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% The Project Gutenberg EBook of La géométrie, by René Descartes          %
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% This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with        %
% almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or    %
% re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included     %
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% Author: René Descartes                                                  %
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% Editor: A Hermann                                                       %
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% *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA GÉOMÉTRIE ***              %
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%% August 2008: pglatex.                                                 %%
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%%   pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5)                  %%
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\begin{document}
\begin{verbatim}
The Project Gutenberg EBook of La géométrie, by René Descartes

This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with
almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it away or
re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included
with this eBook or online at www.gutenberg.org


Title: La géométrie

Author: René Descartes

Editor: A Hermann

Release Date: August 23, 2008 [EBook #26400]

Language: French

Character set encoding: ISO-8859-1

*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA GÉOMÉTRIE ***


Produced by K.F. Greiner, Joshua Hutchinson, Keith Edkins
and the Online Distributed Proofreading Team at
http://www.pgdp.net (This file was produced from images
generously made available by Cornell University Digital
Collections)
\end{verbatim}

\pagestyle{empty}
\frontmatter
\pagestyle {empty}

% [File: 003.png]

% [File: 005.png]


% [File: 007.png]
\begin{center}
{\Large LA}

\vspace{0.4in}

{\Huge G\gsp{}É\gsp{}O\gsp{}M\gsp{}É\gsp{}T\gsp{}R\gsp{}I\gsp{}E}

\vspace{0.4in}

DE

\vspace{0.4in}

{\Large RENÉ DESCARTES}

\vspace{0.6in}

\rule{1.0in}{.2pt}

\vspace{0.25in}

{\large NOUVELLE ÉDITION}

\vspace{0.2in}

\rule{1.0in}{.2pt}

\vspace{1.25in}

{\Large PARIS}

\vspace{0.2in}

{\large A. HERMANN, LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE}

\vspace{0.2in}

8--rue de la Sorbonne--8

\rule{0.25in}{.2pt}

\vspace{0.2in}

MDCCCLXXXVI
\end{center}

% [File: 009.png]

\newpage
\begin{center}
{\Large AVERTISSEMENT}
\end{center}

Peu de livres ont autant contribué que la Géométrie de
Descartes au progrès des sciences Mathématiques. Aussi croyons-nous
rendre service à la science en en publiant une nouvelle
édition. Nous avons d'ailleurs été encouragé dans cette voie par
plusieurs savants, et particulièrement par l'un de nos philosophes
les plus distingués, M. de Blignières, gendre de l'illustre Liouville,
qui a bien voulu contribuer pour une part importante aux frais
d'impression.

\rightline{A.~H.\hspace{0.8in}}

\newpage
\mainmatter
\pagestyle{plain}

% [File: 011.png Page: 1]
\begin{center}
{\Huge LA GÉOMÉTRIE}\raisebox{1.5em}{\footnotemark}\footnotetext
{Pour en faciliter la lecture, nous avons substitué à quelques signes employés par Descartes
d'autres signes universellement adoptés, toutes les fois que ces changements n'en apportoient pas
dans le \emph{principe} de la notation. Le lecteur en sera prévenu.}

\vspace{0.25in}

\rule{0.4in}{.2pt}

\vspace{0.5in}

{\LARGE LIVRE PREMIER}

\vspace{0.25in}

DES PROBLÈMES QU'ON PEUT CONSTRUIRE SANS Y EMPLOYER
QUE DES CERCLES ET DES LIGNES DROITES.

\vspace{0.2in}
\end{center}

Tous les problèmes de géométrie se peuvent facilement réduire à tels
termes, qu'il n'est besoin par après que de connoître la longueur de quelques
lignes droites pour les construire.

Et\label{cont1}\mymarginpar{Comment le
calcul d'arithmétique
se
rapporte aux
opérations de
géométrie.}
comme toute l'arithmétique n'est composée que de quatre ou cinq
opér\-a\-tions, qui sont, l'addition, la soustraction, la multiplication, la division,
et l'extraction des racines, qu'on peut prendre pour une espèce de division,
ainsi n'a-t-on autre chose à faire en géométrie touchant les lignes qu'on
cherche pour les préparer à être connues, que leur en ajouter d'autres, ou
en ôter; ou bien en ayant une, que je nommerai l'unité pour la rapporter
d'autant mieux aux nombres, et qui peut ordinairement être prise à
discrétion, puis en ayant encore deux autres, en trouver une quatrième qui
soit à l'une de ces deux comme l'autre est à l'unité, ce qui est le même que
la multiplication; ou bien en trouver une quatrième qui soit à l'une de ces
deux comme l'unité est à l'autre, ce qui est le même que la division; ou
enfin trouver une ou deux, ou plusieurs moyennes proportionnelles entre
l'unité et quelque autre ligne, ce qui est le même que tirer la racine carrée
% [File: 012.png Page: 2]
ou cubique, etc. Et je ne craindrai pas d'introduire ces termes d'arithmétique
en la géométrie, afin de me rendre plus intelligible.

Soit,\label{cont2}\mymarginpar{La multiplication.}
par exemple, $A\:B$ \textit{(fig.~1)} l'unité, et qu'il faille multiplier $B\:D$ par $B\:C$,
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 1.}} \\ \includegraphics*[width=1.6in]{images/f001.png}
\end{center}
\end{figure}
je n'ai qu'à joindre les points $A$ et $C$, puis tirer $D\:E$ parallèle à $C\:A$, et $B\:E$ est
le produit de cette multiplication.

Ou bien,\mymarginpar{La division.}
s'il faut diviser $B\:E$ par $B\:D$, ayant joint les points $E$ et $D$, je
tire $A\:C$ parallèle à $D\:E$, et $B\:C$ est le produit de cette division.

Ou\mymarginpar{L'extraction
de la racine
carrée.}
s'il faut tirer la racine carrée de $G\:H$ \textit{(fig. 2)}, je lui ajoute en ligne
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 2.}} \\ \includegraphics*[width=1.6in]{images/f002.png}
\end{center}
\end{figure}
droite $F\:G$, qui est l'unité, et divisant $F\:H$ en deux parties égales au point $K$,
du centre $K$ je tire le cercle $F\:I\:H$, puis élevant du point $G$ une ligne droite
jusques à $I$ à angles droits sur $F\:H$, c'est $G\:I$ la racine cherchée. Je ne dis
rien ici de la racine cubique, ni des autres, à cause que j'en parlerai plus
commodément ci-après.


Mais\label{cont3}\mymarginpar{Comment on
peut user de
chiffres en
géométrie.}
souvent on n'a pas besoin de tracer ainsi ces lignes sur le papier, et
il suffit de les désigner par quelques lettres, chacune par une seule. Comme
pour ajouter la ligne $B\:D$ à $G\:H$, je nomme l'une $a$ et l'autre $b$, et écris $a+b$;
et $a-b$ pour soustraire $b$ de $a$; et $ab$ pour les multiplier l'une par l'autre;
et $\dfrac{a}{b}$ pour diviser $a$ par $b$; et $aa$ ou $a^2$ pour multiplier $a$ par soi-même\footnote{%
  Cependant Descartes répète presque toujours les facteurs égaux lorsqu'ils ne sont qu'au nombre
  de deux. Nous avons ici constamment adopté la notation $a^2$.};
et $a^3$ pour le multiplier encore une fois par $a$, et ainsi à l'infini; et $\sqrt{a^2+b^2}$,
% [File: 013.png Page: 3]
pour tirer la racine carrée de $a^2+b^2$; et $\sqrt{C\centerdot a^3-b^3+ab^2}$, pour tirer
la racine cubique de $a^3-b^3+ab^2$, et ainsi des autres.

Où il est à remarquer que par $a^2$, ou $b^3$, ou semblables, je ne conçois
ordinairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des
noms usités en l'algèbre je les nomme des carrés ou des cubes, etc.

Il est aussi à remarquer que toutes les parties d'une même ligne se doivent
ordinairement exprimer par autant de dimensions l'une que l'autre, lorsque
l'unité n'est point déterminée en la question, comme ici $a^3$ en contient autant
que $ab^2$ or $b^3$ dont se compose la ligne que j'ai nommée
\[
\sqrt{C\centerdot a^3-b^3+ab^2};
\]
mais que ce n'est pas de même lorsque l'unité est déterminée, à cause qu'elle
peut être sous-entendue partout où il y a trop ou trop peu de dimensions:
comme s'il faut tirer la racine cubique de $a^2b^2-b$, il faut penser que la
quantité $a^2b^2$ est divisée une fois par l'unité, et que l'autre quantité $b$ est
multipliée deux fois par la même.

Au reste, afin de ne pas manquer à se souvenir des noms de ces lignes,
il en faut toujours faire un registre séparé à mesure qu'on les pose ou qu'on
les change, écrivant par exemple\footnote{%
Nous substituons partout le signe = au signe $\infty$ dont se servoit Descartes.}:

$A\:B = 1$, c'est-à-dire $A\:B$ égal à 1.

$G\:H = a$.

$B\:D = b$, etc.

Ainsi,\label{cont4}\mymarginpar{Comment il
faut venir aux
équations qui
servent à
résoudre les
problèmes.}
voulant résoudre quelque problème, on doit d'abord le con\-sid\-ér\-er
comme déjà fait, et donner des noms à toutes les lignes qui semblent
nécessaires pour le construire, aussi bien à celles qui sont inconnues qu'aux
autres. Puis, sans considérer aucune différence entre ces lignes connues et
inconnues, on doit parcourir la difficulté selon l'ordre qui montre le plus
naturellement de tous en quelle sorte elles dépendent mutuellement les
unes des autres, jusques à ce qu'on ait trouvé moyen d'exprimer une même
quantité en deux façons, ce qui se nomme une équation; car les termes de
l'une de ces deux façons sont égaux à ceux de l'autre. Et on doit trouver
autant de telles équations qu'on a supposé de lignes qui étoient inconnues.
% [File: 014.png Page: 4]
Ou bien, s'il ne s'en trouve pas tant, et que nonobstant on n'omette rien de
ce qui est désiré en la question, cela témoigne qu'elle n'est pas entièrement
déterminée. Et lors on peut prendre à discrétion des lignes connues pour
toutes les inconnues auxquelles ne correspond aucune équation. Après cela,
s'il en reste encore plusieurs, il se faut servir par ordre de chacune des
équations qui restent aussi, soit en la considérant toute seule, soit en la
comparant avec les autres, pour expliquer chacune de ces lignes inconnues,
et faire ainsi, en les démêlant, qu'il n'en demeure qu'une seule égale à
quelque autre qui soit connue, ou bien dont le carré, ou le cube, ou le carré
de carré, ou le sursolide, ou le carré de cube, etc., soit égal à ce qui se
produit par l'addition ou soustraction de deux ou plusieurs autres quantités,
dont l'une soit connue, et les autres soient composées de quelques moyennes
proportionnelles entre l'unité et ce carré, ou cube, ou carré de carré, etc.,
multipliées par d'autres connues. Ce que j'écris en cette sorte:
\begin{align*}
z &= b, \\
\text{ou}\  z^2 &= -az   + b^2, \\
\text{ou}\  z^3 &= +az^2 + b^2 z - c^3, \\
\text{ou}\  z^4 &=  az^3 - c^3 z + d^4,\ \text{etc.;}
\end{align*}
c'est-à-dire $z$, que je prends pour la quantité inconnue, est égale à $b$; ou le
carré de $z$ est égal au carré de $b$ moins $a$ multiplié par $z$; ou le cube de $z$ est
égal à $a$ multiplié par le carré de $z$ plus le carré de $b$ multiplié par $z$ moins
le cube de $c$; et ainsi des autres.

Et on peut toujours réduire ainsi toutes les quantités inconnues à une
seule, lorsque le problème se peut construire par des cercles et des lignes
droites, ou aussi par des sections coniques, ou même par quelque autre
ligne qui ne soit que d'un ou deux degrés plus composée. Mais je ne m'arrête
point à expliquer ceci plus en détail, à cause que je vous ôterois le plaisir
de l'apprendre de vous-même, et l'utilité de cultiver votre esprit en vous y
exerçant, qui est à mon avis la principale qu'on puisse tirer de cette science.
Aussi que je n'y remarque rien de si difficile que ceux qui seront un peu
versés en la géométrie commune et en l'algèbre, et qui prendront garde à
tout ce qui est en ce traité, ne puissent trouver.
% [File: 015.png Page: 5]

C'est pourquoi je me contenterai ici de vous avertir que, pourvu qu'en
démêlant ces équations, on ne manque point à se servir de toutes les divisions
qui seront possibles, on aura infailliblement les plus simples termes auxquels
la question puisse être réduite.

Et\label{cont5}\mymarginpar{Quels sont les problèmes plans.}
que si elle peut être résolue par la géométrie ordinaire, c'est-à-dire en
ne se servant que de lignes droites et circulaires tracées sur une superficie
plate, lorsque la dernière équation aura été entièrement démêlée, il n'y
restera tout au plus qu'un carré inconnu, égal à ce qui se produit de
l'addition ou soustraction de sa racine multipliée par quelque quantité
connue, et de quelque autre quantité aussi connue.

Et\mymarginpar{Comment ils se résolvent.}
lors cette racine, ou ligne inconnue, se trouve aisément; car si j'ai par
exemple
\[
  z^2 = az + b^2,
\]
je fais le triangle rectangle $N\:L\:M$ \textit{(fig.~3)}, dont le côté $L\:M$ est égal à $b$,
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 3.}} \\ \includegraphics*[width=1.44in]{images/f003.png}
\end{center}
\end{figure}
racine carrée de la quantité connue $b^2$, et l'autre $L\:N$ est $\dfrac{1}{2}a$, la moitié de
l'autre quantité connue qui étoit multipliée par $z$, que je suppose être la
ligne inconnue; puis prolongeant $M\:N$, la base de ce triangle, jusques à $O$,
en sorte que $N\:O$ soit égale à $N\:L$, la toute $O\:M$ est $z$, la ligne cherchée; et
elle s'exprime en cette sorte:
\[
  z = \frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4} a^2 + b^2 }.
\]

Que si j'ai $y^2=-ay+b^2$, et que $y$ soit la quantité qu'il faut trouver,
je fais le même triangle rectangle $N\:L\:M$, et de sa base $M\:N$ j'ôte $N\:P$ égale
% [File: 016.png Page: 6]
à $N\:L$, et le reste $P\:M$ est $y$, la racine cherchée. De façon que j'ai
\[
y=-\frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4}a^2+b^2}.
\]

Et tout de même si j'avois
\[
x^4=-ax^2+b^2,
\]
$P\:M$ seroit $x^2$, et j'aurois
\[
x=\sqrt{-\frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4} a^2 +b^2}};
\]
et ainsi des autres.

Enfin, si j'ai
\[
z^2=az-b^2,
\]
je fais $N\:M$ \textit{(fig.~4)} égale à $\frac{1}{2}a$, et $L\:M$ égale à $b$, comme devant; puis, au
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 4.}} \\ \includegraphics*[width=0.8in]{images/f004.png}
\end{center}
\end{figure}
lieu de joindre les points $L\:N$, je tire $L\:Q\:R$ parallèle à $M\:N$, et du centre $N$,
par $L$, ayant décrit un cercle qui la coupe aux points $Q$ et $R$, la ligne
cherchée $z$ est $L\:Q$, ou bien $L\:R$; car en ce cas elle s'exprime en deux
façons, à savoir
\[
z=\frac{1}{2} a + \sqrt{\frac{1}{4}a^2 - b^2},
\]
et
\[
z=\frac{1}{2} a - \sqrt{\frac{1}{4}a^2 - b^2}.
\]

Et si le cercle, qui ayant son centre au point $N$ passe par le point $M$, ne
% [File: 017.png Page: 7]
coupe ni ne touche la ligne droite $L\:Q\:R$, il n'y a aucune racine en l'équation,
de façon qu'on peut assurer que la construction du problème proposé est
impossible.

Au reste, ces mêmes racines se peuvent trouver par une infinité d'autres
moyens, et j'ai seulement voulu mettre ceux-ci, comme fort simples, afin
de faire voir qu'on peut construire tous les problèmes de la géométrie
ordinaire sans faire autre chose que le peu qui est compris dans les quatre
figures que j'ai expliquées. Ce que je ne crois pas que les anciens aient
remarqué; car autrement ils n'eussent pas pris la peine d'en écrire tant de
gros livres où le seul ordre de leurs propositions nous fait connoître qu'ils
n'ont point eu la vraie méthode pour les trouver toutes, mais qu'ils ont
seulement ramassé celles qu'ils ont rencontrées.

Et\label{cont6}\mymarginpar{Exemple tiré de Pappus.}
on peut le voir aussi fort clairement de ce que Pappus a mis au
commencement de son septième livre, où après s'être arrêté quelque temps
à dénombrer tout ce qui avoit été écrit en géométrie par ceux qui l'avoient
précédé, il parle enfin d'une question qu'il dit que ni Euclide, ni Apollonius,
ni aucun autre, n'avoient su entièrement résoudre; et voici ses
mots~\footnote{Je cite plutôt la version latine que le texte grec, afin que chacun
  l'entende plus aisément.}:

\textit{Quem autem dicit (Apollonius) in tertio libro locum ad tres et quatuor
lineas ab Euclide perfectum non esse, neque ipse perficere poterat,
neque aliquis alius; sed neque paululum quid addere iis, quæ Euclides
scripsit, per ea tantum conica, quæ usque ad Euclidis tempora præmonstrata
sunt, etc.}

Et un peu après il explique ainsi quelle est cette question:

\textit{At locus ad tres et quatuor lineas, in quo (Apollonius) magnifice se
jactat, et ostentat, nulla habita gratia ei, qui prius scripserat, est
hujusmodi. Si positione datis tribus rectis lineis ab uno et eodem
puncto, ad tres lineas in datis angulis rectæ lineæ ducantur, et data
sit proportio rectanguli contenti duabus ductis ad quadratum reliquæ:
punctum contingit positione datum solidum locum, hoc est unam ex
tribus conicis sectionibus. Et si ad quatuor rectas lineas positione datas
in datis angulis lineæ ducantur; et rectanguli duabus ductis contenti
% [File: 018.png Page: 8]
ad contentum duabus reliquis proportio data sit: similiter punctum
datam coni sectionem positione continget. Si quidem igitur ad duas
tantum locus planus ostensus est. Quod si ad plures quam quatuor,
punctum continget locos non adhuc cognitos, sed lineas tantum dictas;
quales autem sint, vel quam habeant proprietatem, non constat: earum
unam, neque primam, et quæ manifestissima videtur, composuerunt
ostendentes utilem esse. Propositiones autem ipsarum hæ sunt.}

\textit{Si ab aliquo puncto ad positione datas rectas lineas quinque ducantur
rectæ lineæ in datis angulis, et data sit proportio solidi parallelepipedi
rectanguli, quod tribus ductis lineis continetur ad solidum parallelepipedum
rectangulum, quod continetur reliquis duabus, et data quapiam
linea, punctum positione datam lineam continget. Si autem ad sex, et
data sit proportio solidi tribus lineis contenti ad solidum, quod tribus
reliquis continetur; rursus punctum continget positione datam lineam.
Quod si ad plures quam sex, non adhuc habent dicere, an data sit
proportio cujuspiam contenti quatuor lineis ad id quod reliquis continetur,
quoniam non est aliquid contentum pluribus quam tribus
dimensionibus.}

Où je vous prie de remarquer en passant que le scrupule que faisoient les
anciens d'user des termes de l'arithmétique en la géométrie, qui ne pouvoit
procéder que de ce qu'ils ne voyoient pas assez clairement leur rapport,
causoit beaucoup d'obscurité et d'embarras en la façon dont ils s'expliquoient;
car Pappus poursuit en cette sorte:

\textit{Acquiescunt autem his, qui paulo ante talia interpretati sunt; neque
unum aliquo pacto comprehensibile significantes quod his continetur.
Licebit autem per conjunctas proportiones hæc, et dicere, et demonstrare
universe in dictis proportionibus, atque his in hunc modum. Si ab
aliquo puncto ad positione datas rectas lineas ducantur rectæ lineæ in
datis angulis, et data sit proportio conjuncta ex ea, quam habet una
ductarum ad unam, et altera ad alteram, et alia ad aliam, et reliqua
ad datam lineam, si sint septem; si vero octo, et reliqua ad reliquam:
punctum continget positione datas lineas. Et similiter quotcumque sint
impares vel pares multitudine, cum hæc, ut dixi, loco ad quatuor lineas
respondeant, nullum igitur posuerunt ita ut linea nota sit, etc.}
% [File: 019.png Page: 9]

La question donc qui avoit été commencée à résoudre par Euclide et
poursuivie par Apollonius, sans avoir été achevée par personne, étoit telle:
Ayant trois ou quatre, ou plus grand nombre de lignes droites données par
position; premièrement on demande un point duquel on puisse tirer autant
d'autres lignes droites, une sur chacune des données, qui fassent avec elles
des angles donnés, et que le rectangle contenu en deux de celles qui seront
ainsi tirées d'un même point, ait la proportion donnée avec le carré de la
troisième, s'il n'y en a que trois; ou bien avec le rectangle des deux autres,
s'il y en a quatre; ou bien, s'il y en a cinq, que le parallélipipède composé
de trois ait la proportion donnée avec le parallélipipède composé des deux
qui restent, et d'une autre ligne donnée; ou s'il y en a six, que le parallélipipède
composé de trois ait la proportion donnée avec le parallélipipède des
trois autres; ou s'il y en a sept, que ce qui se produit lorsqu'on en multiplie
quatre l'une par l'autre, ait la raison donnée avec ce qui se produit par la
multiplication des trois autres, et encore d'une autre ligne donnée; ou s'il y
en a huit, que le produit de la multiplication de quatre ait la proportion
donnée avec le produit des quatre autres; et ainsi cette question se peut
étendre à tout autre nombre de lignes. Puis à cause qu'il y a toujours une
infinité de divers points qui peuvent satisfaire à ce qui est ici demandé, il
est aussi requis de connoître et de tracer la ligne dans laquelle ils doivent
tous se trouver. Et Pappus dit que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes
droites données, c'est en une des trois sections coniques; mais il n'entreprend
point de la déterminer ni de la décrire, non plus que d'expliquer
celles où tous ces points se doivent trouver, lorsque la question est proposée
en un plus grand nombre de lignes. Seulement il ajoute que les anciens en
avoient imaginé une qu'ils montroient y être utile, mais qui sembloit la
plus manifeste, et qui n'étoit pas toutefois la première. Ce qui m'a donné
occasion d'essayer si, par la méthode dont je me sers, on peut aller aussi
loin qu'ils ont été.

Et\label{cont7}\mymarginpar{Réponse à la question de Pappus.}
premièrement j'ai connu que cette question n'étant proposée qu'en
trois, ou quatre, ou cinq lignes, on peut toujours trouver les points cherchés
par la géométrie simple, c'est-à-dire en ne se servant que de la règle et du
compas, ni ne faisant autre chose que ce qui a déjà été dit; excepté seulement
lorsqu'il y a cinq lignes données, si elles sont toutes parallèles: auquel cas,
% [File: 020.png Page: 10]
comme aussi lorsque la question est proposée en 6, ou 7, ou 8, ou 9 lignes,
on peut toujours trouver les points cherchés par la géométrie des solides,
c'est-à-dire en y employant quelqu'une des trois sections coniques; excepté
seulement lorsqu'il y a neuf lignes données, si elles sont toutes parallèles:
auquel cas, derechef, et encore en 10, 11, 12 ou 13 lignes, on peut trouver
les points cherchés par le moyen d'une ligne courbe qui soit d'un degré
plus composée que les sections coniques; excepté en treize, si elles sont
toutes parallèles: auquel cas, et en 14, 15, 16 et 17, il y faudra employer
une ligne courbe encore d'un degré plus composée que la précédente, et
ainsi à l'infini.

Puis j'ai trouvé aussi que lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes
données, les points cherchés se rencontrent tous, non seulement en l'une
des trois sections coniques, mais quelquefois aussi en la circonférence d'un
cercle ou en une ligne droite; et que lorsqu'il y en a cinq, ou six, ou sept,
ou huit, tous ces points se rencontrent en quelqu'une des lignes qui sont
d'un degré plus composées que les sections coniques, et il est impossible
d'en imaginer aucune qui ne soit utile à cette question; mais ils peuvent
aussi derechef se rencontrer en une section conique, ou en un cercle, ou en
une ligne droite. Et s'il y en a 9, ou 10, ou 11, ou 12, ces points se
rencontrent en une ligne qui ne peut être que d'un degré plus composée
que les précédentes; mais toutes celles qui sont d'un degré plus composées
y peuvent servir, et ainsi à l'infini.

Au reste, la première et la plus simple de toutes, après les sections
coniques, est celle qu'on peut décrire par l'intersection d'une parabole et
d'une ligne droite, en la façon qui sera tantôt expliquée. En sorte que je
pense avoir entièrement satisfait à ce que Pappus nous dit avoir été cherché
en ceci par les anciens; et je tâcherai d'en mettre la démonstration en peu
de mots, car il m'ennuie déjà d'en tant écrire.

Soient \textit{(fig.~5)} $A\:B$, $A\:D$, $E\:F$, $G\:H$, etc., plusieurs lignes données par
position, et qu'il faille trouver un point, comme $C$, duquel ayant tiré d'autres
lignes droites sur les données, comme $C\:B$, $C\:D$, $C\:F$ et $C\:H$, en sorte que
les angles $C\:B\:A$, $C\:D\:A$, $C\:F\:E$, $C\:H\:G$, etc., soient donnés, et que ce qui
est produit par la multiplication d'une partie de ces lignes soit égal à
ce qui est produit par la multiplication des autres, ou bien qu'ils aient
% [File: 021.png Page: 11]
quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la question plus
difficile.

Premièrement,\label{cont8}\mymarginpar{Comment on
doit poser les
termes pour
venir à l'équation
de cet
exemple.}
je suppose la chose comme déjà faite, et pour me démêler
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 5.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f005.png}
\end{center}
\end{figure}
de la confusion de toutes ces lignes je considère l'une des données, et l'une
de celles qu'il faut trouver, par exemple $A\:B$ et $C\:B$, comme les principales
et auxquelles je tâche de rapporter ainsi toutes les autres. Que le segment
de la ligne $A\:B$, qui est entre les points $A$ et $B$, soit nommé $x$; et que $B\:C$
soit nommé $y$; et que toutes les autres lignes données soient prolongées
jusques à ce qu'elles coupent ces deux aussi prolongées, s'il est besoin, et si
elles ne leur sont point parallèles; comme vous voyez ici qu'elles coupent la
ligne $A\:B$ aux points $A$, $E$, $G$, et $B\:C$ aux points $R$, $S$, $T$. Puis à cause que
tous les angles du triangle $A\:R\:B$ sont donnés, la proportion qui est entre
les côtés $A\:B$ et $B\:R$ est aussi donnée, et je la pose comme de $z$ à $b$, de façon
que $A\:B$ \textit{(fig.~6)} étant $x$, $B\:R$ sera $\dfrac{bx}{z}$, et la toute $C\:R$ sera $y+\dfrac{bx}{z}$, à cause
que le point $B$ tombe entre $C$ et $R$; car si $R$ tomboit entre $C$ et $B$, $C\:R$ seroit
$y-\dfrac{bx}{z}$; et si $C$ tomboit entre $B$ et $R$, $C\:R$ seroit $-y+\dfrac{bx}{z}$. Tout de
même les trois angles du triangle $D\:R\:C$ sont donnés, et par conséquent
aussi la proportion qui est entre les côtés $C\:R$ et $C\:D$, que je pose comme
de $z$ à $c$, de façon que $C\:R$ étant $y+\dfrac{bx}{z}$, $C\:D$ sera $\dfrac{cy}{z}+\dfrac{bcx}{z^2}$. Après cela,
pourceque les lignes $A\:B$, $A\:D$ et $E\:F$ sont données par position, la distance
qui est entre les points $A$ et $E$ est aussi donnée, et si on la nomme $k$, on
aura $E\:B$ égal à $k+x$; mais ce seroit $k-x$ si le point $B$ tomboit entre $E$
% [File: 022.png Page: 12]
et $A$; et $-k + x$ si $E$ tomboit entre $A$ et $B$. Et pourceque les angles du
triangle $E\:S\:B$ sont tous donnés, la proportion de $B\:E$ à $B\:S$ est aussi donnée,
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 6.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f006.png}
\end{center}
\end{figure}
et je la pose comme de $z$ à $d$, si bien que $B\:S$ est $\dfrac{dk+dx}{z}$, et la toute $C\:S$
est $\dfrac{zy+dk+dx}{z}$; mais ce seroit $\dfrac{zy-dk-dx}{z}$, si le point $S$ tomboit
entre $B$ et $C$; et ce seroit $\dfrac{-zy+dk+dx}{z}$, si $C$ tomboit entre $B$ et $S$. De
plus les trois angles du triangle $F\:S\:C$ sont donnés, et ensuite la proportion
de $C\:S$ à $C\:F$, qui soit comme de $z$ à $e$, et la toute $C\:F$ sera $\dfrac{ezy+dek+dex}{z^2}$.
En même façon $A\:G$ que je nomme $l$ est donnée, et $B\:G$ est $l-x$, et à cause
du triangle $B\:G\:T$, la proportion de $B\:G$ à $B\:T$ est aussi donnée, qui soit
comme de $z$ à $f$, et $B\:T$ sera $\dfrac{fl-fx}{z}$, et $C\:T = \dfrac{zy+fl-fx}{z}$. Puis
derechef la proportion de $C\:T$ à $C\:H$ est donnée à cause du triangle $T\:C\:H$, et
la posant comme de $z$ à $g$, on aura $C\:H = \dfrac{gzy+fgl-fgx}{z^2}$.

