.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msb/m/n' will be
(Font)              scaled to size 11.40997pt on input line 231.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msb/m/n' will be
(Font)              scaled to size 8.33606pt on input line 231.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msb/m/n' will be
(Font)              scaled to size 6.25204pt on input line 231.
[3

]
Underfull \hbox (badness 10000) in paragraph at lines 329--330

 []

[4

] [5

] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [
22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29]
Underfull \hbox (badness 1609) in paragraph at lines 1720--1726
[]\T1/lmr/m/n/12 ^^T\OT1/ppl/m/n/12 en tra-vaillant pour mon propre compte, sch
reibt er am
 []

[30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38]
Underfull \hbox (badness 4967) in paragraph at lines 2203--2211
[]\OT1/ppl/m/n/12 Der Be-hand-lung des Mul-ti-pli-ca-ti-ons-pro-blems folgt die
 L[]o-sung
 []


Underfull \hbox (badness 2443) in paragraph at lines 2203--2211
\OT1/ppl/m/n/12 der schwie-ri-gen Auf-ga-be der Di-vi-si-on der el-lip-ti-schen
 Func-tio-nen.
 []

[39]
Underfull \hbox (badness 2884) in paragraph at lines 2269--2291
\OT1/ppl/m/n/12 stellen sich als L[]osungen ei-ner un-mit-tel-bar aus der Di-vi
-si-ons-glei-
 []

[40] [41] [42]
Overfull \hbox (29.76904pt too wide) detected at line 2400
[] \OT1/zplm/m/n/12 = []\OML/zplm/m/it/12 ;  [] \OT1/zplm/m/n/12 = []\OT1/ppl/m
/n/12 .[]
 []

[43] [44] [45] [46]
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msa/m/n' will be
(Font)              scaled to size 5.21004pt on input line 2641.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msb/m/n' will be
(Font)              scaled to size 5.21004pt on input line 2641.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msa/m/n' will be
(Font)              scaled to size 10.42007pt on input line 2647.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msa/m/n' will be
(Font)              scaled to size 7.91925pt on input line 2647.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msb/m/n' will be
(Font)              scaled to size 10.42007pt on input line 2647.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msb/m/n' will be
(Font)              scaled to size 7.91925pt on input line 2647.
LaTeX Font Info:    Calculating math sizes for size <7.6> on input line 2647.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msa/m/n' will be
(Font)              scaled to size 6.01859pt on input line 2647.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msa/m/n' will be
(Font)              scaled to size 4.75159pt on input line 2647.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msb/m/n' will be
(Font)              scaled to size 6.01859pt on input line 2647.
LaTeX Font Info:    Font shape `U/msb/m/n' will be
(Font)              scaled to size 4.75159pt on input line 2647.

Overfull \hbox (3.32224pt too wide) detected at line 2674
[] [] \OML/zplm/m/it/12 '[]^^L \OT1/zplm/m/n/12 + [][]\OML/zplm/m/it/12 p[]q[] 
\OT1/zplm/m/n/12 = []\OML/zplm/m/it/12 ;
 []

[47] [48]
Underfull \hbox (badness 4647) in paragraph at lines 2759--2771
\OT1/ppl/m/n/12 worauf die Mit-t-hei-lung der-je-ni-gen Me-tho-de folgt, die da
-tirt aus
 []

[49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57]
Underfull \hbox (badness 1939) in paragraph at lines 3262--3269
[]\T1/lmr/m/n/12 ^^T\OT1/ppl/m/n/12 Je re-marque, []a cette oc-ca-sion, sagt er
 in sei-nem Briefe
 []

[58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70]
Underfull \hbox (badness 2469) in paragraph at lines 3972--3974
[]\T1/lmr/m/n/12 ^^T\OT1/ppl/m/n/12 c'est jus-qu'ici que ce m[]emoire est par-v
enu []a l'[]editeur.
 []

[71]
Underfull \hbox (badness 2005) in paragraph at lines 4020--4025
\OT1/ppl/m/n/12 in wel-cher $\OML/zplm/m/it/12 x[]; x[]; [] u; v[]; v[]; []$ \O
T1/ppl/m/n/12 al-ge-brai-sche Func-tio-nen von $\OML/zplm/m/it/12 x$\OT1/ppl/m/
n/12 , $\OML/zplm/m/it/12 A[]$\OT1/ppl/m/n/12 ,
 []