Et ainsi vous voyez qu'en tel nombre de lignes données par position qu'on
puisse avoir, toutes les lignes tirées dessus du point $C$ à angles donnés,
suivant la teneur de la question, se peuvent toujours exprimer chacune par
trois termes, dont l'un est composé de la quantité inconnue $y$, multipliée ou
divisée par quelque autre connue; et l'autre de la quantité inconnue $x$,
aussi multipliée ou divisée par quelque autre connue; et le troisième d'une
quantité toute connue; excepté seulement si elles sont parallèles, ou bien à
% [File: 023.png Page: 13]
la ligne $A\:B$, auquel cas le terme composé de la quantité $x$ sera nul; ou
bien à la ligne $C\:B$, auquel cas celui qui est composé de la quantité $y$ sera
nul, ainsi qu'il est trop manifeste pour que je m'arrête à l'expliquer. Et
pour les signes $+$ et $-$ qui se joignent à ces termes, ils peuvent être
changés en toutes les façons imaginables.

Puis vous voyez aussi que, multipliant plusieurs de ces lignes l'une par
l'autre, les quantités $x$ et $y$ qui se trouvent dans le produit n'y peuvent
avoir que chacune autant de dimensions qu'il y a eu de lignes à l'explication
desquelles elles servent, qui ont été ainsi multipliées; en sorte qu'elles
n'auront jamais plus de deux dimensions en ce qui ne sera produit que par
la multiplication de deux lignes; ni plus de trois, en ce qui ne sera produit
que par la multiplication de trois, et ainsi à l'infini.


De\label{cont9}\mymarginpar{Comment on
trouve que
ce problème
est plan,
lorsqu'il n'est
point proposé
en plus de
cinq lignes.}
plus, à cause que pour déterminer le point $C$, il n'y a qu'une seule
condition qui soit requise, à savoir que ce qui est produit par la multiplication
d'un certain nombre de ces lignes soit égal, ou, ce qui n'est de rien plus
malaisé, ait la proportion donnée à ce qui est produit par la multiplication
des autres; on peut prendre à discrétion l'une des deux quantités inconnues
$x$ ou $y$, et chercher l'autre par cette équation, en laquelle il est évident que,
lorsque la question n'est point posée en plus de cinq lignes, la quantité $x$,
qui ne sert point à l'expression de la première, peut toujours n'y avoir que
deux dimensions; de façon que, prenant une quantité connue pour $y$, il ne
restera que $x^2 = +$ ou $-\:ax$ $+$ ou $-\:b^2$; et ainsi on pourra trouver la
quantité $x$ avec la règle et le compas, en la façon tantôt expliquée. Même,
prenant successivement infinies diverses grandeurs pour la ligne $y$, on en
trouvera aussi infinies pour la ligne $x$, et ainsi on aura une infinité de
divers points, tels que celui qui est marqué $C$, par le moyen desquels on
décrira la ligne courbe demandée.

Il se peut faire aussi, la question étant proposée en six ou plus grand
nombre de lignes, s'il y en a entre les données qui soient parallèles à $A\:B$
ou $B\:C$, que l'une des deux quantités $x$ ou $y$ n'ait que deux dimensions en
l'équation, et ainsi qu'on puisse trouver le point $C$ avec la règle et le compas.
Mais au contraire si elles sont toutes parallèles, encore que la question ne
soit proposée qu'en cinq lignes, ce point $C$ ne pourra ainsi être trouvé, à
cause que la quantité $x$ ne se trouvant point en toute l'équation, il ne sera
% [File: 024.png Page: 14]
plus permis de prendre une quantité connue pour celle qui est nommée $y$,
mais ce sera celle qu'il faudra chercher. Et pourcequ'elle aura trois dimensions,
on ne le pourra trouver qu'en tirant la racine d'une équation cubique,
ce qui ne se peut généralement faire sans qu'on y emploie pour le moins
une section conique. Et encore qu'il y ait jusques à neuf lignes données,
pourvu qu'elles ne soient point toutes parallèles, on peut toujours faire que
l'équation ne monte que jusques au carré de carré; au moyen de quoi on
la peut aussi toujours résoudre par les sections coniques, en la façon que
j'expliquerai ci-après. Et encore qu'il y en ait jusques à treize, on peut
toujours faire qu'elle ne monte que jusques au carré de cube; ensuite de
quoi on la peut résoudre par le moyen d'une ligne, qui n'est que d'un degré
plus composée que les sections coniques, en la façon que j'expliquerai aussi
ci-après. Et ceci est la première partie de ce que j'avois ici à démontrer;
mais avant que je passe à la seconde, il est besoin que je dise quelque chose
en général de la nature des lignes courbes.
% [File: 025.png Page: 15]



\newpage
\begin{center}
{\LARGE LIVRE SECOND}

\vspace{0.25in}

DE LA NATURE DES LIGNES COURBES.

\vspace{0.2in}

\end{center}


Les\label{cont10}\mymarginpar{Quelles sont
les lignes
courbes qu'on
peut recevoir
en géo\-mé\-trie.}
anciens ont fort bien remarqué qu'entre les problèmes de géo\-mé\-trie,
les uns sont plans, les autres solides et les autres linéaires, c'est-à-dire que
les uns peuvent être construits en ne traçant que des lignes droites et des
cercles; au lieu que les autres ne le peuvent être, qu'on n'y emploie pour
le moins quelque section conique; ni enfin les autres, qu'on n'y emploie
quelque autre ligne plus composée. Mais je m'étonne de ce qu'ils n'ont point
outre cela distingué divers degrés entre ces lignes plus composées, et je ne
saurois comprendre pourquoi ils les ont nommées mécaniques plutôt que
géométriques. Car de dire que c'ait été à cause qu'il est besoin de se servir
de quelque machine pour les décrire, il faudroit rejeter par même raison les
cercles et les lignes droites, vu qu'on ne les décrit sur le papier qu'avec un
compas et une règle, qu'on peut aussi nommer des machines. Ce n'est pas
non plus à cause que les instruments qui servent à les tracer, étant plus
composés que la règle et le compas, ne peuvent être si justes; car il faudroit
pour cette raison les rejeter des mécaniques, où la justesse des ouvrages qui
sortent de la main est désirée, plutôt que de la géométrie, où c'est seulement
la justesse du raisonnement qu'on recherche, et qui peut sans doute être
aussi parfaite touchant ces lignes que touchant les autres. Je ne dirai pas
aussi que ce soit à cause qu'ils n'ont pas voulu augmenter le nombre de
leurs demandes, et qu'ils se sont contentés qu'on leur accordât qu'ils pussent
joindre deux points donnés par une ligne droite, et décrire un cercle d'un
centre donné qui passât par un point donné; car ils n'ont point fait de
% [File: 026.png Page: 16]
scrupule de supposer outre cela, pour traiter des sections coniques, qu'on
pût couper tout cône donné par un plan donné. Et il n'est besoin de rien
supposer pour tracer toutes les lignes courbes que je prétends ici d'introduire,
sinon que deux ou plusieurs lignes puissent être mues l'une par
l'autre, et que leurs intersections en marquent d'autres; ce qui ne me
paroît en rien plus difficile. Il est vrai qu'ils n'ont pas aussi entièrement
reçu les sections coniques en leur géométrie, et je ne veux pas entreprendre
de changer les noms qui ont été approuvés par l'usage; mais il est, ce me
semble, très clair que, prenant comme on fait pour géométrique ce qui est
précis et exact, et pour mécanique ce qui ne l'est pas, et considérant la
géométrie comme une science qui enseigne généralement à connoître les
mesures de tous les corps, on n'en doit pas plutôt exclure les lignes les plus
composées que les plus simples, pourvu qu'on les puisse imaginer être
décrites par un mouvement continu, ou par plusieurs qui s'entre-suivent,
et dont les derniers soient entièrement réglés par ceux qui les précèdent;
car par ce moyen on peut toujours avoir une connoissance exacte de leur
mesure. Mais peut-être que ce qui a empêché les anciens géomètres de
recevoir celles qui étoient plus composées que les sections coniques, c'est
que les premières qu'ils ont considérées, ayant par hasard été la spirale, la
quadratrice et semblables, qui n'appartiennent véritablement qu'aux mécaniques,
et ne sont point du nombre de celles que je pense devoir ici être
reçues, à cause qu'on les imagine décrites par deux mouvements séparés, et
qui n'ont entre eux aucun rapport qu'on puisse mesurer exactement; bien
qu'ils aient après examiné la conchoïde, la cissoïde, et quelque peu d'autres
qui en sont, toutefois à cause qu'ils n'ont peut-être pas assez remarqué leurs
propriétés, ils n'en ont pas fait plus d'état que des premières; ou bien c'est
que, voyant qu'ils ne connoissoient encore que peu de choses touchant les
sections coniques, et qu'il leur en restait même beaucoup, touchant ce qui
se peut faire avec la règle et le compas, qu'ils ignoroient, ils ont cru ne
devoir point entamer de matière plus difficile. Mais pourceque j'espère que
dorénavant ceux qui auront l'adresse de se servir du calcul géométrique ici
proposé, ne trouveront pas assez de quoi s'arrêter touchant les problèmes
plans ou solides, je crois qu'il est à propos que je les invite à d'autres
recherches, où ils ne manqueront jamais d'exercice.
% [File: 027.png Page: 17]

Voyez les lignes $A\:B$, $A\:D$, $A\:F$ et semblables \textit{(fig.~7)}, que je suppose avoir
été décrites par l'aide de l'instrument $Y\:Z$, qui est composé de plusieurs
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 7.}} \\ \includegraphics*[width=2.5in]{images/f007.png}
\end{center}
\end{figure}
règles tellement jointes que celle qui est marquée $Y\:Z$ étant arrêtée sur la
ligne $A\:N$, on peut ouvrir et fermer l'angle $X\:Y\:Z$, et que lorsqu'il est tout
fermé, les points $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ sont tous assemblés au point $A$; mais
qu'à mesure qu'on l'ouvre, la règle $B\:C$, qui est jointe à angles droits avec $X\:Y$
au point $B$, pousse vers $Z$ la règle $C\:D$, qui coule sur $Y\:Z$ en faisant toujours
des angles droits avec elle; et $C\:D$ pousse $D\:E$, qui coule tout de même sur $Y\:X$
en demeurant parallèle à $B\:C$; $D\:E$ pousse $E\:F$, $E\:F$ pousse $F\:G$, celle-ci
pousse $G\:H$, et on en peut concevoir une infinité d'autres qui se poussent
consécutivement en même façon, et dont les unes fassent toujours les mêmes
angles avec $Y\:X$ et les autres avec $Y\:Z$. Or, pendant qu'on ouvre ainsi
l'angle $X\:Y\:Z$, le point $B$ décrit la ligne $A\:B$, qui est un cercle; et les autres
points $D$, $F$, $H$, où se font les intersections des autres règles, décrivent
d'autres lignes courbes $A\:D$, $A\:F$, $A\:H$, dont les dernières sont par ordre plus
composées que la première, et celle-ci plus que le cercle; mais je ne vois pas
ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive aussi nettement et aussi distinctement
la description de cette première que du cercle, ou du moins que des
sections coniques; ni ce qui peut empêcher qu'on ne conçoive la seconde, et
la troisième, et toutes les autres qu'on peut décrire, aussi bien que la
première; ni par conséquent qu'on ne les reçoive toutes en même façon
pour servir aux spéculations de géométrie.


Je\label{cont11}\mymarginpar{La façon de distinguer toutes les
lignes courbe
en certains
genres, et de
connoître le
rapport
qu'ont tous
leurs points à
ceux des
lignes droites.}
pourrois mettre ici plusieurs autres moyens pour tracer et concevoir
des lignes courbes qui seroient de plus en plus composées par degrés à
l'infini; mais pour comprendre ensemble toutes celles qui sont en la nature,
% [File: 028.png Page: 18]
et les distinguer par ordre en certains genres, je ne sache rien de meilleur
que de dire que tous les points de celles qu'on peut nommer géométriques,
c'est-à-dire qui tombent sous quelque mesure précise et exacte, ont
nécessairement quelque rapport à tous les points d'une ligne droite, qui
peut être exprimée par quelque équation, en tous par une même; et que,
lorsque cette équation ne monte que jusqu'au rectangle de deux quantités
indéterminées, ou bien au carré d'une même, la ligne courbe est du
premier et plus simple genre, dans lequel il n'y a que le cercle, la parabole,
l'hyperbole et l'ellipse qui soient comprises; mais que lorsque l'équation
monte jusqu'à la troisième ou quatrième dimension des deux, ou de l'une
des deux quantités indéterminées (car il en faut deux pour expliquer ici le
rapport d'un point à un autre), elle est du second; et que lorsque l'équation
monte jusqu'à la cinquième ou sixième dimension, elle est du troisième;
et ainsi des autres à l'infini.
\label{fig8}Comme si je veux savoir de quel genre est la ligne $E\:C$ \textit{(fig.~8)}, que
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 8.}} \\ \includegraphics*[width=1.4in]{images/f008.png}
\end{center}
\end{figure}
j'imagine être décrite par l'intersection de la règle $G\:L$ et du plan rectiligne
$C\:N\:K\:L$, dont le côté $K\:N$ est indéfiniment prolongé vers $C$, et qui, étant mu
sur le plan de dessous en ligne droite, c'est-à-dire en telle sorte que son
diamètre $K\:L$ se trouve toujours appliqué sur quelque endroit de la ligne $B\:A$
prolongée de part et d'autre, fait mouvoir circulairement cette règle $G\:L$
autour du point $G$, à cause qu'elle lui est tellement jointe qu'elle passe
toujours par le point $L$. Je choisis une ligne droite comme $A\:B$, pour
rapporter à ses divers points tous ceux de cette ligne courbe $E\:C$; et en cette
ligne $A\:B$ je choisis un point comme $A$, pour commencer par lui ce
% [File: 029.png Page: 19]
calcul. Je dis que je choisis et l'un et l'autre, à cause qu'il est libre de
les prendre tels qu'on veut; car encore qu'il y ait beaucoup de choix
pour rendre l'équation plus courte et plus aisée, toutefois en quelle façon
qu'on les prenne, on peut toujours faire que la ligne paroisse de même
genre, ainsi qu'il est aisé à démontrer. Après cela prenant un point à
discrétion dans la courbe, comme $C$, sur lequel je suppose que l'instrument
qui sert à la décrire est appliqué, je tire de ce point $C$ la ligne $C\:B$
parallèle à $G\:A$, et pourceque $C\:B$ et $B\:A$ sont deux quantités indéterminées
et inconnues, je les nomme l'une $y$ et l'autre $x$; mais afin de
trouver le rapport de l'une à l'autre, je considère aussi les quantités connues
qui déterminent la description de cette ligne courbe, comme $G\:A$,
que je nomme $a$, $K\:L$ que je nomme $b$, et $N\:L$, parallèle à $G\:A$, que je
nomme $c$; puis je dis, comme $N\:L$ est à $L\:K$, ou $c$ à $b$, ainsi $C\:B$ ou $y$ est à $B\:K$,
qui est par conséquent $\dfrac{b}{c}y$: et $B\:L$ est $\dfrac{b}{c}y-b$, et $A\:L$ est $x+\dfrac{b}{c}y-b$.
De plus, comme $C\:B$ est à $L\:B$, ou $y$ à $\dfrac{b}{c}y-b$, ainsi $A\:G$ ou $a$ est à $L\:A$
ou $x+\dfrac{b}{c}y-b$; de façon que, multipliant la seconde par la troisième,
on produit $\dfrac{ab}{c}y-ab$ qui est égale à $xy+\dfrac{b}{c}y^2-by$, qui se produit
en multipliant la première par la dernière: et ainsi l'équation qu'il falloit
trouver est
\[
y^2 = cy- \frac{cx}{b} y + ay - ac,
\]
de laquelle on connoît que la ligne $E\:G$ est du premier genre, comme en
effet elle n'est autre qu'une hyperbole.

Que si, en l'instrument qui sert à la décrire, on fait qu'au lieu de la ligne
droite $C\:N\:K$, ce soit cette hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du
premier genre, qui termine le plan $C\:N\:K\:L$, l'intersection de cette ligne et
de la règle $G\:L$ décrira, au lieu de l'hyperbole $E\:C$, une autre ligne courbe
qui sera d'un second genre. Comme si $C\:N\:K$ est un cercle dont $L$ soit le
centre, on décrira la première conchoïde des anciens; et si c'est une parabole
dont le diamètre soit $K\:B$, on décrira la ligne courbe que j'ai tantôt dit être
% [File: 030.png Page: 20]
la première et la plus simple pour la question de Pappus, lorsqu'il n'y a
que cinq lignes droites données par position; mais si au lieu d'une de ces
lignes courbes du premier genre, c'en est une du second qui termine le
plan $C\:N\:K\:L$, on en décrira, par son moyen, une du troisième, ou si c'en est
une du troisième, on en décrira une du quatrième, et ainsi à l'infini, comme
il est fort aisé à connoître par le calcul. Et en quelque autre façon qu'on
imagine la description d'une ligne courbe, pourvu qu'elle soit du nombre
de celles que je nomme géométriques, on pourra toujours trouver une
équation pour déterminer tous ses points en cette sorte.

Au reste, je mets les lignes courbes qui font monter cette équation
jusqu'au carré, au même genre que celles qui ne la font monter que jusqu'au
cube; et celles dont l'équation monte au carré de cube, au même genre
que celles dont elle ne monte qu'au sursolide, et ainsi des autres: dont
la raison est qu'il y a règle générale pour réduire au cube toutes les
difficultés qui vont au carré de carré, et au sursolide toutes celles qui
vont au carré de cube; de façon qu'on ne les doit point estimer plus
composées.

Mais il est à remarquer qu'entre les lignes de chaque genre, encore que
la plupart soient également composées, en sorte qu'elles peuvent servir à
déterminer les mêmes points et construire les mêmes problèmes, il y en a
toutefois aussi quelques unes qui sont plus simples, et qui n'ont pas tant
d'étendue en leur puissance; comme entre celles du premier genre, outre
l'ellipse, l'hyperbole et la parabole, qui sont également composées, le cercle
y est aussi compris, qui manifestement est plus simple; et entre celles du
second genre, il y a la conchoïde vulgaire, qui a son origine du cercle; et il
y en a encore quelques autres qui, bien qu'elles n'aient pas tant d'étendue
que la plupart de celles du même genre, ne peuvent toutefois être mises
dans le premier.

Or,\label{cont12}\mymarginpar{Suite de l'explication
de la
question de
Pappus, mise
au livre
précédent.}
après avoir ainsi réduit toutes les lignes courbes à certains genres, il
m'est aisé de poursuivre en la démonstration de la réponse que j'ai tantôt
faite à la question de Pappus; car premièrement, ayant fait voir ci-dessus
que, lorsqu'il n'y a que trois ou quatre lignes droites données, l'équation
qui sert à déterminer les points cherchés ne monte que jusqu'au carré, il
est évident que la ligne courbe où se trouvent ces points est nécessairement
% [File: 031.png Page: 21]
quelqu'une de celles du premier genre, à cause que cette même équation
explique le rapport qu'ont tous les points des lignes du premier genre à
ceux d'une ligne droite; et que lorsqu'il n'y a point plus de huit lignes
droites données, cette équation ne monte que jusqu'au carré de carré tout
au plus, et que par conséquent la ligne cherchée ne peut être que du second
genre, ou au-dessous; et que lorsqu'il n'y a point plus de douze lignes
données, l'équation ne monte que jusqu'au carré de cube, et que par
conséquent la ligne cherchée n'est que du troisième genre, ou au-dessous;
et ainsi des autres. Et même à cause que la position des lignes droites
données peut varier en toutes sortes, et par conséquent faire changer tant
les quantités connues que les signes $+$ et $-$ de l'équation, en toutes les
façons imaginables, il est évident qu'il n'y a aucune ligne courbe du premier
genre qui ne soit utile à cette question, quand elle est proposée en quatre
lignes droites; ni aucune du second qui n'y soit utile, quand elle est proposée
en huit; ni du troisième, quand elle est proposée en douze; et ainsi des
autres: en sorte qu'il n'y a pas une ligne courbe qui tombe sous le calcul
et puisse être reçue en géométrie, qui n'y soit utile pour quelque nombre
de lignes.

Mais\label{cont13}\mymarginpar{Solution de
cette question
quand elle
n'est proposée
qu'en trois ou
quatre lignes.}
il faut ici plus particulièrement que je détermine et donne la façon
de trouver la ligne cherchée qui sert en chaque cas, lorsqu'il n'y a que trois
ou quatre lignes droites données; et on verra, par même moyen, que le
premier genre des lignes courbes n'en contient aucunes autres que les trois
sections coniques et le cercle.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 9.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f009.png}
\end{center}
\end{figure}

Reprenons les quatre lignes $A\:B$, $A\:D$, $E\:F$ et $G\:H$ \textit{(fig.~9)} données ci-dessus, %*
% [File: 032.png Page: 22]
et qu'il faille trouver une autre ligne en laquelle il se rencontre une infinité
de points tels que $C$, duquel ayant tiré les quatre lignes $C\:B$, $C\:D$, $C\:F$ et $C\:H$,
à angles donnés sur les données, $C\:B$ multipliée par $C\:F$ produit une somme
égale à $C\:D$ multipliée par $C\:H$; c'est-à-dire, ayant fait
\begin{gather*}
C\:B = y, \quad C\:D = \frac{czy + bcx}{z^2},
  \quad C\:F = \frac{ezy + dek + dex}{z^2},\\
\text{et} \quad C\:H = \frac{gzy + fgl - fgx}{z^2},
\end{gather*}
l'équation est\footnote{%
Les termes contenus entre deux parenthèses sont placés l'un sous l'autre dans les anciennes
éditions, comme, par exemple, $\left.\begin{array}{l}-dekz^2\\+cfglz\\ \end{array}\right\}y$.}
\[
y^2 = \frac{(cfglz - dckz^2)y - (dez^2 + cfgz - bcgz)xy + bcfglx - bcfgx^2}{ez^3 - cgz^2}.
\]
au moins en supposant $ez$ plus grand que $cg$, car s'il étoit moindre il
faudroit changer tous les signes $+$ et $-$. Et si la quantité $y$ se trouvoit
nulle ou moindre que rien en cette équation, lorsqu'on a supposé le point $C$
en l'angle $D\:A\:G$, il faudroit le supposer aussi en l'angle $D\:A\:E$, ou $E\:A\:R$,
ou $R\:A\:G$, en changeant les signes $+$ et $-$ selon qu'il serait requis à cet
effet. Et si en toutes ces quatre positions la valeur de $y$ se trouvoit nulle,
la question seroit impossible au cas proposé. Mais supposons-la ici être
possible, et pour en abréger les termes, au lieu des quantités $\dfrac{cfglz-dekz^2}{ez^3-cgz^2}$,
écrivons $2m$; et au lieu de $\dfrac{dez^2+cfgz-bcgz}{ez^3-cgz^2}$, écrivons $\dfrac{2n}{z}$; et ainsi nous
aurons
\[
y^2 = 2my - \frac{2n}{z}xy + \frac{bcfglx - bcfgx^2}{ez^3-cgz^2},
\]
dont la racine est
\[
y = m - \frac{nx}{z} + \sqrt{ m^2 - \frac{2mnx}{z} + \frac{n^2x^2}{z^2} +
    \frac{bcfglx - bcfgx^2}{ez^3 - cgz^2}};
\]
et de rechef  pour abréger, au lieu de $-\dfrac{2mn}{z}+\dfrac{bcfgl}{ez^3-cgz^2}$, écrivons $o$;
% [File: 033.png Page: 23]
et au lieu de $\dfrac{n^2}{z^2}-\dfrac{bcfg}{ez^2 -cgz^2}$, écrivons $\dfrac{p}{m}$; car ces quantités étant toutes
données, nous les pouvons nommer comme il nous plaît: et ainsi nous
avons
\[
y=m-\frac{n}{z}x + \sqrt{m^2+ox + \frac{p}{m}x^2},
\]
qui doit être la longueur de la ligne $B\:C$, en laissant $A\:B$ ou $x$ indéterminée.
Et il est évident que la question n'étant proposée qu'en trois ou quatre
lignes, on peut toujours avoir de tels termes, excepté que quelques uns
d'eux peuvent être nuls, et que les signes + et - peuvent diversement
être changés.

Après cela je fais $K\:I$ égale et parallèle à $B\:A$, en sorte qu'elle coupe de
$B\:C$ la partie $B\:K$ égale à $m$, à cause qu'il y a ici $+m$; et je l'aurois ajoutée
en tirant cette ligne $I\:K$ de l'autre côté, s'il y avoit eu $-m$; et je ne l'aurois
point du tout tirée, si la quantité $m$ eût été nulle. Puis je tire aussi $I\:L$, en
sorte que la ligne $I\:K$ est à $K\:L$ comme $z$ est à $n$; c'est-à-dire que $I\:K$ étant $x$,
$K\:L$ est $\dfrac{n}{z}x$. Et par même moyen je connois aussi la proportion qui est
entre $K\:L$ et $I\:L$, que je pose comme entre $n$ et $a$: si bien que $K\:L$
étant $\dfrac{n}{z}x$, $I\:L$ est $\dfrac{a}{z}x$. Et je fais que le point $K$ soit entre $L$ et $C$, à cause
qu'il y a ici $-\dfrac{n}{z}x$; au lieu que j'aurois mis $L$ entre $K$ et $C$, si j'eusse
eu $+\dfrac{n}{z}x$; et je n'eusse point tiré cette ligne $I\:L$, si $\dfrac{n}{z}x$ eût été nulle.

Or, cela fait, il ne me reste plus pour la ligne $L\:C$ que ces termes
\[
LC=\sqrt{m^2 + ox + \dfrac{p}{m}x^2},
\]
d'où je vois que s'ils étoient nuls, ce point $C$ se trouveroit en la ligne
droite $I\:L$; et que s'ils étoient tels que la racine s'en pût tirer, c'est-à-dire
que $m^2$ et $\dfrac{p}{m}x^2$ étant marqués d'un même signe $+$ ou $-$, $o^2$ fût égal à
% [File: 034.png Page: 24]
$4 pm$, ou bien que les termes $m^2$ et $ox$, ou $ox$ et $\dfrac{p}{m}x^2$ fussent nuls, ce
point $C$ se trouveroit en une autre ligne droite qui ne seroit pas plus
malaisée à trouver que $I\:L$. Mais lorsque cela n'est pas, ce point $C$ est
toujours en l'une des trois sections ou en un cercle dont l'un des
diamètres est en la ligne $I\:L$, et la ligne $L\:C$ est l'une de celles qui s'appliquent
par ordre à ce diamètre; ou au contraire $L\:C$ est parallèle au diamètre
auquel celle qui est en la ligne $I\:L$ est appliquée par ordre; à savoir si le
terme $\dfrac{p}{m}x^2$ est nul, cette section conique est une parabole; et s'il est marqué
du signe $+$, c'est une hyperbole; et enfin s'il est marqué du signe $-$,
c'est une ellipse, excepté seulement si la quantité $a^2m$ est égale à $pz^2$, et
que l'angle $I\:L\:C$ soit droit, auquel cas on a un cercle au lieu d'une ellipse.
Que si cette section est une parabole, son côté droit est égal à $\dfrac{oz}{a}$, et son
diamètre est toujours en la ligne $I\:L$; et pour trouver le point $N$, qui en est
le sommet, il faut faire $I\:N$ égale à $\dfrac{am^2}{oz}$; et que le point $I$ soit entre $L$ et $N$,
si les termes sont ${}+ m^2 + ox$; ou bien que le point $L$ soit entre $I$ et $N$,
s'ils sont ${}+ m^2 - ox$; ou bien il faudroit que $N$ fût entre $I$ et $L$, s'il y
avoit ${}- m^2 + ox$. Mais il ne peut jamais y avoir ${}- m^2$, en la façon que
les termes ont ici été posés. Et enfin le point $N$ seroit le même que le
point $I$ si la quantité $m^2$ étoit nulle; au moyen de quoi il est aisé de trouver
cette parabole par le premier problème du premier livre d'Apollonius.

Que si la ligne demandée est un cercle, ou une ellipse, ou une hyperbole,
il faut premièrement chercher le point $M$ qui en est le centre, et qui est
toujours en la ligne droite $I\:L$; ou on le trouve en prenant $\dfrac{aom}{2pz}$ pour $I\:M$,
en sorte que si la quantité $o$ est nulle, ce centre est justement au point $I$.
Et si la ligne cherchée est un cercle ou une ellipse, on doit prendre le
point $M$ du même côté que le point $L$, au respect du point $I$, lorsqu'on
a ${}+ ox$; et lorsqu'on a ${}- ox$, on le doit prendre de l'autre. Mais tout au
contraire, en l'hyperbole, si on a ${}- ox$, ce centre $M$ doit être vers $L$; et si
on a ${}+ ox$, il doit être de l'autre côté. Après cela le côté droit de la figure
% [File: 035.png Page: 25]
doit être
\[
\sqrt{ \frac{o^2z^2}{a^2} + \frac{4mpz^2}{a^2}},
\]
lorsqu'on a ${}+ m^2$, et que la ligne cherchée est un cercle ou une ellipse; ou
bien lorsqu'on a ${}-m^2$, et que c'est une hyperbole; et il doit être
\[
\sqrt{ \frac{o^2z^2}{a^2} - \frac{4mpz^2}{a^2}},
\]
si la ligne cherchée, étant un cercle ou une ellipse, on a ${}-m^2$; ou bien si
étant une hyperbole, et la quantité $o^2$ étant plus grande que $4mp$, on a ${}+m^2$.
Que si la quantité $m^2$ est nulle, ce côté droit est $\dfrac{oz}{a}$; et si $ox$ est nulle, il est
\[
\sqrt{ \frac{4mpz^2}{a^2} }.
\]
Puis, pour le côté traversant, il faut trouver une ligne qui soit à ce côté droit
comme $a^2m$ est à $pz^2$; à savoir si ce côté droit est
\[
\sqrt{ \frac{o^2z^2}{a^2} + \frac{4mpz^2}{a^2}},
\]
le traversant est
\[
\sqrt{ \frac{a^2o^2m^2}{p^2z^2} + \frac{4a^2m^3}{pz^2}}.
\]
Et en tous ces cas le diamètre de la section est en la ligne $I\:M$, et $L\:C$ est
l'une de celles qui lui est appliquée par ordre. Si bien que, faisant $M\:N$ égale
à la moitié du côté traversant, et le prenant du même côté du point $M$ qu'est
le point $L$, on a le point $N$ pour le sommet de ce diamètre; ensuite de quoi
il est aisé de trouver la section par les second et troisième problèmes du
premier livre d'Apollonius.

Mais quand cette section étant une hyperbole, on a ${}+m^2$, et que la
quantité $o^2$ est nulle ou plus petite que $4pm$, on doit tirer du centre $M$ la
% [File: 036.png Page: 26]
ligne $M\:O\:P$ parallèle à $L\:C$, et $C\:P$ parallèle à $L\:M$, et faire $M\:O$ égale à
\[
\sqrt{m^2 - \frac{o^2m}{4p}},
\]
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 10.}} \\ \includegraphics*[width=2.5in]{images/f010.png}
\end{center}
\end{figure}
ou bien la faire égale à $m$ si la quantité $ox$ est nulle; puis considérer le
point $O$ comme le sommet de cette hyperbole, dont le diamètre est $O\:P$,
et $C\:P$ la ligne qui lui est appliquée par ordre, et son côté droit est
\[
\sqrt{\frac{4a^4m^4}{p^2z^4} - \frac{a^4o^2m^3}{p^3z^4}},
\]
et son côté traversant est
\[
\sqrt{4m^2 - \frac{o^2m}{p}};
\]
excepté quand $ox$ est nulle, car alors le côté droit est $\dfrac{2a^2m^2}{pz^2}$, et le traversant
est $2m$; et ainsi il est aisé de la trouver par le troisième problème du
premier livre d'Apollonius.

Et\label{cont14}\mymarginpar{Démonstration
de tout ce qui
vient d'être
expliqué.}
les démonstrations de tout ceci sont évidentes; car composant un
espace des quantités que j'ai assignées pour le côté droit, et le traversant,
et pour le segment du diamètre $N\:L$ ou $O\:P$, suivant la teneur du 11\ieme,
du 12\ieme et du 13\ieme théorème du premier livre d'Apollonius, on trouvera tous les
mêmes termes dont est composé le carré de la ligne $C\:P$, ou $C\:L$, qui est
appliquée par ordre à ce diamètre. Comme en cet exemple, ôtant $I\:M$ qui
% [File: 037.png Page: 27]
est $\dfrac{aom}{2pz}$, de $N\:M$ qui est
\[
  \frac{am}{2pz} \sqrt{o^2 + 4mp},
\]
j'ai $I\:N$, à laquelle ajoutant $I\:L$ qui est $\dfrac{a}{z}x$, j'ai $N\:L$ qui est
\[
  \frac{a}{z}x - \frac{aom}{2pz} + \frac{am}{2pz} \sqrt{ o^2+4mp };
\]
et ceci étant multiplié par $\dfrac{z}{a}\sqrt{o^2+4mp}$, qui est le côté droit de la figure,
il vient
\[
  x\sqrt{ o^2+4mp } - \frac{om}{2p} \sqrt{ o^2+4mp } + \frac{mo^2}{2p} + 2m^2,
\]
pour le rectangle, duquel il faut ôter un espace qui soit au carré de $N\:L$
comme le côté droit est au traversant, et ce carré de $N\:L$ est
\begin{gather*}
  \frac{a^2}{z^2} x^2 - \frac{a^2 om}{pz^2} x + \frac{a^2 m}{pz^2} x \sqrt{o^2+4mp }
    + \frac{a^2 o^2 m^2}{2p^2 z^2} + \frac{a^2 m^3}{pz^2} \\
  {}- \frac{a^2 om^2}{2p^2 z^2} \sqrt{o^2+4mp },
\end{gather*}
qu'il faut diviser par $a^2 m$ et multiplier par $pz^2$, à cause que ces termes
expliquent la proportion qui est entre le côté traversant et le droit, et il
vient
\[
  \frac{p}{m} x^2 - ox + x\sqrt{ o^2+4mp } + \frac{o^2 m}{2p} - \frac{om}{2p} \sqrt{ o^2+4mp } + m^2,
\]
ce qu'il faut ôter du rectangle précédent, et on trouve
\[
  m^2 + ox - \frac{p}{m} x^2
\]
pour le carré de $C\:L$, qui par conséquent est une ligne appliquée par ordre
dans une ellipse, ou dans un cercle, au segment du diamètre $N\:L$.
% [File: 038.png Page: 28]

Et si on veut expliquer toutes les quantités données par nombres, en
faisant par exemple $E\:A = 3$, $A\:G = 5$, $A\:B = B\:R$, $B\:S = \dfrac{1}{2} B\:E$, $G\:B
= B\:T$, $C\:D =\dfrac{3}{2} C\:R$, $C\:F = 2C\:S$, $C\:H = \dfrac{2}{3} C\:T$, et que l'angle $A\:B\:R$ soit
de 60~degrés, et enfin que le rectangle des deux $C\:B$ et $C\:F$ soit égal au
rectangle des deux autres $C\:D$ et $C\:H$; car il faut avoir toutes ces choses afin
que la question soit entièrement déterminée; et avec cela, supposant
$A\:B = x$, et $C\:B = y$, on trouve par la façon ci-dessus expliquée.
\begin{gather*}
  y^2 = 2y - xy + 5x - x^2,\\
  y   = 1 - \frac{1}{2} x + \sqrt{1+4x-\frac{3}{4}x^2},
\end{gather*}
si bien que $B\:K$ doit être 1, $K\:L$ doit être la moitié de $K\:I$; et pourceque
l'angle $I\:K\:L$ ou $A\:B\:R$ est de 60~degrés, et $K\:I\:L$ qui est la moitié de $K\:I\:B$ ou
$I\:K\:L$, de 30, $I\:L\:K$ est droit. Et pourceque $I\:K$ ou $A\:B$ est nommée $x$, $K\:L$
est $\dfrac{1}{2} x$, et $I\:L$ est $x \sqrt{\dfrac{3}{4}}$, et la quantité qui étoit tantôt nommée $z$ est 1,
celle qui étoit $a$ est $\sqrt{\dfrac{3}{4}}$, celle qui étoit $m$ est 1, celle qui étoit $o$ est 4, et
celle qui étoit $p$ est $\dfrac{3}{4}$, de façon qu'on a $\sqrt{\dfrac{16}{3}}$ pour $I\:M$, et $\sqrt{\dfrac{19}{3}}$ pour $N\:M$;
et pourceque $a^2m$, qui est $\dfrac{3}{4}$, est ici égal à $pz^2$, et que l'angle $I\:L\:C$ est droit,
on trouve que la ligne courbe $N\:C$ est un cercle. Et on peut facilement
examiner tous les autres cas en même sorte.

Au\label{cont15}\mymarginpar{Quels sont les
lieux plans et
solides, et la
façon de les
trouver.}
reste, à cause que les équations qui ne montent que jusqu'au carré
sont toutes comprises en ce que je viens d'expliquer, non seulement le
problème des anciens en trois et quatre lignes est ici entièrement achevé,
mais aussi tout ce qui appartient à ce qu'ils nommoient la composition des
lieux solides, et par conséquent aussi à celle des lieux plans, à cause qu'ils
sont compris dans les solides: car ces lieux ne sont autre chose, sinon que,
lorsqu'il est question de trouver quelque point auquel il manque une
% [File: 039.png Page: 29]
condition pour être entièrement déterminé, ainsi qu'il arrive en cet exemple,
tous les points d'une même ligne peuvent être pris pour celui qui est
demandé: et si cette ligne est droite ou circulaire, on la nomme un lieu plan;
mais si c'est une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipse, on la nomme
un lieu solide: et toutefois et quantes que cela est, on peut venir à une
équation qui contient deux quantités inconnues, et est pareille à quelqu'une
de celles que je viens de résoudre. Que si la ligne qui détermine ainsi le
point cherché est d'un degré plus composée que les sections coniques, on la
peut nommer, en même façon, un lieu sursolide, et ainsi des autres. Et s'il
manque deux conditions à la détermination de ce point, le lieu où il se
trouve est une superficie, laquelle peut être tout de même ou plate, ou
sphérique, ou plus composée. Mais le plus haut but qu'aient eu les anciens
en cette matière a été de parvenir à la composition des lieux solides; et il
semble que tout ce qu'Apollonius a écrit des sections coniques n'a été qu'à
dessein de la chercher.

De plus, on voit ici que ce que j'ai pris pour le premier genre des lignes
courbes n'en peut comprendre aucunes autres que le cercle, la parabole,
l'hyperbole et l'ellipse, qui est tout ce que j'avois entrepris de prouver.

Que\label{cont16}\mymarginpar{Quelle est la
première et la
plus simple
de toutes les
lignes courbes
en la question
des anciens
quand elle est
proposée en
cinq lignes.}
si la question des anciens est proposée en cinq lignes qui soient
toutes parallèles, il est évident que le point cherché sera toujours en une
ligne droite; mais si elle est proposée en cinq lignes, dont il y en ait quatre
qui soient parallèles, et que la cinquième les coupe à angles droits, et même
que toutes les lignes tirées du point cherché les rencontrent aussi à angles
droits, et enfin que le parallélipipède composé de trois des lignes ainsi tirées
sur trois de celles qui sont parallèles soit égal au parallélipipède composé
des deux lignes tirées, l'une sur la quatrième de celles qui sont parallèles,
et l'autre sur celle qui les coupe à angles droits, et d'une troisième ligne
donnée, ce qui est, ce semble, le plus simple cas qu'on puisse imaginer
après le précédent, le point cherché sera en la ligne courbe qui est décrite
par le mouvement d'une parabole, en la façon ci-dessus expliquée.

Soient par exemple les lignes données $A\:B$, $I\:H$, $E\:D$, $G\:F$, et $G\:A$ \textit{(fig.~11)},
et qu'on demande le point $C$, en sorte que tirant $C\:B$, $C\:F$, $C\:D$, $C\:H$ et $C\:M$ à
angles droits sur les données, le parallélipipède des trois $C\:F$, $C\:D$, $C\:H$ soit
égal à celui des deux autres $C\:B$ et $C\:M$, et d'une troisième qui soit $A\:I$. Je
% [File: 040.png Page: 30]
pose $C\:B = y$, $C\:M = x$, $A\:I$ ou $A\:E$ ou $G\:E = a$; de façon que le point $C$
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 11.}} \\ \includegraphics*[width=1.9in]{images/f011.png}
\end{center}
\end{figure}
étant entre les lignes $A\:B$ et $D\:E$, j'ai $C\:F = 2a-y$, $C\:D = a-y$,
et $C\:H = y + a$; et multipliant ces trois l'une par l'autre, j'ai $y^3-2ay^2
-a^2 y + 2a^3$ égal au produit des trois autres, qui est $axy$. Après cela je
considère la ligne courbe $C\:E\:G$, que j'imagine être décrite par l'intersection
de la parabole $C\:K\:N$, qu'on fait mouvoir en telle sorte que son diamètre $K\:L$
est toujours sur la ligne droite $A\:B$, et de la règle $G\:L$ qui tourne cependant
autour du point $G$ en telle sorte qu'elle passe toujours dans le plan de cette
parabole par le point $L$. Et je fais $K\:L = a$, et le côté droit principal, c'est-à-dire
celui qui se rapporte à l'essieu de cette parabole, aussi égal à $a$,
et $G\:A = 2a$, et $C\:B$ ou $M\:A = y$, et $C\:M$ ou $A\:B = x$. Puis à cause des
triangles semblables $G\:M\:C$ et $C\:B\:L$, $G\:M$ qui est $2a-y$, est à $M\:C$ qui est $x$,
comme $C\:B$ qui est $y$, est à $B\:L$ qui est par conséquent $\dfrac{xy}{2a-y}$. Et pourceque
$K\:L$ est $a$, $B\:K$ est $a-\dfrac{xy}{2a-y}$, ou bien $\dfrac{2a^2-ay-xy}{2a-y}$. Et enfin
pourceque ce même $B\:K$, étant un segment du diamètre de la parabole, est
à $B\:C$ qui lui est appliquée par ordre, comme celle-ci est au côté droit qui
est $a$, le calcul montre que $y^3 - 2ay^2 - a^2y + 2a^3$ est égal à $axy$; et
par conséquent que le point $C$ est celui qui étoit demandé. Et il peut être
pris en tel endroit de la ligne $C\:E\:G$ qu'on veuille choisir, ou aussi en son
adjointe $c\:E\:G\:c$, qui se décrit en même façon, excepté que le sommet de la
parabole est tourné vers l'autre côté, ou enfin en leurs contreposées $N\:I\:o$,
% [File: 041.png Page: 31]
$n\:I\:O$, qui sont décrites par l'intersection que fait la ligne $G\:L$ en l'autre côté
de la parabole $K\:N$.

Or encore que les parallèles données $A\:B$, $I\:H$, $E\:D$, et $G\:F$, ne fussent
point également distantes, et que $G\:A$ ne les coupât point à angles droits, ni
aussi les lignes tirées du point $C$ vers elles, ce point $C$ ne laisseroit pas de
se trouver toujours en une ligne courbe qui seroit de même nature: et il s'y
peut aussi trouver quelquefois, encore qu'aucune des lignes données ne soient
parallèles. Mais si lorsqu'il y en a quatre ainsi parallèles, et une cinquième
qui les traverse, et que le parallélipipède de trois des lignes tirées du point
cherché, l'une sur cette cinquième, et les deux autres sur deux de celles qui
sont parallèles, soit égal à celui des deux tirées sur les deux autres parallèles,
et d'une autre ligne donnée: ce point cherché est en une ligne courbe d'une
autre nature, à savoir en une qui est telle, que toutes les lignes droites
appliquées par ordre à son diamètre étant égales à celles d'une section
conique, les segments de ce diamètre qui sont entre le sommet et ces lignes
ont même proportion à une certaine ligne donnée, que cette ligne donnée a
aux segments du diamètre de la section conique, auxquels les pareilles lignes
sont appliquées par ordre. Et je ne saurois véritablement dire que cette
ligne soit moins simple que la précédente, laquelle j'ai cru toutefois devoir
prendre pour la première, à cause que la description et le calcul en sont en
quelque façon plus faciles.

Pour les lignes qui servent aux autres cas, je ne m'arrêterai point à les
distinguer par espèces, car je n'ai pas entrepris de dire tout; et, ayant
expliqué la façon de trouver une infinité de points par où elles passent, je
pense avoir assez donné le moyen de les décrire.

Même\label{cont17}\mymarginpar{Quelles sont
les lignes
courbes qu'on
décrit en trouvant
plusieurs
de leurs
points, qui
peuvent être
reçues en
géométrie.}
il est à propos de remarquer qu'il y a grande différence entre cette
façon de trouver plusieurs points pour tracer une ligne courbe, et celle dont
on se sert pour la spirale et ses semblables; car par cette dernière on ne
trouve pas indifféremment tous les points de la ligne qu'on cherche, mais
seulement ceux qui peuvent être déterminés par quelque mesure plus simple
que celle qui est requise pour la composer; et ainsi, à proprement parler,
on ne trouve pas un de ses points, c'est-à-dire pas un de ceux qui lui sont
tellement propres qu'ils ne puissent être trouvés que par elle; au lieu qu'il
n'y a aucun point dans les lignes qui servent à la question proposée, qui ne
% [File: 042.png Page: 32]
se puisse rencontrer entre ceux qui se déterminent par la façon tantôt
expliquée. Et pourceque cette façon de tracer une ligne courbe, en trouvant
indifféremment plusieurs de ses points, ne s'étend qu'à celles qui peuvent
aussi être décrites par un mouvement régulier et continu, on ne la doit pas
entièrement rejeter de la géométrie.


Et\label{cont18}\mymarginpar{Quelles sont
aussi celles
qu'on décrit
avec une
corde, qui
peuvent y
être reçues.}
on n'en doit pas rejeter non plus celle où on se sert d'un fil ou d'une
corde repliée pour déterminer l'égalité ou la différence de deux ou plusieurs
lignes droites qui peuvent être tirées de chaque point de la courbe qu'on
cherche, à certains autres points, ou sur certaines autres lignes à certains
angles, ainsi que nous avons fait en la Dioptrique pour expliquer l'ellipse
et l'hyperbole; car encore qu'on n'y puisse recevoir aucunes lignes qui
semblent à des cordes, c'est-à-dire qui deviennent tantôt droites et tantôt
courbes, à cause que la proportion qui est entre les droites et les courbes
n'étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes,
on ne pourroit rien conclure de là qui fût exact et assuré. Toutefois à cause
qu'on ne se sert de cordes en ces constructions que pour déterminer des
lignes droites dont on connoît parfaitement la longueur, cela ne doit point
faire qu'on les rejette.

Or\label{cont19}\mymarginpar{Que pour
trouver toutes
les propriétés
des lignes
courbes il suffit
de savoir le
rapport qu'ont
tous leurs
points à ceux
des lignes
droites, et la
façon de tirer
d'autres lignes
qui les coupent
en tous ces
points à
angles droits.}
de cela seul qu'on sait le rapport qu'ont tous les points d'une ligne
courbe à tous ceux d'une ligne droite, en la façon que j'ai expliquée, il est
aisé de trouver aussi le rapport qu'ils ont à tous les autres points et lignes
données; et ensuite de connoître les diamètres, les essieux, les centres et
autres lignes ou points à qui chaque ligne courbe aura quelque rapport plus
particulier ou plus simple qu'aux autres; et ainsi d'imaginer divers moyens
pour les décrire, et d'en choisir les plus faciles; et même on peut aussi, par
cela seul, trouver quasi tout ce qui peut être déterminé touchant la grandeur
de l'espace qu'elles comprennent, sans qu'il soit besoin que j'en donne
plus d'ouverture. Et enfin pour ce qui est de toutes les autres propriétés
qu'on peut attribuer aux lignes courbes, elles ne dépendent que de la
grandeur des angles qu'elles font avec quelques autres lignes. Mais lorsqu'on
peut tirer des lignes droites qui les coupent à angles droits, aux points où
elles sont rencontrées par celles avec qui elles font les angles qu'on veut
mesurer, ou, ce que je prends ici pour le même, qui coupent leurs contingentes,
la grandeur de ces angles n'est pas plus malaisée à trouver que s'ils
% [File: 043.png Page: 33]
étoient compris entre deux lignes droites. C'est pourquoi je croirai avoir
mis ici tout ce qui est requis pour les éléments des lignes courbes, lorsque
j'aurai généralement donné la façon de tirer des lignes droites qui tombent
à angles droits sur tels de leurs points qu'on voudra choisir. Et j'ose
dire que c'est ceci le problème le plus utile et le plus général, non
seulement que je sache, mais même que j'aie jamais désiré de savoir en
géométrie.

Soit\label{cont20}\mymarginpar{Façon générale
pour
trouver des
lignes droites,
qui coupent
les courbes
données ou
leurs contingentes,
à
angles droits.}
$C\:E$ \textit{(fig.~12)} la ligne courbe, et qu'il faille tirer une ligne droite par
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 12.}} \\ \includegraphics*[width=2.3in]{images/f012.png}
\end{center}
\end{figure}
le point $C$, qui fasse avec elle des angles droits. Je suppose la chose déjà
faite, et que la ligne cherchée est $C\:P$, laquelle je prolonge jusqu'au point $P$,
où elle rencontre la ligne droite $G\:A$, que je suppose être celle aux points de
laquelle on rapporte tous ceux de la ligne $C\:E$; en sorte que faisant $M\:A$ on
$C\:B = y$, et $C\:M$ ou $B\:A = x$, j'ai quelque équation qui explique le rapport
qui est entre $x$ et $y$; puis je fais $P\:C = s$, et $P\:A = v$, ou $P\:M = v-y$;
et à cause du triangle rectangle $P\:M\:C$, j'ai $s^2$, qui est le carré de la base,
égal à $x^2+v^2-2vy+y^2$, qui sont les carrés des deux côtés; c'est-à-dire
j'ai
\[
x=\sqrt{s^2-v^2+2vy-y^2},
\]
ou bien
\[
y=v+\sqrt{s^2-x^2};
\]
et par le moyen de cette équation, j'ôte de l'autre équation, qui m'explique
le rapport qu'ont tous les points de la courbe $C\:E$ à ceux de la droite $G\:A$,
l'une des deux quantités indéterminées $x$ ou $y$; ce qui est aisé à faire en
mettant partout
\[
\sqrt{s^2-v^2+2vy-y^2}
\]
au lieu de $x$, et le carré de cette somme au lieu de $x^2$, et son cube au lieu
% [File: 044.png Page: 34]
de $x^3$, et ainsi des autres, si c'est $x$ que je veuille ôter; ou bien si c'est $y$,
en mettant en son lieu
\[
v+\sqrt{s^2-x^2},
\]
et le carré ou le cube, etc., de cette somme au lieu de $y^2$ ou $y^3$, etc. De
façon qu'il reste toujours après cela une équation en laquelle il n'y a plus
qu'une seule quantité indéterminée $x$ ou $y$.
\label{cont21}Comme si $C\:E$ est une ellipse, et que $M\:A$ soit le segment de son diamètre,
auquel $C\:M$ soit appliquée par ordre, et qui ait $r$ pour son côté droit et $q$
pour le traversant, on a, par le treizième théorème du premier livre
d'Apollonius, $x^2=ry-\dfrac{r}{q} y^2$, d'où ôtant $x^2$, il reste
\[
s^2-v^2+2vy-y^2=ry-\dfrac{r}{q}y^2,
\]
ou bien
\[
y^2+\dfrac{qry-2qvy+qv^2-qs^2}{q-r}=0;
\]
car il est mieux en cet endroit de considérer ainsi ensemble toute la somme
que d'en faire une partie égale à l'autre.

Tout de même si $C\:E$ \textit{(fig.~13)} est la ligne courbe décrite par le mouvement
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 13.}} \\ \includegraphics*[width=1.4in]{images/f013.png}
\end{center}
\end{figure}
d'une parabole en la façon ci-dessus expliquée (page~\pageref{fig8}),
et qu'on ait
posé $b$ pour $G\:A$, $c$ pour $K\:L$, et $d$ pour le côté droit du diamètre $K\:L$ en la
parabole, l'équation qui explique le rapport qui est entre $x$ et $y$ est
\[
y^3-by^2-cdy + bcd + dxy = 0,
\]
% [File: 045.png Page: 35]
d'où ôtant $x$ on a
\[
y^3-by^2-cdy+bcd+dy\sqrt{s^2-v^2+2vy-y^2}=0;
\]
et remettant en ordre ces termes par le moyen de la multiplication, il vient
\begin{multline*}
y^6-2by^5 + (b^2-2cd+d^2)y^4 + (4bcd-2d^2v)y^3\\
+ (c^2d^2-d^2s^2 +d^2v^2 - 2b^2cd)y^2 - 2bc^2d^2y + b^2c^2d^2= 0,
\end{multline*}
et ainsi des autres.
\label{cont22}Même, encore que les points de la ligne courbe ne se rapportassent pas
en la façon que j'ai dit à ceux d'une ligne droite, mais en toute autre qu'on
sauroit imaginer, on ne laisse pas de pouvoir toujours avoir une telle
équation. Comme si $C\:E$ \textit{(fig.~14)} est une ligne qui ait tel rapport aux trois
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 14.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f014.png}
\end{center}
\end{figure}
points $F$, $G$ et $A$, que les lignes droites tirées de chacun de ses points
comme $C$ jusques au point $F$, surpassent la ligne $F\:A$ d'une quantité qui ait
certaine proportion donnée à une autre quantité dont $G\:A$ surpasse les lignes
tirées des mêmes points jusques à $G$. Faisons $G\:A = b$, $A\:F = c$, et prenant
à discrétion le point $C$ dans la courbe, que la quantité dont $C\:F$ surpasse $F\:A$,
soit à celle dont $G\:A$ surpasse $G\:C$, comme $d$ à $e$; en sorte que si cette quantité
qui est indéterminée se nomme $z$, $C\:F$ est $c + z$, et $G\:C$ est $b-\dfrac{e}{d}z$.
Puis posant $M\:A = y$, $G\:M$ est $b-y$, et $F\:M$ est $c + y$, et à cause du
triangle rectangle $C\:M\:G$, ôtant le carré de $G\:M$ du carré de $G\:C$, on a le
carré de $C\:M$, qui est
\[
\frac{e^2}{d^2}z^2- \frac{2be}{d}z + 2by -y^2;
\]
puis ôtant le carré de $F\:M$ du carré de $C\:F$, on a encore le carré de $C\:M$ en
d'autres termes, à savoir $z^2 +2cz -2cy - y^2$; et ces termes étant égaux
% [File: 046.png Page: 36]
aux précédents, ils font connoître $y$ ou $M\:A$, qui est
\[
\frac{d^2z^2 + 2cd^2 z- e^2z^2 + 2bdez}{2bd^2 + 2cd^2},
\]
et substituant cette somme au lieu de $y$ dans le carré de $C\:M$, on trouve qu'il
s'exprime en ces termes:
\[
\frac{bd^2z^2 + ce^2z^2 + 2 bcd^2z - 2bcdez}{bd^2 + cd^2} - y^2.
\]

Puis supposant que la ligne droite $P\:C$ rencontre la courbe à angles droits
au point $C$, et faisant $P\:C = s$ et $P\:A = v$ comme devant, PM est $v-y$;
et à cause du triangle rectangle $P\:C\:M$, on a  $s^2 - v^2 + 2vy - y^2$ pour le
carré de $C\:M$, ou derechef, ayant au lieu de $y$ substitué la somme qui lui est
égale, il vient
\[
z^2+ \frac{
2bcd^2z- 2bcdez- 2cd^2vz- 2bdevz- bd^2s^2+ bd^2v^2- cd^2s^2+ cd^2v^2
}{
bd^2+ ce^2 + e^2v - d^2v
} = 0
\]
pour l'équation que nous cherchions.

Or après qu'on a trouvé une telle équation, au lieu de s'en servir pour
connoître les quantités $x$, ou $y$, ou $z$, qui sont déjà données, puisque le
point $C$ est donné, on la doit employer à trouver $v$ ou $s$, qui déterminent le
point $P$ qui est demandé. Et à cet effet il faut considérer que si ce point $P$
est tel qu'on le désire, le cercle dont il sera le centre, et qui passera par le
point $C$, y touchera la ligne courbe $C\:E$ sans la couper; mais que si ce
point $P$ est tant soit peu plus proche ou plus éloigné du point $A$ qu'il ne
doit, ce cercle coupera la courbe, non seulement au point $C$, mais aussi
nécessairement en quelque autre. Puis il faut aussi considérer que lorsque
ce cercle coupe la ligne courbe $C\:E$, l'équation par laquelle on cherche la
quantité $x$ ou $y$, ou quelque autre semblable, en supposant $P\:A$ et $P\:C$ être
connues, contient nécessairement deux racines qui sont inégales. Car par
exemple, si ce cercle coupe la courbe aux points $C$ et $E$ \textit{(fig.~15)}, ayant
tiré $E\:Q$ parallèle à $C\:M$, les noms des quantités indéterminées $x$ et $y$ conviendront
aussi bien aux lignes $E\:Q$ et $Q\:A$ qu'à $C\:M$ et $M\:A$; puis $P\:E$ est égale
% [File: 047.png Page: 37]
à $P\:C$ à cause du cercle, si bien que cherchant les lignes $E\:Q$ et $Q\:A$, par $P\:E$
et $P\:A$ qu'on suppose comme données, on aura la même équation que si on
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 15.}} \\ \includegraphics*[width=1.9in]{images/f015.png}
\end{center}
\end{figure}
cherchoit $C\:M$ et $M\:A$ par $P\:C$, $P\:A$; d'où il suit évidemment que la valeur
de $x$ ou de $y$, ou de telle autre quantité qu'on aura supposée, sera double
en cette équation, c'est-à-dire qu'il y aura deux racines inégales entre elles,
et dont l'une sera $C\:M$, l'autre $E\:Q$, si c'est $x$ qu'on cherche, ou bien l'une
sera $M\:A$ et l'autre $Q\:A$, si c'est $y$; et ainsi des autres. Il est vrai que si le
point $E$ ne se trouve pas du même côté de la courbe que le point $C$, il n'y
aura que l'une de ces deux racines qui soit vraie, et l'autre sera renversée
ou moindre que rien: mais plus ces deux points $C$ et $E$ sont proches l'un
de l'autre, moins il y a de différence entre ces deux racines; et enfin elles
sont entièrement égales, s'ils sont tous deux joints en un, c'est-à-dire si le
cercle qui passe par $C$ y touche la courbe $C\:E$ sans la couper.