[72] [73] [74]
Overfull \hbox (19.2184pt too wide) detected at line 4186
[] \OT1/zplm/m/n/12 = []\OT1/ppl/m/n/12 .
 []


Underfull \hbox (badness 1783) in paragraph at lines 4186--4189
\OT1/ppl/m/n/12 Quod Pro-ble-ma et Mul-ti-pli-ca-tio-nem vi-de-mus am-plec-ti e
t
 []


Overfull \hbox (19.2184pt too wide) detected at line 4205
[] \OT1/zplm/m/n/12 = []\OT1/ppl/m/n/12 .
 []

[75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90


]
Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 End of the Project Gutenberg EBook of Zur Geschichte der 
Theorie der[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN TRAN
SCENDENTEN ***[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 ***** This file should be named 30005-pdf.pdf or 30005-pd
f.zip *****[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 one owns a United States copyright in these works, so the
 Foundation[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 set forth in the General Terms of Use part of this licens
e, apply to[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 charge for the eBooks, unless you receive specific permis
sion.  If you[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 research.  They may be modified and printed and given awa
y--you may do[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 distribution of electronic works, by using or distributin
g this work[] 
 []

[91]
Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg"), you agree to comply with all the terms of th
e Full Project[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 1.  General Terms of Use and Redistributing Proje
ct Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic work, you indicate that you have read, underst
and, agree to[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 (trademark/copyright) agreement.  If you do not agree to 
abide by all[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the terms of this agreement, you must cease using and ret
urn or destroy[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 all copies of Project Gutenberg-tm electronic works in yo
ur possession.[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic work and you do not agree to be b
ound by the[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.B.  "Project Gutenberg" is a registered trademark.  It 
may only be[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 used on or associated in any way with an electronic work 
by people who[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 things that you can do with most Project Gutenberg-tm ele
ctronic works[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 paragraph 1.C below.  There are a lot of things you can d
o with Project[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic works if you follow the terms of 
this agreement[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and help preserve free future access to Project Gutenberg
-tm electronic[] 
 []


Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.C.  The Project Gutenberg Literary Archive Foundation (
"the Foundation"[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or PGLAF), owns a compilation copyright in the collection
 of Project[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm electronic works.  Nearly all the individual
 works in the[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 individual work is in the public domain in the United Sta
tes and you are[] 
 []


Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 located in the United States, we do not claim a right to 
prevent you from[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 copying, distributing, performing, displaying or creating
 derivative[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 works based on the work as long as all references to Proj
ect Gutenberg[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm mission of promoting free access to electron
ic works by[] 
 []


Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 freely sharing Project Gutenberg-tm works in compliance w
ith the terms of[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 this agreement for keeping the Project Gutenberg-tm name 
associated with[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the work.  You can easily comply with the terms of this a
greement by[] 
 []

[92]
Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.D.  The copyright laws of the place where you are locat
ed also govern[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 what you can do with this work.  Copyright laws in most c
ountries are in[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 a constant state of change.  If you are outside the Unite
d States, check[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 before downloading, copying, displaying, performing, dist
ributing or[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg-tm work.  The Foundation makes no representatio
ns concerning[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.1.  The following sentence, with active links to, or 
other immediate[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 access to, the full Project Gutenberg-tm License must app
ear prominently[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 whenever any copy of a Project Gutenberg-tm work (any wor
k on which the[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 phrase "Project Gutenberg" appears, or with which the phr
ase "Project[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg" is associated) is accessed, displayed, perform
ed, viewed,[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give
 it away or[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.2.  If an individual Project Gutenberg-tm electronic 
work is derived[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 from the public domain (does not contain a notice indicat
ing that it is[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 posted with permission of the copyright holder), the work
 can be copied[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and distributed to anyone in the United States without pa
ying any fees[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or charges.  If you are redistributing or providing acces
s to a work[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with the phrase "Project Gutenberg" associated with or ap
pearing on the[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 work, you must comply either with the requirements of par
agraphs 1.E.1[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.3.  If an individual Project Gutenberg-tm electronic 
work is posted[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with the permission of the copyright holder, your use and
 distribution[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 must comply with both paragraphs 1.E.1 through 1.E.7 and 
any additional[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 terms imposed by the copyright holder.  Additional terms 
will be linked[] 
 []