De plus il faut considérer que lorsqu'il y a deux racines égales en une
équation, elle a nécessairement la même forme que si on multiplie par soi-même
la quantité qu'on y suppose être inconnue, moins la quantité connue
qui lui est égale, et qu'après cela, si cette dernière somme n'a pas tant de
dimensions que la précédente, on la multiplie par une autre somme qui en
ait autant qu'il lui en manque, afin qu'il puisse y avoir séparément équation
entre chacun des termes de l'une et chacun des termes de l'autre.

Comme par exemple, je dis que la première équation trouvée ci-dessus,
à savoir
\[
y^2 + \frac{qry - 2qvy + qv^2 - qs^2}{q - r},
\]
doit avoir la même forme que celle qui se produit en faisant $e$ égal à $y$, et
% [File: 048.png Page: 38]
multipliant $y-e$ par soi-même, d'où il vient $y^2-2ey + e^2$, en sorte
qu'on peut comparer séparément chacun de leurs termes, et dire que puisque
le premier qui est $y^2$, est tout le même en l'une qu'en l'autre, le second qui
est en l'une $\dfrac{qry-2qvy}{q-r}$, est égal au second de l'autre qui est $-2ey$;
d'où cherchant la quantité $v$ qui est la ligne $P\:A$, on a $v = e - \dfrac{r}{q}e + \dfrac{1}{2}r$,
ou bien à cause que nous avons supposé $e$ égal à $y$, on a $v = y-\dfrac{r}{q}y+\dfrac{1}{2}r$.
Et ainsi on pourroit trouver $s$ par le troisième terme $e^2=\dfrac{qv^2-qs^2}{q-r}$; mais
pourceque la quantité $v$ détermine assez le point $P$, qui est le seul que nous
cherchions, on n'a pas besoin de passer outre.

Tout de même la seconde équation trouvée ci-dessus, à savoir
\begin{multline*}
y^6 - 2by^5 + (b^2 - 2cd + d^2)y^4 + (4bcd -2d^2v)y^3
\\
 + (c^2d^2 - 2b^2cd + d^2v^2 - d^2s^2)y^2 - 2bc^2d^2y + b^2c^2d^2,
\end{multline*}
doit avoir même forme que la somme qui se produit lorsqu'on multiplie
\[
y^2 - 2ey + e^2 \quad\text{par}\quad y^4 + fy^3 + g^2y^2 + h^3y + k^4
\]
qui est
\begin{multline*}
y^6 + (f - 2e)y^5 + (g^2 - 2ef + e^2)y^4 + (h^3 - 2eg^2 + e^2f)y^3
\\
 + (k^4 - 2eh^3 + e^2g^2)y^2 + (e^2h^3 - 2ek^4)y + e^2k^4;
\end{multline*}
de façon que de ces deux équations j'en tire six autres qui servent à connoître
les six quantités $f$, $g$, $h$, $k$, $v$ et $s$. D'où il est fort aisé à entendre
que, de quelque genre que puisse être la ligne courbe proposée, il vient
toujours par cette façon de procéder autant d'équations qu'on est obligé de
supposer de quantités qui sont inconnues. Mais pour démêler par ordre
ces équations, et trouver enfin la quantité $v$, qui est la seule dont on a
besoin, et à l'occasion de laquelle on cherche les autres, il faut premièrement
par le second terme chercher $f$, la première des quantités inconnues
de la dernière somme, et on trouve
\[
f = 2e - 2b.
\]
% [File: 049.png Page: 30]
Puis par le dernier, il faut chercher $k$, la dernière des quantités inconnues
de la même somme, et on trouve
\[
k^4= \frac{b^2c^2d^2}{e^2}.
\]
Puis par le troisième terme, il faut chercher $g$, la seconde quantité, et
on a
\[
g^2= 3e^2 - 4be - 2cd + b^2 + d^2.
\]
Puis par la pénultième, il faut chercher $h$, la pénultième quantité, qui est
\[
h^3=\frac{2b^2c^2d^2}{e^3}-\frac{2bc^2d^2}{e^2}.
\]
Et ainsi il faudroit continuer suivant ce même ordre jusques à la dernière,
s'il y en avoit d'avantage en cette somme; car c'est chose qu'on peut
toujours faire en même façon.

Puis, par le terme qui suit en ce même ordre, qui est ici le quatrième, il
faut chercher la quantité $v$, et on a
\[
v=\frac{2e^3}{d^2} - \frac{3be^2}{d^2} + \frac{b^2e}{d^2} - \frac{2ce}{d} +
   e + \frac{2bc}{d} + \frac{bc^2}{e^2} - \frac{b^2c^2}{e^3};
\]
ou mettant $y$ au lieu de $e$ qui lui est égal, on a
\[
v=\frac{2y^3}{d^2} - \frac{3by^2}{d^2} + \frac{b^2y}{d^2} - \frac{2cy}{d} + y +
  \frac{2bc}{d} + \frac{bc^2}{y^2} - \frac{b^2c^2}{y^3}
\]
pour la ligne $A\:P$.

Et ainsi la troisième équation, qui est
\[
z^2 + \frac{2bcd^2z - 2bcdez - 2cd^2vz - 2bdevz - bd^2s^2 + bd^2v^2 - cd^2s^2 + cd^2v^2}
           {bd^2 + ce^2 + e^2v - d^2v}
\]
a la même forme que
\[
z^2 - 2fz + f^2,
\]
en supposant $f$ égal à $z$, si bien qu'il y a derechef équation entre $-2f$ ou
% [File: 050.png Page: 40]
$-2z$, et
\[
\frac{2bcd^2 - 2bcde - 2cd^2v - 2bdev}
     {bd^2 + ce^2 + e^2v - d^2v},
\]
d'où on connoît que la quantité $v$ est\label{p40}
\[
\frac{bcd^2 - bcde + bd^2z + ce^2z}
     {cd^2 + bde - e^2z + d^2z}.
\]

C'est pourquoi, composant la ligne $A\:P$ \textit{(fig.~16)} de cette somme égale à $v$,
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 16.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f016.png}
\end{center}
\end{figure}
dont toutes les quantités sont connues, et tirant du point $P$ ainsi trouvé,
une ligne droite vers $C$, elle y coupe la courbe $C\:E$ à angles droits; qui est
ce qu'il falloit faire. Et je ne vois rien qui empêche qu'on n'étende ce
problème en même façon à toutes les lignes courbes qui tombent sous
quelque calcul géométrique.

Même il est à remarquer, touchant la dernière somme, qu'on prend
à dis\-cré\-tion pour remplir le nombre des dimensions de l'autre somme
lorsqu'il y en manque, comme nous avons pris tantôt $y^4 + fy^3 + g^2y^2
+ h^3y + k^4$, que les signes $+$ et $-$ y peuvent être supposés tels qu'on
veut, sans que la ligne $v$ ou $A\:P$ se trouve diverse pour cela, comme vous
pourrez aisément voir par expérience; car s'il falloit que je m'arrêtasse à
démontrer tous les théorèmes dont je fais quelque mention, je serois
contraint d'écrire un volume beaucoup plus gros que je ne désire. Mais je
veux bien en passant vous avertir que l'invention de supposer deux équations
de même forme, pour comparer séparément tous les termes de l'une à
ceux de l'autre, et ainsi en faire naître plusieurs d'une seule, dont vous
avez vu ici un exemple, peut servir à une infinité d'autres problèmes, et
n'est pas l'une des moindres de la méthode dont je me sers.

Je n'ajoute point les constructions par lesquelles on peut décrire les
% [File: 051.png Page: 41]
contingentes ou les perpendiculaires cherchées, ensuite du calcul que je
viens d'expliquer, à cause qu'il est toujours aisé de les trouver, bien que
souvent on ait besoin d'un peu d'adresse pour les rendre courtes et simples.

Comme\label{cont23}\mymarginpar{Exemple de
la construction
de ce problème
en la
conchoïde.}
par exemple, si $D\:C$ \textit{(fig.~17)} est la première conchoïde des
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 17.}} \\ \includegraphics*[width=1.8in]{images/f017.png}
\end{center}
\end{figure}
anciens, dont $A$ soit le pôle et $B\:H$ la règle, en sorte que toutes les lignes
droites qui regardent vers $A$, et sont comprises entre la courbe $C\:D$ et la
droite $B\:H$, comme $D\:B$ et $C\:E$, soient égales, et qu'on veuille trouver la
ligne $C\:G$ qui la coupe au point $C$ à angles droits, on pourroit, en cherchant
dans la ligne $B\:H$ le point par où cette ligne $C\:G$ doit passer, selon la
méthode ici expliquée, s'engager dans un calcul autant ou plus long
qu'aucun des précédents: et toutefois la construction qui devroit après en
être déduite est fort simple; car il ne faut que prendre $C\:F$ en la ligne
droite $C\:A$, et la faire égale à $C\:H$ qui est perpendiculaire sur $H\:B$; puis du
point $F$ tirer $F\:G$ parallèle à $B\:A$ et égale à $E\:A$; au moyen de quoi on a le
point $G$, par lequel doit passer $C\:G$ la ligne cherchée.

Au\label{cont24}\mymarginpar{Explication
de quatre
nouveaux
genres d'ovales
qui servent à
l'optique.}
reste, afin que vous sachiez que la considération des lignes courbes
ici proposée n'est pas sans usage, et qu'elles ont diverses propriétés qui ne
cèdent en rien à celles des sections coniques, je veux encore ajouter ici
l'explication de certaines ovales que vous verrez être très utiles pour la théorie
de la catoptrique et de la dioptrique. Voici la façon dont je les décris:

Premièrement, ayant tiré les lignes droites $F\:A$ et $A\:R$ \textit{(fig.~18)}, qui
s'entre-coupent au point $A$, sans qu'il importe à quels angles, je prends en
l'une le point $F$ à discrétion, c'est-à-dire plus ou moins éloigné du point $A$,
selon que je veux faire ces ovales plus ou moins grandes, et de ce point $F$,
comme centre, je décris un cercle qui passe quelque peu au-delà du point $A$,
% [File: 052.png Page: 42]
comme par le point $5$; puis de ce point $5$ je tire la ligne droite $5\:6$, qui
coupe l'autre au point $6$, en sorte que $A\:6$ soit moindre que $A\:5$ selon telle
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 18.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f018.png}
\end{center}
\end{figure}
proportion donnée qu'on veut, à savoir selon celle qui mesure les réfractions
si on s'en veut servir pour la dioptrique. Après cela je prends aussi le
point $G$ en la ligne $F\:A$ du côté où est le point $5$, à discrétion, c'est-à-dire
en faisant que les lignes $A\:F$ et $G\:A$ ont entre elles telle proportion donnée
qu'on veut. Puis je fais $R\:A$ égale à $G\:A$ en la ligne $A\:6$, et du centre $G$ décrivant
un cercle dont le rayon soit égal à $R\:6$, il coupe l'autre cercle de part
et d'autre au point $1$, qui est l'un de ceux par où doit passer la première
des ovales cherchées. Puis derechef du centre $F$ je décris un cercle qui passe
un peu au-deçà ou au-delà du point $5$, comme par le point $7$, et ayant tiré
la ligne droite $7\:8$ parallèle à $5\:6$, du centre $G$ je décris un autre cercle dont
le rayon est égal à la ligne $R\:8$, et ce cercle coupe celui qui passe par le
point $7$ au point $1$, qui est encore l'un de ceux de la même ovale; et ainsi
on en peut trouver autant d'autres qu'on voudra, en tirant derechef d'autres
lignes parallèles à $7\:8$, et d'autres cercles des centres $F$ et $G$.

Pour la seconde ovale il n'y a point de différence, sinon qu'au lieu de $A\:R$
\textit{(fig.~19)} il faut de l'autre côté du point $A$ prendre $A\:S$ égal à $A\:G$, et que le
rayon du cercle décrit du centre $G$, pour couper celui qui est décrit du
centre $F$ et qui passe par le point $5$, soit égal à la ligne $S\:6$, ou qu'il soit égal
à $S\:8$, si c'est pour couper celui qui passe par le point $7$, et ainsi des autres;
au moyen de quoi ces cercles s'entre-coupent aux points marqués $2$, $2$, qui
sont ceux de cette seconde ovale $A\:2\:X$.
% [File: 053.png Page: 43]

Pour la troisième et la quatrième, au lieu de la ligne $A\:G$ il faut prendre
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 19.}} \\ \includegraphics*[width=2.2in]{images/f019.png}
\end{center}
\end{figure}
$A\:H$ \emph{(fig.~21 et 22)} de l'autre côté du point $A$, à savoir du même qu'est le
point $F$; et il y a ici de plus à observer que cette ligne $A\:H$ doit être plus
grande que $A\:F$, laquelle peut même être nulle, en sorte que le point $F$ se
rencontre où est le point $A$ en la description de toutes ces ovales. Après cela
les lignes $A\:R$ et $A\:S$ étant égales à $A\:H$, pour décrire la troisième ovale $A\:3\:Y$,
je fais un cercle du centre $H$, dont le rayon est égal à $S\:6$, qui coupe au
point $3$ celui du centre $F$, qui passe par le point $5$; et un autre dont le rayon
est égal à $S\:8$, qui coupe celui qui passe par le point $7$ au point aussi marqué $3$,
et ainsi des autres. Enfin, pour la dernière ovale, je fais des cercles du
centre $H$, dont les rayons sont égaux aux lignes $R\:6$, $R\:8$, et semblables, qui
coupent les autres cercles aux points marqués $4$.

On pourroit encore trouver une infinité d'autres moyens pour décrire ces
mêmes ovales; comme par exemple, on peut tracer la première $A\:V$ \textit{(fig.~20)},
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 20.}} \\ \includegraphics*[width=3.2in]{images/f020.png}
\end{center}
\end{figure}
lorsqu'on suppose les lignes $F\:A$ et $A\:G$ être égales, si on divise la toute $F\:G$
au point $L$, en sorte que $F\:L$ soit à $L\:G$ comme $A\:5$ à $A\:6$, c'est-à-dire qu'elles
% [File: 054.png Page: 44]
aient la proportion qui mesure les réfractions. Puis ayant divisé $A\:L$ en deux
parties égales au point $K$, qu'on fasse tourner une règle comme $E\:F$ autour
du point $F$, en pressant du doigt $C$ la corde $E\:C$, qui étant attachée au bout
de cette règle vers $E$, se replie de $C$ vers $K$, puis de $K$ derechef vers $C$, et
de $C$ vers $G$, où son autre bout soit attaché, en sorte que la longueur de
cette corde soit composée de celle des lignes $G\:A$, plus $A\:L$, plus $F\:E$,
moins $A\:F$; et ce sera le mouvement du point $C$ qui décrira cette ovale, à
l'imitation de ce qui a été dit en la dioptrique de l'ellipse et de l'hyperbole;
mais je ne veux point m'arrêter plus long-temps sur ce sujet.

Or, encore que toutes ces ovales semblent être quasi de même nature,
elles sont néanmoins de quatre divers genres, chacun desquels contient
sous soi une infinité d'autres genres, qui derechef contiennent chacun
autant de diverses espèces que fait le genre des ellipses ou celui des hyperboles;
car selon que la proportion qui est entre les lignes $A\:5$, $A\:6$, ou
semblables, est différente, le genre subalterne de ces ovales est différent;
puis selon que la proportion qui est entre les lignes $A\:F$ et $A\:G$ ou $A\:H$ est
changée, les ovales de chaque genre subalterne changent d'espèce; et selon
que $A\:G$ ou $A\:H$ est plus ou moins grande, elles sont diverses en grandeur;
et si les lignes $A\:5$ et $A\:6$ sont égales, au lieu des ovales du premier genre
ou du troisième, on ne décrit que des lignes droites; mais au lieu de celles
du second on a toutes les hyperboles possibles, et au lieu de celles du dernier
toutes les ellipses.


Outre\label{cont25}\mymarginpar{Les propriétés
de ces ovales
touchant les
réflexions
et les
réfractions.}
cela, en chacune de ces ovales il faut considérer deux parties qui
ont diverses propriétés: à savoir en la première, la partie qui est vers $A$
\emph{(fig.~18)}, fait que les rayons qui étant dans l'air viennent du point $F$, se
retournent tous vers le point $G$, lorsqu'ils rencontrent la superficie convexe
d'un verre dont la superficie est $1\:A\:1$, et dans lequel les réfractions se font
telles que, suivant ce qui a été dit en la Dioptrique, elles peuvent toutes
être mesurées par la proportion qui est entre les lignes $A\:5$ et $A\:6$ ou semblables,
par l'aide desquelles on a décrit cette ovale.

Mais la partie qui est vers $V$ fait que les rayons qui viennent du point $G$
se réfléchiroient tous vers $F$, s'ils y rencontroient la superficie concave d'un
miroir dont la figure fût $1\:V\:1$, et qui fût de telle matière qu'il diminuât la
force de ces rayons selon la proportion qui est entre les lignes $A\:5$ et $A\:6$;
% [File: 055.png Page: 45]
car de ce qui a été démontré en la Dioptrique, il est évident que, cela posé,
les angles de la réflexion seroient inégaux, aussi bien que sont ceux de la
réfraction, et pourroient être mesurés en même sorte.

En la seconde ovale la partie $2\:A\:2$ \emph{(fig.~19)} sert encore pour les réflexions
dont on suppose les angles être inégaux; car étant en la superficie d'un
miroir composé de même matière que le précédent, elle feroit tellement
réfléchir tous les rayons qui viendroient du point $G$, qu'ils sembleroient
après être réfléchis venir du point $F$. Et il est à remarquer qu'ayant fait la
ligne $A\:G$ beaucoup plus grande que $A\:F$, ce miroir seroit convexe au milieu
vers $A$, et concave aux extrémités; car telle est la figure de cette ligne, qui
en cela représente plutôt un c\oe ur qu'une ovale.

Mais son autre partie $X\:2$ sert pour les réfractions, et fait que les rayons
qui étant dans l'air tendent vers $F$, se détournent vers $G$ en traversant la
superficie d'un verre qui en ait la figure.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 21.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f021.png}
\end{center}
\end{figure}

La troisième ovale sert toute aux réfractions, et fait que les rayons qui
étant dans l'air tendent vers $F$ \textit{(fig.~21)}, se vont rendre vers $H$ dans le
verre, après qu'ils ont traversé sa superficie dont la figure est $A\:3\:Y\:3$, qui est
convexe partout, excepté vers $A$ où elle est un peu concave, en sorte qu'elle
a la figure d'un c\oe ur aussi bien que la précédente; et la différence qui est
entre les deux parties de cette ovale consiste en ce que le point $F$ est plus
proche de l'une que n'est le point $H$, et qu'il est plus éloigné de l'autre que
ce même point $H$.

En même façon la dernière ovale sert toute aux réflexions, et fait que si
% [File: 056.png Page: 46]
les rayons qui viennent du point $H$ \textit{(fig.~22)} rencontroient la superficie
concave d'un miroir de même matière que les précédents, et dont la figure
fût $A\:4\:Z\:4$, ils se réfléchiroient tous vers $F$.

De façon qu'on peut nommer les points $F$ et $G$ ou $H$ les points brûlants
de ces ovales, à l'exemple de ceux des ellipses et des hyperboles, qui ont été
ainsi nommés en la Dioptrique.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 22.}} \\ \includegraphics*[width=2.4in]{images/f022.png}
\end{center}
\end{figure}

J'omets\label{cont26}\mymarginpar{Démonstration
des propriétés
de ces ovales
touchant les
réflexions
et réfractions.}
quantité d'autres réfractions et réflexions qui sont réglées par ces
mêmes ovales, car n'étant que les converses ou les contraires de celles-ci,
elles en peuvent facilement être déduites. Mais il ne faut pas que j'omette
la dé\-mon\-stra\-tion de ce que j'ai dit; et à cet effet prenons, par exemple, le
point $C$ \textit{(fig.~16)} à discrétion en la première partie de la première de
ces ovales; puis tirons la ligne droite $C\:P$ qui coupe la courbe au point $C$ à
angles droits, ce qui est facile par le problème précédent; car prenant $b$
pour $A\:G$, $c$ pour $A\:F$, $c + z$ pour $C\:F$, et supposant que la proportion qui est
entre $d$ et $e$, que je prendrai ici toujours pour celle qui mesure les
réfractions du verre proposé, désigne aussi celle qui est entre les lignes $A\:5$
et $A\:6$ ou semblables, qui ont servi pour décrire cette ovale, ce qui donne
$b-\dfrac{e}{d}z$ pour $C\:G$, on trouve que la ligne $A\:P$ est
\[
\frac{bcd^2 - bcde + bd^2z + ce^2z}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z},
\]
ainsi qu'il a été montré ci-dessus (p.~\pageref{p40}). De plus, du point $P$ ayant tiré $P\:Q$
à angles droits sur la droite $C\:F$, et $P\:N$ aussi à angles droits sur $C\:G$, considérons
% [File: 057.png Page: 47]
que si $P\:Q$ est à $P\:N$ comme $d$ est à $e$, c'est-à-dire comme les lignes qui
mesurent les réfractions du verre convexe $A\:C$, le rayon qui vient du point $F$
au point $C$, doit tellement s'y courber en entrant dans ce verre, qu'il s'aille
rendre après vers $G$, ainsi qu'il est très évident de ce qui a été dit en la Dioptrique.
Puis enfin voyons par le calcul s'il est vrai que $P\:Q$ soit à $P\:N$ comme $d$
est à $e$. Les triangles rectangles $P\:Q\:F$ et $C\:M\:F$ sont semblables; d'où il suit que
$C\:F$ est à $C\:M$ comme $F\:P$ est à $P\:Q$, et par conséquent que $P\:F$ étant multipliée
par $C\:M$ et divisée par $C\:F$ est égale à $P\:Q$. Tout de même les triangles
rectangles $P\:N\:G$ et $C\:M\:G$ sont semblables; d'où il suit que $G\:P$ multipliée
par $C\:M$ et divisée par $C\:G$ est égale à $P\:N$. Puis à cause que les multiplications
ou divisions qui se font de deux quantités par une même ne changent
point la proportion qui est entre elles, si $P\:F$ multipliée par $C\:M$ et divisée
par $C\:F$, est à $G\:P$ multipliée aussi par $C\:M$ et divisée par $C\:G$, comme $d$ est
à $e$, en divisant l'une et l'autre de ces deux sommes par $C\:M$, puis les
multipliant toutes deux par $C\:F$ et derechef par $C\:G$, il reste $E\:P$ multipliée
par $C\:G$ qui doit être à $G\:P$ multipliée par $C\:F$, comme $d$ est à $e$. Or par la
construction $F\:P$ est
\[
c + \frac{bcd^2 - bcde + bd^2z + ce^2z}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z},
\]
ou bien
\[
F\:P = \frac{bcd^2 + c^2d^2 + bd^2z + cd^2z}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z},
\]
et $C\:G$ est $b - \dfrac{e}{d}z$; si bien que, multipliant $F\:P$ par $C\:G$, il vient
\[
\frac{b^2cd^2 + bc^2d^2 + b^2d^2z + bcd^2z - bcdez - c^2dez - bdez^2 - cdez^2}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z},
\]
puis $G\:P$ est
\[
b - \frac{bcd^2 - bcde + bd^2z + ce^2z}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z},
\]
ou bien
\[
G\:P = \frac{b^2de + bcde - be^2z - ce^2z}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z},
\]

% [File: 058.png Page: 48]
et $C\:F$ est $c + z$; si bien qu'en multipliant $G\:P$ par $C\:F$ il vient
\[
\frac{b^2cde + bc^2de + b^2dez + bcdez - bce^2z - c^2e^2z - be^2z^2 - ce^2z^2}{cd^2 + bde - e^2z + d^2z}.
\]

Et pourceque la première de ces sommes divisée par $d$ est la même que la
seconde divisée par $e$, il est manifeste que $F\:P$ multipliée par $C\:G$, est à $G\:P$
multipliée par $C\:F$, c'est-à-dire que $P\:Q$ est à $P\:N$ comme $d$ est à $e$, qui est
tout ce qu'il falloit démontrer.

Et sachez que cette même démonstration s'étend à tout ce qui a été dit des
autres réfractions ou réflexions qui se font dans les ovales proposées, sans
qu'il y faille changer aucune chose que les signes $+$ et $-$ du calcul; c'est
pourquoi chacun les peut aisément examiner de soi-même, sans qu'il soit
besoin que je m'y arrête.

Mais il faut maintenant que je satisfasse à ce que j'ai omis en la Dioptrique,
lorsqu'après avoir remarqué qu'il peut y avoir des verres de plusieurs diverses
figures qui fassent aussi bien l'un que l'autre que les rayons venant d'un
même point de l'objet s'assemblent tous en un autre point après les avoir
traversés; et qu'entre ces verres, ceux qui sont fort convexes d'un côté et
concaves de l'autre ont plus de force pour brûler que ceux qui sont également
convexes des deux côtés; au lieu que tout au contraire ces derniers sont les
meilleurs pour les lunettes. Je me suis contenté d'expliquer ceux que j'ai
cru être les meilleurs pour la pratique, en supposant la difficulté que les
artisans peuvent avoir à les tailler. C'est pourquoi, afin qu'il ne reste rien à
souhaiter touchant la théorie de cette science, je dois expliquer encore ici la
figure des verres qui, ayant l'une de leurs superficies autant convexe ou
concave qu'on voudra, ne laissent pas de faire que tous les rayons qui
viennent vers eux d'un même point, ou parallèles, s'assemblent après en
un même point; et celles des verres qui font le semblable, étant également
convexes des deux côtés, ou bien la convexité de l'une de leurs superficies
ayant la proportion donnée à celle de l'autre.


Posons\label{cont27}\mymarginpar{Comment on
peut faire un
verre autant
convexe ou
concave, en
l'une de ses
superficies,
qu'on voudra
qui rassemble
à un point
donné tous les
rayons qui
viennent d'un
autre point
donné.}
pour le premier cas, que les points $G$, $Y$, $C$ et $F$ \textit{(fig.~23 et 24)}
étant donnés, les rayons qui viennent du point $G$ ou bien qui sont parallèles
à $G\:A$ se doivent assembler au point $F$, après avoir traversé un verre si
concave, que $Y$ étant le milieu de sa superficie intérieure; l'extrémité en
% [File: 059.png Page: 49]
soit au point $C$, en sorte que la corde $C\:M\:C$ et la flèche $Y\:M$ de l'arc $C\:Y\:C$
sont données. La question va là, que premièrement il faut considérer de
\begin{figure}[htb]
  \centerline{\hbox{\hspace{0.0in}
    \textit{\textbf{Fig. 23.}}
    \hspace{2in}
    \textit{\textbf{Fig. 24.}}
    }
  }
  \centerline{\hbox{\hspace{0.0in}
    \includegraphics*[width=2.3in]{images/f023.png}
    \hspace{0.2in}
    \includegraphics*[width=2.2in]{images/f024.png}
    }
  }
\end{figure}
laquelle des ovales expliquées la superficie du verre $Y\:C$ doit avoir la figure,
pour faire que tous les rayons qui étant dedans tendent vers un même
point, comme vers $H$, qui n'est pas encore connu, s'aillent rendre vers un
autre, à savoir vers $F$, après en être sortis. Car il n'y a aucun effet touchant
le rapport des rayons, changé par réflexion ou réfraction d'un point à un
autre, qui ne puisse être causé par quelqu'une de ces ovales; et on voit
aisément que celui-ci le peut être par la partie de la troisième ovale qui a
tantôt été marquée $3\:A\:3$ \textit{(fig.~21)}, ou par celle de la même qui a été
marquée $3\:Y\:3$, ou enfin par la partie de la seconde qui a été marquée $2\:X\:2$
\textit{(fig.~19)}. Et pourceque ces trois tombent ici sous même calcul, on doit, tant
pour l'une que pour l'autre, prendre $Y$ \textit{(fig.~23 et 24)} pour leur sommet,
$C$ pour l'un des points de leur circonférence, et $F$ pour l'un de leurs points
brûlants; après quoi il ne reste plus à chercher que le point $H$ qui doit être
l'autre point brûlant. Et on le trouve en considérant que la différence qui
est entre les lignes $F\:Y$ et $F\:C$ doit être à celle qui est entre les lignes $H\:Y$
et $H\:C$ comme $d$ est à $e$, c'est-à-dire comme la plus grande des lignes qui
mesurent les réfractions du verre proposé est à la moindre, ainsi qu'on peut
voir manifestement de la description de ces ovales. Et pourceque les lignes
$F\:Y$ et $F\:C$ sont données, leur différence l'est aussi, et ensuite celle qui est
entre $H\:Y$ et $H\:C$, pourceque la proportion qui est entre ces deux différences
est donnée. Et de plus, à cause que $Y\:M$ est donnée, la différence qui est
entre $M\:H$ et $H\:C$ l'est aussi; et enfin pourceque $C\:M$ est donnée, il ne reste
plus qu'à trouver $M\:H$ le côté du triangle rectangle $C\:M\:H$ dont on a l'autre
côté $C\:M$, et on a aussi la différence qui est entre $C\:H$ la base et $M\:H$ le côté
% [File: 060.png Page: 50]
demandé; d'où il est aisé de le trouver: car si on prend $k$ pour l'excès de $C\:H$
sur $M\:H$, et $n$ pour la longueur de la ligne $C\:M$, on aura $\dfrac{n^2}{2k} - \dfrac{1}{2}k$ pour $M\:H$.
Et après avoir ainsi le point $H$, s'il se trouve plus loin du point $Y$ \textit{(fig.~24)}
que n'en est le point $F$, la ligne $C\:Y$ doit être la première partie de l'ovale
du troisième genre, qui a tantôt été nommée $3\:A\:3$ \textit{(fig.~21)}. Mais si $H\:Y$
\textit{(fig.~23)} est moindre que $F\:Y$: ou bien elle surpasse $H\:F$ de tant, que leur
différence est plus grande à raison de la toute $F\:Y$ que n'est $e$ la moindre
des lignes qui mesurent les réfractions comparée avec $d$ la plus grande,
c'est-à-dire que faisant $H\:F = c$, et $H\:Y = c + h$, $dh$ est plus grande
que $2ce + eh$, et lors $C\:Y$ doit être la seconde partie de la même ovale du
troisième genre, qui a tantôt été nommée $3\:Y\:3$ \textit{(fig.~21):} ou bien $dh$ est
égale ou moindre que $2ce + eh$, et lors $C\:Y$ \textit{(fig.~23)} doit être la seconde
partie de l'ovale du second genre, qui a ci-dessus été nommée $2\:X\:2$ \textit{(fig.~19)}:
et enfin si le point $H$ \textit{(fig.~23)} est le même que le point $F$, ce qui n'arrive
que lorsque $F\:Y$ et $F\:C$ sont égales, cette ligne $Y\:C$ est un cercle.

Après cela il faut chercher $C\:A\:C$ l'autre superficie de ce verre, qui doit
être une ellipse dont $H$ soit le point brûlant, si on suppose que les rayons
qui tombent dessus soient parallèles; et lors il est aisé de la trouver. Mais si
on suppose qu'ils viennent du point $G$, ce doit être la première partie d'une
ovale du premier genre dont les deux points brûlants soient $G$ et $H$, et qui
passe par le point $C$; d'où on trouve le point $A$ pour le sommet de cette ovale,
en considérant que $G\:C$ doit être plus grande que $G\:A$ d'une quantité qui
soit à celle dont $H\:A$ surpasse $H\:C$, comme $d$ à $e$; car ayant pris $k$ pour la
différence qui est entre $C\:H$ et $H\:M$, si on suppose $x$ pour $A\:M$, on aura $x - k$
pour la différence qui est entre $A\:H$ et $C\:H$; puis si on prend $g$ pour celle
qui est entre $G\:C$ et $G\:M$ qui sont données, on aura $g + x$ pour celle qui est
entre $G\:C$ et $G\:A$; et pourceque cette dernière $g + x$ est à l'autre $x - k$
comme $d$ est à $e$, on a
\[
ge + ex = dx - dk,
\]
ou bien $\dfrac{ge + dk}{d - e}$ pour la ligne $x$ ou $A\:M$, par laquelle on détermine le
point $A$ qui étoit cherché.
% [File: 061.png Page: 51]

Posons
% [** marginpar that was here moved down to avoid page break]
maintenant pour l'autre cas, qu'on ne donne que les points $G$, $C$
et $F$ \textit{(fig.~24)}, avec la proportion qui est entre les lignes $A\:M$ et $Y\:M$, et qu'il
faille trouver\label{cont28}\mymarginpar{Comment on
peut faire un
verre qui ait le
même effet
que le précédent,
et que la
convexité de
l'une de ses
superficies ait
la proportion
donnée avec
celle de l'autre.}
la figure du verre $A\:C\:Y$ qui fasse que tous les rayons qui
viennent du point $G$ s'assemblent au point $F$.

On peut derechef ici se servir de deux ovales dont l'une $A\:C$ ait $G$ et $H$
pour ses points brûlants, et l'autre $C\:Y$ ait $F$ et $H$ pour les siens. Et pour les
trouver, premièrement, supposant le point $H$, qui est commun à toutes deux,
être connu, je cherche $A\:M$ par les trois points $G$, $C$, $H$, en la façon tout
maintenant expliquée, à savoir, prenant $k$ pour la différence qui est entre $C\:H$
et $H\:M$, et $g$ pour celle qui est entre $G\:C$ et $G\:M$, et $A\:C$ étant la première
partie de l'ovale du premier genre, j'ai $\dfrac{ge + dk}{d - e}$ pour $A\:M$; puis je cherche
aussi $M\:Y$ par les trois points $F$, $C$, $H$, en sorte que $C\:Y$ soit la première
partie d'une ovale du troisième genre; et prenant y pour $M\:Y$, et $f$ pour la
différence qui est entre $C\:F$ et $F\:M$, j'ai $f + y$ pour celle qui est entre $C\:F$
et $F\:Y$; puis ayant déjà $k$ pour celle qui est entre $C\:H$ et $H\:M$, j'ai $k + y$ pour
celle qui est entre $C\:H$ et $H\:Y$, que je sais devoir être à $f + y$ comme $e$ est
à $d$, à cause de l'ovale du troisième genre, d'où je trouve que $y$ ou $M\:Y$
est $\dfrac{fe - dk}{d - e}$; puis joignant ensemble les deux quantités trouvées pour $A\:M$
et $M\:Y$, je trouve $\dfrac{ge + fe}{d - e}$ pour la toute $A\:Y$: d'où il suit que, de quelque
côté que soit supposé le point $H$, cette ligne $A\:Y$ est toujours composée d'une
quantité qui est à celle dont les deux ensemble $GC$ et $C\:F$ surpassent la
toute $G\:F$, comme $e$, la moindre des deux lignes qui servent à mesurer les
réfractions du verre proposé, est à $d - e$ la différence qui est entre ces
deux lignes, ce qui est un assez beau théorème. Or, ayant ainsi la toute $A\:Y$,
il la faut couper selon la proportion que doivent avoir ses parties $A\:M$ et $M\:Y$;
au moyen de quoi, pourcequ'on a déjà le point $M$, on trouve aussi les points $A$
et $Y$, et ensuite le point $H$ par le problème précédent. Mais auparavant il
faut regarder si la ligne $A\:M$ ainsi trouvée est plus grande que $\dfrac{ge}{d - e}$, ou
plus petite, ou égale. Car si elle est plus grande, on apprend de là que la
courbe $A\:C$ doit être la première partie d'une ovale du premier genre, et $C\:Y$
% [File: 062.png Page: 52]
la première d'une du troisième, ainsi qu'elles ont été ici supposées; au lieu
que si elle est plus petite, cela montre que c'est $C\:Y$ qui doit être la première
partie d'une ovale du premier genre, et que $A\:C$ doit être la première d'une
du troisième; enfin si $A\:M$ est égale à $\dfrac{ge}{d - e}$, les deux courbes $A\:C$ et $C\:Y$
doivent être deux hyperboles.

On pourroit étendre ces deux problèmes à une infinité d'autres cas que
je ne m'arrête pas à déduire, à cause qu'ils n'ont eu aucun usage en la
dioptrique.

On pourroit aussi passer outre et dire (lorsque l'une des superficies du
verre est donnée, pourvu qu'elle ne soit que toute plate, ou composée de
sections coniques ou de cercles) comment on doit faire son autre superficie,
afin qu'il transmette tous les rayons d'un point donné à un autre point aussi
donné; car ce n'est rien de plus difficile que ce que je viens d'expliquer, ou
plutôt c'est chose beaucoup plus facile à cause que le chemin en est ouvert.
Mais j'aime mieux que d'autres le cherchent, afin que s'ils ont encore un
peu de peine à le trouver, cela leur fasse d'autant plus estimer l'invention
des choses qui sont ici démontrées.

Au\label{cont29}\mymarginpar{Comment on
peut appliquer
ce qui a été dit
ici des lignes
courbes,
décrites sur
une superficie
plate, à celles
qui se décrivent
dans un
espace qui a
trois
dimensions.}
reste je n'ai parlé en tout ceci que des lignes courbes qu'on peut
décrire sur une superficie plate; mais il est aisé de rapporter ce que j'en ai
dit à toutes celles qu'on sauroit imaginer être formées par le mouvement
régulier des points de quelque corps dans un espace qui a trois dimensions:
à savoir, en tirant deux perpendiculaires de chacun des points de la ligne
courbe qu'on veut considérer, sur deux plans qui s'entre-coupent à angles
droits, l'une sur l'un et l'autre sur l'autre; car les extrémités de ces
perpendiculaires décrivent deux autres lignes courbes, une sur chacun de
ces plans, desquelles on peut en la façon ci-dessus expliquée déterminer
tous les points et les rapporter à ceux de la ligne droite qui est commune à
ces deux plans, au moyen de quoi ceux de la courbe qui a trois dimensions
sont entièrement déterminés. Même si on veut tirer une ligne droite qui
coupe cette courbe au point donné à angles droits, il faut seulement tirer
deux autres lignes droites dans les deux plans, une en chacun, qui coupent
à angles droits les deux lignes courbes qui y sont aux deux points où tombent
les perpendiculaires qui viennent de ce point donné; car ayant élevé deux
% [File: 063.png Page: 53]
autres plans, un sur chacune de ces lignes droites, qui coupe à angles droits
le plan où elle est, on aura l'intersection de ces deux plans pour la ligne
droite cherchée. Et ainsi je pense n'avoir rien omis des éléments qui sont
nécessaires pour la connoissance des lignes courbes.
% [File: 064.png Page: 54]

\newpage
\begin{center}
{\LARGE LIVRE TROISIÈME}

\vspace{0.25in}

DE LA CONSTRUCTION DES PROBLÈMES QUI SONT SOLIDES
OU PLUS QUE SOLIDES.

\vspace{0.2in}

\end{center}

Encore\label{cont30}\mymarginpar{De quelles
lignes courbes
on peut se
servir en la
construction
de chaque
problème.}
que toutes les lignes courbes qui peuvent être décrites par
quelque mouvement régulier doivent être reçues en la géométrie, ce n'est
pas à dire qu'il soit permis de se servir indifféremment de la première qui
se rencontre pour la construction de chaque problème, mais il faut avoir
soin de choisir toujours la plus simple par laquelle il soit possible de le
résoudre. Et même il est à remarquer que par les plus simples on ne doit
pas seulement entendre celles qui peuvent le plus aisément être décrites, ni
celles qui rendent la construction ou la démonstration du problème proposé
plus facile, mais principalement celles qui sont du plus simple genre qui
puisse servir à déterminer la quantité qui est cherchée.

Comme,\label{cont31}\mymarginpar{Exemple
touchant
l'invention de
plusieurs
moyennes
proportionnelles.}
par exemple, je ne crois pas qu'il y ait aucune façon plus facile
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 25.}} \\ \includegraphics*[width=2.5in]{images/f025.png}
\end{center}
\end{figure}
pour trouver autant de moyennes proportionnelles qu'on veut, ni dont la
% [File: 065.png Page: 55]
démonstration soit plus évidente, que d'y employer les lignes courbes qui
se décrivent par l'instrument $X\:Y\:Z$ \textit{(fig.~25)} ci-dessus expliqué. Car, voulant
trouver deux moyennes proportionnelles entre $Y\:A$ et $Y\:E$, il ne faut que
décrire un cercle dont le diamètre soit $Y\:E$, et pourceque ce cercle coupe la
courbe $A\:D$ au point $D$, $Y\:D$ est l'une des moyennes proportionnelles cherchées,
dont la démonstration se voit à l'{\oe}il par la seule application de cet
instrument sur la ligne $Y\:D$; car, comme $Y\:A$ ou $Y\:B$, qui lui est égale, est
à $Y\:C$, ainsi $Y\:C$ est à $Y\:D$, et $Y\:D$ à $Y\:E$.

Tout de même pour trouver quatre moyennes proportionnelles entre $Y\:A$
et $Y\:G$, ou pour en trouver six entre $Y\:A$ et $Y\:N$, il ne faut que tracer le
cercle $Y\:F\:G$ qui, coupant $A\:F$ au point $F$, détermine la ligne droite $Y\:F$ qui
est l'une de ces quatre proportionnelles; ou $Y\:H\:N$ qui, coupant $A\:H$ au
point $H$, détermine $Y\:H$ l'une des six; et ainsi des autres.

Mais pourceque la ligne courbe $A\:D$ est du second genre, et qu'on peut
trouver deux moyennes proportionnelles par les sections coniques qui sont
du premier; et aussi pourcequ'on peut trouver quatre ou six moyennes
proportionnelles par des lignes qui ne sont pas de genres si composés que
sont $A\:F$ et $A\:H$, ce seroit une faute en géométrie que de les y employer. Et
c'est une faute aussi, d'autre côté, de se travailler inutilement à vouloir
construire quelque problème par un genre de lignes plus simple que sa
nature ne permet.

Or,\label{cont32}\mymarginpar{De la nature
des équations.}
afin que je puisse ici donner quelques règles pour éviter l'une et l'autre
de ces deux fautes, il faut que je die quelque chose en général de la nature
des équations, c'est-à-dire des sommes composées de plusieurs termes partie
connus et partie inconnus dont les uns sont égaux aux autres, ou plutôt
qui, considérés tous ensemble, sont égaux à rien: car ce sera souvent le
meilleur de les considérer en cette sorte.

Sachez\label{cont33}\mymarginpar{Combien il
peut y avoir de
racines en
chaque
équation.}
donc qu'en chaque équation, autant que la quantité inconnue a
de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c'est-à-dire de
valeurs de cette quantité; car, par exemple, si on suppose $x$ égale à $2$, ou
bien $x-2$ égal à rien; et derechef $x = 3$, ou bien $x - 3 = 0$; en
multipliant ces deux équations
\[
x - 2 = 0, \quad\text{et}\quad  x - 3 = 0,
\]
% [File: 066.png Page: 56]
l'une par l'autre, on aura
\[
x^2-5x + 6 = 0,
\]
ou bien
\[
x^2=5x-6,
\]
qui est une équation en laquelle la quantité $x$ vaut $2$ et tout ensemble
vaut $3$. Que si derechef on fait
\[
x-4 = 0,
\]
et qu'on multiplie cette somme par
\[
x^2-5x + 6 = 0,
\]
on aura
\[
x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = 0,
\]
qui est une autre équation en laquelle $x$, ayant trois dimensions, a aussi
trois valeurs, qui sont $2$, $3$ et $4$.

Mais\label{cont34}\mymarginpar{Quelles sont
les fausses
racines.}
souvent il arrive que quelques unes de ces racines sont fausses ou
moindres que rien; comme si on suppose que $x$ désigne aussi le défaut d'une
quantité qui soit $5$, on a
\[
x + 5 = 0,
\]
qui, étant multiplié par
\[
x^3-9x^2+26x-24=0
\]
fait
\[
  x^4 - 4x^3 - 19x^2 + 106x - 120 = 0
\]
pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir trois vraies qui
sont $2$, $3$, $4$, et une fausse qui est $5$.

% [combine 2 marginpars to stop them overlapping]
Et\label{cont35}\mymarginpar{Comment on
peut diminuer
le nombre des
dimensions
d'une équation
lorsqu'on
connoît quelqu'une
de ses
racines. \\
\vspace{0.1in}
Comment on peut
examiner
si quelque
quantité
donnée est la
valeur d'une
racine.}
on voit évidemment de ceci que la somme d'une équation qui contient
plusieurs racines peut toujours être divisée par un binôme composé de la
quantité inconnue moins la valeur de l'une des vraies racines, laquelle que
ce soit, ou plus la valeur de l'une des fausses; au moyen de quoi on diminue
d'autant ses dimensions.

% [second marginpar belongs here]
Et\label{cont36}
réciproquement que si la somme d'une équation ne peut être divisée
par un binôme composé de la quantité inconnue $+$ ou $-$ quelque autre
% [File: 067.png Page: 57]
quantité, cela témoigne que cette autre quantité n'est la valeur d'aucune de
ses racines. Comme cette dernière
\[
x^4 - 4x^3 - 19x^2 + 106x - 120 = 0
\]\label{x5}peut bien être divisée par $x - 2$, et par $x - 3$, et par $x - 4$, et par $x + 5$,
%[ the last shown as x - 5 in the text]
mais non point par $x$ $+$ ou $-$ aucune autre quantité; ce qui montre qu'elle
ne peut avoir que les quatre racines $2$, $3$, $4$ et $5$.

On\label{cont37}\mymarginpar{Combien il
peut y avoir de
vraies racines
en chaque
équation.}
connoît aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines et
combien de fausses en chaque équation: à savoir il y en peut avoir autant
de vraies que les signes $+$ et $-$ s'y trouvent de fois être changés, et autant
de fausses qu'il s'y trouve de fois deux signes $+$ ou deux signes $-$ qui
s'entre-suivent. Comme en la dernière, à cause qu'après ${}+ x^4$ il y a ${}- 4x^3$,
qui est un changement du signe $+$ en $-$, et après ${}- 19x^2$ il y a ${}+ 106x$,
et après ${}+ 106x$ il y a ${}- 120$, qui sont encore deux autres changements,
on connoît qu'il y a trois vraies racines; et une fausse, à cause que les deux
signes $-$ de $4 x^3$ et $19 x^2$ s'entre-suivent.


De\label{cont38}\mymarginpar{Comment on
fait que les
fausses racines
d'une équation
deviennent
vraies, et les
vraies fausses.}
plus, il est aisé de faire en une même équation que toutes les racines
qui étoient fausses deviennent vraies, et par même moyen que toutes celles
qui étoient vraies deviennent fausses, à savoir en changeant tous les signes
$+$ ou $-$ qui sont en la seconde, en la quatrième, en la sixième, ou autres
places qui se désignent par les nombres pairs, sans changer ceux de la
première, de la troisième, de la cinquième, et semblables qui se désignent
par les nombres impairs. Comme si, au lieu de
\[
{}+x^4-4x^3-19x^2+106x-120=0,
\]
on écrit
\[
{}+x^4+4x^3-19x^2-106x-120=0,
\]
on a une équation en laquelle il n'y a qu'une vraie racine qui est $5$, et trois
fausses qui sont $2$, $3$ et $4$.

Que\label{cont39}\mymarginpar{Comment on
peut
augmenter ou
diminuer les
racines d'une
équation sans
les connoître.}
si, sans connoître la valeur des racines d'une équation, on la veut
augmenter ou diminuer de quelque quantité connue, il ne faut qu'au lieu du
terme inconnu en supposer un autre qui soit plus ou moins grand de cette
même quantité, et le substituer partout en la place du premier.

% [File: 068.png Page: 58]

Comme si on veut augmenter de $3$ la racine de cette équation
\[
x^4 + 4x^3 - 19x^2 - 106x - 120 = 0,
\]
il faut prendre $y$ au lieu de $x$, et penser que cette quantité $y$ est plus grande
que $x$ de $3$, en sorte que $y-3$ est égal à $x$; et au lieu de $x^2$ il faut mettre
le carré de $y-3$, qui est $y^2 - 6y + 9$; et au lieu de $x^3$ il faut mettre son
cube qui est $y^3 - 9y^2 + 27y - 27$; et enfin au lieu de $x^4$ il faut mettre
son carré de carré qui est $y^4 - 12y^3 + 54y^2 - 108y + 81$. Et ainsi,
décrivant la somme précédente en substituant partout $y$ au lieu de $x$, on a
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{array}{@{}r@{\ } *{4}{c@{\ }r@{\ }} l@{}}
  y^4 &-& 12y^3 &+& 54y^2 &-& 108y &+&  81 &  \\
      &+&  4y^3 &-& 36y^2 &+& 108y &-& 108 &  \\
      & &       &-& 19y^2 &+& 114y &-& 171 &  \\
      & &       & &       &-& 106y &+& 318 &  \\
      & &       & &       & &      &-& 120 &  \\
\hline
  y^4 &-& 8y^3 &-&    y^2 &+
&\multicolumn{4}{@{}l@{}}{\phantom{10}8y*\footnotemark\quad =0,}
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\]
\footnotetext{Descartes indique l'absence d'un terme par le signe * mis à la place de ce terme; nous l'ôterons
  comme inutile, de même que le facteur $1$ qu'il laisse quelquefois.}
ou bien
\[
y^3-8y^2-y + 8 = 0,
\]
où la vraie racine qui étoit $5$ est maintenant $8$, à cause du nombre $3$ qui lui
est ajouté.

Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de cette même
équation, il faut faire $y + 3 = x$, et $y^2 + 6y + 9 = x^2$ et ainsi des
autres, de façon qu'au lieu de
\[
  x^4 + 4x^3 - 19x^2 - 106x - 120 = 0,
\]
on met
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{array}{@{}r@{\ } *{4}{c@{\ }r@{\ }} l@{}}
  y^4 &+& 12y^3 &+& 54y^2 &+& 108y &+&  81 &  \\
      &+&  4y^3 &+& 36y^2 &+& 108y &+& 108 &  \\
      & &       &-& 19y^2 &-& 114y &-& 171 &  \\
      & &       & &       &-& 106y &-& 318 &  \\
      & &       & &       & &      &-& 120 &  \\
\hline
  y^4 &+& 16y^3 &+& 71y^2 &-&   4y &-& 420 & =0.
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\]

% [File: 069.png Page: 59]

Et\label{cont40}\mymarginpar{Qu'en augmentant
les vraies
racines
on diminue les
fausses, et au
contraire.}
il est à remarquer qu'en augmentant les vraies racines d'une équation
on diminue les fausses de la même quantité, ou au contraire en diminuant
les vraies on augmente les fausses; et que si on diminue, soit les unes, soit
les autres, d'une quantité qui leur soit égale, elles deviennent nulles; et que
si c'est d'une quantité qui les surpasse, de vraies elles deviennent fausses, ou
de fausses vraies. Comme ici, en augmentant de $3$ la vraie racine qui étoit $5$,
on a diminué de $3$ chacune des fausses, en sorte que celle qui étoit $4$ n'est
plus que $1$, et celle qui étoit $3$ est nulle, et celle qui étoit $2$ est devenue vraie
et est $1$, à cause que ${}- 2 + 3$ fait ${}+ 1$: c'est pourquoi en cette équation
\[
y^3 - 8y^2 - y + 8 = 0
\]
il n'y a plus que trois racines, entre lesquelles il y en a deux qui sont vraies,
$1$ et $8$, et une fausse qui est aussi $1$; et en cette autre
\[
y^4 + 16y^3 + 71y^2 - 4y - 420 = 0,
\]
il n'y en a qu'une vraie qui est 2, à cause que ${}+ 5 - 3$ fait ${}+ 2$, et trois
fausses qui sont 5, 6 et 7.

Or\label{cont41}\mymarginpar{Comment on
peut ôter le
second terme
d'une équation.}
par cette façon de changer la valeur des racines sans les connoître on
peut faire deux choses qui auront ci-après quelque usage. La première est
qu'on peut toujours ôter le second terme de l'équation qu'on examine, à
savoir en diminuant les vraies racines de la quantité connue de ce second
terme divisée par le nombre des dimensions du premier, si l'un de ces deux
termes étant marqué du signe $+$, l'autre est marqué du signe $-$; ou bien en
l'augmentant de la même quantité, s'ils out tous deux le signe $+$ ou tous deux
le signe $-$. Comme pour ôter le second terme de la dernière équation qui est
\[
y^4 + 16y^3 + 71y^2 - 4y - 420 = 0,
\]
ayant divisé $16$ par $4$, à cause des quatre dimensions du terme $y^4$, il vient
derechef $4$; c'est pourquoi je fais $z - 4 = y$, et j'écris
%[**F2 This is a different construction than on the previous page. The PPer will probably want to pick one, though the result looks about the same.]
\begin{alignat*}{10}
z^4&& {}- 16z^3 +{}&&   96z^2 -{}&& 256z +{}&&  256 \\
   && {}+ 16z^3 -{}&&  192z^2 +{}&& 768z -{}&& 1024 \\
   &&         {}+{}&&   71z^2 -{}&& 568z +{}&& 1136 \\
   &&              &&       {}-{}&&   4z +{}&&   16 \\
   &&              &&            &&    {}-{}&&  420 \\[-2ex]
\multispan{10}{\hrulefill}\\[-1ex]
z^4&&         {}-{}&&   25z^2 -{}&&  60z -{}&&   36 &= 0
\end{alignat*}
% [File: 070.png Page: 60]
où la vraie racine qui étoit $2$ est $6$, à cause qu'elle est augmentée de $4$; et
les fausses, qui étoient $5$, $6$ et $7$, ne sont plus que $1$, $2$ et $3$, à cause qu'elles
sont diminuées chacune de $4$.

Tout de même si on veut ôter le second terme de
\[
x^4 - 2ax^3 + (2a^2 - c^2)x^2 - 2a^3x + a^4 = 0,
\]
pourceque divisant $2a$ par $4$ il vient $\dfrac{1}{2}a$, il faut faire $z+\dfrac{1}{2}a = x$, et écrire
\begin{alignat*}{10}
\qquad\qquad\qquad
z^4 + 2az^3 +{} && \frac{3}{2}a^2z^2 +{} && \frac{1}{2}a^3z +{} && \frac{1}{16} & a^4  \\
  {}- 2az^3 -{} && 3a^2z^2           -{} && \frac{3}{2}a^3z -{} && \frac{1}{4}  & a^4  \\
          {}+{} && 2a^2z^2           +{} && 2a^3z           +{} && \frac{1}{2}  & a^4  \\
          {}-{} && c^2z^2            -{} && ac^2z           -{} && \frac{1}{4}  & a^2c^2 \\
                &&                 {}-{} && 2a^3z           -{} &&              & a^4  \\
                &&                       &&               {}+{} &&              & a^4  \\[-2ex]
\multispan{10}{\hrulefill}\\[-1ex]
\multispan{8}{$z^4 + \left(\dfrac{1}{2}a^2 - c^2\right)z^2 - (a^3 + ac^2)z +
               \dfrac{5}{16}a^4 - \dfrac{1}{4}a^2c^2 = 0$}
\end{alignat*}
et si on trouve après la valeur de $z$, en lui ajoutant $\dfrac{1}{2}a$ on aura celle de $x$.

La\label{cont42}\mymarginpar{Comment on
peut faire que
toutes les
fausses racines
d'une équation
deviennent
vraies sans que
les vraies
deviennent
fausses.}
seconde chose qui aura ci-après quelque usage est qu'on peut toujours,
en augmentant la valeur des vraies racines d'une quantité qui soit plus
grande que n'est celle d'aucune des fausses, faire qu'elles deviennent toutes
vraies, en sorte qu'il n'y ait point deux signes $+$ ou deux signes $-$ qui
s'entre-suivent, et outre cela que la quantité connue du troisième terme soit
plus grande que le carré de la moitié de celle du second. Car encore que
cela se fasse lorsque ces fausses racines sont inconnues, il est aisé néanmoins
de juger à peu près de leur grandeur et de prendre une quantité qui les
surpasse d'autant ou de plus qu'il n'est requis à cet effet. Comme si on a
\[
x^6 + nx^5 - 6n^2x^4 + 36n^3x^3 - 216n^4x^2 + 1296n^5x - 7776n^6 = 0,
\]
% [File: 071.png Page: 61]
en faisant $y - 6n = x$ on trouvera
\begin{small}
\[
\begin{array}{*{6}{r@{}r@{}l@{} }}
    y^6 -{} &    36n & \multirow{2}{*}{$\left.\rule{0pt}{3ex}\right\}$} &
    y^5 +{} &   540n^2 & \multirow{3}{*}{$\left.\rule{0pt}{4.5ex}\right\}$} &
    y^4 -{} &  4320n^3 & \multirow{4}{*}{$\left.\rule{0pt}{6ex}\right\}$} &
    y^3 +{} & 19440n^4 & \multirow{5}{*}{$\left.\rule{0pt}{7.5ex}\right\}$} &
    y^2 -{} & 46656n^5 & \multirow{6}{*}{$\left.\rule{0pt}{9ex}\right\}$} &
    y   +{} & 46656n^6&
\\
      {}+{} &     n   && {}-{} &   30n^2 && {}+{} &  360n^3 &&
      {}-{} & 2160n^4 && {}+{} & 6480n^5 && {}-{} & 7776n^6
\\
            &         && {}-{} &    6n^2 && {}+{} &  144n^3 &&
      {}-{} & 1296n^4 && {}+{} & 5184n^5 && {}-{} & 7776n^6
\\
            &         &&       &         && {}+{} &   36n^3 &&
      {}-{} &  648n^4 && {}+{} & 3888n^5 && {}-{} & 7776n^6
\\
            &         &&       &         &&       &         &&
      {}-{} &  216n^4 && {}+{} & 2592n^5 && {}-{} & 7776n^6
\\
            &         &&       &         &&       &         &&
            &         && {}+{} & 1296n^5 && {}-{} & 7776n^6
\\
            &         &&       &         &&       &         &&
            &         &&       &         && {}-{} & 7776n^6
\\
\hline \rule{0pt}{3ex}
  y^6 {}-{} & 35n &y^5      & {}+{} & 504n^2 &y^4 & {}-{} & 3780n^3 &y^3 &
      {}+{} & 15120n^4 &y^2 & {}-{} & 27216n^5 &y & {}={} &\ 0.\hfill{}
\end{array}
\]
\end{small}

Où il est manifeste que $504 n^2$, qui est la quantité connue du troisième
terme, est plus grande que le carré de $\dfrac{35}{2}n$, qui est la moitié de celle du
second. Et il n'y a point de cas pour lequel la quantité dont on augmente
les vraies racines ait besoin à cet effet d'être plus grande, à proportion de
celles qui sont données, que pour celui-ci.

%% [** marginpar that was here moved down to avoid page break]
Mais
à cause que le dernier terme s'y trouve nul, si on ne désire pas que
cela soit il faut encore augmenter tant soit peu la valeur des racines, et ce\label{cont43}\mymarginpar{Comment on
fait que toutes
les places
d'une équation
soient
remplies.}
ne sauroit être de si peu que ce ne soit assez pour cet effet; non plus que
lorsqu'on veut accroître le nombre des dimensions de quelque équation, et
faire que toutes les places de ces termes soient remplies, comme si, au lieu
de $x^5 - b = 0$, on veut avoir une équation en laquelle la quantité inconnue
ait six dimensions et dont aucun des termes ne soit nul, il faut premièrement
pour
\[
x^5 - b = 0
\]
écrire
\[
x^6 - bx = 0;
\]
puis, ayant fait $y-a=x$, on aura
\begin{align*}
\left.\begin{alignedat}{2}
  y^6 - 6ay^5 + 15a^2y^4 - 20a^3y^3 + 15a^4y^2 &- 6a^5 \\
  &- b
\end{alignedat}\right\}
\begin{alignedat}{2}
  y &+ a^6 \\
    &+ ab
\end{alignedat}
= 0,
\end{align*}
où il est manifeste que, tant petite que la quantité $a$ soit supposée, toutes
les places de l'équation ne laissent pas d'être remplies.