[93]
Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 permission of the copyright holder found at the beginning
 of this work.[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.4.  Do not unlink or detach or remove the full Projec
t Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 License terms from this work, or any files containing a p
art of this[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.5.  Do not copy, display, perform, distribute or redi
stribute this[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 prominently displaying the sentence set forth in paragrap
h 1.E.1 with[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 compressed, marked up, nonproprietary or proprietary form
, including any[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 word processing or hypertext form.  However, if you provi
de access to or[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 distribute copies of a Project Gutenberg-tm work in a for
mat other than[] 
 []


Overfull \hbox (29.6542pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 posted on the official Project Gutenberg-tm web site (www
.gutenberg.org),[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 you must, at no additional cost, fee or expense to the us
er, provide a[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 copy, a means of exporting a copy, or a means of obtainin
g a copy upon[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 form.  Any alternate format must include the full Project
 Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 access to or distributing Project Gutenberg-tm electronic
 works provided[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 the use of Project Gutenberg-tm works calculated usi
ng the method[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 you already use to calculate your applicable taxes. 
 The fee is[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 owed to the owner of the Project Gutenberg-tm tradem
ark, but he[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 Project Gutenberg Literary Archive Foundation.  Roya
lty payments[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 returns.  Royalty payments should be clearly marked 
as such and[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 sent to the Project Gutenberg Literary Archive Found
ation at the[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 address specified in Section 4, "Information about d
onations to[] 
 []

[94]
Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 - You provide a full refund of any money paid by a user w
ho notifies[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 you in writing (or by e-mail) within 30 days of rece
ipt that s/he[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 - You provide, in accordance with paragraph 1.F.3, a full
 refund of any[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 money paid for a work or a replacement copy, if a de
fect in the[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]     \OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic work is discovered and reported to you wi
thin 90 days[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.E.9.  If you wish to charge a fee or distribute a Proje
ct Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.1.  Project Gutenberg volunteers and employees expend
 considerable[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 effort to identify, do copyright research on, transcribe 
and proofread[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 corrupt data, transcription errors, a copyright or other 
intellectual[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 property infringement, a defective or damaged disk or oth
er medium, a[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.2.  LIMITED WARRANTY, DISCLAIMER OF DAMAGES - Except 
for the "Right[] 
 []

[95]
Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 TRADEMARK OWNER, AND ANY DISTRIBUTOR UNDER THIS AGREEMENT
 WILL NOT BE[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL
, PUNITIVE OR[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBI
LITY OF SUCH[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 defect in this electronic work within 90 days of receivin
g it, you can[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 written explanation to the person you received the work f
rom.  If you[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 received the work on a physical medium, you must return t
he medium with[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 your written explanation.  The person or entity that prov
ided you with[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the defective work may elect to provide a replacement cop
y in lieu of a[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 refund.  If you received the work electronically, the per
son or entity[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 receive the work electronically in lieu of a refund.  If 
the second copy[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 is also defective, you may demand a refund in writing wit
hout further[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.4.  Except for the limited right of replacement or re
fund set forth[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 in paragraph 1.F.3, this work is provided to you 'AS-IS' 
WITH NO OTHER[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 WARRANTIES OF ANY KIND, EXPRESS OR IMPLIED, INCLUDING BUT
 NOT LIMITED TO[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 warranties or the exclusion or limitation of certain type
s of damages.[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 If any disclaimer or limitation set forth in this agreeme
nt violates the[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 law of the state applicable to this agreement, the agreem
ent shall be[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 interpreted to make the maximum disclaimer or limitation 
permitted by[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 the applicable state law.  The invalidity or unenforceabi
lity of any[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 provision of this agreement shall not void the remaining 
provisions.[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 1.F.6.  INDEMNITY - You agree to indemnify and hold the F
oundation, the[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 providing copies of Project Gutenberg-tm electronic works
 in accordance[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 with this agreement, and any volunteers associated with t
he production,[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 promotion and distribution of Project Gutenberg-tm electr
onic works,[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 harmless from all liability, costs and expenses, includin
g legal fees,[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 that arise directly or indirectly from any of the followi
ng which you do[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 or cause to occur: (a) distribution of this or any Projec
t Gutenberg-tm[] 
 []

[96]
Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 work, (b) alteration, modification, or additions or delet
ions to any[] 
 []


Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 electronic works in formats readable by the widest variet
y of computers[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 assistance they need, are critical to reaching Project Gu
tenberg-tm's[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 remain freely available for generations to come.  In 2001
, the Project[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Gutenberg Literary Archive Foundation was created to prov
ide a secure[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 and permanent future for Project Gutenberg-tm and future 
generations.[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 To learn more about the Project Gutenberg Literary Archiv
e Foundation[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 3.  Information about the Project Gutenberg Liter
ary Archive[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax ide
ntification[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Proje
ct Gutenberg[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees a
re scattered[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-
1887, email[] 
 []