De\label{cont44}\mymarginpar{Comment on
peut
multiplier ou
diviser les
racines sans
les connoître.}
plus on peut, sans connoître la valeur des vraies racines d'une
équation, les multiplier ou diviser toutes par telle quantité connue qu'on
% [File: 072.png Page: 62]
veut; ce qui se fait en supposant que la quantité inconnue étant multipliée
ou divisée par celle qui doit multiplier ou diviser les racines est égale à
quelque autre; puis multipliant ou divisant la quantité connue du second
terme par cette même qui doit multiplier ou diviser les racines, et par son
carré celle du troisième, et par son cube celle du quatrième, et ainsi jusques
au dernier.\label{cont45}\mymarginpar{Comment on
réduit les
nombres
rompus d'une
équation à des
entiers.}
Ce qui peut servir pour réduire à des nombres entiers et
rationnaux les fractions, ou souvent aussi les nombres sourds qui se trouvent
dans les termes des équations. Comme si on a
\[
x^3 - \sqrt{3}x^2 + \frac{26}{27}x - \frac{8}{27\sqrt{3}} = 0,
\]
et qu'on veuille en avoir une autre en sa place, dont tous les termes
s'expriment par des nombres rationnaux, il faut supposer $y = x\sqrt{3}$, et
multiplier par $\sqrt{3}$ la quantité connue du second terme qui est aussi $\sqrt{3}$, et
par son carré qui est 3 celle du troisième qui est $\dfrac{26}{27}$, et par son cube qui
est $3\sqrt{3}$ celle du dernier qui est $\dfrac{8}{27\sqrt{3}}$, ce qui fait
\[
y^3 - 3y^2 + \frac{26}{9}y - \frac{8}{9} = 0.
\]
Puis si on en veut avoir encore une autre en la place de celle-ci, dont les
quantités connues ne s'expriment que par des nombres entiers, il faut
supposer $z = 3 y$, et multipliant 3 par 3, $\dfrac{26}{9}$ par 9 et $\dfrac{8}{9}$ par 27, on trouve
\[
z^3 - 9z^2 + 26z - 24 = 0,
\]
où les racines étant 2, 3 et 4, on connoît de là que celles de l'autre d'auparavant
étoient $\dfrac{2}{3}$, 1 et $\dfrac{4}{3}$, et que celles de la première étoient
\[
\frac{2}{9}\sqrt{3}, \quad \frac{1}{3}\sqrt{3}, \quad\text{et}\quad \frac{4}{9}\sqrt{3}.
\]


Cette\label{cont46}\mymarginpar{Comment on
rend la
quantité
connue de l'un
des termes
d'une équation
égale à telle
autre qu'on
veut.}
opération peut aussi servir pour rendre la quantité connue de
% [File: 073.png Page: 63]
quelqu'un des termes de l'équation égale à quelque autre donnée, comme
si ayant
\[
x^3-b^2x+c^3=0,
\]
on veut avoir en sa place une autre équation en laquelle la quantité connue
du terme qui occupe la troisième place, à savoir celle qui est ici $b^2$ soit $3a^2$,
il faut supposer $y=x \sqrt{\dfrac{3a^2}{b^2}}$, puis écrire
\[
  y^3 - 3a^2y + \frac{3a^3c^3}{b^3}\sqrt{3} = 0.
\]

Au\label{cont47}\mymarginpar{Que les
racines tant
vraies que
fausses
peuvent être
réelles ou
imaginaires.}
reste, tant les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours
réelles, mais quelquefois seulement imaginaires, c'est-à-dire qu'on peut bien
toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y
a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celles qu'on imagine;
comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle-ci,
\[
x^3-6x^2+13x-10=0,
\]
il n'y en a toutefois qu'une réelle qui est 2, et pour les deux autres, quoiqu'on
les augmente ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer,
on ne saurait les rendre autres qu'imaginaires.

Or\label{cont48}\mymarginpar{La réduction
des équations
cubiques,
lorsque le
problème est
plan.}
quand, pour trouver la construction de quelque problème, on vient à
une équation en laquelle la quantité inconnue a trois dimensions, premièrement,
si les quantités connues qui y sont contiennent quelques nombres
rompus, il les faut réduire à d'autres entiers par la multiplication tantôt
expliquée; et s'ils en contiennent de sourds, il faut aussi les réduire à
d'autres rationnaux autant qu'il sera possible, tant par cette même multiplication
que par divers autres moyens qui sont assez faciles à trouver. Puis
examinant par ordre toutes les quantités qui peuvent diviser sans fraction le
dernier terme, il faut voir si quelqu'une d'elles, jointe avec la quantité
inconnue par le signe $+$ ou $-$, peut composer un binôme qui divise toute
la somme; et si cela est, le problème est plan, c'est-à-dire il peut être
construit avec la règle et le compas; car, ou bien la quantité connue de ce
binôme est la racine cherchée, ou bien l'équation étant divisée par lui se
% [File: 074.png Page: 64]
réduit à deux dimensions, en sorte qu'on en peut trouver après la racine par
ce qui a été dit au premier livre.

Par exemple, si on a
\[
  y^6 - 8y^4 - 124y^2 - 64 = 0,
\]
le dernier terme qui est 64 peut être divisé sans fraction par 1, 2, 4, 8, 16,
32, 64; c'est pourquoi il faut examiner par ordre si cette équation ne peut
point être divisée par quelqu'un des binômes $y^2-1$ ou $y^2+1$, $y^2-2$
ou $y^2+2$, $y^2-4$, etc.; et on trouve qu'elle peut l'être par $y^2-16$ en
cette sorte:
\[
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{array}{ *{9}{r@{\ }} }
{}\quad{}
&{} +y^6 &-&  8y^4 &-& 124y^2 &-& 64 & =0 \\\cline{7-8}
&{} -y^6 &-&  8y^4 &-&   4y^2 &-& 16 &    \\[-2.5ex]
%\cline{2-6}
&\multicolumn{1}{@{}c@{\ }}{\rule{2em}{2pt}}
&\multicolumn{2}{@{}c@{\ }}{\rule{3em}{2pt}}
&\multicolumn{2}{@{}c@{\ }}{\rule{3.5em}{2pt}}
\\[-1.5ex]
&    0   &-& 16y^4 &-& 128y^2 & &    &    \\[-2.5ex]
%\cline{3-6}
&&\multicolumn{2}{@{}c@{\ }}{\hrulefill}
&\multicolumn{2}{@{}c@{\ }}{\hrulefill}
\\[-1.5ex]
&        &-& 16\phantom{y^4} &-& 16\phantom{y^4} &  &  &  \\ \cline{1-8}
&        &+&   y^4 &+&   8y^2 &+& 4  & =0
\end{array}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\]

Je\label{cont49}\mymarginpar{La façon de
diviser une
équation par
un binôme
qui contient
sa racine.}
commence par le dernier terme, et divise ${}-64$ par ${}-16$, ce qui
fait ${}+4$ que j'écris dans le quotient; puis je multiplie ${}+4$ par ${}+y^2$, ce
qui fait ${}+4y^2$; c'est pourquoi j'écris ${}-4y^2$ en la somme qu'il faut diviser,
car il y faut toujours écrire le signe ${}+$ ou ${}-$ tout contraire à celui que
produit la multiplication; et joignant ${}-124y^2$ avec ${}-4y^2$, j'ai ${}-128y^2$
que je divise derechef par ${}-16$, et j'ai ${}+y^4$ pour mettre dans le quotient;
et en le multipliant par $y^2$, j'ai ${}-8y^4$ pour joindre avec le terme qu'il faut
diviser, qui est aussi ${}-8y^4$; et ces deux ensemble font ${}-16y^4$ que je
divise par ${}-16$, ce qui fait ${}+y^4$ pour le quotient et ${}-y^6$ pour joindre
avec ${}+y^6$, ce qui fait 0 et montre que la division est achevée. Mais s'il
étoit resté quelque quantité, ou bien qu'on n'eût pu diviser sans fraction
quelqu'un des termes précédents, ou eût par là reconnu qu'elle ne pouvoit
être faite.

Tout de même si on a
\[
\begin{array}{r@{}r@{}r}
  \multirow{2}{*}{$\left.
    \begin{array}{@{\,}r@{\ }c@{\ }r@{\,}}
      y^6  &+&   a^2  \\
           &-&  2c^2
    \end{array} \right\}$} &
  \multirow{2}{*}{$\left.
    \begin{array}{@{\,}r@{\ }c@{\ }l@{\,}}
      y^4 &-&  a^4  \\
           &+&  c^4
    \end{array}\right\}$} &
  \multirow{3}{*}{$\left.
    \begin{array}{@{\,}r@{\ }c@{\ }c@{\,}}
      y^2  &-&  a^6  \\
           &-& 2a^4c^2 \\
           &-&  a^2c^4
    \end{array}\right\}$}
\multirow{3}{*}{=0,}
\end{array}
\vspace{4ex}
\]
% [File: 075.png Page: 65]
le dernier terme se peut diviser sans fraction par $a$, $a^2$, $a^2+c^2$, $a^3+ac^2$,
et semblables; mais il n'y en a que deux qu'on ait besoin de considérer, à
savoir $a^2$ et $a^2+c^2$, car les autres, donnant plus ou moins de dimensions
dans le quotient qu'il n'y en a en la quantité connue du pénultième terme,
empêcheroient que la division ne s'y pût faire. Et notez que je ne compte ici
les dimensions de $y^6$ que pour trois, à cause qu'il n'y a point de $y^5$, ni de $y^3$,
ni de $y$ en toute la somme. Or en examinant le binôme $y^2-a^2-c^2=0$,
on trouve que la division se peut faire par lui en cette sorte:
\[
\begin{array}{@{}*{3}{r@{\:}}r@{}}
  {} + y^6
& \multirow{2}{*}{$\left.
    \begin{array}{@{\:}c@{\:}r@{\:}} + & a^2 \\ - & 2c^2 \end{array}
  \right\} y^4 $}
& \multirow{2}{*}{$\left.
     \begin{array}{@{\:}c@{\:}l@{\:}} - & a^4 \\ + & c^4 \phantom{a^2}
     \end{array}
  \right\} y^2 $}
& \multirow{3}{*}{$\left.
    \begin{array}{@{\:}c@{\:}r@{\:}}
      - & a^6\phantom{c^2} \\ - & 2a^4c^2 \\ - & a^2c^4
    \end{array}
  \right\}=0$} \\

  \underline{ {} - y^6\rule[-.7ex]{0pt}{1ex}}  & & & \\[.5ex]

  0  \rule{0pt}{2ex}
& \multirow{2}{*}{$\left.
    \begin{array}{@{\:}c@{\:}r@{\:}} - & 2a^2 \\ + & c^2 \\
    \end{array}
  \right\} y^4 $}
& \multirow{2}{*}{$\left.
    \begin{array}{@{\:}c@{\:}l@{\:}} - & a^4 \\ - & a^2c^2 \end{array}
    \right\} y^2 $} &
   \\

& & & \multicolumn{1}{@{\:}l@{\:}}{
        \rlap{$ {} - a^2 - c^2$}
        \overline{\phantom{{}-2a^2c^2} \rule{0pt}{2.2ex}} } \\[-.2ex]

& \multicolumn{1}{@{\:}l@{\:}}{\overline{{}-a^2-c^2\rule{0pt}{2.2ex}}}
& \multicolumn{1}{@{\:}l@{\:}}{\overline{{}-a^2-c^2\rule{0pt}{2.2ex}}}
& \\[.2ex] \hline

& \multicolumn{1}{@{\:}l@{\:}}{ {} + y^4\rule{0pt}{2.7ex}}
& \multirow{2}{*}{$\left.
    \begin{array}{@{\:}c@{\:}r@{\:}} + & 2a^2 \\ - & c^2
    \end{array}\right\} y^2 $}
& \multirow{2}{*}{$\left.
     \begin{array}{@{\:}c@{\:}l@{\:}} + & a^4 \\ + & a^2c^2 \phantom{2}
  \end{array} \right\}=0,$} \\

&&&
\end{array}
\]

Mais\label{cont50}\mymarginpar{Quels
problèmes sont
solides lorsque
l'équation est
cubique.}
lorsqu'on ne trouve aucun binôme qui puisse ainsi diviser toute la
somme de l'équation proposée, il est certain que le problème qui en dépend
est solide; et ce n'est pas une moindre faute après cela de tâcher à le
construire sans y employer que des cercles et des lignes droites, que ce
seroit d'employer des sections coniques à construire ceux auxquels on n'a
besoin que de cercles: car enfin tout ce qui témoigne quelque ignorance
s'appelle faute.

Que\label{cont51}\mymarginpar{La réduction
des équations
qui ont quatre
dimensions,
lorsque le
problème est
plan. Et quels
sont ceux qui
sont solides.}
si on a une équation dont la quantité inconnue ait quatre dimensions,
il faut en même façon, après en avoir ôté les nombres sourds et rompus, s'il
y en a, voir si on pourra trouver quelque binôme qui divise toute la somme
en le composant de l'une des quantités qui divisent sans fraction le dernier
terme. Et si on en trouve un, ou bien la quantité connue de ce binôme est
la racine cherchée, ou du moins, après cette division, il ne reste en l'équation
que trois dimensions, ensuite de quoi il faut derechef l'examiner en la
même sorte. Mais lorsqu'il ne se trouve point de tel binôme, il faut, en
% [File: 076.png Page: 66]
augmentant ou diminuant la valeur de la racine, ôter le second terme de la
somme en la façon tantôt expliquée, et après la réduire à une autre qui ne
contienne que trois dimensions; ce qui se fait en cette sorte: au lieu de
\[
{}+ x^4 \dots\ px^2 \dots\ qx \dots\ r = 0,
\]
il faut écrire
\[
{}+ y^6 \dots\ 2py^4 + (p^2 \dots\ 4r)y^2 - q^2 = 0.
\]

Et pour les signes $+$ ou $-$ que j'ai omis, s'il y a eu ${}+p$ en la précédente
équation, il faut mettre en celle-ci ${}+2p$, ou s'il y a eu ${}-p$, il faut
mettre $-2p$; et au contraire s'il y a eu ${}+r$, il faut mettre ${}-4r$, ou s'il y
a eu ${}-r$, il faut mettre ${}+4r$; et soit qu'il y ait eu ${}+q$ ou ${}-q$, il faut
toujours mettre ${}-q^2$ et ${}+p^2$, au moins si on suppose que $x^4$ et $y^6$ sont
marqués du signe $+$, car ce seroit tout le contraire si on y supposoit le
signe $-$.

Par exemple, si on a
\[
{}+ x^4 - 4x^2 - 8x + 35 = 0,
\]
il faut écrire en son lieu
\[
y^6 - 8y^4 - 124y^2 - 64 = 0,
\]
car la quantité que j'ai nommée $p$ étant ${}-4$, il faut mettre ${}-8y^4$ pour $2py^4$;
et celle que j'ai nommée $r$ étant $35$, il faut mettre $(16-140) y^2$, c'est-à-dire
${}-124y^2$ au lieu de $(p^2-4r)y^2$; et enfin $q$ étant $8$, il faut mettre ${}-64$
pour ${}-q^2$.

Tout de même, au lieu de
\[
{}+ x^4 - 17x^2 - 20x - 6 = 0,
\]
il faut écrire
\[
{}+ y^6 - 34y^4 + 313y^2 - 400 = 0,
\]
car 34 est double de 17, et 313 en est le carré joint au quadruple de 6,
et 400 est le carré de 20.

Tout de même aussi au lieu de
\[
{}+ z^4 + \left(\frac{1}{2}a^2-c^2\right)z^2 - (a^3+ac^2)z -
    \frac{5}{16}a^4 - \frac{1}{4}a^2c^2 = 0,
\]
% [File: 077.png Page: 67]
il faut écrire
\[
y^6 + (a^2 - 2c^2)y^4 + (c^4 - a^4)y^2 - a^6 - 2a^4c^2 - a^2c^4 = 0;
\]
car $p$ est $\dfrac{1}{2}a^2-c^2$, et $p^2$ est $\dfrac{1}{4}a^4-a^2c^2+c^4$, et $4r$ est $-\dfrac{5}{4}a^4+a^2c^2$,
et enfin $-q^2$ est $-a^6-2a^4c^2-a^2c^4$.

Après que l'équation est ainsi réduite à trois dimensions, il faut chercher
la valeur de $y^2$ par la méthode déjà expliquée; et si elle ne peut être trouvée,
on n'a point besoin de passer outre, car il suit de là infailliblement que le
problème est solide. Mais si on la trouve, on peut diviser par son moyen la
précédente équation en deux autres, en chacune desquelles la quantité
inconnue n'aura que deux dimensions et dont les racines seront les mêmes
que les siennes; à savoir, au lieu de
\[
{}+ x^4 \dots\ px^2 \dots\ qx \dots\ r = 0 ,
\]
il faut écrire ces deux autres
\[
{}+x^2 - yx + \frac{1}{2}y^2 \dots\  \frac{1}{2}p \dots\ \frac{q}{2y} =0,
\]
et
\[
{}+x^2 + yx + \frac{1}{2}y^2 \dots\  \frac{1}{2}p \dots\ \frac{q}{2y} =0.
\]

Et pour les signes $+$ et $-$ que j'ai omis, s'il y a ${}+ p$ en l'équation
précédente, il faut mettre ${}+\dfrac{1}{2}p$ en chacune de celles-ci, et ${}-\dfrac{1}{2}p$ s'il y a
en l'autre ${}-p$; mais il faut mettre ${}+\dfrac{q}{2y}$ en celle où il y a ${}-yx$,
et ${}-\dfrac{q}{2y}$
en celle où il y a ${}+ yx$, lorsqu'il y a ${}+ q$ en la première; et au contraire,
s'il y a ${}-q$, il faut mettre ${}-\dfrac{q}{2y}$ en celle où il y a ${}-yx$, et ${}+\dfrac{q}{2y}$ en celle
où il y a ${}+ yx$. Ensuite de quoi il est aisé de connoître toutes les racines de
l'équation proposée, et par conséquent de construire le problème dont elle
contient la solution, sans y employer que des cercles et des lignes droites.

Par exemple, à cause que faisant
\[
y^6 - 34y^4 + 313y^2 - 400 =0
\]
% [File: 078.png Page: 68]
pour
\[
x^4-17x^2-20x-6=0,
\]
on trouve que $y^2$ est 16, on doit, au lieu de cette équation
\[
{}+x^4-17x^2-20x-6=0,
\]
écrire ces deux autres
\[
{}+x^2-4x-3=0,
\]
et
\[
{}+x^2+4x+2=0,
\]
car $y$ est 4, $\dfrac{1}{2}y^2$ est 8, $p$ est 17, et $q$ est 20, de façon que
\[
{}+ \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}p - \frac{q}{2y} \text{ fait $-3$, et }
{}+ \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}p + \frac{q}{2y} \text{ fait }+2.
\]
Et tirant les racines de ces deux équations, on trouve toutes les mêmes que
si on les tiroit de celle où est $x^4$, à savoir, on en trouve une vraie qui est
$\sqrt{7} + 2$, et trois fausses qui sont
\[
  \sqrt{7} - 2, \quad 2+\sqrt{2}, \quad \text{et}\quad 2-\sqrt{2},
\]
Ainsi ayant
\[
x^4-4x^2-8x+35=0,
\]
pourceque la racine de
\[
y^6-8y^4-124y^2-64=0
\]
est derechef 16, il faut écrire
\[
x^2-4x+5=0
\]
et
\[
x^2+4x+7=0.
\]
Car ici
\[
+ \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}p - \frac{q}{2y} \text{ fait 5, et }
+ \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}p + \frac{q}{2y} \text{ fait 7.}
\]
Et pourcequ'on ne trouve aucune racine, ni vraie ni fausse, en ces deux
% [File: 079.png Page: 69]
dernières équations, on connoît de là que les quatre de l'équation dont elles
procèdent sont imaginaires, et que le problème pour lequel on l'a trouvée
est plan de sa nature, mais qu'il ne sauroit en aucune façon être construit,
à cause que les quantités données ne peuvent se joindre.

Tout de même ayant
\[
  z^4 + \left( \frac{1}{2}a^2-c^2 \right) z^2 - (a^3+ac^2)z
+ \frac{5}{16}a^4 - \frac{1}{4}a^2c^2 = 0,
\]
pourcequ'on trouve $a^2+c^2$ pour $y^2$, il faut écrire
\[
z^2-\sqrt{a^2+c^2}z + \frac{3}{4}a^2 - \frac{1}{2}a \sqrt{a^2+c^2}=0,
\]
et
\[
z^2+\sqrt{a^2+c^2}z + \frac{3}{4}a^2 + \frac{1}{2}a \sqrt{a^2+c^2}=0,
\]
car $y$ est $\sqrt{a^2+c^2}$, et $+\dfrac{1}{2}y^2 +\dfrac{1}{2}p$ est $\dfrac{3}{4}a^2$, et $\dfrac{q}{2y}$ est $\dfrac{1}{2}a \sqrt{a^2+c^2}$,
d'où on connoît que la valeur de $z$ est
\[
         \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + c^2}
+ \sqrt{-\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{4}c^2
       + \frac{1}{2} a \sqrt{a^2+c^2}},
\]
ou bien
\[
         \frac{1}{2} \sqrt{a^2 + c^2}
- \sqrt{-\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{4}c^2
       + \frac{1}{2} a \sqrt{a^2+c^2}}.
\]
Et pourceque nous avions fait ci-dessus $z+\dfrac{1}{2}a=x$, nous apprenons que
la quantité $x$, pour la connoissance de laquelle nous avons fait toutes ces
opérations, est
\[
+ \frac{1}{2} +\sqrt{\frac{1}{4}a^2 + \frac{1}{4}c^2}
- \sqrt{ \frac{1}{4}c^2 - \frac{1}{2}a^2
       + \frac{1}{2} a \sqrt{a^2+c^2} }.
\]

Mais\label{cont52}\mymarginpar{Exemple de
l'usage de ces
réductions.}
afin qu'on puisse mieux connoître l'utilité de cette règle il faut que
je l'applique à quelque problème.

% [File: 080.png Page: 70]

Si le carré $A\:D$ \textit{(fig.~26)} et la ligne $B\:N$ étant donnés, il faut prolonger le
côté $A\:C$ jusques à $E$, en sorte que $E\:F$, tirée de $E$ vers $B$, soit égale à $N\:B$:
on apprend de Pappus, qu'ayant premièrement prolongé $B\:D$ jusques à $G$,
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 26.}} \\ \includegraphics*[width=1.7in]{images/f026.png}
\end{center}
\end{figure}
en sorte que $D\:G$ soit égale à $D\:N$, et ayant décrit un cercle dont le diamètre
soit $B\:G$, si on prolonge la ligne droite $A\:C$, elle rencontrera la circonférence
de ce cercle au point $E$ qu'on demandoit. Mais pour ceux qui ne sauroient
point cette construction, elle seroit assez difficile à rencontrer; et, en la
cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s'aviseroient jamais de
prendre $D\:G$ pour la quantité inconnue, mais plutôt $C\:F$ ou $F\:D$, à cause que
ce sont elles qui conduisent le plus aisément à l'équation; et lors ils en
trouveroient une qui ne seroit pas facile à démêler sans la règle que je viens
d'expliquer. Car posant $a$ pour $B\:D$ ou $C\:D$, et $c$ pour $E\:F$, et $x$ pour $D\:F$, on
a $C\:F=a-x$, et comme $C\:F$ ou $a-x$ est à $F\:E$ ou $c$, ainsi $F\:D$ ou $x$ est
à $B\:F$, qui par conséquent est $\dfrac{cx}{a-x}$. Puis à cause du triangle rectangle $B\:D\:F$
dont les côtés sont l'un $x$ et l'autre $a$, leurs carrés, qui sont $x^2+a^2$, sont
égaux à celui de la base, qui est $\dfrac{c^2x^2}{x^2-2ax+a^2}$; de façon que, multipliant
le tout par $x-2ax+a^2$, on trouve que l'équation est
\[
  x^4 - 2ax^3 + 2a^2x^2 - 2a^3x + a^4 = c^2x^2,
\]
ou bien
\[
  x^4 - 2ax^3 + (2a^2-c^2)x^2 - 2a^3x + a^4 = 0;
\]
et on connoît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur
de la ligne $D\:F$, est
\[
  \frac{1}{2}a + \sqrt{\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{4}c^2}
- \sqrt{\frac{1}{4}c^2-\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}a\sqrt{a^2+c^2}}.
\]
% [File: 081.png Page: 71]

Que si on posoit $B\:F$, ou $C\:E$, ou $B\:E$, pour la quantité inconnue, on
viendroit derechef à une équation en laquelle il y auroit quatre dimensions,
mais qui seroit plus aisée à démêler, et on y viendroit assez aisément; au
lieu que si c'étoit $D\:G$ qu'on supposât, on viendroit beaucoup plus difficilement
à l'équation, mais aussi elle seroit très simple. Ce que je mets ici pour vous
avertir que, lorsque le problème proposé n'est point solide, si en le cherchant
par un chemin on vient à une équation fort composée, on peut ordinairement
venir à une plus simple en le cherchant par un autre.

Je pourrois encore ajouter diverses règles pour démêler les équations qui
vont au cube ou au carré de carré, mais elles seroient superflues; car lorsque
les problèmes sont plans on en peut toujours trouver la construction par
celles-ci.

Je\label{cont53}\mymarginpar{Règle
générale pour
réduire les
équations qui
passent le
carré de carré.}
pourrois aussi en ajouter d'autres pour les équations qui montent
jusques au sursolide, ou au carré de cube, ou au-delà, mais j'aime mieux
les comprendre toutes en une, et dire en général que, lorsqu'on a tâché de
les réduire à même forme que celles d'autant de dimensions qui viennent
de la multiplication de deux autres qui en ont moins, et qu'ayant dénombré
tous les moyens par lesquels cette multiplication est possible, la chose
n'a pu succéder par aucun, on doit s'assurer qu'elles ne sauroient être
réduites à de plus simples; en sorte que si la quantité inconnue a trois
ou quatre dimensions, le problème pour lequel on la cherche est solide,
et si elle en a cinq ou six, il est d'un degré plus composé, et ainsi des
autres.

Au reste, j'ai omis ici les démonstrations de la plupart de ce que j'ai dit,
à cause qu'elles m'ont semblé si faciles que, pourvu que vous preniez la
peine d'examiner méthodiquement si j'ai failli, elles se présenteront à vous
d'elles-mêmes; et il sera plus utile de les apprendre en cette façon qu'en les
lisant.

Or,\label{cont54}\mymarginpar{Façon
générale pour
construire
tous les
problèmes
solides réduits
à une équation
de trois ou
quatre
dimensions.}
quand on est assuré que le problème proposé est solide, soit que
l'éq\-ua\-tion par laquelle on le cherche monte au carré de carré, soit qu'elle
ne monte que jusques au cube, on peut toujours en trouver la racine par
l'une des trois sections coniques, laquelle que ce soit, ou même par quelque
partie de l'une d'elles, tant petite qu'elle puisse être, en ne se servant au
reste que de lignes droites et de cercles. Mais je me contenterai ici de donner
% [File: 082.png Page: 72]
une règle générale pour les trouver toutes par le moyen d'une parabole, à
cause qu'elle est en quelque façon la plus simple.