[97]
Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 increasing the number of public domain and licensed works
 that can be[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 freely distributed in machine readable form accessible by
 the widest[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 array of equipment including outdated equipment.  Many sm
all donations[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 considerable effort, much paperwork and many fees to meet
 and keep up[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 While we cannot and do not solicit contributions from sta
tes where we[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 have not met the solicitation requirements, we know of no
 prohibition[] 
 []


Overfull \hbox (12.40814pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 against accepting unsolicited donations from donors in su
ch states who[] 
 []


Overfull \hbox (6.65945pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Section 5.  General Information About Project Gutenberg-t
m electronic[] 
 []

[98]
Overfull \hbox (18.15683pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Professor Michael S. Hart is the originator of the Projec
t Gutenberg-tm[] 
 []


Overfull \hbox (0.91077pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 concept of a library of electronic works that could be fr
eely shared[] 
 []


Overfull \hbox (23.90552pt too wide) in paragraph at lines 5308--5308
[]\OT1/cmtt/m/n/10.95 Most people start at our Web site which has the main PG s
earch facility:[] 
 []

[99] (./30005-t.aux)

 *File List*
    book.cls    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX document class
   leqno.clo    1998/08/17 v1.1c Standard LaTeX option (left equation numbers)
    bk12.clo    2005/09/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
inputenc.sty    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
  latin1.def    2006/05/05 v1.1b Input encoding file
amsfonts.sty    2001/10/25 v2.2f
 amsmath.sty    2000/07/18 v2.13 AMS math features
 amstext.sty    2000/06/29 v2.01
  amsgen.sty    1999/11/30 v2.0
  amsbsy.sty    1999/11/29 v1.2d
  amsopn.sty    1999/12/14 v2.01 operator names
 amssymb.sty    2002/01/22 v2.2d
   babel.sty    2005/11/23 v3.8h The Babel package
 germanb.ldf    2004/02/19 v2.6k German support from the babel system
 frenchb.ldf
 frenchb.cfg
mathpazo.sty    2005/04/12 PSNFSS-v9.2a Palatino w/ Pazo Math (D.Puga, WaS) 
 fixmath.sty    2000/04/11 v0.9 (WaS)
nicefrac.sty    1998/08/04 v0.9b Nice fractions
  ifthen.sty    2001/05/26 v1.1c Standard LaTeX ifthen package (DPC)
footmisc.sty    2005/03/17 v5.3d a miscellany of footnote facilities
titlesec.sty    2005/01/22 v2.6 Sectioning titles
   ttlps.def    2005/01/22
   t1lmr.fd    2007/01/14 v1.3 Font defs for Latin Modern
  ot1ppl.fd    2001/06/04 font definitions for OT1/ppl.
 omlzplm.fd    2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OML/zplm.
 omszplm.fd    2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OMS/zplm.
 omxzplm.fd    2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OMX/zplm.
 ot1zplm.fd    2002/09/08 Fontinst v1.914 font definitions for OT1/zplm.
 ***********


LaTeX Warning: Label(s) may have changed. Rerun to get cross-references right.

 ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 2616 strings out of 94074
 31837 string characters out of 1165153
 100402 words of memory out of 1500000
 5828 multiletter control sequences out of 10000+50000
 66939 words of font info for 160 fonts, out of 1200000 for 2000
 645 hyphenation exceptions out of 8191
 35i,26n,31p,236b,380s stack positions out of 5000i,500n,6000p,200000b,5000s
{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/lm/lm-ec.enc}{/usr/share/texmf-texlive/font
s/enc/dvips/base/8r.enc}</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmex10
.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/te
xmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/ty
pe1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt
10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt12.pfb></usr/share/
texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/eufm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/font
s/type1/public/mathpazo/fplmr.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/
mathpazo/fplmri.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr10.pfb></usr/sha
re/texmf/fonts/type1/public/lm/lmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
bluesky/ams/msbm10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/urw/palatino/uplb8
a.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/urw/palatino/uplr8a.pfb></usr/share
/texmf-texlive/fonts/type1/urw/palatino/uplri8a.pfb>
Output written on 30005-t.pdf (99 pages, 477006 bytes).
PDF statistics:
 382 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
 0 named destinations out of 1000 (max. 131072)
 1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