Premièrement, il faut ôter le second terme de l'équation proposée, s'il
n'est déjà nul, et ainsi la réduire à telle forme
\[
  z^3 = \dots\ apz\ \dots\ a^2q,
\]
si la quantité inconnue n'a que trois dimensions; ou bien à telle
\[
  z^4 = \dots\ apz^2\ \dots\ a^2qz\ \dots\ a^3r,
\]
si elle en a quatre; ou bien, en prenant $a$ pour l'unité, à telle
\[
  z^3 = \dots\ pz\ \dots\ q,
\]
et à telle
\[
  z^4 = \dots\ pz^2\ \dots\ qz\ \dots\ r.
\]

Après cela, supposant que la parabole $FAG$ \textit{(fig.~27)} est déjà décrite, et
que son essieu est $A\:C\:D\:K\:L$, et que son côté droit est $a$ ou 1 dont $A\:C$ est la
moitié, et enfin que le point $C$ est au dedans de cette parabole, et que $A$ en
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 27.}} \\ \includegraphics*[width=3.5in]{images/f027.png}
\end{center}
\end{figure}
est le sommet; il faut faire $C\:D =\dfrac{1}{2}p$, et la prendre du même côté qu'est
le point $A$ au regard du point $C$, s'il y a ${}+ p$ en l'équation; mais s'il y a ${}-p$,
il faut la prendre de l'autre côté. Et du point $D$, ou bien, si la quantité $p$
étoit nulle, du point $C$ \textit{(fig.~28)} il faut élever une ligne à angles droits
jusques à $E$, en sorte qu'elle soit égale à $\dfrac12q$. Et enfin du centre $E$ il faut
% [File: 083.png Page: 73]
décrire le cercle $F\:G$ dont le demi-diamètre soit $A\:E$ si l'équation n'est que
cubique, en sorte que la quantité $r$ soit nulle. Mais quand il y a ${}+r$ il faut
dans cette ligne $A\:E$ \textit{(fig.~27)} prolongée prendre d'un côté $A\:R$ égale à $r$, et
de l'autre $A\:S$ égale au côté droit de la parabole qui est 1; et ayant décrit
\begin{figure}[htb]
  \centerline{\hbox{\hspace{0.0in}
    \textit{\textbf{Fig. 28.}}
    \hspace{2in}
    \textit{\textbf{Fig. 29.}}
    }
  }
  \centerline{\hbox{\hspace{0.0in}
    \includegraphics*[width=1.2in]{images/f028.png}
    \hspace{1in}
    \includegraphics*[width=1.5in]{images/f029.png}
    }
  }
\end{figure}
un cercle dont le diamètre soit $R\:S$, il faut faire $A\:H$ perpendiculaire sur $A\:E$,
laquelle $A\:H$ rencontre ce cercle $R\:H\:S$ au point $H$ qui est celui par où l'autre
cercle $F\:H\:G$ doit passer. Et quand il y a ${}-r$, il faut, après avoir ainsi trouvé
la ligne $A\:H$ \textit{(fig.~29)}, inscrire $A\:I$ qui lui soit égale, dans un autre cercle
dont $A\:E$ soit le diamètre, et lors c'est par le point $I$ que doit passer $F\:I\:G$ le
premier cercle cherché. Or ce cercle $F\:G$ peut couper ou toucher la parabole
en un, ou deux, ou trois, ou quatre points, desquels tirant des perpendiculaires
sur l'essieu, on a toutes les racines de l'équation tant vraies que
fausses. A savoir si la quantité $q$ est marquée du signe $+$, les vraies racines
seront celles de ces perpendiculaires qui se trouveront du même côté de la
parabole que $E$ le centre du cercle, comme $F\:L$; et les autres, comme $G\:K$,
seront fausses. Mais au contraire, si cette quantité $q$ est marquée du signe $-$,
les vraies seront celles de l'autre côté, et les fausses ou moindres que rien
seront du côté où est $E$ le centre du cercle. Et enfin si ce cercle ne coupe ni
ne touche la parabole en aucun point, cela témoigne qu'il n'y a aucune
racine ni vraie ni fausse en l'équation, et qu'elles sont toutes imaginaires.
En sorte que cette règle est la plus générale et la plus accomplie qu'il soit
possible de souhaiter.
% [File: 084.png Page: 74]

Et la démonstration en est fort aisée; car si la ligne $G\:K$ (\textit{fig.~27}), trouvée
par cette construction, se nomme $z$, $A\:K$ sera $z^2$, à cause de la parabole en
laquelle $G\:K$ doit être moyenne proportionnelle entre $A\:K$ et le côté droit qui
est 1; puis, si de $A\:K$ j'ôte $A\:C$ qui est $\dfrac{1}{2}$, et $C\:D$ qui est $\dfrac{1}{2}p$, il reste $D\:K$ ou
$E\:M$ qui est $z^2-\dfrac{1}{2}p-\dfrac{1}{2}$, dont le carré est
\[
  z^4 - pz^2 - z^2 + \frac{1}{4}p^2 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4};
\]
et à cause que $D\:E$ ou $K\:$M est $\dfrac{1}{2}q$, la toute $G\:M$ est $z+\dfrac{1}{2}q$, dont le carré est
\[
  z^2 + qz + \frac{1}{4}q^2;
\]
et assemblant ces deux carrés on a
\[
  z^4 - pz^2 + qz + \frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{4}p^2 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4},
\]
pour le carré de la ligne $G\:E$, à cause qu'elle est la base du triangle
rectangle $E\:M\:G$.

Mais à cause que cette même ligne $G\:E$ est le demi-diamètre du cercle $F\:G$,
elle se peut encore expliquer en d'autres termes, à savoir $E\:D$ étant $\dfrac{1}{2}q$, et
$A\:D$ étant $\dfrac{1}{2}p+\dfrac{1}{2}$, $A\:E$ est
\[
  \sqrt{\frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{4}p^2 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4}},
\]
à cause de l'angle droit $A\:D\:E$; puis $H\:A$ étant moyenne proportionnelle entre
$A\:S$ qui est 1 et $A\:R$ qui est $r$, elle est $\sqrt{r}$; et à cause de l'angle droit $E\:A\:H$,
le carré de $H\:E$ ou $E\:G$ est
\[
  \frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{4}p^2 + \frac{1}{2}p + \frac{1}{4} + r;
\]
si bien qu'il y a équation entre cette somme et la précédente, ce qui est le
% [File: 085.png Page: 75]
même que
\[
  z^4 = pz^2 - qz + r,
\]
et par conséquent la ligne trouvée $G\:K$ qui a été nommée $z$ est la racine de
cette équation, ainsi qu'il falloit démontrer. Et si vous appliquez ce même
calcul à tous les autres cas de cette règle en changeant les signes $+$ et $-$
selon l'occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu'il
soit besoin que je m'y arrête.

Si\label{cont55}\mymarginpar{L'invention
de deux
moyennes proportionnelles.}
on veut donc, suivant cette règle, trouver deux moyennes proportionnelles
entre les lignes $a$ et $q$ \textit{(fig.~28)}, chacun sait que posant $z$ pour l'une,
comme $a$ est à $z$, ainsi $z$ à $\dfrac{z^2}{a}$, et $\dfrac{z^2}{a}$ à $\dfrac{z^3}{a^2}$; de façon qu'il y a équation
entre $q$ et $\dfrac{z^3}{a^2}$, c'est-à-dire
\[
z^3=a^2q.
\]
Et la parabole $F\:A\:G$ étant décrite, avec la partie de son essieu $A\:C$ qui est $\dfrac{1}{2}a$
la moitié du côté droit, il faut du point $C$ élever la perpendiculaire $C\:E$ égale
à $\dfrac{1}{2}q$, et du centre $E$ par $A$, décrivant le cercle $A\:F$, on trouve $F\:L$ et $L\:A$
pour les deux moyennes cherchées.

\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 30.}} \\ \includegraphics*[width=2.0in]{images/f030.png}
\end{center}
\end{figure}

Tout\label{cont56}\mymarginpar{La façon de
diviser un
angle en trois.}
de même si on veut diviser l'angle $N\:O\:P$ \textit{(fig.~30)}, ou bien l'arc ou
% [File: 086.png Page: 76]
portion de cercle $N\:Q\:P\:T$ en trois parties égales, faisant $N\:O=1$ pour le
rayon du cercle, et $N\:P=q$ pour la subtendue de l'arc donné, et $N\:Q=z$
pour la subtendue du tiers de cet arc, l'équation vient
\[
  z^3 = 3z - q.
\]

Car ayant tiré les lignes $N\:Q$, $O\:Q$, $O\:T$, et faisant $Q\:S$ parallèle à $T\:O$, on voit
que comme $N\:O$ est à $N\:Q$, ainsi $N\:Q$ à $Q\:R$, et $Q\:R$ à $R\:S$; en sorte que $N\:O$
étant 1, et $N\:Q$ étant $z$, $Q\:R$ est $z^2$, et $R\:S$ est $z^3$; et à cause qu'il s'en faut
seulement $R\:S$ ou $z^3$ que la ligne $N\:P$ qui est $q$ ne soit triple de $N\:Q$ qui est $z$,
on a
\[
  q = 3z - z^3,
\]
ou bien
\[
  z^3 = 3z - q.
\]

Puis la parabole $F\:A\:G$ étant décrite, et $C\:A$ la moitié de son côté droit
principal étant $\dfrac{1}{2}$, si on prend $C\:D=\dfrac{3}{2}$, et la perpendiculaire $D\:E=\dfrac{1}{2}q$, et
que du centre $E$ par $A$ on décrive le cercle $F\:A\:g\:G$, il coupe cette parabole
aux trois points $F$, $g$ et $G$, sans compter le point $A$ qui en est le sommet;
ce qui montre qu'il y a trois racines en cette équation, à savoir les deux $G\:K$
et $g\:k$ qui sont vraies, et la troisième qui est fausse, à savoir $F\:L$. Et de ces
deux vraies c'est $g\:k$ la plus petite qu'il faut prendre pour la ligne $N\:Q$ qui
étoit cherchée; car l'autre $G\:K$ est égale à $N\:V$ la subtendue de la troisième
partie de l'arc $N\:V\:P$, qui avec l'autre arc $N\:Q\:P$ achève le cercle. Et la fausse $F\:L$
est égale à ces deux ensembles $Q\:N$ et $N\:V$, ainsi qu'il est aisé à voir par le
calcul.

Il\label{cont57}\mymarginpar{Que tous les
problèmes
solides se
peuvent
réduire à ces
deux
constructions.}
seroit superflu que je m'arrêtasse à donner ici d'autres exemples, car
tous les problèmes qui ne sont que solides se peuvent réduire à tel point
qu'on n'a aucun besoin de cette règle pour les construire, sinon en tant
qu'elle sert à trouver deux moyennes proportionnelles, ou bien à diviser un
angle en trois parties égales, ainsi que vous connoîtrez en considérant que
leurs difficultés peuvent toujours être comprises en des équations qui ne
montent que jusques au carré de carré ou au cube, et que toutes celles qui
montent au carré de carré se réduisent au carré par le moyen de quelques
% [File: 087.png Page: 77]
autres qui ne montent que jusques au cube, et enfin qu'on peut ôter le
second terme de celles-ci; en sorte qu'il n'y en a point qui ne se puisse
réduire à quelqu'une de ces trois formes:
\begin{align*}
z^3= & -pz+q,\\
z^3= & +pz+q,\\
z^3= & +pz-q.\\
\end{align*}

Or si on a $z^3={}-pz+q$, la règle dont Cardan attribue l'invention à
un nommé Scipio Ferreus nous apprend que la racine est
\[
  \sqrt{C. + \frac{1}{2}q + \sqrt{\frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{27}p^3}}
- \sqrt{C. - \frac{1}{2}q + \sqrt{\frac{1}{4}q^2 + \frac{1}{27}p^3}}.
\]

Comme aussi lorsqu'on a $z^3{}=+pz+q$, et que le carré de la moitié
du dernier terme est plus grand que le cube du tiers de la quantité connue
du pénultième, une pareille règle nous apprend que la racine est
\[
  \sqrt{C. + \frac{1}{2}q + \sqrt{\frac{1}{4}q^2 - \frac{1}{27}p^3}}
+ \sqrt{C. + \frac{1}{2}q - \sqrt{\frac{1}{4}q^2 - \frac{1}{27}p^3}}.
\]

D'où il paroît qu'on peut construire tous les problèmes dont les difficultés se
réduisent à l'une de ces deux formes, sans avoir besoin des sections coniques
pour autre chose que pour tirer les racines cubiques de quelques quantités
données, c'est-à-dire pour trouver deux moyennes proportionnelles entre ces
quantités et l'unité.

Puis, si on a $z^3={}+pz+q$, et que le carré de la moitié du dernier
terme ne soit point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue
du pénultième, en supposant le cercle $N\:Q\:P\:V$ dont le demi-diamètre $N\:O$
soit $\sqrt{\dfrac{1}{3}p}$, c'est-à-dire la moyenne proportionnelle entre le tiers de la
quantité donnée $p$ et l'unité, et supposant aussi la ligne $N\:P$ inscrite dans ce
cercle qui soit $\dfrac{3q}{p}$, c'est-à-dire qui soit à l'autre quantité donnée $q$ comme
l'unité est au tiers de $p$, il ne faut que diviser chacun des deux arcs $N\:Q\:P$
et $N\:V\:P$ en trois parties égales, et on aura $N\:Q$ la subtendue du tiers de l'un,
% [File: 088.png Page: 78]
et $N\:V$ la subtendue du tiers de l'autre, qui jointes ensemble composeront
la racine cherchée.

Enfin si on a $z^3=pz-q$, en supposant derechef le cercle $N\:Q\:P\:V$ dont
le rayon $N\:O$ soit $\sqrt{\dfrac{1}{3}p}$, et l'inscrite $N\:P$ soit $\dfrac{3q}{p}$, $N\:Q$ la subtendue du tiers
de l'arc $N\:Q\:P$ sera l'une des racines cherchées, et $N\:V$ la subtendue du tiers
de l'autre arc sera l'autre. Au moins, si le carré de la moitié du dernier
terme n'est point plus grand que le cube du tiers de la quantité connue du
pénultième; car s'il étoit plus grand, la ligne $N\:P$ ne pourroit être inscrite
dans le cercle, à cause qu'elle seroit plus longue que son diamètre, ce qui
seroit cause que les deux vraies racines de cette équation ne seroient
qu'imaginaires, et qu'il n'y en auroit de réelle que la fausse, qui, suivant
la règle de Cardan, seroit
\[
  \sqrt{C.\, \frac{1}{2}q + \sqrt{\frac{1}{4}q^2 - \frac{1}{27}p^2}}
+ \sqrt{C.\, \frac{1}{2}q - \sqrt{\frac{1}{4}q^2 - \frac{1}{27}p^2}}.
\]

Au\label{cont58}\mymarginpar{La façon
d'exprimer la
valeur de
toutes les
racines des
cubiques, et
ensuite de
toutes celles
qui ne montent
que jusques au
carré de carré.}
reste, il est à remarquer que cette façon d'exprimer la valeur des
racines par le rapport qu'elles ont aux côtés de certains cubes dont il n'y a
que le contenu qu'on connoisse, n'est en rien plus intelligible ni plus simple
que de les exprimer par le rapport qu'elles ont aux subtendues de certains
arcs ou portions de cercles dont le triple est donné; en sorte que toutes celles
des équations cubiques qui ne peuvent être exprimées par les règles de
Cardan, le peuvent être autant ou plus clairement par la façon ici proposée.

Car si, par exemple, on pense connoître la racine de cette équation
\[
  z^3 = {}-qz + p,
\]
à cause qu'on sait qu'elle est composée de deux lignes dont l'une est le côté
d'un cube duquel le contenu est $\dfrac{1}{2}q$, ajouté au côté d'un carré duquel
derechef le contenu est $\dfrac{1}{4}q^2-\dfrac{1}{27}p^3$, et l'autre est le côté d'un autre cube
dont le contenu est la différence qui est entre $\dfrac{1}{2}q$ et le côté de ce carré
% [File: 089.png Page: 79]
dont le contenu est $\dfrac{1}{4}q^2-\dfrac{1}{27}p^3$, qui est tout ce qu'on en apprend par la
règle de Cardan. Il n'y a point de doute qu'on ne connoisse autant ou plus
distinctement la racine de celle-ci
\[
  z^3 = {}+qz - p,
\]
en la considérant inscrite dans un cercle dont le demi-diamètre est $\sqrt{\dfrac{1}{3}p}$,
et sachant qu'elle y est la subtendue d'un arc dont le triple a pour sa
subtendue $\dfrac{3q}{p}$. Même ces termes sont beaucoup moins embarrassés que les
autres, et ils se trouveront beaucoup plus courts si on veut user de quelque
chiffre particulier pour exprimer ces subtendues, ainsi qu'on fait du chiffre
$\sqrt{C}.{}$ pour exprimer le côté des cubes.

Et on peut aussi ensuite de ceci exprimer les racines de toutes les
équations qui montent jusques au carré de carré par les règles ci-dessus
expliquées; en sorte que je ne sache rien de plus à désirer en cette matière:
car enfin la nature de ces racines ne permet pas qu'on les exprime en termes
plus simples, ni qu'on les détermine par aucune construction qui soit
ensemble plus générale et plus facile.

Il
% [** marginpar was here, moved down to avoid page break]
est vrai que je n'ai pas encore dit sur quelles raisons je me fonde pour
oser ainsi assurer si une chose est possible ou ne l'est pas. Mais si on prend
garde comment, par la méthode dont je me sers, tout ce qui tombe sous la
considération des géomètres se réduit à un même genre de problèmes, qui
est de chercher la valeur des racines de quelque équation, on jugera bien
qu'il n'est pas malaisé\label{cont59}\mymarginpar{Pourquoi les
problèmes
solides ne
peuvent être
construits sans
les sections
coniques, ni
ceux qui sont
plus composés
sans quelques
autres lignes
plus
composées.}
de faire un dénombrement de toutes les voies par
lesquelles on les peut trouver, qui soit suffisant pour démontrer qu'on a choisi
la plus générale et la plus simple. Et particulièrement pour ce qui est des
problèmes solides, que j'ai dit ne pouvoir être construits sans qu'on y
emploie quelque ligne plus composée que la circulaire, c'est chose qu'on
peut assez trouver de ce qu'ils se réduisent tous à deux constructions, en
l'une desquelles il faut avoir tout ensemble les deux points qui déterminent
deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données, et en l'autre les
deux points qui divisent en trois parties égales un arc donné; car d'autant
que la courbure du cercle ne dépend que d'un simple rapport de toutes ses
% [File: 090.png Page: 80]
parties au point qui en est le centre, on ne peut aussi s'en servir qu'à déterminer
un seul point entre deux extrêmes, comme à trouver une moyenne
proportionnelle entre deux lignes droites données, ou diviser en deux un
arc donné; au lieu que la courbure des sections coniques, dépendant toujours
de deux diverses choses, peut aussi servir à déterminer deux points
différents.

Mais pour cette même raison il est impossible qu'aucun des problèmes
qui sont d'un degré plus composés que les solides, et qui présupposent
l'invention de quatre moyennes proportionnelles, ou la division d'un angle
en cinq parties égales, puissent être construits par aucune des sections
coniques. C'est pourquoi je croirai faire en ceci tout le mieux qui se puisse,
si je donne une règle générale pour les construire, en y employant la ligne
courbe qui se décrit par l'intersection d'une parabole et d'une ligne droite
en la façon ci-dessus expliquée; car j'ose assurer qu'il n'y en a point de
plus simple en la nature qui puisse servir à ce même effet, et vous avez vu
comme elle suit immédiatement les sections coniques en cette question tant
cherchée par les anciens, dont la solution enseigne par ordre toutes les
lignes courbes qui doivent être reçues en géométrie.

Vous\label{cont60}\mymarginpar{Façon
générale pour
construire
tous les
problèmes
réduits à une
équation qui
n'a point plus
de six
dimensions.}
savez déjà comment, lorsqu'on cherche les quantités qui sont requises
pour la construction de ces problèmes, on les peut toujours réduire à quelque
équation qui ne monte que jusques au carré de cube ou au sursolide. Puis
vous savez aussi comment, en augmentant la valeur des racines de cette
équation, on peut toujours faire qu'elles deviennent toutes vraies, et avec
cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré
de la moitié de celle du second; et enfin comment, si elle ne monte que
jusques au sursolide, on la peut hausser jusques au carré de cube, et faire
que la place d'aucun de ces termes ne manque d'être remplie. Or, afin que
toutes les difficultés dont il est ici question puissent être résolues par une
même règle, je désire qu'on fasse toutes ces choses, et par ce moyen qu'on
les réduise toujours à une équation de telle forme,
\[
  y^6 - py^5 + qy^4 - ry^3 + sy^2 - ty + u = 0,
\]
et en laquelle la quantité nommée $q$ soit plus grande que le carré de la
moitié de celle qui est nommée $p$. Puis ayant fait la ligne $B\:K$ \textit{(fig.~31)}
% [File: 091.png Page: 81]
indéfiniment longue des deux côtés, et du point $B$ ayant tiré la perpendiculaire
$A\:B$ dont la longueur soit $\dfrac{1}{2}p$, il faut dans un plan séparé décrire une
parabole, comme $C\:D\:F$, dont le côté droit principal soit
\[
  \sqrt{\dfrac{t}{\sqrt{u}} + q - \frac{1}{4}p^2},
\]
que je nommerai $n$ pour abréger. Après cela, il faut poser le plan dans
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 31.}} \\ \includegraphics*[width=2.0in]{images/f031.png}
\end{center}
\end{figure}
lequel est cette parabole sur celui où sont les lignes $A\:B$ et $B\:K$, en sorte que
son essieu $D\:E$ se rencontre justement au-dessus de la ligne droite $B\:K$; et
ayant pris la partie de cet essieu qui est entre les points $E$ et $D$ \label{egle}égale
à $\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$,
il faut appliquer sur ce point $E$ une longue règle en telle façon qu'étant
aussi appliquée sur le point $A$ du plan de dessous, elle demeure toujours
jointe à ces deux points pendant qu'on haussera ou baissera la parabole tout
le long de la ligne $B\:K$ sur laquelle son essieu est appliqué; au moyen de
quoi l'intersection de cette parabole et de cette règle, qui se fera au point $C$,
décrira la ligne courbe $A\:C\:N$, qui est celle dont nous avons besoin de nous
servir pour la construction du problème proposé. Car après qu'elle est ainsi
% [File: 092.png Page: 82]
décrite, si on prend le point $L$ en la ligne $B\:K$, du côté vers lequel est tourné
le sommet de la parabole, et qu'on fasse $B\:L$ égale à $D\:E$, c'est-à-dire à $\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$;
puis du point $L$ vers $B$ qu'on prenne en la même ligne $B\:K$ la ligne $L\:H$ égale à
$\dfrac{t}{2n\sqrt{u}}$, et que du point $H$ ainsi trouvé on tire à angles droits du côté qu'est
la courbe $A\:C\:N$ la ligne $H\:I$ dont la longueur soit $\dfrac{r}{2n^2}+\dfrac{\sqrt{u}}{n^2}+\dfrac{pt}{4n^2\sqrt{u}}$,
qui pour abréger sera nommé $\dfrac{m}{n^2}$; et après, ayant joint les points $L$ et $I$,
qu'on décrive le cercle $L\:P\:I$ dont $I\:L$ soit le diamètre, et qu'on inscrive en ce
cercle la ligne $L\:P$ dont la longueur soit $\sqrt{\dfrac{s+p\sqrt{u}}{n^2}}$; puis enfin du
centre $I$, par le point $P$ ainsi trouvé, qu'on décrive le cercle $P\:C\:N$. Ce cercle
coupera ou touchera la ligne courbe $A\:C\:N$ en autant de points qu'il y aura
de racines en l'équation, en sorte que les perpendiculaires tirées de ces
points sur la ligne $B\:K$, comme $C\:G$, $N\:R$, $Q\:O$, et semblables, seront les
racines cherchées, sans qu'il y ait aucune exception ni aucun défaut en cette
règle. Car si la quantité $s$ étoit si grande à proportion des autres $p$, $q$, $r$, $t$,
et $u$, que la ligne $L\:P$ se trouvât plus grande que le diamètre du cercle $L\:I$,
en sorte qu'elle n'y pût être inscrite, il n'y auroit aucune racine en l'équation
proposée qui ne fût imaginaire; non plus que si le cercle $I\:P$ étoit si petit
qu'il ne coupât la courbe $A\:C\:N$ en aucun point. Et il la peut couper en six
différents, ainsi qu'il peut y avoir six diverses racines en l'équation. Mais
lorsqu'il la coupe en moins, cela témoigne qu'il y a quelques-unes de ces
racines qui sont égales entre elles, ou bien qui ne sont qu'imaginaires.

Que si la façon de tracer la ligne $A\:C\:N$ par le mouvement d'une parabole
vous semble incommode, il est aisé de trouver plusieurs autres moyens pour
la décrire: comme si, ayant les mêmes quantités que devant pour $A\:B$ et $B\:L$
\textit{(fig.~32)}, et la même pour $B\:K$ qu'on avoit posée pour le côté droit principal
de la parabole, on décrit le demi-cercle $K\:S\:T$ dont le centre soit pris à
discrétion dans la ligne $B\:K$, en sorte qu'il coupe quelque part la ligne $A\:B$
comme au point $S$; et que du point $T$ où il finit on prenne vers $K$ la ligne $T\:V$
% [File: 093.png Page: 83]
égale à $B\:L$; puis ayant tiré la ligne $S\:V$, qu'on en tire une autre qui lui soit
\begin{figure}[htb]
\begin{center}
\textit{\textbf{Fig. 32.}} \\ \includegraphics*[width=1.3in]{images/f032.png}
\end{center}
\end{figure}
parallèle par le point $A$, comme $A\:C$, et qu'on en tire aussi une autre par $S$
qui soit parallèle à $B\:K$, comme $S\:C$, le point $C$ où ces deux parallèles se
rencontrent sera l'un de ceux de la ligne courbe cherchée. Et on en peut
trouver en même sorte autant d'autres qu'on en désire.

Or la démonstration de tout ceci est assez facile; car, appliquant la règle $A\:E$
\textit{(fig.~31)} avec la parabole $F\:D$ sur le point $C$, comme il est certain qu'elles
peuvent y être appliquées ensemble, puisque ce point $C$ est en la courbe $A\:C\:N$
qui est décrite par leur intersection, si $C\:G$ se nomme $y$, $G\:D$ sera $\dfrac{y^2}{n}$, à cause
que le côté droit qui est $n$ est à $C\:G$ comme $C\:G$ à $G\:D$; et ôtant $D\:E$ qui
est $\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$, de $G\:D$, on a $\dfrac{y^2}{n}-\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$ pour $G\:E$. Puis, à cause que $A\:B$ est à $B\:E$
comme $C\:E$ est à $G\:E$, $A\:B$ étant $\dfrac{1}{2}p$, $B\:E$ est $\dfrac{py}{2n}-\dfrac{\sqrt{u}}{ny}$.

Et tout de même en supposant que le point $C$ \textit{(fig.~32)} de la courbe a été
trouvé par l'intersection des lignes droites $S\:C$ parallèle à $B\:K$, et $A\:C$ parallèle
à $S\:V$, $S\:B$ qui est égale à $C\:G$ est $y$; et $B\:K$ étant égale au côté droit de
la parabole que j'ai nommé $n$, $B\:T$ est $\dfrac{y^2}{n}$, car comme $K\:B$ est à $B\:S$, ainsi $B\:S$
% [File: 094.png Page: 84]
est à $B\:T$. Et $T\:V$ étant la même que $B\:L$, c'est-à-dire $\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$, $B\:V$ est $\dfrac{y^2}{n}-\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$;
et comme $S\:B$ est à $B\:V$, ainsi $A\:B$ est à $B\:E$, qui est par conséquent $\dfrac{py}{2n}-\dfrac{\sqrt{u}}{ny}$
comme devant, d'où on voit que c'est une même ligne courbe qui se décrit
en ces deux façons.

Après cela, pourceque $B\:L$ et $D\:E$ \textit{(fig.~31)} sont égales, $D\:L$ et $B\:E$ le sont
aussi; de façon qu'ajoutant $L\:H$ qui est $\dfrac{t}{2n\sqrt{u}}$, à $D\:L$ qui est $\dfrac{py}{2n}-\dfrac{\sqrt{u}}{ny}$,
on a la toute $D\:H$ qui est
\[
  \frac{py}{2n} - \frac{\sqrt{u}}{ny} + \frac{t}{2n\sqrt{u}};
\]
et en ôtant $G\:D$ qui est $\dfrac{y^2}{n}$, on a $G\:H$ qui est
\[
  \frac{py}{2n} - \frac{\sqrt{u}}{ny} + \frac{t}{2n\sqrt{u}} - \frac{y^2}{n},
\]
ce que j'écris par ordre en cette sorte,
\[
  G\:H = \frac{-y^3 + \dfrac{1}{2}py^2
              + \dfrac{ty}{2\sqrt{u}} - \sqrt{u} }{ny},
\]
et le carré de $G\:H$ est
\[
  \frac{y^6-py^5
       + \left( \dfrac{1}{4}p^2 - \dfrac{t }{\sqrt{u}} \right) y^4
       + \left( 2\sqrt{u}       + \dfrac{pt}{2\sqrt{u}} \right) y^3
       + \left( \dfrac{t^2}{4u} - p\sqrt{u} \right) y^2 - ty + u }
       {n^2y^2 }.
\]
Et en quelque autre endroit de cette ligne courbe qu'on veuille imaginer le
point $C$, comme vers $N$ ou vers $Q$, on trouvera toujours que le carré de la
ligne droite qui est entre le point $H$ et celui où tombe la perpendiculaire du
point $C$ sur $B\:H$, peut être exprimé en ces mêmes termes et avec les mêmes
signes $+$ et $-$.

% [File: 095.png Page: 85]

De plus, $H\:I$ étant $\dfrac{m}{n^2}$, et $L\:H$ étant $\dfrac{t}{2n\sqrt{u}}$, $I\:L$ est
\[
  \sqrt{\frac{m^2}{n^4} + \frac{t^2}{4n^2u} },
\]
à cause de l'angle droit $I\:H\:L$; et $L\:P$ étant
\[
  \sqrt{ \frac{s}{n^2} + \frac{p\sqrt{u}}{n^2} },
\]
$I\:P$ ou $I\:C$ est
\[
  \sqrt{ \frac{m^2}{n^4} + \frac{t^2}{4n^2u} - \frac{s}{n^2} - \frac{p\sqrt{u}}{n^2} },
\]
à cause aussi de l'angle droit $I\:P\:L$. Puis ayant fait $C\:M$ perpendiculaire sur $I\:H$,
$I\:M$ est la différence qui est entre $H\:I$ et $H\:M$ ou $C\:G$, c'est-à-dire entre $\dfrac{m}{n^2}$ et $y$,
en sorte que son carré est toujours
\[
  \frac{m^2}{n^4} - \frac{2my}{n^2} + y^2,
\]
qui étant ôté du carré de $I\:C$, il reste
\[
  \frac{t^2}{4n^2u} - \frac{s}{n^2} - \frac{p\sqrt{u}}{n^2} + \frac{2my}{n^2} - y^2
\]
pour le carré de $C\:M$, qui est égal au carré de $G\:H$ déjà trouvé. Ou bien en
faisant que cette somme soit divisée comme l'autre par $n^2y^2$, on a
\[
\frac{-n^2y^4 + 2my^3 - p\sqrt{u}y^2 - sy^2 + \dfrac{t^2}{4u}y^2 }
     { n^2y^2 };
\]
puis remettant $\dfrac{t}{\sqrt{u}}y^4+qy^4-\dfrac{1}{4}p^2y^4$ pour $n^2y^4$, et $ry^3+2\sqrt{u}y^3+\dfrac{pt}{2\sqrt{u}}y^3$
% [File: 096.png Page: 86]
pour $2my^3$; et multipliant l'une et l'autre somme par $n^2y^2$ on a
\[
  y^6 - py^5
+ \left( \frac{1}{4}p^2 - \frac{ t}{ \sqrt{u}} \right)y^4
+ \left( 2\sqrt{u}      + \frac{pt}{2\sqrt{u}} \right)y^3
+ \left( \frac{t^2}{4u} - p\sqrt{u}            \right)y^2 - ty + u
\]
égal à
\[
  \left( \frac{1}{4}p^2 - q         - \frac{ t}{ \sqrt{u}} \right)y^4
+ \left( r              + 2\sqrt{u} + \frac{pt}{2\sqrt{u}} \right)y^3
+ \left( \frac{t^2}{4u} - s         - p\sqrt{u}            \right)y^2,
\]
c'est-à-dire qu'on a
\[
  y^6 - py^5 + qy^4 - ry^3 + sy^2 - ty + u = 0.
\]

D'où il paroît que les lignes $C\:G$, $N\:R$, $Q\:O$, et semblables, sont les racines
de cette équation, qui est ce qu'il falloit démontrer.

Ainsi\label{cont61}\mymarginpar{L'invention de
quatre
moyennes proportionnelles.}
donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les
lignes $a$ et $b$, ayant posé $x$ pour la première, l'équation est
\[
  x^5 - a^4b = 0,\quad\text{ou bien}\quad x^6 - a^4bx = 0.
\]
Et faisant $y - a = x$, il vient
\[
  y^6 - 6ay^5 + 15a^2y^4 - 20a^3y^3 + 15a^4y^2
- \left( 6a^5 + a^4b \right)y + a^6 + a^5b = 0;
\]
c'est pourquoi il faut prendre $3a$ pour la ligne $A\:B$, et
\[
  \sqrt{ \frac{6a^3+a^2b}{\sqrt{a^2+ab}} + 6a^2 }
\]
pour $B\:K$ ou le côté droit de la parabole, que j'ai nommé $n$, et $\dfrac{a}{3n}\sqrt{a^2+ab}$
pour $D\:E$ ou $B\:L$. Et après avoir décrit la ligne courbe $A\:C\:N$ sur la mesure
de ces trois, il faut faire
\[
  L\:H = \frac{6a^3+a^2b}{2n\sqrt{a^2+ab}}
\]
et
\[
  H\:I = \frac{10a^3}{n^2} + \frac{a^2}{n^2}\sqrt{a^2+ab} + \frac{18a^4+3a^3b}{2n^2\sqrt{a^2+ab}},
\]
% [File: 097.png Page: 87]
et
\[
  L\:P = \frac{a}{n} \sqrt{15a^2 + 6a\sqrt{a^2+ab}};
\]
car le cercle, qui ayant son centre au point $I$ passera par le point $P$ ainsi
trouvé, coupera la courbe aux deux points $C$ et $N$, desquels ayant tiré les
perpendiculaires $N\:R$ et $C\:G$, si la moindre $N\:R$ est ôtée de la plus grande $C\:G$,
le reste sera $x$, la première des quatre moyennes proportionnelles cherchées.

Il est aisé en même façon de diviser un angle en cinq parties égales, et
d'inscrire une figure de onze ou treize côtés égaux dans un cercle, et de
trouver une infinité d'autres exemples de cette règle.

Toutefois il est à remarquer qu'en plusieurs de ces exemples il peut arriver
que le cercle coupe si obliquement la parabole du second genre, que le point
de leur intersection soit difficile à reconnoître, et ainsi que cette construction
ne soit pas commode pour la pratique; à quoi il seroit aisé de remédier en
composant d'autres règles à l'imitation de celle-ci, comme on en peut composer
de mille sortes.

Mais mon dessein n'est pas de faire un gros livre, et je tâche plutôt de
comprendre beaucoup en peu de mots, comme on jugera peut-être que j'ai
fait, si on considère qu'ayant réduit à une même construction tous les
problèmes d'un même genre, j'ai tout ensemble donné la façon de les réduire
à une infinité d'autres diverses, et ainsi de résoudre chacun d'eux en une
infinité de façons; puis outre cela, qu'ayant construit tous ceux qui sont
plans en coupant d'un cercle une ligne droite, et tous ceux qui sont solides
en coupant aussi d'un cercle une parabole, et enfin tous ceux qui sont d'un
degré plus composés en coupant tout de même d'un cercle une ligne qui
n'est que d'un degré plus composée que la parabole, il ne faut que suivre la
même voie pour construire tous ceux qui sont plus composés à l'infini: car,
en matière de progressions mathématiques, lorsqu'on a les deux ou trois
premiers termes, il n'est pas malaisé de trouver les autres. Et j'espère que
nos neveux me sauront gré, non seulement des choses que j'ai ici expliquées,
mais aussi de celles que j'ai omises volontairement, afin de leur laisser le
plaisir de les inventer.

\begin{center} \textsc{fin.} \end{center}

% [File: 099.png Page: 89]

\newpage
\begin{center}
\textbf{TABLE DES MATIÈRES}

\rule{0.4in}{.2pt}
\bigskip

LIVRE PREMIER
\bigskip

{\small DES PROBLÈMES QU'ON PEUT CONSTRUIRE SANS Y EMPLOYER QUE DES CERCLES
ET DES LIGNES DROITES.}
\bigskip

\noindent
\begin{tabular}{lr}
\tabmat{Comment le calcul d'arithmétique se rapporte aux opérations de géométrie}{cont1}
\\
\tabmat{Comment se font géométriquement la multiplication, la division et l'extraction de la
racine carrée}{cont2}
\\
\tabmat{Comment on peut user de chiffres en géométrie}{cont3}
\\
\tabmat{Comment il faut venir aux équations qui servent à résoudre les problèmes}{cont4}
\\
\tabmat{Quels sont les problèmes plans, et comment ils se résolvent}{cont5}
\\
\tabmat{Exemple tiré de Pappus}{cont6}
\\
\tabmat{Réponse à la question de Pappus}{cont7}
\\
\tabmat{Comment on doit poser les termes pour venir à l'équation en cet exemple}{cont8}
\\
\tabmat{Comment on trouve que ce problème est plan lorsqu'il n'est point proposé en plus de
cinq lignes}{cont9}
\end{tabular}
\bigskip

\rule{0.8in}{.2pt}
%\bigskip
\newpage

LIVRE SECOND
\bigskip

{\small DE LA NATURE DES LIGNES COURBES.}
\bigskip

\noindent
\begin{tabular}{lr}

\tabmat{Quelles sont les lignes courbes qu'on peut recevoir en géométrie}{cont10}
\\
\tabmat{La façon de distinguer toutes ces lignes courbes en certains genres, et de connoître
le rapport qu'ont tous leurs points à ceux des lignes droites}{cont11}
\\
\tabmat{Suite de l'explication de la question de Pappus mise au livre précédent}{cont12}
\\
\tabmat{Solution de cette question quand elle n'est proposée qu'en trois ou quatre lignes}{cont13}
\\
% [File: 100.png Page: 90]
\tabmat{Démonstration de cette solution}{cont14}
\\
\tabmat{Quels sont les lieux plans et solides, et la façon de les trouver tous}{cont15}
\\
\tabmat{Quelle est la première et la plus simple de toutes les lignes courbes qui servent à la
question des anciens quand elle est proposée en cinq lignes}{cont16}
\\
\tabmat{Quelles sont les lignes courbes qu'on décrit en trouvant plusieurs de leurs points qui
peuvent être reçus en géométrie}{cont17}
\\
\tabmat{Quelles sont aussi celles qu'on décrit avec une corde qui peuvent y être reçues}{cont18}
\\
\tabmat{Que, pour trouver toutes les propriétés des lignes courbes, il suffit de savoir le rapport
qu'ont tous leurs points à ceux des lignes droites; et la façon de tirer d'autres lignes
qui les coupent en tous ces points à angles droits}{cont19}
\\
\tabmat{Façon générale pour trouver des lignes droites qui coupent les courbes données ou
leurs contingentes à angles droits}{cont20}
\\
\tabmat{Exemple de cette opération en une ellipse et en une parabole du second genre}{cont21}
\\
\tabmat{Autre exemple en un ovale du second genre}{cont22}
\\
\tabmat{Exemple de la construction de ce problème en la conchoïde}{cont23}
\\
\tabmat{Explication de quatre nouveaux genres d'ovales qui servent à l'optique}{cont24}
\\
\tabmat{Les propriétés de ces ovales touchant les réflexions et les réfractions}{cont25}
\\
\tabmat{Démonstration de ces propriétés}{cont26}
\\
\tabmat{Comment on peut faire un verre autant convexe ou concave en l'une de ses superficies
qu'on voudra, qui rassemble à un point donné tous les rayons qui viennent d'un
autre point donné}{cont27}
\\
\tabmat{Comment on en peut faire un qui fasse le même, et que la convexité de l'une de ses
superficies ait la proportion donnée avec la convexité ou concavité de l'autre}{cont28}
\\
\tabmat{Comment on peut rapporter tout ce qui a été dit des lignes courbes décrites sur une
superficie plate, à celles qui se décrivent dans un espace qui a trois dimensions,
ou bien sur une superficie courbe}{cont29}


\end{tabular}
\bigskip

\rule{0.8in}{.2pt}
%\bigskip
\newpage

LIVRE TROISIÈME
\bigskip

{\small DE LA CONSTRUCTION DES PROBLÈMES SOLIDES OU PLUS QUE SOLIDES.}
\bigskip

\noindent
\begin{tabular}{lr}

\tabmat{De quelles lignes courbes on peut se servir en la construction de chaque problème}{cont30}
\\
\tabmat{Exemple touchant l'invention de plusieurs moyennes proportionnelles}{cont31}
\\
\tabmat{De la nature des équations}{cont32}
\\
\tabmat{Combien il peut y avoir de racines en chaque équation}{cont33}
\\
\tabmat{Quelles sont les fausses racines}{cont34}
\\
\tabmat{Comment on peut diminuer le nombre des dimensions d'une équation, lorsqu'on
connoît quelqu'une de ses racines}{cont35}
\\
% [File: 101.png Page: 91]
\tabmat{Comment on peut examiner si quelque quantité donnée est la valeur d'une racine}{cont36}
\\
\tabmat{Combien il peut y avoir de vraies racines dans chaque équation}{cont37}
\\
\tabmat{Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies, et les vraies fausses}{cont38}
\\
\tabmat{Comment on peut augmenter ou diminuer les racines d'une équation}{cont39}
\\
\tabmat{Qu'en augmentant ainsi les vraies racines on diminue les fausses, ou au contraire}{cont40}
\\
\tabmat{Comment on peut ôter le second terme d'une équation}{cont41}
\\
\tabmat{Comment on fait que les fausses racines deviennent vraies sans que les vraies deviennent
fausses}{cont42}
\\
\tabmat{Comment on fait que toutes les places d'une équation soient remplies}{cont43}
\\
\tabmat{Comment on peut multiplier ou diviser les racines d'une équation}{cont44}
\\
\tabmat{Comment on ôte les nombres rompus d'une équation}{cont45}
\\
\tabmat{Comment on rend la quantité connue de l'un des termes d'une équation égale à telle
autre qu'on veut}{cont46}
\\
\tabmat{Que les racines, tant vraies que fausses, peuvent être réelles ou imaginaires}{cont47}
\\
\tabmat{La réduction des équations cubiques lorsque le problème est plan}{cont48}
\\
\tabmat{La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa racine}{cont49}
\\
\tabmat{Quels problèmes sont solides lorsque l'équation est cubique}{cont50}
\\
\tabmat{La réduction des équations qui ont quatre dimensions lorsque le problème est plan;
et quels sont ceux qui sont solides}{cont51}
\\
\tabmat{Exemple de l'usage de ces réductions}{cont52}
\\
\tabmat{Règle générale pour réduire toutes les équations qui passent le carré de carré}{cont53}
\\
\tabmat{Façon générale pour construire tous les problèmes solides réduits à une équation de
trois ou quatre dimensions}{cont54}
\\
\tabmat{L'invention de deux moyennes proportionnelles}{cont55}
%\\
\end{tabular}

\begin{tabular}{lr}
\tabmat{La division de l'angle en trois}{cont56}
\\
\tabmat{Que tous les problèmes solides se peuvent réduire à ces deux constructions}{cont57}
\\
\tabmat{La façon d'exprimer la valeur de toutes les racines des équations cubiques, et ensuite
de toutes celles qui ne montent que jusques au carré de carré}{cont58}
\\
\tabmat{Pourquoi les problèmes solides ne peuvent être construits sans les sections coniques,
ni ceux qui sont plus composés sans quelques autres lignes plus composées}{cont59}
\\
\tabmat{Façon générale pour construire tous les problèmes réduits à une équation qui n'a point
plus de six dimensions}{cont60}
\\
\tabmat{L'invention de quatre moyennes proportionnelles}{cont61}
\end{tabular}

\bigskip

{\small FIN DE LA TABLE.}

\bigskip

\rule{0.8in}{.2pt}
\end{center}

\newpage
\pagestyle{empty}

% [File: 103.png]


\vspace*{1in}
\begin{center}\Large % make the heading a bit more noticeable
\textsc{Typographical Errors corrected\\in Project Gutenberg
edition}\end{center}

p. \pageref{x5} the last factor ``et par $x - 5$'' in original, amended to ``et par $x + 5$''
to match the preceding and following discussion.\

p. \pageref{egle} ``entre les points $E$ et $D$ \underline{égle} à $\dfrac{2\sqrt{u}}{pn}$'' in original,
amended to ``\underline{égale}''.\

\newpage
\small
\pagestyle{plain}
\pagenumbering{Roman}
\begin{verbatim}
End of the Project Gutenberg EBook of La géométrie, by René Descartes

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Hart, the owner of the Project Gutenberg-tm trademark.  Contact the
Foundation as set forth in Section 3 below.

1.F.

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effort to identify, do copyright research on, transcribe and proofread
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LIABLE TO YOU FOR ACTUAL, DIRECT, INDIRECT, CONSEQUENTIAL, PUNITIVE OR
INCIDENTAL DAMAGES EVEN IF YOU GIVE NOTICE OF THE POSSIBILITY OF SUCH
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with this agreement, and any volunteers associated with the production,
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or cause to occur: (a) distribution of this or any Project Gutenberg-tm
work, (b) alteration, modification, or additions or deletions to any
Project Gutenberg-tm work, and (c) any Defect you cause.


Section  2.  Information about the Mission of Project Gutenberg-tm

Project Gutenberg-tm is synonymous with the free distribution of
electronic works in formats readable by the widest variety of computers
including obsolete, old, middle-aged and new computers.  It exists
because of the efforts of hundreds of volunteers and donations from
people in all walks of life.

Volunteers and financial support to provide volunteers with the
assistance they need, is critical to reaching Project Gutenberg-tm's
goals and ensuring that the Project Gutenberg-tm collection will
remain freely available for generations to come.  In 2001, the Project
Gutenberg Literary Archive Foundation was created to provide a secure
and permanent future for Project Gutenberg-tm and future generations.
To learn more about the Project Gutenberg Literary Archive Foundation
and how your efforts and donations can help, see Sections 3 and 4
and the Foundation web page at http://www.pglaf.org.


Section 3.  Information about the Project Gutenberg Literary Archive
Foundation

The Project Gutenberg Literary Archive Foundation is a non profit
501(c)(3) educational corporation organized under the laws of the
state of Mississippi and granted tax exempt status by the Internal
Revenue Service.  The Foundation's EIN or federal tax identification
number is 64-6221541.  Its 501(c)(3) letter is posted at
http://pglaf.org/fundraising.  Contributions to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation are tax deductible to the full extent
permitted by U.S. federal laws and your state's laws.

The Foundation's principal office is located at 4557 Melan Dr. S.
Fairbanks, AK, 99712., but its volunteers and employees are scattered
throughout numerous locations.  Its business office is located at
809 North 1500 West, Salt Lake City, UT 84116, (801) 596-1887, email
business@pglaf.org.  Email contact links and up to date contact
information can be found at the Foundation's web site and official
page at http://pglaf.org

For additional contact information:
     Dr. Gregory B. Newby
     Chief Executive and Director
     gbnewby@pglaf.org


Section 4.  Information about Donations to the Project Gutenberg
Literary Archive Foundation

Project Gutenberg-tm depends upon and cannot survive without wide
spread public support and donations to carry out its mission of
increasing the number of public domain and licensed works that can be
freely distributed in machine readable form accessible by the widest
array of equipment including outdated equipment.  Many small donations
($1 to $5,000) are particularly important to maintaining tax exempt
status with the IRS.

The Foundation is committed to complying with the laws regulating
charities and charitable donations in all 50 states of the United
States.  Compliance requirements are not uniform and it takes a
considerable effort, much paperwork and many fees to meet and keep up
with these requirements.  We do not solicit donations in locations
where we have not received written confirmation of compliance.  To
SEND DONATIONS or determine the status of compliance for any
particular state visit http://pglaf.org

While we cannot and do not solicit contributions from states where we
have not met the solicitation requirements, we know of no prohibition
against accepting unsolicited donations from donors in such states who
approach us with offers to donate.

International donations are gratefully accepted, but we cannot make
any statements concerning tax treatment of donations received from
outside the United States.  U.S. laws alone swamp our small staff.

Please check the Project Gutenberg Web pages for current donation
methods and addresses.  Donations are accepted in a number of other
ways including checks, online payments and credit card donations.
To donate, please visit: http://pglaf.org/donate


Section 5.  General Information About Project Gutenberg-tm electronic
works.

Professor Michael S. Hart is the originator of the Project Gutenberg-tm
concept of a library of electronic works that could be freely shared
with anyone.  For thirty years, he produced and distributed Project
Gutenberg-tm eBooks with only a loose network of volunteer support.


Project Gutenberg-tm eBooks are often created from several printed
editions, all of which are confirmed as Public Domain in the U.S.
unless a copyright notice is included.  Thus, we do not necessarily
keep eBooks in compliance with any particular paper edition.


Most people start at our Web site which has the main PG search facility:

     http://www.gutenberg.org

This Web site includes information about Project Gutenberg-tm,
including how to make donations to the Project Gutenberg Literary
Archive Foundation, how to help produce our new eBooks, and how to
subscribe to our email newsletter to hear about new eBooks.
\end{verbatim}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %
%                                                                         %
% End of the Project Gutenberg EBook of La géométrie, by René Descartes   %
%                                                                         %
% *** END OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA GÉOMÉTRIE ***                %
%                                                                         %
% ***** This file should be named 26400-t.tex or 26400-t.zip *****        %
% This and all associated files of various formats will be found in:      %
%         http://www.gutenberg.org/2/6/4/0/26400/                         %
%                                                                         %
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %

\end{document}

### lprep configuration

$French = 1;

@ControlwordReplace = (
  ['\\superscript', '^']
                      );

@ControlwordArguments = (
  ['\\mymarginpar', 1, 1, '~[Sidenote: ', "]\n"]
                         );

###
This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.30.5-2.2 (Web2C 7.5.5) (format=pdflatex 2008.5.6)  23 AUG 2008 04:47
entering extended mode
**26400-t.tex
(./26400-t.tex
LaTeX2e <2003/12/01>
Babel <v3.8g> and hyphenation patterns for english, usenglishmax, dumylang, noh
yphenation, greek, monogreek, ancientgreek, ibycus, loaded.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/book.cls
Document Class: book 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/bk10.clo
File: bk10.clo 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX file (size option)
)
\c@part=\count79
\c@chapter=\count80
\c@section=\count81
\c@subsection=\count82
\c@subsubsection=\count83
\c@paragraph=\count84
\c@subparagraph=\count85
\c@figure=\count86
\c@table=\count87
\abovecaptionskip=\skip41
\belowcaptionskip=\skip42
\bibindent=\dimen102
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsmath.sty
Package: amsmath 2000/07/18 v2.13 AMS math features
\@mathmargin=\skip43
For additional information on amsmath, use the `?' option.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amstext.sty
Package: amstext 2000/06/29 v2.01
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsgen.sty
File: amsgen.sty 1999/11/30 v2.0
\@emptytoks=\toks14
\ex@=\dimen103
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsbsy.sty
Package: amsbsy 1999/11/29 v1.2d
\pmbraise@=\dimen104
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amslatex/amsopn.sty
Package: amsopn 1999/12/14 v2.01 operator names
)
\inf@bad=\count88
LaTeX Info: Redefining \frac on input line 211.
\uproot@=\count89
\leftroot@=\count90
LaTeX Info: Redefining \overline on input line 307.
\classnum@=\count91
\DOTSCASE@=\count92
LaTeX Info: Redefining \ldots on input line 379.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 382.
LaTeX Info: Redefining \cdots on input line 467.
\Mathstrutbox@=\box26
\strutbox@=\box27
\big@size=\dimen105
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OML on input line 567.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding OMS on input line 568.
\macc@depth=\count93
\c@MaxMatrixCols=\count94
\dotsspace@=\muskip10
\c@parentequation=\count95
\dspbrk@lvl=\count96
\tag@help=\toks15
\row@=\count97
\column@=\count98
\maxfields@=\count99
\andhelp@=\toks16
\eqnshift@=\dimen106
\alignsep@=\dimen107
\tagshift@=\dimen108
\tagwidth@=\dimen109
\totwidth@=\dimen110
\lineht@=\dimen111
\@envbody=\toks17
\multlinegap=\skip44
\multlinetaggap=\skip45
\mathdisplay@stack=\toks18
LaTeX Info: Redefining \[ on input line 2666.
LaTeX Info: Redefining \] on input line 2667.
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty
Package: amssymb 2002/01/22 v2.2d
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty
Package: amsfonts 2001/10/25 v2.2f
\symAMSa=\mathgroup4
\symAMSb=\mathgroup5
LaTeX Font Info:    Overwriting math alphabet `\mathfrak' in version `bold'
(Font)                  U/euf/m/n --> U/euf/b/n on input line 132.
)) (/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.sty
Package: babel 2005/05/21 v3.8g The Babel package
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.ldf
Language: french 2005/02/06 v1.6g French support from the babel system
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/babel.def
File: babel.def 2005/05/21 v3.8g Babel common definitions
\babel@savecnt=\count100
\U@D=\dimen112
)

Package babel Warning: No hyphenation patterns were loaded for
(babel)                the language `French'
(babel)                I will use the patterns loaded for \language=0 instead.

\l@french = a dialect from \language0
Package babel Info: Making : an active character on input line 219.
Package babel Info: Making ; an active character on input line 220.
Package babel Info: Making ! an active character on input line 221.
Package babel Info: Making ? an active character on input line 222.
LaTeX Font Info:    Redeclaring font encoding T1 on input line 299.
\parindentFFN=\dimen113
\std@mcc=\count101
\dec@mcc=\count102
*************************************
* Local config file frenchb.cfg used
*
(/usr/share/texmf-texlive/tex/generic/babel/frenchb.cfg))) (/usr/share/texmf-te
xlive/tex/latex/base/inputenc.sty
Package: inputenc 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/base/latin1.def
File: latin1.def 2004/02/05 v1.0d Input encoding file
))

LaTeX Warning: You have requested, on input line 75, version
               `2006/05/05' of package inputenc,
               but only version
               `2004/02/05 v1.0d Input encoding file'
               is available.

(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/multirow/multirow.sty
\bigstrutjot=\dimen114
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphicx.sty
Package: graphicx 1999/02/16 v1.0f Enhanced LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/keyval.sty
Package: keyval 1999/03/16 v1.13 key=value parser (DPC)
\KV@toks@=\toks19
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/graphics.sty
Package: graphics 2001/07/07 v1.0n Standard LaTeX Graphics (DPC,SPQR)
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/trig.sty
Package: trig 1999/03/16 v1.09 sin cos tan (DPC)
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/config/graphics.cfg
File: graphics.cfg 2001/08/31 v1.1 graphics configuration of teTeX/TeXLive
)
Package graphics Info: Driver file: pdftex.def on input line 80.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/graphics/pdftex.def
File: pdftex.def 2005/06/20 v0.03m graphics/color for pdftex
\Gread@gobject=\count103
))
\Gin@req@height=\dimen115
\Gin@req@width=\dimen116
) (/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/tools/verbatim.sty
Package: verbatim 2003/08/22 v1.5q LaTeX2e package for verbatim enhancements
\every@verbatim=\toks20
\verbatim@line=\toks21
\verbatim@in@stream=\read1
) (./26400-t.aux)
\openout1 = `26400-t.aux'.

LaTeX Font Info:    Checking defaults for OML/cmm/m/it on input line 90.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 90.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for T1/lmr/m/n on input line 90.
LaTeX Font Info:    Try loading font information for T1+lmr on input line 90.
(/usr/share/texmf/tex/latex/lm/t1lmr.fd
File: t1lmr.fd 2006/04/24 v1.2 Font defs for Latin Modern
)
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 90.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OT1/cmr/m/n on input line 90.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 90.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMS/cmsy/m/n on input line 90.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 90.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for OMX/cmex/m/n on input line 90.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 90.
LaTeX Font Info:    Checking defaults for U/cmr/m/n on input line 90.
LaTeX Font Info:    ... okay on input line 90.
LaTeX Info: Redefining \dots on input line 90.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/context/base/supp-pdf.tex (/usr/share/texmf-texli
ve/tex/context/base/supp-mis.tex
loading : Context Support Macros / Miscellaneous (2004.10.26)
\protectiondepth=\count104
\scratchcounter=\count105
\scratchtoks=\toks22
\scratchdimen=\dimen117
\scratchskip=\skip46
\scratchmuskip=\muskip11
\scratchbox=\box28
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\zeropoint=\dimen118
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\nextdepth=\dimen123
\everyline=\toks24
\!!counta=\count107
\!!countb=\count108
\recursecounter=\count109
)
loading : Context Support Macros / PDF (2004.03.26)
\nofMPsegments=\count110
\nofMParguments=\count111
\MPscratchCnt=\count112
\MPscratchDim=\dimen124
\MPnumerator=\count113
\everyMPtoPDFconversion=\toks25
)
Overfull \hbox (11.99689pt too wide) in paragraph at lines 95--95
[]\OT1/cmtt/m/n/10 almost no restrictions whatsoever.  You may copy it, give it
 away or[] 
 []


Overfull \hbox (6.74693pt too wide) in paragraph at lines 96--96
[]\OT1/cmtt/m/n/10 re-use it under the terms of the Project Gutenberg License i
ncluded[] 
 []

[1

{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [1

] [2]
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msa on input line 202.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsa.fd
File: umsa.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
)
LaTeX Font Info:    Try loading font information for U+msb on input line 202.
(/usr/share/texmf-texlive/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2002/01/19 v2.2g AMS font definitions
) <images/f001.png, id=23, 406.13704pt x 241.23929pt>
File: images/f001.png Graphic file (type png)
<use images/f001.png> [1

 <./images/f001.png (PNG copy)>] <images/f002.png, id=51, 407.15492pt x 219.863
66pt>
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id=76, 366.43944pt x 323.68817pt>
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125, 356.26056pt x 392.90451pt>
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Overfull \hbox (4.47403pt too wide) in paragraph at lines 2257--2279
\OT1/cmr/m/n/10 trou-ver au-tant de moyennes pro-por-tion-nelles qu'on veut, ni
 dont la d^^Semonstration
 []

[40 <./images/f025.png (PNG copy)>] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49
] [50] [51] <images/f026.png, id=335, 426.59375pt x 242.9075pt>
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pt x 684.5575pt>
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67] [68] [69] [70] [71] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] (./26400-t.aux) ) 
Here is how much of TeX's memory you used:
 2742 strings out of 95148
 33506 string characters out of 1184452
 100427 words of memory out of 1000000
 5814 multiletter control sequences out of 10000+50000
 13498 words of font info for 52 fonts, out of 500000 for 2000
 73 hyphenation exceptions out of 8191
 26i,18n,24p,264b,257s stack positions out of 1500i,500n,5000p,200000b,5000s
PDF statistics:
 460 PDF objects out of 300000
 0 named destinations out of 131072
 353 words of extra memory for PDF output out of 10000
</usr/
share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt9.pfb></usr/share/texmf-texlive/
fonts/type1/bluesky/cm/cmbx10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky
/cm/cmcsc10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/fmex9.pfb></u
sr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr9.pfb></usr/share/texmf-texliv
e/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesk
y/cm/cmmi9.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/public/cmex/fmex8.pfb></us
r/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy8.pfb></usr/share/texmf-texliv
e/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesk
y/cm/cmex10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/ams/msam10.pfb></
usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texmf-tex
live/fonts/type1/bluesky/cm/cmti8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blu
esky/cm/cmr6.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmbxti10.pfb>
</usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmti10.pfb></usr/share/texmf-t
exlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmmi10.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/
bluesky/cm/cmr8.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr7.pfb><
/usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmr10.pfb></usr/share/texmf-tex
live/fonts/type1/bluesky/cm/cmr17.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/blu
esky/cm/cmr12.pfb></usr/share/texmf-texlive/fonts/type1/bluesky/cm/cmtt10.pfb>
Output written on 26400-t.pdf (82 pages, 570611 bytes).
